[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [CLIC] BERTHOLD HORN: Să începem cu câteva anunțuri. Am avut trei probleme legate de teme și suntem pregătiți pentru primul test de luat acasă. Regulile, din nou, sunt că va conta de două ori mai mult decât problema temelor și nu există colaborare, spre deosebire de problemele legate de teme. Deci asta e săptămâna viitoare. Și apoi cei din 6866, există o propunere care urmează să fie pe 22 și care se vrea a fi scurtă și acolo îmi spuneți ce veți face pentru proiectul pe termen. Așadar, ideea termenului de proiect este să luăm o problemă de viziune artificială, de preferință ceva despre care am discutat în clasă, și să o implementăm într-un fel, alegerea ta. Ar putea fi, nu știu, Windows, MATLAB, Android, orice. Ar putea fi și ceva mai teoretic. Ar putea fi o soluție matematică la o problemă de viziune artificială . Majoritatea oamenilor aleg să facă un fel de implementare și este foarte flexibil. Adică, dacă descoperiți că puteți utiliza OpenCV pentru a implementa o parte din ceea ce doriți să faceți, mergeți mai departe și faceți asta. Dar, desigur, atunci contribuția ta trebuie să fie pe deasupra, nu doar folosind OpenCV, ci și făcând ceva util cu el. Și dacă aveți probleme în a veni cu idei, trimiteți-mi un e-mail. Ceea ce se va întâmpla cu propunerea este că le voi arunca o privire și dacă vă pot indica surse care ar putea fi utile în implementarea acelui proiect, atunci voi face acest lucru. BINE. Și suntem pe cale să încheiem discuția despre cum să extragem lucruri din luminozitatea imaginii și, în special, forma din umbrire. Și este puțin abstract, puțin matematic, și în curând vom avea o mare schimbare de ritm când vom începe să vorbim despre viziunea industrială a mașinilor. Și, desigur, nu putem acoperi totul și vom adopta o abordare diferită pentru a le acoperi. Deci, în loc să folosim lucrări sau manuale publicate, ne vom uita la brevete. Și o parte din motiv este că în lumea noastră, publicați lucrări. Pentru asta primești credit. În lumea lor, nu publicați. Pentru asta primești credit. Deci, când vezi ce fac, este în brevete în care încearcă să se acopere, să se protejeze de altcineva care folosește aceeași idee. Deci asta va fi o mare schimbare de ritm. Și în acest proces vom învăța puțin despre brevet și limbajul brevetului, deoarece acesta este un subiect important dacă ești un antreprenor implicat într-un startup sau ceva de genul ăsta. Deci, evident că va fi puțin diferit de ecuațiile cu diferențe parțiale și unii dintre voi s-ar putea să aștepte cu nerăbdare asta. Dar să terminăm cu ecuațiile diferențiale parțiale. Deci unde suntem? Oh bine. Ei bine, de exemplu, ai putea implementa timp de contact pe telefonul tău Android și, în acest caz, ai folosi Android Studio și ți-aș putea furniza un proiect fals care este doar un shell, astfel încât să nu fii nevoit să scrii toate acele fișiere pentru Android Studio. Deci acesta este un exemplu. Puteți implementa unele dintre metodele subpixeli despre care vom vorbi pentru detectarea marginilor și puteți utiliza orice, MATLAB, orice este convenabil. Deci acesta este un exemplu de proiect. Un alt exemplu, mai teoretic, ar fi că am vorbit despre formă din umbrire în contextul unor tipuri particulare de hărți de reflectanță, cum ar fi Hapke, și ați putea implementa - ați putea elabora detaliile pentru un alt tip de hartă de reflectanță. Ar exista un proiect matematic mai abstract. Și cred că ceea ce voi face este să adun câteva dintre acestea și, poate, să spun ceva despre ele pe site-ul Stellar. OK, deci prima parte a termenului ne-am concentrat mai ales pe proiecția imaginii, ecuația de proiecție în perspectivă și derivatele, mișcarea, mișcarea în lume, mișcarea în imagine, iar apoi am trecut la un lucru pe care îl putem face cu luminozitatea imaginii. măsurători, care este cealaltă jumătate a formării imaginii. Și în special, ne uităm la forma din umbrire. Și până acum am rezolvat problema pentru un caz foarte particular , care este modelul Hapke al reflectanței suprafeței. Și în centrul tuturor este ecuația de iradiere a imaginii, care practic spune că luminozitatea la un moment dat al imaginii este harta de reflectare corespunzătoare acelei orientări de suprafață. Deci aici ne concentrăm pe dependența luminozității de orientarea suprafeței. Și, așa cum am menționat, depinde de iluminare, depinde de materialul de suprafață -- aici intră harta de reflectare -- și depinde de geometrie, în special, de orientarea suprafeței. Și este o chestie locală, așa că e bine. Înseamnă că măsurarea luminozității într-un anumit punct al imaginii depinde de obicei de ceea ce se întâmplă în punctul corespunzător al obiectului. Iar harta reflectanței a fost modul nostru de a rezuma proprietățile detaliate de reflectare care, la rândul lor, sunt reflectate atomic în BRDF. Deci am avut funcția de distribuție a reflectanței biodirecționale , dar ne-am construit destul de mult pe asta pentru a avea o hartă a reflectanței oarecum mai ușor de gestionat. Deci BRDF depinde de patru parametri. Harta reflectanței depinde doar de două, dar este construită deasupra BRDF. BINE. Așa că ne-am uitat la un anumit caz, care este acela al proprietăților de reflectare ale lunii, ale iapei lunii și ale celorlalte planete stâncoase și, în acest caz, am descoperit că am putea rezolva această problemă într-o anumită direcție. Deci, în cazul Lunii, dacă luăm planul ecliptic, atunci aceasta este direcția de-a lungul căreia putem determina de fapt orientarea suprafeței. Deci ne putem integra în anumite direcții și nu ne putem integra deloc în direcția unghiurilor drepte și vreau să spun, de obicei, ne-am uita la un mic petic, dar asta ne dă o idee despre direcțiile pe care le putem efectua asta in si ce nu. BINE. Și am ajuns la un set de ecuații care ne duc de la un punct la altul de pe suprafață și, în primul rând, x și y variază în acest fel - și trebuie să-mi cer scuze. Cred că poate ultima dată când am ajuns cu acelea inversate. Primul era qs și Ps, iar acesta corespunde acelui unghi de rotație în care am rotit un sistem de coordonate la celălalt. Și atunci care este schimbarea înălțimii? Ei bine, conform regulii lanțului, care pare intimidant, dar aici este doar P ori derivata. Deci avem... ei bine, doar P ori Ps sau Ps plus qs q. OK, deci aceasta este regula pe care o putem folosi pentru a face un pas mic. Facem un pas mic în imagine pe baza acestuia și care corespunde unui pas mic în înălțime. Și am uitat să menționez aici, dar acum presupunem proiecția ortografică. Deci, acesta este un punct care este important și anume că, odată ce trecem la tratarea luminozității, trecem la proiecția ortografică. De ce? Ei bine, pentru că face totul mult mai ușor. Toate acestea se pot face cu proiecția în perspectivă și a fost inițial, dar matematica devine dezordonată. Așadar, lucrul de reținut este că a pretinde