[SCRÂȘIT]
[FOSȘIT] [DĂ CLIC]
CASEY RODRIGUEZ: OK.
Așa că trebuie să recunosc că
este extrem de incomod, să dai
prelegeri într-o cameră goală.
Așa că trebuie să-mi imaginez că e
cineva
la celălalt capăt care
mă ascultă la un moment dat.
Poate că asta
trebuie să treacă vedetele YouTube
la un moment dat în cariera lor.
Deci, care este scopul
acestui curs?
Deci asta este pentru 18
100A, Analiză Reală.
Deci scopul acestui
curs este dublu.
Într-adevăr, cred că primul
scop principal al acestui curs
este de a câștiga experiență
cu dovezi.
Deci asta înseamnă să
poți citi o dovadă, să
poți scrie o dovadă.
Iar a doua afirmație,
sau al doilea scop,
care se presupune a fi o modalitate
de a obține primul scop,
este de a demonstra afirmații despre
numere reale, funcții
și limite.
BINE.
Deci, a doua parte, aceasta
este partea de analiză, bine?
Deci, pentru primele
prelegeri,
vom face ceea ce poate pentru
unii va fi un fel de revizuire.
Și pentru cei mai mulți dintre voi,
o mulțime din acest material
din primele câteva
prelegeri vor fi revizuite.
Dar este o modalitate plăcută de a
pătrunde ușor în material.
Și lucrurile se vor
relua cu siguranță după câteva prelegeri.
Deci primul set
de obiecte pe care îl vom
defini și vom încerca să dovedim
unele afirmații despre care sunt mulțimi.
Deci definiție-- și pentru că
folosesc o mulțime de stenografie,
voi scrie mai ales
Dfn de acum înainte în loc
de întregul cuvânt, definiție.
Deci un set este o
colecție de obiecte
numite elemente sau membri, OK?
Acum, acest curs
ar trebui să fie,
probabil, primul
curs cu adevărat riguros de matematică
cu care mulți dintre voi vă veți ocupa.
Deci, în esență, tot ceea ce
vorbim
va fi definit riguros și
fără ambiguitate.
Dar trebuie să
începem de undeva.
Și poate
credeți că acest cuvânt,
„colecție”, este
puțin ambiguu.
Și poate că ar trebui.
Dar să construim
de la bază teoria seturilor
ne-ar duce cu mult dincolo de
sfera acestei clase și prea departe
de lucrurile pe
care vrem să le facem,
sau cel puțin ceea ce
vreau să fac.
OK, deci un set este doar o
colecție de obiecte
numite elemente sau membri.
Există cel mai simplu
set de definit:
mulțimea goală este
mulțimea fără elemente.
Și îl notăm prin acest simbol
aici -- un cerc cu o liniuță
prin el.
Bine, deci o nouă matematică
vine de obicei cu noi notații,
noi simboluri pe care le folosești.
Așa că permiteți-mi să vă prezint câteva
notații scurte pe care le vom
folosi pe parcursul cursului.
Adică, sincer,
acesta este un pic
din distracția de a face matematică superioară.
Obții toate aceste simboluri amuzante.
Și un matematician foarte desăvârșit

de la Universitatea
din Chicago, a spus o dată
, ești într-adevăr
interesat doar de matematică
în care aceasta are
simbolurile pe care îți place
să le scrii iar și iar.
Deci, o notație --
a și acest simbol
care acest simbol,
care arată ca un e-S
înseamnă a este un element
al lui S. A cu o liniuță
prin acest mic e
înseamnă totul aici, dar.
Deci a nu este un element al lui S.
Acest
A inversat înseamnă pentru toți.
Este o stenografie pentru toți.
E înapoi înseamnă că există.
Și încă câteva...
dacă vezi o săgeată ca
aceasta, înseamnă că înseamnă.
Așa că am notat un lucru.
Aceasta implică următoarea afirmație.
Voi pune o săgeată între ei.
Și o săgeată care merge în ambele
sensuri înseamnă dacă și numai
dacă, adică dacă am o
afirmație P dacă și numai dacă Q,
asta înseamnă că afirmația P implică
Q și afirmația Q implică
P, bine?
Și dacă aveți nevoie de o
reîmprospătare rapidă a logicii de bază, o
puteți găsi în
anexa manualului.
OK, deci aceasta este
definiția de bază pentru set, set gol.
Deci setați A-- o altă
definiție a setului
A este submulțimea lui B, pe care o
scriem A, acest simbol mic
care arată ca un C, B
Dacă fiecare element din A
este un element din B.
A mici cu majuscul A
înseamnă că a mică este  în B majusculă.
Deci două mulțimi sunt egale -
scriem A este egal cu B -
dacă A este o submulțime a lui B
și B este o submulțime a lui A.
Și A este o submulțime proprie
a lui B dacă A este o submulțime a lui B
și A  nu este egal cu
B. Și de obicei
scriem asta cu A și
cu o liniuță care trece printr-
o linie de sub C
pentru a semnifica că nu este egal.
Așa că gândiți-vă la asta ca nu,
deci mai puțin sau egal cu,
dar nu egal cu este o
modalitate de a gândi la asta.
OK, așa că permiteți-mi să spun
ceva, deoarece acum am
1, 2, 3 definiții.
Deci definițiile sunt un fapt de
viață când vine vorba de matematică.
La începutul
oricărui subiect,
vor exista o mulțime de definiții
pentru că trebuie să avem obiecte despre care
vrem să vorbim.
Și trebuie să avem aceste
obiecte definite fără ambiguitate.
