[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Deci hai să continuăm discuția noastră despre serie. Deci data trecută, am dovedit testul de comparație la sfârșitul timpului trecut. Deci acesta a fost testul de comparație. Deci, care este o afirmație despre serii cu termeni nenegativi, unul fiind mai mic decât celălalt. Și unul din două lucruri, sau două lucruri sunt adevărate. Dacă am xn și yn nenegative cu yn mai mare sau egal cu xn, atunci concluzia este că dacă seria mai mare converge, aceasta implică că seria mai mică converge. Și a doua afirmație este, dacă seria mai mică diverge, atunci seria mai mare diverge. Și am demonstrat, de asemenea, nu folosind testul de comparație, ci pentru seria p, că seria 1 suma de la n este egală cu 1 la infinitul lui 1 peste n către p, Aceasta converge. Ei bine, vreau să spun, am folosit un test de comparație pentru o direcție, cred. Deci 1 peste n către p converge dacă și numai dacă p este mai mare decât 1. Deci, această convergentă implicită p trebuie să fie mai mare decât 1 prin testul de comparație și ceea ce știm despre seria armonică 1 peste n, suma lui 1 peste n . Deci, de obicei, în aplicații folosiți aceste două teoreme împreună. Să spun ceva despre seriale care nu par atât de simple. Deci, de exemplu, dacă mă uit la seria, 1 peste n pătrat plus 2020n, n este egal cu 1 la infinit. Așa că s-ar putea întreba, oare aceasta converge, diverge? Ei bine, aceasta este o serie cu termeni nenegativi. Și amintiți-vă, vreau să spun, lucrul mai mare trebuie să convergă pentru a presupune că lucrul mai mic converge. Și dacă lucrul mai mic diverge, atunci lucrul mai mare diverge. Deci, nu amestecați inegalitățile. Deci am 1 peste n pătrat plus 2020n. Acest 2020 ori n face doar lucrurile mai mari în partea de jos și, prin urmare, mai mici în general. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 1 peste n pătrat. Și deoarece acest lucru converge, acest lucru implică prin testul de comparație că suma de la n este egală cu 1 la infinitul lui 1 peste n pătrat plus 2020n converge. Acum, o greșeală pe care sunt sigur că am făcut-o cu toții la un moment dat este să amestecăm inegalitatea și să nu obținem răspunsul corect. Deci, de exemplu, este, de asemenea, adevărat că 1 peste n pătrat plus 2020n este cu siguranță mai mic sau egal cu 1 peste 2020 ori n, care este, de asemenea, mai mic sau egal cu 1 peste n. Și așa, ești tentat să spui, deoarece aceasta diverge, înseamnă că celelalte serii diverge. Dar acest lucru nu este corect. Pentru că inegalitatea este greșită. Amintiți-vă, dacă doriți să aplicați testul de comparație, fie trebuie să aveți o serie mai mare care converge, fie o serie mai mică care diverge. Aici am venit cu o serie mai mare, care diverge, care nu ne oferă deloc informații. Dacă avem o serie mai mare , cum ar fi 1 peste n pătrat despre care știm că converge, atunci obținem informații despre seria originală. Deci haideți să facem un alt test binecunoscut, sau cel puțin un test pe care ar trebui să-l amintiți din calcul, așa-numitul test de raport. Deci, ce este o declarație în acest sens? Deci, să presupunem că xn nu este egal cu 0 pentru tot n. Și această limită l este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de x la n plus 1 peste x la n, există o valoare absolută. Atunci, dacă l este mai mic decât 1, aceasta înseamnă că seria xn converge absolut. Și dacă l este mai mare decât 1, atunci seria diverge. Acum, ce zici de l este 1? Nu există informații pentru l egal cu 1. Adică ați putea avea o serie astfel încât acest l să fie egal cu 1. Și ați putea avea o