[SCRÂTÂT] [FOUȘT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Am definit integrala Lebesgue pentru funcțiile simple, care au această reprezentare canonică ca o combinație liniară finită de funcții indicator pe mulțimi care sunt disjunse pe perechi și a căror unire îmi dă E. Am definit lor. integrală-- integrala lui phi a fost definită ca fiind suma de la j este egală cu 1 la n aj ori măsura capitalului Aj suma pe măsură ce j trece de la 1 la n. Și am demonstrat câteva proprietăți ale acestui lucru. Și anume, am demonstrat că dacă înmulțesc o funcție simplă cu un scalar nenegativ, atunci scalarul iese din integrală. Integrala multiplu scalar al lui phi este egală cu multiplu scalar al integralei. Dacă am două funcții simple nenegative și le adun, obțin o altă funcție simplă nenegativă și integrala sumei este suma integralelor. Și mai demonstrăm că dacă am două funcții simple, una mai mică sau egală cu cealaltă, atunci integralele respectă această inegalitate. Integrala celei mai mici este mai mică sau egală cu integrala celei mai mari. Deci, acum, vom defini integrala Lebesgue pentru o funcție măsurabilă generală nenegativă . Într-un anumit sens, modul în care ar trebui să vedem Lebesgue este felul în care ar trebui să vedem integrala Riemann, cred, dacă... sau cel puțin atunci când te gândești la integrala Riemann în timp ce construiești aceste aproximări la integrală prin tăiere. domeniul pentru integrala Riemann. Și alegeți puncte între ele și formați aceste casete. Acum, aveți o oarecare libertate în modul în care alegeți aceste casete care aproximează integrala lui f. Dar o modalitate de a alege casetele-- sau cel puțin când îmi imaginez, îmi imaginez întotdeauna casetele care stau sub graficul lui f. Și, pe măsură ce tăiați domeniul din ce în ce mai mic, atunci aceste lucruri sunt un fel de-- aceste casete devin din ce în ce mai înguste și un fel de aproximare a dvs. este completarea integralei sau a zonei de sub curbă de jos. Și am văzut deja asta pentru funcțiile măsurabile nenegative . Există întotdeauna o succesiune de funcții simple care cresc la f. Astfel încât pentru fiecare x mă încadrez în secvența de funcții -- phi 1 este mai mic sau egal cu phi 2 este mai mic sau egal cu phi 3 și așa mai departe -- și aceste phis cresc punctual la f. Deci, dacă încercați să construiți acest lucru pe cont propriu, v-ați gândi, OK, permiteți- mi să definesc integrala ca a unei funcții, a unei funcții măsurabile nenegative, ca limită a integralelor unei secvențe de funcții simple în creștere la f. Care știu că există, pentru că noi am construit unul. Desigur... și acesta este o modalitate de a face asta, iar unele manuale fac asta. Dar întâlniți această problemă că acest număr pe care l-ați definit ca fiind limita acestor integrale - poate depinde de succesiunea de funcții măsurabile pe care ați luat-o la început. Deci nu o să facem asta. În final, vom vedea că acest număr pe care l-am definit poate fi dat ca din limita integralelor funcțiilor simple. Deci, pentru o funcție măsurabilă generală nenegativă, definim integrala lui f peste E ca fiind sup a integralei peste E a lui phi, unde acum, phi este o funcție simplă nenegativă și phi se află sub f. Deci, într-un anumit sens, este un fel de a lua integrala lui f pentru a fi definită ca un fel de-- Nu vreau să spun limită, pentru că nu este tocmai o limită, dar într-un anumit sens, lucrul care se umple prin toate integralele funcțiilor simple de sub graficul care se află sub graficul lui f. OK, deci permiteți-mi să demonstrez o teoremă foarte simplă, care este utilă. Deci, dacă E este o submulțime a lui R este măsurabilă - de fapt, este un set de măsuri 0. Așa că rețineți, toate seturile de măsură exterioară 0 sunt măsurabile. Deci nu trebuie să spun cu adevărat dacă E este un submult al lui R cu E măsurabil. Când spun asta, spun cam două lucruri deodată. Măsura exterioară a lui E este 0 sau 1 și, prin urmare, este măsurabilă. Deci, pentru toate f care sunt nenegative și măsurabile pe E, integrala peste E a lui f este 0. OK, deci este doar un fel de interesant să luăm integrala peste mulțimi care au măsură pozitivă. Deci, indiferent de funcția pe care o iau, integrala peste o mulțime de măsură 0 este 0. Bine, aceasta este oarecum asemănătoare cu, în integrarea Riemann, integrala peste un punct fiind 0. Dar acum avem seturi mai interesante de măsură 0 altfel decât doar un punct. Deci, care este dovada asta? Ei bine, nu avem prea multe de la care să plecăm. Avem doar definiția. Deci, să folosim definiția. Fie phi simplu cu acest tip de reprezentare canonică cu f mai mic sau egal. Deci, ceea ce aș dori să arăt este că integrala lui phi este 0. Dar aceasta este-- și, prin urmare, integrala lui f, care este sup peste toate aceste integrale, este, prin urmare, 0. Dar acest lucru este clar deoarece, deoarece toate aceste Aj sunt submulțimi ale lui E, care este o mulțime de măsură 0, aceasta implică că măsura lui Aj este egală cu 0 pentru toate j. Și, prin urmare, integrala lui phi peste E, care este egală cu Aj măsura lui Aj este egală cu 0. Și astfel, integrala lui f, care este sup peste toate acestea, este doar o sup de 0 atunci. Așa că cred că ar fi trebuit să încep această demonstrație cu f un L plus al lui E. Așa că am omis asta, dar știi ce făceam, sper. OK, deci este doar interesant să luăm integrala peste seturi de măsură pozitivă. Acum, avem câteva fapte care se repetă. Ei bine, nu purtăm cu adevărat. Ei bine, unul dintre ele se transferă din ceea ce am făcut noi pentru funcții simple, iar ceilalți pur și simplu decurg din