[SCRÂȘIT] [FOȘT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK, deci haideți să continuăm studiul nostru asupra secvențelor de numere reale. Deci am mai văzut tipuri speciale de secvențe, secvențe monotone, înainte. Și apoi, în prelegerea anterioară, ne-am uitat la secvențele obținute din secvențe, și anume secvențele care vă oferă lim sup și lim inf. Și am arătat că acestea sunt de fapt limite ale subsecvențelor. Acum voi defini ceea ce arată ca o nouă clasă de secvențe. Dar vom vedea că de fapt nu este. Acestea se numesc secvențe Cauchy. Deci „coe-shee”-- nu „couch-ee”, nu „cawt-shee”-- Cauchy, deci un francez. Deci se pronunță Cauchy și probabil nici măcar nu se pronunță așa. Probabil că are o pronunție diferită de către oamenii care vorbesc de fapt franceză. Deci, care este definiția unei secvențe Cauchy? O secvență Cauchy, intuitiv, este o secvență astfel încât, dacă mergi suficient de departe în secvență, oricare două intrări din acea secvență sunt apropiate. Deci secvențele convergente au proprietatea că, dacă mergi suficient de departe, intrările din secvență se apropie de un număr real. Secvența Cauchy este că oricare două intrări sunt apropiate una de cealaltă. Deci o secvență Cauchy, deci spunem că o secvență este Cauchy dacă toți suntem epsilon pozitivi, există un M, număr natural, astfel încât dacă n este mai mare sau egal cu M și k este mai mare sau egal cu M, atunci xn minus xk este mai mic decât epsilon. Deci poate nu scrie dacă. Adică, este aceeași afirmație, dar din moment ce arată... așa că va arăta puțin mai mult ca declarațiile anterioare când punem un „pentru toți” acolo. Deci aveți o definiție aici. Este definiția unui lucru nou. Ar trebui să încercați acum să vă uitați la un exemplu și apoi eventual să anulați definiția pentru a vedea dacă o înțelegeți cu adevărat. Deci, un exemplu de secvență Cauchy este x din n este egal cu 1 peste n, secvența noastră preferată. Deci haideți să demonstrăm asta. Deci tot ce avem este definiția. Deci trebuie să verificăm că x din n este egal cu 1 peste n verifică definiția de a fi Cauchy. Deci, la fel ca atunci când încercăm să dovedim că ceva este convergent, care este o afirmație epsilon „pentru toți” , primul lucru pe care trebuie să-l faceți este să lăsați epsilonul să fie pozitiv. Și apoi trebuie să aleg M și să arăt că acel M majuscul produce această afirmație aici. Așa că alegeți M, un număr natural, astfel încât 1 peste M să fie mai mic decât epsilon peste 2. Aș putea exprima asta ca M majuscul fiind mai mare decât 2 peste epsilon, dar o voi exprima astfel. Acum trebuie să arătăm că funcționează - și anume, dacă iau n mai mare sau egal cu M majuscul și k mai mare sau egal cu un M capital, atunci această diferență este mai mică decât epsilon. Atunci, dacă n este mai mare sau egal cu M, k este mai mare sau egal cu M și mă uit la 1 peste n minus 1 peste k, aceasta este mai mică sau egală cu, prin inegalitatea triunghiului, valoarea absolută a fiecăruia dintre acestea adunate, care este doar 1 peste n plus 1 peste k. Și din moment ce acestea sunt ambele mai mari sau egale cu M, fiecare 1 este mai mic sau egal cu 1 peste M 1 peste M, așa că obțin 2 peste M, care, prin alegerea noastră a lui M, este mai mic decât epsilon. Deci x din n este egal cu 1 peste n este un exemplu de succesiune Cauchy. Deci, să negăm definiția și apoi ne vom uita la un exemplu de secvență care nu este Cauchy. Și după cum probabil veți ghici, dacă aceasta este secvența noastră preferată, care converge, secvența noastră preferată care nu converge va fi un exemplu de secvență care nu este Cauchy. Și acest lucru nu ar trebui să fie o surpriză. Pentru că, din nou, o secvență care este Cauchy, dacă mergeți suficient de departe, oricare două intrări sunt aproape una de alta. Dar dacă ne uităm, de exemplu, la secvența minus 1 la n, care este doar minus 1 plus 1 minus 1, orice două intrări vor diferi prin -- sau puteți alege întotdeauna două intrări - care diferă cu 2 ca distanță. . Deci haideți să negăm această definiție pentru a înțelege ce înseamnă ca ceva să nu fie Cauchy. Deci nu vom scrie toate astea. Deci x din n nu este Cauchy dacă... deci de fiecare dată când vedem un „pentru toți”, acesta devine „există”. Dacă există un epsilon 0 pozitiv, astfel încât pentru tot M, un număr natural, puteți găsi două intrări mai departe decât M care sunt mai mari decât distanța epsilon 0 una față de cealaltă. Deci există n mai mare sau egal cu M și k mai mare sau egal cu M astfel încât x din n minus x din k este mai mare sau egal cu acest epsilon rău. OK Din nou, definiția lui Cauchy înseamnă că, atâta timp cât merg suficient de departe în secvență, se presupune că această distanță este mai mică decât epsilon. Deci, pentru toate epsilonul pozitiv, există un M majuscul, astfel încât să am această imagine. Dacă aleg x sub k plus 1, atunci ar trebui să fie și la distanța epsilon la x sub n sau x sub k. Deci se apropie din ce în ce mai mult. Negația înseamnă că nu se apropie din ce în ce mai mult unul de celălalt. Deci, există o distanță mică, astfel încât să puteți merge întotdeauna atât de departe cât doriți și să găsiți două