[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Deci, bine, deci să începem să vorbim despre matematică. Așa că era un ultim rezultat pe care urma să-l dovedesc pentru serii, și anume că, dacă aveți o serie absolut convergentă și o rearanjați, atunci acea serie este, de asemenea, absolut convergentă și converge către același lucru ca și seria nearanjată. Dar voi lăsa asta la notele cursului și doar o să începem cu un subiect nou. Deci subiectul pe care ne aflăm acum este funcțiile continue. Și astfel, funcțiile continue, așa cum vom vedea, sunt o declarație despre modul în care o funcție se comportă în apropierea unui punct în raport cu modul în care se comportă în acel punct. Acum, ce înseamnă ca o funcție să se comporte în apropierea unui punct - aceasta este noțiunea de limită a funcției, care este ceea ce vom discuta mai întâi. BINE? Acum, la ce puncte ne vom uita ? Deci aici au loc limitele. Și cumva, vrem să ne uităm la o funcție în apropierea punctelor în care există un set în apropiere la care să ne uităm de fapt la f. Deci f este de obicei definit pe o mulțime S și vrem să ne uităm la puncte, astfel încât să fie mult S în apropiere. Și ne-am cam ocupat deja de aceste tipuri de puncte când am întâlnit puncte de grup în sarcină. Deci exact aici începem să ne uităm la limite. Deci, aceasta este o definiție pe care o voi aminti din sarcină. Fie S o submulțime a lui R și x și R. Spunem că x este un punct de grup al lui S dacă, pentru toate delta pozitive, intervalul x minus delta, x plus delta se intersectează cu S ia x este nevid, OK? Așadar, noua terminologie -- nu atât de nouă din moment ce ne-am ocupat de ea în sarcină -- este cea a unui punct cluster. Și un alt mod de a spune acest lucru este că-- deci un mod echivalent de a afirma acest lucru este că, pentru toate delta pozitive, există, să spunem, un y în S astfel încât 0 este mai mare decât x minus y este mai mic decât delta, OK? Deci, ceea ce înseamnă asta este că, în ceea ce privește imaginea, x este un punct de grup dacă, când iau vreodată un interval mic despre el, pot găsi ceva S acolo, în afară de eventual x. Și acest lucru ar trebui să se poată face pentru fiecare interval. Deci, să aruncăm o privire la câteva exemple. Să presupunem că S este 1/n într-un număr natural, OK? Și așa că, din moment ce acum chiar am oameni în fața mea, pot să pun întrebări. Deci, cine o spune primul , care ar fi un punct de cluster al acestui set S? Deci, care ar fi un punct în numerele reale, astfel încât să fie o mulțime de S lângă el? Simțiți-vă liber să-l scoateți, dacă este vorba despre dvs. De ce nu ghiciți? 1? Deci asta e o posibilitate. Deci, trebuie să existe o mulțime de S în apropierea acestui punct de cluster propus . Așa că permiteți-mi să subliniez punctele pe care le avem. Există un-- Voi pune 0, și apoi 1/2 este acolo, apoi 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, așa mai departe și așa mai departe. Și așa văd o presupunere de 0. Deci, este și o presupunere bună. Deci, de ce poate 1 nu ar fi un punct de cluster? Ei bine, pentru că dacă desenez un mic interval în jurul valorii de 1, atunci există doar un punct în S aici și este punctul propus de grup, 1, OK? Deci, amintiți-vă, ceea ce ar trebui să putem face este să găsim în fiecare interval mic [? suma ?] a lui S în intervalul care nu este egal cu punctul, OK? Și nu putem face asta pentru punctul 1. Dar pentru 0, dacă desenăm orice interval în jurul lui 0, există o mulțime de S în intervalul care nu este egal cu 0, OK? Deci, aici, 0 este un punct de cluster al lui S. Și să dăm o dovadă rapidă a acestui lucru. Deci trebuie să verificăm pentru fiecare delta pozitiv acest interval, 0 minus delta, 0 plus delta intersectarea S take away 0 nu este gol. Deci delta ar fi pozitivă, iar acum iată imaginea. Aici este 0. Aici este delta, minus delta. Trebuie să arătăm că există niște S aici. Deci pur și simplu alegem numărul natural n suficient de mare încât 1/n să fie acolo, și putem face asta întotdeauna datorită proprietății arhimediene a numerelor reale, nu? Deci, să fie delta pozitivă. Alegeți numărul natural n astfel încât 1/n să fie mai mic decât delta și cu siguranță să fie mai mare decât 0. Deci, n este un număr natural. Atunci 1/n este în x minus delta, x plus delta intersectează S cu 0. Deci, acesta ar fi trebuit să fie 0, ceea ce implică că această mulțime nu este goală pentru că are ceva în el, OK? Bine, exemplul a fost OK? Ați înțeles totul bine? OK, așa că nu ezitați să puneți întrebări pe măsură ce apar. Deci haideți să facem un alt exemplu. Nu voi da o dovadă completă despre acesta, dar ne vom oarecum vorbi despre el. Să presupunem că S este acum intervalul deschis 0, 1. Cu ce ​​este egală mulțimea de puncte de grup de 0, 1? Deci, care ar fi o presupunere rezonabilă sau orice presupunere? Da, deci, cu siguranță, acesta va conține 0, 1, corect, deoarece... deci 0, 1, totul între 0 și 1 ar trebui să fie un punct de grup de 0 și 1 pentru că există întotdeauna o mulțime de numere. Adică, există o mulțime de numere între 0 și 1. Deci, dacă