[SCRÂȘIT] [FOȘIT] [CLIC] PROFESOR: OK, așa că vom finaliza discuția despre măsurarea și integrarea Lebesgue discutând spațiile mari Lp, care a fost un fel de ideea acestui demers, care a fost să găsim, într-un anumit sens, spațiul complet al funcțiilor integrabile, orice înseamnă integrabil -- vreau să spun, a trebuit să definim o integrală -- care conține spațiul funcțiilor continue cu normă dată de, să spunem, integrala puterii p-a a funcția continuă. OK, deci la sfârșitul... deci la ultima prelegere, am introdus integrabilul Lebesgue general -- mă refer la clasa funcțiilor integrabile Lebesgue și integrala Lebesgue. Și am demonstrat că-- am demonstrat teorema de convergență dominată și o consecință a acesteia a fost faptul că, dacă am o funcție continuă pe un interval închis și mărginit a, b, atunci integrala Lebesgue a acelei funcții continue este egală cu integrala Riemann a acelei funcţii continue. Deci știi cum să calculezi integralele -- sau integrala Lebesgue pentru fiecare funcție pentru care să calculezi integrala Riemann, care sunt în mare parte funcții continue. Acum acest lucru poate fi consolidat. Se poate arăta că, de fapt, deci nu o vom acoperi în această clasă. O veți vedea într-o altă clasă care este dedicată poate doar măsurării teoriei pentru o perioadă mai lungă de timp, dar se poate demonstra folosind teorema de convergență dominată că, de fapt, fiecare funcție integrabilă Riemann-- nu doar continuă, ci fiecare funcție Riemann-integrabilă pe un interval închis și mărginit este integrabilă Lebesgue și că integrala Riemann este egală cu integrala Lebesgue, chiar și doar pentru funcții Riemann-integrabile mai generale. Și poți, de asemenea, acum folosind mașinile pe care le-am construit-- Nu știu, poate voi pune asta în sarcină, poate nu. Că puteți caracteriza complet acele funcții care sunt integrabile prin Riemann. Și afirmația este că o funcție - o funcție măsurabilă, de exemplu, este integrabilă prin Riemann dacă și numai dacă este continuă aproape peste tot. Nu spun că este egal cu o funcție continuă aproape peste tot. Spun că este continuă aproape în fiecare punct al intervalului. BINE. Acum să trecem la analogii micilor spații Lp pe care le-am văzut mai devreme în prelegeri și în teme. Deci, acestea sunt de obicei denumite spații Lp mari. Așadar, pentru a le defini, permiteți-mi mai întâi să definesc ceea ce va fi, în cele din urmă, o normă. Deci, dacă f de la o submulțime măsurabilă a lui R la numerele complexe este măsurabilă, iar 1 este mai mic sau egal cu p este mai mic decât infinit, atunci definim următorul posibil - sau următorul număr real nenegativ extins, norma Lp a lui E. Aceasta este definită a fi integrala peste E a lui f ridicată la valoarea absolută ridicată la p la 1 peste p. Acum, acest lucru este semnificativ pentru că indiferent de ce f-- cum s-a comportat f, deoarece valoarea absolută a lui f ridicată la p, aceasta este o funcție măsurabilă nenegativă . Deci putem defini întotdeauna ce este integrala Lebesgue. Deci acesta poate fi infinit sau finit, dar este un număr nenegativ, un număr real extins. Și poate te întrebi, ce se întâmplă? De ce am omis p egal cu infinitul? Avem o definiție diferită pentru infinitul egal, la fel cum am avut o definiție diferită pentru infinitul mic. Definim această cantitate aici, la care voi merge mai departe și am să încep să mă refer la normele infinitului Lp și L, chiar dacă nu le-am demonstrat încă o normă pentru ce spațiu. Acesta este definit ca fiind infimul peste M pozitiv astfel încât măsura mulțimii x și E astfel încât f din x este mai mare decât m este egal cu 0. Deci, ce înseamnă pentru m să fie în această mulțime? Aceasta înseamnă că f din x este mai mic sau egal cu m aproape peste tot. Și apoi iau minimul din toate acestea... aproape peste tot limitele superioare. Și acest lucru este de obicei denumit - ceea ce se numește supremul esențial al lui f din x. Așa că doar o mică mini-teoremă despre această normă a infinitului L aici, ce veți vedea... ei bine, cred că veți vedea aceste prelegeri după primul examen. Deci l-ai văzut pe tipul ăsta la examen și ai dovedit unul dintre aceste fapte. Pe celălalt îl voi pune într-o misiune viitoare. Dacă f de la E la C este măsurabilă, atunci valoarea absolută a lui f a lui x este mai mică sau egală cu gL infinit aproape peste tot pe E. Și un alt fapt, dacă f-- dacă E este egal cu a, b și f este continuu pe a, b, atunci acest supremum esențial este egal cu, de fapt, doar obișnuitul ceea ce numim norma L infinitate care, amintiți-vă, a fost sup peste x și a, b valoarea absolută a lui f lui x. Deci de ce afirm asta? Deoarece norma infinită L limitează f de sus pentru aproape fiecare x în același mod în care norma infinită mică l pentru secvențe mărginite, secvența-- fiecare intrare din succesiune-- pentru fiecare intrare din succesiune. Dar acum, pentru supremul esențial, avem doar o declarație aproape peste tot. Dar această normă este aceeași cu norma infinitului L sau cu norma infinitului pentru funcțiile continue. Deci nu ar trebui să fie ceva prea nebunesc. BINE. Așa că acum voi spune doar câteva teoreme pentru că ați dat deja demonstrația-- dovezile, ar trebui să spun, când ați făcut-- cred că a fost probabil prima sarcină, când ați făcut enunțurile corespunzătoare pentru puțin lp spații, cu excepția faptului că acum înlocuiți -- pentru acestea, înlocuiți o integrală cu o sumă. Adică, ar trebui să te gândești întotdeauna la o integrală ca la o sumă. Deci avem