PROFESOR: Deci data trecută am introdus spațiile pre-Hilbert ca spații vectoriale care sunt echipate cu un produs interior hermitian. Produsul nostru interior hermitian este liniar. Deci, este o împerechere între două elemente care vă oferă un număr complex care este liniar în prima intrare. Și dacă schimbați intrările, aceasta este egală cu împerecherea celor două intrări originale, luând conjugatul complex al acesteia. Și este definit pozitiv, adică dacă iau produsul interior al unui vector cu el însuși, este nenegativ și 0 dacă și numai dacă elementul este zero. Și am demonstrat inegalitatea Cauchy-Schwarz. Deci, permiteți-mi să-mi amintesc de fapt că am definit dacă h este un spațiu pre-Hilbert. Am definit ceea ce am numit, sau folosind această notație de normă, deși nu am dovedit că este încă o normă care trebuie să fie produsul interior al lui v cu el însuși ridicat la puterea 1/2. Și acesta este un număr real nenegativ. Acesta este un număr nenegativ. Deci a lua 1/2 putere este semnificativă. Și am demonstrat la sfârșitul timpului trecut, inegalitatea Cauchy-Schwarz că, pentru toate u, v în H, dacă iau produsul interior al lui u și v, iau valoarea sa absolută, aceasta este mai mică sau egală cu norma de u ori norma de v. OK, deci acum să folosim asta pentru a demonstra sau pentru a demonstra că acest lucru pe care l-am desemnat cu această notație de normă este, de fapt, o normă pe un spațiu pre-Hilbert. Deci teorema H este un spațiu pre-Hilbert, atunci acest lucru aici definit în acest fel este normă pe h, OK. Așa că nu uitați, trebuie să dovedim două... sau trebuie să dovedim trei lucruri pentru ca ceva să fie o normă. Trebuie să dovedim că este o definiție pozitivă. Și atunci trebuie să dovedim și omogenitatea și inegalitatea triunghiului. Așadar, rețineți că această cantitate aici este egală cu 0 dacă și numai dacă produsul interior al lui v cu el însuși este zero, ceea ce prin cantitatea definită pozitivă a unui produs interior hermitian implică faptul că v este egal cu 0. Deci asta demonstrează că această funcție aici pe h este în fapt pozitiv definitiv. Acum, dacă lambda este un număr complex și v este în H, dacă iau -- așa că am cam văzut asta la demonstrarea inegalității Cauchy-Schwarz . Dar dacă iau lambda ori v și produsul interior lambda ori v, acesta este egal cu lambda ori lambda bar. Un scalar iese din prima intrare neabătut. Dacă un scalar este în a doua intrare, acesta iese cu un conjugat complex. Și apoi, desigur, de un număr complex de ori acest conjugat complex, obțin norma acelui sau lungimea acelui-- valoarea absolută a acelui număr complex la pătrat. Deci luând rădăcina pătrată a ambelor laturi ale acesteia, care este egală cu aceasta, obțin că această cantitate aici este egală cu valoarea absolută a lambda înmulțită cu această normă a lui v, ceea ce demonstrează omogenitatea acestei funcții pe h. OK, deci tot ce rămâne pentru a dovedi că aceasta este o normă reală-- deci nu trebuie să continui să fiu sau cel puțin să încerc să fiu atent cu ce cuvinte folosesc-- va dovedi că aceasta este o normă. OK, deci acum trebuie să demonstrăm inegalitatea triunghiului. Lăsați uv să fie în H, apoi calculez u plus v pătrat. Acesta este egal cu u plus v plus v, care este egal cu modul în care l-am calculat pentru când aveam o t aici și o t aici, când am făcut demonstrația inegalității Cauchy-Schwarz. Și vom folosi această identitate destul de des că norma u plus v pătrat este norma u pătrat plus norma b pătrat plus de 2 ori partea reală a lui u și v, partea reală a produsului interior al lui u și v. OK, acum aceasta este mai mică sau egală cu pătratul normal plus v pătrat plus valoarea absolută a părții reale. Acum, valoarea absolută a părții reale a unui număr complex este mai mică sau egală cu valoarea absolută a acelui număr complex. Deci aceasta este mai mică sau egală cu valoarea absolută a produsului interior al lui u și v. Și, de către Cauchy-Schwarz, aceasta este mai mică sau egală cu încă ceea ce am înainte plus de 2 ori produsul interior al lui u și v. Și eu lasă-mă să trec la următoarea tablă. Toată dovada este în esență făcută. Ceea ce aveam înainte este egal cu norma u plus v pătrat normal, adică, deci am început cu norma u plus v pătrat și am demonstrat că este mai mic sau egal cu acest lucru aici la pătrat. Deci, luând rădăcina pătrată a ambelor laturi, obțin că norma u plus v este mai mică sau egală cu norma u plus norma v. OK, deci acest lucru pe care l-am definit mai înainte este, de fapt, norma. Nu folosesc acea notație doar pentru a desemna un impostor. OK, acum folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz, putem demonstra și că luarea produsului interior este -- este o funcție pe h cruce h care este continuă, OK. Așa că permiteți-mi să etichetez acest lucru drept continuitate a produsului interior. Așa că permiteți-mi să o afirm după cum urmează. Dacă ne aflăm într-un spațiu Hilbert și un converge către u