că avem o lentilă telecentrică -- am vorbit despre lentile telecentrice -- și folosirea unei proiecții ortografice corespunde cu a fi foarte departe, așa cum ne aflăm atunci când privim luna și sursa de lumină este foarte îndepărtată și avem un unghi vizual foarte mic. Și simplifică lucrurile. E exact ca Lambertian, știi? Nu este că aceste metode sunt limitate la Lambertian - ei bine, de fapt, aici vorbim despre non-Lambertian. Doar că poți face niște lucruri interesante dacă faci acea presupunere și apoi generalizezi de acolo. OK, deci asta e regula. Și, practic, avem trei ecuații diferențiale obișnuite pe care le vom rezolva numeric și nu avem nevoie de metode foarte sofisticate, cum ar fi Runge-Kutta de ordinul al optulea sau așa ceva. Vom face doar înainte Euler sau, cu alte cuvinte, dacă ai panta și ai o dimensiune a pasului, doar înmulți panta cu dimensiunea pasului pentru a vedea cât de mult ai ajuns. Deci aceasta este metoda pe care o vom folosi. Și, desigur, nu este îngrozitor de precis, dar dacă facem pasul suficient de mic, este suficient de bun. Și măsurătorile cu care avem de-a face sunt ele însele zgomotoase, așa că nu are sens să aplicăm o metodă care este bună la 12 zecimale atunci când începem cu lucruri bazate pe măsurătorile luminozității imaginii . BINE. Acum, cum folosim asta? Ei bine, trebuie să-l legăm de luminozitate. Deci, cumva, luminozitatea trebuie să alimenteze această ecuație. Ei bine, pentru suprafața de tip Hapke, avem acest tip de dependență-- sau de fapt a fost cosinus theta i peste cosinus. Și în aranjamentul nostru pentru proiecția ortografică, este foarte convenabil să avem privitorul sus de-a lungul axei z. BINE. Și apoi putem conecta în termeni de p și q. Deci asta în termeni de unghiuri și în termeni de normale unităților, dar am dori să o exprimăm în termeni de p și q. Apoi îți amintești că n puncte s-au dovedit a fi acest lucru. Și să vedem. Vom lua rădăcina pătrată a acesteia și apoi o vom împărți la n punct b, unde v este același cu z, deci este n punct z. Deci este 1 peste asta și asta se anulează convenabil, așa că vom ajunge cu asta. Deci acesta este r-ul nostru pentru p și q și prin ipoteza aici despre ecuația de iradiere a imaginii , este e de x și y. Deci putem scrie e din x și y este acest lucru. Și puteți vedea că termenul pe care îl căutăm este chiar aici, Ps P plus qs q, așa că trebuie să pătram întregul lucru, să scăpăm de rădăcina pătrată și apoi să înmulțim cu rs și să scădem 1. Deci ajungem cu... OK. Deci, pentru această suprafață particulară, există o relație directă între cantitatea pe care o putem măsura, e, și lucrul de care avem nevoie pentru a continua soluția. Dreapta? Deci ce este rs? Ei bine, rs depinde doar de poziția sursei. Este o constantă. Pur și simplu evită să scrii asta tot timpul. Deci luăm doar luminozitatea, o pătram, o înmulțim cu rs, scădem 1 și există derivata în direcția z și gata. Mergem de la un punct la altul, ajustând x, y și z pe măsură ce mergem. Și în fiecare punct noi... știm orientarea suprafeței? Ei bine, un pic. Cunoaștem panta în acea direcție. Adică, asta exploatăm. Dar, după cum am indicat, nu știm nimic despre panta din cealaltă direcție. Deci nu, nu cunoaștem orientarea suprafeței pe baza asta și avem nevoie de altceva pentru a face asta. Acum, deoarece fiecare dintre aceste profiluri va fi independent pentru a obține de fapt z în funcție de x și y, o descriere reală a suprafeței, trebuie să avem cumva o condiție inițială pentru aceste ecuații diferențiale. Deci x și y, ei bine, alegem un punct din imagine pentru a începe, dar cum rămâne cu z? Ei bine, în ipoteza noastră a acestui model de formare a imaginii, nu există nicio dependență de z. Dependența este de panta lui z, nu? Deci, de fapt, dacă am muta acest obiect în direcția z, imaginea lui nu s-ar schimba. Ei bine, în cadrul proiecției în perspectivă s- ar schimba în dimensiune, dar nu avem de-a face cu proiecția în perspectivă, avem de-a face cu proiecția ortografică și astfel dimensiunea ei nu se schimbă, deci există o ambiguitate. Deci, pentru fiecare dintre acele curbe pe care le calculăm, avem nevoie de o condiție inițială, deci, de fapt, avem nevoie de o curbă inițială. Și așa, în 3D, cum facem asta? Ei bine, iată o modalitate de a defini o curbă. Avem un parametru care variază de-a lungul curbei. Ar putea fi lungimea arcului sau un parametru arbitrar, eta, și pentru fiecare eta dăm o poziție în spațiu x, y și z și aceasta este o curbă. Și deci să presupunem că avem acea curbă inițială, deci un fel de curbă ca aceasta. Și apoi putem începe din orice punct al acelei curbe și putem integra acele ecuații numeric, și acolo este suprafața noastră. Și așa cum am menționat, putem merge de fapt în ambele direcții de la curba inițială. Și astfel ajungem la z de x,y sau de fapt z de eta și psi, deoarece modul în care l-am parametrizat este că un parametru merge de-a lungul curbei, celălalt parametru merge de-a lungul curbei inițiale. Deci este o suprafață în 3D și este nevoie de doi parametri pentru a parametriza asta. Deci este destul de simplu, sper, că în acel caz particular, avem niște proprietăți foarte speciale. Una dintre ele este că putem determina local panta într- o anumită direcție și asta înseamnă, desigur, că putem merge în acea direcție și construim o curbă. Și asta nu va fi adevărat în cazul general, deci ce facem în cazul general? Deci vom începe cu ecuația de iradiere a imaginii, care spune că luminozitatea într-un anumit punct al imaginii depinde de orientarea suprafeței în punctul corespunzător al obiectului. Și vom încerca să urmăm acest model aici. Deci, să presupunem că avem un anumit punct, x, y, z, și apoi facem un pas mic. Și în imagine, să presupunem că dimensiunea pasului este delta x, delta y și, pentru moment, nu vom spune în ce direcție mergem, o vom lăsa doar necunoscută. Și pentru a construi soluția, ceea ce trebuie să știm este, ce este z? Cum se va schimba z? Și, desigur, avem acea relație. Modificarea în z este dz dx ori delta x plus dz dy ori delta y și astfel putem calcula modificarea înălțimii dacă cunoaștem p și q. Și să presupunem că știm p și q, atunci ne aflăm într-un nou punct de pe suprafață și putem repeta. Facem un pas mic în x și y și acum aici am continuat să mergem într-o anumită direcție. În acest caz, ar putea fi nevoie să alegem o direcție într-un anumit mod, dar trebuie să cunoaștem p și q. OK, ei bine, putem presupune că începem nu numai cunoscând x, y și z, ci și orientarea suprafeței. Deci am putea avea x, y și z și p și q, dar atunci cum actualizăm fiecare pas de care avem nevoie pentru a actualiza p și q? Deci aici avem reguli de actualizare pentru x, y și z. Pentru x și y, noi suntem cei care controlăm pasul și apoi z, modificarea în z, este dată de această ecuație. Deci bine, putem folosi același truc cu regulile lanțului. Putem spune că delta p este p sub x