[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [CLIC] PROFESORUL: OK, deci să începem. Aceasta este prima prelegere pentru curs-- Introducere în analiza funcțională. OK, așa că permiteți-mi să vă ofer o scurtă previzualizare sau câteva cuvinte despre ceea ce este sau urmărește inițial să facă analiza funcțională. Deci, până în acest moment, ați luat-- sau cel puțin care ar trebui să fie cerințele preliminare, ați luat algebră liniară. Ai luat calcul. Și ceea ce îți permit aceste subiecte este să rezolvi probleme în care ai un număr finit de variabile independente, dacă vrei. Lucrezi în dimensiuni finite. Deci întotdeauna aveți -- de exemplu, în calcul, încercați să găsiți valoarea minimă sau maximă a unei funcții de 1, 2, 3 sau 4 variabile, nu? Sau în algebra liniară, încerci să rezolvi un set liniar de ecuații liniare, dar există cinci ecuații și cinci necunoscute. Deci, există întotdeauna un număr finit de variabile independente. Acum, asta vă permite să rezolvați o mulțime de probleme distractive cu privire la cât de repede se scurge apa dintr-un con. Cred că asta e una dintre problemele pe care le rezolvi sau ceva de genul ăsta. Dar atunci când mergi mai departe în viață, dai peste ODE-uri și PDE-uri și alte tipuri de minimizare, probleme de maximizare unde acum, dacă vrei, setul de variabile independente nu mai este o dimensiune finită, OK? Deci, să ne gândim la numărul de-- sau la variabila ta independentă ca fiind un membru al unui spațiu vectorial. Deci, când vorbeam despre calcul, funcții ale 1, 2 sau 3 variabile, acestea sunt funcții ale lui R, R2, R3 și așa mai departe. Dar se dovedește că, dacă doriți să luați în considerare, de exemplu, care este cea mai scurtă curbă între două puncte, aceasta este o funcție funcțională naturală, adică -- ei bine, aceasta este terminologia care înseamnă că acum argumentul este o funcție, că punctele, dvs. variabile independente, sunt curbe, sunt funcții. Pentru un vector din R3, să zicem, sunt necesare trei numere pentru a specifica un vector, cele trei coordonate. De câte numere aveți nevoie pentru a specifica, de exemplu, o curbă continuă pe interval, de exemplu, 0, 1? Ei bine, ai nevoie de infinit de multe numere. Trebuie să știi graficul acelei curbe. Deci analiza funcțională, pe scurt, a fost construită pentru a putea începe să rezolve probleme în care spațiile vectoriale nu sunt neapărat dimensionale finite. Și așa cum vom vedea în problemele prin care ne confruntăm și în situațiile care apar, acest lucru apare destul de firesc pentru probleme foarte particulare... Adică, nu anume, ci pentru probleme concrete. Acesta nu este doar un fel de exercițiu academic. Întregul subiect a apărut din încercarea de a înțelege anumite probleme concrete care implică PDE și minimizarea și optimizarea funcțiilor de acum ale funcțiilor. Aceasta a fost terminologia originală, funcțiile funcțiilor, unde acum spațiul vectorial este un spațiu de funcții, nu doar spații de, să zicem, vectori tridimensionali sau vectori bidimensionali și, prin urmare, numele funcțional. OK, deci sunt câteva cuvinte despre cum a crescut acest subiect, care este rostul. Deci, să începem să intrăm în detalii. Deci, din nou, voi folosi o mulțime de terminologie care provine din algebra liniară și cursul de analiză reală, 18.100B. Dar la început, vă voi aminti ce înseamnă unii dintre acești termeni pe care îi folosesc. Dar, pe măsură ce cursul continuă, voi înceta să redefiniți termenii pe care ar fi trebuit să-i vedeți în Analiza reală sau în Algebra liniară și să îi folosesc. OK, deci primul subiect cu care ne vom ocupa - deci spațiile noastre normative, acestea sunt obiectele centrale și/sau punctul de plecare în analiza funcțională, care sunt analogul R2, R3 și așa mai departe. Deci care este configurația? Fie V spațiu vectorial peste R sau chiar C. Deci ar putea fi un spațiu vectorial complex. Și oricare dintre aceste spații le vom desemna de obicei cu un K aldin. Deci, ce înseamnă asta? Deci, din nou, acesta este unul dintre acele puncte în care vă voi aminti rapid ce este un spațiu vectorial. Apoi V vine cu două operații - plus și înmulțire scalară. Deci, plus, mergând de la V cruce V în V, pe care îl notăm -- dacă am doi vectori în V, ei sunt mapați la noul vector, pe care îl notez V1 plus V2. Și apoi am înmulțirea scalară din setul de scalari care încrucișează V în V. Și aceasta merge alfa-- V este mapat la alfa cu V. Bine, deci aveți aceste două operații. Și îndeplinesc anumite condiții, ipoteze, relații dintre ele, care fac parte din axiomele unui spațiu vectorial, pe care le puteți citi în ultima secțiune a notelor, dacă doriți să vă împrospătați memoria. Și astfel V ca spațiu vectorial are aceste două operații care satisfac un anumit set de axiome. Și așa, de exemplu -- exemple vechi familiare -- R2, Rn și apoi, desigur, C, mulțimea de n tuple ale lui R sau C. Dar iată un alt exemplu simplu -- C 0, 1, pe care îl voi aminti tu această notație aici înseamnă setul de funcții de la 0, 1 în-- să spunem valoarea lor complexă, doar pentru a fixa un câmp