[SCRÂȘIT] [FOȘNIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: În regulă, deci ultima dată am demonstrat următoarea teoremă-- că, dacă am o serie convergentă, și asta implică că limita ca n merge la infinitul lui x sub n este egală cu 0 Deci, o întrebare firească este, ca o clasă de matematică avansată pentru început, este valabil și invers? Este aceasta o stradă cu două sensuri sau o stradă cu sens unic? Deci, dacă termenii individuali din această serie converg la 0, înseamnă aceasta că seria converge? Și sunt sigur că ați răspuns la această întrebare într-o formă oarecare într-o clasă anterioară de calcul. Și răspunsul la această întrebare este nu. Deci care este contraexemplul? Este așa-numita serie armonică, care corespunde secvenței noastre preferate, care converge la 0. Așa că vom afirma asta ca o teoremă - suma seriei de la n este egală cu 1 la infinitul lui 1 peste n nu converge. Deci, cum vom demonstra această teoremă? Vom demonstra această teoremă arătând o succesiune de sume parțiale. O anumită secvență de sume parțiale pentru acest tip nu converge. Deci, dacă ar converge, atunci șirul sumelor parțiale converge și, prin urmare, fiecare subsecvență a sumelor parțiale converge. Deci care este strategia? Vom arăta că există o subsecvență de sume parțiale, aici s n k-- să facem acest m k-- deci amintiți-vă, sumele parțiale sunt pur și simplu însumând primul-- deci indicele aici este m sub k, deci primii m sub k termeni, 1 peste n, diverge. Și acest lucru este suficient pentru a arăta că seria completă nu converge din nou. Pentru că dacă converge, succesiunea sumelor parțiale converge și, prin urmare, fiecare subsecvență a sumelor parțiale converge. Deci, dacă suntem capabili să arătăm că există o subsecvență care diverge, atunci am terminat. De fapt, ceea ce vom face este ceva un pic mai puternic. Vom arăta că există o subsecvență de sume parțiale care nu numai că diverge, ci sunt nemărginite. Și, prin urmare, întreaga succesiune de sume parțiale este nemărginită. Deci, dacă suntem capabili să arătăm că există o subsecvență care este nemărginită, atunci întreaga secvență de sume parțiale este nemărginită, deci nu poate converge. Pentru că nu uitați, secvențele convergente implică secvențe mărginite. Deci ne vom uita când m sub k este diadic. Și din anumite motive, am schimbat indicii de la k la l în notele mele, așa că, în schimb, vom trece de la m sub l. Deci, să fie l un număr natural și vom lua în considerare suma parțială corespunzătoare adunării primilor 2 la termenii l. Acum, vă puteți întreba, de ce 2 la l? De ce nu 3 la l? Ei bine, 4 la l va fi o consecință a acesteia, dar 2 la l este-- ai putea face 3 la l, ai putea face 5 la l, dar 2 la l este suficient pentru scopurile noastre. Deci ceea ce vom face este să luăm această sumă parțială și să o legăm de jos de ceva care este destul de mare. Deci, în primul rând, toate aceste sume parțiale sunt mărginite de jos de 0. Sunt o sumă de termeni nenegativi. Deci scriem s 2 la l. Acesta este egal cu 1 plus 1/2 plus-- și voi pune paranteze în jurul asta-- plus 1/3, plus 1/4, plus 1/5, plus 1/6, plus 1/7, plus 1/8. Deci, cum grupez acești termeni este că îi grupez în funcție de dacă numitorul se încadrează între o putere de 2 și următoarea putere de 2, apoi plus punct, punct, punct, 2 la l minus 1 plus 1 plus 1 peste 2 la l. Acum pot scrie această sumă parțială. Așa că am grupat termenii în acest fel. Ce este aceasta în termeni de simboluri precise? Aceasta este 1 plus suma de la lambda este egală cu 1 la l, suma de la n este egală cu 2 la lambda minus 1 plus 1 2 la