următoarele două teoreme, două inegalități. Avem inegalitatea lui Holder. Dacă unul este între p-- dacă p este între 1 și infinit și q este exponentul dual pentru p, adică 1 peste p plus 1 peste q este egal cu 1 și aveți f ca Lp al lui E și g este un Lp al lui E , apoi de f ori g integrat peste E-- ei bine, nici nu am spus-- scuze. Trec cu mult înaintea mea. Deci-- și dacă f și g sunt două funcții măsurabile, atunci integrala peste E de f ori valoarea absolută a g, aceasta este mai mică sau egală cu norma Lp a lui f ori norma Lp a lui g. Acum, desigur, această inegalitate este interesantă doar dacă partea dreaptă este finită. Dacă acest lucru este infinit, atunci totul este în vac adevărat. Deci, acesta este analogul inegalității Holder pe care l-ați demonstrat pentru secvențele în care am avut o sumă aici în loc de integrală și unde am avut o sumă aici în loc de integrală. Și se dovedește în esență în același mod. Doar înlocuiți un sigma cu un mic s. Și astfel din inegalitatea lui Holder , ați obținut inegalitatea lui Minkowski. Dacă p este între 1 și infinit și f, g sunt două funcții măsurabile, atunci luăm norma Lp a lui f plus g, aceasta este mai mică sau egală cu norma Lp a lui f plus norma Lp a lui E. Și din nou, ați dovedit acest lucru exact în același mod ca și pentru micile spații Lp folosind inegalitatea lui Holder. Bineînțeles, asta necesită un argument ușor diferit pentru p egal cu infinitul pe care îl cunoști pentru acest supremum esențial, dar, de fapt, asta ai făcut la examenul pe care l-ai susținut acum câteva zile. Așa că am numit aceste lucruri o normă, deși nu le-am dovedit încă norma și în ce spațiu sunt ele o normă, așa că acum am de gând să fac asta. Deci, când va fi clar... permiteți-mi să fac și o mică remarcă. Voi desemna acest lucru doar prin prescurtare cu doar un p. Și ar trebui să fie clar din context ce set preiau această normă. Sau ce set iau această integrală care definește această normă. OK, deci acum permiteți-mi să definesc spațiul real pe care acesta va fi o normă. Și implică un ușor abuz de terminologie și notație în cele din urmă, ceea ce este doar tradiție, nu doar în acest subiect, dar... Adică, abuzul de notație este tradiție în toată matematica. Deci, pentru 1-- pentru p între 1 și infinit, definim spațiul Lp al lui E-- deci E aici este cunoscut-- dacă nu spun asta, este întotdeauna o submulțime măsurabilă a lui R. Acesta este mulțimea tuturor funcții de la E la C, care sunt măsurabile, care au norma Lp finită. Acum, permiteți-mi să fac o a doua avertizare față de acest spațiu. Deci, așa cum l-am notat acum, este un spațiu de funcții. Și voi continua să mă refer la el ca la un spațiu de funcții. Voi continua să mă refer la elemente ale acestuia ca funcții. Dar spațiul propriu-zis în sine nu este un spațiu al funcțiilor, este un spațiu al claselor de echivalență pentru ca această cantitate, pe care o numesc în continuare normă, să fie de fapt o normă pe acest spațiu. Așadar, permiteți-mi să adaug aici -- dacă luăm în considerare două elemente ale acestei mulțimi, -- nu ar trebui să spun egale, ci a fi același element -- și permiteți-mi să dau două elemente, să spunem f și g în Lp, să fie același element dacă f este egal cu g aproape peste tot. Deci, așa cum am scris- o, Lp din E constă din toate funcțiile măsurabile cu norma Lp finită, iar acum spun că voi considera două elemente din acest spațiu ca fiind aceleași - să fie același element dacă ele se egalează aproape peste tot. Deci, strict vorbind, permiteți-mi să fac asta doar ca o remarcă. Aceasta înseamnă că un element al lui Lp al lui E este o clasă de echivalență a formei - deci paranteze mici f pentru a indica clasa de echivalență. Nu v-am spus care este relația de echivalență, așa că voi explica asta pe măsură ce descriu clasa de echivalență. Deci clasa de echivalență a lui f este egală cu mulțimea tuturor funcțiilor g, care sunt măsurabile. Deci Lp de E este într-adevăr o mulțime de toate echivalentele - este un set de clase de echivalență de funcții măsurabile cu norma Lp finită în care două clase de echivalență sunt egale dacă și numai dacă reprezentantul din prima clasă echivalentă este egal cu reprezentantul celui de- al doilea echivalent clasă aproape peste tot. Deci asta este Lp lui E. Acum, de ce fac asta... de ce adaug această avertizare că trebuie să considerați două elemente ca fiind egale aproape peste tot? Pentru că asta îmi permite să pun... sau să spun că această normă Lp este o normă reală. Altfel, este doar o semi-normă dacă eu consider cu adevărat că Lp de E este acest spațiu de funcții reale. Deci, din nou, acesta este un punct mic, că Lp lui E este, de fapt, un set de clase de echivalență în care două funcții sunt două clase de echivalență sau egale dacă și numai dacă funcțiile reprezentative sunt egale -- sunt egale aproape peste tot. Dar acum că am explicat toate acestea și v-am spus cu atenție ce este Lp din E, este obișnuit să nu ne referim niciodată la ele ca clase de echivalență sau elemente ale Lp din E ca o clasă de echivalență. De obicei, încă ne referim la ele ca funcții. Permiteți-mi să clarific acest aspect. Deci, în loc să vorbesc despre o clasă de echivalență sau elemente ale lui Lp lui E ca o clasă de echivalență, mă voi referi doar la ele ca funcții, înțelegând că două funcții din Lp lui E sunt considerate a fi aceeași funcție, același element dacă acestea se egalează aproape peste tot. Acum poate crezi că asta este puțin ciudat, dar ai făcut asta