[SCRÂȘIT] [FOȘIT] [CLIC] PROFESORUL: Bine, deci ultima dată am definit integrala unei funcții măsurabile nenegative , regula Lesbesguen. Acum vom defini regula Lesbesguen pentru o clasă generală, o clasă mai generală de funcții. Deci funcții integrabile Lesbesgue. Deci, ce înseamnă asta? Fie E o submulțime măsurabilă a lui R, o funcție f, o funcție măsurabilă f, de la E la R. Deci valoarea sa reală este integrabilă Lesbesgue peste E. Deci ar trebui să spun că aceasta este o funcție măsurabilă - este Lesbesgue integrabilă peste E dacă integrala valorii absolute a lui f este finită. Deci un semn. Deci, amintiți-vă că avem părțile pozitive și negative ale lui f. Deci putem scrie f egal cu f plus minus f minus, unde acestea sunt părțile pozitive și negative ale lui f, ambele funcții nenegative, astfel încât valoarea absolută a lui f să fie egală cu f plus plus f minus. Și, prin urmare, dacă vreau să calculez integrala valorii absolute, aceasta este egală cu integrala părții pozitive plus partea negativă. Amintiți-vă, acestea sunt ambele funcții nenegative. Așa că permiteți-mi să vă amintesc doar că f plus este egal cu max f0. f minus este egal cu-- Cred că d din anumite motive, f plus este întotdeauna ușor. F minus este întotdeauna-- max minus f0. Deci integrala valorii absolute este egală cu integrala lui f plus integrala lui f minus. Acestea sunt ambele definite deoarece acestea sunt ambele funcții măsurabile nenegative. Așadar, ambele sunt nenegative, deoarece acesta este un maxim de două lucruri, unul dintre ele implicând 0. Deci, acesta este întotdeauna mai mare sau egal cu 0. Deci acestea sunt două funcții măsurabile nenegative. Aceste integrale există. Deci, acesta este finit dacă și numai dacă ambele aceste două lucruri sunt finite. Deci f este -- în loc să spun Lesbesgue integrabil, voi spune doar că este integrabil. Aceasta este echivalentă cu funcțiile f plus și f minus, părțile pozitive și negative ale lui f sunt integrabile. În regulă, deci cu această remarcă acolo, deci dacă f este o funcție măsurabilă de la E la o mulțime măsurabilă, R este integrabil. Deci "intbl." Forma mea scurtă este de obicei... poți să o auzi. Dacă f este integrabilă Lesbesgue, atunci integrala Lesbesgue a lui f peste E este definită ca fiind integrala lui f plus peste E minus integrala lui f minus. Acum, din nou, deci aceasta este o terminologie puțin nouă. Acest lucru este semnificativ pentru că definesc doar integrala pentru funcțiile integrabile, adică acesta este un număr finit, acesta este un număr finit. Deci pot scădea oricând două numere finite. Deci aceasta este definiția de a fi integrabil Lesbesgue, integrala Lesbesgue. Deci, care sunt unele proprietăți imediate ale funcțiilor integrabile și ale integralei? Să presupunem că f și g de la E la R sunt integrabile. Atunci pentru tot c din R, integrala lui c ori f-- nu, ar trebui să spun că c ori f este integrabilă. Și integrala lui c ori f este egală cu c ori integrala lui f. Aceasta este o proprietate simplă care urmează doar din definiție, împreună cu liniaritatea pe care o avem pentru integrala funcțiilor nenegative peste scalari nenegativi. f plus g este integrabil. Și integrala lui f plus g peste E este egală cu integrala peste E a lui f plus integrala lui g. Și din nou, doar un analog a ceea ce am avut pentru integrala funcțiilor nenegative. Dacă A și B sunt mulțimi măsurabile disjunse, atunci integrala lui f peste A uniune B este egală cu integrala peste A lui f plus integrala peste B a lui f. Una pe care o voi lăsa doar ție. Este destul de clar. Doar scriu c ca-- dacă este 0, atunci aceasta urmează imediat. Dacă c este pozitiv, atunci nu schimbă părțile pozitive și negative. Partea pozitivă a lui c ori f este doar de c ori partea pozitivă a lui f. Și partea negativă este doar de c ori partea negativă a lui f este partea negativă a lui c ori f. Dar le întoarce dacă c este negativ. Așa că puteți verifica acea egalitate pentru aceste două cazuri. Deci, să trecem la ceva mai interesant, deci, de exemplu, faptul că integrala este liniară în f și g. Deci, rețineți că, prin inegalitatea triunghiului, am că f plus g este mai mic sau egal cu f plus g, absolutul - deci valoarea absolută a lui f plus g este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui f plus absolut valoarea de g. Și, prin urmare, după ceea ce știm pentru integrala funcțiilor măsurabile nenegative, integrala lui f plus g este mai mică sau egală cu integrala valorii absolute a lui f plus valoarea absolută a lui g, care este egală prin liniaritate pentru non -funcţiile măsurabile negative este egală cu suma integralelor. Fiecare dintre acestea este finită. Prin urmare, suma lor este finită. Deci, dacă am două funcții integrabile, suma lor este integrabilă. Acum de ce integrala sumei este egală cu suma integralelor? Ei bine, avem f plus g, împărțind f și g în părțile lor pozitive și negative și scriem f ca f plus minus f minus. Pot scrie f plus g ca f plus plus g plus minus f minus plus g minus. Acum, acest lucru nu spune că partea pozitivă a lui f plus g este egală cu aceasta sau că partea negativă a lui f plus g este aceasta. Dar se spune că partea pozitivă a lui f plus g plus suma părților negative este egală cu -- doar împărțind partea stângă în părți pozitive și negative , obțin această identitate. Acum toate acestea sunt funcții măsurabile nenegative . Tot ceea ce apare aici sunt funcții măsurabile nenegative . Și, prin urmare, integrala, care este liniară pentru funcțiile măsurabile nenegative, îmi spune că integrala lui f plus g plus integrala lui f minus plus g minus este egală cu integrala lui f plus plus g plus peste E plus integrala peste E plus g minus. Acum ce fac este să rearanjez. Aduc asta în această parte, asta în partea asta. Și încă pot folosi liniaritatea, deoarece aceasta este o integrală a funcțiilor nenegative. Înțeleg că integrala lui E peste f plus g plus minus integrala lui E peste f plus g minus este egală cu -- așa că hai să facem asta încet. Aceasta este egală cu această integrală și cu această integrală. Deci, deși nu știm că partea pozitivă și-- este egală cu suma părților pozitive, deci, deși nu știm că partea pozitivă a sumei este suma părților pozitive și același lucru pentru partea negativă, obținem în continuare integralele egale. Și acest lucru de aici este doar egal cu, prin definiție, integrala lui f plus g. Și acest lucru de aici - din nou, dacă folosim liniaritatea pentru integralele funcțiilor nenegative, aceasta este egală cu f plus plus integrala peste E a lui g plus, minus - și din nou, doar extinzând aceasta și apoi purtând minus, minus F minus. Deci vedeți aici, tot ce folosim este liniaritatea pentru nenegativ pentru o sumă a două funcții măsurabile nenegative. Și aceasta este doar, din nou, prin definiția integralei suma integralelor. Și așa a fost 2. Care este dovada lui 3? 3 din 2 și faptul că dacă iau de f ori funcția indicator a lui A uniune B, aceasta este egal cu de f ori funcția indicator a lui A plus f ori funcția indicator a lui B când A și B sunt două mulțimi disjunse. Deci, folosind ceea ce știm despre integrala funcțiilor măsurabile nenegative, rezultă că integrala lui f peste A uniune B este egală cu integrala acestei mărimi aici peste E, care este egală cu suma integralei acestei suma aici, care este egală cu suma integralelor. Și apoi revenind, asta este egal cu integrala lui f peste A plus integrala lui f peste B. Deci, din nou, rezultă din liniaritate, acest fapt și, deși nu l-am notat, faptul că și acum pentru integrabil funcții, dar că integrala unei submulțimi este egală cu integrala funcției multiplicată cu indicatorul. Motivul pentru care este adevărat este că este adevărat pentru funcțiile măsurabile nenegative și pur și simplu din definiția integralei Lesbesgue. În regulă, deci mai multe proprietăți ale integralei. Să presupunem că f și g dintr-o submulțime măsurabilă la R sunt integrabile. Apoi sunt valabile următoarele. Integrala - Adică, valoarea absolută a integralei este mai mică sau egală cu integrala valorii absolute. Dacă f este egal cu g aproape peste tot, atunci... așa că lasă-mă... deci hai să... Nu am idee ce voiam să spun. A trebuit să o reduc puțin diferit. Deci, să repornim. Să presupunem că f și g sunt două funcții măsurabile. Trebuie să scrii măsurabil. OK, înapoi de sus, dacă f este integrabil, atunci valoarea absolută a integralei lui f este mai mică sau egală cu integrala valorii absolute. Dacă g este integrabil și f este egal cu g aproape peste tot, atunci f este integrabil. Și integrala lui f peste E este egală cu integrala lui g, din nou, înapoi la acea filozofie din ultima prelegere în care am spus, dacă concluziile tale sunt în termeni de integrale, atunci de obicei ipotezele pot fi formulate numai în termeni de informații aproape pretutindeni. 3, dacă f și g sunt integrabile și f este mai mică sau egală cu g aproape peste tot, atunci integrala lui f peste E este mai mică sau egală cu integrala lui g. Deci se decurge pur și simplu din definiția și relația dintre valoarea absolută a lui f, f și partea pozitivă și negativă. Deci avem valoarea absolută a integralei lui E a lui f peste E a lui f este egală, prin definiție, cu integrala părții pozitive a lui E minus partea negativă a lui E. Acum acestea sunt două numere nenegative. Deci, prin inegalitatea triunghiului, valoarea absolută a diferenței lor este mai mică sau egală cu suma valorilor absolute, care sunt egale cu ele însele deoarece sunt numere nenegative. Și acum integrala a-- sau suma integralelor este egală cu integrala sumei. Și f plus partea pozitivă plus partea negativă a lui f este egal cu valoarea absolută a lui f. Deci inegalitatea triunghiului -- sau nu -- N-ar trebui să spun inegalitatea triunghiului. Dar vreau să spun, dacă te gândești la integrală ca la sumă, atunci aceasta este o versiune a inegalității triunghiulare. Dar inegalitatea triunghiului pentru integralele Lesbesgue este valabilă. Deci 2, deci avem f este mai mic sau egal cu - deci mai întâi, valoarea absolută a lui f este egală cu valoarea absolută a lui g aproape peste tot, ceea ce implică ceea ce știm din integrala funcțiilor măsurabile nenegative , că dacă am două funcții măsurabile nenegative care se egalează aproape peste tot, atunci integralele lor sunt de acord. Și asta e bine. Astfel, f este integrabil. Acum de ce integrala lui f peste E este egală cu integrala lui g peste E? Deci, deoarece f este egal cu g aproape peste tot, f minus g în valoare absolută este egal cu 0 aproape peste tot. Și, prin urmare, dacă mă uit la valoarea absolută a diferenței acestor două integrale, aceasta este prin liniaritate egală cu integrala diferenței, care prin inegalitatea triunghiului pentru integralele Lesbesgue este mai mică sau egală cu integrala valorii absolute. . Și după ceea ce știm pentru integrala funcțiilor măsurabile