definiție. Și va fi un exercițiu în sarcină, așa că este următorul. Dacă phi este-- atunci cele două definiții ale integralei lui phi sunt de acord. Și așa voi spune exact ce vreau să spun într-o secundă. Doi, f și g sunt în L plus de E. c este un număr real nenegativ și f este mai mic sau egal cu g pe E. Atunci câteva lucruri. Integrala lui c ori f este egală cu c ori integrala lui f și integrala peste E a lui f este mai mică sau egală cu integrala lui g peste E. Și o proprietate finală este următoarea. Dacă f este o funcție măsurabilă pe E și f este o submulțime măsurabilă a lui E, atunci pot integra f și pe capitalul F. Deci asta se află în, cred, poate sarcina 5 că dacă am o funcție care este măsurabilă pe un set și iau orice submulțime din acel set măsurabil, care este măsurabil, apoi f limitat la acest set este și măsurabil. Deci ceea ce am să spun are sens. Atunci integrala lui mic f peste capitalul F este egală cu integrala lui E a mic f ori funcția indicator a lui f, care este mai mică sau egală cu integrala peste E a mic f. Deci, cred că restul afirmațiilor, afirmațiile 2 și 3 sunt complet lipsite de ambiguitate. Poate vă întrebați ce am vrut să spun exact prin 1. Deci am avut un fel de două definiții ale integralei unei funcții simple, nu? L-am definit mai întâi ca suma coeficienților înmulțit cu măsura acestor mulțimi. Și apoi avem și o a doua definiție, deoarece o funcție simplă - o funcție simplă măsurabilă nenegativă este și ea în acest set. Așa că ar trebui să fiu ca ceea ce este aici să fie egal cu ceea ce este în dreapta. Deci afirmația 1 este afirmația că ceea ce este subliniat de trei ori este egal cu ceea ce a fost subliniat de patru ori. Sunt multe rânduri. Bine, deci acesta va fi un exercițiu destul de simplu folosind doar definițiile. Și, de asemenea, ce am făcut pentru funcții simple. O consecință a acestei teoreme și a celei dinaintea ei este următoarea. Este că pot relaxa această condiție aici în 2 la o declarație aproape peste tot. Deci, dacă f și g sunt funcții măsurabile nenegative și f este mai mic sau egal cu g aproape peste tot pe E, atunci integrala lui E a lui f este mai mică sau egală cu integrala lui g. Deci haideți să scriem dovada acestui lucru. Deci, să fie f mulțimea tuturor x și E astfel încât f din x este mai mică sau egală cu g din x. Deci, nu este greu de realizat că acesta este un set măsurabil. Aceasta este, dacă doriți, f minus g. Imaginea inversă a... sau să o facem așa. Scrieți aceasta ca g minus f imagine inversă de 0 infinit. Și deoarece g și f sunt funcții măsurabile, diferența lor este măsurabilă, nenegativă. Deci, acest lucru este întotdeauna non-negativ. OK, deci poate că există o mică problemă cu ceea ce se întâmplă la infinit, dar te confrunți cu asta în sarcină. Așa că voi șterge asta de pe tablă și va trebui doar să acceptați că acest lucru este măsurabil conform înțelepciunii pe care v-am dat-o că, dacă îl puteți nota, de obicei este măsurabil. Și care este măsura complementului este 0, deoarece acest lucru ar trebui să fie valabil aproape peste tot. OK, așa că am lăsat deoparte faptul, de care, strict vorbind, s- ar putea să avem nevoie pentru asta, dar. OK, deci și acesta este un exercițiu. Deci, integrala lui f mic peste E, care este egală cu integrala peste E a uniunii f, complementul f aici - aceasta este egală cu integrala peste f, f mic, plus integrala peste f complement a micului f Deci strict vorbind, nu am scris de ce este adevărat. Dar să ne gândim la asta doar o clipă. Deci acestea sunt două submulțimi disjunse care alcătuiesc E. De ce aceasta va fi egală cu aceasta? Ei bine, este valabil pentru funcțiile simple. Adică, dacă fac această afirmație și presupun phi-- Adică, f este simplu, atunci nu este greu să te convingi că acest lucru este adevărat. Și dacă este adevărat pentru funcțiile simple, atunci din modul în care am definit integrala ca fiind această sup, se va transfera la funcții măsurabile generale, nenegative . Deci haideți să acceptăm acest lucru și o puteți dovedi singur. Nu este dificil. Dar deoarece avem acest lucru și f complement este o mulțime de măsură 0, aceasta este integrala lui f mic. În regulă, deoarece acesta este 0. Acum, pe F majusculă, f mic este mai mic sau egal cu g. Deci aceasta este mai mică sau egală cu integrala lui g peste capitalul F. Și doar mergând înapoi, aceasta este egală cu integrala lui fg plus f complement, care este egală cu integrala lui g, G. Deci modulo această egalitate, care Vă las pe voi să completați, demonstrează teorema. OK, deci acum avem definiția integralei Lebesgue pentru funcțiile măsurabile nenegative . Avem câteva proprietăți ale acestuia. Ceea ce lipsește din această listă pe care am dat-o până acum este acea liniaritate, cred, nu? Integrala sumei a două funcții măsurabile nenegative este egală cu suma integralelor. Am avut asta pentru funcții simple. Cum obținem asta pentru funcțiile măsurabile generale nenegative ? OK, deci ceea ce sunt pe cale să demonstrez nu este doar un instrument pentru a demonstra asta, ci este una dintre cele trei mari teoreme de convergență pe care le găsiți în măsura Lebesgue în integrare sau integrare Lebesgue, care este următoarea: teorema de convergență monotonă , care este următorul fapt că, dacă fn este o secvență de funcții măsurabile nenegative, astfel încât f1 este mai mic sau egal cu f2 este mai mic sau egal cu f3 pe E. Deci punctual, acestea cresc. Secvența crește. Și există o funcție f, astfel încât fn merge la f punctual pe E. Așa că, permiteți-mi doar să-mi amintesc, aceasta înseamnă că pentru toate limitele x și