serie în care diverge. Și ați putea avea, de asemenea, o serie în care l este egal cu 1 și seria converge. Deci, de exemplu, dacă xn este egal cu 1 peste n, de exemplu. Sau vreau să spun, și mai rău, să spunem 1 pentru toate n. Dar știm că seria 1 diverge. Pentru că termenii individuali nu converg la 0. Ei sunt doar 1 tot timpul. Dar pentru xn este egal, să spunem, 1 peste n pătrat, deci cel pe care l-am văzut acum un minut, implică l, care este limita pe măsură ce n merge la infinitul lui n plus 1 pătrat peste n pătrat este egal cu limita pe măsură ce n ajunge la infinit. Împărțind prin, unu plus 1 peste n pătrat, acesta este egal cu 1 plus 0 pătrat este egal cu 1. Deci, pentru această serie, rădăcina sau raportul dă acest l este 1. Și această serie converge. Deci, din nou, pentru cazul în care l este egal cu 1, nu avem informații. Nu putem spune nimic bazat pe... această teoremă nu ne oferă nicio informație. Deci vom demonstra această teoremă practic prin... deci nu vom folosi exact un test de comparație. Dar încă vom compara această serie care satisface una dintre aceste două ipoteze cu o serie pe care o cunoaștem, și anume testul raportului pentru numărul unu. Deci, în primul rând, să scoatem numărul doi din drum. Deci, să presupunem că l este mai mare decât 1. Fie alfa un număr între 1 și l. De fapt, nici nu trebuie să facem asta. Deci iată-- aici este 1, aici este l. Deci, deoarece xn plus 1 peste xn valoarea absolută converge către l, există un întreg M0. Deci este un număr natural. Astfel încât pentru toți n mai mari sau egali cu M0, xn plus 1 peste xn în valoare absolută este mai mare sau egal cu - deci aici, puteți scrie 1 ca - acesta este egal cu l plus - ar trebui să spun, minus-- l minus 1. Deci, gândiți-vă la aceasta ca fiind epsilon în definiția convergenței. Și așa, asta e aici. l plus l minus 1. Deci, prin definiția convergenței, pentru toate n suficient de mari, xn plus 1 peste xn în valoare absolută trebuie să fie în acest interval. Deci trebuie să fie mai mare sau egal cu 1. Ceea ce implică că pentru toate n mai mari sau egale cu M0, xn plus 1 este mai mare sau egal cu xn. Și așa, aș putea scrie asta spunând că x M0 este mai mic sau egal cu x M0 plus 1, este mai mic sau egal cu x M0 plus 2 și așa mai departe. Dar acest lucru implică faptul că aceste xn-uri nu pot converge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Deoarece pentru toate n mai mari sau egale cu M0, acestea cresc. Și singura modalitate ca o secvență crescătoare care este nenegativă să convergă către zerouri pentru ca toate să fie 0. Și presupunem că nu sunt 0. Deci asta dovedește două. Să demonstrăm una. Deci, să presupunem că l este acum mai mic de 1. Și acum, să fie alfa un număr între l și 1. Așa că vreau doar să îmi ofer puțin spațiu, să lucrez așa cum veți vedea într-o secundă. Deci, după același raționament ca înainte, deci iată l, alfa 1 alfa. Pot scrie ca l plus alfa minus l. Așa că ar trebui să mă gândesc la asta ca la un fel de epsilon. Apoi, deoarece xn plus 1 peste xn în valoare absolută converge către l, care este mai mic decât alfa, există în M0 numărul natural. Astfel încât, pentru toate M mai mari sau egale cu M0, xn plus 1 peste xn în valoare absolută este mai mic sau egal cu alfa. Deci aici am alfa doar puțin mai mare decât l. Și dacă desenez... deci acesta este l minus alfa minus l. Deci, deoarece am această secvență aici convergând la l pentru toate insuficient de mari, aceasta ar trebui să fie în acest interval. Înseamnă că aceasta ar trebui să fie mai mică sau egală cu alfa. Atunci, pentru toți n mai mari sau egali