trag acest 0, 1 și [? au ?] totul între 0 și 1 este cu siguranță un punct de grup. Dar punctul 1? Este acesta un punct de cluster al acestui set? Este o observație bună că, da, este o supă a setului. Deci pentru fiecare... corect, deci pentru fiecare delta pozitiv, dacă trag un mic interval în jurul lui 1, va fi un număr mai mic decât 1 care este mai mare decât 1 minus delta, nu? Setul de puncte de cluster ale intervalului deschis 0, 1 este intervalul închis 0, 1. OK? Acum, să facem un alt exemplu. Să presupunem că ne uităm acum, în loc de numere raționale, așa că ar trebui, din nou, să te gândești la punctele grupului ca fiind mulțimea de puncte în care există o mulțime din acest set în apropiere, OK? Acum, care este mulțimea punctelor de grup ale numerelor raționale? OK, deci poate că va conține numerele iraționale. Deci să ne gândim puțin la asta. Deci, de exemplu, să ne uităm la rădăcina pătrată a lui 2, OK? Număr rațional perfect -- Adică, număr irațional. Dacă trasez un mic interval în jurul rădăcinii pătrate a lui 2, pot găsi acolo un număr rațional care să nu fie egal cu o rădăcină pătrată a lui 2? Corect, pentru că avem această teoremă despre densitatea numerelor raționale, corect, pe care o avem, așa că nu uitați că aceasta a fost o teoremă pe care am demonstrat-o la un moment dat. Pentru toate numerele reale x, y cu x mai mic decât y, există un număr rațional r astfel încât x este mai mic decât r este mai mic decât y, nu? Deci putem găsi întotdeauna un număr rațional aici, sau am fi putut lua un alt număr rațional aici, da? Deci, pentru fiecare interval pe care îl desenăm în jurul rădăcinii pătrate a lui 2, putem găsi acolo un rațional care nu este egal cu rădăcina pătrată a lui 2, evident. Dar putem găsi un rațional în acel interval, da? Deci, acest lucru sugerează că setul de puncte cluster conține setul de iraționali. Dar numerele raționale? Sunt și acelea puncte de cluster? Să presupunem că iau 0. Acum mă uit la un interval mic în jurul lui 0. Pot găsi acolo un număr rațional, altul decât 0? Nu vă cer, de fapt, dă-mi unul. Spun doar, există un număr rațional în acest interval, altul decât 0? PUBLIC: Da. CASEY RODRIGUEZ: După această teoremă, nu? De asemenea, puteți folosi teorema pentru a găsi irațional și în acest interval. Deci, indiferent dacă este rădăcina pătrată a lui 2 sau orice număr irațional, indiferent dacă este un număr rațional, totul este un punct de grup. Deci, mulțimea punctelor grupului de numere raționale este egală cu R, OK? Este clar? OK, nu ezitați să mă opriți dacă aveți întrebări. Deci acum să ne uităm la, de exemplu, S egal cu un singur tip, să zicem, 0, OK? Amintiți-vă, punctele cluster ale unui set înseamnă că există o mulțime din acel set în apropiere. Acum, susțin că tipul ăsta nu are puncte de cluster pentru că, dacă te gândești atât de intuitiv de ce este asta, asta se datorează faptului că, pentru ca ceva să fie un punct de cluster, trebuie să aibă o mulțime de seturi lângă el, foarte mult. Și nu există prea multe setări pentru început. Există doar un element. Deci, să vedem de ce este așa, bine? Și acest lucru ne oferă șansa de a anula definiția punctului cluster, ceea ce este întotdeauna o idee bună. OK, deci S este egal doar cu setul singleton, 0. Acesta nu are puncte de cluster și, prin urmare, negarea definiției unui punct de cluster - deci x nu este un punct de cluster al lui S înseamnă că acesta este o delta proastă - țineți minte , deci definiția punctului cluster este pentru toate delta. Deci negația înseamnă că există o delta proastă, astfel încât x minus delta 0, x plus delta 0 se intersectează cu S ia x este egal cu mulțimea goală, OK? Deci imaginea care merge împreună cu aceasta este că x nu grupează punctul dacă există un interval și, posibil, singurul S de acolo este punctul x, dar nimic altceva, OK? În regulă, deci să folosim negația acestei definiții pentru a arăta că nu există puncte cluster, OK? Și avem de a face cu două cazuri. Vreau să arăt că x este în R și x nu este un punct de grup al lui S. Și voi face doar cazul x nu este egal cu 0. x egal cu 0 este mult mai ușor, așa că vom face doar x nu este egal. la 0. Să demonstrăm acest lucru. Și care este ideea? Trebuie să fim capabili să găsim - deci aici este 0. Acesta este tot ceea ce este S, este doar acest punct, 0. Acum avem un punct x. Care ar fi un interval care conține x care nu conține nimic din S? Deci x aici este doar un număr diferit de zero. S este ceea ce este evidențiat. Intervalul din jurul lui x care nu conține niciun S. Deci, ca un x/2? 