de scalari cu care să lucrezi, astfel încât f este continuă, adică este continuă în fiecare punct. Acesta este, de asemenea, un câmp vectorial deoarece suma a două funcții continue este continuă. Și dacă iau un multiplu scalar al unei funcții continue, atunci este și continuu. Și apoi aceste operații satisfac axiomele de care aveți nevoie pentru spațiul vectorial. Dar există într-adevăr o mare-- intenționată de joc-- diferență între aceste spații de aici și aceste spații de aici-- sau acel spațiu de acolo. Și care este diferența? Dimensiunea, ok? Acum, în analiză, mărimea a fost... ai avut poate una sau două noțiuni diferite de mărime la care ai fost introdus , în funcție de cât de multă analiză ai văzut, dar una a fost cardinalitatea. Nu despre asta vorbesc când mă refer la dimensiune. Ceea ce vreau să spun este la următoarea... mă refer la dimensiunea acestor spații. Așadar, permiteți-mi să reamintesc următoarea definiție, că spunem că un spațiu vectorial V este dimensional finit - și acestea au fost multe dintre spațiile vectoriale în care ați fost introdus pentru prima dată - dacă fiecare mulțime liniar independentă este, de fapt, o mulțime finită. Și așadar, permiteți-mă din nou... deoarece folosesc unele dintre aceste cuvinte pentru a vă ajuta să vă amintiți, ce înseamnă asta? În matematică, aceasta înseamnă că pentru fiecare mulțime E care este liniar independentă, adică care are următoarele proprietăți, astfel încât dacă iau orice elemente din E, deci E satisface că dacă iau orice elemente finite ale lui E, presupunerea că există o combinație liniară a acestora care dă 0 implică faptul că toți acești scalari trebuie să fie 0. OK, deci aici este definiția de a fi liniar independent. Pentru că toate E care îndeplinesc această condiție-- deci aceasta este scrisă prost, dar sper că veți urma. Aceasta este definiția independenței liniare. Apoi, pentru fiecare mulțime care este liniar independentă, atunci mulțimea E este finită în sensul cardinalității, în sensul că există doar 100 de elemente acolo sau nu. Deci aceasta este o dimensiune finită. Și spunem că V este dimensional infinit dacă V nu este dimensional finit. Așa că unii dintre voi pe care i-am văzut au luat un curs de la mine înainte. Tind să folosesc o mulțime de abrevieri când scriu. Dar, în mod obișnuit, aceste abrevieri sunt destul de clare ce înseamnă, dacă doar o suni. Deci, spațiul vectorial V-- și acești tipi cu dimensiuni infinite, aceștia sunt tipii cu care ne vom ocupa foarte mult în acest curs. Cele cu dimensiuni finite cu care te-ai ocupat în algebra liniară. Poate ai folosit câteva - ai avut câteva exemple de dimensiuni infinite dacă te uitai la exemple de spații vectoriale. Dar aceste spații vectoriale dimensionale infinite, acestea sunt tipul de băieți sau tipul de spații vectoriale pe care acum vom rezolva ecuații liniare și, într-un anumit sens, vom face calcul. Nu este chiar adevărat, dar vom folosi calculul și câteva instrumente pentru a putea spune câteva lucruri despre ecuațiile liniare pe aceste spații dimensionale infinite. Dar ele nu vor fi orice tip de spațiu dimensional infinit. Și voi spune la ce tip ne uităm într-un minut. OK, deci dimensională finită, dimensională infinită-- deci primul set de exemple-- R1, R2, Rn, Cn și așa mai departe, acestea sunt spații cu dimensiuni finite. Și dimensiunea este n, dacă ar fi să definesc care este dimensiunea. Care este un exemplu de dimensiune infinită? Ei bine, probabil că poți ghici din moment ce am dus la asta spunând că este o mare diferență între acesta și... Rn și Cn. Spațiul funcțiilor continue pe intervalul 0, 1, acesta este dimensional infinit. De ce, mă rog? Acest lucru se datorează faptului că mulțimea ca E dată de funcțiile fn ale lui x este egală cu x cu n-- aici, n este un număr natural sau 0-- aceasta este o mulțime liniar independentă. Vă las să vă gândiți de ce. Și vezi că nu este un set finit. Și conține infinit de multe funcții diferite. Deci aceasta este o mulțime liniar independentă, OK? Așadar, așa cum am spus, ceea ce vom avea de a face este cum să ne ocupăm de rezolvarea ecuațiilor liniare sau a întrebărilor despre analiză de care vom avea nevoie pentru a rezolva alte probleme pe aceste spații dimensionale infinite, spre deosebire de trecut, când am făcut analize pe finite. spatii dimensionale. Și tipurile de... tipurile de lucruri pe care le-ați dovedit în clasa de analiză au fost ceva asemănător cu teorema Heine-Borel că submulțimile închise și mărginite ale lui Rn sunt compacte, adică fiecare secvență mărginită are o subsecvență convergentă. Acesta este, de fapt, ceva ce dovediți pentru a arăta că fiecare funcție continuă pe o mulțime închisă-- pe o mulțime închisă și mărginită are un min într-un max în acel set. Dar afirmația pe care tocmai am spus-o despre teorema Heine-Borel nu este adevărată odată ce ajungem la dimensiuni infinite. Și așa că trebuie să... dacă vrem să putem rezolva problemele, va trebui să dezvoltăm niște mașini pentru a rezolva asta. Este una dintre principalele probleme care apar atunci când