Deci poate părea
că vor
exista o mulțime de definiții
acum, dar acest lucru va înceta.
Și vom începe să demonstrăm
câteva teoreme, care
sunt fapte, despre aceste obiecte.
Acestea sunt lucrurile
pe care le urmărim cu adevărat.
Nu vrem
doar să inventăm definiții.
Definițiile sunt menite
să fie o modalitate riguroasă
de a defini un obiect pe care suntem
interesați să-l studiem.
Suntem interesați să demonstrăm
teoreme, fapte despre ele.
Deci, din nou, multe dintre acestea
sunt probabil doar o recenzie.
Când descriem seturi,
vom folosi aceste bretele
și poate vom enumera
elementele aici.
Sau îl vom descrie
ca x într-o mulțime A,
satisfăcând o proprietate P a lui x.
Sau nu vom scrie
această parte x și A.
Vom scrie doar toate
obiectele x care satisfac
x, ca fiind un element al
oricărui univers în care ne aflăm,
care satisfac
proprietatea P a lui x, OK?
Deci, din nou, ar trebui să citiți acest lucru
ca fiind toată proprietatea satisfăcătoare
P a lui x.
Deci, exemplele de bază -
și aceasta este -
ar trebui să vă așteptați la asta
după ce vedeți orice
definiție non-trivială.
Dacă ai fi aici, ți-aș
ruga să mă suni,
așa că va trebui să mă polițiști.
Dar după fiecare
definiție semiinteresantă, ar
trebui să vezi exemple, bine?
Așa înveți de fapt
despre aceste lucruri,
sau cel puțin digerezi
care sunt aceste lucruri.
Deci avem
numerele naturale,
cu care toată lumea este familiarizată
de când au început să numere --
1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Avem numerele întregi, care
este 0, 1, minus 1, 2, minus 2.
Deci toate
numerele naturale, împreună
cu inversele lor aditive,
împreună cu elementul 0,
o identitate aditivă,
avem numerele raționale.
Deci, acesta este scris ca m peste n,
astfel încât m și n sunt numere întregi
și n nu este egal cu 0.
Și avem R, numerele reale,
pe care eu, de acum,
nu le pot scrie de fapt
ce sunt ele în termeni
de  notație de construcție a seturilor.
De fapt, acesta va fi
primul nostru obiectiv al cursului,
este de a oferi o descriere
sau o definiție adecvată a ceea ce
este de fapt R.
Dar te poți gândi la asta așa cum ai
făcut-o în calcul,
ca Q împreună cu --
deci raționali și iraționali,
cum ar fi pi și 2 și aceste lucruri.
Deci este bine să te
gândești la asta pentru moment.
Deci, desigur, nu a
trebuit să le folosesc.
Poate că mă interesează
numerele impare.
Acesta este un set de numere
de forma 2m minus 1,
unde m este un număr natural.
Deci, acesta este doar 1,
3, 5 și așa mai departe, OK?
Și deci rețineți că
avem incluziuni.
Numerele naturale sunt conținute
în numerele întregi, care
sunt conținute în
numerele raționale, care sunt conținute
în numerele reale, OK?
Și dacă te uiți la istoria de
ce aceste lucruri au fost
gândite în
primul rând, adică au
fost gândite pentru a
rezolva ecuații polinomiale
pe care nu le puteai rezolva în
sistemul numeric înainte.
Numerele întregi au fost create
pentru că nu am putut
rezolva ecuația
x plus 1 este egal cu
0 în numerele naturale.  S-au
gândit raționale
pentru că nu am putut
rezolva ecuația 2x plus
1 este egal cu 0 în numerele întregi.
Și numerele reale au fost
gândite pentru că nu pot
rezolva ecuația x
pătrat minus 2 este egal cu 0
în numerele raționale.
Acum, nu pot rezolva ecuația
x pătrat plus 1 este egal cu 0
în numerele reale,
ceea ce a condus la crearea
numerelor complexe.
Dar nu ne vom ocupa de
numere complexe din această clasă.
Deși, sperăm, dacă
continui să studiezi analiza,
treci la
analiză complexă, care
este într-adevăr un
subiect frumos de studiu până astăzi.
Deci, așa cum am spus,
permiteți-mi să scriu aici,
primul nostru obiectiv, adevăratul obiectiv
al clasei, și acesta
este ceva de reținut.
Nu o vom
face chiar acum.
Primul nostru obiectiv real este să
descriem ce este R, bine?
Adică, dacă vom
demonstra afirmații despre
numerele reale, funcțiile
numerelor reale și limitele,
oricare ar fi acele limite pe care le-
ai învățat în calcul,
atunci trebuie să fim
capabili să descriem cu adevărat
ceea ce suntem.  începând
cu, numerele reale.
OK, deci să revenim la
seturi, la recenzia noastră despre seturi.
Deci au fost câteva exemple.
Mai avem câteva definiții.
Unirea a două mulțimi, A și
B, este mulțimea pe care o scriem -
deci așa o
notăm, A U B. Aceasta
este mulțimea tuturor elementelor x.
x este în A sau x este în B.
Intersecția dintre A și B--
deci aceasta a fost definirea uniunii.
Aceasta a fost definirea
intersecției--
este mulțimea A cap B. Și
acesta este o mulțime de toate
x, astfel încât x este
în A și x este în B.
Deci uniunea este să ia
toate lucrurile de la A,
să ia toate lucrurile din
B și puneți-le împreună
într-un coș mare.
Intersecția este
doar să luăm lucrurile pe
care A și B le au în comun.
Diferența de mulțime a lui
A față de B
este mulțimea A
backslash B. Aceasta este
mulțimea tuturor
elementelor din A, astfel
încât x nu este în B.