toată viața deja, pentru că numerele raționale în sine sunt definite, dacă te uiți înapoi la algebră sau dacă iei algebră acum, când te așezi de fapt. și construiți numerele raționale, acestea sunt construite ca clase de echivalență de perechi de numere întregi. Dar nu te gândești la ele așa, ci la ele ca 3 peste 2. Nu clasa de echivalență a 3, 2. Deci, din nou, două elemente în Lp lui E. Adică, ne gândim la Lp a lui E ca la un set de funcții cu norma Lp finită și cu avertismentul că două funcții -- sau două elemente ale lui Lp și E -- Lp ale lui E sunt egale -- sunt același element dacă cele două funcții sunt de acord aproape peste tot. OK, acum, cu acel detaliu minor din drum, să trecem la-- permiteți-mi să precizez teorema că-- deci Lp cu înmulțirea scalară naturală în care doar înmulți-- multiplu scalar al unui element ca doar înmulțirea funcției printr-un scalar. Și suma a două elemente este doar motivul pentru care unele dintre cele două funcții. Deci cu definițiile evidente ale înmulțirii și adunării scalare. Operațiile este un spațiu vectorial. Mai mult, această funcție la care m-am referit ca normă este de fapt o normă pe Lp. Acum nu am de gând să-- Voi demonstra doar o parte din acest lucru, deoarece pentru a verifica ceva ca spațiu vectorial, trebuie să verificați că operațiunile sunt-- satisfac anumite proprietăți. Și când voi declara... sau dau dovada a ceea ce voi demonstra din această teoremă, aceasta va fi ultima dată când mă refer la faptul că acestea sunt ochelari de echivalență și nu funcții, ci doar pentru a face o punct. Din nou, acest spațiu, strict vorbind, este un set de clase de echivalență. Deci ar trebui să verificăm că adunarea și înmulțirea scalară sunt bine definite pe această mulțime, adică dacă am doi reprezentanți ai aceleiași clase de echivalență și îl înmulțesc pe unul cu un scalar și pe celălalt cu un scalar, atunci obțin aceeași echivalență clasa in final, care este usor de verificat, si la fel pentru adaugare. Deci, din nou, într-un sens strict vorbind, că Lp este un set de clase de echivalență, aceste lucruri sunt bine definite, înmulțirea și adunarea scalară. Deci, să verificăm că Lp-- sau dacă această cantitate de aici este o normă. Și voi doar să... Deci, mai întâi, rețineți că luarea normei Lp a unui element din Lp este de fapt bine definită. Amintiți-vă, deci aceasta va fi singura teoremă și demonstrație în care mă refer de fapt la faptul că Lp este de fapt un set de clase de echivalență, iar după aceea pur și simplu nu vom mai face asta și ne vom gândi doar la Lp. ca un set de funcții în care două funcții sunt același element dacă se egalează aproape peste tot. Dar primul lucru de remarcat este că acest lucru este de fapt bine definit pe acest set de clase de echivalență. Deci, rețineți, dacă am doi reprezentanți ai unei clase de echivalență, atunci prin ceea ce am dezvoltat pentru integrala Lebesgue - Deci f, luați valoarea absolută ridicată la p va fi, de asemenea, egală cu g ratele valorii absolute ale p aproape peste tot și, prin urmare, aceste două integrale se vor egala. Aceste integrale sunt numere reale. Nu sunt clase de echivalență de numere reale, acesta este un număr real, un număr real nenegativ. Și de aceea, dacă în notația pe care am avut-o înainte, dacă am o clasă de echivalență și am doi reprezentanți diferiți ai acesteia și definesc norma Lp a acestei clase de echivalență ca fiind integrala reprezentantului, obțin același număr indiferent de reprezentantul pentru acea clasă de echivalență. Adică-- OK? Deci, această funcție este definită de-- dacă iau acea normă Lp a unei clase de echivalență dată doar de integrala reprezentantului, aceasta este bine definită. Dacă iau doi reprezentanți diferiți, iau același număr. Acum, această cantitate aici este egală cu 0 dacă și numai dacă... prin ceea ce am dezvoltat în teoria noastră a integrării, f este egal cu 0 aproape peste tot. Deci norma Lp sau -- așa că ar trebui să spun că aceasta este egală cu 0 aproape peste tot -- adică f este egal cu 0 aproape peste tot. Dar poate nu peste tot. Clasa de echivalență a acestei funcții este egală cu elementul 0. Așadar, acesta a fost tot motivul pentru care am trecut prin această problemă de a vă explica de ce, strict vorbind, cel mai riguros mod de a defini Lp este ca spațiu al claselor de echivalență, deși nu ne vom gândi la ele așa sau nu vom vorbi. despre ei așa în viitor, asta este, de fapt, ceea ce sunt. Pentru că atunci, această cantitate de aici, această normă Lp este, de fapt, o normă. Dacă norma Lp este 0, atunci acel element este elementul 0. BINE. Deci este ultima dată când mă voi referi la elementele Lp ca clase de echivalență. Acum mă voi referi la ele ca funcții. Dar omogenitatea și inegalitatea triunghiului pentru norma Lp decurg, pur și simplu din definiție, pentru omogenitate, faptul că un scalar-- că norma Lp a unui multiplu scalar al lui f este egală cu valoarea absolută a scalarului ori Lp norma lui f și inegalitatea triunghiului rezultă din definiție și inegalitatea lui Minkowski. BINE. Deci Lp este spațiul funcțiilor măsurabile cu norme Lp finite. Vedea? Deja nu mă voi referi la el niciodată din nou ca spațiu al claselor de echivalență. Ar trebui să vă gândiți la ele ca la funcții spațiale, doar cu două elemente egale dacă aceste funcții sunt egale aproape peste tot în punct de pe E. Acum ajungem la marea întrebare. Avem acum acest spațiu normativ Lp al lui E corespunzător tuturor acestor funcții care au norma Lp finită. În