și vm converge către v într-un spațiu pre-Hilbert cu norma definită ca înainte - deci acum avem o normă pe un spațiu pre-Hilbert, deci putem defini convergența întrucât este un spațiu normal. Spațiul pre-Hilbert H cu norm this, apoi un, produsul interior vn converge către u produsul interior v. OK. În regulă, de ce este asta? Deci ultima dată în demonstrația anterioară, vreau să spun, nu am folosit cu adevărat întreaga putere a inegalității Cauchy-Schwarz . Am fi putut doar să ne descurcăm cu partea reală, demonstrând că partea reală a produsului interior este o valoare absolută mai mică sau egală cu produsul interior al-- sau produsul normelor lui u și v. Aici avem Voi folosi de fapt întreaga inegalitate Cauchy-Schwarz. Deci dovada este destul de simplă. Dacă un converge către u și vn converge către v-- adică, permiteți-mi să vă explic acest lucru-- un minus u converge către 0. Și norma vn minus v converge către 0. Pe măsură ce n converge către - pe măsură ce n merge la infinit, apoi vom folosi teorema de strângere pentru a arăta că această cantitate converge către u într-un produs cu uv. Deci trebuie să arăt că această cantitate aici... stai. Să nu pun asta. Nu suntem în 18100. De obicei, în 18100, când am început să predau teorema de strângere, am inclus întotdeauna limita inferioară. Dar ar trebui să fie clar că acesta este întotdeauna mai mare sau egal cu zero, deoarece este valoarea absolută a unui număr complex. OK, deci este egal cu un minus u, vn plus... să vedem. U, produs interior, vn minus v. Prin inegalitatea triunghiului acum, doar pentru modulul sau valoarea absolută a numerelor complexe, aceasta este mai mică sau egală cu un minus u, vn, plus-- aceasta este valoarea lui u, vn minus v Și aceasta este mai mică sau egală cu norma de inegalitate Cauchy-Schwarz a un minus u ori norma lui vn plus norma lui u ori norma lui vn minus v. Și acum vns sunt. Deci vn-urile converg spre v. Și, prin urmare, normele vn-urile converg către norma vn. Amintim că, dacă simplul fapt că vn converge la v, atunci norma lui vn converge la norma v, OK. În regulă. Și, din nou, așa că permiteți-mi să adaug-- deoarece se poate demonstra, așa cum faceți în analiza reală, următoarea inegalitate triunghiulară inversă, deoarece dacă am doi vectori v și h. Deci funcționează doar în orice spațiu Banach, nu neapărat un spațiu pre-Hilbert. Valoarea absolută a diferenței de norme este mai mică sau egală cu norma diferenței, OK. Deci aceasta este o succesiune convergentă de numere reale. Deci trebuie delimitat. Deci, pot spune că este mai mic sau egal cu ori sup de n. Sau să folosim o altă literă, k, ori plus norma lui vn minus v ori norma u. Acum, acesta este ceva care converge la 0 ori un număr fix. Acesta este ceva care converge la 0 ori un număr fix. Și, prin urmare, aceasta merge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Și, prin urmare, lucrul cu care am început, deci această cantitate de aici, o valoare absolută, este mai mică sau egală cu ceva care converge la zero. Și este, de asemenea, non-negativ. Prin urmare, înțeleg asta. Deci, aceasta este prin teorema de strângere, adică OK, deci în spațiul pre-Hilbert , putem defini o normă folosind produsul interior. Și acest produs interior este continuu în raport cu această normă, OK. Pentru că odată ce avem o normă, avem convergență. Deci putem vorbi despre... odată ce avem o normă, avem o noțiune de distanță, deci putem vorbi despre convergența secvențelor și lucruri de genul ăsta. Deci acum avem spații pre-Hilbert. Ce este un spațiu Hilbert? Acesta este pur și simplu un spațiu pre-Hilbert care este complet în raport cu această normă. Deci, un spațiu Hilbert, H, este un spațiu pre-Hilbert, care este complet în raport cu norma, în raport cu această normă, care din nou amintesc că a fost definită ca... Am luat un vector. Norma unui vector aici este egală cu produsul interior al vectorului cu el însuși ridicat la puterea 1/2. Bine, deci aceasta este noua terminologie. Și după cum vom vedea, sau cel puțin vom explica în mod explicit sub forma unei teoreme, dar vom vedea probabil până la sfârșitul acestei prelegeri că într-adevăr există... pentru un spațiu Hilbert rezonabil, fie unul din două lucruri. Deci, permiteți-mi să dau mai întâi exemplele, exemplele de bază ale spațiului Hilbert. Deci, de exemplu, Cn care este un set de N-tupluri. Cum notez asta? Numere complexe în care produsul interior a doi vectori, z și w, este egal cu suma j este egală cu 1 cu n, zj, wj. BINE. Deci acesta este un exemplu de spațiu Hilbert, unul cu dimensiuni finite, adică este un spațiu vectorial de dimensiune finită. Celălalt exemplu pe care îl avem este acest spațiu, micul l, la care acesta a fost spațiul secvențelor astfel încât fiecare dintre acestea să fie un număr complex. Și această serie este convergentă, este finită. Suma valorii absolute a pătratelor ak, acesta este și un spațiu Hilbert cu care este produsul interior a două elemente