lambda 1 peste n Deci. Aceste lambda parametriază acum la ce putere de 2 mă aflu. Deci, când lambda este egal cu 1, sunt la acest bloc. Când lambda este egal cu 2, sunt la acest bloc, iar lambda este egal cu l, sunt la acest bloc. Și apoi însumez termenii care au numitor între acea putere și următoarea din 2. Deci am asta și acum am legat acea sumă de jos. Pentru că din nou, încerc să arăt că această subsecvență de sume parțiale este nemărginită. Așa că am legat-o de jos. Suma de la lambda este egală cu 1 la l, suma de la n este egală cu 2 la lambda minus 1 plus 1, 2 la lambda. Și acum, pentru fiecare dintre acestea, n este între 2 la-- deci ar trebui să fie 2 la lambda. Acum, pentru n între aceste două numere, 1 peste n este întotdeauna mai mare sau egal cu atunci când conectez cea mai mare limită aici, 2 la lambda. Și acum am doar o sumă, deci peste n, dar nu există n în acest termen. Deci doar adun toți numărul de termeni dintr-un anumit bloc. Și aceasta este egală cu-- așa că mai întâi am 1 peste 2 la lambda care vine de aici, și apoi suma de la n este egală cu 2 la lambda minus 1 plus 1, 2 la lambda ori 1. Deci, din nou, mă duc cam încet aici. Și acesta este doar egal cu l 1 peste 2 la lambda ori numărul de termeni pe care îi am aici, care este 2 la lambda minus 2 la lambda minus 1 plus 1, deci acesta minus acest plus 1. Deci, acesta este egal cu 1 plus lambda este egal cu 1 la l, 1 peste 2 lambda. Și astfel, acest 1 se anulează cu acesta. Și apoi am 2 lambda minus 1, pe care îl pot scoate. Și deci acesta este doar 1. Și primesc 1 plus suma din lambda este egală cu 1 la l. Și acest 2 la lambda se anulează cu acest 2 la lambda, iar eu am rămas doar cu o jumătate. Și aceasta este egală cu... acum amintiți-vă, nu există nicio sumă aici în lambda, deci aceasta este doar 1 plus l peste 2. Deci, ce am făcut? Practic am arătat că fiecare dintre aceste blocuri este mărginit de jos de o 1/2. Acesta este termenul pe care îl primim chiar aici până la urmă. Și putem vedea asta dacă doar parcurgem primii trei termeni pe care i-am scris aici. Deci 1/2 este clar delimitat mai jos de o 1/2. 1/3 plus 1/4 este mărginit mai jos de 1/4 plus 1/4, deoarece 1/3 este mai mare decât atât. Deci 1/4 plus 1/4 este o 1/2. Dacă mă uit la acest bloc următor, adică 1 peste 5 este mai mare sau egal cu 1 peste 8. La fel este 1 peste 6. La fel este 1 peste 7. Deci această sumă este mai mare sau egală cu 1/8 plus 1/8 plus 1/8 plus 1/8, care este egal cu 1/2, plus și apoi așa mai departe. Așa că ar fi trebuit să spun asta înainte de a intra în calculul propriu-zis. Dar în cele din urmă, obținem că această subsecvență de sume parțiale s la 2l. Așa că permiteți-mi să rezumam. Acesta este mai mare sau egal cu l plus 2 peste 2. Și pe măsură ce l devine foarte mare, acest lucru devine foarte mare. Deci, aceasta implică s la 2l, această subsecvență, egală cu 1 la infinit, este nemărginită, ceea ce implică că subsecvența completă, sau șirul complet de sume parțiale, este nemărginită. Și, prin urmare, succesiunea sumelor parțiale nu converge. Și, prin urmare, acea serie nu converge. Deci vedem că inversul nu este valabil pentru acea întrebare sau pentru acea teoremă. Voi face doar o mențiune trecătoare asupra faptului că există câmpuri pentru care acest lucru este valabil - deci câmpuri nu ordonate , pentru că din nou, câmpurile ordonate cu cea mai mică proprietate superioară trebuie să fie R și, prin urmare, doar am a arătat că inversul acelei teoreme nu este valabil. Dar, de fapt, dacă te uiți la așa-numitele numere p-adice, ele au această proprietate că, dacă șirul