E, n merge la infinitul lui fn din x este egal cu f din x. Deci, în special, f va fi o funcție măsurabilă nenegativă, deoarece nu uitați, limita punctual a funcțiilor măsurabile este măsurabilă, deci ceea ce voi spune are sens. Atunci integralele converg către integralele limitei. Deci limita integralelor este integrala limitelor. Deci aceasta este o afirmație mult mai puternică decât orice întâlniți în integrarea Riemann. Integrarea Riemann necesită de obicei convergență uniformă, în timp ce aici, cel puțin pentru secvențele monotone, avem nevoie doar de convergență punctuală. Deci cred că există o versiune a acestei teoreme pe care s-ar putea afirma pentru integrarea Riemann. Dar totuși, doar la prima vedere, aveți o declarație punctuală care implică convergența integralelor. Deci asta ar trebui să vă sugereze imediat că ceea ce am construit, această integrare Lebesgue, este mult mai puternică decât integrarea Riemann. Deci haideți să demonstrăm teorema. Deci, deoarece f1 este mai mic sau egal cu f2 este mai mic sau egal cu f3 și așa mai departe, aceasta implică că integrala lui E a lui f1 este mai mică sau egală cu integrala lui f2 și așa mai departe. Și ce altceva? Deci-- ceea ce implică faptul că limita ca n merge la infinit a integralelor lui fn există în 0 infinit. Deci aceasta este o secvență crescătoare nenegativă de numere reale acum. Integrala peste E a lui f1, acesta este un număr real. Acesta este un număr real. Toate acestea sunt numere nenegative, deoarece acesta este un sup peste numere nenegative. Deci am o succesiune crescătoare de numere nenegative. Deci, fie are o limită, o limită finită, fie trebuie să meargă la infinit. Nu este greu de demonstrat știind ce din analiza de bază. Mai mult decât atât, deoarece cresc și converg punctual pentru tot x, acest lucru implică faptul că tot f1 este mai mic sau egal cu f3 și așa mai departe. Dar toți stau sub f. Deci, pentru fiecare x-- acesta este un f1 al lui x, f2 al lui x, f3 al lui x și așa mai departe, aceasta este o succesiune crescătoare de numere reale care converg către f din x, care este fie un număr finit, fie infinit. . Deci, aceste numere cresc până la această limită și, prin urmare, trebuie să stea întotdeauna sub limită. Și deoarece toate aceste funcții se află sub f, acest lucru implică faptul că pentru tot n, integrala lui fn peste E este mai mică sau egală cu integrala lui f. Prin urmare, limita, despre care știm că există fie ca număr finit, fie ca infinit, este mai mică sau egală cu integrala lui f. Deci, doar pe baza ipotezelor, obținem imediat că una dintre aceste mărimi pe care vrem să le arătăm este egală cu cealaltă este mai mică sau egală cu cealaltă cantitate. Deci truc standard de analiză. Dacă obțineți un fel gratuit, o cantitate este mai mică sau egală cu cealaltă cantitate pe care doriți să o arătați este egală, să încercăm să mergem în direcția inversă. Deci, acum arătăm că integrala lui f peste E este mai mică sau egală cu integrala limitei pe măsură ce n merge la infinitul integralei peste E a lui fn. Și, prin urmare, cei doi sunt egali. În regulă. Acum, pentru a arăta acest lucru, vom arăta că pentru fiecare funcție simplă mai mică sau egală cu f, integrala acelei funcții simple se află sub aceasta. Acum, știm că aceste fn-uri, așa că iată planul de joc. Știm că fn-urile cresc la f. Deci, dacă iau o funcție simplă mai mică sau egală cu f-- dacă funcția simplă este mai mică decât f, atunci în cele din urmă, fn o va trece în sus, nu? Deoarece fn-urile cresc la f și funcția simplă se află sub f. Și, prin urmare , în cele din urmă, ar trebui să avem că aceasta este mai mare sau egală cu integrala acelei funcții simple. Acum, cerem doar ca funcția simplă să fie mai mică sau egală cu f, așa că ne vom oferi un pic de spațiu și apoi vom trimite acel spațiu la 0. Deci, să fie phi o funcție simplă nenegativă. Phi egal cu suma j egal cu 1 la n Aj chi Aj cu phi mai mic sau egal cu f. Și scopul nostru este să arătăm că integrala lui phi este mai mică sau egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui fn. Deci iată puțin spațiu la care mă refeream. Fie epsilon un număr mic între 0 și 1. Și fie En mulțimea tuturor x și E astfel încât fn lui x este mai mare sau egal cu 1 minus epsilon f al lui x-- Adică phi lui x. Așadar, rețineți că pentru tot x din E, 1 minus epsilon ori phi al lui x, acesta este strict mai mic decât acum f din x. Deci am avut phi pentru x este mai mic sau egal cu f pentru x. Dar acum, dacă înmulțesc acest lucru cu un număr mic care este aproape de-- sau un număr care este puțin mai mic decât 1, atunci voi avea o inegalitate strictă. Deci, în special, atunci deoarece pentru toate x și E am a-- egal cu f din x. Acest lucru implică faptul că fiecare x trebuie să se afle în cele din urmă într-unul dintre aceste E sub fn, nu? Deoarece 1 minus epsilon phi al lui x este mai mic decât f al lui x. Fn-urile se apropie de f din x, așa că trebuie să renunțe la această valoare la un moment dat în încercarea sa de a ajunge la f din x, sau cel puțin aproape de f din x. Deci pur și simplu din acest fapt, acest lucru implică faptul că unirea peste n este egală cu 1 la infinitul lui En îmi dă E. Permiteți-mi să subliniez acest lucru. Acum, din moment ce aceste funcții sunt în creștere, ar trebui să spun, ele cresc punctual. Nu că sunt funcții în creștere, dar cresc punctual. Deci f1 este mai mic sau egal cu f2 este mai mic sau egal cu f3 și așa mai departe. Aceasta înseamnă că E1 este conținut în E2 este conținut în E3 și așa mai departe. Dacă am ceva n astfel încât x să fie în această