delta x plus p sub y delta y și delta q este q sub x delta x plus q sub y delta y, astfel încât să putem actualiza p și q pe măsură ce mergem. Deci nu doar actualizăm x, y și z, ci și p și q. Deci asta este un fel de interesant. Înainte aveam o bordură în spațiu. Am urmărit x, y și z pe măsură ce construim o soluție. Acum avem mai multe pentru că în fiecare punct cunoaștem p și q, ceea ce înseamnă că cunoaștem orientarea suprafeței. Deci ceea ce construim cu adevărat acum este o bandă. Ei bine, nu foarte elegant. Și aceasta se numește o bandă caracteristică caracteristică acelei ecuații diferențiale. Și asta înseamnă că avem o orientare de suprafață lungă, așa că, dacă aș vrea, aș putea ridica normale de suprafață pe măsură ce merg. Deci, este evident mai multă informație decât o simplă curbă. Deci asta vom face. Vom actualiza nu doar x, y și z, ci și p și q, ceea ce nu a trebuit să facem aici din cauza proprietăților particulare ale modelului de tip Hapke . OK, dar cum facem asta? Ei bine, pentru a actualiza trebuie să cunoaștem Px, Py, qx și qy. Și putem scrie asta în alt mod sub formă de matrice. Deci există două ecuații liniare, două necunoscute, le putem scrie cu o matrice 2 pe 2. Și deci care sunt acești r, rs și t? Deci r este p sub x, care este de fapt derivata a doua a lui z. s este p sub y, care este 2 sub x, care este acesta. Deci cantitățile de care avem nevoie pentru a folosi această regulă de actualizare sunt derivatele a doua parțiale ale înălțimii, iar acestea sunt interesante pentru că corespund curburii. Deci primele derivate au de-a face cu orientarea suprafeței, iar derivatele secunde au de-a face cu cât de repede se schimbă orientarea și asta, desigur, este curbura. Și pentru o suprafață 3D, curbura este puțin mai complicată decât pentru, de exemplu, o curbă în plan și aveți nevoie de trei numere pentru a o descrie. Deci, pentru o curbă în plan, puteți da doar raza de curbură sau inversul acesteia, care se numește curbură - doar un număr. Dar pentru suprafața 3D este puțin mai complicat și aveți nevoie de toată această matrice de derivate de ordinul doi și se numește matrice Hessian. Și aici presupun că ordinea diferențierii nu contează, că z de x, y este z de y, x, și asta va fi adevărat pentru o suprafață rezonabilă - nu va specifica condițiile exacte pentru asta. Și, desigur, puteți construi lucruri patologice care nu satisfac asta, dar acestea sunt mai degrabă curiozități matematice decât suprafețe reale pe care le vom întâlni în viziunea artificială. OK, deci asta e matricea de curbură. Și deci dacă cunoaștem pașii și cunoaștem matricea, putem calcula modificarea în p și q și putem continua soluția. Ei bine, asta înseamnă că ar trebui să adăugăm rs și t la menajeria noastră de variabile. Deci vom duce de-a lungul x, y și z, p și q, rs și t. Da, putem face asta. Acum actualizăm derivatele secunde rs și t? Ei bine, folosim derivatele a treia. Deci cred că poți vedea unde se duce asta. Acesta este un fel de a continua ad nauseum folosind derivate de ordin din ce în ce mai mare și așa că probabil că nu va funcționa. De fapt, ajungem cu mai multe necunoscute. Aici avem... înainte nu știam p și q, două necunoscute. Acum nu știm rs și t, trei necunoscute. Deci nu merge într-o direcție bună. Dar ceea ce este bine este că încă nu am folosit nici măcar ecuația noastră de iradiere a imaginii. Nu ne-am uitat la imagine. Până acum ne jucăm doar cu derivate, așa că este evident un defect în raționamentul nostru aici. Ne uităm doar la derivatele lui z, nu folosim deloc măsurătorile luminozității imaginii, așa că nu are niciun sens. Deci, să vedem ce putem face cu ecuația de iradiere a imaginii și, în special, suntem adesea interesați de gradientul de luminozitate, așa că să ne uităm la gradientul de luminozitate. Deci în ce fel vreau să scriu asta? Din nou, după regula lanțului, vom obține derivata r în raport cu p ori dp dx plus r față de q ori dq dx. Și, desigur, acestea sunt exact cantitățile pe care le-am întâlnit aici. Deci asta este ceea ce numim r, acesta este s, acesta este s, și acesta este t. Deci este o analogie interesantă cu asta. Putem scrie acest lucru sub formă de vector matrice. Este aceeași matrice. Deci acea matrice este importantă și are sens. BINE? Dacă aveți o suprafață cu orientare constantă a suprafeței, imaginea va avea luminozitate constantă în acest model, unde luminozitatea depinde doar de orientarea suprafeței. Dacă căutăm un gradient, căutăm modificări ale luminozității și acestea se vor întâmpla doar dacă există schimbări în orientarea suprafeței. Schimbările în orientarea suprafeței corespund curburii, nu? Deci într-un loc cobor la vale și apoi e plat și apoi urcă. Derivata a doua este diferită de zero și exact matricea derivatei a doua o controlează. Aceasta este afirmația exactă a modului în care funcționează totul. Ei bine, dacă ne uităm la aceste două lucruri juxtapuse, există acea matrice comună h. Acum, dacă ne-am putea da seama cumva care este h, l-am putea conecta aici și am fi de aur. Putem implementa această metodă deoarece facem un pas mic în imaginea delta x, delta y, înmulțim cu această matrice h, și rezultă mica modificare în p și q Deci putem avea reguli actualizate pentru x, y, z și p și am terminat. Deci, cred că întrebarea este, cum rezolvi chestia asta pentru h? Deci ce avem? Deci asta putem obține din imagine, gradientul de luminozitate. Deci asta este disponibil. Și apoi acest lucru îl obținem din modelul nostru de reflectanță, deci acesta este din harta reflectanței. Presupunând că știm p și q-- și am spus că purtăm de-a lungul x, y, z, p și q și, deci, dacă avem un model al modului în care suprafața reflectă lumina, avem o hartă a reflectanței, putem doar să luăm gradientul din harta reflectanței, care este r sub p r sub q. Deci avem acest vector și avem acel vector. Putem rezolva pentru h? Deci, unul dintre lucrurile pe care le folosim mult este numărarea ecuațiilor și numărarea constrângerilor, numărarea necunoscute. Deci ce avem? Ei bine, acestea sunt două ecuații, două ecuații liniare. Deci două ecuații, câte necunoscute? Trei, nu? Avem rs și t. Deci nu, nu putem face asta. E prea rău. Am avut un lucru foarte bun să mergem acolo, pentru că aici putem obține asta din imagine, putem obține asta din harta reflectanței și, dacă am putea rezolva pentru h, am putea conecta aici și am terminat. OK, deci aici este întregul truc al metodei, și anume că, deoarece h din p este în ambele ecuații, putem face unele progrese. Nu vom putea rezolva pentru h, dar acesta nu este chiar scopul nostru. Scopul nostru este să obținem un increment p și q. Singurul motiv pentru care dorim h este pentru că aceasta este formula noastră pentru a calcula modificarea în p și q. Ei bine, poate că nu putem rezolva pentru h, dar poate dacă alegem delta x delta y într-un mod frumos putem folosi această formulă. Dreapta? Și cum l-am alege? Ei