de termeni converge la 0, atunci seria converge. Dar nu vom vedea niciodată numere p-adice. Am vrut doar să-i fac un pic de spus față de faptul că există cel puțin câmpuri de numere care au această proprietate. Deci am avut o teoremă despre limitele secvențelor și modul în care acestea interacționează cu operațiile algebrice. Acest lucru implică în mod firesc o teoremă despre serii. Deci să fie alfa în R și să presupunem că avem două serii convergente. Atunci, dacă mă uit la seria alpha x n plus y n-- deci termenii noii mele serii sunt alfa ori x sub n plus y sub n-- aceasta este o serie convergentă. Iar suma acestei serii este egală cu ceea ce vă așteptați. Deci suma seriei alfa x n plus y n este egală cu alfa înmulțită cu suma lui x n plus suma lui y n. Deci această teoremă decurge în esență cam imediat din ceea ce am făcut pentru secvențe. Sumele parțiale satisfac -- dacă mă uit la suma oprindu-se la m, alpha x n plus y n, acum doar prin liniaritatea adunării finite a mai multor termeni - nu voi pune ceva mai jos pentru că chiar nu am nevoie to-- aceasta este egală cu alfa ori suma parțială a lui x sub n plus suma parțială corespunzătoare lui y sub n. Și deci presupunem că această secvență de sume parțiale converge și această secvență de sume parțiale converge. Prin urmare, acest termen din partea dreaptă converge, ceea ce înseamnă că partea stângă converge. Deci prin proprietățile liniare ale limitelor, și anume că limita sumei este suma limitelor. Și înmulțirea doar cu numere reale fixe comută cu luarea de limite, așa că obținem acea limită pe măsură ce m merge la infinit, deci suma parțială corespunzătoare noii serii este egală cu alfa plus-- și asta este doar alfa înmulțit cu suma x n plus suma y n. Și acesta este sfârșitul. Așa că acum, amintiți-vă că aveam anumite secvențe despre care am putea spune dacă converg, puțin mai ușor decât o simplă secvență arbitrară. Câteva exemple de-- cel puțin un exemplu de secvență pe care am putea decide dacă converge ușor este o secvență crescătoare monotonă. Și am arătat că o secvență crescătoare monotonă converge dacă și numai dacă este mărginită. Așa că vom folosi asta pentru a putea spune ceva despre serii acum -- nu secvențe, ci serii -- care au termeni nenegativi pe care îi adun. Deoarece sumele parțiale corespunzătoare unei serii care are termeni nenegativi formează o secvență crescătoare monotonă. Și asta nu este prea greu de arătat. Deci aceasta este următoarea teoremă. Așa că acum, vom discuta puțin despre secvențe sau vom privi secvențele care au termeni nenegativi. Deci teorema este următoarea - dacă pentru tot n un număr natural, x atunci este mai mare sau egal cu 0 - deci toți acești termeni sunt nenegativi - atunci seria converge dacă și numai dacă șirul sumelor parțiale s sub m-- este mărginit. Și din nou, modul în care vedem acest lucru este doar că atunci când acești termeni sunt nenegativi, succesiunea sumelor parțiale este monotonă. Deci iată dovada. Este destul de ușor. Deci avem pentru toți n un număr natural-- facem acel m-- dacă mă uit la s sub m plus 1, acesta este egal cu-- deci aceasta este m plus 1 sumă parțială-- de la m este egal cu 1 la m plus 1 , x din n, aceasta este egală cu suma din n este egală cu m x n plus x n plus 1. Și acum termenul x m plus 1 nu este negativ. Presupunem că toți termenii sunt nenegativi. Deci, această parte din dreapta - aceasta este cu siguranță mai mare decât sau egală cu suma de la n este egală cu 1 la m de x n și aceasta este egală cu s m. Deci, doar rezumând pentru toate numerele naturale m, s m plus 1 este mai mare sau egal cu