treceți de la analiza pe dimensiuni finite la dimensiuni infinite. Deci, OK, matematic, nu am spus multe, dar am încercat să dezleg subiectul pentru a mă asigura că rămâi angajat. Bine, deci avem spații vectoriale. Dar pentru a face o analiză, avem nevoie de o idee despre cât de aproape sunt lucrurile. Și pentru a face asta, am introdus noțiunea de normă. Deci, o normă pentru un spațiu vectorial V-- dacă nu scriu spațiu vectorial V, ar trebui să vă spuneți, acest V majuscul este un spațiu vectorial. O normă pe un spațiu vectorial V, aceasta este o funcție. Acesta va fi un obiect care generalizează lungimea. Deci, este o funcție de la V la mulțimea numerelor nenegative cu trei proprietăți pe care le asociem cu lungimea, și anume că norma lui V este 0 implică-- ei bine, ar trebui să spun dacă și numai dacă V este egal cu 0. 2, dacă Iau V și îl înmulțesc cu un scalar și apoi îi iau lungimea, ar trebui să obțin așa ceva scalar ori lungimea vectorului. Dacă iau un vector, îl înmulțesc cu 2, ar trebui să obțin de două ori lungimea vectorului. Deci acest lucru este exprimat prin aceasta. Și aceasta este pentru toate lambda din domeniul meu de scalari și pentru toate V din V. Deci această proprietate aici este denumită omogenitate. Această proprietate aici este denumită definiție. Hotărât... Nu știu dacă scriu corect, dar claritate. Și apoi a treia proprietate este că satisface inegalitatea triunghiului. Aceasta este că pentru toate V1, V2 în V, norma V1 plus V2, aceasta este mai mică sau egală cu norma V1 plus V2. Și orice spațiu vectorial care are o normă pe el îl numim spațiu normă. Cu normă este ceea ce numim un spațiu de normă. Și chestia asta de aici, eu de obicei... deci se numește inegalitate triunghiulară. În regulă, deci un spațiu vectorial cu o funcție pe el care satisface aceste trei proprietăți îl numim spațiu normal. Și apoi așa cum am spus în cursurile mele anterioare, ori de câte ori văd o-- sau ori de câte ori vezi o definiție decentă sau ceva cu substanță, ar trebui să faci exemple. Vom face asta în doar un minut după ce voi mai da câteva definiții. Așa că permiteți-mi să adaug la aceasta. Aceasta a fost definiția unei norme. O seminormă vrea să fie o normă, dar nu este deloc. Aceasta este o funcție, pe care o voi desemna și cu aceste două linii paralele de fiecare parte. Este o funcție care satisface omogenitatea și inegalitatea triunghiului, dar nu neapărat pozitivă-- sau definiție-- sau definiție pozitivă este, de asemenea, ceea ce se întâmplă, satisfăcând 2 și 3, dar poate nu neapărat 1. Din nou, semi-normele apar într-un mod natural. Și vă voi da un exemplu într-o secundă. Deci, mai întâi, avem această noțiune de lungime într-un spațiu vectorial, care este o normă. Și dacă ni se dă o normă pe un spațiu vectorial, putem asocia o metrică. Deci, amintiți-vă, o metrică - deci din analiza reală, vreau să vă amintiți că o funcție d pe o mulțime - dacă x este o mulțime, o funcție d din x trece x în 0, infinitul este o metrică dacă aveți trei condiții satisfăcute-- a, deci distanța dintre un punct în sine-- sau permiteți-mi să o scriu astfel, distanța dintre două puncte este 0 dacă și numai dacă x este egal cu y. b, pentru tot x, y din mulțimea X, dxy este egal cu dyx-- aceasta este simetria distanței. Și aveți inegalitatea triunghiului pentru distanța pentru toate xy în X, d. Sau pentru toate x, y și z din x, dxy xy este mai mică sau egală cu distanța de la x la z plus distanța de la z la y. Deci, dacă am un spațiu vectorial și am o normă pe el, pot transforma acel spațiu acum într-un spațiu metric. Și această metrică pe care sunt pe cale să o notez este de obicei denumită metrica indusă de normă. Deci primul nostru fel de mini-teoremă aici -- dacă am o normă pentru un spațiu vectorial, atunci d -- permiteți-mi să folosesc același lucru -- dacă definesc o funcție dvw ca fiind pur și simplu lungimea lui v minus w- - deci pentru elementele lui v și w în spațiul vectorial, definește metrica pe V. Și această metrică la care ne referim ca fiind metrica indusă de normă, bine? Și acest lucru nu este greu de demonstrat. Practic, 1, 2 și 3 implică, respectiv, a, b și c. 1, prima proprietate a unei norme, presupune a. Acest lucru este destul de clar. Distanța dintre vw este 0 dacă și numai dacă v minus w este egal cu 0, adică dacă și numai dacă v este egal cu w. Asta ne dă o parte a. b obținem de la 2, deoarece cu 2 v minus w este egal cu minus de 1 ori w minus v egal -- acum, scoatem scalarul și luăm valoarea lui absolută. Deci, deoarece cu 2, avem lungimea lui v minus w egală cu lungimea lui w minus w, aceasta implică b. Și apoi c urmează din nou imediat din inegalitatea triunghiulară 3 doar adunând și scăzând un al treilea element. Deci, permiteți-mi să scriu doar 3 implică c în esență imediat, bine? OK, atunci când avem o normă, obținem o noțiune de metrică, o noțiune de distanță între doi vectori din spațiul nostru vectorial, luând doar lungimea diferenței lor. Deci, din nou, acest lucru ar trebui să fie un fel de - acesta ar trebui să fie un analog a ceea ce vedem în R și