[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Bine, așa că haideți să continuăm cu discuția noastră despre funcțiile măsurabile. Deci ultima dată am introdus noțiunea de funcții măsurabile. Deci, dacă am o mulțime măsurabilă, E de la-- sau f de la E la numerele reale extinse este măsurabilă sau este o funcție măsurabilă, dacă pentru toate alfa din R, imaginea inversă a intervalului deschis semi-infinit alfa la infinit este măsurabile. Și apoi am demonstrat că, dacă avem o funcție care este măsurabilă, atunci nu numai pre-imaginea acestor intervale este măsurabilă, ci și pre-imaginea oricărei mulțimi Borel, orice membru al algebrei sigma Borel, care include mulțimi deschise. , seturi apropiate și așa mai departe, pre-imaginea acelor seturi este, de asemenea, măsurabilă. Și am demonstrat că a fi măsurabil este închisă întreprinderea sups, imps, lim sups, lim imps, în special limite, și modificarea puțin a funcției -- sau schimbarea unei funcții pe setul de măsură 0 păstrează, de asemenea, măsurabilitatea. Și, de asemenea, a fi măsurabil este închis sub operațiile algebrice de a lua combinații liniare și produse. Acum, această definiție și proprietățile pe care le-am elaborat au fost pentru funcții extinse cu valoare reală. Destul de des vom avea de-a face cu -- sau, în general, cu funcții care iau valori în numere complexe. Deci, permiteți-mi să definesc ce înseamnă ca o funcție de valoare complexă să fie măsurabilă. Nu e prea nebunesc. Fie E o submulțime a lui R măsurabilă. Spunem că o funcție f de la E acum la numerele complexe este măsurabilă dacă cele două funcții date de partea reală a lui f, care merge acum de la E la R și partea imaginară a lui f, care acum este o funcție de la E la R, sunt măsurabile. Deci, funcționați în numerele complexe pe care îl puteți scrie oricând ca f este egal cu partea reală a lui f plus partea imaginară a lui f ori i. Așa că doar... pentru a spune că f este măsurabil, trebuie doar ca părțile reale și imaginare să fie măsurabile, OK. Și apoi puteți verifica următoarea teoremă simplă. Poate o voi pune în sarcină sau nu, nu m-am hotărât încă... sau doar părți din ea. Dacă f G ar fi măsurabil-- și nu am spus așa, dar dacă vorbim despre funcții măsurabile, domeniul E, domeniul este întotdeauna presupus a fi un submult măsurabil al lui R. Deci, dacă acestea sunt funcții măsurabile și alfa este un număr complex, apoi alfa funcției ori f, f plus g, f ori g-- și apoi putem face alte câteva lucruri pentru numerele complexe care îl schimbă. Conjugatul complex al lui f și modulul lui f sunt funcții măsurabile. Și apoi avem următoarea teoremă. Dacă fn de la E la C este măsurabilă pentru toți n. Și aceste funcții converg punctual către o funcție f, atunci funcția de limitare este măsurabilă, OK. Și aceasta urmează, din nou -- așa că ambele teoreme rezultă imediat din ceea ce știm despre funcțiile cu valoare reală extinsă măsurabile. Deci, de exemplu, aceasta rezultă aici din faptul că limita n merge la infinitul lui fn din x este egal cu f din x dacă și numai dacă limita ca n merge la infinitul părții reale a lui f din f, fn din x este egal cu partea reală a lui f a lui x, iar limita ca n merge la infinitul părții imaginare fn a lui f a lui x este egală cu partea imaginară a lui f a lui x. Și dacă presupunem că fn este măsurabil pentru tot n, atunci partea reală și părțile imaginare ale fn sunt măsurabile pentru tot n. Și, prin urmare, există limite punctuale, care este partea reală a lui f și partea imaginară a lui f sunt măsurabile prin teorema pe care am demonstrat-o despre funcțiile măsurabile cu valoare reală extinsă . Și astfel concluzionăm că partea reală a lui f și partea imaginară sunt măsurabile și, prin urmare, f este măsurabilă. Deci nu trebuie să muncești foarte mult. Puteți folosi doar ceea ce am demonstrat din prelegerea anterioară despre funcțiile extinse cu valori reale care sunt măsurabile. În regulă, deci acum, în ceea ce privește funcțiile măsurabile, am arătat că dacă am o funcție continuă, atunci aceasta este-- deci aceasta este de la ora anterioară, de la prelegerea anterioară, funcțiile continue sunt măsurabile. Și dacă am un subset măsurabil al lui E, atunci funcția indicator a acelui set este măsurabilă. Și știm că combinațiile liniare de funcții măsurabile sunt măsurabile. Deci, dacă iau combinații liniare de funcții indicator cu, să zicem, coeficienți complexi, atunci și asta va rămâne măsurabil. Și acele funcții sunt cel mai simplu tip, deoarece iau doar un număr limitat de valori. Sunt atât de simpli încât îi slăvim dându-le acest nume. Și vom arăta că fiecare funcție măsurabilă este, într-un sens, aproximativ o funcție simplă. Deci avem următoarea definiție, dacă E este măsurabil, o funcție măsurabilă phi de la E la C este simplă, sau o numim o funcție simplă. Deci vom spune că este o funcție simplă dacă intervalul E phi al lui E este egal cu un număr finit de valori. Deci, o