s m. Dacă continui să adaug lucruri nenegative, sumele parțiale devin mai mari. Deci sumele parțiale sunt monotone. Așa că poate ar fi trebuit să spun asta ușor diferit, doar ca să nu crezi că asta face parte dintr-unul dintre dacă și numai dacă. Adică, aceasta este presupunerea pe care o avem pentru toată această declarație. Să presupunem că aceasta, deci concluzia este că aceasta converge dacă și numai dacă șirul sumelor parțiale este mărginită. Deci, pe baza presupunerii că toți termenii sunt nenegativi, vedem că succesiunea sumelor parțiale este în creștere monotonă. De aceea, ceea ce am demonstrat pentru secvențe - fiecare secvență crescătoare monotonă converge dacă și numai dacă este mărginită. Si asta e. Acum, nu fiecare serie la care ne uităm are termeni nenegativi. Dar putem oricând să formăm o anumită serie din acești termeni pentru a face o serie nouă cu termeni nenegativi, care ne oferă informații despre seria originală. Despre ce mă mai întâmplă? Și uită-te la proprietățile de convergență ale acelei noi serii. Deci avem următoarea definiție - că o serie converge absolut, sau spunem că avem convergență absolută, dacă seria formată luând valorile absolute ale acestor termeni, dacă această serie converge. Deci, la ce încercam să ajung înainte de a afirma această definiție, este că convergența absolută implică convergența obișnuită. Dacă această serie converge absolut, atunci seria originală converge. Acum, înainte de a demonstra această teoremă, permiteți-mi să demonstrez o mică, mică teoremă. Nu-mi amintesc dacă l-am dat pentru o misiune sau nu, dar este în esență o inegalitate triunghiulară pentru cât de mulți termeni doriți. Deci vom demonstra această teoremă într-un minut. Dar mai întâi, permiteți-mi să demonstrez următoarea teoremă - că dacă m este mai mare sau egal cu 2 și x1 până la x m sunt în R, atunci suma de la n este egală cu 1 la m x n, luăm valoarea absolută a acestei sume, aceasta este mai mic sau egal cu suma de la n este egal cu 1 la m a valorii absolute. Când m este egal cu 2, aceasta este doar forma obișnuită a inegalității triunghiului. Deci m este egal cu 2 - asta înseamnă doar că x1 plus x2 este întotdeauna mai mic sau egal cu x1 plus x2, care este doar inegalitatea triunghiului. Dar, de obicei, cum funcționează viața, cel puțin în analiză, dacă o poți face pentru două lucruri, atunci o poți face pentru n lucruri sau m lucruri, în acest caz, prin inducție. Și așa vom demonstra asta. Deci vom dovedi mai întâi să demonstrăm această inegalitate triunghiulară prin inducție. Acum, în dovezile de inducție pe care le-am făcut până acum, micul n este lucrul nostru pe care îl inducem. În această afirmație, m este lucrul, inducție pe m. Deci, să ne uităm la cazul de bază, care este m egal cu 2. Deci, aceasta este doar inegalitatea triunghiulară pentru două numere reale pe care le-am demonstrat deja înainte -- x1 plus x2 în valoare absolută este întotdeauna mai mic sau egal cu suma lui x1 plus suma lui x2-- Adică, suma valorii absolute a lui x1 și valoarea absolută a lui x2. Deci, cazul de bază este în regulă. Deci acum facem pasul inductiv. Așa că voi presupune afirmația pe care vreau să o dovedesc. De obicei, folosesc m, dar acum voi trece la următoarea litera l, mergând în ordine alfabetică inversă. Să presupunem că dacă x1, x l în R. Deci haideți, de fapt, în loc să reafirmăm toate acestea, doar-- voi doar [INAUDIBIL] stea. Deci, să presupunem că steaua este valabilă pentru m este egal cu l. Și acum vrem să demonstrăm că steaua este valabilă pentru m este egal cu l plus 1. Acum vrem să arătăm că steaua