cu 0, așa că permiteți-mi să scriu acest lucru ușor diferit, x sub n plus 1 este mai mic sau egal cu alfa ori valoarea absolută a lui x din n. Acum, să vedem ce înseamnă asta. Pentru toate n mai mari sau egale M sub 0. Să presupunem că mă uit la valoarea absolută a lui x sub n. Deci acum, acest n nu are nimic de-a face cu acești n. Este doar-- deci atunci valoarea absolută a lui x din n este mai mică sau egală cu x-- deci poate că am depășit-- OK, deci să creștem asta cu 1. Ei bine, deci să nu facem confuzie aici. Să facem acest l. Să facem ca l. Deci, pentru toate l mai mari sau egale cu M0 plus 1. Așa că gândiți-vă că l joacă rolul de a fi n plus 1. Acesta este mai mic sau egal cu x la l minus 1, care este mai mic sau egal cu x pentru l minus 2, acum cu un pătrat. Deci ceea ce am aici este acum alfa ori alfa x până la l minus 2. Și acum, să scădem din nou cu 1. Și pot face asta atâta timp cât această cantitate de aici este mai mare sau egală cu M. Așa că am înțeles că aceasta este , dacă continui să fac asta, acesta este mai mic sau egal cu alfa la l minus M0, x la M0. Și așa, de fapt, haideți, am schimbat lucrurile... da. Deci acum vom folosi acest lucru pentru a lega sumele parțiale ale x din n. Deci, fie M un număr natural. Și dacă ne uităm la suma parțială, suma de la n este egală cu 1 la M a x sub n, aceasta este egală cu suma n este egală cu 1. la M0 xn plus suma de la n este egală cu M0 plus 1 la M. x sub-- acum permiteți-mi schimbați doar variabilele fictive pentru semnare, pentru indexarea asta. Deci aceasta este egală cu suma de la n este egală cu 1 la M0 a lui xn. Și acum, asta, voi folosi această inegalitate aici. Deci asta este un fel de mizerie. Deci aceasta este inegalitatea pe care o obțin din asta. Amintiți-vă, alfa este mai mică de 1. Plus-- OK. Deci, l al timpului este egal cu M0 plus 1 la M. OK, totul este în regulă. Ori alfa la l minus M0 plus 1. Deci tot ce am făcut aici a fost să înlocuiesc această valoare absolută a lui x la a x sub l. Sunt doar o variabilă inactivă pentru indexarea acestor tipi, dar folosind această inegalitate aici. Așa că, scuze, am cam încurcat asta puțin. Dar important este că avem această inegalitate, care îți spune cumva că această serie nu este atât de departe de a fi o serie geometrică, cel puțin atunci când l este suficient de mare. Deci, atunci când luăm o sumă parțială arbitrară, o împărțim în două părți. Lucrurile care vin până la acest număr întreg sub 0, de care nu ne pasă, este doar un număr fix, plus această parte la care ne pasă, care este după acest număr fix M0. Și folosim această inegalitate pentru a înlocui aceasta cu x sub M0 plus 1, alfa la l minus M0 plus 1. Lucrul de reținut este că micul m este lucrul care se schimbă. Deci încercăm să legăm acest lucru independent de micul m. Capital M sub 0, asta e doar ceva reparat. Ar putea fi 1.000. Deci, aceasta este egală cu suma de la n este egală cu 1 la M0 xn, plus x sub M0 plus 1. Și acum, dacă schimb din nou variabila, deci l începe de la M0 plus 1 și se termină la M. Deci aceasta este acum o sumă dacă Mă duc-- deci acum, pentru a doua sumă, n este egal cu l minus M0 plus 1. Deci acum, n începe de la 0 și se termină la M minus M0 plus 1, alfa la n. Din nou, Emma, ​​este micul... este lucrul care se schimbă aici. Și încercăm să legăm asta independent de micul m. Dar acum suntem într-o formă bună. Pentru că aceasta arată ca o serie geometrică. Alfa, amintiți-vă, este mai mic decât 1. Deci, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la n este egală cu 1 la M0 x sub n plus x sub n 0 plus de 1 ori - acum, în