MARKUS KLUTE: Bine ați revenit
la 8.20 Relativitatea Specială.
În această scurtă secțiune,
dorim să introducem
o nouă notație, patru vectori.
Și dacă te uiți la
discuțiile anterioare,
acest lucru nu este chiar atât de nou.  Am
văzut că trebuie să
tratăm timpul și spațiul
într-o manieră consecventă.
Și ați aplicat adesea
transformarea lui Lorentz,
de exemplu, unui vector de
timp și următoarea componentă
a spațiului.
Acum doriți doar să faceți
acest lucru cu x, y și z aici
și să nu tratați componenta y
și componenta z ca 0.
Deci, ca punct de plecare,
puteți spune pur și simplu, OK,
avem acest nou patru vector.
Iar componenta lui 0
este timpul sau timpul
înmulțit cu viteza luminii.
Și apoi prima componentă, a
doua și a treia componentă
sunt
componenta spațială, x, y și z.
Acum am scris un
vector Xi mew aici,
cu miau-ul fiind
indicele superior.
Pot introduce și
Xi cu un indice mai mic.
Și vezi că micul y
și micul y este util.
Unde componenta lui 0
nu este t ci minus ct--
ci minus ct.
Ca o reamintire pentru
trei vectori, ați
învățat despre
produsul punctual, care este doar
o multiplicare a
doi, trei vectori
în care toți vectorii cu n
componente, în care înmulțiți
aceeași componentă
a fiecărui vector
și adăugați acele rezultate împreună.
Deci produsul scalar al
vectorului a și vectorului b
este suma tuturor
indicilor pentru ai și bi.
Acum, pentru vectorul nostru patru,
facem exact același lucru.
Doar însumăm
toate cele patru componente.
Și tratăm
vectorii ca un produs
al vectorului cu
indicele inferior și indicele superior.
Și găsiți aici, atunci
obținem minus c pătrat t
pătrat plus x pătrat,
y pătrat și z pătrat.
Mai general, aceasta este pentru
doi vectori ai aceluiași - doi
dintre aceiași vectori.
Mai general, pentru
doi vectori diferiți,
puteți scrie în acest fel.
Sau, pe scurt, puteți
defini o nouă notație
în care, practic, însumați
toți indicii care sunt egali.
Deci aici avem un
indici superior și inferior împreună.
Deci însumați
acest caz aici în care
există același indice,
mew, pentru ambii vectori.
Și unul este mai jos
și unul este sus.
Și putem continua
introducerea
și doar introducem câteva instrumente
pentru a lucra cu acești vectori.
De exemplu, dacă doriți
să aduceți componenta
mea de jos
în sus,
puteți face acest lucru prin înmulțirea
vectorului cu o matrice.
Și matricea de aici se
mai numește și metrică.
Și pur și simplu ce
trebuie să faci este să
înmulți prima
componentă cu minus 1
și restul cu 1.
Acest lucru îl vezi aici
pe diagonală
și pe alte
componente mai târziu.
Ceea ce face aceasta -- puteți
verifica acest lucru dacă doriți --
este aducerea
indicelui vectorului
de la unul inferior la unul superior.
Un
exemplu interesant este produsul
unui patru vector cu el însuși.
Și am văzut deja
acest lucru pentru că am văzut acesta
ca fiind intervalul nostru invariant.
Aici, vectorul patru este
distanța în spațiu și timp
dintre două evenimente.
Așa că ne-am uitat la Delta Xi
Mew ori la Delta Xi Mew.
Și delta Xi mew este
diferența dintre evenimentul A
și B. Și așa am
văzut deja acest lucru
și am calculat
invariantul și am arătat
că acest pătrat pe
o distanță de două evenimente
este de fapt invariant în
transformarea Lorentz.
Dar există și alte
exemple pentru vectori.
Primul îl vom investiga
mai multe în secțiunile următoare
.
Este un
patru vector al impulsului energetic,
unde plasăm în prima
componentă energia -
în componenta lui 0 energia,
iar apoi pe prima, a doua
și a treia componentă
trei vectori a impulsului.
Dar mai sunt și altele, de
exemplu, cele patru potențiale,
unde în componenta lui 0
, aveți
potențialul--
potențialul electric.
Și apoi prima, a doua
și a treia componentă,
aveți acest
câmp nou A, care este
legat de
câmpul magnetic și electric.
Deci E și M nu fac
parte din acest curs,
dar vom reveni la
asta în ultima săptămână
și vom discuta
puțin mai mult despre consecințe și idei.
Dar dacă te uiți apoi la
patru-vectorul invariant, care
este un produs al
vectorului impuls energetic,
vei descoperi că prima
componentă, pătratul energiei
sau minus
pătratul energiei peste c
pătrat plus vectorul cu trei componente
al pătratului impulsului  .
Și asta este constant, putem doar
aici să numim această masă sau minus
masa pătrat ori c pătrat.
Deci, dacă scrieți asta, veți
găsi că această relație de masă a impulsului energetic
E pătrat este egală
cu p pătrat c pătrat, plus m
pătrat c la a patra putere.
Și dacă te uiți la
aceste patru particule
de impuls 0, caz în care
această componentă aici este 0,
vei descoperi că ecuația E
este egală cu mc pătrat.