[SCRÂȘIT] [FOUȘT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Ultima prelegere, am introdus noțiunea de limită a unei funcții pe măsură ce x merge la c, pe care o scriem limită x săgeată c, f de x este egal cu L. Ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că pentru toți epsiloni pozitivi, există un delta pozitiv, astfel încât pentru tot x din S care satisface 0 este mai mic decât x minus c este mai mic decât delta, avem că f din x minus L este mai mic decât epsilon. Și am demonstrat următoarea teoremă data trecută, că, dacă avem o mulțime, un punct de grup al lui S-- deci aici ne uităm la limite și f ca o funcție de la S la R-- atunci limita ca x merge la c de f de x este egal cu L dacă și numai dacă pentru fiecare șir x sub n care converge către c, avem f de x n, noua secvență, converge către L. Deci această teoremă conectează aici limitele funcțiilor de ceea ce am făcut anterior, limitele de secvente. Acum, folosind această teoremă, vom obține analogi ale teoremelor pe care le-am demonstrat pentru secvențe, dar acum pentru limite. Mai întâi, permiteți-mi să arăt câteva aplicații simple ale acestei teoreme. Deci, de exemplu, am putea demonstra următoarele - că pentru tot c din R, limita ca x ajunge la c de x pătrat este egală cu c pătrat. Deci am fi putut face acest lucru folosind doar definiția, dar acum, cu această teoremă, o putem demonstra puțin mai rapid și mai ușor, pentru că în esență am făcut toată munca grea când am demonstrat că produsul a două secvențe convergente este convergent, ceea ce este ceea ce vom folosi aici. Deci vom demonstra această teoremă folosind teorema anterioară. Deci, fie x n-- deci pentru această teoremă, deoarece nu este menționată, ar trebui să considerați că funcția este f de x egal cu x pătrat. Și atunci mulțimea care este definită pe S este egală cu R Deci fie x n o secvență astfel încât x n converge către c pe măsură ce n merge la infinit. Acum dorim să arătăm că f din x n converge către f din c, unde f din x este egal cu x pătrat. Dar acest lucru rezultă din ceea ce am dovedit pentru limite. Deci am demonstrat că produsul a două secvențe convergente este convergent. Prin teorema anterioară despre produsul secvențelor convergente, obținem că x n pătrat converge la c pătrat, ceea ce implică -- așa că am verificat acum pentru fiecare succesiune care converge către c, f din x n, adică x n pătrat, converge către c pătrat. Și, prin urmare, prin teorema anterioară, am demonstrat afirmația. Deci acum să folosim acest termen pentru a studia încă câteva limite. Și folosim această teoremă, de fapt, pentru a arăta că o anumită limită nu există. Deci limita pe măsură ce x ajunge la 0 al sinusului 1 peste x-- această limită nu există. Deci, amintiți-vă pentru o limită, mă uit la toate acele puncte x care sunt aproape de c, dar nu egale cu c. Deci, această funcție, pe care o iau limita pe măsură ce x merge la 0, nu trebuie să fie definită la x este egal cu 0 pentru a lua în considerare limita. Și dacă doriți, funcția sinus de 1 peste x este definită pe S este egal cu R ia 0. Deci această limită nu există, dar limita ca x merge la 0 de x ori sinus de 1 peste x există și este egală cu 0 Acum vreau să remarcați ceva -- nu puteți pur și simplu să introduceți x este egal cu 0 aici pentru a evalua limita. Pentru că atunci vei lua sinusul de 1 peste 0 ori 0. Nu poți împărți la 0, așa că nu pot spune doar că această limită este egală cu 0, pentru că țin x este egal cu 0. De fapt, am văzut în prelegerea anterioară că limita nu trebuie să fie egală cu funcția evaluată în acel punct. Așadar, doar pentru a ne aminti exemplul de data trecută, când am avut f de x egal cu 1 dacă x este egal cu 0 și 2 dacă x nu este egal cu 0, atunci am arătat că limită când x merge la 0 din f din x este egal cu 2, ceea ce rețineți, nu este egal cu f de 0. Când discutăm despre continuitate, asta este ceea ce leagă limita de funcția evaluată în acel punct. Vreau doar să fac acel mic comentariu. Pentru a demonstra această teoremă, vom