mulțime - deci fn din x este mai mare sau egal cu 1 minus epsilon phi al lui x - atunci f din n plus 1 din x este mai mare sau egal cu fn din x, care este mai mare sau egal cu 1 minus epsilon phi al lui x. Și, prin urmare, acel x este atunci En plus 1. Deci aceasta nu este doar o succesiune de mulțimi a căror unire îmi dă E, ele sunt o succesiune crescătoare de mulțimi. Creștere în sensul incluziunii. BINE? Acum, vom folosi aceste două lucruri evidențiate într- un minut, împreună cu continuitatea măsurii Lebesgue pentru a obține ceea ce ne dorim. Deci avem integrala lui E fn. Aceasta este mai mică sau egală cu integrala lui fn pe o mulțime mai mică, deci E sub n. Acum, pe E sub n-- amintiți-vă, E sub n-urile sunt definite ca unde fn este mai mare sau egal cu 1 minus epsilon phi al lui x. Deci, acesta este mai mare sau egal cu E sub n 1 minus phi-- Îmi pare rău, ce fac? Minus epsilon phi, care este egal cu 1 minus epsilon ori integrala lui E sub n peste phi. Și aceasta este, prin definiție, egală cu o sumă de la j egală cu 1 la n. Peste mulțimea E sub n, obțin măsura Aj integrală a intersectării Aj E sub n. Și am făcut o mică eroare de notație. Să schimbăm acest lucru într-un m, deoarece avem deja n care denotă -- indexând funcțiile, nu vrem acest n chiar aici. Deci ar trebui să fie un m. Este doar un număr finit fix, în funcție de funcția simplă. Deci am asta pentru toate n. Prin urmare, limita pe măsură ce n merge la infinitul integralei peste E a lui f sub n este mai mică sau egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de 1 minus epsilon ori suma de la j este egală cu 1 la m Aj măsura lui Aj E sub n. Acum, sub n-urile E cresc la E și, prin urmare, pentru fiecare j fix -- deci, de fapt, să facem o pauză foarte repede și să revenim la acest lucru. În cele din urmă, vom lua limita pe măsură ce n merge la infinitul acestei cantități. Deci, să ne uităm la ceea ce face acest lucru pe măsură ce n merge la infinit, deoarece prin acele două lucruri pe care le-am evidențiat, că En sunt submulțimi crescătoare ale lui E a căror unire îmi dă E, obțin-- deoarece E1 Aj este o submulțime a E2 Aj submulțimea lui E3 și așa mai departe. Și uniunea n este egală cu 1 până la infinitul intersectării E sub n Aj este egală cu Aj, pentru că atunci aceasta va fi egală cu uniunea intersectării Aj a lui E sub n. Asta îmi dă doar E intersect Aj, care este doar Aj. Obținem prin continuitatea măsurării Lebesgue -- asta implică pentru tot j -- că limita pe măsură ce n merge la infinit a măsurii lui Aj intersectează En este egală cu măsura lui Aj, care, așa cum tocmai am spus, această En intersectează Aj, care... amintiți-vă, acest set este egal cu Aj, deci aceasta este măsura lui Aj. Așa că din cele două cutii galbene pe care le aveam înainte, obținem aceasta utilă. Pentru tot j, avem limita pe măsură ce n merge la infinit a măsurii lui Aj intersectează En este egală cu măsura lui Aj. Așa că acum, vom introduce acest lucru în această inegalitate după ce vom lua limita. Așa că m-am devansat acum un minut. Astfel, limită pe măsură ce n merge la infinitul integralei peste E a lui fn, aceasta este mai mare sau egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul de 1 minus epsilon m acum Aj măsura lui Aj intersectează En. Acum, aceste numere de aici converg toate la-- fiecare dintre aceste numere de aici pentru fiecare j converge pe măsură ce n merge la infinit la măsura lui A sub j. Deci limita este atunci egală cu 1 minus epsilon ori integrala j este egală cu 1 până la m ori - pentru ce scriu integrala? Aj masura de Aj. Și aceasta este doar egală cu 1 minus integrală, prin definiție, integrala lui phi. Așa că am arătat că pentru toți epsilonii între 0 și 1, acest 1 minus epsilon ori integrala lui phi este mai mică sau egală cu acest număr de aici, care poate fi infinit, poate fi finit. Și din moment ce acest lucru este valabil pentru toate epsilonul, pot trimite epsilon la 0. Deci am această inegalitate între lucrurile fixe acum împreună cu un epsilon aici, așa că pot trimite epsilon la 0 și obțin că integrala lui phi este mai mică sau egală cu limita ca n merge la infinitul lui fn. Și deoarece phi este o funcție simplă arbitrară care este mai mică sau egală cu f, sup peste toate acestea -- care este, prin definiție, integrala lui f -- este mai mică sau egală cu limita integralelor. În regulă. Acesta este sfârșitul dovezii. Deci teorema de convergență monotonă , o teoremă foarte utilă, teoremă importantă în toate acestea. OK, deci hai să obținem câteva aplicații din asta. Deci, primul este un fel de fel cum ați evalua acum această integrală? Amintiți-vă, integrala, pe care tocmai am șters-o, este definită ca sup peste toate integralele funcțiilor simple. Deci, pentru a calcula efectiv integrala unei funcții măsurabile nenegative, ar trebui să aflu integrala oricărei funcții simple mai mici sau egale cu ea și să iau sup peste acea mulțime, care este un fel de inutil sau modalitate imposibilă de a calcula integrala. Este similar cu când întâlniți integrarea Riemann și integrala Riemann este definită ca limita sumelor Riemann. Nimeni... poți calcula poate trei integrale doar din suma Riemann. Deci avem nevoie de o modalitate mai eficientă de a putea calcula integrala Lebesgue, iar teorema de convergență monotonă ne oferă acest fel gratuit. Deci avem următoarele, dacă f este o funcție măsurabilă nenegativă și phi n este o succesiune de funcții simple, care sunt toate nenegative și crescând și convergând punctual spre f, atunci integrala peste E a lui f este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit a integralei funcțiilor simple. Deci, când am discutat despre funcțiile măsurabile, am construit de fapt o astfel de secvență de funcții simple care satisface ipotezele acestei teoreme. Deci aceasta nu este o teoremă vacuă. Dar această teoremă vă spune că, dacă doriți să calculați integrala lui f, luați orice succesiune de funcții simple care crește până la f și calculați limita integralei. Și asta vă va oferi integrala lui f. Acum, există doar asta-- asta decurge imediat din teorema de convergență monotonă. Am luarea fn este egală cu phi n-urile. Deci nu există nicio dovadă pentru asta. Următoarea teoremă este liniaritatea integralei. Deci, dacă f și g sunt două funcții măsurabile nenegative , atunci integrala lui f plus g este egală cu integrala lui f plus integrala lui g. Acum, rețineți că nu există nicio ambiguitate în ceea ce privește modul de definire, așa că am avut un-- există o afacere delicată despre adăugarea și scăderea a două funcții măsurabile cu valoare reală extinsă , dar nu există nimic din toate acestea aici, deoarece acestea sunt ambele reale extinse măsurabile nenegative. funcții valoroase. Deci aceasta va fi întotdeauna numai de forma infinit plus infinit, pe care o definim ca fiind infinit. Așa că lasă-mă să fac acea mică notă. Deci integrala este liniară, deci care este dovada? Fie phi n și psi n două secvențe de funcții simple astfel încât acestea să crească la f și, respectiv, g. Deci 0 este mai mic sau egal cu phi 1 este mai mic sau egal cu phi 2 și așa mai departe. Și phi n converge spre f punctual pe E. OK, deci ar trebui să... totul se întâmplă pe acest set E. Și același lucru pentru psis. Și psi n convergând spre g punctual. Apoi, dacă iau suma acestor două funcții simple sau secvențe de funcții simple, obțin o succesiune crescătoare de funcții simple. Și phi n plus psi n converg către f plus g punctual. Și prin această teoremă care a urmat imediat din teorema de convergență monotonă, obțin că integrala lui f plus g peste E-- aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de integrală a lui E a lui phi n plus psi n. Și acum, am demonstrat liniaritatea integralei pentru funcții simple. Deci aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit a integralei lui E a lui phi n plus integrala lui E a lui psi n. Și din nou, după teorema pe care tocmai am afirmat-o cu un minut în urmă, prin teorema de convergență monotonă , aceasta converge prin integrala lui f, aceasta converge prin integrala lui g. Deci limita sumei este suma limitelor și obțin g. BINE. Folosind același tip de argument, dacă doriți -- cu excepția acum, nu pentru două funcții, ci pentru o funcție -- puteți arăta că integrala unei funcții peste o unire a două mulțimi disjunctive este suma integralelor. Acesta este ceva la care am subliniat, dar nu l-am dovedit chiar la începutul acestei prelegeri. Dar folosind asta este adevărat pentru funcții simple și acest argument folosind teorema de convergență monotonă - care nu necesita ceea ce am demonstrat mai devreme, deci acesta nu este un argument circular - puteți demonstra că integrala funcției măsurabile nenegative peste o unire a două mulțimi disjunse este suma integralelor, una peste prima mulțime, una peste a doua mulțime. În regulă, așa că e grozav. Această integrală este liniară peste - deci integrala sumei a două funcții măsurabile este suma integralelor. Ceea ce este și mai bine este că integrala peste o sumă infinită este egală cu suma infinită a integralelor. Deci, de fapt, lasă-mă să spun... sau să facem asta. Dacă fn este o succesiune de funcții măsurabile nenegative , atunci integrala sumei lui E este egală cu suma infinită a integralelor. Ei bine, în primul rând, aceasta este o funcție bine definită, deoarece este o sumă de non-negative. Deci punctual pentru fiecare x, aceasta este o sumă de numere reale nenegative. Deci, acesta fie va fi un număr finit dacă această serie converge, fie va fi infinit, bine? Amintiți-vă că, deocamdată, permitem funcții măsurabile nenegative cu valoare reală extinsă în cadrul nostru . Deci asta are sens. Și este o funcție măsurabilă după lucruri pe care le-am demonstrat în secțiunea privind funcțiile măsurabile. OK, deci dovada este destul de scurtă. Printr-un argument de inducție și teorema anterioară pentru suma a două funcții, avem afirmația că pentru fiecare număr natural fix de capital N, integrala sumei, n este egală cu 1 capital N fn E este egală cu suma finită a integralele. Deci, dacă puteți face ceva pentru doi, de obicei puteți face ceva pentru n printr-un argument de inducție. Așa că îți voi lăsa detaliile despre asta sau poți pur și simplu să crezi în funcție de câte argumente de inducție ai făcut în viața ta. Deci avem asta. Și astfel, deoarece n este egal cu 1, 1 fn este mai mic sau egal cu suma de la n este egal cu 1 la 2 din fn este mai mic sau egal cu suma de la n este egal cu 1 la 3 fn. Deoarece acestea sunt toate funcții non-negative, așa că adăugarea de funcții non-negative la ceva nu face decât să o mărească. Și suma de la n este egală cu 1 la n converge către punct, pur și simplu definind aceasta ca limită, deoarece capitalul N merge la infinitul lui fn din x punctual. Bine, din moment ce am aceste două lucruri, atunci prin teorema de convergență monotonă, obțin că integrala lui n este egală cu 1 până la infinitul lui fn lui E. aceasta este egală cu limita, deoarece capitalul N merge la infinitul integralei lui E sum de la n este egal cu 1 la capitalul N, care, după ceea ce avem aici, este egal cu limita pe măsură ce capitalul N merge la infinit de-- acum iese