funcție măsurabilă este o funcție simplă dacă domeniul său este finit. Deci, permiteți-mi să fac o remarcă generală despre funcțiile simple. Și, de asemenea, când scriu că phi al lui E este egal cu a1 până la un n, aceasta este o mulțime. Și când scriu a1, a2, până la un n, implicit scriu aici. Nu spun set-- spun că fiecare dintre aceste elemente este diferit unul de celălalt. Deci, o funcție simplă care ia doar valoarea 1, nu i-aș scrie intervalul ca 1, 1, 1, 1. Deci, deși este un fel de remarcă simplă și stupidă de făcut, vreau doar să o fac acum. Deci, dacă phi este o funcție simplă, atunci o putem scrie într-un mod canonic cu-- deci dacă phi este o funcție simplă cu phi a lui E egal cu a1 până la un n, atunci pentru tot i, setul a sub i, care este egală cu imaginea inversă a-- deci aici phi merge de la E la C. Imaginea inversă a unui singur set, singleton, care este un închis-- ei bine, aceasta va fi-- deci imaginea inversă a acestui tip aici este măsurabil deoarece este egal cu intersecția a două mulțimi măsurabile. Este egală cu intersecția când partea reală a lui phi este egală cu partea reală a unui sub i intersectează mulțimea tuturor x-urilor în care partea imaginară a lui phi este egală cu partea imaginară a unui sub i. Deci, de aceea setul este măsurabil, este măsurabil. Și avem câteva proprietăți ale acestui tip. Dacă iau două elemente diferite în gamă-- din nou, acesta este motivul pentru care am făcut acel comentariu că atunci când scriu intervalul în acest fel, enumerez elementele distincte ale gamei-- sau imaginea lui E-- Pentru toți i nu este egal cu j, aceste două mulțimi sunt disjunse. Și dacă iau uniunea lui i este egală cu 1 la n dintre ai, aceasta este egală cu mulțimea totală E deoarece aceasta este doar imaginea inversă a acestei mulțimi, care este doar E, deoarece E din E este egală cu aceea, OK. Și, în sfârșit, pentru tot x din E, pot scrie phi al lui x ca sumă de la i este egală cu 1 la n ai ai chi al unui sub i al lui x. Deci, pentru o funcție simplă, o pot scrie într-un mod canonic, unde este doar o combinație liniară de funcții indicator în care seturile de funcții indicator sunt diferite de zero sau disjunse unele de altele. Și unirea lor îmi dă E, domeniul, OK. Deci, aceste trei sunt proprietățile simple, dar importante ale modului de reprezentare a unei funcții simple. Deci nu este greu de verificat, din nou, doar din definiția unei funcții simple, că multiplii scalari, combinațiile liniare și produsele funcțiilor simple sunt, din nou, funcții simple. Așa că am spus că aceste funcții sunt atât de simple încât așa le numim și că sunt cumva universale încât, într-un fel, orice funcție măsurabilă este aproape o funcție simplă. Deci, în ce sens vreau să spun asta? Deci, acesta este conținutul următoarei teoreme, și anume că dacă f de la E la-- și haideți mai întâi-- vom face acest lucru pentru funcții cu valori reale extinse. Și apoi, dovada se va transfera în esență la valoarea complexă. Așa că o voi face doar pentru funcțiile nenegative extinse cu valoare reală . Și, din nou, voi indica care este diferența odată ce trecem la funcții măsurabile cu valori complexe. Deci, dacă E este de la... deci acum aceasta este o valoare reală extinsă , dar nu este negativă. Deci, dacă aceasta este o funcție măsurabilă, atunci există o secvență de funcții simple phi sub n astfel încât să fie valabile trei lucruri. Putem face asta... hai să scriem... hai să mergem aici. trei lucruri țin. Pentru toate x din E-- sau lăsați-mă să amân să afirm asta. F domină aceste funcții simple. Și aceste funcții simple cresc punctual. Pentru tot x din E, 0 este mai mic sau egal cu phi 1 din-- phi 0 din x este mai mic sau egal cu phi 1 din x este mai mic sau egal cu phi 2 din x și așa mai departe. Și toți stau sub f din x. Pentru toți x din E, aceste phi converg către f din x. Deci A și B spun că există o succesiune, o măsură a funcțiilor simple care cresc la f din x. Ultima parte este că dacă această funcție, dacă această funcție măsurabilă este mărginită sau oriunde este mărginită, această convergență nu este doar punctuală, ci uniformă. Pentru toate B mai mari sau egale cu 0, secvența phi n converge către f uniform pe mulțimea în care f este mărginit. Deci, din nou, concluzia este că pentru fiecare funcție măsurabilă cu valoare reală extinsă nenegativă , putem găsi o secvență de funcții simple care se aproximează bine f. Și în ce sens aceasta va aproxima f, acestea cresc la f. Și dacă f este mărginit, atunci acea convergență este, de fapt, uniformă. Sau mai precis, oriunde f este mărginit, convergența este uniformă. Deci, acesta este în ce sens fiecare funcție măsurabilă este aproape o funcție simplă. Deci, lasă-mă... hai să începem cu dovada. Și mai întâi voi face câteva imagini, astfel încât să vă puteți face o idee despre cum vom face asta, sau cum vom construi această secvență de funcții simple, apoi o să le transformăm în matematică, ceea