primul rând, acesta nu este gol? Să vă dăm poate cel mai simplu exemplu. De fapt, permiteți-mi să demonstrez următoarea teoremă simplă. Deci... care este următorul. Fie E măsurabil, atunci f este un Lp al lui E dacă și numai dacă limita ca R merge la infinit peste -- a integralei minus R la R intersectează E a lui f ridicată la p este finită. Observați, deoarece R merge la plus infinit, deci poate să nu-l facem R. Îl putem face n în care ne aflăm ca număr natural. Atunci aceasta este o succesiune crescătoare de numere. Deci, să dăm dovada foarte repede. Să presupunem că f este în Lp implică faptul că această cantitate aici este finită. Deoarece șirul de integrale de pe minus n la n intersectează E f ridicat la p, aceasta este o secvență crescătoare. Pentru că la fiecare pas, la fiecare intrare, iau integrala acestei cantități nenegative peste un set mai mare. Deci aceasta este o secvență crescătoare. Deci, de fapt, această limită există întotdeauna, așa că a fost semnificativ să ne referim efectiv la această limită. Deoarece aceasta este o secvență crescătoare, limita pe măsură ce n merge la infinit minus n intersectarea E există de fapt ca un număr real posibil extins. Acum, deoarece pentru toți n, avem că integrala dintre minus n la n intersectează E ridicată la p este mai mică sau egală cu-- ei bine, de fapt, sunt puțin ineficient aici. Hai să ștergem un pic aici. BINE. Da, hai să o facem așa. O vom face mult mai repede. Acum rețineți că intersectarea E f ridicată la p, aceasta este egală cu integrala peste E chi minus n la n f ridicată la p. Deci mă pot gândi la asta ca... Mă pot gândi la ceea ce este aici în integrand ca o funcție pentru fiecare n. Deci, deoarece aceasta este o secvență care crește punctual și pentru tot x din E, avem o limită pe măsură ce n merge la infinit de chi minus n la n, f de x ridicat la p este egal cu f de x ridicat de p. Aceasta-- prin teorema convergenței monotone, integrala limitei pe măsură ce n merge la infinit, care este doar f ridicată la p, este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit a integralei acestei mărimi aici peste E, care este, din nou, intervalul dintre minus n la n intersectează E ridicat la p. Și, prin urmare, această cantitate de aici este finită dacă și numai dacă această cantitate de aici este finită. Și, prin urmare, f este un Lp dacă și numai dacă această cantitate aici este finită și, de fapt, se egalează între ele. Deci, folosind acea teoremă, dacă doriți, puteți demonstra - și vă las pe seama dvs. - că dacă f de la, să spunem, R la C este măsurabil și există o constantă nenegativă și q mai mare decât 1 astfel de că pentru aproape fiecare x din R, f din x este mai mică sau egală cu o constantă ori 1 plus x ridicată la minus q, atunci f este un Lp al lui R pentru toate p mai mari sau egale cu 1. Deci, cum faci fa aia? Deci, OK, poate voi indica doar de ce folosim teorema anterioară și ne uităm la integrala de la minus n la n intersectează R. Deci, aici, după această estimare, este mai mică sau egală cu integrala de la minus n la n ori constanta 1 plus x la minus q. Acum, aceasta este o funcție continuă pe un interval compact-- sau închis și mărginit , deci aceasta este egală cu integrala sa Riemann. Totuși, adesea, la examene și așa mai departe, voi corecta integrala Lebesgue și în această formă. Așa că nu vreau să spun că sunt doar-- veți folosi acest tip de notație pentru integrala Riemann. Dar oricum. Și vă las pe voi să arătați că atâta timp cât q este mai mare decât 1, acesta este mai mic sau egal cu-- așa că ar trebui să pun p ori q. p ori q. Că atâta timp cât q este mai mare decât 1, această integrală aici este mai mică sau egală cu o constantă în funcție de p. BINE. Deci sunt multe funcții care sunt în Lp, deci nu este chiar un spațiu trivial. Dar ce fel de spațiu este? Acum permiteți-mi să spun următoarele. Asta, de fapt, asta ai dovedit în sarcină chiar înainte -- sau în sarcina pe care i-am atribuit-o cel puțin înainte de examen, care urma. Fie a mai mic decât b-- mai mic decât b. Și p între 1 și infinit. Deci, de fapt, ați făcut-o pentru L1, dar aceeași dovadă este valabilă și pentru Lp. fE în Lp a lui a, b. Așa că continui să adaug lucruri și epsilon ar fi pozitiv. Atunci există o funcție continuă în a, b, pe care o pot impune și dispare la punctele de capăt și este apropiată de norma f și Lp. Deci, ceea ce afirmă aceasta este că spațiul funcțiilor continue este dens un Lp al lui a, b. Și este un submulțime adecvată de Lp a lui a, b. Pot găsi elemente în Lp care nu sunt continue sau chiar nu sunt egale cu o funcție continuă aproape peste tot. Deci este dens și, de asemenea, adecvat. Și acum teorema finală va demonstra despre integrarea în spații Lp este că Lp este completă. Deci asta se datorează lui Reece și... să vedem. Are un C sau doar... da , are un C. Acesta este un spațiu Banach. Pentru p între 1 și infinit. Inclusiv 1 și infinit. Acum voi da dovada pentru p între strict mai mic decât infinit. Deci p este egal cu infinitul. Aceasta va apărea într-o temă. Deci vom face cazul lui p între 1 și infinit. Deci cum vom face asta? Vom folosi, de fapt, acel criteriu de acum câteva săptămâni despre când un spațiu normal este un spațiu Banach? Așa că am demonstrat acest criteriu echivalent - deci amintiți-vă, un spațiu Banach este un spațiu normă care este complet în raport cu norma. Deci ar trebui să verificați dacă toate secvențele Cauchy din spațiu converg către ceva din spațiu. Dar acum am venit cu