nenegative, dacă am o funcție care este 0 aproape peste tot, atunci integrala ei este 0. Și, prin urmare, valoarea absolută a -- sau integrala lui f peste E trebuie să fie egală integrala lui g peste E. Deci asta dovedește 2. Și 3 este din nou, așa că folosim doar lucrurile pe care le cunoaștem din integrala funcțiilor măsurabile nenegative . Găsiți o funcție h de x să fie g de x minus f de x și 0. Acum, când este aceasta? Acesta este atunci când g din x este mai mare sau egal cu f din x și 0 în caz contrar. Deci aceasta este o funcție măsurabilă nenegativă. Este egal cu g de x minus f de x atunci când g de x este mai mare sau egal cu f de x și 0 în caz contrar. Și h este o funcție măsurabilă nenegativă. h este egal-- deoarece g este mai mare sau egal cu f aproape peste tot, h este egal cu g minus f aproape peste tot deoarece această condiție este îndeplinită aproape peste tot. Și, prin urmare, obțin acel 0, care este mai mic sau egal cu integrala peste E a părții pozitive a lui h - deoarece aceasta este doar o funcție nenegativă, știm care este integrala sa Lesbesgue definită. Este doar dat de prelegerea anterioară. Deci trebuie să fie un număr nenegativ, care, deoarece h este nenegativ, acesta este egal cu h. h plus este egal cu h. Dar ceea ce am dovedit acum un minut , deoarece aceste două funcții, funcția integrabilă, așa că ar trebui să spun de ce. Deci, de ce afirm și că h este o funcție integrabilă? Ei bine, integrala lui h este egală cu integrala lui g minus f, care, dacă vreau să pun valori absolute pe lucruri, integrala valorii absolute a lui h este egală cu diferența a două funcții integrale, care este aproape integrabilă Peste tot și prin ceea ce am făcut pentru partea 2, atunci asta îmi spune că h este integrabil. Deci integrala lui H, deci cu 2, trebuie să fie egală cu integrala lui g minus f, care prin liniaritatea pe care am demonstrat-o în teorema mai înainte este egală cu integrala lui g minus integrala lui f. Și vă amintiți, am început tot drumul la sfârșitul acestui sau la începutul acestuia cu 0 este mai mic sau egal cu. Deci integrala lui g va fi mai mare sau egală cu integrala lui f. Deci, ultima teoremă de convergență cea mai utilă pe care o întâlnim în integrarea Lesbesgue sau în teoria integrării este teorema de convergență dominată a lui Lesbesgue. Sau o voi numi doar teorema de convergență dominată. Lasă-mă să fac un mic comentariu. Ei bine, lasă-mă să fac o pauză și să fac un mic comentariu chiar aici. Ce funcții sunt integrabile Lesbesgue mai întâi? Care sunt câteva exemple de funcții care sunt integrabile Lesbesgue? Am... să vedem. Am omis asta? Oh, am avut-o la un moment dat. Deci, ce mulțimi au măsură finită? Știm că mulțimea-- măsura intervalelor este lungimea intervalelor, nu? Deci, orice mulțimi care sunt conținute într-un interval mare sunt -- orice submulțime măsurabilă care sunt conținute într-un interval mare au măsuri finite. Deci seturile compacte, despre care știm că sunt măsurabile, pentru că sunt mulțimi Borel, sunt... au măsură finită. Deci de ce spun asta? Dacă am funcții simple care sunt diferite de zero doar pe mulțimi care au măsură finită, atunci aceasta va fi o funcție integrabilă, pentru că revenim la definiția modului în care se integrează o funcție simplă, nu? Este suma coeficienților înmulțit cu măsura mulțimilor, unde... este nevoie de acel coeficient. Deci, dacă nu sunt decât zero pe un set de-- cu convenția că 0 ori infinitul este egal cu 0, astfel încât măsura de 0 ori măsura în care funcția este 0 este egală cu 0, atunci acele funcții simple care sunt diferite de zero numai pe seturi de măsură finită vor fi funcții integrale. Cum rămâne cu funcțiile continue? Deci, de fapt, lasă-mă... Nu voi dovedi asta pentru că vom demonstra ceva mult mai puternic într-un minut. Deci, cum rămâne cu funcțiile continue pe un interval închis și mărginit , să spunem a-- deci o funcție continuă pe AB? Să vorbim doar despre motivul pentru care acele funcții sunt integrabile în acele seturi. Deci o funcție continuă pe un interval AB-- dacă o funcție este continuă, atunci valoarea ei absolută este continuă pe AB. Și, prin urmare, valoarea absolută trebuie să fie mărginită de o constantă. O funcție continuă atinge un minim și un maxim pe un interval închis și mărginit. Deci valoarea absolută a unei funcții continue pe un interval închis și mărginit este mărginită de o constantă. Și, prin urmare, prin monotonitatea integralelor Lesbesgue, integrala valorii absolute a lui f pe intervalul AB va fi mai mică sau egală cu unele ori constante cu intervalul peste -- sau ori-- va fi mai mică sau egală cu integrala a constantei peste AB. Și integrala unei constante este doar egală cu constanta ori o măsură a mulțimii. După cum definim integrala funcțiilor simple, o constantă este cea mai simplă dintre funcțiile simple, care ar fi limita constantă deasupra valorii absolute înmulțită cu măsura intervalului închis și mărginit AB, care este B minus a Deci Lesbesgue integrală a unei funcții continue - deci pentru ce a fost toate acestea? A spune că o funcție continuă pe un interval închis și mărginit este integrabilă Lesbesgue. Acum suntem pe cale să arătăm ceva imediat după ce demonstrez starea și demonstrez teorema de convergență dominată , care este mult mai puternică decât asta, este că, de fapt, integrala Lesbesgue a unei funcții continue pe intervalul închis și mărginit este egală cu integrala sa Riemann . Deci, de fapt, pentru funcții continue, știți deja cum să calculați integralele Lesbesgue. Sunt egale cu integralele Riemann. Deci revenim la teorema de convergență dominată. Fie g o funcție integrabilă peste E. f într-o succesiune de funcții măsurabile astfel încât-- două lucruri. Unul, pentru tot n, valoarea absolută a lui fn este mai mică sau egală cu g. Deci g este nenegativ. Cred că ar fi trebuit să pun aici non-negativ. Și aproape peste tot, există un f de la E la R, astfel încât fn converge către f punctual este aproape peste tot, deci fn din x converge către f din x pentru aproape fiecare x din E. Deci acestea, succesiunea de funcții măsurabile, converg la-- punctual la această funcție aproape peste tot. Și toate sunt dominate de o funcție integrabilă. Atunci concluzia este că limita integralelor este egală cu integrala limitelor sau integrala limitei. Deci aceasta este o teoremă foarte utilă și puternică în integrare. Este mult mai puternic decât poți-- decât orice se poate spune cu adevărat în integrarea Riemann, în ceea ce privește teoremele de convergență. Integrarea Riemann necesită întotdeauna, într-o anumită formă, o formă de convergență uniformă aici. Tot ce avem este convergența punctuală aproape peste tot, nu? Și a doua cerință - așa că nu uitați, teorema de convergență monotonă a cerut, de asemenea, ca funcțiile să fie în creștere. Deci, aici, acum avem de- a face nu doar cu funcții nenegative, ci doar cu funcții măsurabile arbitrare . Atunci ar trebui să spun funcții măsurabile cu valoare reală, deoarece funcțiile noastre măsurabile ar putea fi, de asemenea, extinse cu valoare reală. Dar am vrut ca asta să fie o valoare reală. Deci tot ce avem nevoie pe deasupra convergenței punctuale aproape peste tot este doar ca acestea să fie mărginite mai sus de o funcție integrabilă, o funcție integrabilă fixă. Apoi concluzionăm că limita integralelor este egală cu integrala limitei, care este o teoremă extrem de puternică și utilă în analiză. Așa că o vom demonstra folosind lema lui Fatou. Dar mai întâi, din nou, concluziile sunt despre integrale. Și fac aproape peste tot afirmații în ipoteze, pe care am spus că le poți face oricând. Permiteți-mi să mă reduc pe scurt la cazul că aceste două lucruri sunt valabile aproape peste tot. Adică peste tot. Deoarece pentru tot n, fn este mai mic sau egal cu g aproape peste tot, acest lucru implică faptul că pentru tot n, fn este integrabil. Mai mult decât atât, fn converge către f aproape peste tot implică câteva lucruri, care-- amintiți-vă, convergența punctuală chiar și aproape peste tot a funcțiilor măsurabile este o funcție măsurabilă. Deci f este măsurabil. Și astfel f este mai mic sau egal cu g aproape peste tot, ceea ce implică faptul că f este integrabil. Deci, din moment ce am schimbat fn pentru fiecare n-- sau ar trebui să spun-- permiteți-mi să spun asta. De când am schimbat f pe a... ce spun? Deoarece schimbarea f și fn pentru tot n pe o mulțime de măsură 0 nu afectează integralele. În final, concluzia noastră ar trebui să fie despre limita integralei șirului este egală cu integrala lui f. Și din moment ce dacă schimb fn și f pentru fiecare n pe o mulțime de măsură 0, nu se schimbă integralele, nu? Putem presupune că aceste două ipoteze-- putem presupune că aceste două-- putem presupune că aceste două ipoteze sunt valabile peste tot. Și astea se mențin peste tot pe E. Deci, mai întâi, vreau să notez... așa că acum să trecem de fapt la dovadă. În regulă, poate trebuie să-ți iei o secundă să te gândești la ce am spus aici. Dar ideea este că, deoarece concluziile sunt în termeni de integrale și, deși am afirmat-o pentru aproape peste tot, pot să mă joc cu fn și f pentru fiecare n pe o mulțime fixă ​​de măsură 0, fără a afecta integralele. Deci, dacă vreau să demonstrez acest lucru, le pot schimba pe un set de măsură 0 fără a afecta integralele. Și pe setul de măsuri 0, fac astfel încât toate fns să fie egale cu f. Și atunci am această convergență peste tot. Și schimb f să fie 0 și pe acel set, astfel încât să am asta peste tot. Dar dacă aveți nevoie de o secundă, dacă doriți, imaginați-vă că am șters acel „aproape peste tot”, astfel încât enunțul teoremei să aibă aceste lucruri ținând peste tot. Și apoi gândește-te puțin de ce nu am nevoie de ea să țină peste tot, doar aproape peste tot. Deci presupunem pentru tot n, fn este mai mic sau egal cu g. Există un f, așa că am asta. Deci, rețineți, pentru tot n, integrala lui f sub n este mai mică sau egală cu integrala valorii absolute, care este mai mică sau egală cu integrala lui g, ceea ce implică că șirul format din integralele acestor băieți -- deci aceasta este o secvență de numere reale -- este o secvență mărginită de numere reale. Deci are un limsup și un liminf, nu? Acum amintiți- vă din primul curs de analiză, oricare ar fi fost, că limita unei secvențe mărginite este egală cu L dacă și numai dacă liminf și limsup sunt egale între ele și sunt egale cu L. Deci ceea ce vom face este să facem Vom arăta că liminf și limsup acestei secvențe de numere sunt egale. Și ele sunt egale cu integrala lui f. Și pentru a face asta, vom folosi lema lui Fatou. Deci, deoarece g plus sau minus f sub n este mai mic-- sau este mai mare sau egal cu 0 deoarece valoarea absolută a lui f sub n este întotdeauna mai mică sau egală cu g. Deci g plus sau minus f sub n este întotdeauna mai mare sau egal cu 0. Acum pot aplica lema lui