ce ar putea fi un pic supărător dacă am urmat mai întâi acel traseu și apoi am desenat imagini. Și această imagine pe care o voi face seamănă cu ceea ce vorbeam în cazul în care am împărțit intervalul, mai degrabă decât domeniul, când am motivat de ce am introduce chiar și conceptul de funcție măsurabilă. Deci, să presupunem că avem funcția noastră f. Acum, cum voi construi aceste phi-uri sunt că-- ceea ce voi face este-- așa că aici voi desena phi 0 acum. Unde este creta galbenă. Ceea ce fac este că acest lucru va indica puterea lui 2, cât de sus merg și, de asemenea, rezoluția, cât de mult împărțim cât de sus merg în părți mai mici. Deci, phi 0, ar trebui să vă gândiți că înălțimea mea va fi-- ei bine, înălțimea mea va fi 1. Și, deci, ceea ce fac este, cum definesc această funcție simplă phi 0, mă uit unde f este deasupra valorii finale 1 Și funcția mea simplă va fi acea valoare finală 1 acolo. Și mutați asta puțin. Și asta rămâne doar unde f este mai mic decât 1. Și acolo am stabilit valoarea funcției mele simple la 0 și 0 pur și simplu pentru că aceasta este limita inferioară sau aceasta este cea mai mică valoare a acestui interval 0, 1. Și așa am definiți phi 0. Urcă până la înălțimea 1. Și am împărțit doar fiecare parte în 1. Deci, există o singură parte aici. Acum poate că unele dintre acestea nu au avut niciun sens pentru tine. Asta e ok. Vom trece la phi 1 și apoi mă voi opri aici pentru că aceasta va crește exponențial, ceea ce înseamnă că probabil că voi face o imagine exponențial mai proastă de fiecare dată. Așa că acum vom desena phi 2. Și ceea ce fac este-- există unul-- sau phi 1, îmi pare rău. Unul, din nou, ar trebui să indice puterea lui 2 că merg și rezolv axa. Așa că acum mă duc la... hai să facem asta un... deci, din nou, aceasta nu va fi chiar la scară, dar sper că este în regulă. Deci, să facem asta puțin mai aproape de scară. OK, deci una, acum am două părți, de la 2 la 1. Așadar, acesta este parametrizat cum-- cel mai înalt mă duc și măresc gama funcției mele f. Și apoi voi rezolva acum fiecare parte în 1/2, 2 la minus 1. Așa că acum iau-- asta este acum 3/2, iar acesta este acum 1/2, 2 la minus 1. Deci de ce scriu la 2 la minus 1? Din nou, pentru că acesta de aici corespunde cu-- și cel de aici corespunde cu-- Eu tai toate treptele în jumătate. Dacă trec la phi 2, voi merge la 2 la 2, care acum este 4; și de la 4 la 3; 3 la 2; 2 la 1; Le voi tăia în paturi. Și, din nou, ceea ce fac este să mă uit la-- am tăiat-- și acum mă uit la unde este funcția în aceste lățimi. Deci, dacă este peste limita mea cea mai înaltă, atunci funcția mea simplă va fi 2 pe acel set de x-uri unde este cel mai înalt, sau unde f trece de cel mai mare număr în care rezolv axa. Și acum aici, de exemplu -- Așa că ar trebui să încerci să-ți faci propria imagine, nu doar să o ieși de pe a mea pentru că, din nou, a mea arată deja cam dur . Dar acum mă uit la funcția-- setul de X-uri unde funcția este între 2 și 3/2. Deci asta va fi această piesă și această piesă. Și apoi am setat funcția mea simplă să fie egală cu valoarea, limita inferioară a acestui interval în care am tăiat intervalul. Și apoi fac asta de la 3/2 la 1. Și, de exemplu, asta se întâmplă aici pe acest x. Și am stabilit-o egală cu-- Am stabilit funcția mea simplă egală cu, din nou, limita inferioară a acestui interval în care am tăiat intervalul, care este 1 și așa, și așa mai departe. Și acum funcția între 1 și 1/2, deci aceasta este doar ultima piesă. Peste tot este completat. Și nu există nici un f între aici, așa că nu atribui o valoare acolo. În regulă, acum eram eu care vorbesc despre cum arată această funcție, cum arată secvența de funcții. Acum voi scrie doar cum sunt definite aceste funcții. Deci pentru n este egal cu 0, 1, 2 și așa mai departe pentru k între 2 și 2n minus 1, definesc mulțimile E kn. Aceasta este egală cu mulțimea tuturor X-urilor din E, astfel încât f de x este între k ori 2 până la minus n este mai mic sau egal cu k plus 1 2 până la minus n, ceea ce este doar eu să scriu în mod explicit că acesta este imaginea inversă de k ori 2 la minus n k plus 1 2 la minus n închis. Și acesta este un interval. Și deoarece f este măsurabil, presupus a fi măsurabil, acesta este un măsurabil - imaginea inversă a acelui interval este o mulțime măsurabilă, OK. Și apoi definesc fn ca fiind imaginea inversă a când f depășește valoarea mea superioară a modului în care măresc intervalul, 2 n, din nou, ceea ce este măsurabil. Și, în cele din urmă, voi considera funcția mea simplă phi n ca fiind suma de la k este egală cu 0 la 2 la 2n minus 1, k ori 2 la minus n, care este -- din nou, aceasta este mai mică -- aceasta ar corespunde la partea de jos a E kn-ului meu la care mă uit. Deci, pentru acest exemplu, dacă acest Ekn este cele două 3/2, iar 3/2 este partea inferioară a timpului chi E kn plus 2 la n ori în care f depășește 2 la n. Așa că vă încurajez să scrieți