loc să fie doar o sumă de la 0 la M minus M0 plus 1, de ce să nu aruncați totul acolo. Și acesta este egal cu n egal cu 0, xn, plus x la M0 plus 1 ori 1 peste 1 minus alfa. Amintiți-vă, alfa este un număr pe care l-am fixat să fie mai mic de 1. Dacă încercați să faceți ceea ce am făcut noi înainte și nu reparați alfa doar puțin la stânga lui 1 și încercați să faceți totul cu 1, ați avea s-a încheiat cu 1 la n aici. Și asta nu ar fi terminat dovada. Asta nu ar fi închis dovada. Dar oferiți-vă puțin spațiu, motiv pentru care reparăm acest alfa. Acum, acest număr de aici este independent de mic m. Asta e toată ideea. Deci ce am dovedit? Că pentru toate numerele naturale mici m, a n-a sumă parțială este mai mică sau egală cu un număr fix dat de suma din -- OK. Și, prin urmare, această succesiune de sume parțiale este mărginită și, prin urmare, converge. Deci, cea mai simplă aplicare a acestui lucru este poate o serie care pare familiară. Deci, pentru toate x-- deci acesta este un exemplu de teoremă oblică. Dar pentru tot x din R, seria x la n peste n factorial, n este egal de la 0 la infinit converge absolut aici. 0 factorial este, desigur, 1. Și utilizați doar testul raportului. Deci de dx la n plus 1, sau n plus primul termen peste x la n. Deci valoarea absolută, iar aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de n plus 1 factorial este egal cu n plus 1 ori n factorial. Deci acest lucru se anulează cu acel factor n. Și obțin x peste n plus 1, limită pe măsură ce n merge la infinit doar acest număr fix peste n plus 1 este egal cu 0. Și acesta este cu siguranță mai mic decât 1. Și, prin urmare, prin testul raportului, această serie converge absolut. Așa că m-am agățat puțin de exact indici și de potrivirea lor precisă. Dar lucrul important de luat acasă din această dovadă a fost că, atunci când acest raport este mai mic de 1, atunci această serie se comportă foarte mult ca o serie geometrică, deoarece termenii devin foarte - pe măsură ce mergi suficient de departe în termeni. Și ideea asta de a încerca să relaționați serialul cu o serie simplă despre care știți multe, adică, practic, singura serie despre care știți totul, și anume cum să le însumați, așa obțineți acest test. Și acest lucru este și mai simplu cum obțineți următorul test, care este testul rădăcină. Deci testul rădăcină, să luăm o serie. Și să presupunem că acest l, această limită l este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de subentitatea x 1 peste n există. Apoi, două concluzii, la fel ca în testul raportului. Dacă l este mai mic decât 1, iar aceasta înseamnă că seria converge absolut. Și dacă l este mai mare decât 1, atunci această serie converge... nu, seria diverge. Și din nou, la fel ca în testul raportului, nicio informație pentru l este egală cu 1. Luați aceeași serie pe care ne-am uitat înainte. L-am lăsat acolo sus? Da. Deci xn-- x sub n este egal cu 1 pentru tot n. Această limită aici, eu, există. Este egal cu 1. Și acea serie diverge. Dacă te uiți la 1 peste n pătrat și iau această limită, obțin din nou 1. Dar acea serie converge. Deci, pentru capitalul l este egal cu 1, nu obținem nicio informație. Deci haideți... și în acest caz, este și mai clar cum relaționăm seria cu o serie geometrică. Așa că hai să... în notele mele, am dovedit două prima de ambele ori. Deci poate ar fi trebuit să scriu unul, doi. Voi sti pentru viitor. Deci, să presupunem că l este mai mare decât 1. Și acum, vom arăta că această serie diverge, din nou, arătând că termenii nu converg la 0. Deci este aceeași idee ca înainte. Iată l, aici 1. Deci, pentru