bine, am dori să potrivim modelul acestor două lucruri, nu? Deci poți vedea ce se va întâmpla? Care este direcția în care vom merge? Ce delta x și delta y ați folosi pentru a putea calcula efectiv delta p delta q folosind acea formulă? Deci potrivire de model. OK, ce zici de asta e egal cu asta? Dreapta? Deci să încercăm. Și doar ca să putem controla dimensiunea pasului, să o înmulțim cu o cantitate mică. Deci asta este. Adică, înainte de Hapke aveam o direcție pe care trebuia să o alegem și să ne amintim, nu puteam calcula profilul în altă direcție. S-a dat direcția. Dar ceea ce era special la Hapke era că direcția era aceeași peste tot, așa că a fost integrată în întreaga soluție. Ei bine, acum poate că direcția se va schimba pe măsură ce vom explora suprafața. BINE. Deci, ce se întâmplă dacă încercăm asta? Ei bine, atunci conectăm asta în acea ecuație și obținem asta și obținem... Deci, din nou, există o direcție specială în care putem progresa și aceasta este această direcție. Și dacă mergem în această direcție, ne putem da seama cum să schimbăm p și q și atât. Au fost efectuate. Deci, dacă vrem să rezumam toate acestea, avem... nu? Asta e doar de aici. Și apoi avem... să lăsăm deoparte dz pentru moment. dp, d-- și, desigur, ne interesează z, așa că trebuie să-l scriem și pe acesta. Deci, ceea ce avem sunt cinci ecuații diferențiale obișnuite și sunt ecuații de ordinul întâi deosebit de simple. Așa că explorăm suprafața de-a lungul acestor curbe și de fapt de-a lungul acestor benzi, iar acelea sunt ecuațiile care generează acea bandă. Deci este foarte simplu. Pe măsură ce mergem mai departe, avem luminozitatea imaginii, ne uităm la gradientul de luminozitate și asta ne va spune cum să actualizăm p și q. Deoarece purtăm p și q, știm unde ne aflăm în harta reflectanței, astfel încât să putem calcula r sub p, r sub q. Asta ne spune pasul de făcut, actualizarea în x și y. Și apoi, ei bine, există și această regulă de ieșire, ca să spunem așa, care ne spune cât de mult se schimbă înălțimea. Și asta se bazează doar pe p delta x plus q delta y, aceeași formulă veche pe care am folosit-o tot timpul. Separ această ecuație de restul pentru că cealaltă este sistemul nostru dinamic, în care primele două se alimentează în cele doua, iar cele doua se alimentează în primele două. Deci, dacă vă gândiți la teoria controlului și la stabilitate și la chestii de genul acesta, aceasta este partea interesantă, că acestea sunt aceste două sisteme care se alimentează unul în celălalt. Și e cam ciudat, dar ceea ce se întâmplă este că în spațiul de imagine și spațiul de gradient, avem acest mod de a merge în direcții de gradient. Și deci haideți să reprezentăm izofotele, doar câteva izofote aleatorii, în acele două spații. Deci nu știu, acesta de aici ar putea fi lambertian. Nu știu, acesta este ceva... orice ar fi. Acestea sunt izofotele din imagine. Și ce spune asta dacă ne aflăm într-un anumit punct - să presupunem că suntem aici în x și y și că purtăm și p și q, deci suntem și undeva în - să presupunem că suntem aici . Apoi pasul pe care îl facem se bazează pe gradient, care este perpendicular pe izolinii. Și astfel, pasul pe care îl facem aici, totuși, în mod ciudat , depinde de gradientul de acolo. Deci acesta este pasul real pe care îl facem și apoi pasul pe care îl facem în p și q depinde în mod ciudat de gradientul de acolo. Deci facem de fapt un pas în această direcție. Deci e puțin ciudat. Nu mergi în sus. Nu faci doar urcare sau coborâre în gradient, ci mergi în gradientul din cealaltă diagramă. Oricum, asta arată clar cum să implementezi asta. Trebuie doar să aveți aceste două lucruri, imaginea e a lui x și y și harta reflectanței r a lui p și q. Și odată ce ați coborât undeva acolo, trebuie doar să urmați această regulă și va urmări o curbă în imagine. Și indirect, va trasa o curbă în 3D și, de fapt, va trasa o bandă întreagă pentru că tot timpul știm orientarea suprafeței. Și acesta este puțin diferit de cazul Hapke în care nu cunoaștem p și q pe măsură ce mergem mai departe. Cunoaștem o singură componentă într-o anumită direcție. BINE. Așa că ne-am redus ecuația de iradiere a imaginii la acele ecuații diferențiale obișnuite simple cuplate. Și aceasta este o ecuație diferențială parțială. De ce este asta? Ei bine, pentru că p este dz dx și q este dz dy și doar facem ca lucrurile să pară mai puțin intimidante utilizând aceste abrevieri p și q, dar aceasta este într-adevăr o ecuație diferențială parțială neliniară de ordinul întâi . Și în fizică te întâlnești cu o mulțime de ecuații cu diferențe parțiale , dar sunt în general de ordinul doi. Acestea sunt cele de interes, fluxul de căldură, propagarea undelor. Deci sunt de obicei de ordinul doi și sunt de obicei liniare și aici avem ceva neobișnuit. Avem prima comandă, care credeți că ar trebui să fie mai simplă și este neliniară. Și deci dacă nu ar fi fost asta, nu ar fi trebuit să explic toate acestea pentru că ai fi învățat asta la fizică. Dar fizica face PVE liniare de ordinul doi și nu PVE neliniare de ordinul întâi , așa că tocmai am venit cu o metodă pentru a le rezolva și asta trebuie să facem în formă de umbrire, deoarece luminozitatea depinde de prima derivată. BINE. Acum acest lucru este general pentru orice r din p și q. Să ne uităm doar la unele proprietăți de suprafață pe care le-am studiat. Deci, unul dintre ei, desigur, este Hapke, și acesta este un caz special pe care l-am rezolvat acolo. Dar să vedem doar cum se reduce cazul general dacă presupunem acest lucru pentru harta reflectanței. OK, deci aici. Deci aceasta este o hartă a reflectanței pentru Hapke. Deci de ce avem nevoie? Avem nevoie de r sub t, deci diferențiam acest lucru față de p. Ca rădăcini pătrate, vom obține 1/2 împărțit la rădăcina pătrată? Să scoatem mai întâi 1 peste rădăcina pătrată a lui rs. Este doar o constantă. Și apoi restul va fi peste 1... nu? Pentru că avem ceva ridicat la 1/2 putere, așa că diferențiezi asta, obții de 1/2 ori acel lucru la minus 1/2 putere. Și apoi trebuie să diferențiem care este acest termen în interior față de p și obținem Ps. Și, desigur, r sub q este foarte asemănător. Și apoi celălalt de care avem nevoie este p r sub p plus q r sub q, asta va fi același lucru. Acum acești trei împărtășesc acest multiplicator și acel multiplicator, așa cum am menționat data trecută, controlează de fapt cât de repede mergi de-a lungul curbei pe măsură ce o rezolvi. Deci ai putea schimba asta. Și vreau să spun, ar schimba stabilitatea numerică și cât de precisă este soluția, dar în cazul infinitezimal nu ar schimba soluția. Deci, de fapt, am putea elimina acești trei termeni atâta timp cât o facem pe toate cele trei ecuații. Și atunci avem Rp este proporțional cu Ps și Rq este proporțional cu qs. Și astfel regulile noastre de actualizare - regula de actualizare pentru x este doar Ps. regula de actualizare pentru y este qs, și asta