Complementul lui A este mulțimea A--
așa că eu sunt
desemnând mulţimea.
Următoarea parte este modul în care
definesc setul.
Acesta este un set de toate elementele din
universul nostru care nu se află în A.
Și când spun univers, nu mă
refer neapărat la acest univers.
Adică, dacă ne
uităm la submulțimi ale lui R,
complementul este în general
în raport cu R.
Sau dacă toate mulțimile noastre
sunt submulțimi ale lui Q,
atunci universul nostru ar
fi Q, raționalele.
Și luăm
complementul acolo.
Două mulțimi sunt disjunse dacă
intersecția lor este goală, bine?
Așa că mi-a luat destul de
mult timp să-mi dau seama că
acest compliment are un E la
mijloc, spre deosebire de un I,
așa cum l-ați
face unui prieten.  A
trebuit să fac o mulțime de
verificare ortografică în teza mea
când consilierul meu a
subliniat asta.
Deci, acesta este doar ceva
de reținut.
Acest complement are un
E în mijloc.
OK, așa că lasă-mă să
fac o imagine rapidă.
Deci acest blob de
aici este A. Acesta
este un set B. Acesta este un
set C. De fapt, să
facem asta un pic mai mult...
OK, să păstrăm C acolo.
Apoi, ceea ce am aici, este
A intersectează B. Acest bit
de aici, cu
liniile mergând în acest sens,
dar fără să includă asta, acesta este
A take away B, A backslash B.
Și OK, deci nu a
fost menit să fie de-a
lungul  aceeași direcție ca
aceasta, așa că să mergem pe verticală.
Și tot ce are o
linie verticală este A intersectează B, OK?
Deci O bară oblică inversă are
liniile care merg în această direcție.
O intersectie are liniile care
merg in aceasta directie.
O uniune B are
liniile care merg pe verticală.
Și C este mult aici fără a
atinge niciunul dintre A și B.
Deci A și C sunt disjunși,
iar B și C sunt disjunși.
Bine, nu au nimic în comun.
OK, deci acestea au fost o
mulțime de definiții.
Nu am dovedit
încă o singură afirmație,
așa că este timpul să o facem.
Aceasta este probabil una dintre cele
mai de bază teoreme pe care le
puteți demonstra la începutul
unei clase de Analiză Reală
sau a oricărei clase despre dovezi.
Acest lucru este analog cu când
scrieți primul program Hello World
într-o clasă de programare.
Așadar, permiteți-mi să enunț teorema,
care este Legile lui DeMorgan.
Iar afirmația
este următoarea.
Deci, dacă A, B, C sunt mulțimi, atunci
am câteva lucruri pe care le pot spune.
Unirea lui B și C,
luând complementul lor,
aceasta este intersecția
complementelor.
Deci complementul
unirii este intersecția
complimentelor.
Dacă iau intersecția lor
și iau complementul,
aceasta este unirea
complementelor.
Deci complementul
intersecției
este uniunea complementelor.
Acum, acestea sunt complemente,
ceea ce înseamnă că, într-un anumit sens,
iau o diferență stabilită în ceea ce
privește întregul univers.
Dar pot face aceste lucruri
relativ la o mulțime A.
Deci, A ia B uniunea
C, aceasta este la fel
ca A ia B intersectează A
ia C. Într-adevăr, din nou,
ar trebui să vă gândiți la asta
ca la un caz special al unuia  .
Sau cel puțin dacă ar fi să
scrii dovada--
nu o voi face
pentru că totul va
fi cuprins
în primele două--
atunci ai vedea că este într-adevăr
doar o dovadă a acestui tip.
A lua B intersectează C este
egal cu A ia B uniunea A
ia C, OK?
Deci, din nou, pentru o
reîmprospătare rapidă despre logică,
m-aș uita la
anexa manualului.
În general, permiteți-mi să
fac câteva observații
înainte de a trece la
dovada despre
cum va arăta de obicei.
Deci acestea sunt câteva remarci.
De obicei, o teoremă
este o afirmație
de tipul P implică Q. Permiteți-
mi să scriu asta în engleză.
Dacă o afirmație
P este valabilă, atunci Q--
pentru noi, este dacă
am oricare trei mulțimi,
atunci am aceste egalități
între aceste operații
de mulțimi.
Deci, structura generală pe care o
veți vedea a clasei
este că am obiecte pe care le
definesc fără ambiguitate.
Vreau să demonstrez teoreme
acum, adică afirmații adevărate
despre aceste obiecte.
Și carnea adevărată
este partea de probă.
Deci, ce este în acest
tip misterios, dovada?
Este destul de simplu.
Începi cu-- presupui P,
adică ceea ce ți s-a dat,
ipotezele,
ipoteza, P și--
voi pune puncte aici--
prin logică și, cel mai
sigur, de cele mai multe
ori niște calcule,
tu  ajunge la Q este adevărat.
Și majoritatea dovezilor se termină
cu această cutie mică aici, bine?
Deci majoritatea dovezilor au
această structură.
îmi iau ipotezele.
Și aceste ipoteze
înseamnă ceva
în ceea ce privește
definițiile pe care le-am dat.
Și acum, trebuie să folosesc aceste
definiții clare,
împreună cu logica și
poate câteva calcule,
pentru a concluziona că
afirmația Q este adevărată.
Aceasta este esența unei dovezi.
Asta este tot ce este.
Acum, asta nu înseamnă că
este un lucru simplu
să înveți cum să faci.
Acesta este scopul acestui curs.