toți n suficient de mari, x la n la 1 peste n trebuie să fie în acest interval. Și deoarece x la n, x sub n la 1 peste n converge la l, care este mai mare decât 1, aceasta implică că există un număr întreg în 0, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M0, x sub n la 1 peste n este mai mare decât 1, ceea ce implică toate n mai mari sau egale cu M0, x sub n în valoare absolută este mai mare decât prin simpla luare a puterilor ambelor părți este mai mare decât 1. Acum, deoarece toate valorile absolute ale lui x sub n-ul este mai mare decât 1, ceea ce înseamnă că acesta nu poate converge cu 0. Așa că nu uitați, vreau să spun, permiteți-mi să elimin această valoare absolută. x sub n nu poate converge la 0. De ce? Adică, ne-am putea întoarce la definiția de bază a convergenței, a ceea ce înseamnă ca o secvență să converge către un număr real x și ce nu înseamnă sau ce înseamnă ca ea să nu converge către x. Deci xn nu converge la 0 dacă există un epsilon rău. Deci x sub n este în afara intervalului respectiv. Atâta timp cât este în afara intervalului respectiv, dacă merg suficient de departe. Și cu siguranță avem asta aici. Sau ai putea folosi-- deci acest lucru mai mare decât 1, de fapt, implică că lim sup a lui x din n este mai mare decât 1. Pentru că dacă am două secvențe, una mai mare decât cealaltă, atunci lim sup a celei mai mari este mai mare sau egală cu lim sup a celuilalt, care este 1. Și faci în sarcina acestei săptămâni că aceasta converge - că xn converge la 0 dacă și numai dacă lim sup a valorilor absolute ale xn converge la 0. Și acest lucru nu este. Este mai mare sau egal cu 1. Deci îl vom lăsa acolo. Deci acum, pentru celălalt caz, că l este mai mic decât 1. Să presupunem că l este mai mic decât 1, atunci fie alpha un număr între l și 1. Din nou, deoarece acesta converge către l, care este mai mic decât alpha, pentru toți n suficient de mare, acesta trebuie să fie mai mic decât alfa. Deci, există un număr întreg, am x la n la 1 peste n este mai mic decât alfa, ceea ce implică că pentru toate n mai mari sau egale cu M0, x la n în valoare absolută este mai mică decât alfa la n. Deci, din nou, vedem că această serie, dacă satisface aceste ipoteze, se comportă foarte mult ca o serie geometrică. Amintiți-vă, alfa este mai mic decât 1. Apoi, pentru fiecare număr natural mic m, dacă ne uităm la a n-a sumă parțială a valorii absolute, să presupunem că n este egal cu 1. Aceasta înseamnă că îl împărțim din nou într-o parte pe care nu o înțelegem cu adevărat. pasă, plus o parte interesantă. Ține minte, micuța m este lucrul care se schimbă. Acesta ar trebui să arate ca un pic m în comparație cu capital M0. Și aceasta este mai mică sau egală cu suma de la n egal cu 1 la M0, x sub n. Din nou, acesta este doar un număr fix. Plus acum putem pune această inegalitate, n este egal cu M0 plus 1, m alfa la n. Și aceasta este mai mică sau egală cu suma din n este egal cu M0. O să merg cam repede aici, pentru că am rămas fără spațiu pe tablă aici. Poate voi scrie asta într-un minut. Dar de ce este adevărat. Și această parte aici este mai mică sau egală cu 1 peste 1 minus alfa. Pentru că ce fac? Această sumă este o sumă finită. Și cu siguranță este mai mare decât dacă aș face limita inferioară mai mică și limita superioară mai mare. Și aceasta este doar a n-a sumă parțială corespunzătoare unei serii geometrice cu termeni nenegativi, alfa la n. Și astfel, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la n este egală cu 0 la infinitul de alfa la n, care este egal cu 1 peste 1 minus alfa. Așa am primit acest termen. Și prin