poate phi 1, ce este de fapt. Adică, există... de fapt aici, voi face asta. Am desenat poza care merge aici. Lasă-mă să scriu cum arată de fapt phi 1. Phi 1 este egal cu 0 ori funcția indicator unde f este între 0 și 1/2 plus a 1/2 ori funcția indicator unde f este între 1/2 și 1 plus de 3/2 ori funcția indicator a când f este între -- nu, asta nu este 3/2. Ar trebui să fie 1/2. Nu, nu, nu, ce fac, funcția indicator de 1 ori în care f este între 1 și 3/2 plus de 3/2 ori chi f invers față de unde f este între acum 3/2 și 2. Deci 2 este cum sus rup gama. Și apoi plus această ultimă parte, această parte fn, care este de 2 ori chi, unde f-- funcția indicator a unde f este mai mare decât 2 la n, Deci mai mare decât 2. Deci toate aceste mulțimi sunt disjunctive. Ekn și fn pentru k diferit de k prim și n fix sunt disjunși. Și sunt disjunși din acest set. Deci aceasta este o funcție simplă, numărul finit de valori pe care le ia este 2 la n împreună cu k ori 2 la minus n. Sau cel puțin numeroasele valori finite pe care le poate lua sunt un subset al acesteia. Deci aceasta este o funcție simplă pentru fiecare n. Și, prin design, stă mereu sub f. Așa că, de fapt, permiteți-mi să o aduc aici. Ei bine, lasă-mă să fac declarația și apoi voi spune. Deci, prin definiție, pentru tot x din E, En este nenegativ și se află întotdeauna sub f din x. Deci cum vedem asta? O puteți vedea din formula generală, dar voi indica doar de ce doar pentru siguranță. Unu, să zicem... deci x trebuie să fie într-unul din aceste seturi. Să presupunem că este aici unde f este între 1/2 și 1. Atunci phi-- 1 din x este egal cu 1/2, care este mai mic decât f din x, deoarece f ia valoarea între 1/2 și 1. De fapt, aici, voi da un scurt argument aici. Dacă x este în Ekn, atunci prin definiție, aceasta înseamnă că k2 față de minus n este mai mic decât f din x este mai mic sau egal cu k plus 1 2 minus n, ceea ce implică faptul că phi n lui x, care este prin definiție k ori 2 la minus n-- doar, din nou, prin modul în care am definit sub n-urile phi-- unde am definit sub-nurile phi-- există mai puțin de f din x. Deci asta e pentru x și Ekn. Și dacă x este în f sub n, atunci asta înseamnă că f din x este mai mare decât 2 față de n, care este întotdeauna mai mare sau egal cu phi n al lui x - ei bine, vreau să spun că acesta este de fapt egal cu phi al lui x . Deci avem întotdeauna-- phi n-urile nu sunt negative. Și ei stau întotdeauna sub f din x. Deci acum să demonstrăm că acestea sunt, de fapt, în creștere, deci partea A. Deci acum demonstrăm partea A, creșterea phi n la f. Și, din nou, pentru n fix, Ekn și fn, Ekn și fn formează o uniune disjunctă a lui E. Trebuie doar să verific dacă ceea ce vreau este valabil pentru fiecare dintre Ekn și fn. Deci, să presupunem că x este în Ekn, atunci f din x este mai mic sau egal cu k plus 1 ori 2 la minus n. n este mai mare decât k 2 la minus n, și care printr-un truc prostesc de a înmulți și împărți cu 2 îmi spune că f este între 2 ori k ori 2 la minus n minus 1 este mai mic decât f din x este mai mic decât sau egal cu 2k plus 2 ori 2 la minus n minus 1, ceea ce implică că x este în uniunea lui E2k n plus 1, 2k n plus 1 uniune 2K plus 2 n plus 1. Dacă x este în E2k n plus 1, atunci obțin că phi n al lui x este egal cu, prin definiție, k ori 2 minus n, care este egal cu 2k 2 minus n minus 1, ceea ce, deoarece x este în E 2k n plus 1, acesta este egal cu phi n plus 1 din x. Și dacă x este în E2k plus 2 n plus 1-- nu, nu ar trebui-- acesta nu ar trebui să fie un 2. Acesta ar trebui să fie un 1, îmi pare rău -- pentru că acesta merge de la 2k până la 2k plus 1, și apoi de la 2k plus 1 până la 2k plus 2. Deci este fie în E2k, fie 2k plus 1. Și dacă E este într-un 2k plus 1, atunci n-ul lui x este încă-- Adică, x este încă în Ekn, deci n-ul lui x este egal cu încă k ori 2 minus n, care este egal cu 2k ori 2 minus n minus 1, care este mai mic de 2k plus 1 ori 2 minus n minus 1, care este prin definiție, deoarece x este în E2k plus 1, n plus 1 n plus 1 din x. Și, în mod similar, dacă x este în Fn, atunci n-ul lui x este mai mic sau egal cu phi n plus 1 din x. Deci am verificat pentru tot x, deoarece E este egal cu această uniune peste k este egal cu 0 2 la 2n minus 1 Ekn uniune Fn. Aceasta implică faptul că pentru tot x din E, phi n al lui x este mai mic sau egal cu phi n plus 1 al lui x. Și asta demonstrează A. Acum, cum să demonstrăm B și C - aceste lucruri vor urma din partea A într-o estimare simplă pe care o vom demonstra. Deci B și C vor urma imediat din următoarea revendicare din partea a, care afirmația este că pentru tot x din mulțimea y din E că f din y este mai mic sau egal cu 2 cu n. Această parte știm deja că f din x minus phi n din x este nenegativă. Dar, de fapt, aceasta este mărginită de 2 la minus n. Deci, B și C din A și această afirmație. De ce rezultă B din această afirmație? Ei bine, oriunde este x-- nu vreau să fiu nevoit să explic