3x peste 2, adică delta este egal cu x/2, cel puțin pentru această imagine, da? OK, și asta este în esență dovada. Deci alegeți delta 0 și vom simplifica acest lucru și să presupunem că x este pozitiv. Pentru x mai mic decât 0, alegeți delta 0 să fie valoarea absolută a lui x. Dar pentru acesta, acest lucru este destul de simplu - alegeți delta 0 să fie x/2 și x minus delta 0, x plus delta 0 este egal cu x/2, 3x peste 2. Și, deoarece 0 nu este în acest set, în acest set, [? implică?] intersectează S scoate x este gol, OK? Așa că a trebuit să găsim o delta, astfel încât acest interval în jurul lui x să nu conțină nimic din S și am făcut asta alegând delta 0 să fie x/2. BINE. Așa că aș fi putut să o fac doar pentru-- așa că am făcut-o pentru un set care conține doar un element, am arătat că acest set nu are puncte de cluster. De asemenea, puteți arăta că, dacă are un număr finit de puncte, nu are puncte cluster. Prin urmare, orice mulțime finită nu are puncte de cluster, dar a fi un punct de cluster nu are nimic de-a face cu cardinalitatea. Deci, dacă vedeți exemplul în note, la care vă puteți gândi, și nu voi trece chiar aici, dar, de exemplu, x este egal cu z, setul de numere întregi - acesta nu are puncte de grup, OK ? Deci, a fi un punct de cluster înseamnă, unde este această grupare setată? Deci, nu are neapărat de-a face cu dimensiunea mulțimii, ci în cazul în care mulțimea ocupă spațiu pe linia numerică reală. În regulă, deci, cu definiția punctelor cluster, permiteți-mi mai întâi să precizez teorema pe care, de fapt, ați demonstrat-o în sarcină, care este aceea că pentru punctele cluster-- să fie S o submulțime a lui R și x este un punct cluster a lui S dacă și numai dacă există o secvență xn a elementelor lui și S ia x astfel încât xn converge către x, OK? Și asta era în sarcină. Ai dovedit că practic folosind teorema squeeze în definiție. În regulă, deci cu noțiunea de punct de grup, acestea sunt punctele dintr-un set în care vom începe să vorbim despre modul în care o funcție se comportă în apropierea unui punct, care este noțiunea de limită a unei funcții este următoarea noastră definiție . Fie S o submulțime a lui R. Și chiar dacă mai devreme mă refeream la punctele grupului ca x, acum vom trece la c. Fie c punctul cluster al lui S. Și fie f o funcție de la S la R, bine? Deci spuneți că f din x converge către L pe măsură ce x merge către c. Deci aceasta este noua terminologie aici. Deci aici, L este un număr real dacă, pentru fiecare epsilon pozitiv, există delta pozitivă, astfel încât dacă x este în S, valoarea absolută a lui x minus c este mai mare decât 0 mai mică decât delta, atunci f din x minus L este mai mică decât epsilon. Deci, să încercăm să comparăm puțin această definiție cu ceea ce se întâmplă pentru o secvență. Deci, pentru o secvență, secvența se apropie de L atâta timp cât mergem suficient de departe în secvență, atâta timp cât ne uităm la termeni suficient de departe. Acum, pentru limitele funcțiilor, acea deplasare suficient de departe de-a lungul șirului este înlocuită cu, atâta timp cât ne uităm suficient de aproape de punctul c, dar nu de punctul c. Deci, dacă doriți, aceasta spune că dacă x este aproape de c - și deci aceasta este doar o interpretare intuitivă a ceea ce spune această definiție. Dacă x este aproape de c, atunci f din x este aproape de L. Și permiteți-mi, de asemenea, să spun aici că spunem că x este aproape de c, dar nu este egal cu c. Dar pentru o limită, nu te uiți la ceea ce se întâmplă la f din c. Funcția nici măcar nu trebuie să fie definită acolo pentru a putea defini ce este o limită. Ne pasă doar de ce se întâmplă în apropiere, bine? Deci, ați putea avea... imaginea pe care ar trebui să o aveți în vedere este că aici este c și poate că f nici măcar nu este definit până acolo, dar există f, graficul funcției f acolo. Există L și, atâta timp cât mă apropii foarte mult de c, voi fi foarte aproape de L, „foarte aproape” fiind măsurat într- o bandă de aici, bine? OK, deci aceasta este noțiunea de limită a unei funcții pe măsură ce ne apropiem de un punct de cluster al mulțimii S unde funcția f este definită. Doar un pic de notație - de obicei scrieți așa cum am făcut cu secvențele f de x converg la L ca f de x săgeată L. Și apoi voi scrie, așa cum x merge la c. Poate nu voi scrie așa cum x merge la c. Notăm acest lucru prin limita lui f a lui x egal cu L, de asemenea. OK, deci prima întrebare despre limite este, sunt ele unice? Și acesta este, de fapt, motivul pentru care solicităm ca c să fie un punct de cluster al lui S, deoarece dacă nu am solicita ca c să fie un punct de cluster al lui S în această definiție, limitele nu ar fi unice. De fapt, puteți avea funcții care converg la orice doriți, deoarece definiția ar fi atunci vacuă. Dar dacă nu vrei să te gândești la asta, e bine. Nu este o problemă mare. Dar o să subliniez la un moment dat, vom folosi faptul că c este un punct de grup pentru a demonstra următoarea teoremă. Deci, să fie c un punct de grup al lui S, care este o submulțime a lui R. Și să fie f o funcție de la S la R. Dacă f din x converge către L1 pe măsură ce x merge la c și f din x converge către L2 ca x merge la c, atunci L1 este egal cu L2, OK? Deci asta este ceea ce vreau să spun prin unicitate, că o funcție poate avea doar o limită pe măsură ce se apropie de punctul c. Lasă-mă să dau dovada. Așa că vom juca din nou acest joc, unde în loc să arătăm ceva ca 0 sau ceva este egal cu altceva în mod direct, ne vom oferi puțin spațiu și vom demonstra următoarele. În schimb, vom arăta că, în timp