[SCRÂTÂT]
[FOSȘIT]
[CLIC]
MARKUS KLUTE: Bine ați revenit
la 8.20 Relativitatea Specială.
Deci începem un nou capitol.
În acest capitol,
vorbim despre unele aspecte
ale relativității speciale,
care nu sunt de o importanță
crucială pentru înțelegerea
conceptelor,
dar vă ajută să vă aprofundați
puțin
înțelegerea.
Sper că acest lucru
va fi de folos.
Deci vrem să vorbim
despre algebra
transformărilor cunoscute.
Deci am văzut că factorul nostru gamma
este 1 peste rădăcina pătrată
1 minus beta pătrat cu beta
egal cu viteza relativistă
v/c.
Și astfel, acest lucru îl putem rescrie
ca gamma pătrat minus beta
pătrat gamma pătrat
este egal cu 1, OK?
Așa că acum, aș dori să vă
amintiți funcțiile hiperbolice
sinh și cosh și cosh
pătrat minus sinh
pătrat este egal cu 1.
Deci, forma aici și aici
sunt aproape la fel.
Și ceva pătrat minus
altceva pătrat
egal cu 1, OK?
Bun.
Deci, să vedem cum
arată asta.
Ca o reamintire pentru noi,
funcțiile hiperbolice sunt
definite ca 1/2 e la
puterea x minus
e la minus x și cosh egal cu
1/2 e la x plus e la minus x.
BINE?
Tangenta este apoi
definită ca un raport.
Și puteți reprezenta
acele funcții
și puteți vedea
forma funcțională așa cum este
prezentată în aceste două diagrame.
Ei bine, vrem să revenim la
cele două ecuații care arată
aproape la fel.
Deci putem defini acum
eta, rapiditatea,
ca gamma egală cu
funcția hiperbolică cosh eta și beta
gamma este egală cu sinh eta.
Deci, practic,
avem această rapiditate,
care este o măsură a
cât de mult este
amplificat sistemul ca fiind egal cu
acest tip de unghi hiperbolic,
nu?
Apoi puteți
procesa din nou, unde
beta este egal cu tangentele
acestui unghi hiperbolic.
Și amintiți-vă că
panta din diagrama noastră spațiu-timp
este 1 peste viteza.
Găsim că acel unghi din nou acum se
numește rapiditate, bine?
Și doar ca o reamintire,
beta trece de la minus 1 la 1,
în funcție de direcție
și viteza acesteia
este mai mică decât viteza luminii.
Și apoi eta trece de la
minus infinit la infinit.
Bine, așa că atunci putem rescrie
transformarea noastră Lorentz.
În loc să scriem gamma și
beta gamma și minus beta
gamma și așa mai departe,
putem scrie acest lucru
prin unghiul hiperbolic.
BINE?
Așa că ar trebui să vă
întrebați întotdeauna de ce este util acest lucru.
Prima parte este că
atunci când adunăm viteze, am
găsit această transformare complicată în

care noua viteză este
egală cu prima viteză
înmulțită cu viteza a doua peste
1 plus produsul celor două
viteze.
Și acest lucru este mult mai ușor acum, deoarece
putem doar să adăugăm vitezele.
Deci a treia viteză este egală
cu prima plus a doua.
Acest lucru este mult, mult mai ușor
de calculat de fapt.
Și dovada acestui lucru
vine direct
din demonstrarea acelor
funcții hiperbolice de aici.
A doua parte în care
acest lucru devine util
este atunci când vă gândiți la
unghiul din diagrama spațiu-timp
.
Cum se compară asta acum
cu o rotație normală?
Deci, să începem aici.
Deci avem o rotație normală.
Avem o rotație la un unghi,
iar sistemul nostru de coordonate se
rotește doar după un unghi specific.  Să-i
spunem phi aici.
Și ceea ce facem acum,
avem o rotație similară,
dar hiperbolică,
în care
sistemul de coordonate din
diagrama spațiu-timp se rotește.
În regulă?
În cazul rotației normale
, x pătrat
plus y pătrat este invariant.
Și în transformarea noastră Lorentz
,
c pătrat t pătrat
minus x pătrat.
În regulă?
Dacă aveți apoi o transformare mai generală
, o rotație
și o
transformare Lorentz, veți găsi
x pătrat plus y pătrat plus
z pătrat minus c pătrat
t pătrat [INAUDIBIL].
OK, deci tocmai am
reetichetat lucrurile,
dar acum putem
folosi tot ce
știm despre
funcțiile hiperbolice
atunci când ne gândim la
adăugarea vitezelor.
Deoarece rapiditatea -
distanța relativă și viteza
dintre două cadre de referință
este practic unghiul
unghiului hiperbolic.