un alt criteriu... N-ar trebui să spun că am făcut-o. Cineva a făcut, și apoi ți-am arătat-o, că o modalitate echivalentă de a demonstra asta este de a demonstra că toate seriile absolut sumabile din spațiul normelor sunt însumabile. Amintiți-vă, absolut sumabil înseamnă că unele dintre norme sunt finite. Deci asta vom folosi... sau asta vom face. Vom arăta că fiecare serie absolut însumabilă este însumabilă. Deci, să presupunem că am o secvență în Lk, este o secvență în-- f este un Lp, nu Lk. Asta formează o serie absolut fundamentală. Deci, astfel încât suma peste k de... dacă iau norma LP a fk. Deci, aceasta este acum o serie de numere nenegative, să presupunem că aceasta converge, adică o scriu deoarece este finită. Deci, de fapt, aceasta este egală cu... permiteți-mi să numesc asta o serie de convergență ceva. Numiți-l m, care este un număr finit. Bine, deci avem această serie absolut sumabilă și vrem să demonstrăm că acum seria, suma lui fk, converg la ceva din Lp. Și ce vrem să arătăm acum? Așa că permiteți-mi doar-- pentru a fi clar dinainte, vrem să arătăm că există o funcție în Lp astfel încât k este egal cu 1 la n. Sumele parțiale se transformă în f pe măsură ce n merge la infinit și Lp din eie. Mod echivalent de a scrie, care este că limita pe măsură ce n merge la infinitul normei, unele k sunt egale cu 1 până la n din fk minus fp este egală cu 0. Aceasta va arăta că fiecare serie însumabilă este -- seria absolută însumabilă este însumabilă. Deci trebuie să identificăm un candidat f și apoi să arătăm că norma de-- că această normă aici merge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. OK, deci definiți gn de la E la-- deci este un număr nenegativ-- sau este o funcție nenegativă-- prin gn de x este egal cu suma de la k este egală cu 1 la n a valorii absolute a lui fk a lui x. Aceasta este, din nou, o funcție măsurabilă, deoarece este suma funcțiilor măsurabile. Deci ce știm? Prin inegalitatea triunghiulară, știm că dacă iau norma Lp a lui gn, care este această sumă finită - deci, după inegalitatea triunghiului pentru norma Lp, aceasta este mai mică sau egală cu suma din k este egală cu 1 la n din Normele Lp ale FK. Și aceasta este o sumă parțială corespunzătoare seriei de norme ale lui fk care însumează M. Deci aceasta este întotdeauna mai mică sau egală cu M, care presupunem, din nou, că este un număr finit. Și prin urmare, ceea ce implică prin lema lui Fatou că liminf ca n merge la infinitul lui g sub n peste E, care este egal cu-- Acum pentru fiecare x, aceasta-- așa cum n merge la infinit-- pentru fiecare x ca n merge la infinit, aceasta converge spre ceva. Este fie finit, fie egal cu infinitul, deci converge întotdeauna. Deci aceasta este egală cu suma infinită. Ar trebui să spun, să ridicăm acest lucru la p. Ceea ce este egal cu... deci... OK, am luat asta cam invers. Ar fi trebuit să spun că asta este egal cu asta. Dar oricum, după lema lui Fatou, așa că lasă-mă să inversez aceste lucruri. Deci, după lema lui Fatou, deci am acest lucru este egal cu-- deci nu folosește Fatou. Folosește doar definiția lui gn. Aceasta este mai mică sau egală cu... acum folosesc lema lui Fatou. Integrală peste E gn ridicată la p. Și acum folosesc acea limită pe care o am chiar aici - aceasta este întotdeauna mai mică sau egală cu - ține minte, norma Lp a g sub n a fost mai mică sau egală cu M. Așa că ridicând-o la puterea p, am aceasta este mai mică sau egală cu M față de p. Așa că am început cu integrala acestei funcții măsurabile nenegative, care este seria lui f sub k ridicată la p, și am arătat că acea integrală este finită. Astfel, prin altă teoremă pe care am demonstrat-o din integrare, dacă am o funcție măsurabilă nenegativă care are integrală finită, atunci acea funcție măsurabilă trebuie să fie finită aproape peste tot. Deci, astfel, această cantitate trebuie să convergă sau este finită pentru aproape fiecare x din E. Deci, ceea ce obțin este că pentru aproape-- permiteți-mi să includ un x aici. Deci am demonstrat că pentru aproape fiecare x din E, fk din x este absolut convergent. Deci această serie este absolut convergentă. Și, prin urmare, converge pentru aproape fiecare x din E. Și îmi voi defini funcția departe, nu? Pentru că în cele din urmă, amintiți-vă, încercăm să găsim o funcție f astfel încât Aceste sume parțiale să convergă către f și Lp. Deci, dacă putem defini f într- un fel ca aproape peste tot limita punctual a s sub k, poate că putem folosi teorema de convergență dominată într-un fel și asta vom face. Deci definiți f din x să fie exact ceea ce obțin din această serie convergentă atunci când converge, absolut. Deci dacă... 0 sau altfel. Și voi defini g din x ca să fie, din nou, dacă doriți, atunci este momentul în care g sub n converg. Deci, dacă acesta este finit și 0 în caz contrar. Deci acum am aceste două funcții cu valoare reală măsurabile . Și tipul ăsta va sfârși prin a fi ceea ce FK a convergit. Deci avem câteva lucruri. Apoi limitați pe măsură ce n merge la infinit de sumă de la k este egal cu 1 la n, fk pentru x-- puteți pune un minus f de x-- egal cu 0 aproape peste tot pe E. De ce este asta? Acest lucru se datorează faptului că f din x este pur și simplu definit ca fiind suma infinită atunci când suma este absolut convergentă, ceea ce este aproape peste tot prin ceea ce am făcut. Ce altceva? Dacă eu... deci acesta este un lucru crucial. Și minus f din x, aceasta este mai mică sau egală cu g din x-- deci p a crescut p aproape peste tot pe E. OK, de