intrări care sunt mai mari decât distanța epsilon 0 una față de alta. Deci, care este un exemplu în acest sens? După cum am spus, secvența minus 1 la n nu este Cauchy. Doar că nu pare corect. Iată-ne. Acum este. Deci acesta nu este Cauchy. Deci, asta înseamnă că ar trebui să existe un epsilon 0 rău. Așa că pot merge atât de departe cât vreau și să găsesc două intrări în secvență care diferă una de cealaltă prin epsilon 0 la distanță. Deci, practic, pot găsi întotdeauna două intrări în secvență care diferă una de alta prin 2. Deci acesta va fi epsilonul meu rău 0. Deci, dacă doriți, iată o dovadă. Alegeți epsilon 0 egal cu 2. Fie M un număr natural. Deci, acum trebuie să găsim un element de intrări în secvența mai departe decât M a cărui distanță unul față de celălalt este mai mare sau egală cu 2. Putem doar să luăm M plus 1 și M majuscule. Alegeți n egal cu M și k este egal cu M plus 1. Deci, ambele sunt mai mari sau egale cu M. Apoi minus 1 la n minus 1 la k, acesta este egal cu 1 minus minus 1 după ce elimin un minus 1 la M majuscul, care este egal cu 2. Deci minus 1 la n nu este Cauchy. Deci, la început, am spus că aceasta va arăta ca o definiție a unui nou tip de secvență, dar nu este, într-adevăr. Deci, după cum se dovedește, elementele secvenței se apropie din ce în ce mai mult pe măsură ce mergi suficient de departe. Deci, toate sunt grupate unul lângă celălalt, ceea ce te face să crezi că toți se grupează lângă ceva din linia numerică reală. Și prin urmare, poate, succesiunea este convergentă. Acum, acest lucru este adevărat - și vom demonstra asta - că o secvență este Cauchy dacă și numai dacă este convergentă. Acum, acest lucru este valabil doar pentru numerele reale. Și voi spune puțin despre asta într-un minut -- sau nu este adevărat numai pentru numerele reale, dar nu este adevărat pentru numerele raționale. Și voi ajunge la asta în doar o secundă. Deci ceea ce vom demonstra este că o secvență este Cauchy dacă și numai dacă este convergentă. Deci primul lucru pe care vreau să-l arăt este că secvențele Cauchy sunt mărginite. Deci, dovada acestei afirmații este în esență aceeași cu dovada că secvențele convergente sunt mărginite. Așa că permiteți-mi să desenez o imagine care să fie însoțită de această dovadă. Deci, atâta timp cât merg suficient de departe, există un M, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M majuscul, pot spune asta. Să ne uităm la această intrare x a lui M. Atunci, pentru toate n mai mari sau egale cu M majuscul, toate celelalte intrări trebuie să fie la o anumită distanță de x sub n, pe baza definiției lui Cauchy. Deci, să presupunem că fac distanța 1. Și să spunem 0 aici, doar pentru această imagine. Deci, pentru tot n pentru toți n mai mari sau egali cu capitalul M, x sub n se află aici în acest interval . Și, prin urmare, vom obține că x din n este mărginit. Deci, așa cum arată această imagine, o voi scrie așa. Este 1 plus 1. Acum, asta se ocupă de toate n mai mari sau egale cu M majuscul. Deci trebuie doar să ne ocupăm de primul M mare minus 1 alt tip. Deci poate că există M majuscul minus 1 aici. Capital X sub 1 este acolo. Capital X sub 2 este aici. Deci, limita noastră va fi doar aceasta, care gestionează toate cele n mai mari sau egale cu M plus valorile absolute ale acestor tipi pe care i-am ratat. Deci, deoarece xn este Cauchy, există și M, un număr natural, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M și k mai mari sau egale cu M, x sub n minus x sub k este mai mică de 1 la distanță. Deci, acest lucru este cu siguranță adevărat pentru k este egal cu capitalul M. Deci, aceasta implică pentru toate n mai mari sau egale cu M, x sub n minus x sub capital M este mai mic decât 1. Deci acum, dacă folosesc inegalitatea triunghiului, pot arăta că precedentul implică că pentru toate n mai mari sau egale cu M, dacă mă uit la valoarea absolută a lui x sub n, aceasta este egală cu x sub n minus x sub capital M plus capital M. Și aceasta este mai mică sau egală la valoarea absolută a acestui tip plus valoarea absolută a acestui tip. Și aceasta este mărginită de 1. Deci, în rezumat, am arătat că pentru toate n mai mari sau egale cu acest număr întreg fix, capitalul M, x sub n este mai mic sau egal cu x subcapital M în valoare absolută plus 1. Deci, asta este pentru toate micile n mai mari sau egale cu M majuscul. Deci acum trebuie doar să aleg un număr suficient de mare care să limiteze primele M intrări cu majuscule care nu sunt acoperite de această inegalitate. M majuscul este fix. Deci, fie B valoarea absolută a lui x sub 1 plus valoarea absolută a lui x sub 2 plus acest număr fix acum. Atunci, pentru toate n mai mari sau egale cu capitalul M, am, prin această inegalitate de aici, aceasta este o sumă de numere nenegative, deci acest număr este cu siguranță mai mare sau egal doar cu această parte. Și dacă am n mai mare decât egal cu 1 și mai mic decât M, atunci x din n, valoarea absolută a acestui tip va fi una dintre acestea care apar aici, care este cu siguranță mai mică sau egală cu dacă adaug la aceasta numărul și celelalte, care este mai mică sau egală cu B. Așa că acum am găsit un B care este nenegativ care limitează toate valorile absolute. Și, prin urmare, acest lucru demonstrează că șirul este mărginit. Deci am arătat că o secvență Cauchy este mărginită. Și deci ceea ce voi arăta acum este următorul. Deci, din nou, toate intrările se apropie una de alta. Sunt un fel de grupare unul lângă celălalt. Deci se simte ca și cum vor să converge. Și următoarea teoremă spune că, ei bine, dacă ați identificat o limită de-a lungul unei subsecvențe, atunci, de fapt, întreaga secvență converge. Deci, desigur, acest lucru nu este adevărat pentru o secvență arbitrară. Dacă o subsecvență converge - sau ar trebui să spun, pentru o secvență arbitrară, nu este adevărat că o subsecvență convergentă implică o secvență completă convergentă. Avem minus 1 la n pentru care o subsecvență converge, dar întreaga secvență nu converge. Dar dacă facem ipoteza suplimentară că șirul este Cauchy, atunci șirul converge dacă și numai dacă acea subsecvență converge. Deci enunțul teoremei urmează. Dacă x sub n este Cauchy și există o subsecvență care converge către un număr -- numiți-o x -- atunci întreaga secvență converge către x. Deci, ceea ce spuneam chiar înainte de a afirma această teoremă este că, dacă ascund această parte și doar spun, există o subsecvență care converge către x, aceasta nu înseamnă că întreaga secvență converge către x. Pentru că am avut acest exemplu de minus 1 la n. Dar dacă presupun și că secvența este Cauchy, atunci rezultă că Cauchy plus convergerea subsecvenței implică convergența completă a secvenței. Deci vreau să arăt că xn converge către x. Deci vreau să arătăm... și vom face asta doar folosind definiția, verificând acest lucru prin definiție, nu folosind teorema de strângere sau ceva de genul ăsta. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deoarece xn este Cauchy, există M0, un număr natural astfel încât pentru toți n mai mari sau egali cu M0 și k mai mari sau egali cu M0, x sub n minus x sub k este mai mic decât epsilon peste 2. De ce acest epsilon peste 2? Sau de ce nu ar trebui să fii surprins? Ei bine, avem două presupuneri aici. Așa cum am făcut atunci când am făcut convergența produselor secvențelor și așa mai departe, care avea două ipoteze, și anume două secvențe convergente la ceva, de obicei, asta înseamnă că vom avea două numere întregi. Vom alege un număr întreg mai mare și apoi niște inegalități pentru a obține un epsilon. Deci, acesta este un răspuns puțin divagator la motivul pentru care obținem un epsilon peste 2 aici sau de ce punem unul acolo. Deoarece subsecvența - deci această subsecvență converge către x - există un alt număr întreg, M sub 1, astfel încât, dacă k este mai mare sau egal cu M sub 1, atunci x sub n sub k minus x este mai mic decât epsilon peste 2. Deci poate ar fi trebuit să folosesc o altă scrisoare aici. Să folosim puțin m. Pentru că nu vreau să crezi că acestea trebuie să fie aceleași k. Deci acum vom alege un număr întreg mai mare decât M1 și M2 și vom arăta că funcționează. Alegeți M pentru a fi M0 plus M1. Acum trebuie să arătăm acest lucru. Și dacă n este mai mare sau egal cu M, deci permiteți-mi, de fapt, să fac o primă observație înainte de a trece la n mai mare sau egal cu M majuscul. Atunci, deoarece n sub k este mai mare sau egal cu k pentru toate de k, un număr natural -- doar pentru că n sub k este acolo într-o succesiune crescătoare de numere întregi, care începe cel puțin la 1 -- și deoarece n sub k este mai mare sau egal cu k pentru tot k, aceasta implică faptul că întregul n sub capital M este mai mare sau egal cu M, care, rețineți, este M0 plus M1, ceea ce implică faptul că n sub M este mai mare sau egal cu M0 și n sub M este mai mare sau egal cu M1. Așa că am vrut doar să fac această observație preliminară. Și acum vom merge să arătăm că acest M mare funcționează. Deci, acum, dacă n este mai mare sau egal cu capitalul M și mă uit la x sub n minus x, o valoare absolută, și adun și scad x sub n capital M capital M minus x și folosesc inegalitatea triunghiului, atunci... deci, deoarece n este mai mare sau egal cu capitalul M, care este mai mare sau egal cu M0, înseamnă că n este mai mare sau egal cu M0. Și apoi n sub M pe care tocmai am arătat că este mai mare sau egal cu 0. Deci, prin această inegalitate, obțin că primul termen este mai mic decât epsilon peste 2. Și acum, deci M este cu siguranță mai mare sau egal cu M sub 1. Și, prin urmare, voi înțelege că această parte este mai mică decât epsilon peste 2 din cauza acestei inegalități. Deci acea alegere a capitalului M funcționează. Și acum, vom demonstra următoarele, că o secvență este convergentă dacă și numai dacă este Cauchy. Deci aceasta este o stradă cu două sensuri. Deci trebuie să arătăm că stânga implică dreapta și apoi dreapta implică stânga. Deci această direcție este, de fapt, ușoară. Pe baza a ceea ce am făcut -- nu ar trebui să spun că este ușor -- dar ceea ce am făcut până acum, urmează rapid. Deci presupunem că x sub n este Cauchy. Încerc să arăt că este convergent. Deci, dacă x sub n este Cauchy, aceasta implică că x sub n este mărginit, șirul este mărginit, ceea ce implică prin teorema Bolzano-Weierstrass că x sub n