ce epsilon este pozitiv, L1 minus L2 este mai mic decât epsilon. Deci L1 și L2, acestea sunt doar două numere reale fixe. Dacă valoarea lor absolută este mai mică decât epsilon pentru epsilon arbitrar, atunci acesta este un număr care este mai mic decât orice număr real pozitiv. Asta înseamnă că acel număr este 0, deci L1 este egal cu L2, OK? De ce ne acordăm puțin spațiu este pentru că, în definiție, avem acolo un mic parametru pe care sperăm să îl folosim. Deci haideți să demonstrăm asta. Fie epsilonul să fie pozitiv. Deci, deoarece f din x converge către L1, există -- așa că doar din definiție, având în vedere o toleranță mică, pot găsi un mic număr delta, astfel încât, dacă mă uit în acest interval, să fiu mapat la intervalul L plus epsilon, L minus epsilon. Deci, există o delta 1 pozitivă, astfel încât, dacă x este în S-- și probabil că voi uita în continuare să scriu asta, dar ar trebui să se înțeleagă că x este în domeniul funcției f. Dacă x minus c este mai mic decât delta 1 și mai mare decât 0, atunci f din x minus L1 este mai mic decât epsilon/2, OK? Și același lucru pentru L2. Adică, dacă f din x converge către L2, atunci există o delta 2, astfel încât să am aceeași afirmație. Deci, în schimb, voi schimba acest 1 în i, i, i, i. Și aici, și eu este egal cu 1. Deci, deoarece f din x converge către fiecare dintre aceste două numere, L1 și L2, există un delta 1 și un delta 2, astfel încât dacă mă aflu în această toleranță delta de 1 sau delta 2, atunci f din x minus delta 1- - L1 sau L2 este mai mic decât epsilon/2. Fie delta minimul acestor două numere. Acum, deoarece c este un punct de grup al lui S, de fapt, există un x în S astfel încât 0 este mai mare decât x minus c este mai mic decât delta, bine? Și voi folosi acest x pentru a compara L1 și L2. Apoi, din moment ce x este în acest interval, sau ar trebui să spun, din moment ce este... așa că nu uitați că am avut asta, ceea ce înseamnă că am această inegalitate sau i este egal cu 1, 2. Obțin f din x, sau ar trebui să spun, L1 minus L2 . Acest lucru este egal cu dacă adun și scad f din x și acum folosesc inegalitatea triunghiului și folosesc inegalitatea care este în verde, f de x minus L1 este mai mică decât epsilon/2. Și la fel pentru L2, obțin... este egal cu epsilon, OK? Și acesta este sfârșitul pentru că nu uitați că am început cu valoarea absolută a L1 minus L2. Există întrebări despre asta? Bine, deci nu este cea mai interesantă teoremă din lume pe care l-am definit. O limită este un lucru unic pentru funcție. Dar să începem să ne uităm la câteva exemple. Și la un moment dat, ne vom uita la negarea acestei definiții. Deci, să presupunem-- deci să ne uităm la limita pe măsură ce x merge la c a funcției ax plus b. Și susțin că acest lucru este egal cu ac plus b, bine? Deci, aici, S este, deși nu am scris-o, această funcție ax plus b, aceasta este... Mă uit la ea definită pe tot R și c este un număr real, OK? Deci trebuie să verificăm această definiție. Și din moment ce este pentru fiecare epsilon, există ceva. La începutul fiecărei dovezi, vă voi oferi câteva puncte dacă puteți spune doar, epsilonul să fie pozitiv. Cum vom alege delta? Ei bine, faceți calcule similare ca și dacă ați face argumente epsilon m pentru secvențe. Deci ce sunt după? Vrem să găsim delta astfel încât x minus c mai mic decât delta și, de asemenea, mai mare decât 0 implică f din x, care este ax plus b, minus ac plus b este mai mic decât epsilon. Deci, să începem cu chestia asta, să ne jucăm cu el și să vedem dacă putem găsi cum să alegem delta. Amintiți-vă, noi nu rezolvăm această inegalitate. Vrem să aflăm cum să alegem delta pe baza estimării acestui lucru și încercând să o facem mai mică decât epsilon. Deci f de x minus ac plus b, valoare absolută - aceasta este egală cu dacă doar conectați f de x este egal cu ax plus b, acesta este egal cu x minus c, care este egal cu valoarea absolută pentru x minus c. Și acum suntem în afaceri pentru că lucrul asupra căruia avem control este delta, nu? Este cât de mare este x minus c. Deci aceasta este mai mică decât valoarea absolută a unui ori delta dacă x minus c este mai mic decât delta. Și amintiți-vă, lucrul pe care îl dorim până la urmă este lucrul în galben, iar lucrul pe care îl controlăm este lucrul în verde. Deci, dacă vreau lucrul în galben și îl am în verde, cum aleg delta? Deci, în final, vreau ca f din x minus ac plus b să fie mai mic decât epsilon. Chiar acum, sunt la valoarea absolută a deltei de ori. Delta este lucrul cu care pot să mă joc. Deci, cum o aleg? Epsilon să fie valoare absolută... nu? Pentru că dacă aleg delta în acest fel, atunci x minus c mai puțin decât delta implică că, doar prin acest calcul de aici, aș obține epsilon până la urmă, da? Deci asta este un fel de lucru de zgârietură care merge în ea. Din nou, delta este ceea ce poți alege. Puteți alege în funcție de epsilon. Și așa arăți f din x minus ac plus b. Estimați că nu este mai mare decât valoarea absolută a unui ori x minus c, care este mai mică decât valoarea absolută a unei delte. Și așadar, dacă