Dar distilat în jos, asta
este o dovadă, bine?
Și Q-- așa că am spus că P înseamnă de obicei
ceva în ceea ce privește
definițiile pe care le avem.
Dar, de asemenea, Q va însemna de obicei
ceva în definițiile pe care le-am
dat.
Și așadar, treaba noastră este să
verificăm Q. Deci, să
mergem cu demonstrarea acestei teoreme.
Și, de fapt,
voi dovedi doar proprietatea 1.
Proprietatea 2, 3 și 4,
probabil că voi pune temele.
Deci fie B și C mulțimi.
Deci, aceasta este
singura ipoteză pe care o primesc.
Încerc să demonstrez
că B uniunea C
complementul este egal cu
intersecția
complementelor.
Deci ce înseamnă asta?
Deci vrem să dovedim.
Deci, acesta este... este destul de
util, mai ales
când
începi prima dată să faci dovezi, să
scrii ceea ce
încerci de fapt să demonstrezi.
Deci, deși am
această afirmație aici,
este o egalitate
între două seturi.
Egalitatea între două seturi înseamnă
ceva în mod specific, nu?
Avem asta în definiția noastră -
unde este -
acolo că două mulțimi
sunt egale dacă una este o submulțime
a celeilalte și invers.
Deci asta trebuie să dovedim.
Trebuie să demonstrăm că
partea stângă, uniunea B complementul C,
este o submulțime a complementului B
intersectează complementul C și
invers.
Deci vrem să demonstrăm că
este un submult al lui B și...
OK?
Deci asta
înseamnă egalitatea.
Asta trebuie să dovedim.
Trebuie să dovedim aceste
două afirmații acum, bine?
Și asta este
cât de departe putem ajunge.
Deci haideți să demonstrăm asta.
Acum, vom demonstra acest lucru
folosind, din nou, logica și ceea ce
sunt de fapt aceste lucruri.
Deci, să demonstrăm această
primă afirmație aici.
Deci trebuie să arăt că
fiecare element din acest set
este un element al acestui set.
Așa că chiar voi scrie
asta ca WTS.
Asta înseamnă Vrei să Arăt.
Acesta este primul
lucru pe care îl vom arăta.  Pe măsură ce
continuăm,
nu voi scrie
atât de mult pe cât fac acum.
Dar aceasta este prima teoremă
și prima dovadă pe care o vedeți,
așa că ar trebui să notez
destul de mult.
Deci primul lucru pe care
vrem să-l arătăm
este că avem această includere, bine?
Asta înseamnă că fiecare element
aici este un element aici.  Fie
deci x în B
uniunea C complement.
Și acum, vom
urmări ce înseamnă asta.
Și în cele din urmă vom
ajunge la x ca în aceasta.
Deci, x nu este în
uniunea B C. Aceasta este doar
definiția
complementului.
Acum, x nu este în uniunea B C înseamnă că
x nu este în B și x nu este în C
pentru că uniunea este--
ceva este în
uniune dacă este în B sau C.
Deci ceva nu este în uniune
dacă nu este în B și  nu în C.
Acum, acest lucru implică, pur și simplu din
nou prin definiția
a ceea ce înseamnă a
fi în complement,
x este în complement B și
x este în complement C.
Dar aceasta, din nou, este
pur și simplu definiția
lui x fiind în complementul B
intersectează complementul C, OK?
Așa că vedeți, am început
cu un element din acest tip
și am arătat că este și un
element din partea dreaptă.
Deci, uniunea B complementul C
este conținut în complementul B
intersectează complementul C.
Acum, vrem să facem această
altă includere aici.
Acum, aceasta este una dintre acele
situații rare în care
ajungi, în esență, să
inversezi întregul argument
și să obții ceea ce vrei.
Dar haideți să o parcurgem
într-un mod liniar.  Să
luăm ceva de
aici și să arătăm că este aici.
Deci, fie x în intersecția
complementelor.
Atunci asta înseamnă că x
este în complement B
și x este în complement C.
Asta înseamnă că x nu este în B--
deci aceasta este această afirmație.
Aceasta este definiția de a
fi în complement -
și x nu este în
C. Aceasta este, din nou,
definiția de a fi
în complement.
Acum, așa cum am folosit
aici în acest pas,
aceasta este echivalentă cu--
deci într-adevăr, ar trebui--
în această declarație,
ar fi trebuit să scriu că
această declarație este echivalentă
cu această declarație,
dar o vom elimina.
Deci x nu este în B
și x nu este în C.
Aceasta înseamnă că x nu este
în uniunea lor, ceea ce
implică că x este în
complementul uniunii, OK?
Așadar, am demonstrat că
este o submulțime a lui B.
Și din moment ce am
arătat că ambele mulțimi sunt
o submulțime una a
celeilalte, asta înseamnă că,
prin definiția că două mulțimi
sunt egale, ele sunt egale.
Din nou, această cutie nu
înseamnă nimic.
Înseamnă doar că acesta este
sfârșitul dovezii.
Bine, hai să ne mutăm aici.
Acest lucru este groaznic.
Și nu toată lumea folosește acea
cutie mică pentru a termina o dovadă.
Unii nu pun nimic.
Când eram la
liceu, eram
TA pentru acest tip
pe nume Paul Sally, care
era un profesor fantastic
și iubea cu adevărat matematica,
care avea să termine...
Povestea uimitoare despre acest
tip este că, când eram TA,
el era în el.  70, cred.
Dar a avut și diabet.
Așa că își pierduse ambele
picioare sub genunchi.
De asemenea, era orb din punct de vedere legal.