are o subsecvență convergentă. Și prin teorema pe care tocmai am demonstrat-o, dacă o secvență Cauchy are o subsecvență convergentă, aceasta trebuie să fie convergentă. Acum, pentru direcția inversă, faptul că xn este convergent implică că xn este Cauchy, ei bine, deci acest lucru nu ar trebui să fie o surpriză. Lasă-mă să fac o poză. Să presupunem că x sub n converge către x și epsilon este pozitiv. Apoi, deoarece xn-urile converg către x, dacă trasez un mic interval în jurul lui x de lungime totală epsilon - deci x minus epsilon peste 2 și x plus epsilon peste 2 - atunci voi găsi, atâta timp cât așa, atunci există M astfel încât, pentru toate n mai mari sau egale cu capitalul M, toate x sub n se află în acest interval. Toate se află în acest interval, deoarece trebuie să se afle în distanța epsilon peste 2 la x dacă xn-urile converg către x. Și din moment ce se află în acest interval, distanța dintre oricare dintre ele poate fi doar la fel de mare ca lungimea intervalului, care este epsilon. Deci, aceasta este în esență imaginea de ce o secvență de convergență trebuie să fie Cauchy. Deci acum să transformăm această imagine în matematică. Trebuie să verificăm xn este Cauchy prin definiție. Asta e tot ce avem. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deoarece convergența lui xn către x, există un întreg M sub 0, un număr natural, astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu M sub 0, x sub n minus x este mai mic decât epsilon peste 2. Și așa vom alegeți M pentru definiția noastră a lui Cauchy să fie acest M sub 0. Și dacă n este mai mare sau egal cu M și k este mai mare sau egal cu M și mă uit la valoarea absolută a lui x sub n minus x sub k și adunați și scădeți x și utilizați inegalitatea triunghiului, aceasta este mai mică sau egală cu x sub n minus x, o valoare absolută, plus x minus x sub k. Fiecare dintre acestea este mai mic decât epsilon peste 2, deoarece n este mai mare sau egal cu capitalul M și k este mai mare decât sau egal cu capital M. Deci, acesta este mai mic decât epsilon peste 2 plus epsilon peste 2 este egal cu epsilon. Și prin urmare, xn este Cauchy. Acum vreau să fac o scurtă observație despre teorema anterioară. Deci, îți amintești cum a început toată povestea? Era ceva în neregulă cu numerele raționale, și anume, ele nu conțineau rădăcina pătrată a lui 2. Deci nu am putut rezolva ecuația algebrică x pătrat minus 2 egal cu 0. Dar și aceasta, atunci, s- a transformat în raționalele nefiind completă în sensul ordinii. Nu orice set delimitat nevid avea un supremum. Nu avea cea mai mică proprietate superioară. Dar puteți interpreta și această lipsă de a avea rădăcina pătrată a lui 2 ca spunând cumva că raționalele sunt incomplete în acest sens. Așa că sperăm că, la sfârșitul acestui curs, vom putea ajunge la baza de valori. Dar ce vreau să spun cu asta? Să presupunem că mă uit la această afirmație acum în universul numerelor raționale. Deci, acum, dacă această secvență este numere raționale - adică secvențele sunt doar secvențe de numere raționale, limitele sunt doar elemente ale numerelor raționale, epsilon este doar un număr rațional și așa mai departe - atunci avem încă multe dintre aceleași teoreme asta am dovedit-- nu toate, și voi indica care nu sunt valabile. Dar dacă lucrăm doar în raționale, atunci avem întotdeauna o convergență care implică Cauchy, adică secvențele convergente sunt Cauchy. Dar secvențele Cauchy nu sunt neapărat convergente. Din nou, care este exemplul aici sau care este exemplul intuitiv? Luați x sub n astfel încât x din n să fie în Q. Și acum văzut în universul numerelor reale, x sub n converg la rădăcina 2. Atunci o astfel de secvență ar fi o secvență Cauchy. Tocmai am demonstrat asta, practic. Deci o astfel de secvență ar fi o succesiune Cauchy de numere raționale. Cu toate acestea, nu ar converge în mulțimea numerelor raționale. Ar converge către rădăcina pătrată a lui 2, care nu este un număr rațional. Deci, deoarece rădăcina pătrată a lui 2 nu este un număr rațional, acest lucru arată că numerele raționale nu au această proprietate de completitudine conform căreia secvențele Cauchy converg. Deci există un întreg, încă, până astăzi, un fel de industrie de studiu a spațiilor pentru care Cauchy este echivalent cu convergent. Acestea se numesc spații metrice complete. Și apoi dacă adaugi puțin mai multă structură, se numesc spații Banach și așa mai departe, care sunt foarte importante, nu doar în matematică, ci și pentru formularea riguroasă a multor ipoteze de bază pentru fizica matematică. Deci, dacă ne uităm doar în interiorul raționalelor, nu rezultă că secvențele Cauchy converg întotdeauna. Și acum să ne oprim un minut și să facem un bilanț de ce a fost valabil acest lucru pentru numerele reale. Ce ne-am folosit pentru a reveni? Deci, dacă te întorci cu adevărat la dovezile Bolzano-Weierstrass-- deci asta am folosit aici pentru a arăta că secvențele Cauchy converg-- folosim faptul că lim sup și lim inf există întotdeauna. Și lim sup și lim inf, în primul rând, sunt definite a fi sup și inf, care ar putea să nu existe întotdeauna ca numere raționale, așa cum am arătat deja. Deci