și ce se întâmplă dacă f este egal cu infinitul. Și asta rezultă în esență din definiții, nu neapărat din această estimare. Dar partea mai importantă este atunci când f este finită. Deci, să presupunem că f este doar finit pentru fiecare x. Deci, fiecare x din E este în cele din urmă într-una dintre aceste mulțimi. Deci există fie x fix. Atunci pentru n suficient de mare, x este într-una dintre aceste mulțimi, deoarece f din x este finită. Și, prin urmare, pentru tot n-- pentru tot capitalul N suficient de mare, acest minus phi n al lui x este mai mic sau egal cu 2 cu minus n. Dar atunci f de x minus phi la m este, de asemenea, mai mic sau egal cu 2 la minus n pentru fiecare m mai mare sau egal cu n deoarece phi n-urile sunt în creștere. Dacă phi n este atât de aproape de f, atunci phi m este, de asemenea, atât de aproape de f dacă m este mai mare sau egal cu n, din nou, deoarece acestea cresc. Deci asta dovedește-- de aceea convergența punctuală B rezultă din această estimare. În ceea ce privește partea C, asta rezultă și din această estimare, deoarece dacă am un B fix, atunci pot alege un număr natural doar în funcție de ceea ce este B, astfel încât acesta să fie stabilit în funcție de B și de afirmația inițială pe care o arăt. , dar nu cred că o poți vedea de la cameră. Acea mulțime care depinde de B este conținută într-una dintre aceste mulțimi și, prin urmare, pentru tot x din mulțimea în care f este mărginit de B, acest lucru este valabil în mod uniform în x. Și de aici vine convergența uniformă. Dar ideea este că aceasta este estimarea care ne oferă B și C odată ce am demonstrat A. Deci, să demonstrăm această afirmație. Nu este greu. Practic, pentru că tăiem intervalul nu numai la înălțimea 2 la n, ci cu rezoluția 2 la minus n la fiecare etapă, la fiecare n. Deci, pentru a demonstra afirmația, avem că mulțimea de y din E astfel încât f din x este mai mică sau egală cu 2 cu n, aceasta este egală cu uniunea k este egală cu 0 2 cu 2n minus 1 din Ekn. Deci, dacă vreau să verific acea limită, trebuie doar să o verific pentru fiecare, dacă x este într-una dintre acestea. Deci, să presupunem că x este în E la kn, atunci... Vreau să spun, într-adevăr rezultă din faptul că tăiem intervalul cu rezoluția 2 la minus n. Așa că am de gând să desenez aici o mică imagine. Avem axa aici. Și iată k plus 1 ori 2 la minus n. Iată k ori 2 față de minus n. Dacă x este acolo, înseamnă că există a-- ne uităm la porțiunea lui f care se află între k 2 la minus n și k plus 1 2 la minus n, atunci k ori 2 la minus n este mai mic. decât f din x este mai mic sau egal cu k plus 1 2 la minus n. Și amintiți-vă de funcția simplă de pe această piesă evaluată aici - deci aici este x -- dă valoarea la limita inferioară. Și, prin urmare, obținem acel fn de x minus phi n de x, acesta este egal cu -- nu fn, îmi pare rău -- f de x minus k2 la minus 1. Acum x, din nou, este un Ekn. Deci f din x este între aceste două numere. Deci, acesta este mai mic sau egal cu k plus 1 ori 2 la minus n minus k 2 la minus n. Și aceasta este egală cu 2 cu minus n. Deci, ori de câte ori avem un x într-una dintre aceste mulțimi, acesta trebuie să fie în intervalul 2 până la minus n. Funcția simplă evaluată la acel x trebuie să fie între 2 și minus n din f. Acest lucru este doar prin construcție, prin modul în care am tăiat axa y, dacă doriți, intervalul. O tăiem cu rezoluția 2 la minus n. În regulă, asta demonstrează afirmația care, așa cum am spus împreună cu partea A, demonstrează B și C. Deci asta demonstrează că fiecare funcție măsurabilă este aproape cel puțin nenegativă, extinsă, o funcție măsurabilă cu valoare reală este o limită a unei secvențe de simple funcții. Acum, această teoremă se transferă fără dificultate la funcții de valoare complexe după ce tocmai introduc o ruptură a unei funcții în general. Deci, dacă E este o funcție de la minus infinit la infinit, deci o funcție cu valoare reală extinsă acum, definim partea pozitivă și negativă f plus a lui x pentru a egala maximul lui f lui x, 0. Deci aceasta este partea pozitivă a lui F f. f minus de x este egal cu min de-- max, îmi pare rău-- minus f de x, 0. Aceasta este partea negativă a lui f. Deci, cum rămâne cu aceste părți pozitive și negative? Atunci f este egal cu f plus minus F minus. Poți doar să verifici asta. Adică, luați orice x dacă f este pozitiv sau nenegativ , atunci obțin f din x. Dacă este negativ, atunci voi obține minus f din x, care este valoarea absolută ori minus îmi dă înapoi f din x. Și valoarea absolută a lui f este egală cu f plus plus f minus. Așa că permiteți-mi să fac un comentariu că, dacă - aceasta este doar o definiție pentru o funcție arbitrară de la E la numerele reale extinse - dacă f este măsurabilă, atunci fiecare dintre aceste funcții este măsurabilă pentru că aceasta este - dacă vă place supremul a succesiunii de funcții date de f și apoi 0. Și aceasta este dată de supremul funcțiilor dat de minus f și 0 ulterior. Deci, dacă f este măsurabil, este pozitiv. Și părțile negative sunt, de asemenea, funcții măsurabile. Și sunt, de asemenea, non-negative. Deci poate că nu a fost clar, sau cel puțin ar trebui să fie clar. Acesta este maximul care implică întotdeauna 0, deci este întotdeauna nenegativ. Așa că acum construcția pe care am făcut-o acum un minut se transferă în esență la cazul funcțiilor cu valoare complexă măsurabile. Deci, fie E măsurabil și f de la E la C măsurabil. Apoi, există o secvență de funcții simple phi n astfel încât-- analogii acestor trei proprietăți sunt valabile, A este pentru tot x din E. Acestea cresc în modul, în valoare absolută. 