urmare, sumele parțiale corespunzătoare seriei cu valori absolute sunt mărginite. Și, prin urmare, acea serie cu valorile absolute converge. Și avem convergență absolută. Așa că acum, permiteți-mi să enunț o teoremă despre alternarea serii. Nu este... Prefer să nu-l numesc un test de serie alternativă, pentru că nu există nimic de testat. Adică, cel puțin cu raportul și testul rădăcină, trebuie să recalculezi o limită, ceea ce ar putea necesita ceva muncă de făcut. Și, prin urmare, cel puțin pentru mine, asta este un lucru real, că trebuie să faci puțină muncă pentru a testa dacă o serie converge. Și pentru serii alternate, testul este să te uiți la el. Si asta e. Nu calculezi nimic. Te uiți la asta. Așa că prefer să nu numesc această teoremă despre serii alternative un test de serie alternativă. Deci teorema este, pentru serii alternante. Iar afirmația este următoarea. Fie x sub n o secvență descrescătoare monotonă care converge la 0. Deci, pentru că acest lucru este monoton, și descrescând și convergând monoton către 0, totul este-- așa că permiteți-mi-- Voi pune asta în paranteze. Prin urmare, xn este mai mare sau egal cu 0 pentru tot n. Nu pot avea o secvență descrescătoare monotonă care converge la 0 dacă unul dintre xn este mai mic de 0, pentru că continuă să devină mai mici. Asta este. Aceasta nu este... acestea sunt toate ipotezele. Nu trebuie să calculezi nimic. Apoi, seria minus 1 la n, xn, n este egală-- haideți, desigur, nu trebuie să începem de la 1 în special. Dar cel puțin pentru această afirmație, să o precizăm. Suma de la n este egală cu 1 la infinit de minus 1 la n, x la n-- x sub n converge. Și putem spune doar convergență, nu neapărat convergență absolută. Pentru că din nou, dacă ne uităm la minus 1 la n, 1 peste n, care este 1 peste n este o secvență descrescătoare monotonă care converge la 0. Aceasta converge, dar nu absolut. Și dacă avem x sub n egal cu 1 peste n pătrat, din nou, 1 peste n pătrat este o secvență descrescătoare monotonă care converge la 0. Aceasta ar converge absolut. Deci avem doar o afirmație despre convergență. Așadar, cum vom face acest lucru este că suntem-- cam așa cum am demonstrat convergența pentru seria p, prin aceea că vom arăta că o anumită subsecvență de sume parțiale converge. Și apoi, vom folosi asta pentru a arăta că secvența completă a sumelor parțiale converge. Așa că permiteți-mi să afirm asta ca o revendicare. Deci, subsecvența sumelor parțiale, S sub 2k, deci aceasta este doar suma de la n este egală cu 1 la 2k. Vom arăta că aceasta converge. Deci, din nou, doar pentru a fi complet, S sub m, aceasta este a n-a sumă parțială. este suma de la m egală cu 1 la m. Deci, cum vom face acest lucru este, vom arăta că aceste sume parțiale sunt de fapt monotone descrescătoare și mărginite de jos. Monoton în scădere, practic pentru că acești tipi sunt monoton în scădere. Și mărginit de jos de același raționament. Deci haideți să arătăm asta. Pentru k, un număr natural, dacă mă uit la S 2k, deci aceasta este o sumă. Este egal cu 1 2k, minus 1 la n x sub n. Acum am termenul n egal cu 1, pe care îl pot scrie ca minus x -- așa că scriu doar acest lucru într-un anumit fel. Deci, acesta este minus x1 plus x2 minus x3 plus - și atunci n este egal cu 2k este par. Deci, primesc plus x 2k. Acesta este egal cu x sub 2 minus x sub 1, plus x sub 4 minus x sub 3, plus până la x sub 2k minus x sub 2k, minus 1. Acum, această secvență este monotonă în scădere. Deci x sub 2 va fi mai mic decât x sub 1. x sub 4 va fi mai mic decât x sub 3. x sub 2k minus x sub 2k minus 1 este mai mic decât 0. Deci, deoarece