asta este cu siguranță o problemă deja acolo. Dar cu atât mai mult, când dovedim că fiecare secvență monotonă mărginită converge, ceea ce am arătat a fost că această limită este de fapt o sumă a unei anumite mulțimi sau un inf al unei anumite mulțimi, care, din nou, poate sau nu să existe dacă am" te uiți doar la numerele raționale. Deoarece numerele raționale nu au cea mai mică proprietate superioară. Deci, este într-adevăr cea mai mică proprietate superioară care ne oferă o convergență echivalentă cu Cauchy pentru numerele reale. Deci, pentru R, cea mai mică proprietate superioară este -- trebuie să fie pentru că acesta este principalul lucru care separă cele două câmpuri, dar doar reiterez acest lucru aici -- este motivul pentru care convergent este echivalent cu Cauchy. Acum că am demonstrat că Cauchy este echivalent cu convergența, poate vă veți întreba, atunci de ce am introdus-o? Dacă aceste două noțiuni sunt aceleași, de ce să le introduci dacă sunt deja doar secvențe convergente? Și motivul este că pentru a arăta că o secvență converge, trebuie să ai cumva mâna pe un candidat pentru limită. Dacă doriți să demonstrați că xn converge, trebuie să găsiți cumva un x către care converge. Și nu este întotdeauna clar cum să găsești acel x. Dar Cauchy, deși este echivalent cu o convergentă în mulțimea numerelor reale, nu necesită să găsești un candidat pentru convergență. Tot ceea ce trebuie să faci este să arăți că, atâta timp cât mergi suficient de departe, oricare două intrări din secvență sunt apropiate, fără a fi necesar să vii cu o limită. Vezi, calculul limitelor este destul de dificil. Suntem pe cale să facem seriale. Și poate, nu știu, cinci oameni din serii pot calcula în mod explicit. Dar știi că există o mulțime de alte serii care sunt de fapt convergente, chiar dacă nu știi care este limita. Și de ce știi asta? Acesta este exact pentru că și exact pentru ce oamenii s-au gândit la secvențele Cauchy pentru început în mare parte din analiză. Deci, din nou, doar pentru a rezuma acest lucru, secvențele convergente sunt frumoase. Dar, în practică, este dificil să pui mâna pe ceea ce ar putea fi o limită a unei secvențe, mai ales dacă acea secvență este destul de complicată. Deci, dacă încerci să arăți că o anumită secvență converge, este suficient, prin ceea ce am făcut aici, să arăți că este Cauchy. Și asta este puțin mai ușor de făcut, deoarece asta necesită doar să lucrezi cu secvența originală. Nu trebuie să vii cu o limită. Puteți doar să vă luați secvența și să începeți să jucați direct cu intrările, mai degrabă decât să încercați să găsiți o limită în mod explicit. Așadar, la asta vom trece la seriale acum, care, așa cum am spus acum un minut, este motivul original pentru care oamenii au început să dezvolte bazele analizei, despre ce vorbim acum, pentru început. Pentru că făceau doar lucruri foarte formale care au sfârșit prin a nu avea sens, de parcă adăugau infinit de numere pozitive și vin cu un număr negativ. Ei bine, asta nu poate fi corect. Așa că toate acestea au fost create, descoperite -- oricum doriți să le exprimați -- pentru a pune pe baze riguroase următorul subiect, care este serialul. Și te-ai ocupat de serii în calcul, așa că știi ce este o serie. Poate că nu vă amintiți toate dovezile proprietăților seriei. Dar este suficient să spunem că serialul este o motivație destul de bună, deoarece este unul dintre cele mai utile lucruri care iese din matematică. Expansiunile de serie sunt modul în care rezolvați ODE-urile, PDE-urile, expansiunile Taylor. Toate aceste lucruri sunt, într- un anumit sens, o formă de serie. Deci, a fi capabil să le justifice ca fiind lucruri reale este o necesitate. Deci definiția unei serii, deocamdată, este într-adevăr doar acest simbol pe care sunt pe cale să-l notez. Deci, având în vedere o secvență x sub n, simbolul -- sau poate voi scrie uneori doar suma x sub n -- este ceea ce se numește seria asociată secvenței x sub n. Deci, acum, acesta este doar un simbol. Vom interpreta acest lucru ca un număr real în următoarea situație. Spunem că seria converge, dacă următoarea secvență dată de s sub m este egală-- deci s sub m, acesta este elementul șirului. Și ce e? Este suma reală. Deci, acesta nu este un lucru formal. Aceasta este doar o sumă finită de la n egal cu 1 la m. Deci aceasta este... deci această secvență acum, m este egală cu 1 până la infinit. Și acești tipi pe care îi numim sume parțiale converge. Deci, acum, dacă avem doar o secvență x sub n, seria asociată acelei secvențe este doar un simbol. Spunem că această serie converge dacă această succesiune de sume parțiale converge și dacă s este această limită. Și scriem s este egal cu seria și tratăm seria acum ca un număr. Deci, în general, dacă am o secvență, am doar acest simbol formal, pe care îl notez, pe care îl numesc o serie asociată acesteia. În cazul în care șirul sumelor parțiale converge, atunci identific această serie cu un număr real și o tratez ca pe un număr real. Și așa cum am scris asta, seria începe la 1. Dar nu trebuie neapărat. Deci, doar prin deplasarea indicelui - deci permiteți-mi doar să spun aici că nu trebuie neapărat