doriți ca acel lucru să fie mai mic decât epsilon, ar trebui să alegeți, de exemplu, delta să fie epsilon peste valoarea absolută a lui a. Nu există o alegere unică. Aș fi putut alege delta să fie epsilon/2 valoarea absolută a lui a, dar aceasta este o alegere, OK? Deci, epsilonul să fie pozitiv. Alegeți delta să fie epsilon față de valoarea absolută a a. Dacă x minus c este mai mic decât delta, atunci... și când scrieți dovada, este în esență o reluare a celor mai bune părți ale calculului dvs. Și f de x minus a ori c plus b, aceasta este egală cu valoarea absolută a ori x minus c. Deci, dacă luăm f din x și scădem limita noastră propusă ac plus b, obținem valoarea absolută a unei ori valoarea absolută a lui x minus c, care este mai mică decât valoarea absolută a unei ori delta, care este egală cu epsilon, deoarece am ales delta. a fi epsilon/a, bine? Asta e dovada. Sunt intrebari? OK, deci hai să facem un alt exemplu. Să ne uităm la limita pe măsură ce x merge la c, un pătrat al funcției rădăcinii pătrate a lui x. Și voi arăta că aceasta este egală cu rădăcina pătrată a lui c. Și aici, deși nu o scriu, S va fi, pentru noi, domeniul rădăcinii pătrate, care este intervalul închis 0, infinit, fără a include infinitul, desigur. Și pentru ceea ce o să fac, c este pozitiv, bine? De asemenea, puteți face c egal cu 0, dar pentru această dovadă, voi face c pozitiv. Bine, deci trebuie să verific această definiție, ceea ce înseamnă că pentru fiecare epsilon, pot găsi o deltă, așa că epsilonul să fie pozitiv. Să trecem la cutia noastră de mâzgălire și zgârieturi. Deci, amintiți-vă, scopul nostru este să găsim o deltă pe care să o pot alege astfel încât f din x minus rădăcina pătrată a lui c, în acest caz, să fie mai mică decât epsilon. Deci, dacă mă uit la f din x minus rădăcina pătrată a lui c, aceasta este rădăcina pătrată a x minus rădăcina pătrată a lui c. Și poate îți amintești din zilele tale de calcul că ori de câte ori vezi diferența dintre două rădăcini pătrate, este o idee bună să înmulți partea de sus și de jos, sau, cred, să înmulți cu 1 într-un mod foarte special, astfel încât să obțin diferența de pătrate. Deci, aceasta este egală cu rădăcina pătrată a lui x minus rădăcina pătrată a lui c ori rădăcina pătrată a lui x plus rădăcina pătrată a lui c peste rădăcina pătrată a lui x plus rădăcina pătrată a lui c, OK? Și așa că acum am-- pe partea de sus, am produsul a minus b ori a plus b. Deci, aceasta este diferența de pătrate, care îmi dă x minus c deasupra rădăcinii pătrate a lui x plus rădăcinii pătrate a lui c, OK? Și amintiți-vă, acesta este mai puțin decât lucrul pe care îl vom alege în cele din urmă. Valoarea absolută a lui x minus c este mai mică decât delta, deci aceasta este mai mică decât rădăcina pătrată a lui x plus rădăcina pătrată a lui c. Acum, în cele din urmă, trebuie doar... poți alege delta în funcție doar de epsilon și poate de punctul c, OK? Nu poți alege să fie dependent de punctul x, care se schimbă, nu? Poate că ești tentat să faci aici este să alegi apoi delta ca rădăcină pătrată a lui x plus rădăcina pătrată a lui c ori epsilon. Nu faceți asta pentru că delta, din nou, depinde doar de punctul c și de punctul epsilon. Nu poate depinde de lucrul care se schimbă, care este x, nu? Acest lucru se schimbă. Deci nu faci această alegere. Acum, dacă mai facem încă un lucru, atunci vom ajunge la ceva în care putem alege un independent de lucrul care se schimbă, x. Rădăcina pătrată a lui x din partea de jos face doar lucrurile mai mici, deoarece nu este negativ. Deci, acesta este mai mic sau egal cu delta peste rădăcina pătrată a lui c, OK? Deci, acum, în cele din urmă, am ceva care este delta și depinde de punctul c și vreau ca f din x minus rădăcina pătrată a lui c să fie mai mică decât epsilon. Deci, cum ar trebui să aleg delta? Strigă-l dacă știi. Dreapta, epsilon ori rădăcina pătrată a lui c. Deci acum aceasta va fi alegerea noastră. Deci alegeți delta să fie epsilon ori rădăcina pătrată a lui c. Acum trebuie să arătăm acest lucru delta, care este, în esență, din nou, doar reluarea calculului nostru din dreapta, ceea ce ne-a dat cum să alegem delta decât dacă valoarea absolută a x minus c este mai mică decât delta, f de x minus pătrat rădăcina lui c-- și nu voi scrie f din x. Voi scrie că rădăcina pătrată a lui x este practic egală cu ceea ce am făcut aici în casetă, care este valoarea absolută a x minus c peste rădăcina pătrată a lui x plus rădăcina pătrată a lui c, care este mai mică sau egală cu , dacă elimin rădăcina pătrată a lui x din partea de jos, așa cum am făcut înainte, care este mai mică decât delta sau rădăcina pătrată a lui c, care este egală cu rădăcina pătrată a lui c peste rădăcina pătrată a lui c, care este egală cu epsilon. Deci această deltă funcționează. OK, există întrebări despre acest exemplu? BINE. Așa că haideți să mai facem un exemplu, care ilustrează cu adevărat la ce am ajuns când vorbeam despre limită, care îi pasă doar de ceea ce face funcția în apropierea unui punct, dar nu în acel punct. Deci, să presupunem că ne