ce este asta? Este valabil, de exemplu, atunci când seria este absolut convergentă. Pentru că atunci f din x este egal cu suma infinită a fk-urilor lui x. Și astfel, prin inegalitatea triunghiului, valoarea absolută a acelei diferențe va fi mai mică sau egală cu suma valorilor absolute. Aceasta este, prin definiție, egală cu g sub n sau g sub n plus 1. g este limita g sub n, deci g sub n-urile sunt în creștere. Deci se află întotdeauna sub g de x. Acum, prin... Ar trebui să spun că, prin asta, nu vreau să o trag în sus. Deci, să spunem doar, deoarece am demonstrat că norma Lp a acesteia este mai mică sau egală cu M, care aici este egală cu g aproape peste tot, aceasta implică că norma LP a lui g este egală cu această normă Lp și, prin urmare, este mai mic sau egal cu M Și, prin urmare, asta înseamnă că norma Lp ridicată PE este finită. Mai mult, ce altceva deducem? De asemenea, deducem din aceasta că f, care este mărginită mai sus de aproape peste tot de această cantitate, aceasta este mai mică sau egală cu - care este egal cu g aproape peste tot, forma Lp a lui f este mai mică sau egală cu norma Lp de g, care, după cum am spus, este mai mic sau egal cu M-- adică f este un Lp al lui E. Deci, din nou, aproape peste tot avem acel f care este egal cu suma fără valorile absolute. Aceasta este întotdeauna mai mică sau egală cu o valoare absolută. Suma din k este egală cu - suma peste k cu valori absolute în interior. Și știm că forma Lp a acesteia este finită, am demonstrat asta mai devreme, ceea ce îmi spune că norma Lp a lui g este finită, deoarece g este egal cu această cantitate aproape peste tot. Este 0 pe un set de măsură 0, pe care tocmai l-am aruncat acolo pentru a o face finită. Deci avem f este un Lp, avem g este un Lp. Deci cel puțin acesta poate fi un posibil candidat. Și avem aceste două fapte aici. Acum aplicăm teorema de convergență dominată folosind acest fapt, asta-- avem convergența la 0 aproape peste tot pe E. Și, deoarece acest lucru este adevărat, pot pune, dacă doriți, ridicat la p. Deci această cantitate aici converge la 0 aproape peste tot. Această cantitate este, de asemenea, mărginită mai sus de această cantitate aici din dreapta, care este integrabilă. Are integrala lui g la p este finită. Deci, prin teorema de convergență dominată, pot concluziona că limita pe măsură ce n merge la infinit de sumă de la k este egală cu 1 la n a minusului f al lui f ridicat la p peste E, aceasta este egală cu integrala limitei, care, amintiți-vă, este 0. Adică am arătat că. Ceea ce am vrut să dovedim. Acum, desigur, aveți nevoie de un argument diferit pentru p egal cu infinitul și este puțin mai simplu. Deci am demonstrat că Lp este un spațiu Banach. Și observați, am folosit o mulțime de instrumente și lucruri diferite pe care le-am dezvoltat de-a lungul acestui curs -- de-a lungul acestui curs până acum. Folosesc în continuare această completare a cuvântului, chiar dacă nu am vorbit cu adevărat despre asta. L-am cam lăsat deoparte din primul capitol pentru că nu aveam de gând să folosesc al doilea capitol din notele de curs care sunt de obicei folosite pentru acest curs. Dar din acest fapt, ar trebui să vă gândiți la finalizare ca fiind cel mai mic spațiu Banach care conține un anumit spațiu normal. Dar ceea ce această afirmație aici împreună cu teorema datorată lui Riesz și Fischer este că completarea funcțiilor continue peste a, b cu norma dată de norma Lp, care este, de fapt, o normă asupra funcțiilor continue deoarece dacă o funcție continuă este egal cu 0 aproape peste tot, trebuie să fie 0. Deci ceea ce demonstrează aceasta este că completarea funcțiilor continue cu această normă este egală cu spațiul Lp. Deci acum vom reveni la o teorie mai generală a analizei funcționale. Aceasta a fost specifică măsurării și integrării pe numere reale. Acum vom merge la subiecte mai generale și probabil mai intuitive, deoarece multe dintre ele au analogi. Adică, multe analize funcționale au... ar trebui să fie într- un fel analogă cu lucrurile pe care le- ați văzut în algebra liniară. Unele dintre ele cu siguranță nu sunt. De exemplu, într-una dintre sarcini, ați dovedit că bilă unitară și mica Lp nu este compactă pentru -- peste numerele naturale, setul de secvențe care au o normă mică -- finită Lp mică. Că nu e compact. În timp ce din calcul, că în Rn, bila unitate este compactă. Aceasta este teorema Burrill sau Bolzano-Weierstrass, în funcție de dacă luați ca definiție de pornire a compactității în termeni de mulțimi deschise sau în termeni de secvențe care au o subsecvență convergentă, care sunt echivalente pentru metrică - cel puțin într-un spațiu metric. BINE. Acum, aici vom trece la subiectul spațiilor Hilbert. Deci, acestea sunt speciale în sensul că norma provine dintr- un produs interior - poate ați văzut un produs interior în algebra liniară. Sau ar trebui să ai măcar. Și, prin urmare, aveți noțiuni de a fi ortogonal, aveți noțiuni de proiecție, și acestea-- am văzut lucruri care au această aromă când vorbim despre spațiile Banach în general și am vorbit despre modificarea unui subspațiu, și voi se poate gândi la clasa de echivalență corespunzătoare unui element ca la proiecția pe complementul acelui subspațiu, dar nu a fost o analogie exactă. Dar o mulțime de analogii exacte vor avea loc acum pentru spațiile Hilbert, iar atunci anumiți operatori pe spațiile Hilbert vor fi foarte analogi cu matricele auto-adjuvante sau matricele simetrice pe care le-ați văzut în algebra