este valabilă pentru m este egal cu l plus 1. Fie x1 până la x l plus 1 în R. Atunci, dacă mă uit la suma de la n este egal cu 1 la l plus 1 x n, aceasta este egală cu suma de la n egal cu 1 la l x n plus x l plus 1 în valoare absolută. Prin inegalitatea triunghiulară obișnuită pentru doi termeni, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la n este egală cu 1 la l de x n în valoare absolută plus valoarea absolută a lui x l plus 1 prin inegalitatea triunghiulară obișnuită. Și acum acest termen, deoarece presupun că m este egal cu l este valabil, deci cazul m este egal cu l spune că acesta este mai mic sau egal cu suma de la n este egal cu 1 la l de x n plus x l plus 1 în valoare absolută. Deci aceasta este prin ipoteză inductivă. Și aceasta este doar egală cu suma de la n este egală cu 1 la l plus 1 x n. deci am dovedit că deocamdată m este egal cu l plus 1. Și asta încheie demonstrarea acestei inegalități triunghiulare generalizate cu un număr arbitrar de termeni. Deci, să revenim la demonstrarea acestei teoreme, că convergența absolută implică convergență. Așa că vom face asta demonstrând că convergența absolută implică faptul că seria este Cauchy. Deci dovada - și aceasta este a teoremei chiar înainte de această teoremă, am demonstrat că convergența absolută implică convergența obișnuită. Deci vom demonstra că, de fapt, această serie este Cauchy, presupunând convergență absolută. Și de data trecută, am aprobat afirmația, sau cel puțin aceasta a urmat din afirmația pentru secvențe, că o serie Cauchy converge - că o serie este Cauchy dacă și numai dacă converge. Așa că trebuie să dovedim că serialul este Cauchy. Amintiți-vă, aceasta înseamnă că pentru toate epsilonele pozitive, există un număr natural m astfel încât pentru toate l mai mari decât m mai mari sau egale cu M, dacă mă uit la suma de la n este egală cu m plus 1 la l de x n, aceasta este mai mică. decât epsilon. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deci, deoarece presupunem că seria este absolut convergentă, aceasta implică că această serie cu valori absolute aici este și Cauchy. Deci asta înseamnă că există un număr natural m sub 0 astfel încât pentru toate L mai mari decât m mai mari sau egale cu M sub 0, dacă mă uit la suma valorilor absolute de la m plus 1 la l, aceasta este mai mică decât epsilon. . Acum, aceasta ar trebui să aibă o valoare absolută în exterior, dar aceasta este o sumă de termeni nenegativi, deci valoarea absolută poate fi eliminată. În esență, puteți vedea unde mergem pe baza a ceea ce este scris pe tablă -- ce vrem să dovedim și ceea ce știm și această inegalitate triunghiulară. Deci alegeți M ca să fie M sub 0. Atunci, dacă l este mai mare decât m este mai mare sau egal cu M, atunci valoarea absolută a sumei m plus 1 la l sub n-- aceasta este mai mică sau egală cu suma din n este egal cu m plus 1 la l din valorile absolute ale lui x sub n prin teorema pe care am demonstrat-o cu doar un minut în urmă. Și aceasta este mai mică decât epsilon prin alegerea noastră pentru M. M este egal cu M0, iar pentru M0, avem această inegalitate chiar aici. Astfel, seria este Cauchy, ceea ce înseamnă că converge. Practic, singurul test pe care îl cunoașteți pentru a determina când o serie este convergentă este în una dintre cele două posibilități. Fie A, are o formă foarte simplă, deci toți termenii sunt nenegativi, dar termenii au o formă foarte simplă. Este testul în serie alternantă despre care vom discuta puțin, eventual următoarea prelegere. Și atunci când o serie converge absolut, avem o mulțime de teste pentru asta. Și vom vedea că