0 este mai mare sau egal cu -- desigur ph 0 al lui x este mai mic sau egal cu valoarea absolută a lui phi 1 a lui x mai mic sau egal cu, să spunem valoarea absolută și modulul, același lucru -- este mai mic decât sau egală cu valoarea absolută a lui f a lui x. Aceste phi n-uri converg spre f punctual. Și, în sfârșit, convergența este uniformă pe mulțimi în care f este mărginit. Deci pentru toate B mai mari sau egale cu 0-- Ce am spus acum un minut. Oh, phi n convergență la f uniform pe mulțimea x din E, astfel încât valoarea absolută a lui f lui x, sau modulul lui f lui x, este mai mică sau egală cu B. Deci această teoremă urmează imediat din teorema anterioară, deoarece acum ceea ce fac este să iau f. L-am împărțit în părțile sale reale și imaginare. Și apoi am împărțit imaginarul - părțile reale și imaginare în părți pozitive și negative. Așa că vă voi lăsa să completați de fapt detaliile, dar aplicați teorema anterioară părții reale a lui f plus sau minus, care sunt acum funcții măsurabile nenegative. Și părțile pozitive și negative ale părții imaginare a lui f, din nou, care sunt funcții măsurabile nenegative, și apoi luați doar combinații liniare ale acestor funcții simple care se adună la f. Veți lua șirul de funcții simple corespunzătoare părții reale a lui f și veți scădea șirul de funcții simple pe care le-ați obținut pentru minus pentru partea negativă a lui f, partea reală a lui f. Și vei lua asta și vei adăuga de i ori partea pozitivă sau succesiunea de funcții simple care converg către partea pozitivă a părții imaginare a lui f minus șirul funcțiilor, funcțiile simple care converg către partea negativă a părții imaginare a lui f. Deci la asta vreau să spun prin aplicarea teoremei anterioare părților pozitive și negative ale părților reale și imaginare ale lui f. Deci, care este semnificația acestei teoreme? Nu numai-- permiteți-mi să spun doar dacă-- arătând, de asemenea, că funcțiile măsurabile cumva sunt bine aproximate sau funcții aproape simple, aceasta ne oferă, de asemenea, o modalitate de a putea defini integrala cel puțin a funcțiilor nenegative așa cum nu avem să se ocupe de posibile tranzacții cu scăderea infinitului din infinit, ci prin simpla definire a integralei sale ca fiind limita acestor integrale ale acestor funcții simple. Și pentru o funcție simplă, probabil că am ști cum să definim o integrală. Ar fi doar cifrele în timp ce măsura seturile care apar în funcțiile indicator pentru aceste funcții simple. Și așa cum am spus în cursul trecut, dacă ați dori să definiți integrala Lebesgue în acest fel, v-ați confrunta cu, ei bine, acest număr depinde de succesiunea de funcții simple pe care ați ales-o să aproximați f? Dar nu vom defini integrala Lebesgue în acest fel. O vom defini puțin diferit, la care vom trece acum, care este integrala Lebesgue a unei funcții nenegative. Și apoi vom defini integrala Lebesgue, sau funcțiile integrabile Lebesgue. Acestea vor fi funcții de valoare complexe acum pentru care putem defini o integrală pentru. Și aceasta este teoria completă a... și acesta este sfârșitul jocului în ceea ce privește definirea integralei Lebesgue. Și apoi vom demonstra câteva teoreme de convergență pe parcurs, care fac integrala Lebesgue mai puternică decât integrala Riemann. Deci, acum trecem la integrala Lebesgue a unei funcții nenegative. Și de ce să începeți cu o funcție non-negativă? Din nou, pentru că tocmai v-am făcut acest truc acum un minut, că, dacă știm cumva să facem lucruri pentru funcții măsurabile nenegative, atunci jucând acest joc în care luăm părțile reale și imaginare și le împărțim în pozitive și părți negative, sperăm că putem face ceva pentru funcțiile generale. De aceea, începem cu introducerea sau definirea integralei Lebesgue a unei funcții nenegative. Deci definiție, dacă E este o submulțime măsurabilă a lui R, definim L plus a lui E. Acesta este un set de toate funcțiile cu valoare reală extinse , funcțiile cu valoare reală nenegativă care sunt măsurabile. Și acum scopul este de a defini integrala unei funcții ca aceasta din această clasă. Și poate fi un număr infinit. S-ar putea să nu fie. Și pentru a face asta, vom defini mai întâi cum să integrăm cel mai simplu tip de funcții - ei bine, funcții simple. Deci, să