am avut acolo sus. Deci, cazul general se reduce la asta destul de ușor, mai ales că, bănuiesc, acesta este, să vedem, rs e pătrat minus 1, așa cum am apărut undeva. OK, deci e bine. Cazul general se reduce corect la acel caz special pe care l-am rezolvat mai întâi. Să ne uităm la un alt caz. Așa că am spus că la microscopul electronic cu scanare, avem dependență de pantă. Dreapta? Amintiți-vă că, dacă nu faceți ceva ciudat cu microscopul dvs., acesta este simetric rotațional în imagini. Și așadar, dacă te uiți la o hartă a reflectanței pentru acel instrument, luminozitatea depinde doar de pantă, de mărimea gradientului, nu de direcția gradientului. Deci OK, deci știi, ce ar fi dacă? Ei bine, asta depinde de instrument și de materialul obiectului. Și deci trebuie să calibrezi asta. Dar să lăsăm generală. Să lăsăm ca și cum. OK, atunci pentru a folosi această metodă avem nevoie de r sub p și r sub q. Diferențiem față de p și obținem asta. Și diferențiați-l în raport cu q, obținem asta. Și astfel, aceasta ne va spune actualizarea noastră pentru x și aceasta ne va spune actualizarea pentru y și avem nevoie și de pr p plus qr q, care va fi atât de constantă de ori - și aceasta este o actualizare pentru înălțime . Deci putem aplica cu siguranță această metodă la scanarea imaginilor cu microscopul electronic. Și din nou, există acest multiplicator constant aici. Vom mai vorbi despre asta, dar-- oh, nu totul-- dar asta afectează doar cât de repede ne mișcăm de-a lungul soluției, așa că am putea simplifica lucrurile scăpând de asta. Și atunci ecuațiile sunt foarte simple. Ce ne spune? Ne spune că direcția în care mergem este gradientul. Urcăm la deal, așa că panta este direcția de coborâre cea mai abruptă. Deci, dacă stau pe munte... știi care este panta, așa că acolo mergem. Toate la vale. După cum am spus, putem inversa direcția. Putem face ca delta chi să fie negativă și să mergem în direcția minus p minus q. Deci este foarte simplu. Și apoi iată regula care ne spune cât de mult actualizăm z. Deci, microscopul electronic de scanare este puțin mai simplu decât un Lambertian, dar în loc să îl rezolvăm separat după ce am făcut Hapke, am trecut doar la cazul general în general. BINE. Și puteți face același lucru pentru Lambertian. Din păcate, devine dezordonat deoarece Lambertianul are acea rădăcină pătrată și 1 plus p pătrat plus q pătrat. Dar, desigur, o poți face. OK, deci câteva lucruri. Unul de reținut este că avem de-a face cu o soluție care generează benzi caracteristice. Deci nu doar explorăm suprafața de-a lungul curbelor, ci de-a lungul curbei cunoaștem și orientarea suprafeței. Și apoi un alt concept înrudit este cel al unei caracteristici de bază. BINE? Deci banda caracteristică are x, y, z, p și q de-a lungul benzii, iar caracteristica de bază este doar - să vedem - proiecția în planul imaginii. Și într-o oarecare măsură, asta ne interesează pentru că asta este ceea ce noi. Avem imaginea, încercăm să o explorăm și, în primul rând, vrem să ne asigurăm că acoperim o mare parte din imagine cu aceste curbe. Și, desigur, scopul final este suprafața în 3D, dar ne interesează și ceea ce se întâmplă în planul imaginii pe care îl acoperim de fapt. BINE. Deci, cum ar putea arăta, ca aceste caracteristici de bază? Deci, iată imaginea noastră și, pentru moment, presupunem că avem un fel de curbă inițială și apoi aceste caracteristici de bază cresc de acolo și poate în cealaltă direcție. Deci, așa cum am menționat, un motiv pentru care ați putea fi interesat de aceste caracteristici de bază este pentru că doriți să vă asigurați că explorați cât mai mult posibil din imagine și nu omiteți anumite zone. Și, de asemenea, ați putea spune, ei bine, acesta este pământul nimănui. Chiar ar trebui să interpolez altul aici. Și în alte zone, dimpotrivă, caracteristicile de bază s-ar putea apropia și ați putea spune, ei bine, că este nerezonabil. Ar trebui să am aproape aceeași înălțime acolo, așa că aruncați unul dintre ele sau îmbinați-le, luați-le media. Deci, în ceea ce privește implementarea acestui lucru, ați analiza aceste caracteristici de bază și ați interpola și eliminați după cum este necesar. Acum, o altă problemă este că acest lucru sună foarte secvenţial, ceea ce este neplăcut din punct de vedere al implementării, deoarece ar putea dura mult timp pentru a face acest lucru, şi, de asemenea, neplăcut din punct de vedere al interpretării biologice. Dar se dovedește că soluțiile de-a lungul acestor curbe sunt independente. Adică, fiecare dintre ele satisface o stare de ecuații diferențiale și singurul mod în care interacționează este că, ei bine, toate răsare din curba inițială. Deci, de fapt, puteți avea un proces care rulează de-a lungul fiecăreia dintre aceste curbe, deci este paralelizabil. Și asta este, de fapt, subînțeles de ceea ce am spus acum un minut, pentru că, dacă ai de gând să interpolați noi caracteristici, cel mai bine este să o faceți pe măsură ce creșteți și să spuneți, oh, stați, acestea două se depărtează prea mult, așa că permiteți-mă. interpolează unul nou acolo sau dacă se apropie prea mult , lasă-mă să le unesc. Deci nu este paralelism total. Nu este ca și cum ai putea face ceva la fiecare pixel în același timp, dar este o îmbunătățire semnificativă față de calculul serial complet. Deci este ca un front de undă care se propagă spre exterior. Deci, dacă avem niște condiții inițiale, vă puteți imagina că, pe măsură ce soluțiile progresează, le-am putea menține în mișcare mai mult sau mai puțin cu aceeași viteză și apoi să ne uităm la cele vecine pentru a le îmbunătăți și a interpola și ce aveți. Deci asta înseamnă că ar trebui să se miște la viteze similare, așa că ne duce la această întrebare a vitezei. Și vreau să spun, în ceea ce privește soluția numerică a acestor ecuații, este doar dimensiunea pasului, știi? Ce dimensiune a pasului? Ei bine, în mod clar, dacă dimensiunea pasului este o sutime de pixel, este exagerat. Asta nu va funcționa foarte bine pentru că luminozitatea nu se schimbă prea mult în sutimea de pixel. În schimb, dacă dimensiunea pasului este de o sută de pixeli, probabil că este complet greșit, deoarece lipsesc toate variațiile de luminozitate intermediare, așa că ați dori să aveți o dimensiune rezonabilă a pasului. Și deci să ne uităm la ce putem face în ceea ce privește controlul mărimii pasului. Și așa cum am menționat, tot ce trebuie să facem, într-adevăr, este să înmulțim toate ecuațiile noastre cu aceeași cantitate și tot ce face este să schimbe incrementul. Și, așadar, să ne uităm la câteva cazuri simple. Deci dimensiunea pasului constantă în z. Deci este interesant pentru că asta înseamnă că treci de la un contur la altul. Gândiți-vă la o hartă de contur. Dacă implementăm asta, atunci acestea ar fi contururi de înălțime constantă pe suprafață și ceea ce facem este că toate aceste soluții, pe măsură ce cresc, merg de la conturul la