Și avea un petic peste un ochi.
Așa că el însuși s-
a referit adesea
ca fiind un matematician pirat.
Dar își va încheia
dovezile cu...
cel puțin în
manualul său... nu mi-a
cerut să fac asta pe
tablă, din fericire.  Își
încheia dovezile
cu o poză cu el însuși
cu această țeavă din stiuleți
pe care o avea, foarte
în mod pirați.
Oricum, OK, trecând de la
lucrurile care se termină cu dovezile,
să trecem la un
subiect următor, inducția.
Deci inducția este o modalitate de a demonstra
teoreme despre numerele naturale,
OK?
Teorema în sine este
mai degrabă un instrument
decât un
fapt interesant în sine, bine?
Așa că permiteți-mi să spun teorema.
Și apoi vom trece peste
câteva exemple
despre cum să folosiți inducția.
Așa că permiteți-mi să-mi amintesc de...
Cred că tocmai l-am șters.
N este numerele naturale.
Și are o
ordonare, însemnând--
așa că vom defini cu precizie
ce înseamnă ordonarea.
Dar doar în mintea ta, asta
înseamnă lucrul obișnuit:
1 este mai mic decât 2 este mai mic
decât 3 este mai mic decât 4.
Deci o proprietate a
numerelor naturale,
care va lua ca axiomă,
este proprietatea de bine ordonată.
Deci, o axiomă nu este
ceva ce dovediți.
Vă asumați acest lucru
despre obiectele
pe care le-ați definit sau pe care le
studiați până în acest moment.
Și astfel afirmația
este că dacă iau
o submulțime de
numere naturale, care este nevid,
atunci S are cel mai mic element
sau cel mai mic element.
Acum, ce înseamnă asta?
Lasă-mă să scriu această
ultimă declarație.
adică
există un x în S--
"st" pe care îl voi scrie adesea,
adică astfel încât sau așa încât--
astfel încât x este mai mic sau
egal cu y pentru tot y în S, OK?
Deci fiecare submulțime nevidă
a numerelor naturale
are cel mai mic element, OK?
Vom lua
asta ca pe o axiomă,
doar ca pe o proprietate a
numerelor naturale, pe care o
vom presupune.
Acum, folosind această axiomă, vom
demonstra --
nu este foarte des
auzit că este numit
ca principiu al
inducției matematice,
dar aceasta o va afirma ca o
teoremă în loc de un principiu,
oricare ar fi un principiu
.
Deci inducție, deci asta se
datorează lui Pascal.
Sau cel puțin în prima sa
formulare riguroasă
este să fie Pn o afirmație
în funcție de numărul natural n.
OK, deci poate
avem o egalitate
între două mărimi care
implică un număr natural n,
OK?
Aceasta ar putea fi
afirmația noastră P din n.
Acum, vom presupune...
deci care sunt ipotezele noastre
despre această afirmație?  Care
este dacă noi?  Să
presupunem că această afirmație
satisface două proprietăți.
Această primă proprietate este de obicei
denumită un caz de bază.
Adică P de 1 este adevărat.
Și a doua proprietate se
numește pas inductiv.
Deci această afirmație satisface
următoarea proprietate
că, dacă presupuneți că
P din m este adevărat,
atunci puteți demonstra că
P din m plus 1 este adevărat.
Deci am o declarație
care satisface
ambele proprietăți, OK?
În special, deoarece
presupun că P de 1 este adevărat,
prin a doua proprietate,
P de 2 este adevărat.
Și apoi din nou prin a doua
proprietate, P de 3 este adevărată.
Și apoi P de 4
și apoi P de 5.
Și deci, dacă ați urmat
ultima linie de raționament,
aceasta înseamnă că ar trebui să puteți
ghici
care
este concluzia acestei teoreme.
Atunci P n este adevărat pentru
toate numerele naturale, OK?  În
regulă, deci vom
folosi proprietatea de bine ordonată
a numerelor naturale
pentru a demonstra această teoremă
despre inducție.
Bine, deci avem presupunerile noastre.
Nu am de gând să--
deși, am spus
acolo, să fie B, C
seturi, nu voi
rescrie ipotezele pe care le
avem despre afirmația noastră
P. Vom
începe doar să încercăm să demonstrăm P din  n
este adevărat pentru toate n.
Așa că permiteți-mi să scriu concluzia noastră
ușor diferit.
Fie S mulțimea tuturor
numerelor naturale astfel încât P din n
nu este adevărat.
Deci ceea ce vreau să arăt este
că P din n este adevărat pentru tot n.
Deci echivalează
cu a spune că vrem
să arătăm că S este gol, OK?
Mulțimea numerelor naturale în
care P din n nu este adevărat,
aceasta este goală.
Acest lucru este echivalent cu a spune
P din n este adevărat pentru tot n.
Și felul în care vom
face acest lucru
este un alt element de bază al
dovezilor matematice
este încercarea de a demonstra acest lucru
prin contradicție, OK?
Deci ce înseamnă asta?
Permiteți-mi să fac câteva comentarii
despre ce înseamnă asta,
dovadă printr-o contradicție.
OK, deci într-o dovadă
prin contradicție...
deci asta este... ceea ce sunt pe
cale să notez
nu face parte din dovadă.
Acesta este un comentariu care nu
trebuie inclus în dovadă.
Ce înseamnă
să spunem că vom
demonstra că S este egal cu
mulțimea goală prin contradicție?
Vom presupune că
afirmația pe care vrem să o dovedim
este falsă.
Sau nu este fals, dar
vrem să presupunem
că negația
afirmației pe care vrem să o dovedim
este adevărată și apoi ajungem
la o afirmație falsă, OK?