Rn în general. Deci, de exemplu, permiteți- mi doar să-mi amintesc asta. Deci, acum, să ne uităm la câteva norme. În loc de n tupluri ale lui Rn sau Cn unde avem norma euclidiană-- norma euclidiană, aici, dacă am un n-tuplu dat de x-- așa că permiteți-mi să pun un 2 aici pentru a denota această normă-- atunci norma euclidiană a acestui vector-- deci acest tip este în Rn sau Cn-- atunci norma sa euclidiană este dată de suma i este egală cu 1 la n xi lungimea pătratului 1/2. Și asta vă oferă noțiunea standard de lungime și distanță între puncte cu care v-ați ocupat în spațiul euclidian. Dar asta nu este singura normă pe care ai putea-o avea pe aceste spații cu care te-ai mai ocupat înainte. Altul... pune un infinit aici. Această normă este maximul dintre 1 și n din xi. Deci, pentru a măsura lungimea unui vector, consider că aceasta este mărimea celei mai mari intrări din acel vector, OK? Și, în general, există o întreagă familie de norme pe care le-aș putea pune pe Rn sau Cn. Lasă-mă să pun un p aici. Aceasta este norma, norma lp, normă mică lp, este suma puterii p-a a xiilor ridicate la 1 peste p. Desigur, aveți nevoie de acest 1 peste p pentru ca omogenitatea să funcționeze și, de asemenea, inegalitatea triunghiului. Și aceasta este pentru 1 mai mic sau egal cu p mai mic decât infinit. Nu am scris Infinity acolo pentru că asta nu are sens, deși poți demonstra că dacă iau un vector fix și las p să meargă la infinit, atunci această cantitate aici converge către această cantitate. Nu este greu de arătat. Așa că permiteți-mi să vă fac rapid o imagine rapidă a cum arată bilele unității -- R2, să zicem, cu diferitele norme. Așadar, permiteți-mi să reamintesc că, dacă am, într-un spațiu metric, o metrică, atunci B x, r aceasta este o mulțime de toate y în x, astfel încât distanța de la x la y este mai mică sau egală cu r. Acum, știi cum arată mingea pentru norma euclidiană. Acesta este doar un cerc și completat, desigur. Nu voi completa asta. Deci acum, ceea ce mă uit este... și voi pune un 2. Aceasta este bila centrată la 0 din raza 1, deci totul înăuntru. Dar pentru norma infinitului? Să presupunem că vreau să mă uit la cum arată asta. Acesta, de fapt, este pătrat. Și ce zici de-- să mai facem una despre mica normă l1, care este doar lungimea mărimii intrărilor, lungimea valorii absolute a intrărilor. Deci toate acestea trec prin aceste puncte de aici pe axă. Mingea asta... deci, în primul rând, totul în interiorul albastru este bila infinită. Tot ce este în interiorul albului este acea minge mică de l2. Mica minge l1 este totul în interiorul acestui pătrat, care acum este înclinat. Și orice altă minge mică este între galben și albastru. Și dacă luați p merge la infinit, atunci acea bilă converge, într-un anumit sens, la această bilă infinită l , care este în albastru. Deci, vezi, schimbarea normei, chiar și pe aceste spații de dimensiuni finite, schimbă geometria bilelor, dacă vrei, bine? Dar nu în două moduri drastice, adică dacă iau un B suficient de mare, dacă iau o minge l1 suficient de mare, asta va înghiți o minge l infinită. Și, prin urmare, cele două bile sunt un fel de... Pot să iau dimensiunea acelei bile ca fiind poate de dimensiunea 3. Și deci bilele sunt cam la fel. Unul îl poate pune oricând în sandviș pe celălalt. Voi vorbi mai mult despre asta când vom vorbi despre norme echivalente, cel puțin în seturile de probleme. Deci OK, deci acesta este un exemplu de norme pe un spațiu vectorial cu dimensiuni finite. Să ne uităm la o altă normă. Să luăm un spațiu metric, așa că îmi amintesc că avem un-- deci acesta este orice spațiu metric vechi. Și acum, voi defini un spațiu vectorial, C infinitul inferior x. Aceasta este definită ca fiind mulțimea tuturor funcțiilor continue din acest spațiu metric -- amintiți-vă, dacă avem un spațiu metric, avem o noțiune de funcții continue pe el -- astfel încât -- ce? Deci acestea sunt... Deci, din nou, pentru a remedia asta, permiteți-mi să clarific unde se duce. f merge de la x la, să spunem, C astfel încât f este continuă și f este mărginită, adică imaginea lui x sub f este o submulțime mărginită a lui C, bine? Doar pentru a putea conecta asta cu ceva ce tocmai am notat acum un minut, setul tuturor funcțiilor mărginite, funcții continue pe 0, 1, acesta este doar un set de funcții continue pe 0, 1 pentru că știm funcții continue pe un închis. și intervalul mărginit sunt mărginiți. Deci nu trebuie să spun mărginit ori de câte ori scriu asta. OK, deci am acest spațiu de funcții continue pe un spațiu metric, care sunt mărginite. Și voi defini o normă în acest sens. Deci acesta este un spațiu vectorial. Deoarece orice sumă a două funcții continue este continuă, un scalar de mai multe ori o funcție continuă este continuă. Și din nou, acele două operații satisfac axiomele unui spațiu vectorial. Și pot defini o normă pe acest spațiu. Apoi susțin că... ce folosesc aici? Apoi, dacă definesc din nou o normă infinită, care va arăta similar cu ceea ce am scris acolo, deoarece aceasta este supa tuturor x în capitalul X al u din x, atunci aceasta