de mic l2. Aceasta este suma de la un plus 1 la infinit de ak, bk. BINE. În regulă. Deci acest lucru este destul de clar. Dar rețineți că norma pe care o obțin de la acest produs interior, aceasta este pur și simplu... care a fost o mică normă l2, nu? BINE. Deci acestea sunt două exemple de bază ale unui spațiu Hilbert. Vom arăta de fapt că fiecare spațiu Hilbert separabil poate fi într-un produs interior. Și, prin urmare, modalitatea de păstrare a lungimii -- așa că de obicei se numește o formă de izomorfism -- poate fi mapată izometric fie la Cn, fie la micul l2. Deci, aceste două tipuri de kof-- dacă cineva dorește să clasifice toate spațiile Hilbert posibile până la spații Hilbert separabile, care sunt singurele rezonabile , desigur, se pot găsi exemple sălbatice de spații Hilbert care nu sunt . Atunci acestea sunt singurele două... Nu ar trebui să spun două pentru că aceasta este indexată după dimensiunea sa. Dar acestea sunt singurele două tipuri pe care le găsiți, fie un Cn dimensional finit, fie este izometric la mic l2, OK. Deci, dar voi scrie încă un exemplu pentru-- deoarece am trecut la toată această muncă, dacă E este o submulțime măsurabilă a lui r și l2 al lui e, marele L2 al lui e, care, amintiți-vă, acesta a fost spațiul funcțiilor măsurabile f de la e la c astfel încât f pătratul e este finit. Acesta este un spațiu Hilbert. Care este produsul interior? Produsul interior a două elemente din L2 definește v, doar analogul micului l2 unde înlocuim suma cu o integrală, f ori g, OK, integrala Lesbesgue a lui f ori conjugatul complex al lui g. OK, acum am notat majuscula L2. Am notat putin l2. Dar ce zici de celelalte spații LP mici și LP mari sau oricare dintre acele spații Hilbert? Deci, bineînțeles, dacă definesc produsul interior în acest fel, așa cum am făcut înainte, atunci asta induce doar norma L2 mică și L2 mare. Dar există vreun alt tip de produs interior magic pe care să-l pot pune pe LP mic sau LP mare, astfel încât să scot norma LP mică sau LP mare , atunci când definesc norma în funcție de cum m-am descurcat? aceasta. Deci, întrebarea de față este -- celelalte spații mici lp sau mari LP , de asemenea, spații Hilbert. În regulă, deci din nou este clar că dacă ar fi să definesc produsul interior așa cum am făcut-o în cele două exemple, atunci doar asta va da norma l2. Întreb acum, există vreun produs interior magic pe care să-l pot defini pe aceste spații care scuipă norma LP mică sau LP mare? Deci răspunsul este nu. Și există, de fapt, o modalitate de a determina dacă un spațiu este sau nu un spațiu Hilbert, deoarece dacă te gândești la asta, așa cum am ajuns să introducem ce este un spațiu pre-Hilbert și un spațiu Hilbert, am avut mai întâi un norma în mâna noastră. Și apoi am defini un produs interior. Ei bine, dacă așa îți construiești spațiul, atunci știi automat că este un spațiu Hilbert pentru că ai avut mai întâi un produs interior și apoi ai definit norma în al doilea rând. Să presupunem că datele pe care vi le furnizați sunt o normă pentru un spațiu. Când poți determina dacă acea normă provine dintr-un produs interior? Aceasta este întrebarea care stă la baza acestei întrebări pe care am scris-o pe tablă. Dacă am un spațiu de normă... în regulă, deci datele mele inițiale sunt norma. Când pot spune că acea normă vine dintr-un produs interior? Și așa vei demonstra acest lucru practic prin calcul direct. Și aceasta este următoarea lege a paralelogramului, care este următoarea. Dacă H este un spațiu pre-Hilbert , atunci pentru toate uv din H, dacă iau norma u plus v pătrat și adun norma u minus v pătrat, aceasta este egală cu dublul normei u pătrat plus norma de v pătrat. Deci aceasta este o condiție care este enunțată pur în termeni de normă. Mai mult, dacă h este o stea care satisface spațiul normal, atunci h este un spațiu pre-Hilbert. OK, cu alte cuvinte, deși se pare că inițial am definit spațiile Hilbert sau spațiile pre-Hilbert în termeni de produs interior, de fapt, puteți spune că un spațiu normă este un spațiu pre-Hilbert dacă și numai dacă îndeplinește această lege a paralelogramului . Deci, dacă aveți pe mâini, doar norma, atunci atâta timp cât acea normă satisface această identitate, acea normă poate fi derivată dintr-un produs interior. Deci, folosind această teoremă, puteți verifica dacă răspunsul este doar pentru oameni să-- cu alte cuvinte, dacă puteți veni cu u și v, astfel încât această inegalitate să nu fie satisfăcută atunci când p nu este egal cu 2. OK. OK, deci acum avem noțiunea de spațiu Hilbert în care această normă dată în termeni de produs interior, acest spațiu este complet. Acum, avem un produs interior, așa că putem începe să vorbim despre vectori care sunt ortogonali cu alți vectori sau mulțimi ortonormale, ceea ce când am început să predau despre aceste lucruri, deja folosim terminologia, acest lucru fiind ortogonal cu acest lucru sau ceva de genul ăsta. ca asta. Dar, desigur, dacă nu vă