Deci vrem să presupunem...
asta vom face.
Vom
presupune negația
afirmației pe care
vrem să o dovedim - și anume,
S este nevid, OK?
Și din asta, vrem să
obținem o afirmație falsă, OK?
Și deci, dacă trebuie să facem-- dacă am
reușit să facem asta, atunci--
permiteți-mi să spun, din nou,
puteți verifica în anexă
sau puteți să mă credeți
că regulile logicii
spun că presupunerea noastră inițială
, că S nu era
gol, este fals
pentru început, OK?
Deci reguli de logică, adică
nu pot pleca de la o
presupunere adevărată și nu pot deriva, într-
un mod logic consistent,
o afirmație falsă, OK?
Adică, dacă credem că
regulile logicii pe care le folosim
sunt consecvente, despre care este
puțin păros să vorbim.
Dar pentru scopurile noastre
ale clasei noastre,
poți să mă crezi că
regulile de logică pe care le folosim --
sau cel puțin să acceptăm
că regulile
de logică pe care le vom folosi
sunt consistente și solide.
OK, deci revenim
la dovada la îndemână.
Avem acest set
de numere naturale
în care afirmația nu este adevărată.
Vrem să arătăm că este gol.  O vom
face prin
contradicție, adică vom
presupune
negația afirmației pe care
vrem să o dovedim -
și anume, S este nevid.
Și vom
obține o afirmație falsă
din această presupunere, bine?
Și după regulile logicii -
asta înseamnă că
presupunerea noastră inițială -
că S este nevid -
este, de fapt, falsă, OK?
Bine, deci spre
o contradicție, să
presupunem că S este nevid, OK?
Acum, vom folosi
proprietatea de bine ordonată
a numerelor naturale.
Prin proprietatea de bine ordonată
a numerelor naturale,
S are cel mai mic element, x, OK?
Acum, ce știm despre x?
Deci, în primul rând, x nu poate fi 1, bine?
S este un set în care această
proprietate nu este valabilă.
x nu poate fi 1 deoarece...
permiteți-mi să rescriu din nou acest fapt
că S are cel mai mic element.
Permiteți-mi să reiterez că S are cel
mai mic element din set, bine?
Acum, x nu poate fi 1 deoarece
presupunem cazul de bază,
adică P de 1 este adevărat.
Deci, deoarece P de 1 este adevărat,
asta înseamnă că 1 nu este
un S, ceea ce înseamnă că x nu este 1.
În special, x trebuie
să fie mai mare decât 1.
Deci x este un număr natural magic
mai mare decât 1,
care este cel mai mic
element al  acest set S.
OK, deoarece x este
cel mai mic element al lui S--
așa că permiteți-mi să desenez.
Pe linia numerică,
avem 1, 2, 3, 4.
Există un
punct magic x, care
este cel mai mic element al lui S.
Și restul submulțimii S
se află în dreapta
acestui număr x, nu?
Deoarece este
cel mai mic element al lui S.
Și, prin urmare, x minus
1 nu poate fi în S.
Deci, deoarece x este cel mai mic element
al lui S și x minus 1 este mai mic decât
x, aceasta înseamnă că x minus
1 nu este în S. În caz contrar,
ar fi un element mai mic
decât x în S. Deci,
ce înseamnă
să nu fii în S?
Înseamnă că P de
x minus 1 este adevărat.
După definiția lui S,
aceasta înseamnă că P de x minus 1
este adevărat, OK?
Dar prin a doua proprietate pe care o
presupunem despre afirmația noastră P,
aceasta înseamnă că următorul tip
din linie, x minus 1 plus 1,
este adevărat, ceea ce este doar x, ceea ce
înseamnă că x nu este în S, OK?
Deci, din presupunere...
permiteți-mi să recapitulez.
Din ipoteza
că S este nevid,
am derivat două fapte.
1, x are cel mai mic element în
S. Și acel element, de asemenea, nu este
în S.
Deci scris, am ajuns la
concluzia că
există un număr natural care
este atât în ​​S, cât și nu în S.
Și aceasta este o afirmație falsă.
Nu poți avea un obiect și un
membru care să fie atât în ​​set,
cât și nu în set, OK?
Și la sfârșitul
argumentelor contradictorii,
de obicei voi pune două
săgeți care se lovesc una de cealaltă.
Deci asta e o contradicție.
Prin urmare, presupunerea noastră inițială
că S este nevid
trebuie să fie falsă.
Și prin urmare, S este
setul gol, OK?
Așa că vă încurajez să
parcurgeți această demonstrație
puțin încet, pentru că
poate v-ați întors
luând complementele
sau schema generală a modului în care
funcționează o demonstrație prin contradicție.
Dar nu petrece prea mult timp
pentru că, așa cum am spus,
această teoremă în sine și
demonstrația ei nu sunt lucrul care ne
interesează cu adevărat.
Sau cel puțin, nu este
cel mai interesant.
Este mai mult un instrument pe
care îl vom folosi pentru a demonstra
afirmații mai interesante.
OK, deci cum
folosim de fapt această teoremă, inducția,
pentru a demonstra alte afirmații?
Deci, cred că ar trebui să
includ asta aici.
Acest lucru se încadrează sub
umbrela logicii, ceea
ce înseamnă că vom
aproba anterioare-- vom
folosi
declarații anterioare pe care le-am
dovedit că dovedesc afirmații noi.
Dar oricum, deci cum
folosim inducția în practică?