suma finită. Și aceasta este prin definiție această sumă infinită. Deci, pentru funcțiile măsurabile nenegative, integrala sumei este egală cu suma integralelor, chiar și pentru o sumă infinită. Deci, din nou, acest lucru este pur și simplu fals dacă înlocuiesc totul cu integrarea Riemann. Pentru că, de fapt, pot veni cu o succesiune de funcții, fn, a căror integrală Riemann este întotdeauna 0, dar suma nu este integrabilă Riemann. Gândiți-vă să luați fn ca fiind funcția, care este 0 dintr-un număr rațional. Și apoi așa mai întâi, enumerați raționalele Q1, Q2, Q3, Q4 și așa mai departe. Și luați fn ca fiind funcția care este 0 când x nu este egal cu Qn și 1 când x este egal cu Qn. Atunci suma infinită va fi doar funcția indicator a raționalului, să zicem, în 0, 1. Nu este integrabil Riemann, dar suma acestor integrale este doar 0. Deci, acest lucru nu este adevărat pentru integralele Riemann din nou. Deci facem ceva mult mai puternic aici. BINE. Să mai facem câteva proprietăți ale integralei. Acum, înapoi la proprietățile integralei. Deci, dacă am o funcție măsurabilă nenegativă, atunci integrala lui f este egală cu 0 dacă și numai dacă x este egal cu 0 aproape peste tot pe E. Deci acum ce este... aceasta este o stradă cu două sensuri, deci o singură direcție. Dacă f este egal cu 0 aproape peste tot, atunci este mai mic sau egal cu 0 aproape peste tot. Și, prin urmare, integrala lui f este mai mică sau egală cu integrala lui 0, iar integrala lui 0 este 0. Deci această direcție decurge din faptul că f este mai mică sau egală cu 0 aproape peste tot, ceea ce implică că integrala de f peste E este mai mică sau egală cu integrala lui 0, pe care o puteți verifica este 0. Și aceasta este o cantitate nenegativă, deci. Deci, acum, ce zici de cealaltă direcție în care integrala lui f fiind 0 pentru o funcție măsurabilă nenegativă implică că f este 0 aproape peste tot. Deci, să lăsăm fn să fie mulțimea tuturor x și E astfel încât f din x este mai mare decât 1 peste n. Și să fie f mulțimea tuturor x-urilor astfel încât f din x este mai mare decât 0. Acum, dacă x este -- deci acesta este x și E, ar trebui să spun. Acum, dacă am un x unde f din x este mai mare decât 0, atunci cel puțin pentru un n mare, f din x va fi mai mare decât 1 peste n Deci, uniunea de la n este egală cu 1 până la infinitul de fn egal cu f. Adică, fiecare dintre acestea este un subset al capitalului F, deci uniunea lor este conținută în capitalul F și tocmai am-- argumentul pe care l-am dat acum un minut vă arată că capitalul F este conținut în uniune. Deci această unire este egală cu f. Și după cum este definit, 1 este mai mare sau egal cu o 1/2, care este mai mare decât 1/3, f1 este conținut în f2 este conținut în f3 și așa mai departe. Dacă f din x este mai mare decât 1/2, cu siguranță este mai mare decât 1/3. Corect, deci acum vom folosi din nou, continuitatea măsurării Lebesgue. Deci, pentru tot n, 0, care este mai mic sau egal cu 1 peste de n ori măsura lui fn-- aceasta este egală cu integrala peste E a lui 1 peste de n ori funcția indicator a lui fn. Acum, pe acest platou... dar ce spun? Da, hai să scriem așa. Acesta este egal cu 1 peste n. Și acum, pe fn, 1 peste n este mai mic sau egal cu f din x. Deci aceasta este mai mică sau egală cu integrala lui fn F. Și capitalul F sub n este o submulțime a capitalului E, deci aceasta este mai mică sau egală cu integrala lui E peste E a lui f. Dar din presupunere, acesta este 0, nu? Și plasat între 0 și 0 este 1 peste de n ori măsura lui f sub n. Prin urmare, pentru tot n, măsura lui f sub n este egală cu 0, ceea ce îmi spune că măsura lui f - care este egală cu acea unire, care este egală cu această unire crescătoare - este egală prin continuitatea măsurării Lebesgue. la limita pe măsură ce n merge la infinitul măsurării lui f sub n, care este egal cu 0. Și, prin urmare, mulțimea tuturor x-urilor în care f din x este pozitivă are măsura Lebesgue 0. Și f este egal cu 0 aproape peste tot. Acum, folosind ceea ce am făcut aici și teorema de convergență monotonă , putem relaxa ușor ipotezele din teorema de convergență monotonă. Deci avem următoarea teoremă. Dacă fn este secvențial în funcții măsurabile nenegative, astfel încât acum pentru aproape fiecare x din E, avem f1 din x este mai mic sau egal cu f2 din x este mai mic sau egal cu f3 din x și așa mai departe. Și limita pe măsură ce n merge la infinit de fn de x este egală cu o funcție f a lui x. Deci, amintiți-vă, în enunțul teoremei de convergență monotonă , presupunem aceste două lucruri pentru fiecare x. Acum, le presupunem doar pentru aproape fiecare x din E. Apoi obținem aceeași concluzie. Atunci integrala lui E a lui f este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul integralei lui E peste E a lui f sub n. BINE. Așa că numim aceste două condiții stea. Fie capitalul F mulțimea în timp ce x este în E astfel încât fn-urile cresc la F, deci steaua este valabilă. Atunci măsura complementului este, prin presupunere, egală cu 0. Și ar trebui să spun aici, complementul în E. Așa că ar trebui să spun că E ia f. Deci, lasă-mă-- și asta ar fi trebuit să fie în-- așa că dacă scriu complement, ar trebui să interpretezi asta ca complement în E. Deci E elimină f. Atunci f minus chi sub f-- deci aceasta este funcția indicator peste capital F. Aceasta este egală cu 0 aproape peste tot. Și fn minus chi sub f fn este egal cu 0 aproape peste tot pentru toate n. Acestea sunt egale cu 0 când x este un f care complementul este ca măsură 0, pe care nu am terminat-o de scris. Acum, prin teorema de convergență monotonă aplicată acum