amintiți ce înseamnă acele cuvinte din algebra liniară, vă voi aminti rapid. Deci să presupunem că suntem într- un spațiu pre-Hilbert. Spunem că două elemente, u și v, sunt ortogonale, dacă produsul lor interior este zero. Dacă în loc să spun ortogonal, vreau să scriu asta în cuvinte, voi scrie u per v, OK. Deci tot H va fi... ei bine, un spațiu pre-Hilbert dacă nu îl scriu de fapt. Dacă h este un spațiu pre-Hilbert , un subset, pe care îl voi desemna prin lambda, lambda și capital lambda, deci doar un subset indexat de un set de indexare capital lambda. Spunem că această mulțime este ortonormală dacă pentru toate lambda fiecare dintre acești vectori din submulțime are lungimea unitară. Și am nevoie de două elemente indexate diferite, implică faptul că sunt ortogonale. BINE. Deci, poate această notație te sperie pentru că ce este acest set de indexare? De obicei folosim doar numărul natural. Deci, permiteți-mi doar să fac această remarcă, deși, voi face câteva remarci în general despre mulțimile ortonormale care nu sunt neapărat indexate de numerele naturale vor fi interesate în principal de o mulțime finită sau de o mulțime infinită numărabil. Bine, așa că, deși un submult ortonormal de Hs ar putea fi un tip foarte nebun de submult, în principal ne vom interesa doar de mulțimi ortonormale finite sau numărabile, numărabil infinite . Deci care sunt câteva exemple? OK, deci cele mai simple exemple dacă-- deci acesta este un exemplu de set de ortonormale-- sau un subset ortonormal de c2. Sau acesta este un 1. Acesta este, de asemenea, un exemplu de submulțime ortonormală a lui c3, să spunem, folosind notația de mai înainte. Dacă notez cu e sub n, aceasta este secvența constând din zerouri până când lovesc punctul final și apoi 0 și intrarea, care este un element de mic l2, atunci acesta este un subset ortonormal al l2, OK. Un alt exemplu este: Să ne uităm la funcțiile 1 peste rădăcina pătrată de 2pi ori e la i și x. Și să ne gândim la acestea ca elemente de l2 minus pi la pi. Atunci acesta este un subset ortonormal de... Aș putea scrie O-N în loc să scriu ortonormal, dar acesta este un subset ortonormal al L2. Dacă iau produsul interior al doi dintre acești tipi, am... să presupunem că mă uit doar la doi diferiți. să presupunem că m nu este egal cu n, deci atunci iau produsul interior al lui imx cu produsul interior al lui inx, conjugat complex. Deci, acesta este produsul interior pe L2 mare, iar acesta este egal cu 1 peste 2 pi ori minus pi la pi. Acum, dacă m este egal cu n, obțin doar lungimea lui e la i, nmx pătrat. Lungimea lui e la i, mx este 1. Și, prin urmare, aș obține doar 1 aici, dx peste 2 pi, ceea ce îmi dă 1. Dar acum nu sunt egali. Deci ajung e la i, m minus nx, dx. Și acum integrala acestei creaturi - deci aici e la i, să presupunem că a trebuit să vin cu un e la i y atunci când y este un număr real, acesta este prin definiție cosinusul lui y plus i sinus y. Acum puteți verifica că teorema fundamentală a calculului este încă valabilă pentru e la i, m minus n peste x Și aceasta este egală cu im minus nx peste i ori m minus n. Și e la i, m minus n ori x este 2 pi periodic. Deci, când îl evaluez la minus pi, primesc aceeași valoare, dacă am evaluat la pi. Deci, acesta este egal cu 0. OK. Deci, acesta este un subset ortonormal al L2 mare. Deci această colecție de vectori-- și le numesc vectori, dar această colecție de elemente în L2 mare este încă numărabilă, chiar dacă o indexez după numere întregi, mai degrabă decât după numere naturale. OK, deci avem următoarele. Acum, cea mai mare parte a ceea ce voi spune în ceea ce privește submulțimile numărabile de-- așa că seturile ortonormale numărabile continuă să ajungă la mulțimi ortonormale posibil nenumărate, unde acum trebuie definită într-un mod precis o sumă infinită peste un număr nenumărat de elemente . Dar mă voi menține în mare parte la cazul numărabil și, dacă sunteți interesat, puteți oricând să căutați lucrurile astea. Așa că ar trebui să spun -- ceea ce nu am spus este că dacă spațiile lp, să spunem peste un interval ab sau peste r, sunt sau nu separabile sau chiar peste a-- sau chiar peste a-- deci să rămânem fie la un interval închis și mărginit, fie la r. Acum, de ce sunt aceste spații separabile, adică au o submulțime densă numărabil, deci incluzând L2 mare? Motivul este următorul, deci ceea ce ați dovedit în sarcină este că funcțiile continue sunt dense și LP mici și mari pentru p între p egal cu 1 la infinit, strict mai mic decât infinit. Bine, nu sunt dense în l infinit. Deci, atâta timp cât stai departe de asta, sunt dense, OK. Deci funcțiile continue sunt dense în lp. Acum, care este o modalitate de a aproxima o funcție continuă? Revenind la clasa de analiză introductivă, sperăm că ați acoperit ceea ce se numește teorema de aproximare Weierstrauss, care spune că pentru fiecare funcție continuă, o puteți aproxima uniform pe interval printr-un polinom, OK. Deci asta arată că