uităm la funcția f a lui x dată de 1, dacă x este egal cu 0 și 2, dacă x nu este egal cu 0. Deci acesta este -- aici este punctul 0. Și unde nu este egal cu 0, este egal la 2, iar când x este egal cu 0, este egal cu 1, bine? Și ei susțin că limita ca x merge la 0 din f de x-- aceasta este egală cu 2. Și lucru de reținut este că această limită nu este egală cu f de 0, ceea ce a făcut pentru cele două cazuri anterioare, nu? Dacă ne uităm înapoi la aceste două exemple pe care le-am făcut acum un minut , limita ca x merge la c a ambelor exemple a fost doar conectam c la funcție, nu? Dar pentru acest exemplu, nu este cazul. Limita nu este egală cu funcția evaluată la punctul în care se evidențiază că limitelor nu le pasă de funcția evaluată la punctul respectiv. Le pasă de ce se întâmplă în apropierea punctului, bine? Și aproape de punct, f din x este doar egal cu 2 în mod identic. Așa că vă voi oferi o dovadă rapidă, sau o puteți ignora complet și credeți că limita ca x ajunge la 0 a acestei funcție este egală cu 2. Deci, ideea este că pentru x nu este egal cu 0, f din x este doar o constantă 2. Fie deci epsilon pozitiv. Și puteți alege delta să fie orice doriți, deoarece f din x atunci când x nu este egal cu 0 va fi egal cu 2, limita propusă. Atunci, dacă 0 este mai mare decât valoarea absolută a lui x minus 0, care este doar x, este mai mic decât delta, atunci aceasta implică că x nu este egal cu 0. Și, prin urmare, dacă mă uit la f din x minus 2, acesta este doar 2 minus 2 este egal cu 0, care este mai mic decât epsilon, OK? Aveți întrebări despre acest exemplu? Fără întrebări? Bine, deci despre ce vom vorbi acum este... deci înainte de această secțiune despre funcțiile continue, sau cel puțin această secțiune despre limitele funcțiilor, aveam noțiunea de limite de secvențe. Și așadar, o întrebare firească este cum limitele funcțiilor și limitele secvențelor aparțin, interacționează, se relaționează unele cu altele, cred că este cel mai bun mod de a formula această întrebare. Și ideea este că pentru a decide dacă o funcție are o limită, este suficient să rămânem în secvențe care converg către acel punct la care te uiți. Și acesta este conținutul următoarei teoreme. Deci, să fie S o submulțime a lui R, c punct de cluster al lui S. Fie f o funcție de la S la R. Atunci limita există. Limita pe măsură ce x merge la c din f lui x este egal cu un număr L. Acest lucru este echivalent cu afirmația că pentru fiecare secvență x sub n de elemente ale lui S ia c astfel încât xn converge către c, avem f din xn converg către L , BINE? Deci, din nou, afirmația acestei teoreme este că o funcție converge către L dacă și numai dacă, pentru fiecare succesiune, rămân în funcția care converge către c, f din x apoi converge către L. Deci, pentru a alege sau pentru a decide dacă o funcție converge , este suficient să ne uităm la convergența anumitor secvențe, OK? BINE. Și de ce este această teoremă importantă, sau cel puțin foarte utilă? Se datorează faptului că, cu această teoremă, acum obținem practic fiecare analog al teoremelor pe care le-am demonstrat pentru secvențe gratuit, de exemplu, limitele sumelor de funcții, o teoremă de strângere care poate fi enunțată pentru limitele funcțiilor și așa mai departe. Și voi spune câteva comentarii despre asta după ce am demonstrat teorema. În regulă, deci hai... aceasta este o stradă cu două sensuri. Și voi marca cu verde a doua afirmație. În acest fel, nu trebuie să- l rescriu din nou. Deci, mai întâi, să presupunem că limita la x merge la c din f de x este egal cu L, iar acum vrem să demonstrăm afirmația în verde, OK? Deci iată ideea. Deci acum vrem să arătăm-- deci să fie xn o succesiune de elemente din S eliminăm c astfel încât x sub n converge către c. Și ceea ce vrem să arătăm este că f din xn, care este acum o nouă secvență, converge către L pe măsură ce n merge la infinit. OK, deci aici, ar trebui să scrieți, pe măsură ce n merge la infinit, aici, OK? Așa că lasă-mă să mut asta și lasă-mă să fac imaginea de ce ar trebui să crezi asta. Deci, amintiți-vă, ceea ce înseamnă ca o secvență să converge către un număr înseamnă că, pentru fiecare epsilon, există un M majuscul, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M majuscul, secvența este aproape de numărul L la distanța epsilonului de aceasta. Deci, să ne gândim puțin la asta. Nu am de gând să desenez graficul. Voi desena doar două copii ale liniei numerice. Aici, avem numărul L. Iată numărul c și L plus epsilon, L minus epsilon. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Și ideea este că vrem să putem găsi sau spune că există un număr natural capital M, astfel încât n mai mare sau egal cu capital M implică că f din xn este în acest interval aici. Acum, din moment ce f din x converge spre L pe măsură ce x converge către c, există o deltă astfel încât - deci aceasta este imaginea care merge împreună cu ea - astfel încât dacă mă aflu în acest interval aici, atunci sunt mapat în acest interval aici. Așa că asta obțin din presupunere. Deci, cum ar trebui să aleg numărul natural capital M este astfel încât toate x sub n să se afle în acest interval, c minus delta, c plus delta. Și dacă pot aranja asta, ceea ce pot deoarece x sub n converg către c, atunci voi înțelege că acești tipi sunt mapați în acest interval, L plus epsilon, L minus epsilon, OK? Și asta e toată ideea dovezii. Acum trebuie doar să o notăm. Deoarece f din x converge spre L, există un delta pozitiv astfel încât dacă este mai mic decât delta, atunci dacă x minus L este mai mic decât epsilon. Asta am desenat cu galben acolo. Acum, deoarece secvența x sub n este egală cu c, aceasta implică că există un număr natural M sub 0 astfel încât puțin n mai mare sau egal cu M sub 0 - deoarece toate aceste x sub n nu sunt egale cu c, prin ipoteza, sunt în setul S take away c. X sub n minus c, iar valoarea absolută este mai mare decât 0 și mai mică decât delta, OK? Aceasta rezultă din definiția convergenței secvențelor la un punct. Aici, dacă doriți, aleg epsilon în acea definiție să fie delta. Și această deltă provine din definiția pentru convergența funcțiilor. Și așa vom alege capital M ca acest întreg M sub 0. Și dacă n este mai mare sau egal cu M, obțin că, prin alegerea noastră ca acesta să fie M sub 0, obțineți că x sub n minus c este mai puțin decât delta. Asta înseamnă că se încadrează în această mică parte evidențiată galbenă pe prima linie numerică, ceea ce implică... deci aici, ceea ce folosesc este ceea ce este evidențiat în albastru. Deci, acesta este conținutul acestei implicații - implică faptul că f din xn minus L este mai mic decât epsilon, bine? Și asta am vrut să facem, nu? Am vrut să arătăm că există un număr natural M, astfel încât n mai mare sau egal cu M implică f de x minus L este mai mic decât epsilon în valoare absolută. Și, prin urmare, am demonstrat că limita ca n merge la infinitul șirului f de xn este egală cu L. OK, deci aceasta este o direcție a acestei declarații dacă și numai dacă. Să demonstrăm direcția opusă. Deci, să presupunem ce este evidențiat în holdele verzi. BINE? Și această dovadă va fi prin contradicție. Deci, să presupunem că presupunerea noastră, ceea ce este în verde, este valabilă. Dar limita pe măsură ce x ajunge la c din f lui x nu este egală cu L. Și acum vom face demonstrația prin contradicție, adică să presupunem că rezultatul este fals. BINE? Încă presupunem ce este în verde. Aceasta este presupunerea noastră. Și pentru demonstrarea prin contradicție, presupunem că rezultatul sau concluzia este falsă, și anume că limita pe măsură ce x merge la c din f lui x nu este egală cu L. Acum, ce înseamnă asta? Așa că acum ajungem să negăm definiția și să ne familiarizăm mai bine cu ea. Aceasta înseamnă că-- deci definiția limitei, dacă te întorci la note este, pentru toate epsilonul, există o declarație delta. Deci negația este că există un epsilon rău, epsilon 0, astfel încât pentru toate delta pozitive, există un x astfel încât x este aproape de c, dar f din x este departe de L. OK? Deci negația definiției limitei a ceva care este limită este că există un epsilon rău, astfel încât, indiferent cât de aproape m-aș apropia de c, pot găsi ceva foarte aproape de c care este departe de L dacă îl bag în f , BINE? Acesta este modul intuitiv de a vedea negația acestei definiții. OK, deci acum voi aplica asta cu delta aleasă să fie 1/n pentru un număr natural, OK? Și asta spune... deci această declarație aici este o declarație pentru toți-delta. Deci asta este valabil pentru fiecare deltă pe care o aleg. Deci, pentru tot n, un număr natural, există un x sub n astfel încât 0 este mai mare decât x sub n minus c este mai mic decât delta-- Voi alege să fie 1/n-- și f din x sub n minus L este mai mare sau egal cu epsilonul 0. Deci, mai întâi, am făcut o declarație for-all-n. Să ne gândim la asta doar o secundă. Deci, cu siguranță, pentru delta este egal cu 1, pot găsi un număr x sub 1 care să satisfacă 0 este mai mic decât x minus c este mai mic decât 1, iar f din x minus f din x sub 1 minus L este mai mare sau egal cu epsilon 0. Dar delta poate fi orice aleg, deci pentru delta egal cu 1/2, pot găsi un x sub 2 astfel încât x sub 2 minus c este mai mic de 1/2, iar f din x minus L este mai mare sau egal cu epsilon 0. Deci doar aleg delta să fie 1/n pentru fiecare n, un număr natural. Alegeți delta să fie 1/n, OK? Este clar acest punct? OK, te rog opriți-mă dacă aveți întrebări și ceva nu este clar. OK, deci am această secvență de elemente a lui S care nu sunt egale cu c pentru că sunt o valoare absolută mai mare decât 0, sau valoarea absolută a lui x sub n minus c este mai mare decât 0. Și ele satisfac aceste două inegalități, OK ? Atunci lasă-mă să scriu din nou această inegalitate. Deci, inegalitatea pe care o am este, pentru tot n, numărul natural 0 este mai mic decât x sub n minus c este mai mic decât 1/n. Eu susțin că x sub n-urile trebuie să convergă apoi către c. Ce instrument pot folosi pentru a spune asta? Strânge teorema, bine? Pentru că chestia asta din stânga, 0-- asta, dacă vrei, este o secvență, doar o secvență constantă. Aceasta converge la 