liniară. Și, bineînțeles, din punct de vedere aplicat-- ar trebui să spun aplicat-- spațiile Hilbert, aici este acțiunea-- aici este locul-- setarea mecanicii cuantice. Mecanica cuantică are loc într-un spațiu Hilbert. Elementele sunt integrabile pătrate, acum că ne-am ocupat de asta, funcții peste R3, dacă suntem în trei dimensiuni sau dacă suntem pe linia R, care au norma L2 egală cu 1, împreună cu ecuația Schrodinger. Deci spațiile Hilbert sunt foarte importante. Ele apar în mod natural în multe probleme. Și datorită acestei structuri suplimentare a lor -- a normei care provine dintr-un produs interior, puteți spune mult mai multe lucruri despre ei. Deci, înainte de a ajunge la spațiile Hilbert, permiteți-mi să adaug un „pre” înainte de asta. Deci spații pre-Hilbert. Așa că am spus că spațiile Hilbert vor fi spații Banach care provin dintr-o normă. Spații pre-Hilbert, acestea sunt doar spații normă care provin dintr-un produs interior. Deci, faceți următoarea definiție. Un spațiu pre-Hilbert H, acesta este un spațiu vectorial. De obicei, peste C, dar puteți să-l preluați și peste R, este bine și asta. Dar voi spune doar pentru certitudine despre C. Cu un produs interior hermitian. Deci aceasta este o terminologie nouă, poate și aceasta este o terminologie nouă, așa că permiteți-mi să scriu ce înseamnă - ce este un produs interior hermitian. Deci aceasta este, adică o hartă, de obicei desemnată folosind paranteze de la H-cruce-H în ​​numerele complexe. Satisface anumite proprietăți-- așa încât-- așa unul, este liniar și prima variabilă-- deci pentru toate lambda 1, lambda 2, v1, v2, dacă mă uit la produsul interior al v1, lambda 1 ori v1 plus lambda de 2 ori v2 cu w, acesta este egal cu lambda de 1 ori v1 ori produsul interior cu w plus produsul interior lambda 2 v2 cu w. Pentru toate V, w și-- am scris V majusculă, ar fi trebuit-- am scris H acum un minut. Acum suntem în spații Hilbert, spații pre-Hilbert. Pentru toate v și w, produsul interior al lui v și w este egal cu conjugatul complex al produsului interior al lui w cu v. Și următoarele, care este definiția pozitivă a produsului interior, dacă să-l numim așa, pentru toate v și H, m produsul interior ar fi cu el însuși, acesta este mai mare sau egal cu 0, deci este un număr real și nu este negativ. Și acesta, este egal cu 0 dacă și numai dacă v este un element zero. BINE. Așa că permiteți-mi să fac câteva observații. În primul rând, să presupunem că aceasta este observația 1. A treia mărime implică că singurul lucru ortogonal cu tot ceea ce se află în spațiu este un element zero. Deci v este în H și v este ortogonal la tot -- tot folosesc cuvântul ortogonal. Ar trebui doar produsul interior cu zero. Îmi dă 0 pentru fiecare element, asta implică că v este egal cu 0 și, desigur, se aplică și invers, că v este egal cu 0, apoi produsul interior cu 0 și fiecare element este 0 doar prin liniaritate. Două este că, dacă am două elemente v și w și o lambda scalară, atunci aceasta este egală cu conjugatul complex de lambda ori w cu v și, prin prima proprietate, lambda iese și, prin urmare, dacă I-- complex conjugatul unui produs este un produs al conjugatelor complexe. Și apoi, dacă anulez asta, pot obține asta. Deci este liniar în prima intrare, adică constantele tocmai ies. Dar dacă am o constantă în a doua-- sau un multiplu scalar în a doua intrare, atunci iese și asta, dar cu un conjugat complex peste el. Atât am vrut să spun. Așa că am spus că spațiile pre Hilbert sunt -- în mod natural, te gândești la ele ca spații normă în care norma provine din produsul interior. Aici, avem într-un produs. Unde este norma? Deci definiție. Dacă H este un spațiu pre-Hilbert cu produsul interior notat ca înainte, definim folosind acest lucru... Deci nu îl numesc încă o normă. Spun doar că definim această funcție pe H ca să fie într-un produs v cu el însuși ridicat la puterea 1/2. În cele din urmă sau într-un minut, vom arăta că aceasta este, de fapt, o normă. Dar deocamdată o voi numi această funcție pe H sau posibilă normă pe H. Bine, deci avem următoarea teoremă. Deci acest lucru este valabil în orice spațiu pre-Hilbert. Pentru tot u, v și H din spațiul pre-Hilbert, dacă iau valoarea absolută a produsului interior al lui u și v, aceasta este mai mică sau egală cu acest lucru cu aspect normal al lui u ori cel cu aspect normal al lui v. Deci aceasta nu ar trebui să fie o surpriză completă. Chiar în jos - dacă am lua H ca Rn, și deci acum acesta este un spațiu vectorial peste R, atunci și produsul interior ar fi doar produsul punctual. Aceasta afirmă inegalitatea Cauchy-Schwarz pe care o cunoști și o iubești de mai înainte. Deci care este dovada? Să lăsăm f of t norma pentru u plus t ori v. Așa că am spus normă, dar încă nu am dovedit că este o normă, așa că va trebui să ierți dacă o numesc în continuare normă, dar în sfârșitul este. Fie f din t acest lucru la pătrat, care, observăm, este un număr nenegativ. Deoarece produsul lui v cu v este un număr nenegativ care duce la puterea 1/2, deci acesta este u plus tv produsul interior u plus tv care este nenegativ. Acum, dacă calculăm toate acestea folosind modul în care funcționează liniaritatea pentru produsele interne, aceasta-- obțin u produsul interior u plus t pătrat v produsul interior v plus t ori produsul interior v plus t ori produsul interior al lui v cu u. Și acesta este conjugatul complex al acestui număr complex. Deci, permiteți-mi să rescriu doar acest lucru - u pătrat plus t pătrat sau v pătrat plus - deci din nou, acest număr este conjugatul complex al acestui număr. Și când adaug un număr complex la conjugatul său complex, primesc de două ori partea reală. 