Fatou , care îmi spune că pentru o succesiune de funcții măsurabile nenegative , integrala liminf este mai mică sau egală cu limita integralelor. Deci, din nou, deci fns converg la f. Deci f de x-- fn de x pentru toate-- fix x în E, fn de x converge la f de x. Prin urmare, liminf pentru fn pentru x este egal cu f pentru x. Deci limita lui g minus f este egală cu fn. Ne pare rău, este egal cu g minus f deoarece fns converg la f, din nou, pentru fiecare punct. Hai să facem un minus aici. Și după lema lui Fatou, aceasta este mai mică sau egală cu liminf pe măsură ce n merge la infinitul integralei lui E-- peste E a lui g minus f sub n. Acum aceasta este egală cu integrala. Folosind liniaritatea, aceasta este egală cu integrala lui g minus integrala lui f sub n. Când iau liminf-ul și îl duc, primesc liminf-ul când lovește un minus se transformă într-un limsup. Deci, ori de câte ori am o secvență mărginită de numere, liminf minus acea secvență de numere este egal cu minus limsup-ul acelei secvențe de numere. Deci aici folosesc liminf de minus An, n fiind -- egal minus limsup de An. Și, în mod similar, obțin că integrala lui g plus f este mai mică sau egală cu doar de-- acum dacă aleg din nou lema , dar acum nu trebuie să schimb minusurile, aceasta este mai mică sau egală cu integrala lui g plus liminf pe măsură ce n merge la infinitul integralei lui fn a lui E. Deci am două inegalități. Eu am asta. Și ar trebui să spun că este mai mic sau egal cu, așa că poate includeți puțin din asta. Și apoi am și această inegalitate aici. Acum, toate aceste cantități pe care le-am notat, acestea sunt toate numere finite. Acesta este un motiv pentru care. Deci aceasta este limsup-ul acestei secvențe mărginite. Acesta este un număr. Acesta este un număr. Acesta este un număr. Așa că le pot scădea și muta de fiecare parte a acestei inegalități. Deci nu există o afacere amuzantă cu scăderea infinitelor. Toate acestea sunt la nivel. Deci, deplasând limsup-ul și scăzând integrala lui g minus f, obțin că limsup-ul pe măsură ce n merge la infinitul lui f sub n este mai mic sau egal cu integrala lui g minus f. Și acum, prin liniaritate, aceasta este egală cu integrala lui f. Și aceasta este, de asemenea, egală cu, prin liniaritate-- să vedem-- minus integrala lui g. Și până la a doua casetă galbenă de aici, aceasta este mai mică sau egală cu integrala lui g plus liminf-ul fn, deci liminf- ul integralelor fns. Deci ce am? Am limsup este mai mic sau egal cu integrala lui f, este mai mic sau egal cu liminf. Liminf stă întotdeauna sub limsup. Prin urmare, acele trei numere trebuie să se egaleze. Deci această cutie se află întotdeauna sub această cutie. Deci, toate cele trei numere trebuie să fie egale între ele atunci - egală integrala lui f este egală cu liminf pe măsură ce n merge la infinitul lui fn. Și pun pariu în analiză, ai crezut că limsup-urile și liminf-urile nu vor fi niciodată utile, dar sunt. Deci aceasta este dovada teoremei de convergență dominată. Acum, să folosim o parte din acest mușchi pe care l-am construit. Deci, să presupunem că a este mai mic decât b și f este o funcție continuă pe a, b. Atunci integrala Lesbesgue peste a, b a lui f este egală cu integrala Riemann a lui f. Aceasta este integrala Riemann. Deci, în cursul acestei demonstrații, vom vedea și de ce f este, de fapt, integrabil. Deci, dovada. Deci mai întâi arătăm f este integrabil Lesbesgue. Deci, acest lucru implică faptul că valoarea absolută a lui f este, de asemenea, o funcție continuă. Și fiecare funcție continuă pe un interval închis și mărginit este mărginită. Deci, există o constantă b astfel încât f este -- valoarea absolută a lui f este mai mică sau egală cu b pe acest interval închis și mărginit. Atunci integrala valorii absolute a lui f, integrala Lesbesgue a lui f a valorii absolute a lui f peste a, b, aceasta este mai mică sau egală cu a ori b, integrala peste a, b capitalului P. Și aceasta este cea mai simplă dintre funcțiile simple. Integrala Lesbesgue a acesteia este de doar b ori măsura lui b a lui a, b, este egală cu b ori b minus a, care este finită. Deci funcțiile continue sunt integrabile Lesbesgue pe un interval închis și mărginit. Astfel, f este integrabil Lesbesgue. Acum partea pozitivă a lui f este o funcție continuă. Și partea negativă a lui f este o funcție continuă. Deci, de fapt, le puteți nota puțin diferit decât le-am notat eu înainte. f plus este egal cu... să vedem. Deci acestea sunt părțile pozitive și negative scrise ușor diferit. Dacă f este continuă, ambele aceste funcții sunt funcții continue nenegative. Și integrala Riemann a lui f plus minus f minus, care este f, integrala lui f, este egală cu integrala lui f plus minus integrala lui f minus, care este exact modul în care și integralele Lesbesgue sunt definite în termeni de integrală, Integrala Lesbesgue a lui f este egală cu integrala Lesbesgue a lui f plus minus integrala Lesbesgue a lui f minus. Dacă consider pur și simplu aceste două cazuri separat, luați în considerare acestea separat și arătând integrala peste a, b, f plus sau minus este egală cu integrala Riemann corespunzătoare. Și folosind liniaritatea, pot presupune că f este nenegativ. Deci, ce rost are aici? Încerc să arăt acest lucru pentru funcții generale continue. Dar împărțind-o în părțile sale pozitive și negative, este suficient să demonstrăm că acest lucru este egal cu părțile pozitive și negative, ambele fiind funcții