o mie de metri la conturul de la 990 de metri până la contur. la 980 de metri și așa mai departe. Și acesta este un mod interesant și util de a controla dimensiunea pasului. Și ce trebuie să facem asta? Ei bine, avem pRp plus qRq în ecuația pentru z, care tocmai a dispărut, și așa că împărțim la aceea. De ce este asta? Ei bine, pentru că atunci dz d-- să-i spunem liniuță laterală-- este unul. Dreapta? Deci am avut această ecuație aici, dz d psi este pRp plus qRq. Acum, dacă împărțim doar cu asta, atunci rata de schimbare este -- derivata este una și asta înseamnă că avem creșteri constante în direcția z. Desigur, trebuie să împărțim toate celelalte ecuații cu același factor. Deci, aceasta este o schimbare ușor de vizualizat, care are potențiale beneficii. Doar înmulțim toate-- împărțim toate ecuațiile cu asta și apoi trecem de la un contur la altul pe măsură ce explorăm suprafața și asta ne face puțin mai clar cum explorăm suprafața. BINE. Dar putem alege altceva. De exemplu, vorbeam despre pași în termeni de pixeli. Deci, în al doilea rând, ne putem uita la dimensiunea pasului constant în imagine. Deci dorim ca delta x pătrat plus delta y pătrat să fie o constantă, iar acestea sunt proporționale cu Rp și Rq. Deci, împărțim la... Nu ar fi trebuit să șterg aceste ecuații încă pentru că este util să le am în acest moment. dx, d-- Deci asta asigură că rădăcina pătrată a lui delta x pătrat plus delta y pătrat va fi constantă dacă o faci 1. Oh. OK, deci este o altă modalitate prin care, în loc să se miște în incremente constante de înălțime, intervalele din imagine sunt fixe în dimensiune. Și ei bine, câteva probleme cu asta. Una dintre ele este că acele curbe pot rula la viteze diferite, astfel încât una dintre curbe o devansează pe cealaltă pentru că nu le legăm împreună în înălțime sau altceva, le legăm doar la cât de departe suntem de de unde am început. Deci asta e o problemă. Și apoi o altă problemă este că ne vom împărți la asta. Desigur, dacă este zero, atunci ieșim la prânz. Și notez asta acum pentru că vom avea nevoie de asta într-un minut. OK, pași de dimensiune constantă în imagine. Ce zici de pași de dimensiune constantă în 3D? Deci asta înseamnă că vrem ca acesta să fie 1 și deci înseamnă că trebuie să împărțim la acea cantitate. Și pentru asta, de unde vine asta? Asta e chestia asta aici. Deci aceasta ne dă delta x, aceasta ne dă delta y, aceasta ne dă delta z. Și dacă vrem ca suma pătratelor acestora să fie una, atunci împărțim la aceea. Și din nou, aceasta are aceeași problemă sau caz spațial că, dacă Rp și Rq sunt zero, atunci acesta este zero și așa mai departe. Deci, ce zici dacă pășim în izofote în contururile imaginii - contururi de luminozitate. Deci aici am avut contururi la suprafață. z a fost constanta de-a lungul fiecărei curbe. Dar ar putea fi interesant să pășim în imagine de la un nivel de luminozitate la altul. Deci, bine, nu voi intra prea mult în detaliu, dar practic trebuie să împărțim la acea cantitate. Vă amintiți cei doi gradienți, cel din imagine și celălalt din harta reflectanței? Ei bine, acesta este produsul punctual al celor doi. Nu știu dacă asta înseamnă ceva, dar este doar interesant de observat. Și nu vom intra în prea multe detalii, dar, evident, acesta este un alt control al vitezei interesant, în sensul că ne mișcăm de la un contur la altul în imagine și un avantaj al unora dintre acestea este că tind să faciliteze legarea împreună a vecinilor. solutii. Deci, în acest caz, aceste curbe, aceste fronturi de undă, ar fi doar izofote în planul imaginii. BINE. Și în ceea ce privește aspectul analizei numerice, din nou, nu facem nicio metodă fantezică pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite. Spunem doar că dacă panta este m și facem un pas delta, atunci schimbarea este de m ori delta, care este cel mai mic lucru, cel mai gros lucru pe care îl poți face. Dar, așa cum am menționat, nu ne așteptăm să fim mult mai buni folosind ceva foarte sofisticat. Poate ați auzit că au apărut recent rezultate despre trei cadavre. Deci știți cu toții că, dacă aveți două corpuri, atunci ele orbitează în mod eliptic, iar elipsele sunt stabile și toate acele lucruri bune de la Newton și Kepler și Copernic și așa mai departe. Dacă ai trei corpuri, apare haosul. Se pot întâmpla tot felul de lucruri și, în mare parte, orbitele nu sunt periodice. Și deci, chiar dacă vrei să știi... să presupunem că trăiești într-o lume cu trei sori și aceștia orbitează unul pe celălalt și să presupunem că vrei să știi dacă unul dintre ei va da peste altul și va arunca lumea în aer, nu există periodicitate, astfel încât să nu puteți folosi metoda simplă. Oricum, există o carte științifico-fantastică minunată numită Problema celor trei corpuri în care oamenii trăiesc într-un astfel de loc. Și, în mod curios, de curând, cineva a folosit de fapt unul dintre aceste supercomputere gigantice. Deci știi că națiunile concurează între ele în diverse moduri stupide și unul dintre ele este că pot construi un computer mai mare decât tine. Și astfel, periodic, SUA are cea mai mare și apoi, nu știu, Japonia și apoi China. Deci cred că în acest moment ar putea fi China. Oricum, de multe ori atunci întrebi, bine, bine, au acest computer fantastic. Ce scot ei din asta? Ei bine, poți face unele lucruri. Puteți face simulări meteo mai bine decât oricine altcineva. Puteți rezolva unele ecuații cuantice a mai multor particule de pe el. Ei bine, ceea ce a făcut, această persoană, a fost problema celor trei corpuri. Și așa era interesat să găsească soluții periodice. Și de o sută de ani se știe că există niște soluții periodice, dar erau foarte speciale. Lucrurile merg în special cu modele în figura opt și orbite de asteroizi, dar există un număr foarte mic de aceste soluții cunoscute. uit ce. Nu știu, șase sau ceva. Ei bine, a folosit supercomputerul pentru a găsi, nu știu, 68 și știi, este uimitor. E fantastic. Sunt orbite minunate. Și ați putea spune, ei bine, așteptați un minut, acesta este într-adevăr ceva care ar trebui făcut analitic pentru că puteți face simularea numerică, dar de unde știți că este într-adevăr, într-adevăr periodic? Ei bine, având supercomputerul, el este capabil să facă lucruri pe care simplii muritori nu le-ar face în mod normal, cum ar fi să aproximeze seria Taylor la o mie de termeni, știi ? De obicei te-ai opri la două sau trei și poate dacă ești pe computer ai putea, nu știu, opt. Dar el nu s-a oprit într- un moment anume. Pur și simplu a continuat să adauge până nu a mai fost nevoie să meargă mai departe. Și la fel și cu calculele, Runge-Kutta de ordin opt, aceasta este o metodă foarte sofisticată de rezolvare a OD. Ei bine, a folosit mii de ordine și, în acest proces, a descoperit aceste orbite periodice. Oricum, unde mergeam cu asta? Ei bine, ideea este că există metode foarte sofisticate pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor și dacă încerci să spui, de exemplu, să-ți dai seama cât timp este stabil sistemul nostru solar , este foarte dificil. Trebuie să folosiți metode mult mai sofisticate decât noi. Și Gerald Sussman a construit de fapt o mașină pentru a face asta, dar pentru că este haotic, nu poți fi sigur. Dar poate spune că nimic rău nu se va întâmpla în următoarele sute de milioane de ani, așa că poți fi sigur că lucrurile vor fi destul de sigure. Din fericire, avem un caz în care nu trebuie să avem așa ceva precizie numerică. BINE. Avem nevoie, totuși, de o curbă inițială, așa că să vorbim despre -- ceea ce este o pacoste, deoarece scopul este să explorezi suprafața folosind metode optice de viziune automată, nu să mergem acolo cu o bandă de măsurare. Și astfel, a avea o curbă inițială nu este de dorit. Adică, este mai bine decât a trebui să măsori de fapt întreaga suprafață pentru că măsori doar o curbă pe ea și apoi restul este completat folosind imaginea. Dar de fapt aici avem o problemă și mai rea, și anume că purtăm de-a lungul nu doar x, y și z, ci purtăm și orientarea, așa că obținem aceste benzi caracteristice. Deci nu ar trebui să fie și o bandă inițială? Cu alte cuvinte, nu vom fi forțați doar să furnizăm z, y și z, dar asta face și mai rău. Asta înseamnă că trebuie să măsurați acea curbă și, de asemenea, în fiecare punct al curbei, să măsurați orientarea. Ei bine, din fericire, nu este necesar și există două motive pentru asta. Una este că pe curba inițială, avem ecuația de iradiere a imaginii. Deci avem e din xy este r din pq. Sau ești pe curbă, te uiți în imagine, care este luminozitatea acolo? Nu vă spune orientarea, dar vă oferă o constrângere asupra orientării. Și dacă ne uităm la harta reflectanței, înseamnă că suntem pe o curbă. Deci avem o singură constrângere. Deci nu este ca și cum ar putea fi orice p și q, trebuie să fie unul dintre acestea. Dar celălalt lucru este că avem această curbă și ni se spune că acea curbă este de fapt la suprafață. Deci asta înseamnă că dacă diferențiez dz, d eta ar trebui să fie d, dx, d eta plus q. Dreapta? După regula lanțului, deoarece p este dz dx și q este dz dy. Și din moment ce cineva mi-a dat prin magie această curbă inițială, pot calcula aceste derivate, dx d eta, dy d eta, dz d eta și, uimitor, aceasta este o ecuație liniară. Deci care este treaba mea? Treaba mea este să recuperez necunoscutele p și q și am două ecuații, două necunoscute și așa suntem. Pot rezolva pentru p și q. Ei bine, ați putea spune că această primă ecuație este probabil să fie neliniară - știți, vă uitați la ecuația Lambertiană. Dar există o ecuație liniară. Deci, după teorema lui Bézout, ceea ce contează este ordinea acestei ecuații. Și dacă este de ordinul doi, înseamnă că s- ar putea să aveți până la două soluții, dar două soluții sunt mai bune decât un număr infinit de soluții. BINE. Deci, în practică, nu avem nevoie de o bandă inițială. Ne putem înțelege cu o curbă inițială, deoarece putem găsi orientarea folosind acele două ecuații. BINE. Dar ne-am dori foarte mult să scăpăm de această afacere curbă inițială. Este chiar enervant. Și deci ce facem? Ei bine, ar fi grozav dacă ar exista niște puncte speciale pe obiect în care știm forma, orientarea, ceva. Așadar, aici este obiectul nostru prototip, imaginea acestui obiect prototip, și așa se pune întrebarea dacă sunt unii... așa că în majoritatea locurilor, nu știm cu adevărat care este orientarea. Parcă mergem aici și măsurăm luminozitatea e, nu știu, 23, și mergem la harta reflectanței și obținem un contur. Există o constrângere, dar nu știm care este orientarea. Deci există locuri aici unde ați putea să-mi spuneți care este suprafața normală? Marginea. Dreapta. Deci, lucrul pe care îl desenez aici, cred că cuvântul oficial este ocluzie de graniță. Uneori, versiunea de imagine a acesteia se numește silueta. De ce? Ei bine, pentru că acolo se învârtește obiectul și partea de aici este vizibilă și apoi partea în care s-a ondulat nu este vizibilă și terminatorul care le separă, pot desena o suprafață normală perpendiculară pe această curbă și suprafața normală la aceea. punctul de pe obiect va fi paralel cu acesta. Deci ceea ce spun este că, dacă merg de-a lungul graniței de ocluzie, pot construi un vector în planul imaginii și pe obiect, normala corespunzătoare a suprafeței va fi paralelă cu aceasta. Deci este diferit de alte locuri unde nu am informații locale despre orientarea la suprafață. Și bineînțeles, în proiecția în perspectivă este puțin diferit, dar vorbim despre proiecția ortografică. BINE. Așa că le-aș putea folosi ca condiții de pornire. Aș putea începe soluțiile mele de acolo. Ei bine, problema este că panta este infinită acolo, nu? Dacă te gândești să te apropii de acea margine, cazi. dz dx și dz dy devin infinite. Panta este infinită, așa că evident că va fi o problemă dacă încercăm să încorporăm asta într-o ecuație. Deci, ceea ce este interesant este că raportul este cunoscut deoarece raportul definește doar această direcție. Și deci este un lucru amuzant în care p și q sunt infinite, orice înseamnă asta, dar le cunoaștem raportul. Dar, din păcate, se dovedește că nu putem folosi asta. Avem aceste ecuații care ne spun cum se schimbă p și q pe măsură ce facem un pas, dar dacă panta este infinită, atunci asta nu funcționează. Deci limita de ocluzie ne spune ceva, dar nu putem începe soluția acolo și vom reveni la folosirea graniței de recrutare. Deci ăsta e numărul unu. Acum numărul doi este dacă ne uităm la... imaginează-ți o minge de plajă vopsită în alb și soarele este în spatele tău și te uiți la ea. Va exista un loc pe el care este mai luminos decât orice alt punct și, din cunoștințele tale despre suprafețele de inversare, poți spune imediat care este orientarea suprafeței. Dreapta? Dreapta? Deoarece luminozitatea sa este cosinusul unghiului incident. Cosinusul nu devine mai mare de unu și o face pentru unghiul zero, așa că atunci suprafața normală și direcția către sursa de lumină sunt aceleași. Deci este un lucru special și atât de unic. Adică, nu se întâmplă altundeva. Așadar, să vedem cum să oficializăm acest extremum unic, global, izolat . Deci, dacă mă întorc, de exemplu, la suprafața Lambertiană, am o hartă a reflectanței ca aceasta și aici este extremul meu izolat global unic. Dreapta? Deci majoritatea măsurătorilor de luminozitate nu îmi spun orientarea. Dacă măsoară această luminozitate, ei bine, ar putea fi oricare dintre acestea. Dacă măsoară această luminozitate, ar putea fi oricare dintre acestea. Dar dacă măsoară acea luminozitate, am orientarea la suprafață. Deci este foarte special și aceste lucruri se numesc puncte staționare. Și de ce asta? Ei bine, pentru că locurile în care derivata este zero în harta reflectanței. Și vom vedea că există un alt motiv pentru a le numi puncte staționare. Deci, poate putem începe soluția de acolo și scăpăm de această problemă despre