este o normă pe acest spațiu de continuu-- continuu mărginit funcții. Deci 1 și 2 sunt destul de ușor de văzut din definiție. Deci proprietățile 1 și 2 sunt ușor de văzut. Pentru inegalitatea triunghiulară, ei bine, aceasta decurge în esență din inegalitatea triunghiulară pentru C. Acestea sunt funcții cu valori complexe cu valori C. Dacă doriți, înlocuiți-l cu funcții cu valoare reală dacă asta vă face să vă simțiți mai bine în prima prelegere, deși vom avea nevoie de numere complexe în cele din urmă. Deci, să verificăm dacă această funcție satisface inegalitatea triunghiului și, prin urmare, este o normă. Dacă u și v sunt două funcții continue mărginite pe x, atunci pentru tot x din X, dacă iau ux plus vx, aceasta este mai mică sau egală cu, prin inegalitatea triunghiului pentru C, valoarea absolută a lui u a lui x plus v de x. Din nou, u din x este un număr complex și la fel este v din x Deci aceasta este prin inegalitatea triunghiulară. Dar acum, aceasta, pentru orice vechi x, este întotdeauna mărginită de supremația acelui peste toate valorile. Deci lasă-mă să scriu... OK? Deci u din x pentru orice valoare fixă ​​a lui x este întotdeauna mărginită de supremul peste toate x-urile se află în capitalul X, care este norma pentru u. Deci, ceea ce am arătat este că pentru tot x din capitalul X, valoarea absolută a lui u a lui x plus v a lui x este mărginită de acest număr. Și, prin urmare, acest număr este o limită superioară pentru setul de valori absolute ale acestor bărbați și, prin urmare, supremul, ceea ce implică faptul că - care este cea mai mică limită superioară dintre toate aceste cantități, deoarece x se întinde peste x este mai mică sau egală cu aceasta. număr aici. Și, prin urmare, avem inegalitatea triunghiului pentru această funcție. Și, prin urmare, aceasta definește o normă, la care mă voi referi adesea ca normă uniformă sau normă l infinit doar pentru că există o infinitate. Dar conținutul ar trebui să fie clar despre ce vorbesc. Adică, acest lucru nu este în contradicție cu ceea ce am notat pentru că Rn, este doar un set de... Ei bine, nu contează, lasă-mă să nu mai vorbesc înainte să mă încurce într-un nod. Deci, ce înseamnă convergența în această normă aici? Știm ce înseamnă convergența în euclidiană sau în oricare dintre aceste norme. Înseamnă că punctele se adună. Punctele fixe din plan încep să se apropie din ce în ce mai mult , cel puțin în R2 sau C2. Ce zici de aici? Așa că permiteți-mi doar să remarc că -- deci amintiți-vă, un converge către u în acest spațiu de funcții continue mărginite. Ce înseamnă acest lucru. Aceasta înseamnă că distanța dintre un și u ajunge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Deci aici, vorbesc despre ce înseamnă convergența unei secvențe de elemente din acest spațiu. Deci, asta înseamnă că distanța dintre un și u merge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Iar distanța, amintiți-vă, este definită în termeni de normă. Deci, convergența în spațiul funcțiilor continue mărginite înseamnă doar asta. Dar în ceea ce privește ceva abordat în clasa de analiză trecută, cu ce este echivalentul? O voi scrie. Aceasta înseamnă că pentru toate epsilonul pozitiv, există un număr natural n astfel încât-- acum, acesta este sup de u de x pentru toate-- sau sup un de x minus u de x pentru tot x din X Deci pot scrie astfel că pentru toți n mai mari sau egali cu n pentru toți x din X, un de x minus u de x este mai mic decât epsilon. Dar aceasta este doar definiția convergenței uniforme pe x. Deci, ideea acestei mici note este că convergența în această normă sau în această metrică -- voi folosi norma și metrica în mod interschimbabil, deoarece această metrică este indusă de această normă. Deci, convergența în normă în acest spațiu de funcții continue mărginite este aceeași cu a spune că această secvență de funcții converge la această funcție uniform pe x. Deci sper că este clar. Așa că poate ar trebui să spun asta acum și nu în a opta prelegere. Dar, într-adevăr, fă-ți timp pentru a urmări aceste prelegeri din două motive. Unu, de fapt sunt aici să le înregistrez. Așa că, în loc să spun doar că citiți asta și să mă întrebați dacă aveți întrebări, vă ofer mai multe informații decât ceea ce este în note. Și doi, te ține angajat, bine? Așa că ar trebui să le tratezi ca și cum ai fi acolo de fapt -- ai caietul tău, ia notițe în timp ce predau. Lucrul grozav este că poți întrerupe și derula înapoi. Acest spațiu de funcții continue... avem acea normă. OK, deci mai multe exemple de spații de normă sunt... așa că am numit acea mică normă lp. Dar puținul nu este neapărat puțin. Deci, micul spațiu lp real la care mă voi referi de obicei - acesta va fi spațiul tuturor - acesta este spațiul tuturor secvențelor acum. Deci vectorii din acest spațiu sunt secvențe. Punctele din acest spațiu sunt secvențe, astfel încât -- așa că numiți acest lucru element a. Deci a este o secvență. Deci acesta este setul tuturor secvențelor care au norma lp care este finită. Și care este norma lp în acest caz? Ei bine, este generalizarea naturală