continue și nenegative. Deci trebuie doar să demonstrez ceea ce vreau pentru cazul în care f este nenegativ. Acesta este ideea. În regulă, deci acum avem o funcție continuă nenegativă pe a, b. Și vrem să arătăm că integrala Lesbesgue este egală cu integrala Riemann a acelei funcții continue. Deci, să fie xn... să vedem. Deci aceasta ar trebui să fie egală cu a. Aceasta ar trebui să fie egală cu b-- să fie o secvență de partiții ale lui a, b astfel încât norma de-- deci aceasta este doar o notație din spate în analiza reală. Nu ar trebui să iei asta ca pe o normă reală. Ei bine, cred că este o normă într-un anumit sens. Dar acesta este doar un submult al lui a, b care împarte a, b astfel încât această cantitate aici, pe care o desemnez folosind norma -- dar nu ne confundați cu normele pe care le-am discutat mai înainte, care este definită a fi maximul de -- și m s-ar putea schimba cu n. Merge la 0. Deci, de ce iau o secvență de partiții ale lui a, b? Pentru că așa se calculează integrala Riemann în termeni de sume Riemann. Și voi arăta că șirul sumelor Riemann care converg către integrala Riemann converge de fapt și către integrala Lesbesgue , dar de-a lungul unei anumite secvențe de sume Riemann. Deci, fie xi j, n într-una din subpartiții. Deci f este o funcție continuă nenegativă pe acest interval. Deci are un minim pe care îl atinge la un moment dat. Egal cu f din xi j, n. Deci, pe subinterval, f din x este întotdeauna mai mare sau egal cu f din xi n, j. Deci așa definesc xi n. Apoi, prin teoria integrării Riemann, dacă mă uit la limită pe măsură ce n merge la infinitul sumelor Riemann asociate , această limită există. Și obțineți integrala Riemann a lui f pentru o funcție continuă. Acest lucru ar fi trebuit să fie acoperit în clasa dumneavoastră de analiză introductivă, care, dacă doriți, aceasta este integrala Riemann inferioară sau suma Riemann inferioară. Și că atâta timp cât mergi de-a lungul unei partiții, astfel încât această cantitate de aici să ajungă la 0, atunci sumele Riemann asociate converg către integrala Riemann. Bine, acum fiecare dintre acestea este un set finit. Fie n uniunea acestor mulțimi. Atunci aceasta este o uniune numărabilă de mulțimi finite. Deci este numărabil. O uniune numărabilă de mulțimi numărabile este numărabilă. În special, aceasta înseamnă că măsura acestui set este 0. Deci, dacă eu -- setul tuturor punctelor de partiție pe măsură ce mă aflu peste toate partițiile care converg la 0 -- deci am luat orice secvență de partiții cu această cantitate aici. la 0. Dacă iau unirea tuturor acestor partiții, obțin un set numărabil. Acest set are măsura 0 pentru că este numărabil. De ce fac acest punct că are măsura 0? Ei bine, pentru că în afara acestui set, magia se întâmplă. Și ceea ce am învățat este că magia care se întâmplă dintr- un set de măsură 0 înseamnă că magia se întâmplă pentru integrale. Deci, permiteți-mi... Aș dori încă o informație importantă pe care o avem din teoria integrării Riemann, conform căreia sumele Riemann converg către o integrală Riemann. Fie fn următoarea funcție simplă. Aceasta este suma de la j este egală cu 1 la mn din f din c în j a indicatorului-- ori funcția indicator a lui xjn j minus 1 xjn. Și apoi ar putea pune plus de 0 ori funcția indicator a lui xjn. Adică, această parte nu contează cu adevărat. Doar spuneam. Deci aceasta este o funcție simplă pentru fiecare n. Ar trebui să spunem o funcție simplă nenegativă. Deci ce se întâmplă acum? Și de ce am ales xi n? Așa că lasă-mă să desenez imaginea care vine cu asta. Am funcția mea f pe a, b. Și ceea ce fac este că decupez domeniul pentru a obține integrala Riemann aproximativă. Deci asta ar trebui să se conecteze. Și aleg înălțimile să fie minimul lui f pe fiecare dintre aceste intervale. Deci acesta este un f din xi 1, dacă doriți, f din xi 2. Și cel puțin pentru această imagine, acesta este xi 1. Și ceea ce știu este că fac această partiție din ce în ce mai fină, aceste zone aproximative aici sunt convergând către integrala Riemann completă a lui f. Un alt mod de a gândi la asta este că acestea sunt doar integrala Lesbesgue a anumitor funcții simple, unde funcția simplă este 1 pe aceasta și are înălțimea f de xi în sau xi 1. Această cantitate aici, integrala - aria de dedesubt aceasta-- este egală cu integrala Lesbesgue a lui f de xi de 2 ori funcția indicator a acestui interval și așa mai departe. Deci pot vedea aici aceste piese care intră în suma Riemann ca integrale Lesbesgue ale anumitor funcții simple. Sau pot vedea întreaga cantitate ca integrala Lesbesgue a unei funcții simple pentru atingerea n. Acum, scopul aici este ceea ce vom face este să arătăm că funcțiile simple ale căror-- Adică , de fapt, putem face asta acum. Rețineți, pentru tot n, dacă mă uit la integrala Lesbesgue a lui fn peste a, b, aceasta este egală cu suma de la j este egală cu 1 la m sub n. Acesta este un set de măsură 0, deci nu contribuie. f din xi jn - toate acestea sunt numere nenegative deoarece f este nenegativ -- ori măsura lui xj minus 1n, xjn ori xjn. Acum amintiți-vă, am construit integrarea Lesbesgue astfel încât măsura unui interval să fie lungimea intervalului. Deci, acesta este egal cu xjn minus xj minus 1n. Deci integrala, integrala Lesbesgue, a fiecăreia dintre aceste funcții, fiecare dintre aceste funcții simple, este egală cu suma Riemann care apare în această limită, nu? Și acum scopul este de a arăta că fns converg