polinoamele sunt dense și toate spațiile lp, desigur, nu l infinit. Acum, cum se trece de la setul de polinoame, care este nenumărabil, la un număr, care este dens în LP, dar este nenumărabil la un submult dens numărabil, care este dens în LP. Faceți totul rațional. OK, mulțimea de polinoame cu coeficienți raționali este, de fapt, numărabilă. Și puteți aproxima fiecare polinom cu coeficienți reali pe un interval închis și mărginit printr-un polinom cu coeficienți raționali. Nu este prea greu de crezut. Și, prin urmare, polinoamele cu coeficienți raționali sunt dense în spațiile lp atâta timp cât eu nu sunt în l infinit. Și, prin urmare, toate spațiile lp sunt separabile. În regulă, acum micile spații lp sunt și ele separabile pentru că, cu excepția infinitului L, care nu este separabil-- pentru că, în primul rând, o submulțime densă a, să spunem, micul l2 -- să clarificăm lucrurile -- este subspațiu format din toate secvențele, care se termină după o anumită intrare. Cu alte cuvinte, este 0 după aceea, OK. Convinge-te că acest subspațiu al tuturor secvențelor terminate finit, acesta este dens în puțin lp pentru fiecare - pentru p între unu și infinit, nu este egal cu infinit. Deci secvențele de terminare finită sunt dense și puțin lp. Din păcate, acesta este, din nou, un nenumărabil... Adică, este un subspațiu. Deci va fi de nenumărat. Deci, cum obțin din nou un lucru numărabil? Înlocuiesc totul cu numere raționale. Deci, dacă pot aproxima fiecare succesiune care se termină după un anumit punct constând din numere reale printr-o secvență plină de doar raționale care se termină după un anumit punct, alegând doar raționalele foarte apropiate de acele numere reale. Și nu am spus asta explicit acum un minut că încă mai avem densitatea raționalelor și a realului. Pentru fiecare real, pot găsi un rațional foarte apropiat de el. Deci aceasta este o gândire care continuă. Dar acum mulțimea tuturor secvențelor finite cu coeficienți raționali. Acesta este un set numărabil. Și acel set numărabil este dens în lp puțin. Și, prin urmare, puțin lp este separabil atâta timp cât p este între 1 și infinit, excluzând infinitul. OK, așa că am spus la început că vom fi interesați în principal de spațiile separabile fără a spune de fapt de ce lp mic sau l2 mic și L2 mare sunt separabile. Dar tocmai ți-am dat argumentul din gură în gură acum, în loc să- l notez. OK, deci avem următoarea egalitate de inegalități a lui Bessel pentru submulțimile ortonormale numărabile. Deci, dacă n este... ei bine, lasă-mă să pun n aici. Dacă acesta este un numărabil, adică este fie finit, fie este numărabil infinit, atunci când este un subset ortonormal numărabil al unui spațiu pre-Hilbert, h și pentru toate u [? ro ?] h, dacă mă uit la suma pătratelor u dintr-un produs e sub n, aceasta este mai mică sau egală cu norma u pătratului, OK. Deci discuția noastră aici despre submulțimile ortonormale are loc într- un spațiu pre-Hilbert. Nu avem nevoie de spații Hilbert pentru a vorbi despre aceste concepte. Da, dar când suntem într-un spațiu Hilbert și avem o anumită sau o submulțime normală, ar fi important să fim într-un spațiu Hilbert. OK, deci dovada este... să facem mai întâi cazul finit. Deci, să presupunem că am o colecție finită de ortonormale sau o submulțime ortonormală finită de h sau o colecție finită -- sau adesea voi spune o colecție finită a tuturor vectorilor normali din h. Și subsetul de h in on, înlocuind ortonormal. Atunci permiteți-mi să înregistrez doar câteva identități, care sunt destul de ușor de verificat, suma de la n este egală cu 1 la n din u produs interior en, en. Dacă iau norma acestui lucru la pătrat... hai să calculăm asta. Acesta este produsul interior al, înțelegând că n trece de la 1 la N capital. Să folosim un indice diferit aici. Și acesta este egal cu nmuen. Acum am această sumă aici de-- oh, opresc din u, vm, conjugatul complex înmulțit cu produsul interior al lui en cu em. Aceștia sunt cei doi vectori care iau conjugatul complex al. Acesta este un număr aici. Pur și simplu iese. Acest număr de aici este lovit de un conjugat complex atunci când iese. Acum produsul interior al lui en cu em este 0. Când n nu este egal cu m, este egal cu 1 deoarece este egal cu norma lui en pătrat când n este egal cu m. Deci tot ceea ce iau din această sumă dublă, care este doar o sumă dublă finită, este atunci când n este egal cu m și n mergând de la 1 la n. Și, prin urmare, acesta este egal cu uen pătrat, OK. Și asta e o formulă pe care vreau să o am. Un altul este că dacă iau produsul interior al lui u cu m este egal cu 1 la n al sumei. Și poate recunoașteți care este de fapt această sumă de aici. O să spun într-un minut. Deci, aceasta este egală cu suma de la n este egală cu 1 la n din - deci u produsul interior e sub n ori acest număr. Acest număr iese și îmi dă un conjugat complex. BINE. Și, prin urmare, zero, care este mai mare sau egal cu norma u minus n, este egal cu 1 la n