acestor părți, dacă doriți, și teorema anterioară, avem că integrala lui f a lui E, aceasta este egală cu chi sub f. Și deci aceasta este egală cu-- deci din moment ce f minus f-- așteptați. Da, deci OK. Deci, deoarece f este egal cu f ori chi sub f aproape peste tot, integralele sunt egale. Și astfel, aceasta este egală cu integrala peste capitalul F a micului f. Și prin teorema de convergență monotonă aplicată aici, aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul fn-urilor, deoarece acestea cresc punctual pe F majuscul la mic f și aceasta este egală cu... OK, așa că chiar am făcut-o. nu am nevoie de teorema anterioară. Aș fi putut folosi ceea ce aveam mai devreme dacă aveam două funcții care se egalează aproape peste tot. Deci, această teoremă anterioară nu ar trebui să se refere la ceea ce am dovedit acum un minut, ci de fapt la teorema de la începutul prelegerii că, dacă am două funcții care se egalează aproape peste tot, atunci integralele lor se egalează. Deși, poate că nu am afirmat asta. Tocmai am spus mai puțin sau egal cu. Dar dacă sunt egali aproape peste tot, sunt mai puțin sau egali unul cu celălalt aproape peste tot. Oricum, înapoi la asta. Aceasta este egală cu limita fn. Deci, ideea este că seturile de măsură 0 nu afectează declarațiile care implică integrale. Aceasta ar trebui să fie ideea că, dacă concluziile tale sunt în termeni de integrale, condițiile care se țin aproape peste tot sunt suficiente, de obicei. Deci, de exemplu, cel mai simplu pe care l-am avut mai devreme a fost că dacă f este mai mic sau egal cu g, atunci integrala lui f este mai mică sau egală cu g. Putem relaxa asta la integrala că, dacă f este mai mic sau egal cu g aproape peste tot, atunci concluzia, care este enunțată în termeni de integrale, este încă valabilă. Integrala lui f este mai mică sau egală cu integrala lui g. Deci, acum, vom face a doua mare convergență a integralelor -- sau aceasta este de fapt o inegalitate între integrale, dar este totuși extrem de utilă. De fapt, este echivalentă cu teorema de convergență monotonă, deci nu este nici mai puternică, nici mai slabă. Deci avem lema lui Fatou, enunțată ca o teoremă, desigur care afirmă că dacă fn este o secvență în L plus a lui E, atunci integrala lui E a liminf este integrala care este infinitatea lui fn a lui x. Aceasta este o funcție. Pentru fiecare x, iau liminf pe măsură ce n merge la infinitul lui fn al lui x. Aceasta este mai mică sau egală cu liminf pe măsură ce n merge la infinitul integralelor lui fn. Așa că lasă-mă să spun așa. Deci liminf-ul f sub n, permiteți-mi doar să-mi amintesc, care este liminf-ul? Acesta este egal cu sup peste n este egal cu 1 inf peste k mai mare sau egal cu n fk din x. Deci, aceasta este definiția limsup-ului, dacă doriți, dacă-- de fapt, permiteți-mi să nu fiu specific pentru fn de x, doar pentru o secvență de numere reale, liminf-ul unui sub n este egal cu acest lucru de pe partea dreaptă. BINE. Deci acest lucru decurge destul de ușor din teorema de convergență monotonă . Am spus acum un minut că este, de fapt, echivalent cu teorema de convergență monotonă. Poți dovedi dacă... așa că vom folosi teorema de convergență monotonă pentru a o demonstra. De asemenea, puteți presupune că lema lui Fatou este valabilă și apoi puteți demonstra teorema de convergență monotonă din ea. De asemenea, îl puteți demonstra independent de teorema de convergență monotonă. Adică, folosind în esență un argument similar cu modul în care demonstrezi teorema de convergență monotonă. OK, deci mai întâi, avem liminf de fn de x, care este, din nou, după ceea ce am scris aici, sup n mai mare sau egal cu 1 inf k mai mare sau egal cu n fk din x. Acesta este acum pentru un n fix sau ce se întâmplă cu ceea ce este în paranteză pe măsură ce n crește? Ei bine, această informație este preluată de un set mai mic. Iar inf-ul unui set mai mic este mai mare sau egal cu inf-ul setului mai mare. Deci acest inf aici, acest lucru între paranteze, crește în n. Deci această sup este, de fapt, limita pe măsură ce n merge la infinit a acestei secvențe crescătoare de numere reale definite ca inf peste k mai mare sau egal cu n din fk lui x. Și deci ceea ce tocmai ți-am spus nu este specific pentru fk din x. Este specific lui ak, pentru secvența ak. Bine, și practic, voi scrie ce am spus acum un minut. Deoarece fk mai mare sau egal cu 1 fk de x este mai mic sau egal cu inf a mai mare sau egal cu 2. Avem fk de x este mai mic sau egal cu -- acum se schimbă la 3 și așa mai departe. Aceasta implică prin teorema de convergență monotonă că integrala liminf a lui fn este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul integralei peste E a inf k mai mare sau egală cu n fk. Deci am această funcție aici, care este definită în acest fel. Deci, pentru fiecare n, primesc o funcție aici. În regulă. Acum, pentru toate j mai mari sau egale cu m, această funcție dată de inf peste k mai mare sau egală cu - permiteți-mi să adaug încă un cuantificator aici. Deci, pentru toate j mai mari sau egale cu n, pentru toate x din E, am că inf peste k mai mare sau egală cu n din fk din x-- aceasta este cu siguranță mai mică sau egală cu fj din x. Acesta este inf total fk al lui x pentru k mai mare sau egal cu n. Și pentru orice j fix mai mare sau egal cu n, acesta este cu siguranță mai mic sau egal cu fj al lui x. Pentru că aceasta este o limită inferioară pentru toți acești tipi pentru toți j mai mari sau egali cu n. Și prin urmare, deoarece această funcție aici se află sub această funcție, am pentru toate j mai mari sau egale cu n, integrala lui E a lui