către f aproape peste tot și sunt mărginite deasupra de o funcție integrală cel puțin aproape peste tot. Apoi pot aplica teorema de convergență dominată pentru a concluziona că limita n m merge la infinitul acestui lucru este egală cu integrala Lesbesgue a lui f. Dar aceasta, limita pe măsură ce n merge la infinitul acestui lucru, este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul acestei mărimi, care este egală cu integrala Riemann. Și acesta este planul de joc. Și vreau să spun, deja poți ghici de aici. Care este funcția care se află deasupra tuturor fn-urilor? Va fi cel puțin departe de acestea... cel puțin departe de eventuale puncte finale. Va fi f. Apoi, pentru toate xn a, b, ia n. Am câteva lucruri. Ei bine, primul lucru este mai mic sau egal cu f din x. Acum voi arăta că pe a, b, luați n, care este o mulțime de măsură 0, acel fn din x converge către f din x. Așa că acum pretind-- atunci-- adică fn converge către f aproape peste tot. Și este delimitat mai sus de o funcție integrală Lesbesgue aproape peste tot. Atunci putem aplica teorema de convergență dominată pentru a obține ceea ce ne dorim. Deci haideți să demonstrăm asta. Deci, lăsați xb și ab să ia setul tuturor punctelor de partiție. Deci vrem să arătăm asta. Să ne întoarcem la un epsilon de bază. În argumentare, să fie epsilon pozitiv. Deoarece f este continuă la x, există un delta pozitiv, astfel încât dacă x minus y este mai mic decât delta, atunci f din x minus f din y este mai mic decât epsilon. Acum știm că partițiile devin din ce în ce mai fine, nu? Deci x este în a, b ia n, nu? Deci, din moment ce normele acestor partiții, care își amintesc, este maximul... Am uitat că n când l-am scris aici. Și asta ar trebui să fie n. Deoarece aceasta merge la 0, există capital M, astfel încât toate n mai mari decât sau egale cu capital M, această cantitate aici, lungimea -- cea mai mare lungime a subintervalelor -- este mai mică decât delta. Așa că acum lasă-mă să- ți fac o poză. Deci x este în a, b, luați partițiile, toate punctele de partiție posibile , toate xj-urile, n-urile, nu? Deci, să-- susțin acum că fn de x minus f de x este mai mic decât epsilon. Acum, cum evaluez pentru x în a, b iau n fn din x? Și fn lui x este egal cu -- ori funcția indicator a lui xj minus 1n, xjn a lui x. Și nu trebuie să-mi fac griji cu privire la punctul final, pentru că nu uitați, x este în a, b, luați toate punctele de partiție. xjn este întotdeauna un punct de partiție. xjn este întotdeauna b, așa că întotdeauna iau b și a. Deci, acesta trebuie să fie egal - acest x trebuie să se afle într-unul dintre aceste intervale, dar să nu fie unul dintre punctele de partiție. Deci aceasta trebuie să fie egală... aceasta este o notație proastă. Dar să spunem fxe, OK, k-- pentru k unic, astfel încât x este în xk minus 1n xk. Apoi, deoarece xi n, k este în acest interval, iar maximul pe lungimea intervalelor mici, care reprezintă diferențele aici, este mai mic decât delta - deci în special pentru acesta. Deci am... iată o poză. Iată xk minus 1n, xnk. Xi nk este undeva acolo. x este undeva acolo. Și deoarece această cantitate aici este mai mică decât delta, aceasta implică că x minus xi în k trebuie să fie mai mică decât delta. Și, prin urmare, f din x minus f xi f sub n din x, care este egal cu f din x minus f din xi kn. Acum acestea sunt la distanță deltă unul față de celălalt. Și, prin urmare, f din x și f din acel număr trebuie să fie în epsilon unul față de celălalt pur și simplu prin modul în care a fost aleasă delta. Deci am arătat că pentru toate n mai mari sau egale cu capitalul M, f de x minus fn de x este mai mică decât epsilon. Astfel, limita pe măsură ce n merge la infinit de fn de x este egal cu f de x, toate x în a, b, eliminăm punctele de partiție. Deci avem câteva lucruri. Așa că am spus asta, dar acum o să scriu ce. Avem aceste două lucruri. Avem asta aproape peste tot, fn-urile converg la f. Aproape peste tot, fn este mai mic sau egal cu f. f este o funcție continuă fixă care este integrabilă. Este non-negativ. Deci, prin teorema de convergență dominată, integrala, integrala Lesbesgue, a acestei funcții, funcția continuă f a lui x, este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul integralelor Lesbesgue ale acestor funcții simple speciale, care, așa cum am calculat chiar aici , este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinit de k egal cu 1 la m sub n, f de xi în j minus xj și minus xj minus 1n. Și prin cum asta-- ceea ce știm despre integralele Riemann, aceasta converge către integrala Riemann. Și astfel integrala Lesbesgue este egală cu integrala Riemann pentru o funcție continuă. Deci am discutat integrala Riemann a funcțiilor măsurabile cu valoare reală sau a funcțiilor integrabile cu valoare reală. Acum, destul de des, dorim să avem funcții cu valori complexe definite pe submulțimi măsurabile de numere reale. Ce facem atunci? Ei bine, tot ceea ce am făcut se aplică practic atâta timp cât are sens. Așa că permiteți-mi să precizez asta aici. Deci, toate teoremele anterioare pe care le-am demonstrat, atâta timp cât au sens, puteți folosi ceea ce am făcut pentru funcțiile integrabile cu valori reale la ceea ce numim funcție integrabilă cu valori complexe implică afirmațiile corespunzătoare pentru funcțiile cu valori complexe. funcții integrabile. Și ce sunt acestea? Deci f de la o submulțime măsurabilă a lui E până acum numerele complexe. Așadar, permiteți-mi