necesitatea unei curbe inițiale. Ei bine, dacă este un extremum, înseamnă că r sub p și r sub q sunt zero. Ei bine, dacă este netedă la extrem. Și am putea lua în considerare cazul în care avem un fel de r nediferențiabil al lui p și q, dar să nu facem asta. Să rămânem realiști. OK bine. Care este problema cu asta? Ei bine, problema cu asta este că cele cinci ecuații diferențiale le-au inclus pe acestea două. Dreapta? Deci, în acest moment, să presupunem că am pus soluția mea, soluția mea în jos în acel punct din imagine - punctul corespunzător din imagine. Nu va merge nicăieri pentru că r sub p și r sub q sunt zero. Și de fapt, de asemenea, dacă luăm în considerare imaginea în sine - deci aceasta este harta de reflectare și aici este imaginea în sine. Ei bine, corespunzând acelui punct din harta reflectanței, să presupunem că aici este mingea mea de plajă. Există acest punct. Ei bine, acesta este un extremum în imagine și deci aici, prin același argument, dacă e din x și y este netedă și se presupune că este un extremum, atunci derivatele de acolo vor fi zero. Și ce înseamnă asta? Ei bine, asta înseamnă că dp d-- că nici acestea nu se schimbă. Dreapta? Și din moment ce z este dependent de acestea, nimic nu se schimbă. Suntem blocați în acel moment. Adică, ar fi fost poate că, ei bine, ai avut acel punct, dar p și q s-au schimbat și după un timp va fi o schimbare în x și y. Dar nu, asta nu funcționează așa. Totul este zero acolo. Deci punctele staționare sunt foarte interesante pentru că ne oferă informații locale despre orientarea suprafeței, dar nu ne permit direct să începem soluția. Putem continua cu asta. Am spus extremum mai degrabă decât maxim pentru că pentru Lambertian este un maxim, dar pentru microscopul electronic cu scanare nu este. Este un minim, nu? Pentru microscopul electronic de scanare, aveam o hartă de reflectanță care arăta așa și acesta era punctul magic și acolo, luminozitatea este minimă. Dreapta? Îți amintești că obiectele erau marginile, limitele de ocluzie erau strălucitoare în imagine, iar partea îndreptată spre tine era întunecată? Deci, în cazul microscopului electronic cu scanare, avem și puncte staționare, dar ele corespund mai degrabă minimelor decât maximelor. Dar oricum, OK. Deci ce să fac? Ei bine, dacă putem scăpa... dacă ne putem îndepărta puțin de acest punct, atunci acele condiții nu vor mai fi adevărate și acele cantități pot fi mici, dar măcar ne putem mișca. Și, desigur, putem controla viteza. Deci, să presupunem că cantitățile sunt mici, mare lucru, doar înmulțim dimensiunea pasului. Deci, atâta timp cât putem scăpa de acel punct, dar cum să scăpăm? Deci, iată punctul nostru staționar. Un lucru pe care ne putem gândi să îl facem este să construim o aproximare a suprafeței. Să presupunem... OK, deci iată o poveste. Știm că orientarea suprafeței acolo, desigur, este unul dintre acele puncte staționare și acum vrem să ne depărtăm puțin de ea pentru a putea începe soluția. Deci ideea este că vrem să începem soluția de la această curbă. Deci știm orientarea ca să putem construi un mic avion și nu știu, facem un epsilon de rază și apoi începem soluțiile acolo. O să funcționeze? Ei bine, dacă este un avion, atunci toate părțile lui au aceeași orientare, toate au aceeași luminozitate și avem exact aceeași problemă aici decât am fost acolo. Deci ideea asta nu prea funcționează. Deci răspunsul este, ei bine, să avem o suprafață curbată. Deci mai avem acel punct special, dar acum să presupunem că suprafața este curbată și vom construi o formă curbă mică în jurul acelui punct și vom începe soluția de acolo. Deci asta sună cam, nu știu, specializat, ciudat. De ce aceste puncte și așa mai departe? Dar, de fapt, aceste puncte sunt foarte importante și în percepția umană. Deci poți face experimente în care arăți cuiva o poză cu o vază și ei au o idee foarte bună despre forma ei. Adică, nu precis din punct de vedere metric, dar în general destul de bun. Și apoi scoateți Photoshop-ul pe punctul luminos și au încă o formă în minte, dar s-a schimbat. Și astfel, de fapt, se dovedește că folosim și aceste puncte staționare. Un alt exemplu este în cazul în care ai decupat-- deci ai ceva în lume ca acesta, dar acum arăți cuiva doar o poză cu, nu știu, spune asta. Asta nu include punctul luminos. Se pare că acest lucru este mult mai ambiguu decât dacă ați inclus acel punct luminos. Deci este un lucru real. Nu este doar ceva care afectează metoda noastră particulară de soluție, este important să existe o soluție unică sau un număr mic de soluții, spre deosebire de un număr infinit de soluții. BINE. Deci aceasta va fi un fel de suprafață curbată și trebuie să aflăm care este curbura ei pentru a o construi. Dreapta? Și așa este ca, Doamne, acum nu trebuie doar să ghicim suprafața, dar trebuie să cunoaștem curbura suprafeței. Dar, de fapt, se dovedește că este posibil și, deci, să vedem cum ar putea funcționa. Așa că ideea este că vom avea un mic patch și voi face acest lucru cât se poate de simplu. Deci, vom presupune, în primul rând, că avem o hartă de reflectanță de tip SEM doar pentru a o face cu adevărat simplă și apoi să presupunem că avem o suprafață ca aceasta. Și acesta va avea un punct staționar la origine. Și să vedem. Deci, p este dz dx este 2x. q este dz dy este 4y. Și apoi harta reflectanței ne oferă p pătrat plus q pătrat este 4x pătrat plus 16y pătrat. Și după ecuația de iradiere a imaginii, aceasta este de fapt imaginea. BINE? Și voi lua gradientul imaginii--ar fi 8x-- și nu este surprinzător, gradientul este zero la origine. Și asta corespunde că este un extremum, așa că confirmă doar că, de fapt, l-am configurat astfel încât să avem un extremum la origine. OK, acum pot folosi gradientul pentru a estima forma, forma locală? Ei bine, nu, pentru că gradientul este zero chiar la origine. Și deci să luăm derivata a doua. Deci planul este că gradientul va fi zero, așa că este inutil. Luminozitatea în sine am folosit-o deja pentru a determina că este un punct staționar, dar dacă luăm derivatele a doua parțiale ale luminozității obținem câteva informații despre formă. Apoi vom încerca să recuperăm x pătrat plus 2y pătrat din aceasta. Deci am putea spune, bine, cum pot măsura derivata a doua? Ei bine, desigur, aplicați doar prima derivată de două ori. Și am vorbit deja despre molecule computaționale convenabile pentru a face asta, așa că există una pentru exx. Deci, planul va fi găsim punctul staționar, estimăm forma locală uitându-ne la a doua -- nu gradientul, ci gradientul gradientului, ca să spunem așa -- și construim un mic capac cu acea formă în jurul punctului staționar și apoi începeți soluțiile de acolo. Dar nu am terminat cu asta, așa că o vom termina data viitoare. Și apoi, după cum am spus, atunci vom avea o schimbare reală de ritm și vom începe să vorbim despre câteva metode industriale de viziune automată și brevetele care le descriu.