serialele care converg absolut cumva nu sunt volubile, ceea ce înseamnă că pot rearanja termenii și seria rearanjată va converge în continuare absolut și va converge către același lucru spre care a convergit seria originală. Așa că permiteți-mi doar să fac un scurt comentariu după această teoremă, am demonstrat că convergența absolută implică convergența obișnuită și o legătură puțin cu ceea ce tocmai am spus acolo. Deci vom arăta că suma seriei de la 1 la infinitul minus 1 la n 1 peste n-- aceasta converge. Dar rețineți că această serie nu converge în mod absolut. Pentru că atunci când iau valori absolute, obțin doar suma 1 peste n, care este seria armonică, pe care am arătat-o acum câteva minute, este divergentă. Deci acum vom trece la câteva teste de convergență. Acum, când vine vorba de teste de convergență, din ceea ce decurg toate acestea este, practic, ceea ce știm despre seriile geometrice și următorul test de comparație, deși atunci când fac dovezile celorlalte teste de convergență, nu voi afirma de fapt că sunt folosind testul de comparație. Dar asta este un fel de ceea ce se obișnuiește cu adevărat. Deci primul test pe care îl avem este testul de comparație. Și afirmația este următoarea: să presupunem că pentru tot n un număr natural, ne uităm la termeni nenegativi cu unul mai mic decât celălalt. Atunci concluzia este că dacă cea mai mare converge, aceasta înseamnă că cea mai mică converge. Și dacă cea mai mică diverge, aceasta înseamnă că cea mai mare diverge. Cum vom demonstra acest lucru este... deci avem de-a face cu termeni care nu sunt negativi, așa că vom folosi această teoremă despre o serie de termeni nenegativi. Deci folosim acea teoremă și am demonstrat că o serie de termeni nenegativi converg dacă și numai dacă șirul sumelor parțiale este mărginită. Deci, dacă această serie converge, aceasta implică că șirul sumelor parțiale este mărginită, ceea ce implică -- asta înseamnă că există un număr nenegativ astfel încât pentru toate numerele naturale m, suma de la n este egală cu 1 la m din y sub n este mai mic sau egal cu B. Dar acest lucru implică imediat că, deoarece toate x n-urile sunt mai mici sau egale cu y n-urile, obținem că a n-a sumă parțială corespunzătoare x n-urilor, care este mai mică sau egală. la a n-a sumă parțială pentru y n, este, de asemenea, mai mică sau egală cu B pentru toți m. Deci secvența de sume parțiale corespunzătoare x n-urilor este mărginită. Și prin urmare, prin teorema pe care am demonstrat-o, pe care cred că am șters-o deja, seria converge. Acum, demonstrarea 2 este în esență-- este cam același lucru, cu excepția faptului că inegalitățile merg în sens invers. Și x n-urile sunt din ce în ce mai mari, ceea ce implică și y n-urile devin, de asemenea, sau sumele parțiale corespunzătoare x n-urilor devin mai mari, implicând că sumele parțiale corespunzătoare y n-urilor devin și ele mai mari. Deci acum 2, dacă această serie diverge, atunci aceasta implică că sumele parțiale sunt nemărginite. acum vom demonstra că acest lucru implică faptul că sumele parțiale corespunzătoare y n-urilor sunt nemărginite. Acum, amintiți-vă ce înseamnă ca o secvență să fie mărginită este că există un număr nenegativ B astfel încât pentru tot m am acea limită. Deci, a spune că este nemărginit înseamnă că pentru tot B există un pic m mai mare decât sau egal cu capitalul M, astfel încât acea inegalitate este inversată. Așa că permiteți-mi să pun aici într-o cutie ce înseamnă asta de fapt. Din nou, aceasta înseamnă că pentru tot B mai mare sau egal cu 0, există m, un număr natural, astfel încât y n egal cu 1 la