a acelui tip, în care norma lp este egală cu suma j este egală cu 1 la infinit pentru 1-- p între 1 și infinit. Și apoi norma l infinit este doar sup over . J So little lp reprezintă spațiul secvențelor cu norma lp finită. Sau ați putea spune că lp-ul lor este sumabil. Puterea lor a p-a este însumabilă. Așa că permiteți-mi doar să dau un exemplu prostesc. Secvența 1 peste j, j este egală cu 1 până la infinit, aceasta este în lp mică pentru toate p mai mari decât 1, dar nu pentru p egal cu 1 pentru că atunci obținem seria armonică. Acum, de ce? În primul rând, de ce inegalitatea triunghiului este valabilă chiar și în mai mulți finiți, în cazul cu dimensiuni finite și de ce acesta este un spațiu vectorial natural este netrivial. Deci nu ar trebui să poți spune de fapt, oh OK, asta are sens. Ea satisface inegalitatea triunghiului. Nu este clar. Nu este banal că aceasta este, de fapt, o normă. Acesta este mai ușor de văzut. Dar nu este clar pentru p mai mare de 1 că aceasta este o normă și, prin urmare, puțin lp și că suma a doi băieți din mic lp sunt în lp, astfel încât acesta este un spațiu vectorial real și apoi avem inegalitățile triunghiului, astfel încât că aceasta este o normă-- asta va fi în exerciții. Dar luați-o ca... credeți-mă pe cuvânt că acesta este într-adevăr un spațiu vectorial. Dacă iau două secvențe care sunt în lp mic, adică puterea lor p-a este însumabilă, atunci suma lor, intrare cu intrare, este, de asemenea, în lp mic și așa mai departe, și că această funcție definește aici o normă pe acest spațiu mic lp . Deci doar acceptă asta. Și așa că acum, nu ne interesează-- așa că am mers puțin-- ne-am restrâns spațiile de care suntem interesați puțin mai mult. Așa că am trecut de la spații vectoriale dimensionale infinite generale la spații normative care ne interesează, ceea ce ne interesează. Dar nu ne interesează exact orice spațiu vectorial normal. Obiectele centrale și analiza funcțională care ne interesează sunt analogii lui Rn. Acum, ce proprietate au în și Cn este că metrica lor - această metrică pe care o aveți pe aceste seturi este completă. Secvențele Cauchy converg întotdeauna. Și aceasta este următoarea noastră restrângere a spațiilor care ne interesează. Și acestea au un nume special, așa-numitele spații Banach după Stefan Banach. Deci spațiul normativ, deci un spațiu vectorial cu o normă, este un spațiu Banach dacă este complet în raport cu metrica indusă de normă. Deci, dacă avem un spațiu de normă, avem o metrică care este asociată acestuia prin definirea distanței dintre doi tipi prin ecuația respectivă de acolo. Și așa spunem că este un spațiu Banach dacă acea metrică este completă, adică secvențele Cauchy din acel spațiu în raport cu această metrică converg în spațiu. Acum, în analiza primului an , înveți că în loc de numere raționale, acestea nu sunt complete. Există șiruri Cauchy care nu converg către un număr rațional. Fiecare număr real îl puteți scrie ca limită ca un număr finit de zecimale. Deci rădăcina pătrată a lui 2 va fi un număr în care puteți forma o secvență Cauchy de numere raționale care converg către acesta. Dar nu este un număr rațional, așa că numerele raționale nu sunt complete. Dar R este complet. Și, în general, dăm un nume acelor spații liniare-- acele spații normative astfel încât această metrică să fie completă. Noi numim acele spații Banach. Deci, exemplele pe care le-ați văzut, cel puțin pentru norma euclidiană și ar trebui să le puteți demonstra pe cont propriu, presupunând inegalitatea triunghiulară pentru normele mici lp, acestea sunt complete în raport cu oricare dintre normele mici lp. În regulă, acum, hai să facem unul non-trivial. Să arătăm că spațiul funcțiilor continue mărginite pe un spațiu metric este complet. Deci, să facem din aceasta o teoremă. Dacă x este un spațiu geometric complet, atunci este un spațiu Banach. BSP, aceasta este abrevierea mea pentru spațiul Banach. În regulă, deci pentru un spațiu metric complet, spațiul funcțiilor continue mărginite pe x este un spațiu Banach. Am arătat deja că acea funcție de acolo definește o normă asupra ei. Așa că spun că este complet în raport cu acea normă. Secvențele Cauchy converg întotdeauna în acest spațiu. Așa că lasă-mă să scriu asta. Vrem să arătăm că fiecare șir Cauchy un din spațiul C funcții continue mărginite are o limită în spațiul funcțiilor continue mărginite. Bine, deci să luăm o secvență Cauchy. Și modul în care această dovadă va funcționa este modul în care, în esență, toate dovezile care arată că ceva funcționează în spațiul Banach, dacă luați o secvență Cauchy. Atunci vei putea găsi un candidat pentru limită. Și apoi treaba ta este să arăți două lucruri - că acel candidat se află în spațiul însuși și apoi că se întâmplă convergența. Și, uneori, cele două vin împreună sau pot fi făcute în același timp. Și vei vedea ce vreau să spun. Fie un o secvență Cauchy în C infinit, în spațiul funcțiilor continue mărginite. În primul rând, susțin că aceasta formează o secvență mărginită în acest spațiu. Acesta este un fapt din teoria spațiului metric, dar