aceasta este în scădere monotonă, aceasta este mai mare decât sau egal cu. Deci ceea ce tocmai am spus nu are nimic de-a face cu această inegalitate pe care o scriu aici... încă. Așa că am păstrat totul aici. Și acum adaug x sub 2k plus 2 minus x sub 2k plus 1. Deci ceea ce spuneam a fost că x sub n-urile sunt monotone în scădere. Acest termen este imediat după acest termen. Deci este mai mic decât acest termen. Deci, acest termen aici este mai mic sau egal cu 0. Și, prin urmare, acest lucru plus însuși plus ceva care este negativ este mai mic sau egal cu acest lucru. Acum, ce este chestia asta din partea dreaptă? Acesta este doar un x 2k minus plus x 2k, minus x 2k plus 1, plus x sub 2, k plus 1. Și aceasta este k plus 1 2k plus 1 sumă parțială. Astfel, această serie este monotonă în scădere. Deci, pentru a arăta că subsecvența sumelor parțiale converge, trebuie doar să arătăm că această subsecvență este mărginită sau mărginită mai jos. Dacă este monoton în scădere, este deja mărginit deasupra de ceva. Deci trebuie doar să arătăm că este mărginit de jos. Acum, pentru tot k, un număr natural, să ne uităm la S sub 2k și la termenul grupului ușor diferit. Deci, acum este egal cu... O voi scrie ca minus x1 plus x sub 3. x sub 2 minus x sub 3, plus x sub 4 minus x sub 5, plus așa mai departe, plus x 2k minus x 2k minus 1. Bine, cred... ah, nu, nu e corect. Deci, acesta este minus 2 plus x de 2k. În regulă. Acum, asta este corect. Deci, acesta este egal cu minus - deci din nou, x sub n-urile sunt monotone în scădere. Deci x sub 3 este mai mic decât x sub 2. Deci, acesta este nenegativ. Acest lucru este, de asemenea, nenegativ, deoarece x sub 5 este mai mic decât x sub 4, așa mai departe și așa mai departe. Deci, acest lucru este, de asemenea, non-negativ. Deci S sub 2k este mai mare sau egal cu minus x sub 1. Plus termeni nenegativi, deci 2k. Și amintiți-vă, x sub n, acestea sunt monotone descrescătoare convergând la 0. Și, prin urmare, că toate sunt nenegative. Deci, acesta este mai mare sau egal cu minus x sub 1. Astfel, ce obținem? Deci, pentru toate numerele naturale k, am minus x1 este mai mic sau egal cu S sub 2k. Și pentru că acestea sunt monotone descrescătoare, aceasta este întotdeauna mai mică sau egală cu S k egal cu 1. Și aceasta este -- deci, dacă vă place S sub 2, este doar minus x sub 1 plus x sub 2. Deci această secvență de numere este mărginită între acest număr real și acest număr real. Și, prin urmare, este mărginit. Și din moment ce este monoton în scădere, trebuie să aibă o limită. Deci S sub 2k converge. Să numim această limită ceva. Să-l numim S. Și vom arăta că șirul sumelor parțiale converge către S acum. Am arătat asta doar pentru o secvență de... de-a lungul unei subsecvențe de sume parțiale. Să arătăm că converge către S de-a lungul întregii secvențe. Deci aceasta este, dacă doriți, revendicarea 2, care este că secvența completă a sumelor parțiale converge către S. Și vom face acest lucru prin forță brută folosind argumentul epsilon M. Așadar, amintiți-vă, pentru a arăta ceva -- o limită a ceva egal cu S înseamnă pentru tot epsilonul, există un M capital, astfel încât pentru tot M mai mare sau egal cu capital M, S sub M minus S în valoare absolută este mai mic decât epsilon . Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deoarece S sub 2k convergență la S, există numărul natural M0. Astfel încât toate k mai mari sau egale cu M0 S sub 2k minus S în valoare absolută este mai mică decât epsilon. Acum, nu am folosit deloc în această dovadă că xn-urile converg cu adevărat la 0. Am folosit că au fost nenegative la un moment dat. Dar acum, aici vom folosi o conversie la 0, pentru că aici este intuiția. S sub 2k converg spre ceva. Așa că acum, trebuie doar să mă uit la cele ciudate. Am arătat că toate sumele parțiale parțiale converg către S. Deci, dacă pot arăta și sumele parțiale impare converg către S, atunci, în esență, am terminat. Care este diferența dintre o sumă parțială par și o sumă parțială impară? Ei bine, este doar x la 2k plus x sub 2k plus 1, care converge la 0. Deci nu diferă cu mult. Și acesta este în esență întregul argument chiar acolo. Deci, deoarece xn converge la 0, există un număr natural M sub 1, astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu M sub 1, x din n este mai mic decât epsilon peste 2. Ar fi trebuit să scriu Epsilon. Peste 2 aici. Alegeți M ca să fie maximum două numere 2M0 0 plus 1 și M1. Așa că veți vedea de ce am făcut aceste alegeri în doar un minut. Deci, să presupunem că m este mai mare sau egal cu M. Acum dorim să arătăm că S sub m minus S este mai mic decât epsilon în valoare absolută. Deci sunt două cazuri. Dacă m este par, atunci m peste 2 este mai mare sau egal cu capitalul M peste 2, care este maximul acestora. Dacă împart la 2, cu siguranță este mai mare sau egal cu M0. Și, prin urmare, folosesc această primă inegalitate, S sub m minus s, care este egală cu S2 ori m peste 2, minus S. Acum, m peste 2 este un număr întreg mai mare sau egal cu m sub 0. Deci, pot folosi acest inegalitate. Este mai puțin decât epsilon peste 2, adică mai puțin decât epsilon. Și acum, facem ciudat. Deci, din nou, m este mai mare sau egal cu capitalul M. Și există două cazuri, par și impar. Dacă m este impar, să fie k acest număr întreg acum. Deoarece m este impar, m minus 1 este par, împărțit la 2, acesta este un număr întreg. Și așa, acesta este - deci m este egal cu 2k plus 1. Și, deoarece m este mai mare sau egal cu M0, aceasta implică câteva lucruri. Acest lucru implică faptul că acest număr întreg - deci m al nostru, aceasta implică că 2k plus 1 este mai mare sau egal cu 2. Deci m este doar egal cu 2k plus 1. Deci este mai mare sau egal cu m, care este mai mare sau egal la 2 m sub 0 plus 1. Și, prin urmare, k, acest număr întreg aici, este mai mare decât M0. De asemenea, m este mai mare sau egal cu m sub 1. Adică, m este mai mare sau egal cu m. Iar m este mai mare sau egal cu maximul acestor două lucruri. Deci, este mai mare sau egal cu 1. Atunci, dacă mă uit la S de n minus S, acesta este egal cu S sub m -- deci a n-a sumă parțială este egală cu m minus prima sumă parțială plus următorul termen minus S. Acum m minus 1, în termeni de întreg k, este egal cu de 2 ori k. Și acum, voi lua acest S și îl voi grupa cu acest tip. Și astfel, deoarece k este mai mare sau egal cu m sub 0, putem folosi această inegalitate aici după ce facem inegalitatea triunghiului. Deci, acesta este mai mic sau egal cu S 2k minus S, plus valoarea absolută a acestui lucru. Deci, din nou, deoarece k este mai mare sau egal cu m sub 0, pot folosi această inegalitate pentru a obține că aceasta este mai mică decât epsilon peste 2, plus acest tip. Și întrucât m este mai mare sau egal cu capitalul M, care este mai mare sau egal cu capitalul M sub 1, pot folosi această inegalitate. Și acesta este mai puțin decât epsilon. Deci am făcut cazul lui m par sau m impar, m mai mare sau egal cu m. Deci, în rezumat, am arătat că dacă m este mai mare sau egal cu m, S sub m minus S este mai mic decât epsilon. Și, prin urmare, S sub n converg către S. Și nu cred că am suficient timp să fac următoarea teoremă. Deci ne oprim aici.