m este mai mare sau egal cu B. Asta înseamnă. Deci aceasta este o afirmație pentru toate, așa că trebuie să pot dovedi pentru fiecare B, că B este mai mare sau egal cu 0. Acum, deoarece știm că sumele parțiale corespunzătoare x n-urilor sunt nemărginite, aceasta implică faptul că există un m, un număr natural, astfel încât suma de la n este egală cu 1 la m a lui x n este mai mare sau egală cu B. Așa că, permiteți-mi să spun din nou, pentru a arăta nemărginit, ar trebui să am într-adevăr - deci pentru o secvența să fie nemărginită, ar trebui să am o valoare absolută aici este mai mare sau egală cu B. Dar toți acești termeni sunt nenegativi și, prin urmare, pot elimina valorile absolute și același lucru aici. Deci există un număr natural m, astfel încât eu am asta. Și așa punem puțin m0 acolo pentru că trebuie să arătăm cumva că există puțin m. Alegeți m pentru a fi acest m0. Deci, acum, dacă ne uităm la sumele parțiale pentru y n, acesta este mai mare decât sau egal cu -- deoarece m este egal cu m0, este acest termen, care este mai mare sau egal cu B. Astfel, acest lucru demonstrează sumele parțiale corespunzătoare la y n este nemărginit. Și, prin urmare, această serie diverge. Deci, să folosim teorema de comparație pentru a considera serii ca 1 peste n serii p și să demonstrăm când converg. Deci teorema-- pentru p, un număr real, suma n este egală cu 1 la infinit 1 peste n către p converge dacă și numai dacă p este mai mare decât 1. Deci, pentru demonstrație, de ce seria convergentă implică că p trebuie să fie mai mare decat 1? Voi face asta prin contradicție. Deci, să presupunem că 1 peste n la p este egal cu 1 la infinit converge. Deci vom face demonstrația prin contradicție că p trebuie să fie mai mare decât 1. Să presupunem că p este mai mic sau egal cu 1. Atunci 1 peste n la p-- unde p este mai mic sau egal cu 1, acesta este mai mare decât sau egal cu 1 peste n. Și aceasta implică, deoarece 1 peste n-- deoarece seria corespunzătoare lui 1 peste n-- diverge implică faptul că seria corespunzătoare lui 1 peste n către p diverge prin testul de comparație, ceea ce este o contradicție directă cu ceea ce presupunem , că seria converge. Deci asta trebuie să fie fals. p trebuie să fie mai mare decât 1. Deci am arătat că, dacă această serie converge, atunci p trebuie să fie mai mare decât 1. Deci acum să demonstrăm cealaltă direcție și să presupunem că p este mai mare decât 1 și să demonstrăm că seria p, 1 peste n la p, converge. Așadar, modul în care vom face acest lucru este felul în care am arătat că seria armonică este divergentă. Deci ceea ce vom face este mai întâi să arătăm că există o succesiune de sume parțiale corespunzătoare acestui tip care este mărginită. Deci, amintiți-vă, pentru a demonstra că aceasta converge, aceasta converge dacă și numai dacă șirul sumelor parțiale este mărginită. Și ceea ce vom face mai întâi în acest sens este să dovedim că există o subsecvență de sume parțiale care este mărginită. Așa că facem o primă afirmație că șirul sumelor parțiale - deci s 2 la k, aceasta este suma de la n merge de la 1 la 2 la k de 1 peste n la p, deci k un număr natural - această sumă parțială este mărginită de un număr fix în funcție de p, 1 plus 1 minus 2 la minus p minus 1. Cu alte cuvinte, această subsecvență de sume parțiale corespunzătoare lui s 2 la k este mărginită. Deci, din nou, facem acest lucru grupând acești termeni în funcție de puterea lui 2 între numitorul și apoi estimăm de sus acum, mai degrabă decât de jos, așa cum am făcut pentru seria armonică. Deci avem s 2 la k egal cu 1. Deci, din nou, grupăm acești