folosi, din nou, teorema anterioară. Poate ar trebui... nu, nu am de gând să-l etichetez. Veți ști când vă voi sublinia că mă refer la acea teoremă pe care am afirmat-o acolo. Deci, de fapt, să demonstrăm că a doua limită există și este egală cu 0 mai întâi. Deci, să presupunem că x n este o secvență care converge la 0. Acum dorim să arătăm că x sub n ori sinus de 1 peste x sub n converge la 0. Și atunci teorema anterioară de acolo va implica că limita ca x ajunge la 0 pentru x ori sinusul lui 1 peste x este egal cu 0. Acum, dacă mă uit la valoarea absolută a lui x sub n ori sinusul lui 1 peste x sub n, aceasta este egală cu valoarea absolută a lui x sub n ori valoarea absolută a sinusului lui 1 peste x sub n. Și indiferent de ceea ce țineți de sinus, sinusul este întotdeauna mărginit între 1 și minus 1. Deci valoarea absolută este întotdeauna mărginită de 1. Așadar, doar pentru a rezuma, am arătat că-- și acum aplicăm teorema de strângere. Deci, aceasta merge la 0. Este doar secvența constantă egală cu 0. Deoarece x sub n converge la 0 -- amintiți-vă că presupunem că -- aceasta converge la 0. Și, prin urmare, ceea ce este prins între ajunge la 0. Deci, prin teorema de strângere, x sub n ori sinusul lui 1 peste x sub n converge către 0. Și asta demonstrează a doua afirmație. Deci acum vom demonstra 1. Și în prelegerea anterioară, am negat această definiție. Deci, să negăm de fapt această teoremă, dacă doriți, sau să folosim negația fiecărei părți a acesteia dacă și numai dacă pentru a enunța o teoremă echivalentă. Deci două afirmații sunt echivalente, ceea ce este în acea teoremă, dacă și numai dacă negațiile lor sunt de asemenea echivalente. Deci, prin teoremă, avem, de asemenea, următorul fapt - limita x merge la c a lui f a lui x nu este egală cu L dacă și numai dacă există - deci negați partea dreaptă a acelei dacă și numai dacă - acolo există o secvență x n care converge la c-- deci această secvență va-- constând din elemente ale lui S ia c, astfel încât x n converge către c, dar nu avem f din x n convergând către L. Și când scriu asta, ar trebui să citiți acest lucru deoarece fie această limită există și nu este egală cu L, fie această limită nu există. Deci voi scrie chiar și asta - și fie limita nu există, fie nu este egală cu L. Deci, din nou, acesta este un mod echivalent de a afirma teorema acolo sus în termeni de negație. Două afirmații sunt echivalente, ceea ce este chiar acolo, dacă și numai dacă negațiile lor sunt echivalente. Așadar, acum, vom demonstra că limita pe măsură ce x merge la 0 a sinusului lui 1 peste x nu există, arătând că există o secvență care converge la 0, astfel încât atunci când o conectez la sinus, limita acelei secvența nu există. Deci, pentru a arăta că există o secvență care converge la 0, astfel încât limita ca n merge la infinitul sinusului lui 1 peste x sub n nu există. Acum, sinusul oscilează între 1 și minus 1, în funcție de un anumit multiplu al lui pi peste 2. Deci iată intuiția din spatele lui, în spatele secvenței pe care sunt pe cale să ți-o dau -- rețineți că sinusul lui x este egal cu 1 dacă x este egal cu pi peste 2, 5 pi peste 2, 9 pi peste 2 și așa mai departe, minus 1 dacă x este egal cu 3 pi peste 2, 7 pi peste 2, 11 pi peste 2 și așa mai departe. Așa că pot rămâne în lucruri care devin mai mari până la sinus și obțin 1 sau minus 1. Și, de fapt, permiteți-mi să schimb asta cu y, deoarece folosim x pentru a fi în esență 1 peste y. Deci, dacă bag în pi peste 2, 5 pi peste 2, 9 pi peste 2 și așa mai departe, obțin sinus egal cu 1. Dacă este 3 pi peste 2, 7 pi peste 2, 11 pi peste 2 și lipesc asta în sinus, primesc minus 1. Dar asta înseamnă că dacă bag 1 peste aceste numere în sinus de 1 peste x, primesc 1 sau minus 1. Și astfel, secvența pe care o primesc va fi 1 sau minus 1 alternativ. Și știm că secvența nu converge. Deci asta e ideea. Așa că lasă-mă să scriu asta. Fie x sub n 1 peste aceste numere, în esență, deci 2n minus 1, pi peste 2, minus 1, pentru că îl vom pune în sinus de 1 peste x, care este 2 peste 2n minus 1 peste pi. Acum, rețineți că pentru toate n, x sub n este mai mic sau egal cu -- Pot scrie asta ca 2 peste n plus n minus 1 pi. Și deoarece n este mai mare sau egal cu 1, acesta este întotdeauna mai mare sau egal cu 0. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 2 peste n pi. Și aceasta merge la 0. Deci asta arată prin teorema de strângere că această secvență pe care am definit-o aici converge la 0. Dar ce se întâmplă când conectez această secvență la sinusul lui 1 peste x? Acesta este acum egal cu sinusul lui 2n minus 1 pi peste 2. Și, prin urmare, acesta este egal cu 1 minus 1, 1, minus 1, 1, minus 1. Și această secvență, care este doar egală cu minus 1 la n plus 1 -- Nu știu de ce am scris cu majuscule că... nu converge. Așa că am găsit o secvență care converge la 0, astfel încât, atunci când o introduc în funcție, acea nouă secvență nu converge. Deci am demonstrat că această limită nu există. Așa că am făcut aluzie la acest fapt că această teoremă ne va oferi teoreme care sunt similare cu ceea ce am demonstrat pentru secvențe, cu excepția acum pentru limitele funcțiilor. Așa că permiteți-mi să spun cea mai simplă teoremă pe care o puteți obține. Deci, să fie S o submulțime a lui R, c un punct de cluster al lui S și să presupunem că am două funcții f care merg de la S la R și g care merg de la S la R. Dacă aceste două limite există și o funcție este mai mică decât cealaltă, atunci-- deci am avut o declarație analogă pentru secvențe, care a fost dacă am două secvențe convergente și una este mai mică sau egală cu cealaltă, atunci o limită este mai mică sau egală cu cealaltă. Și este o concluzie analogă pentru limitele funcțiilor. Deci, din nou, afirmația analogă pentru secvențe a fost că avem două secvențe, una mai mică sau egală cu cealaltă, care atunci limita secvenței mai mici este mai mică sau egală cu limita secvenței mai mari . Deci hai să dăm dovada. Și vom folosi această teoremă care conectează limitele funcțiilor cu limitele secvențelor. Și apoi vom folosi declarația corespunzătoare pe care o avem pentru secvențe, pe care tocmai am afirmat-o de câteva ori. Deci, fie L1 limita pe măsură ce x merge la c din f de x, iar L2 limita pe măsură ce x merge la c din g din x. Și ceea ce vrem să arătăm este că L1 este mai mic sau egal cu L2. Fie x n șirul, și S takeaway c astfel încât x n converge către c. O astfel de secvență există deoarece c este un punct de grup al lui s. Și ați dovedit în sarcină că, dacă am un punct de grup de S, atunci există o secvență în S takeaway c care converge către c. Acum, din moment ce-- spuneți-o așa-- prin teorema anterioară, această limită este egală cu L1, această limită este egală cu L2 dacă și numai dacă pentru fiecare succesiune care converge către c, f din x n converge către L1, g din x n converge către L2. Prin teorema anterioară, ajungem apoi la concluzia că L1 este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinit - de fapt, mă depășesc puțin. Așa că haideți să facem o pauză chiar acolo și să resetam. Deci acum avem șirul care converge către c. Apoi, prin ipoteza de aici pentru tot n, f din x n este mai mică sau egală cu g din x n. Și deoarece f din x n converge către L1 și g din x n converge către L2, obținem, din nou, această teoremă despre secvențe, care spune că dacă am două secvențe, f din x sub n-- aceasta este o secvență mai mică decât sau egal cu o altă secvență, g de x n-- și ambele converg, atunci limitele satisfac aceeași inegalitate, ceea ce am vrut să demonstrăm. Deci, așa cum am spus, această teoremă de aici decurge din analog - de fapt, ar fi trebuit să scriu asta sau, de fapt, o voi scrie acum. Deci afirmația analogă pentru secvențe a fost dacă pentru tot n, a n este mai mic sau egal cu b n, atunci limita pe măsură ce n merge la infinit, presupunând că ambele limite există, satisfac aceeași inegalitate. Deci aceasta este o teoremă analogă acestei teoreme, pe care am avut-o pentru secvențe. Și am folosit această teoremă din secvențe pentru a o