să începem o serie la n egal cu 1. Deci, aceasta ar putea fi suma de la n egal cu 0 la infinit, caz în care, avem o secvență începând acum de la x sub 0. Sau ar putea începe de la 2, loc în care succesiunea de x sub n începe de la n este egal cu 2. Și apoi șirul sumelor parțiale ar începe de la m este 1, ci m este egal cu 0 sau m este egal cu 2, în funcție de unde începe seria. Deci niste exemple. Suma seriei de la n este egală cu 1 la infinit 1 peste n plus 1 ori n, aceasta este o serie convergentă. Deci de ce este asta? Deci, să ne uităm la dovada. Așa că ne uităm la a m-a sumă parțială - aceasta este suma de la n este egală cu 1 la m de 1 peste n plus 1n. Și acesta este egal cu - acum, dacă scriu 1 peste n plus 1 ori n ca 1 peste n minus 1 peste n plus 1, aceasta este acum suma 1 peste n plus - acestea sunt sume finite, așa că pot le despărți mereu. Acesta ar trebui să fie un minus. Și acum, acesta este egal cu 1 plus 1/2 plus 1 peste m minus 1/2 plus 1/3 plus 1 peste m plus 1 peste n plus 1. Și vedeți că toate acestea se anulează. Și tot ce a mai rămas este 1 minus 1 peste m plus 1. Deci a-a sumă parțială este egală cu 1 minus 1 peste m plus 1. Și, prin urmare, succesiunea sumelor parțiale este limita pe măsură ce m ajunge la infinitul acesteia, care este doar 1. Și, prin urmare, această serie converge. Acum, secvența noastră preferată, care nu converge, ne va oferi o serie care nu converge. Deci, să ne uităm la suma de la n este egală cu 1 la infinit minus 1 la n. Acest lucru nu converge. Deci care este dovada? A-a sumă parțială, aceasta este egală cu minus 1 plus 1 plus minus 1 până când obțin minus 1 la m. Și, prin urmare, acest lucru este întotdeauna egal cu unul din două lucruri. Dacă m este impar, atunci am un număr impar din acești tipi. Și, prin urmare, minusurile și plusurile se anulează, lăsând doar un minus 1 la final -- acesta ultim, cel impar. Și m este impar și 0 dacă m este par. Dacă adun un număr par din acești termeni, atunci toate minusurile 1 și 1 se anulează, așa că obțin doar 0. Și, prin urmare, această secvență, care este doar minus 1 pentru m impar, 0 pentru m par, nu converge. Și, prin urmare, seria nu converge. Deci, când scriu asta, acesta este doar un simbol. Aceasta este doar cretă pe o tablă. Nu înseamnă nimic. Deci, să trecem la o altă serie, care converge. Și acesta este un fel de cel cu care comparăm toate celelalte seriale, în esență, după cum veți vedea. Aveți toate aceste teste de serie pe care să le amintiți, sperăm, din calcul, care vă spun când o serie converge. Dar poate, dacă îți amintești dovada sau nu, cum o faci este să o convergi într-o singură serie, pe care știi să o însumezi. Așa că doar din pură noroc am putut să calculăm suma sau să calculăm seria explicită pentru acest tip. Un alt motiv pentru care putem face asta este seria geometrică. Deci teorema este dacă am un număr real cu valoare absolută mai mică decât 1, atunci seria care începe acum de la 0 R la n converge. Și chiar pot să calculez suma acestei serii. Și acesta este 1 peste 1 minus r. Deci care este dovada? Să ne uităm la sumele parțiale. Și le putem calcula și pe acestea, așa cum am putut să facem pentru primul exemplu. Calculăm că suma de la n este egală cu 0 la m din r la m-- acum, puteți demonstra acest lucru prin inducție. Nu-mi amintesc exact dacă am făcut asta-- cred că am făcut-- în a doua prelegere despre inducție, prima sau a doua prelegere despre inducție. Dar dacă adun un număr ridicat la n-a-- deci aceasta ar trebui să fie la n-- puterea de la 0 la m, aceasta este egală cu 1 minus r la m plus 1 peste 1 minus r. Și cred că acum două prelegeri , am demonstrat că dacă valoarea absolută-- așa că permiteți-mi să spun asta acum. Cu două prelegeri în urmă, am demonstrat că, dacă valoarea absolută a lui r este mai mică decât 1, atunci limităm ca, să o facem m, din r la m este egal cu 0, ceea ce implică că-- deci aceasta a fost a m-a sumă parțială- - ceea ce implică că limita pe măsură ce m merge la infinitul lui s sub m este egală cu limita pe măsură ce m merge la infinitul acestui lucru, adică, dacă doriți -- astfel încât plus 1 doar înmulțește r la m cu r. Și folosind faptele algebrice pe care le-am demonstrat despre limite este 1 minus r timp 0 peste 1 minus r, care este egal cu 1 peste 1 minus r. Așa că acum întrebi despre celălalt. Dar r mai mare decât 1? Ei bine, când r este egal cu minus 1, atunci obținem al doilea exemplu pe care l-am uitat. Dacă obținem r egal cu 1, atunci este doar însumarea 1 și vă las pe voi să verificați dacă nu converge, că șirul sumelor parțiale, dacă doar însumez 1 din n este egal cu 0 la m, este egal cu 2n plus 1, care nu converge. Și să fac doar un fel de comentariu prostesc. Și poate că nu am făcut în mod explicit acest comentariu despre secvențe. Poate că am uitat să fac și asta. Deci, pentru o secvență, ați putea începe secvența nu neapărat la prima intrare. Poate te uiți la o nouă secvență, dacă vrei, în care... ei bine, așa că știm din secvențe că subsecvențele de secvențe convergente converg. Deci, dacă eu, în loc să mă uit la întreaga secvență, încep de la, să spunem, x100 și apoi merg pe