din uen, en. Acum, dacă vă amintiți din algebră liniară sau din calcul că, dacă am vectori ortonormali și am un vector u, această cantitate nu este altceva decât proiecția lui u pe intervalul acelor vectori ortonormali. Deci, ceea ce mă uit aici este, dacă doriți, partea normală a u care este ortogonală cu acești vectori finiți. OK, deci chestia asta este mai mare sau egală cu zero. Folosim acea formulă despre cum să calculăm norma a ceva plus ceva. Și aceasta este egală cu norma u pătrat plus norma n este egală cu 1 la nuen, en pătrat minus de 2 ori partea reală a u produs interior suma din n este egală cu 1 la n din uen, en. Bine, iar acum știm care sunt toate aceste lucruri. Aceasta este egală cu... nici măcar nu voi trece peste... aceasta este egală cu această cantitate aici, la fel ca și acest produs interior. E egal cu chestia asta aici. Deci partea reală este egală cu acest lucru aici, deoarece acesta este un număr real. Deoarece acesta vine cu un 2, anulez unul dintre acestea. Așadar, obțin norma u pătrat minus suma de la n egal cu 1 la n din u, en pătrat, care este exact ceea ce am vrut să demonstrez pentru cazul finit. Dar cazul infinit decurge atunci din cazul finit. Și lăsând capitalul N să meargă la infinit - deci un caz infinit, să presupunem că en este egal cu 1 până la infinit este o submulțime normală ortonormală a lui H, atunci știm că pentru tot N, capital N, avem acea sumă peste n este egală cu 1 până la n din uen. Aceasta este mai mică sau egală cu norma u pătratul. Așadar, pot trimite capitalul N la infinit pentru a obține că suma este egală cu 1 la infinit de norma un pătrat este mai mică sau egală cu norma u pătrat. BINE. BINE. Deci, submulțimile ortonormale le putem defini ca o colecție de vectori care au lungimea unitară și sunt reciproc ortogonali unul față de celălalt. Acum, doar submulțimi ortonormale -- orice submulțime ortonormală veche nu este cu adevărat cel mai util lucru, dacă încercăm să studiem întregul spațiu Hilbert sau pre-Hilbert h, pentru că s- ar putea să pierdem ceva dacă omitem anumiți vectori ortonromici. Dar un set ortonormal de tip mai util este un set ortonormal maxim, care este definit după cum urmează, un submult ortonormal e lambda, lambda și lambda capitală a unui spațiu pre-Hilbert H este maxim. Deci, din nou, dacă o colecție posibil de nenumărat de submulțimi ortonormale indexate de un set de indexare vă face inconfortabil, înlocuiți-l cu n, unde in trece de la 1 la N majuscul sau n trece de la 1 la infinit, deci o colecție numărabilă, dacă iti place. Dar spun asta ca să știi că ceva mai general este adevărat. Deci, acesta este maxim dacă ce? Următoarele sunt valabile. Dacă u este un h și u este ortogonal cu tot ce se află în această submulțime ortonormală, aceasta înseamnă că u este 0. OK. Deci, un exemplu, desigur, este că puteți verifica dacă această colecție aici este submulțimea ortonormală maximă a lui c2, un non-exemplu. Poate îl vedeți venind, cel pe care l-am avut acum un minut. Acest lucru nu este maxim, deoarece există un vector care are produsul interior zero cu ambele, dar nu este zero, deoarece acesta ar trebui să fie c3. Scrieți-l vag în acest fel, deoarece acest vector 010 este ortogonal cu ambele, dar nu este 0. Maximal înseamnă că dacă sunteți ortogonal cu tot ce este în colecția dvs., atunci trebuie să fie zero. Dar acesta este diferit de zero și este ortogonal cu tot cu acești doi vectori de acolo. Un alt exemplu este, din nou, cu notația de mai înainte. Aici este secvența care este 0, cu excepția punctului final unde este 1. Acesta este submulțimea ortonormală maximă a micului l2. BINE. Acum, ceea ce vom vedea foarte curând este că, dacă avem o submulțime maximă numărabil infinită a unui spațiu Hilbert, atunci acea mulțime servește cam același scop ca bază ca și o bază ortonormală în algebra liniară. Adică, dacă te uiți aici, deja acest set ortonormal este maxim. Și formează și baza pentru c2. Acest lucru nu a fost maxim. Și vezi că nu formează o bază pentru c3. Deci maximal ne va da o condiție, care este la fel de utilă ca și o bază. Dar nu va fi o bază Hamel. Aceste submulțimi nu vor fi o bază Hamel în sensul că fiecare vector poate fi scris ca o combinație liniară finită a elementelor unei submulțimi ortonormale maxime. Dar ceea ce este adevărat este că o putem scrie ca posibil o sumă infinită care implică submulțimea normală ortonormală maximă, care este, în cele mai multe cazuri, la fel de bună dacă doriți să utilizați asta, bine. OK, deci în primul rând, când... fiecare spațiu pre-Hilbert are un maxim, un subset? Așa că permiteți-mi să afirm asta ca o teoremă. De fapt, voi spune două teoreme. Primul este fiecare - ar trebui să spun non-trivial pentru că am putea avea spațiul Hilbert - acesta să fie vectorul 0, spațiul pre-Hilbert ca submulțime ortonormală maximă. Indiferent dacă este separabil sau nu, are un subset ortonormal maxim. Și felul în care dovezi că asta folosește... așa