demonstra. Acum, urmând aceeași filozofie, puteți demonstra afirmații analoge pentru funcții, limite ale funcțiilor, așa cum ați făcut din secvențe. Le primești gratuit. Și în loc să enunț toate teoremele pe care le-am făcut pentru secvențe, cu excepția acum pentru limitele funcțiilor, voi spune rapid că obțineți același lucru. Deci, folosind teorema anterioară, care conectează convergența funcțiilor de convergența secvențelor, avem teoreme analoge pentru - și permiteți-mi să o spun în acest fel - pentru limitele funcțiilor acum. Și, de exemplu, aveți teorema strângerii, și anume dacă am -- deci doar vorbind asta -- dacă am trei funcții, să spunem f este mai mic sau egal cu g este mai mic sau egal cu h și f din x iar aceasta converge spre L, h din x converge spre L, apoi g din x converge spre L. La asta vreau sa spun prin afirmatie analoga. Aveți și teoreme despre operații și limite algebrice, ceea ce înseamnă că dacă am două funcții care au limite pe măsură ce x merge la c, atunci f plus g va avea o limită pe măsură ce x merge la c. Iar limita sumei este suma limitelor. Același lucru cu produsul și același lucru cu coeficientul, presupunând că limita de jos este diferită de zero. Și apoi, în mod similar, avem și o teoremă despre valoarea absolută și limite, și anume dacă f lui x converge către L pe măsură ce x merge la c, atunci valoarea absolută a lui f lui x converge către valoarea absolută a lui L pe măsură ce x merge către c . Deci aveți toate aceste afirmații analoge, sau teoreme care sunt analoge cu afirmațiile din ceea ce am făcut pentru secvențe, dar acum pentru limitele funcțiilor, așa cum x merge la c. Și nu le voi spune pe toate. Puteți vedea asta în manual. Poate dovada unora dintre ele o voi da sub formă de exerciții. Acum să separăm puțin noțiunea de limită a unei funcții de cea a unei secvențe. Deci, spre deosebire de când vorbim despre limitele secvențelor, aici lăsăm un punct x să convergă sau să se apropie de un punct c, dar există două moduri în care se poate apropia de c pe dreapta numărului real. Poate converge spre c din stânga sau poate converge spre c din dreapta. Și aceasta duce la noțiunea de limite stânga și dreapta ale unei funcții. Deci, începeți definiția aici și vom merge la următoarea tablă - deci să fie S o submulțime a lui R și să presupunem că c este un punct de grup de minus infinit, 0 intersectarea lui c intersectează S. Deci, ceea ce definesc acum este noțiunea unei funcții care converge către ceva pe măsură ce x merge spre c din stânga. De aceea mă uit doar la S intersect minus infinit la c. Deci mă uit doar în stânga lui c. Spunem că f din x converge către L deoarece x converge către c din stânga punând un semn minus aici dacă o definiție similară cu cea a limitei, dar acum ne uităm doar la x apropiindu-se de c din stânga. Dacă pentru toate epsilonele pozitive există o delta pozitivă, astfel încât pentru tot x din S care să satisfacă c minus delta este mai mică decât x este mai mică decât c-- deci este aproape de c, dar la stânga lui c-- avem că f din x minus L este mai mic decât epsilon. Și în acest caz, scriem limita pe măsură ce x merge la c cu semnul minus în sus, f de x este egal cu L. Și apoi avem o definiție analogă pentru convergerea către sau pentru a lua o limită a unei funcții pe măsură ce x merge la c din dreapta. Dacă c este un punct de cluster de c infinit, c virgulă infinitul intersectează S-- deci nu ar trebui să spun dacă-- [INAUDIBLE] este un punct de cluster al, acum luând doar S care este la dreapta lui c, atunci spunem că f din x converge spre L pe măsură ce x converge către c plus, adică pe măsură ce x converge către c din dreapta, dacă pentru toate epsilonele pozitive există o delta pozitivă astfel încât pentru toate x din S satisfacerea c este mai mică decât x este mai mică decât c plus delta-- deci acum este aproape de c, dar în dreapta lui c-- avem că f de x minus L este mai mic decât epsilon. Și, în mod similar cu notația de acolo sus, scriem limită pe măsură ce x merge la c plus de f de x