Deci, dacă vrem să
demonstrăm o afirmație -
pentru toate n, Pn este adevărat -
în tipărire, atunci această
teoremă despre inducție -
această teoremă a
inducției - ne spune că trebuie
doar să
facem două lucruri, OK?
Trebuie să dovedim cazul de bază.
Și acest lucru este de obicei ușor.
Puneți doar numărul
1 în afirmația pe
care doriți să o demonstrați.
Și acesta este sfârșitul poveștii.
Iar cel de-al doilea pas este de obicei--
sau al doilea lucru pe care
trebuie să-l dovedim
este partea mai implicată
, adică
trebuie să dovedim că
afirmația că dacă PM este adevărată,
atunci P din m plus 1 este adevărată, OK?
Dacă vrem să facem o
demonstrație prin inducție,

trebuie să facem două dovezi mai mici.  În
primul rând, trebuie să
dovedim că P din 1 este adevărat.
Și atunci trebuie să
dovedim această afirmație.
Dacă P din m, atunci P din m plus 1.
Deci, din nou, acesta este de obicei
denumit cazul de bază.
Acesta este pasul inductiv.
Deci haideți să încercăm și să
facem asta.
În regulă, deci... o altă
întrebare pe care o primesc la începutul
unui curs, în special
despre dovezi,
pentru că există multă
incertitudine cu privire la ceea ce
poți presupune că este adevărat, ce
poți folosi, ce
nu poți folosi, chiar acum  ,
în acest moment,
puteți folosi orice
știți despre oricare
dintre proprietățile algebrice,
știți despre numerele reale,
numerele raționale--
și prin proprietăți algebrice,
vreau să spun dacă un plus b este egal cu
c, atunci a plus b ori
d  este egal cu c ori d--
și ceea ce știți
despre inegalități.
Așa că vom aprofunda mult
mai mult în ordinea, din
care
face parte inegalitatea.
Dar puteți folosi
toate proprietățile pe care le
cunoașteți despre rezolvarea
inegalităților sau manipularea
inegalităților, adică dacă
un număr este mai mic
sau egal cu un alt număr,
atunci când înmulțesc
ambele părți cu un
număr pozitiv, asta
nu schimbă inegalitatea.
Deci, puteți folosi toate
aceste proprietăți algebrice
ale numerelor raționale și reale
de aici încolo.
Adică, așa că vom
demonstra lucruri despre calcul.
Deci cu siguranță nu poți folosi
nimic despre continuitate,
diferențiere sau
ceva de genul acesta.
Dar pentru moment, puteți folosi toate
proprietățile algebrice pe care le cunoașteți.
Așadar, prima afirmație pe care o
vom încerca să demonstrăm
folosind inducție este afirmația
că pentru toate c nu sunt egale
cu 1, pentru toate n, un
număr natural, 1
plus c plus c pătrat plus c
la n este egal cu 1 minus c la  n
plus 1 peste 1 minus c, OK?
Deci aceasta este
afirmația noastră P din n.
Depinde de
numărul natural n, bine?
Deci vom face asta prin
inducție, ceea ce înseamnă că
vom face acele două lucruri.
Vom demonstra
cazul de bază, P de 1, despre
care am spus că este ușor.
Și apoi vom
demonstra al doilea caz,
a doua proprietate,
pasul inductiv, care
este puțin mai implicat,
dar nu atât de mult implicat,
cel puțin la început.
Deci, permiteți-mi să numesc această
stea a inegalității.
Vom demonstra că
stea prin inducție.
Deci, mai întâi, vom
face cazul de bază.
Și așa cum am spus,
cazul de bază este, de obicei,
doar conectați n este egal cu 1 și
verificați că P din n este adevărat.
Și asta facem.
1 plus c la 1, care este
partea stângă, este, de fapt,
egal cu 1 minus c cu 1 plus
1 peste 1 minus c, deoarece această
parte din dreapta -
1 minus c pătrat este de 1
minus c ori  1 plus c--
1 minus c se anulează.
Și astfel cazul de bază
este dovedit, bine?
Acum, facem
pasul inductiv, bine?
Deci vom presupune că
steaua este valabilă pentru n egal cu m.
Deci vom presupune P din m.
Deci, presupunem că 1 plus
c plus c la m
este egal cu 1 minus c
peste 1 minus c, OK?
Acum, vrem să arătăm...
din nou, să scriem ce
vrem să facem, care este planul nostru.
Vrem să demonstrăm că această
egalitate, că această
stea dreaptă este valabilă pentru n este
egal cu m plus 1, OK?
Deci, din nou, ceea ce am
scris aici, aceasta
este practic stea
pentru n este egal cu m, OK?
Și permiteți-mi să numesc această a
doua inegalitate -
a doua egalitate 2 stele.
Deci aceasta este presupunerea mea
pentru m, n este egal cu m.
OK, deci să luăm partea stângă
pentru n egal cu m plus 1 și să vedem
dacă nu o putem masa pentru a
obține partea dreaptă pentru--
Ar trebui să spun că
partea dreaptă pentru n este egal cu m plus 1.
Deci, iată  partea de calcul.
Deci avem 1 plus c plus c la
m plus c la m plus 1.
Acesta este cazul m plus 1 al
părții din stânga a stelei,
pe care vrem să-l
arătăm că este --
este egal cu n  este egal cu n plus
1 caz din partea dreaptă.
Acum, acest lucru este egal cu...
acum, știm deja cu ce
este egal prin presupunerea noastră.
Aceasta este de la a doua
stea de acolo, ceea ce
presupunem că este adevărat.
Acesta este egal cu 1
minus c n plus 1 peste 1
minus c plus cm plus 1.