că nu am de gând să dau o dovadă în acest sens, o să-ți dau o dovadă a ceva mai puțin puternic, dar cam la fel de util pe cât vom avea nevoie. Se dovedește acest lucru folosind Lema lui Zorn, luând un set, setul tău pe care îl vei pune o ordine parțială să fie colecțiile de bază ortonormală, sau nu baza ortonormală, max de submulțimi ortonormale și apoi ordonate după includere. Și apoi se poate face un argument Lema lui Zorn și se poate aplica Lema lui Zorn pentru a obține o submulțime normală ortonormală maximă . Dar asta e un fel de mână. Și poate că asta te sperie puțin pentru că Lema lui Zorn este echivalentă cu axioma alegerii. Deci, dacă nu vă place să utilizați axioma de alegere, poate aveți o problemă cu utilizarea ei pentru a construi un subset ortonormal maxim al unui pre-Hilbert. Dar putem face acest lucru manual, dacă spațiul Hilbert este separabil. Deci, aceasta este o teoremă pe care o vom demonstra de fapt fiecare separabil netrivial, adică spațiul pre-Hilbert are o submulțime densă numărabil. Fiecare spațiu pre-Hilbert separabil netrivial ca submulțime ortonormală maximă numărabilă, OK, care, așa cum am spus, acestea sunt principalele tipuri de submulțimi ortonormale de care ne vom interesa doar pentru că definirea sumelor infinite este mai ușor de făcut peste un indice numărabil. decât este un indice de nenumărat. Dar oricum, așa că vom demonstra și vom construi efectiv acest lucru în mod esențial manual, folosind procesul care este numele acestei mici secțiuni, procesul Gram-Schmidt. Deci, dacă vă amintiți din algebra liniară, dacă aveți o colecție de vectori, puteți găsi întotdeauna o colecție ortonormală de vectori care acoperă spațiul vectorial care este acoperit de setul original de vectori. BINE. Și asta vom face. Deci, deoarece H este separabil, să fie o submulțime densă numărabilă a lui H. Și acesta este un spațiu pre-Hilbert non-trivial. Deci ne putem asigura întotdeauna că primul este un vector diferit de zero. BINE. Deci știi ce înseamnă numărabil? Dens, amintiți-vă, înseamnă că pentru orice element din h există un element din această secvență sau din această colecție, care se află în epsilonul acelui vector din H. Deci acum voi face următoarea afirmație. Acesta este în esență procesul Gram-Schmidt, pe care îl vom demonstra prin inducție. Pentru tot n, număr natural, există un alt număr natural întreg m al lui n și o submulțime ortonormală e1 la em astfel încât următoarele sunt adevărate. Mai întâi este intervalul de la e1 până la em din n este egal cu intervalul de la v1 până la vn. Și așa vezi că n se schimbă. Deci, poate pentru fiecare dată când schimb n, primesc un subset ortonormal diferit sau un subset ortonormal extrem de diferit de întregul de dinainte. Deci proprietatea acestor submulțimi este că adaug pur și simplu un vector sau nu. Și e1 până la em din n, deci această colecție este egală cu colecția anterioară, unind fie mulțimea goală dacă vn este în intervalul de la 1 până la vn minus 1 și un vector nou e din m sub n. Și vă spun ce este em din m sub n altfel. OK, deci ceea ce spun aici este că am această listă infinită numărabilă de vs. Și pentru fiecare n, pot veni cu o submulțime ortonormală finită care se întinde pe același interval ca v1 până la vn. Și în fiecare etapă, tot ce fac este să adaug un vector sau nu, în funcție de dacă următorul v este sau nu în intervalul precedentului. OK, sper că este clar. OK, așa că am demonstrat asta prin inducție. Deci dovada revendicării, aceasta este prin inducție. Deci, să facem cazul de bază n este egal cu 1. Considerăm că e1 este e1 pe lungimea lui v. În regulă. Deci acum am început. Acum avem primul nostru vector din această listă pe care o construim, pas inductiv. Deci, să numim asta, ceea ce vreau să demonstrez, vedetă. Deci, să presupunem că stelele sunt valabile pentru a-- deci toată această afirmație aici, nu ar trebui să spun doar a și b, dar întreaga revendicare este valabilă pentru n egal cu k. Și acum vreau să demonstrez că este valabil pentru n egal cu k plus 1. Deci vreau să-- ce fel de vector trebuie să adaug la colecția anterioară de vectori pentru a acoperi acum v1 până la vk plus 1? BINE. Deci, dacă vk plus 1 este în intervalul de la v1 până la vk, atunci e1 până la em din k - ar trebui să spun că intervalul acestor vectori - este egal cu intervalul de la v1 până la vk este egal, deoarece vk plus 1 este în acest interval . Acest interval este, de asemenea, egal cu vk plus 1. OK și, prin urmare, acest caz este tratat. Și suntem în acest loc în care nu adăugăm nimic la colecția anterioară, OK. Acest lucru demonstrează ceea ce am vrut pentru n este egal cu k plus 1, fără a adăuga nimic. Deci, acesta a fost în cazul în care vk plus 1 este în intervalul de la v1 până la vk. Deci, acum să facem cazul mai interesant al v1 nu este egal sau nu în intervalul de la v1 până la vk. Deci acum să presupunem că vk plus 1 nu este în intervalul de la v1 la vk. Eu