îl voi scrie din nou. Atunci există un număr natural N0 astfel încât pentru toți n mai mari sau egali cu N0, diferența dintre u N0 și u-- deci să spun pentru toți nm mai mari sau egali cu N0, un minus um în norma infinitului este mai mică decât 1. Deci ceea ce voi face mai întâi -- voi arăta mai întâi că această secvență de funcții este mărginită în acest spațiu. Fiecare dintre ele este, desigur, mărginit. Dar spun că ele formează o secvență mărginită în spațiu. Atunci hai să vedem, rescrie asta. Pentru toate n mai mari sau egale cu N0, un, norma, aceasta este mai mică sau egală cu un minus u N0 plus u N0. Și acesta este mai mic de 1 plus u N0. Deci, pentru toate n mai mari sau egale cu acest număr fix N0, un și l norma infinită sunt mărginite de 1 plus norma acestui tip fix. Atunci pentru tot n, un număr natural, norma un este mai mică sau egală cu -- dacă pun u1 -- acum, dacă n este mai mare sau egal cu N0, atunci acesta este mai mic sau egal cu acest tip. Deci este cu siguranță mai mic sau egal cu unele lucruri nenegative plus acest tip. Între timp, dacă n este mai mic decât N0, atunci norma lui este mai mică sau egală cu una dintre aceste norme care apar aici, care este, din nou, mai mică sau egală cu acest număr întreg pe care l-am notat aici. Și permiteți-mi să definesc că acesta este acest număr B. Deci am arătat pentru toate numerele naturale n, norma lui un este mărginită de B. Deci aceasta formează o secvență mărginită în spațiul funcțiilor continue mărginite. Trebuie să ții evidența unde este delimitat... unde spun că are loc acest delimitat. Fiecare dintre aceste funcții este mărginită, este o funcție mărginită. Ceea ce spun aici este că ele formează o secvență mărginită în acest spațiu. OK, așa că permiteți-mi să notez asta. Aceasta este delimitată de aceasta. Bine, acum, ce știm? Și lasă-mă... de fapt, ar fi trebuit să scriu asta aici, dar lasă-mă să scriu din nou. Ce înseamnă ca această secvență să fie Cauchy în acest spațiu? Aceasta înseamnă că pentru toți epsiloni pozitivi, există un număr natural n astfel încât pentru toți nm mai mari sau egali cu N un minus um din această normă uniformă este mai mic decât epsilon. Acum, deoarece pentru tot x am că un de x minus um de x în valoare absolută este mai mic sau egal cu sup peste toate x-urile din capitalul X, care este doar norma uniformă, norma l infinită pe acest spațiu și Presupun că este Cauchy, deci satisface această proprietate, obțin că pentru tot x din X, succesiunea acum de numere complexe un de x-- deci aceasta este acum doar o secvență de numere complexe. Este valoarea. iau x. Îl înfig în u sub n. Acum am o succesiune de numere complexe. Aceasta este secvența Cauchy. Toate acestea pot părea puțin ciudate la început. Dar după ce termin această dovadă, fă-o din nou acum pentru puțin l infinit. Și vei începe să înțelegi și să vezi cum decurg argumentele. În regulă, deci pentru fiecare x în X majusculă, un din x-- deci acum este o succesiune de numere complexe. Și da, am crezut că nu am nevoie de el pentru a fi complet. Nu știu de ce l-am notat. Orice spațiu metric, dacă x este un spațiu metric, atunci, OK? În regulă, deci pentru fiecare x din spațiul metric, un de x, care acum formează o secvență de numere complexe, aceasta este o secvență Cauchy. Dar spațiul numerelor complexe, acesta este un spațiu metric complet. Și, prin urmare, pentru fiecare x, această secvență are o limită. Deci, prin completitudinea lui C pentru tot x în X capital, această secvență, un de x, are o limită în C. Și acum, definesc care va fi funcția mea candidată, u din x, să fie această limită punctuală, limită ca n merge la infinit de u sub n din x. Deci, de fapt, în câteva cuvinte, dacă vă amintiți ce înseamnă aceste cuvinte , ceea ce am arătat este că fiecare secvență Cauchy din spațiul funcțiilor continue mărginite are o limită punctual. OK, atunci ceea ce vom arăta acum este că acest tip este, de fapt, în spațiul funcțiilor continue mărginite și că avem convergența acestei secvențe de funcții la u în spațiul C infinit x, în spațiul lui funcții continue mărginite. L- am definit pe tipul ăsta doar ca limită punctual-- deci ca limită punctuală a acestor tipi, bine? Atunci pentru tot x din capitalul X, valoarea absolută a lui u a lui x este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit, deci valoarea absolută a limitei. Dar, deoarece aceasta converge, aceasta este egală cu limita valorilor absolute. Și fiecare dintre acești tipi sunt mărginiți de B. Ei sunt mărginiți de norma infinitului, care este mărginită de B. Deci, aceasta este mai mică sau egală cu B. Și, prin urmare, aceasta este o funcție mărginită cel puțin pe acest spațiu metric . Deci, acum, vom realiza două lucruri deodată. Vom arăta că este continuă și că avem convergență în acest spațiu, arătând că este -- arătând această l infinitate norma diferenței merge la 0 din u minus un. OK, deci mai întâi, vom arăta că... deci gândește-te la asta chiar acum ca la o funcție, nu neapărat la o normă. OK, poate sunt prea atent. Voi spune doar că acum vom arăta că