Și așa că acum, facem doar
un pic de algebră.
Acesta este egal cu
1 peste 1 minus c
m plus 1 plus c m plus 1 minus
c m plus 2 peste 1 minus c.
Acestea se anulează și am rămas cu
1 minus c la m plus 2.
Și o voi scrie doar ca să
puteți vedea că acesta este cu adevărat
cazul m plus 1, bine?
Deci, din nou, am ajuns
la acest prim pas
prin presupunerea noastră, a
doua ecuație cu stea, OK?
Așadar, steaua este valabilă
pentru n egal cu m plus 1.
Deci, prin inducție-- sau într-adevăr,
ar trebui să spun că teorema
de inducție pe care am demonstrat-o--
egalitatea noastră dintre aceste două
obiecte, sau două expresii,
este valabilă pentru toate n, OK  ?
BINE.
OK, deci hai să facem încă un
exemplu de utilizare a inducției.
Deci, să demonstrăm dacă C este
un număr real mai mare
sau egal cu minus
1, atunci pentru tot n,
un număr natural,
1 plus c la n
este mai mare sau egal
cu 1 plus n ori c, OK?
Bine, așa că vom
face asta prin inducție din nou.
Asta înseamnă că trebuie să
dovedim cazul de bază
și trebuie să facem
pasul inductiv.
Deci, caz de bază, ca întotdeauna, va...
deci asta este chiar aici.
Vom face
asta prin inducție.
Deci, după cum puteți vedea,
cazul de bază este,
din nou, n egal cu 1 este clar
doar dacă îl priviți.
1 plus c la 1, de fapt, este
egal cu 1 plus 1 ori c.
Deci este cu siguranță mai mare
sau egal cu 1 plus n ori c.
Deci cred că acestea sunt ultimele
stele pe care le voi folosi pentru această prelegere.
Deci afirmația noastră,
steaua noastră de inegalitate,
este valabilă pentru n egal cu 1.
Bine, deci acesta este
cazul nostru de bază.
Acum, vom presupune
că această inegalitate este valabilă
pentru n egal cu m și
vom încerca să demonstrăm că este
valabilă pentru n egal cu m plus 1.
Deci presupunem
acest lucru atunci când n este egal cu m.
Deci 1 plus c la m este mai mare
sau egal cu 1 plus m ori
c.
Și vrem să demonstrăm
această inegalitate cu n
egal cu m plus 1.
Și doar
presupunem că acest tip, OK?
Așa că vreau să obțin declarația
pentru n este egal cu m plus 1.
O modalitate de a face asta
este partea stângă.
Vreau să obținem-- să ne
uităm la n
egal cu m plus 1 latură
și să vedem ce putem face cu el.
Deci, din nou, aceasta este o
parte de calcul și o logică.
Deci avem 1 plus
c la m plus 1.
Deci n este egal cu
m plus 1 latură a acesteia.
Acesta este egal cu 1 plus c
ori 1 plus c la m.
Acum, presupunem, din
nou, această inegalitate.
Acesta este cazul n egal cu m.
Deci îl putem folosi.
Deci o presupunem.  Îl
folosim.
Și deoarece C este mai mare
sau egal cu minus 1, 1 plus C
este nenegativ.
Deci chestia asta este mai mare
sau egală cu chestia asta.
Deci, dacă înmulțesc ambele
părți cu 1 plus c,
păstrez inegalitatea.
Deci, acesta este mai mare sau
egal cu 1 plus mc, OK?
Din nou, aceasta rezultă din
ipoteza
înmulțită
prin 1 plus c, OK?
Așa că acum, voi
rezolva asta.
Așa că lasă-mă doar...
Nu fac nimic
diferit aici.
O să
rescriu asta
aici, ca să pot avea
un lanț de inegalități.
Deci am 1 plus c la m plus
1 este mai mare sau egal cu 1
plus c 1 plus mc.
Bine, deci acum, acesta este
mai mare sau egal cu acesta.
Și asta aici... deci
când scriu egal,
nu vreau să spun că
partea stângă este acum
egală cu ceea ce
voi scrie aici.
Asta înseamnă că lucrul anterior de
aici este egal cu ceea ce sunt pe cale
să scriu aici, OK/ aceasta este o
modă tipică și
notează inegalitățile--
sau cred că, practică.
Deci, acesta este egal cu 1--
deci doar făcând algebra--
m plus 1 ori c plus
m ori c pătrat, OK?
Acum, această parte este exact
n egal cu m plus 1 latură a acesteia.
Și am puțin spațiu
de dat, pentru că acum asta
este plus ceva
care nu este negativ.
Așa că lasă-mă să
rescriu asta din nou.
Aceasta înseamnă că 1
plus c la m plus 1
este mai mare sau
egal cu 1 plus -
așa că, din nou,
scriu cam mult aici.
O să nu mai scriu pe măsură
ce cursul continuă.
Dar te încurajez,
mai ales la început,
să scrii toți
pașii și logica, ok?
Deci, din nou, nu
rescriu nimic.
Rezumat doar
ceea ce am făcut aici.
Acum, această parte din dreapta...
deci am asta mai mare
sau egală cu aceasta.
Și această
parte dreaptă, deoarece
am un număr plus
ceva nenegativ, de m
ori c pătrat--
m este un număr natural.
Acesta este mai mare sau
egal cu 1 m plus 1 ori c.
Astfel, 1 plus c la m plus
1 este mai mare sau egal cu,
care este
cazul n egal cu n plus 1.
Deci, prin inducție, această
stea triplă de inegalitate este valabilă pentru toate n.  În
regulă.