este egal cu L. Acum, la fel cum am demonstrat această teoremă pentru limite, puteți afirma și demonstra o afirmație analogă pentru limitele unilaterale. Deci, o astfel de afirmație ar fi, de exemplu, limită pe măsură ce x merge la c minus f din x este egal cu L dacă și numai dacă pentru fiecare succesiune x sub n care satisface x sub n este mai mică decât c convergând către c, avem f din x n converge spre L. Deci aceste două limitează cum se comportă f în apropierea punctului c dacă ne uităm doar la stânga lui c sau la dreapta lui c, dar nu la c. Deci, să ne uităm, de exemplu, la... Cred că aceasta este de obicei denumită funcția secundară grea. Deci f din x este egal cu 0 pentru x mai mic sau egal cu 0 și 1 dacă x este mai mare sau egal cu 0. Deci graficul este așa. Și de ce le pasă oamenilor de această funcție? Ei bine, într-un anumit sens, dacă luați derivata acestei funcții, obțineți ceea ce se numește funcția delta Dirac , deși aceasta nu este o funcție. Asta e o distribuție. Dar de aceea această funcție are un nume atașat pentru că dacă iei derivatul ei, obții ceva oarecum special. Oricum, nu suntem nici măcar la derivate. Nici măcar nu vom vorbi despre distribuții în această clasă. Deci, să revenim la limitele unilaterale. Deci, dacă mă uit la această funcție pentru x aproape de 0 din stânga, f este doar 0. Deci, de fapt, deoarece mă uit doar la x la stânga lui 0 în această limită, aceasta este doar conectarea la x mai mică decât 0, deci primesc 0. Și asta este doar 0. Și dacă mă uit la această funcție de la dreapta, la dreapta lui 0, atunci f din x este doar 1. Este doar 1 identic. Și așa am... și este, din nou, deși nu am arătat că limitele unilaterale ale constantelor sunt egale cu constantele, cred că ar trebui să fie ceva pe care să-l crezi cu ușurință sau să scrii singur. Deci, pentru această funcție, vedem că are limite cu două fețe, cu excepția că acele limite nu sunt egale între ele. Și cu siguranță nu sunt egale - deci aceasta este egală cu f de 0, dar aș fi putut face ca f din 0 să fie 1/2, și atunci acesta ar fi fost totuși 0 și nu este egal cu funcția evaluată la ideea. Deci, din nou, subliniez acest aspect că pentru limite, doar limite, nu contează ce face funcția în acel punct. Limită îi pasă doar de modul în care o funcție se comportă în apropierea unui punct. Limitele unilaterale măresc acest lucru spunând că ne va păsa doar de funcția din apropierea punctului și la stânga pentru limita din stânga și la dreapta pentru limita din dreapta. Deci nu am spus asta, dar asta o numim limită din stânga, aceasta o numim limită dreaptă, pur și simplu pentru că ne apropiem de c din dreapta și din stânga. Dar care este legătura dintre limitele din stânga și din dreapta? Avem următoarele: să fie S o submulțime a lui R, f să fie o funcție de la S la R și să presupunem că c este un punct de grup al ambelor seturi minus infinitul până la c intersectează S. Și c infinitul intersectează S. În acest fel, I se poate vorbi despre limitele stânga și dreapta ale lui c sau la c. Atunci, deci, în primul rând, dacă c este un punct de cluster al oricăreia dintre aceste mulțimi, va fi un punct de cluster al mulțimii S. Așa că ne putem uita de fapt la limită. Deci atunci limita ca x merge la c din f lui x există și este egală cu L dacă și numai dacă limita ca x merge la c din stânga lui f lui x este egală cu limita pe măsură ce x merge la c din dreapta lui f lui x este egal cu L. Deci acest tip de teorema pe care am demonstrat-o despre lim sup și lim inf, dar nu au nicio legătură. Dacă doriți să faceți o legătură între felul în care arată această teoremă și afirmația teoremei pentru lim inf și lim sup, deci este un fel de a spune că limita unei funcții este egală cu L dacă ne apropiem de la stânga sau de la dreapta funcția f se apropie de L. Și pentru tipul lim sup lim inf pe care l-am făcut pentru secvențe, ați putea considera asta ca spunând că limita unei secvențe este egală cu L dacă și numai dacă urmând șirul de jos, care se apropie de L și urmând