x101, x102, și asta e secvența la care mă uit, ei bine, aceasta este o subsecvență a celei originale, care, dacă converge, implică faptul că subsecvența converge. Deci, tot ceea ce înseamnă - și pentru acest mod simplu de a obține această nouă secvență - toate acestea înseamnă că pentru a înțelege dacă o secvență converge, nu trebuie să iau în considerare ce se întâmplă pentru primii termeni finiți din secvența, adică o secvență x sub n converge dacă și numai dacă o secvență care începe acum, de exemplu, n este egală cu 100-- și 101, 102, 103 și așa mai departe-- converge. Și același lucru este valabil și pentru serii, că o serie converge dacă și numai dacă o serie converge, acum, începând dintr-un punct diferit de-a lungul secvenței. Deci aceasta este următoarea teoremă. Fie xn o succesiune, iar M capitală un număr natural. Atunci n este egal cu 1 până la infinit de x sub n. Aceasta converge dacă și numai dacă șirul, începând acum cu M majuscule, converge, adică atunci când trebuie să decid dacă o serie converge sau nu, nu contează ce se întâmplă pentru primii termeni finiți. Ceea ce contează este ce se întâmplă în timp ce continui să adaug termeni din ce în ce mai departe din această secvență. Și care este dovada? Dovada este doar exprimarea sumelor parțiale pentru acest tip în termeni ai sumelor parțiale pentru acest tip. Deci, o sumă parțială satisfăcută pentru tot m, suma de la n este egală cu 1 la m, iar acum x sub n ca sumă de la n este egală cu capital M la m x sub n plus suma de la n este egală cu 1 la capital M minus 1 x sub n. Deci, acesta este acum doar un număr fix. Deci aceasta este o succesiune de sume parțiale corespunzătoare acestei serii. Aceasta este o succesiune de sume parțiale corespunzătoare acestei serii. Și acesta este doar un număr fix. Prin urmare, dacă aceasta converge, atunci această parte converge către aceasta plus aceasta-- deci poate că merg puțin repede. Dar dacă aceasta converge, atunci aceasta converge către aceasta minus acest număr. Și dacă aceasta converge, atunci această succesiune de sume parțiale converge către această limită plus acest număr fix. Și atât am de gând să scriu. Acum, revenind la utilitatea secvențelor Cauchy, aici devin utile cu adevărat în studiul seriei. Pentru că din nou, este greu de însumat. Deci, când tot vorbesc rostind cuvântul suma o serie, vorbesc despre găsirea limitei sumelor parțiale. Dar pentru că avem această echivalență între secvențele Cauchy și secvențele convergente, pentru a decide dacă o serie este convergentă sau nu, putem doar decide dacă, într-un anumit sens, este Cauchy sau nu. Deci, permiteți-mi să fac această definiție. Spunem că o serie x sub n este Cauchy dacă succesiunea de sume parțiale - din nou, voi pune un m în sus, deoarece acesta poate începe de la 0 sau n este egal cu 1 sau ceva - deci și secvența de sume parțiale sume este Cauchy. Așa că permiteți-mi să reiterez ceea ce am demonstrat pentru secvențe în termeni de serie. Deci am demonstrat că fiecare succesiune Cauchy este convergentă. Deci o serie este Cauchy înseamnă că succesiunea sumelor parțiale este Cauchy. Dar am demonstrat că secvențele Cauchy sunt convergente. Deci, dacă acesta este Cauchy, atunci este convergent și invers. Deci, pe baza a ceea ce am dovedit deja pentru secvențe, rezultă că-- și asta decurge imediat din ceea ce am demonstrat deja, așa că nici măcar nu voi scrie o dovadă-- o serie este Cauchy dacă și numai dacă seria este convergentă - din nou, deoarece ambele sunt definite în termeni de succesiunea sumelor parțiale asociate seriei. Și am demonstrat deja echivalența dintre Cauchy și convergența pentru secvențe. Acum, permiteți-mi să scriu ce înseamnă să fii Cauchy într-un mod ușor diferit. Și este următorul. Deci înainte, am avut că o secvență este Cauchy, intuitiv, dacă elementele secvenței se apropie unele de altele. Acum, pentru ca o serie să fie Cauchy, modul intuitiv de a gândi este că coada sumei devine mică, devine arbitrar mică, coada sumei fiind dacă adun un număr finit de numere suficient de departe. Deci o serie este Cauchy dacă și numai dacă toate epsilonele pozitive există la M, un număr natural, astfel încât pentru toate numerele întregi l mai mari decât m, care este mai mare sau egală cu M majuscul, suma de la n este egală cu n plus 1 la l din x sub n-- deci aceasta este o sumă care implică termeni care sunt destul de departe acolo, cel puțin toți indexați cu ceva mai mare sau egal cu capitalul M-- este mai mic decât epsilon. Așadar, o serie este Cauchy dacă adunați piese din ce în ce mai mici, nu piese individuale, ci adunându-le efectiv. Așa că vă las pe voi să le faceți -- ambele sunt destul de ușoare -- dar această direcție, vă las pe voi ca un exercițiu. Și va urma imediat din ceea ce voi scrie pentru, în esență, această direcție. Deci, să presupunem - și să concretizăm lucrurile, începând de undeva - să presupunem că această sumă este Cauchy. Și vrem să dovedim acum că are această proprietate. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Acum dorim să producem un număr capital M, astfel încât acest lucru să fie valabil. Deci, din moment ce șirul sumelor parțiale s sub m este Cauchy -- asta înseamnă ca seria să fie Cauchy -- există un număr natural, M majuscul, astfel încât pentru tot M mai mare sau egal cu M0 și l mai mare decât sau egal cu M0, s sub m minus s sub l este mai mic decât epsilon. Deci, de fapt, vom lua capitalul M pentru a fi acest M0. Alegeți M pentru a fi M0. Atunci, dacă l este mai mare decât m, care este mai mare sau egal cu M, care este egal cu M0, dacă mă uit la această sumă de la n egal cu m plus 1 la l x sub n, pot scrie - deci aceasta este absolută valoare. Deci, de fapt, permiteți-mi să elimin valoarea absolută, astfel încât aceasta să devină destul de clară. Pot scrie această sumă ca a l-a sumă parțială minus a n-a sumă parțială. Deoarece a 1-a sumă parțială de la n este egală cu 1 până la l. A m-a sumă parțială de la n este egală cu 1 până la m. Deci suma care conține numai termenii dintre n plus 1 și l este diferența acestor băieți. Așa că acum o voi pune pe valori absolute. Și acest lucru, pentru că l și m sunt mai mari sau egale cu capitalul M, care este egal cu M0, și pentru că am această inegalitate, aceasta este mai mică decât epsilon. Și direcția inversă, din nou, decurge imediat, în esență, din această egalitate aici. Deci, pentru a verifica dacă o serie converge, nu trebuie să vin cumva cu o limită pentru această serie, o sumă pentru această serie. Pot doar să dovedesc că coada poate fi făcută arbitrar mică, atâta timp cât merg suficient de departe în serie. Și din aceasta, obținem o proprietate elementară destul de simplă, deci o teoremă. Dacă o serie converge, atunci aceasta implică faptul că limita ca n merge la infinit de x sub n a secvenței pe care ați folosit-o pentru a obține seria este egală cu 0. Deci, aceasta ar trebui să se încadreze în conformitate cu o serie care este convergentă dacă și numai dacă satisface acest lucru. proprietate aici, ceea ce spune cumva că coada sumei devine din ce în ce mai mică, ceea ce înseamnă că nu puteți adăuga lucruri mari pe măsură ce continuați în serie. Deci dovada. Deci vom arăta acest lucru printr-o definiție simplă epsilon M. Deci, să presupunem că xn converge. Atunci xn seria este Cauchy. Și acum voi verifica acest lucru folosind definiția epsilon M. Fie epsilonul să fie pozitiv. Deoarece xn este Cauchy, acest lucru implică faptul că există un număr natural M0 astfel încât pentru tot l mai mare sau egal cu m mai mare sau egal cu M0, am acea condiție acolo, suma de la n este egală cu m plus 1 la l x sub n este mai mică decât epsilon. Alegeți M ca să fie M0 plus 1. Deci, de ce M0 plus 1, dar nu exact M0? Doar pentru că, practic, ceea ce voi face este să consider că l este egal cu m plus 1. Și indicele este deplasat cu 1. Atunci, dacă m este mai mare sau egal cu M, obțin că valoarea absolută a lui x sub m-- poate în loc să spun limită când n merge la infinit, voi scrie limită pe măsură ce m merge la infinit, este doar o modificare a variabilei fictive-- aceasta este egală cu suma de la n egal m la m x sub n. Și așa am schimbat asta. Așadar, acum mic m este mai mare sau egal cu capitalul M0 plus 1. Așa că ați putea scrie asta ca, dacă doriți, m minus 1 plus 1. Deci, mic m minus 1 este mai mare sau egal cu M0. Deci, prin această inegalitate, aceasta este mai mică decât epsilon. Deci vedem că dacă o serie converge termenii, termenii individuali, x sub n trebuie să convergă la 0. Deci, există un alt motiv pentru care această serie minus 1 la n nu converge. Pentru că acești termeni nu converg. Și acest lucru ne mai spune că pentru această serie geometrică, când r este mai mare sau egal cu 1 în valoare absolută, seria nu converge. Nu converge. Și dovada este-- și am demonstrat acest lucru, de fapt, cred, de asemenea, cu câteva prelegeri în urmă, de asemenea, că dacă valoarea absolută a lui r este mai mare decât 1, atunci limita ca n merge la infinitul lui r la n , această limită nu există. Am arătat că este, de fapt, nelimitat. r la n este o secvență nemărginită. Deci nu se convertește. Așa că folosesc acea teoremă de acolo într-un mod puțin indirect. Permiteți-mi să reiterez această teoremă aici. Această teoremă spune că dacă seria converge, atunci această limită este egală cu 0. Acum, această afirmație este echivalentă din punct de vedere logic cu negația conversului, sau există un cuvânt real pentru asta, dar nu îmi pot aminti - și anume că negația acestui implică negația acestui lucru. Deci, o modalitate echivalentă din punct de vedere logic de a rescrie acea declarație de acolo este că, dacă această limită nu este egală cu 0 -- deci dacă nu există deloc, este de asemenea bine -- asta înseamnă că nu converge. Deci, această reformulare a teoremei de acolo este cu adevărat ceea ce am folosit aici. În regulă. Și cred că mă voi opri aici. Data viitoare, vom vedea că această teoremă de aici este o stradă cu sens unic. Și cred că ați acoperit acest exemplu în, probabil, calcul, și anume acea stradă cu sens unic în sensul că dacă x atunci converge, atunci această limită este 0. Dar inversul nu este valabil. Și anume, nu este adevărat că dacă această limită este 0, atunci aceasta converge. Și vom vedea faimoasa serie armonică data viitoare.