termeni în funcție de locul în care se încadrează. Așa că scrieți asta încă o dată -- acesta este egal cu 1 plus 1/2 la p plus 1 peste 3 la p plus 1 peste 4 la p plus 1 peste 5 la p plus 1 peste 8 la p plus-- și apoi până la ultimul mandat. Și acum pot scrie asta ca 1 plus suma de la l este egală cu 1 la k, deci numărul de blocuri pe care le am aici. iar acum, termenii care vin în fiecare dintre aceste blocuri 1 peste p. Și așa că acum estimez 1 peste n nu de jos de tipul ăsta, ci de sus punând cel mai mic n că n este în acest bloc. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 1 plus suma de la l este egală cu 1 la k suma de la n este egală cu 2 la l minus 1 plus 1, 2 la l 1 peste 2 la l minus 1 plus 1 ridicat la p-a putere. Acum, acest plus 1 doar face lucrurile mai mari în partea de jos, așa că dacă îl elimin, am făcut lucrurile mai mari în general pentru această fracție. Deci, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la 1 este egală cu l este egală cu 1 la k, suma n este egală cu 2 cu l minus 1, 2 cu l ori 1 peste 2 cu p ori l minus 1. Și acum acest lucru aici, dacă facem aceeași algebră pe care am făcut-o acum un minut, aceasta este egală cu 1 l egal cu 1 cu k. Acum îmi iese acest termen. Și apoi numărul de termeni pe care îi am aici, la fel cum am făcut-o pentru seria armonică, acesta este egal cu 2 la l minus 2 la l minus 1 plus 1 plus 1. Și acum este egal cu 1 plus suma din l este egal cu 1 la k. Și astfel toată chestia asta de aici este egală cu 2 la l minus 1. Așa că obțin 2 la minus p minus 1 l minus 1. Acum pot schimba acest indice. De fapt, cred că aș fi putut face asta mai clar, dar nu contează. Aș putea schimba acest index cu... nu. Deci l începe de la 1 și merge la k. Și aici, am suma l minus 1. Așa că pot schimba acest indice pentru a merge de acum l este egal cu 0 la k minus 1, 2 la minus p minus 1 l. Așadar, aceasta este ca și cum ați face o schimbare de variabile, l prim este egal cu l minus 1. Și așadar, permiteți-mi să pun l prim în loc de l. Deci p este mai mare decât 1, deci aceasta corespunde acum unei serii geometrice. Deci, permiteți-mi să rescriu asta ca 1 peste 2 la p minus 1 la primul l. Când p este mai mare decât 1, atunci 1 peste 2 la p minus 1 este mai mic decât 1. Deci acest lucru este o sumă parțială k minus 1 pentru seria geometrică cu aceasta ca R. Deci, aceasta este întotdeauna mărginită mai sus de-- dacă eu Adună toți termenii, ceea ce este egal cu acel lucru pe care îl am acolo, 1 peste 1 minus 2 la minus p minus 1. Astfel, asta demonstrează că de-a lungul acestei subsecvențe, aceste sume parțiale sunt mărginite de acest număr fix. Și acum susțin că acest lucru demonstrează că întreaga succesiune de sume parțiale este mărginită, de fapt, de același număr. Pentru tot m, un număr natural, s m este din nou mai mic sau egal cu acest număr -- 1 minus 2 la minus p minus 1. Deci, să fie m un număr natural, deci încercăm să demonstrăm această legătură. Ce facem? Găsim un număr diadic, un număr de forma 2 la k mai mare decât m. Și din moment ce 2 la m este mai mare decât m-- cred că acesta este poate unul dintre primele lucruri pe care le-am făcut prin inducție-- obținem acel s sub m-- care este suma parțială a termenilor nenegativi-- asta merge să fie mai mic sau egal cu, deoarece acesta este un tip monoton în creștere, acesta va fi mai mic sau egal cu 2m, care este mai mic sau egal cu 1 plus 1 minus 2 la minus p minus 1. Astfel , succesiunea sumelor parțiale este mărginită, ceea ce presupune că această serie converge. Și acesta este sfârșitul dovezii și cred că ne vom opri aici.