definesc wk plus 1 ca fiind vk plus 1 minus proiecția sa pe lista anterioară de vectori ortonormali. Deci suma din j este egală cu 1 m din k va fi k plus 1 ej, ej. Apoi, mai întâi rețineți că acest vector nu poate fi - deci wk plus 1 acest vector nu poate fi zero. În caz contrar, aceasta ar implica că vk plus 1 este egal cu această cantitate aici. Prin urmare, vk plus 1 se află în intervalul ejs pentru j între unul dintre 1 și imps de k, care este egal cu intervalul vjs pentru 1 până la k. Dar presupunem că acest lucru nu este în intervalul de timp. Ar trebui să spun că aceasta este egală cu intervalul de la e1 până la em sub k. Asta presupunem. Asta e ipoteza inductivă, nu? Deci, acest vector nu este egal cu 0. Și definiți e n sub k plus 1 sau m ca fiind vectorul wk pe lungimea sa pentru plus 1. Acum, acesta este un vector unitar. Si ce? Și dacă iau-- așa că acum susțin că acest lucru este ortogonal la e1 până la e din m sub k. Dacă iau emk plus 1 produs interior e sub n sub j-- acesta este egal cu, pur și simplu prin definiție, 1 peste lungimea mk plus 1 ori produsul interior al lui vk plus 1, minus suma de la j este egală cu 1 la m sub k. Așa că nu uitați, aceasta ar trebui să fie proiecția pe e1 până la em sub k. Și vk plus 1 minus care ar trebui să fie ortogonal cu acei tipi. Așa că vom vedea că acesta ajunge să fie 0. Și permiteți-mi să schimb acest j cu un l, deoarece sunt... sau nu. Și obțin 1 în timp suma, ori vk plus 1, e sub l, minus acum e sub l produsul interior cu suma. Acum, aceasta este suma de la j este egală cu 1 la m sub k a acestui număr de aici înmulțit cu produsul interior al e sub j produsul interior e sub l. Acum, produsul interior al lui e sub j și e sub l este zero, cu excepția cazului în care j este egal și 1 dacă j este egal cu l. Deci, iau doar j e egală cu l parte a acestei sume atunci când acest produs interior lovește e sub l. În special, iau doar coeficientul din față, deoarece acestea au lungimea unitară. Deci primesc v sub k plus 1, v sub l este egal cu 0. Atunci tipul ăsta acum o face. Slujba. Așa că aș mai scrie puțin, dar am puțin timp. BINE. Așa că am dovedit afirmația. Și acum să folosim asta pentru a concluziona că această colecție a tuturor acestor elemente este maximă. Deci lăsăm s să fie v sub n. Și s este o submulțime ortonormală a lui H. Așa că s-ar putea să nu mai adaug niciun vector după un anumit punct și, prin urmare, am doar o colecție finită. Este posibil și asta. Dar s-ar putea să am și o colecție infinit infinit. Deci acesta este un set ortonormal de v. Și așa arătăm acum că x este maxim, OK. În regulă. Deci nu am folosit nimic despre natura acestui subset de H. Tot ce vedem este că este numărabil. Deci am putea face acest lucru pas cu pas, în care construim acești vectori ortonormali care se întind pe fiecare finit - egal cu intervalul fiecărei colecții finite de vectori. Acum, pentru a arăta că este maxim, aici folosim faptul că această colecție de vs au fost dense sau sunt dense în h. Deci, să presupunem că u este în H și pentru tot l, u din e sub l este egal cu 0. Deci aceasta este fie o mulțime finită. Deci l este între 1 și n. Sau este un set numărabil, iar l merge de la 1 la infinit. Fie acesta este egal cu e1 până la e m sub n pentru unele n. Sau e1 este infinit infinit? BINE. Deci, deoarece vj-- acesta este un subset dens de h-- putem găsi o secvență de elemente din această colecție. Deci v din j sub k, k este egal cu 1 la infinit, astfel încât vj din k converge către u pe măsură ce k merge la infinit. OK, acum, după proprietatea a, faptul că acest interval este egal cu acel interval, v din j sub k este în intervalul de la e1 până la em din j sub k. Și prin urmare, prin inegalitatea lui Bessel și prin faptul că u este ortogonal cu toți acești vectori ortonormali, obțin că v din j sub k pătrat - acum v sub j din k, acesta este în acest interval. Deci, puteți arăta că, de fapt, această normă este de fapt egală cu suma coeficienților pe care îi obțin din luarea produsului interior al... OK, dacă am un vector în intervalul unei colecții de vectori ortonormali, un colecție finită a tuturor vectorilor normali, atunci norma pătratului este egală cu suma coeficienților, la fel ca un rn. Și din moment ce u este ortogonal cu fiecare dintre acestea, acest lucru îl pot scrie ca... Și prin inegalitatea lui Bessel, aceasta este mai mică sau egală cu - suma acestor lucruri la pătrat este mai mică sau egală cu pătratul și aceasta ajunge la 0 pe măsură ce k merge la infinit, deoarece v din j sub k este convertit în u. Dar am început cu norma e a lui j sub k, care implică zero. Și, prin urmare, u, care este limita acestora, trebuie să fie zero, demonstrând că aceasta este o submulțime maximă. BINE. Deci data viitoare vom demonstra că aceste submulțimi ortonormale maxime numărabile , de fapt, formează un analog destul de bun de bază pe care îl găsiți în algebra liniară cu dimensiuni finite. Și ne vom opri acolo.