fie phi o funcție simplă. Și să scriem phi în acest mod canonic. Deci phi este egal cu o sumă de aj chi Aj unde pentru tot i nu este egal cu j-- ei bine, în primul rând, pentru tot j, Aj este o submulțime a lui E. Pentru tot i nu este egal cu j, Ai intersectează Aj este gol . Deci acestea sunt disjunctive. Și unirea lor îmi dă mulțimea E. Integrala Lebesgue a funcției simple phi este numărul, despre care am spus că este cel mai simplu mod, sau ceea ce te-ai aștepta să definești-- cum să definești integrala unei funcții simple. Deci știm să măsurăm seturile. Și amintiți-vă că am construit inițial măsura astfel încât integrala, care ar fi o teorie a ariei de sub curbă, ar trebui să fie-- integrala funcției indicator ar trebui să fie aria de sub curba lui 1, aria fiind măsura mulțimii în care acea funcție indicator este 1. Și, prin urmare, prin liniaritate, așa vom defini integrala Lebesgue a unei funcții simple. Deci, bucla Lebesgue a lui phi este următorul număr, E phi-- așa este definit-- suma de la j este egală cu 1 la n Aj măsura lui Aj. Și acest număr ar putea fi infinit. Bine, și în loc să scriu doar integrala peste E a lui phi, aș putea adăuga un dx acolo. Te avertizez din timp. Bine, deci aceasta este integrala Lebesgue a unei funcții simple. Din nou, l-am împărțit în acest mod canonic, unde este doar funcția indicator a mulțimilor disjunctive, a căror unire dă mulțimea domeniului și unde aceste numere sunt în față, acești coeficienți, vă oferă numerele care merg -- ale elementelor. a gamei. Deci, de exemplu, din nou, vreau să spun, acesta este - să presupunem că A este de la - sau să spunem că E este intervalul a, b. Puteți verifica că-- ei bine, vreau să spun, este doar din definiție că, dacă funcția mea simplă este, de fapt, aceste seturi sunt doar intervale, așa că dacă așa arată funcția mea simplă, este nevoie de un număr finit de valori, aceasta unul, acesta, acesta, acesta, acesta. Și pe aceste mulțimi a căror unire disjunctă formează a, b, atunci așa cum am definit și din moment ce - după cum am definit integrala și deoarece măsura unui interval este egală cu lungimea intervalului, din nou, ar trebui să socotiți asta ca mai multe comentarii. Această integrală este egală cu suma de-- deci aceasta ar fi aj. Apoi, cum am definit integrala Lebesgue, scuipă zona de sub această funcție simplă care ia aceste valori pe aceste intervale. Sper că este clar. Este spre sfârșitul zilei, așa că poate explicațiile mele devin cam zdruncinate, dar sper să fie clar. Și apoi vom folosi această definiție a simplu-- a modului de integrare a funcțiilor simple. O vom extinde la elementele generale ale lui L plus ale lui E, funcțiile măsurabile nenegative. Dar mai întâi să demonstrăm câteva proprietăți ale modului în care am definit integrala pentru funcții simple. Să luăm două funcții simple. În primul rând, dacă c este mai mare sau egal cu 0, atunci integrala lui c ori phi peste E, aceasta este egală cu c ori integrală a lui E phi. În al doilea rând, integrala Lebesgue peste E a lui phi plus psi este egală cu integrala Lebesgue a lui phi plus integrala Lebesgue a psi. Și a treia proprietate este dacă phi este mai mic sau egal cu psi pe E, așa că scriu această scurtătură cu asta. Deci, ceea ce spun în acea afirmație este că pentru tot x din E, phi al lui x este mai mic sau egal cu psi al lui x, atunci ceea ce vă așteptați este că integrala lui phi este mai mică sau egală cu integrala lui psi. Și permiteți-mi să includ încă o proprietate foarte simplă. Dacă f este... să adăugăm puțină punctuație. Dacă f este o submulțime măsurabilă a lui E, atunci phi care este o funcție simplă pe E este și o funcție simplă pe f. De asemenea, ia doar un număr finit de valori pe f și, prin urmare, are o integrală peste f. Și afirmația mea este că este egală cu integrala peste E a lui phi ori funcția indicator a lui f. Și aceasta este mai mică sau egală cu integrala peste E. Acum o să vă las problema 4. S-ar putea chiar să-mi pun misiunea. Dar va urma odată ce ați văzut cum demonstrăm 1, 2 și 3. Veți spune, OK, așa că știu cum să fac asta. Deci, numărul 1 este destul de ușor, pur și simplu pentru că înmulțirea cu o constantă nenegativă pur și simplu duce și schimbă constanta, dar nu și seturile. Deci c ori phi este egal cu c ori a sub j. Și, prin urmare, integrala lui c ori phi peste E, aceasta este, prin definiție, egală cu j-- suma de la j este egală de 1 la n de c ori o măsură sub j a unui sub j. Și aceasta este egală cu c ori suma de la j este egală cu 1 la n al unui sub j m al unui sub j. Și aceasta este egală cu c ori integrala lui phi peste E. Bine, așa că pentru a demonstra 2 scriem phi în această formă canonică, însumăm peste un sub j ori funcția indicator a unui sub j unde, din nou, aceste mulțimi sunt disjunse. Și unirea lor îmi dă E. Și apoi, de asemenea, fac același lucru pentru phis, acum k este egal cu 1 la m, poate iau un număr diferit de