inf a lui fk este mai mică sau egală cu integrala lui fj. Deci am acest număr aici se află sub acest număr aici pentru toate j. Acesta este un număr fix în funcție de n, acesta este un număr fix în funcție de j. Și acest lucru este valabil pentru toate j mai mari sau egale cu n. Deci acest lucru trebuie să fie o limită inferioară pentru mulțimea tuturor numerelor de această formă pentru j mai mare sau egal cu n. Și, prin urmare, integrala lui E a lui inf k mai mare sau egală cu n a lui fk este mai mică sau egală cu inf total j mai mare sau egală cu n a integralei lui f sub j peste E. Acum, mergem să iau asta și să o bagi în această inegalitate de aici. Așadar, asta am avut înainte, și anume că liminf-ul lui fn peste E, care este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul inf k mai mare sau egal cu n fk. Aceasta este, după ceea ce tocmai am arătat, este mai mică sau egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul inf peste j mai mare sau egal cu n din fj. Dar aceasta este doar, prin definiție, egală cu liminf-ul integralelor lui fn, care este lema lui Fatou. OK, deci încă o teoremă despre integrala Lebesgue, care este una foarte utilă. Pe parcursul tuturor acestor lucruri, am avut funcții care sunt extinse cu valoare reală. Deci avem de-a face cu funcții nenegative, care pot fi egale cu infinitul în puncte. Și poate că asta te face nervos, dar am să- ți spun că atâta timp cât integrala este finită, nu trebuie să fii nervos prea des. Deci, dacă f este o funcție măsurabilă nenegativă peste o mulțime măsurabilă E și integrala este finită, atunci mulțimea lui x este unde f de x este infinită ca mulțime de măsură 0. Deci măsura mulțimii în care este infinită este 0. Deci care este dovada? Așadar, cam așa am făcut, în spirit, dovada că, dacă integrala este 0, atunci funcția este 0 aproape peste tot. Deci, să fie f mulțimea tuturor x din E astfel încât f din x este egal cu infinitul și fn să fie mulțimea tuturor x-urilor din E astfel încât f din x este mai mare decât n. Ei bine, asta am avut în minte, dar ceea ce am scris în notele mele este puțin diferit de dovada pe care o aveam în minte tocmai acum. Deci, să mergem cu ceea ce este în notițele mele care este puțin mai precaut. BINE. Atunci, pentru tot n, un număr natural, de n ori chi f este mai mic sau egal cu de f ori chi f, unde aceasta este funcția indicator a capitalului F. Deoarece f pe capitalul F este doar infinit, deci acest lucru este valabil întotdeauna, nu? Și, prin urmare, de n ori măsura lui f-- deci a tuturor n, de n ori măsura lui f este mai mică sau egală cu integrala peste E ori f chi f, care este mai mică sau egală cu integrala lui E din f , care este finit. Acesta este un număr fix. Atunci pentru tot n, măsura lui f este mai mică sau egală cu 1 de n ori integrala lui f peste E. Din nou, acesta este un număr finit fix care merge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Acesta este doar un număr fix, de asemenea. Astfel, măsura lui f este egală cu 0. OK, așa că pare un loc bun pentru a te opri. Data viitoare, așa că am definit integrala Lebesgue a unei funcții măsurabile nenegative. Vom defini apoi clasa de funcții integrabile Lebesgue și vom extinde definiția integralei la acele funcții într-un mod destul de simplu. Demonstrați câteva proprietăți simple ale integralei Lebesgue. Și, de asemenea, ultima mare teoremă de convergență, care este teorema de convergență dominată. Și s-ar putea sau nu să terminăm până la sfârșitul prelegerii următoare demonstrarea că spațiile Lp, care se bazează pe integrala Lebesgue -- așa că am construit integrala Lebesgue pentru a avea un spațiu de funcții pentru care fel de -- OK, deci să mă opresc. Alarma aia m-a cam scos. Deci nu este prea greu să arăți dovezi. Sau puteți accepta doar pentru moment - și vom vedea de fapt de ce este cazul în curând - că spațiul funcțiilor continue cu norma fiind integrala. Deci norma lui f fiind, să spunem, integrala valorii absolute a lui f este un spațiu normal, dar nu este un spațiu Banach. Sau ați putea schimba integrala valorii absolute a lui f la ceea ce se numește o normă Lp mare, integrala lui f ridicată la p, toate ridicate la 1 peste p. Deci analogul micilor norme Lp, pe care le-am întâlnit acum câteva săptămâni. Niciunul dintre acestea nu este spații Banach atunci când este limitat la funcții continue, sau chiar funcții integrabile Riemann. Așa că scopul nostru - cel puțin a fost cu ceva timp în urmă când am început această secțiune, această secțiune mare despre integrarea Lebesgue -- a fost să construim, sau cel puțin să găsim un spațiu în care funcțiile integrabile rezultate formează un spațiu Banach. Și așa putem sau nu, până la sfârșitul prelegerii următoare, să le prezentăm. Dar acolo ne îndreptăm. Acolo suntem aproape. Și aceste spații au apărut pentru că se dorește să se aplice fapte de analiză funcțională, instrumente la întrebări concrete, cum ar fi întrebări despre convergența seriei Fourier, care au apărut imediat după ce Fourier a spus că orice funcție periodică poate fi extinsă ca o serie Fourier. Așa că mulți oameni s-au chinuit să completeze exact ceea ce înseamnă extins ca, extins ca punct. Această serie Fourier converge către funcția care a fost cam greu de realizat în medie? Vrei să spui medie ca măsurată în raport cu o normă care este integrată care implică integrare? Deci, de aceea venim aici. Dar asta vom vedea data viitoare. Sau vom vedea aplicațiile acestei teorii a integrării, împreună cu analiza funcțională mai târziu în curs, când ne întoarcem la seria Fourier. Bine, așa că ne oprim aici.