0. Și 1/n, ceva din dreapta, converge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Deci, asta implică că lucrul care este inclus între ele este strâns la 0. Deci, asta implică o limită pe măsură ce n merge la infinit de x sub n minus c este egal cu 0, adică convergența lui xn către c. Acum, presupun că ceea ce este în verde este valabil, și anume, dacă iau orice secvență care converge către c, f din xn trebuie să convergă către L, OK? Deci, prin ceea ce este în verde, mi-a dat această implicație - 0 trebuie să fie egal cu limită, deoarece n merge la infinitul lui f de x sub n minus L. Dar ce. Știu că, din moment ce am presupus că f din x nu converge către L, de-a lungul acestei secvențe, fiecare dintre acești tipi este mai mare sau egal cu epsilonul 0, ceea ce este pozitiv. Deci acum am ajuns la concluzia că 0 este mai mare decât 0. E o contradicție, bine? OK, deci data viitoare, vom vorbi despre aplicațiile acestei teoreme. Aveți cu toții întrebări despre această dovadă sau despre orice am acoperit până acum astăzi? Vrei să spui cum poți alege delta din a face... PUBLIC: Da. CASEY RODRIGUEZ: Corect. Așa că lasă-mă să exprim asta a-- Da, vreau să spun, așa-- și probabil în majoritatea cursurilor, ți se va oferi doar această dovadă care este aici, în stânga. Și cumva mi se pare magie că am ales această deltă așa și ajunge să funcționeze, nu? Dar gândirea care se află în spatele ei este... deci care este lucrul pe care îl vrei? Vrei ce este în galben. Așa că lasă-mă să șterg o parte din ceea ce este în galben. Vrei să alegi delta astfel încât, dacă iei f din x minus ac plus b, acel lucru în valoare absolută va fi mai mic decât epsilon, OK? Deci, începeți cu acel lucru pe care doriți să îl faceți mic și pe care doriți să vă asigurați că este mic, f de x minus ac plus b și începeți să calculați. Și când îl calculezi, obții ceea ce avem aici în al doilea pic de galben. Și presupunem că valoarea absolută a lui x minus c este mai mică decât delta, nu? Încercăm să alegem delta, astfel încât ceea ce este în verde să implice ceea ce este în galben. Până acum, nu am ales delta. Știm doar că valoarea absolută a lui x minus c va fi mai mică decât delta. Și vrem să alegem delta, astfel încât asta să implice ce este în galben după săgeata de acolo. Deci, când facem acest calcul și presupunând că valoarea absolută a lui x minus c este mai mică decât delta, obținem acest lucru chiar aici, valoarea absolută a unei delte de timp. Aceasta presupune doar că valoarea absolută a lui x minus c este mai mică decât delta, ceea ce se va presupune. Și vrem ca ceea ce este în galben, adică acel lucru să fie mai mic decât epsilon. Deci, la ce am ajuns este chestia asta de aici, care vrem mai puțin de epsilon, este mai puțin decât chestia asta în roșu, bine? Și prin urmare, dorim să alegem delta astfel încât lucrul în roșu să fie mai mic decât epsilon sau mai mic sau egal cu epsilon. Asta se va asigura că f din x minus ac plus b în valoare absolută va fi mai mică decât epsilon, OK? Deci nu rezolv o inegalitate. Nu rezolv inegalitatea pe care o vreau, care este f din x minus ac plus b. Încep cu ceea ce este în stânga, estimându-l folosind ipotezele mele și apoi, la sfârșit, aleg delta, astfel încât să vin cu epsilon la final. Deci, în ultimul pas, am valoarea absolută a deltei de ori. Și vreau să fie mai puțin de epsilon. Deci aș fi putut alege delta să fie mai mică sau egală cu epsilon/a. Deci orice, orice deltă ca asta ar fi funcționat. Deci aș fi putut pune delta să fie epsilon peste 2a. Asta tot ar fi funcționat, sau 3a, bine? Da, [? ce ?] [? sunt?] verzi. Acesta este lucrul pe care îl facem, lucru pe care îl folosim în acest calcul. Mai sunt și alte întrebări? Asta e o chestie de stil, bine? Deci, pe parcursul întregului semestru, pentru tot epsilonul, trebuie să poți găsi M, astfel încât să se întâmple ceva, nu? Deci, la un moment dat, mereu spui, alege M ca să fie ceva, nu? Poate e maximul de M0, M1 pe care l-ai avut. Sau alegeți M ca să fie astfel încât 1/M să fie mai mic decât epsilon sau ceva de genul acesta. Așa că rămân cu acel stil de a spune, alege M pentru a fi acesta. Altfel, aș fi putut spune, există un număr capital M, astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu capital M, x sub n minus c este mai mic decât delta, apoi treceți la următoarea parte. Dar pe tot parcursul cursului, întotdeauna, cel puțin în dovezile pe care le-am prezentat, ai ales M majusculă, nu? Este pentru toate epsilonul, există un M majuscul. Deci asta înseamnă că trebuie să-mi spuneți cum să aleg M majuscul. Și același lucru cu aceste dovezi epsilon delta este că, pentru toate epsilonul, există o deltă. Deci, la un moment dat, trebuie să-mi spui cum să aleg delta în dovadă. Așa că am rămas oarecum cu acel stil de a spune, alege M ca să fie ceva, deși ai perfectă dreptate că aș fi putut spune, pentru toate n mai mari sau egale cu M0 majuscul, am ceea ce vreau. Și prin urmare, implicit, spun că M este egal cu M0 este lucrul care funcționează. Da, este aceeași deltă. Da, este aceeași deltă. Mhm.