valori, bk, chi, bk, unde din nou bk este sunt disjunctive și unirea lor dă eu E. Deci, deoarece unirea lui Aj îmi dă E și unirea lui bk îmi dă, asta înseamnă că dacă vreau să mă uit la unul dintre aceste Aj este egal cu o unire de un anumit tip, este egal cu unirea k este egal cu 1 la m a lui Aj intersectează Bk pentru că aceasta va fi egală cu Aj intersectează uniunea lui Bk, dar unirea lui Bk îmi dă E și, în mod similar, pentru Bk, deoarece unirea lui Aj îmi dă E. Și, din nou, și aceste sindicate sunt disjunse. Cei Aj sunt disjunși unul de celălalt. Bj-urile sunt disjunse între ele. Deci, pentru toate j și k, Aj intersectează Bk va fi disjuns de un alt prim Aj intersectează Bk prim atunci când j sau k nu sunt egale între ele. Deci, deoarece acestea sunt uniuni disjunctive, avem din proprietatea de aditivitate a măsurii Lebesgue, obținem că integrala peste phi E plus integrala peste E a lui psi, aceasta este egală cu, prin definiție, j este egal cu 1 până la n din măsura Aj a lui Aj plus-- este egal cu 1 la m Bk măsura lui Bk. Acum, Aj este scris ca această uniune disjunctă. Și, prin urmare, măsura lui Aj este egală cu suma măsurii acestora, a lui Aj se intersectează cu Bk plus-- și apoi același lucru aici. Măsura de... deci Bk este egală cu această uniune disjunctă. Deci măsura sa este suma măsurii. Deci această sumă include acum j. Deci, permiteți-mi să rescriu asta ca sumă peste jk, aj plus bk măsura vârstei aj bk. Dar ideea este că suma acestor două funcții simple pe care o puteți verifica, aceasta este egală cu suma peste jk a lui Aj plus Bk ori funcția indicator a lui Aj intersectează Bk. Deci la acele x când phi este egal cu Aj și la acele x în care phi este egal cu Bk, atunci sunt în acest set și cele două părți sunt de acord. Aceasta implică faptul că integrala peste E a lui phi plus psi este egală cu măsura intersectării Aj Bk, care, așa cum tocmai am văzut, este egală cu suma integralelor. Deci asta a fost 2. Nici 3 nu este prea dificil. Deci, din nou, să presupunem că phi și psi sunt scrise în acest fel, în acest mod canonic. Atunci pentru tot x din E, phi lui x este mai mic sau egal cu psi x. Acest lucru este echivalent cu aj este mai mic sau egal cu bk ori de câte ori aj în bk nu este gol. Astfel, din nou, vom folosi aditivitatea măsurii Lebesgue și faptul că uniunile acestor Bk-uri îmi dau E, atunci dacă mă uit la intervalul E de phi, aceasta este suma j egală cu 1 la n aj. masura de Aj. Aceasta este egală cu suma jk aj înmulțită cu măsura lui Aj Bk, deoarece Aj este o unire peste Aj intersectarea Bks. Și aceasta este o uniune disjunctă. Și acum, ori de câte ori acesta este diferit de zero, înseamnă că Aj intersect Bk este nevid. Și, prin urmare, acel aj care apare acolo va fi mai mic sau egal cu Bk. Și ori de câte ori acesta este 0, ei bine, orice ar fi acolo, este aproape întotdeauna mai mic sau egal cu Bk ori măsura intersectării lui Aj cu Bk. Deci aceasta este mai mică sau egală cu măsura jk bk a intersectării Aj Bk. Deci, ori de câte ori este... deci poate că explicația anterioară nu a fost bună. Ori de câte ori acesta nu este gol, voi avea întotdeauna aj mai mic sau egal cu bk. Așa că ar fi trebuit să spun doar că nu știu ce am de făcut despre măsura zero, dar ignoră asta. Ori de câte ori nu este gol, așa cum am spus acum un minut, aj este mai mic sau egal cu bk, bine. Și acum doar inversăm cursul. Și aceasta este egală cu k este egală cu 1 la m din măsura bk a lui Bk, deoarece unirea peste j a acestor mulțimi îmi dă Bk. Și aceasta este egală cu integrala lui psi a lui E. Și, din nou, vă voi lăsa 4 ca un exercițiu foarte simplu. OK, nu am timp. Deci, ceea ce am făcut este că am definit integrala Lebesgue a unei funcții simple. Și așa cum arată acea imagine, sper sau cel puțin vă convinge că, dacă funcția simplă preia cea a unei funcție pas, adică Aj-urile sunt doar intervale, atunci integrala Lebesgue a acelei funcție de pas va fi, de fapt, aria sub phi. Deci, din nou, aceasta este... vă puteți gândi la asta ca pe două moduri, ca integrala Lebesgue care oferă o teorie a ariei de sub curbă. De asemenea, puteți crede că aceasta este prima indicație că atunci când am o funcție integrală Riemann, aceasta va fi, de asemenea, integrală Lebesgue, deoarece dacă am o funcție în trepte, așa cum este phi în imagine, atunci aceasta este o funcție integrală Riemann. Și integrala Riemann este aria de sub curbă, care este de asemenea în acord cu definiția integralei Lebesgue. Deci, așa cum am spus, ar trebui să indice că integrala Lebesgue se reduce la integrala Riemann ori de câte ori integrăm o funcție integrabilă Riemann. Deci data viitoare vom defini integrala unei funcții măsurabile nenegative folosind modul în care am definit integrala funcțiilor simple și vom demonstra câteva proprietăți de bază, inclusiv două dintre principalele teoreme de convergență care merg împreună cu această teorie a integrării. Deci ne oprim aici.