secvența de la mai sus, care se apropie și de L. Deci există un fel de două direcții acolo, la fel cum sunt două direcții aici, dar nu chiar. Deci haideți să dăm o demonstrație rapidă a acestei teoreme. Nu este dificil. Rezultă aproape imediat din definiții. De fapt, voi face o singură direcție. Așa că această direcție ar trebui, presupunând acest lucru și dovedind acest lucru ar trebui să fie destul de clar. Dacă am asta, înseamnă că dacă vreau să fiu aproape de L, trebuie doar să fiu aproape de c. Și, prin urmare, nu contează dacă sunt aproape de c din stânga sau din dreapta. Voi fi aproape de L. Și mergând în această direcție, asta spune că trebuie doar să fiu aproape de c din stânga, suficient de aproape și trebuie să fiu aproape de c din dreapta, suficient de aproape, pentru a fi aproape de L Deci, într-adevăr, nu există prea multă șmecherie în dovadă. Doar scrie aceste lucruri. Așa că voi scrie doar o direcție și o să vă las cealaltă direcție. Deci, să presupunem că limita din stânga este egală cu limita dreaptă este egală cu L. Și acum vrem să arătăm că limita pe măsură ce x merge la c din f lui x este egal cu L. Acum vrem să arătăm limita pe măsură ce x merge la c din f din x este egal cu L. Deci să revenim la definiție. Fie epsilonul să fie pozitiv. Vrem să putem găsi delta astfel încât f din x să fie în epsilon față de L dacă x este în delta față de c. Și ce rost are? Iată c și iată L. Deci aceasta este imaginea care merge împreună cu aceasta. Presupunând că aceste două limite sunt egale cu L, știu că există o delta 1, astfel încât dacă sunt în acest interval, atunci iată L plus epsilon, L minus epsilon. Apoi, dacă sunt în delta 1 la c și la stânga, atunci f va fi aproape de L în acel interval. Și atunci, deoarece limita pe măsură ce x merge la c din dreapta este egală cu L, există o delta 2, astfel încât dacă sunt în acest interval, atunci voi fi, din nou, aproape de L. Dar asta înseamnă că dacă aleg mai mic dintre acestea două și mă uit la întreg intervalul, atunci f va fi aproape de L pe întreg intervalul. Si asta e. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Atunci limita pe măsură ce x merge la c minus f din x este egal cu L, aceasta implică că există delta 1 pozitiv, astfel încât dacă x minus c este mai mic decât delta 1, atunci obțin că f din x c minus delta 1 este mai mic decât x este mai mic delta este mai mică de c. Aceasta implică faptul că f de x minus L este mai mic decât epsilon. Și, în mod similar, pentru limita dreaptă, deoarece limita pe măsură ce x merge la c plus din f lui x este egal cu L, aceasta implică, prin definiție, că există o delta 2 pozitivă, astfel încât dacă c este mai mic decât x este mai mic decât c plus delta 2 , atunci obțin f de x minus L este mai mic decât epsilon. Acum alegeți delta să fie minimul dintre delta 1 și delta 2. Și apoi vom arăta acum că această delta funcționează. Așa că acum vom arăta această deltă funcționează. Deci, dacă este mai mic decât delta, atunci acest lucru implică faptul că fie x este în c minus delta-- deci dacă luăm ceva apropiat din delta la c și delta este minimul acestor două distanțe, atunci-- de dragul acestei imagini, să presupunem că delta 1 este egal cu delta 2, așa că acum mă uit la acest interval -- apoi două cazuri. Fie x este în c minus delta c, care este o submulțime de c minus delta 1 c, deoarece delta este minimul acestor două delta, ceea ce implică prin prima inegalitate aici pentru delta 1 sau x este în c, c plus delta, care este o submulțime de c, c plus delta 2, care, prin alegerea noastră a delta 2, ne oferă asta. Astfel, am arătat că dacă x minus c este mai mic decât delta, atunci f din x minus L este mai mic decât epsilon. Acesta este sfârșitul dovezii. Așa că am spus asta de nenumărate ori-- limitelor funcțiilor nu le pasă de ceea ce face funcția în acel punct. Îi pasă de ceea ce face funcția în apropierea punctului. Acum vom discuta despre noțiunea de continuitate, care leagă limita unei funcții într-un punct de funcție. Deci, conectează