să spun E la - și acum permiteți-mi să definesc ce vreau să spun prin funcții integrabile complexe , adică - deci f dintr-o submulțime măsurabilă a lui E la C este integrabilă Lesbesgue dacă este valabilă aceeași condiție, că integrala absolutului valoarea lui f este-- sau acum acesta este un modul al unui număr complex pentru fiecare x-- este integrabil. Deci aceasta este o funcție măsurabilă nenegativă acum, care este definită pe E. Deci această cantitate aici are sens. Deci spunem că o funcție cu valori complexe este integrabilă Lesbesgue dacă această cantitate este finită. Și acum definiția integralei Lesbesgue a unei funcții integrabile cu valori complexe este definită ca fiind pur și simplu integrala părții reale a lui f, care este, din nou, o funcție integrabilă cu valori reale, plus i ori integrala părții imaginare. din f. Deci, din nou, doar pentru a defini funcții integrabile complexe sau funcții integrabile cu valori complexe, luăm aceeași definiție. Și apoi definim integrala ca fiind integrala părții reale plus i ori integrala părții imaginare. Și faptul că aceasta este finită implică faptul că aceste două funcții măsurabile cu valori reale sunt, de fapt, integrabile. Și toate teoremele pe care le-am enunțat mai înainte, atâta timp cât au sens, se continuă. De exemplu, liniaritatea integralei în raport cu înmulțirea acum cu numere complexe este reportată. Integrala sumei este suma integralelor. Acest lucru încă se realizează doar prin utilizarea acestei definiții, împreună cu faptul că știm că integrala a doi-- suma a două funcții cu valori reale este integrabilă. Și teorema de convergență dominată de Lesbesgue poartă atunci -- poate fi generalizată la funcții integrabile cu valori complexe . Poate ceea ce nu este atât de clar este -- sau permiteți-mi doar să vă ofer o idee despre cum puteți utiliza ceea ce știți despre funcțiile integrabile cu valori reale pentru a obține declarații corespunzătoare pentru funcțiile integrale cu valori complexe. Deci, să facem inegalitatea triunghiului pentru integrale, nu? Deci, dacă am o integrală complexă integrabilă sau cu valori complexe -- funcție integrabilă cu valori complexe -- atunci integrala lui E a lui f -- deci acesta este acum un număr complex. Luând modulul acesta este mai mic sau egal cu acesta. Deci care este dovada? Deci acest lucru este clar. Deci, dacă integrala lui E este egală cu 0. Așa că este clar în mod automat. Deci, să presupunem că nu este egal cu 0. Și să fie alfa următorul număr complex, integrala lui E peste - deci integrala lui f peste E este un număr complex. Eu iau conjugatul său complex. Împărțim la modulul acestuia. Atunci alfa și modulul sunt egale cu 1. Și valoarea absolută a integralei lui f-- aceasta este egală cu alfa înmulțită cu integrala lui f peste E, deoarece conjugatul complex ori acesta îmi oferă modulul pătrat împărțit la modul. Recuperez modulul, nu? Și liniaritatea Riemann-- sau nu Riemann-- a regulii Lesbesguen pentru funcțiile integrabile cu valori complexe încă este valabilă. Așa că pot trage alfa înăuntru. Și acum acest lucru este egal cu acesta. Deci este egal cu un număr real. Deci este egal cu partea sa reală. Și acum partea reală a integralei este egală cu integrala părții reale doar prin definiție. Deci aceasta este egală cu partea reală a timpului alfa f. Acum aceasta este o funcție cu valoare reală , funcție integrabilă. Și știm din ceea ce am demonstrat pentru funcțiile integrabile cu valori reale , că este mai mic sau egal cu partea reală a alfa ori f peste E. Acum, valoarea absolută a părții reale a unui număr complex este mai mică sau egală cu modulul. din acel număr complex. Și alfa are modul egal cu 1. Deci aceasta este egală cu integrala valorii absolute. Deci, în acest moment, chiar aici, am folosit ceea ce știam despre funcțiile integrabile cu valoare reală. Și folosind asta, am obținut apoi declarația corespunzătoare pentru funcțiile integrabile cu valori complexe. Și folosind teoremele pe care le-am demonstrat pentru funcțiile integrabile cu valori reale, obținem declarații corespunzătoare pentru funcțiile integrabile cu valori complexe, atâta timp cât enunțurile au sens. Nu spunem două funcții cu valori complexe, una este mai mică sau egală cu cealaltă, pentru că nu avem o ordine pe numerele complexe. Deci afirmația nu are sens. Dar afirmații despre, de exemplu, funcții continue cu valori complexe , integrala Lesbesgue egalând integrala Riemann, care urmează imediat deoarece integrala Riemann a unui număr complex - o funcție continuă cu valori complexe - este definită ca fiind aceeași. lucru. Și din moment ce știm despre... știm că aceasta este egală cu integrala Riemann a părții reale a lui f și aceasta este egală cu integrala Riemann a părții imaginare a lui f, care este prin definiție egală cu integrala Riemann a lui f, atunci obținem imediat teorema anterioară generalizată la funcţii cu valori complexe. Bine, deci aceasta este teoria integrării Riemann. Adică... integrarea Riemann? Integrarea Lesbesgue. Data viitoare, vom încheia discuția despre - măsurarea unei integrări prin introducerea spațiilor mari Lp , care sunt spații ale funcțiilor măsurabile care au un finit - care au crescut la o anumită putere, au o regulă Lesbesguen finită și arată că acele sunt spații Banach care conțin funcțiile continue, desigur, și în anumite cazuri sunt-- spațiul funcțiilor continue este dens în aceste spații.