această cantitate aici merge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Și cum facem asta? Ei bine, din moment ce doar o să facem acest lucru în modul vechi de a lăsa epsilonul să fie pozitiv și să arătăm că putem alege un n astfel încât acesta să fie mai mic sau egal cu epsilon, știu în definiția pe care ar trebui să o aveți mai putin de epsilon. Dar mai puțin sau egal cu este suficient de bun. OK, deci epsilonul să fie pozitiv. Deoarece secvența este Cauchy în acest spațiu, aceasta implică că există un număr natural N, astfel încât pentru toți nm mai mari sau egali cu N, am că un minus um l infinitul este mai mic decât - în regulă, să- l facem epsilon peste 2. Atunci, pentru toți nm mai mari sau egali cu N, Aceasta înseamnă un din x-- deci să fie x în X capitală. Acum dorim să arătăm că pentru toate nm mai mari sau egale cu capitalul N, de fapt, un minus u în această normă este mai mic sau egal cu epsilon peste 2. Pentru toți nm mai mari sau egali cu N, am acel u, care este mai mic sau egal cu un minus um-- și, prin urmare, dacă iau limita pe măsură ce m merge la infinit, amintiți-vă, u din x este limita punctual. Am fixat x în X majusculă. Observ că pentru toate n mai mari sau egale cu m, un de x minus u de x este mai mic sau egal cu epsilon peste 2. Deci, ce am arătat? Am arătat pentru toate n mai mari sau egale cu capitalul N-- și acest capital N a venit din această condiție, fără nimic care să aibă de-a face cu x. A venit din această condiție: am un de x minus u de x este mai mic sau egal cu epsilon peste 2. Și, prin urmare, sup peste toate x este mai mic sau egal cu epsilon peste 2, care este mai mic decât epsilon. Astfel, un converge către u-- sau ar trebui să spun că n merge la infinit. Acum, care este ultimul pas? Am acest candidat, u. un converge către u cu privire la acest sens. Trebuie să concluzionez, de asemenea, că u este un element al spațiului de funcții continue mărginite. Știu că este mărginit. De ce este continuu? Ei bine, din moment ce un minus u merge la 0, acest lucru implică că un-- prin ceea ce am remarcat puțin mai devreme, înseamnă un converge către u uniform pe x. Și întrucât u este limita uniformă a unei secvențe de funcții continue, aceasta implică faptul că u este continuă. Așa că permiteți-mi să reiterez ceea ce am făcut. În secvență, am arătat că ux este mărginit. Am arătat apoi că sup peste tot x în X-- așa că ar fi trebuit să pun asta în galben. V-am arătat convergență cu privire la această normă. Și am arătat că ești, de fapt, în spațiu. Prin urmare, u este în-- adică spațiul este complet și, prin urmare, un spațiu Banach. Deci prima dată când vezi acea dovadă... și din nou, cam așa merg toate dovezile că ceva este un spațiu Banach. Când vezi asta pentru prima dată, e puțin ciudat. Și acest lucru va fi în exercițiu, astfel încât să puteți porni în acest sens, uitându-vă la poate cel mai simplu. Ei bine, mai am loc aici. Atât de puțin lp, acesta este un spațiu Banach pentru toate p între 1 și infinit. Un alt spațiu, care... OK, poate încercați-vă mâna la acesta în loc de micul infinit pentru că măcar ceva este puțin diferit. Micul c0, care este mulțimea de secvențe în micul l infinit - deci fiecare element al lui c0 este o secvență, o secvență mărginită astfel încât limita j merge la infinit de aj este egal cu 0. Acesta este și un spațiu Banach. Așa că vă încurajez să luați acest exemplu de secvențe mărginite care converg către 0. În primul rând, este destul de clar că este un spațiu vectorial. Este de fapt un subspațiu-- și voi ajunge la subspațiile spațiilor Banach următoarea prelegere. Deci este un spațiu Banach cu norma l infinit. Deci, din nou, cum ați demonstra că acesta este un spațiu Banach? Ai lua un Cauchy. Deci trebuie să începi să te gândești la... din nou, aceste spații Banach, aceste spații la care te uiți pot fi formate din lucruri complicate. Micuță, acesta este un spațiu de secvențe. Deci fiecare punct din spațiu este o succesiune. Este o succesiune de numere. Și aici, deci secvența ta de puncte este o secvență de secvențe, la fel ca în exemplul pe care l-am făcut aici, secvența ta de puncte din spațiul tău de funcții continue mărginite este o secvență de funcții. Aici, avem o secvență de secvențe, care din nou o secvență este doar o funcție, așa că nu ar trebui să vă sperii. Dar încercați-vă să arătați că acesta este un spațiu bonus doar din ceea ce am făcut până acum, urmând acest tip de proiect. Și din nou, va fi cam la fel. Mai întâi arăți că o secvență Cauchy de aici este, de fapt, mărginită. Apoi arată că punctual fiecare dintre -- și aici, punctual ar trebui să însemne fiecare dintre intrările din secvența ta de secvențe -- formează o secvență Cauchy. Atunci asta vă permite să obțineți o secvență candidată ca limită a secvenței dvs. de secvențe, bine? Și apoi trebuie să arătați, din nou prin acest argument, că aveți convergență față de această normă, că acea secvență este legată de aceasta și, de fapt, acea secvență satisface această condiție pentru a fi în acest spațiu. Bine, deci cred că mă voi opri aici.