2t parte reală a u și v. Acum, acesta este doar un polinom cu un lucru nenegativ în fața lui t pătrat. Deci are un minim undeva. Și acest minim trebuie să fie nenegativ, deoarece această funcție este mai mare sau egală cu 0. Este mai mare sau egală cu 0, ar trebui să spun, doar ca o propoziție. Acum, unde apare acest minim? Se întâmplă acolo unde derivata este egală cu 0. Acum f prim al lui t atunci este egal cu 0 implică -- sau dacă și numai dacă t min este egal cu minus partea reală. Așa că vă voi lăsa acest calcul în seama dumneavoastră. Adică, acesta este doar un polinom. Luați derivata față de t și rezolvați pentru când aceasta este egală cu 0. Și, prin urmare, obțin că acest minim - deci f evaluat în acest punct este nenegativ, deci 0 este mai mic sau egal cu f din t min, care, atunci când introduceți asta aici, obțineți norma u pătrat minus partea reală a u v pătrat peste norma v pătrat. Și, prin urmare, partea reală a valorii absolute u, v-- deci aceasta-- toate acestea sunt mai mari sau egale cu 0. Deci, dacă mut acest lucru în acea parte și înmulțesc cu norma pătratului, iau rădăcina pătrată, eu înțeleg că aceasta este mai mică sau egală cu-- lasă-mă să pun a-- u times norm v. Deci asta este aproape ceea ce vreau. Vreau valoarea absolută a produsului interior cu u și v. Dar tot ce am este partea reală a produsului interior cu u și v. Deci, desigur, dacă produsul interior al lui u și v este 0, această inegalitate vreau să o fac. dovedirea este automată. De asemenea, dacă u sau v este 0, atunci această inegalitate pe care am vrut să o demonstrez este automată. Așa că de aceea mă ocup de fapt doar de cazul non-trivial. Deci, dacă acest produs interior este 0, atunci am terminat deja, deoarece partea dreaptă este nenegativă. Deci, să presupunem că acesta este diferit de zero, dar lambda este acest număr complex u, v produs interior conjugat complex peste valoarea absolută, atunci valoarea absolută a acestui număr complex este egală cu 1 deoarece valoarea absolută a conjugatului este egală cu valoarea absolută valoarea numărului complex original. Și lambda ori u, v, care este egal cu lambda. Așa că ar trebui să spun u, v, aceasta este egală cu lambda ori u, v, care este egal cu lambda u ori v. Acum, aceasta este egală cu aceasta și, prin urmare, este egală cu partea reală a acesteia. Deci, acesta este egal cu un număr real și, prin urmare, este egal cu partea lui reală. Am făcut un truc similar când vorbeam despre inegalitatea triunghiului pentru funcțiile integrale care acum iau valori și numărul complex - numere complexe. Deci, aceasta este egală cu partea reală a acesteia, care este mai mică sau egală cu... prin ceea ce am făcut aici, am demonstrat deja că această inegalitate este valabilă pentru fiecare u și v, deci este valabil și pentru lambda ori u ori v. Și acum-- atât de simplu în lateral, încât dacă iau lambda u, un produs interior cu lambda u, dacă iau 1/2 putere din asta, asta îmi dă această cantitate. Dar lasă-mă să calculez asta. Aceasta este egală cu... Lambda iese de aici. Și apoi conjugatul complex de lambda iese de acolo, și acesta este egal cu... dar acesta este egal cu 1. Deci vedem că acesta este egal cu acesta și, prin urmare, ridicarea lui la puterea 1/2 este egală cu... - această cantitate aici este egală cu această cantitate. Și am dovedit ce am vrut să facem. BINE. Și deci aceasta a fost o inegalitate Cauchy-Schwarz și un spațiu general pre-Hilbert cu această cantitate la care m-am referit drept normă, dar nu am demonstrat că este o normă încă. Data viitoare vom folosi inegalitatea Cauchy-Schwarz pentru a demonstra că, de fapt, acest lucru pe care îl mascaz într-o notație de normă este, de fapt, o normă pe un spațiu pre-Hilbert. Și de acolo, vom introduce spații Hilbert care sunt acele spații pre-Hilbert cu această normă care sunt de fapt complete. Și într-adevăr, pentru orice fel de-- deci pentru-- și vom demonstra acest lucru la un moment dat, există într-adevăr doar două tipuri de spații Hilbert rezonabile. Și vreau să spun asta într- un sens foarte puternic, nu într-un sens liber, că primul tip este doar de dimensiuni finite - așa că gândiți-vă la C ridicat la n. Deci n tupluri de numere complexe în care produsul interior este definibil într-un mod natural. Sau un mic L2 care este acestea-- acest set de secvențe care au o normă L2 mică finită. Acesta este practic singurul alt tip de spațiu Hilbert care există și voi spune ce vreau să spun prin asta. Cum va funcționa, practic, vom arăta că fiecare spațiu Hilbert separabil, ceea ce vreau să spun prin rezonabil, că cele mai rezonabile spații cu care lucrăm sunt separabile, adică au submulțime densă numărabilă, au o bază ortogonală numărabilă , care este ceea ce-- Baza ortonormală pe care nu am definit-o. Nu este o bază Hamel, dar servește același scop, ceea ce înseamnă că nu puteți scrie fiecare element ca o combinație liniară finită a bazei ortonormale, dar o puteți scrie ca o expansiune infinită în bază ortonormală. Gândiți-vă la seria Fourier. Și aceasta este ceea ce oferă această identificare a unui spațiu Hilbert separabil fie cu un C la n dacă această bază sau baza ortonormală este finită, fie L2 mic dacă această bază sau baza ortonormală este infinită numărabil. Și vom ajunge la asta, eventual, până la sfârșitul prelegerii următoare.