modul în care o funcție se comportă în apropierea unui punct cu funcția evaluată în acel punct. Și așa poți chiar să scrii asta. Cum se comportă o funcție lângă un punct în comparație cu... atât de aproape, la. Și veți vedea când voi scrie definiția, practic, ceea ce vă privește în față este că definiția continuității este că limita pe măsură ce x merge la c din f din x este egală cu f din c. Așa că am avut aceste exemple în care limita -- cred că am șters-o deja, dar în care limita există, dar nu este egală cu f din c. Și aici pentru continuitate, noțiunea de continuitate este că limita pe măsură ce x merge la c a lui f de x este de fapt egală cu funcția evaluată în acel punct. Deci avem următoarea definiție. Fie S o submulțime a lui R și c un element al lui S. Spunem că f este continuă la c dacă pentru toate epsilonele pozitive, există o delta pozitivă astfel încât pentru toate x și S care satisface x minus c este mai mică decât delta-- deci în special, acum pot, de exemplu, x este egal cu c va satisface această inegalitate. Nu am 0 este mai mic decât atât. Deci, pentru toate x și S care sunt aproape de c în delta, am că f din x va fi - cu un epsilon de f din c. Deci, în acest caz, doar un mic f este continuu în fiecare punct al domeniului său pe care îl luăm în considerare. Spunem doar că f este continuă. Deci, pentru ca o funcție să fie continuă într-un punct din apropierea x, x fiind aproape de c, ar trebui să însemne că f din x ar trebui să fie aproape de f din c. Și să trecem prin câteva exemple. Amintiți-vă, ori de câte ori obțineți o definiție, ar trebui să căutați exemple și apoi să o anulați. Vom anula această definiție în doar o secundă pentru a arăta că o funcție pe care am scris-o acum un minut nu este continuă. Deci, funcția afină f a lui x este egală cu x plus b-- deci S este R, deci x este un număr real-- este o funcție continuă, adică este continuă la fiecare număr real c. Deci haideți să demonstrăm asta. Fie c un element al lui R. Vrem să arătăm că f este continuă la c. Deci trebuie să trecem prin definiție. Fie epsilonul să fie pozitiv. Alegeți delta să fie epsilon peste 1 plus valoarea absolută a lui a. Și ultima dată, în prelegerea anterioară, am dat intuiția de ce ați alege această deltă în funcție de funcție și epsilon. Am facut un calcul aici. O să aleg delta în acest fel și veți vedea că funcționează. Deci acum trebuie să arătăm această deltă funcționează. Dacă x minus c este mai mic decât delta, ar trebui să putem arăta acum că f din x minus f din c este mai mic decât epsilon. Acesta este egal cu a x plus b minus a c plus b. Deci, aceasta este egală cu o ori x minus c, care este egală cu valoarea absolută a unei ori valoarea absolută a x minus c. Aceasta este mai mică decât delta. Valoarea absolută a lui x minus c este mai mică decât delta ori a, ceea ce este egală cu valoarea absolută a lui a peste 1 plus valoarea absolută a unui ori epsilon, care este mai mică decât epsilon. Pentru că un număr peste 1 plus acel număr este întotdeauna mai mic decât 1. Poate vă întrebați, de ce nu am ales pur și simplu delta să fie epsilon față de valoarea absolută a lui a? Aceasta este doar o picătură de sofisticare, că ce se întâmplă dacă valoarea absolută a lui a este egală cu 0? Atunci am fi împărțit la 0. Așa că adăugarea unui 1 acolo are grijă de asta. Deci tipul ăsta este continuu la fiecare c. Deci această funcție este continuă. Ce zici de o funcție care nu este continuă într-un punct? Asigurați-vă că acesta este următorul subiect. Iată un non-exemplu. Funcția f a lui x, care este egală cu 1 dacă x este egal cu 0, 2 dacă x nu este egal cu 0. Aceasta este funcția. f nu este continuă la 0. Deci, pentru a demonstra acest lucru, să negăm definiția continuității. Deci negația continuității este - deci f nu este continuă la c dacă - deci „pentru toți” devine „ există”, iar „există” devine „pentru toți”. Deci, dacă există un epsilon rău, astfel încât pentru toate delta pozitive, există un x astfel încât x minus c este mai mic decât delta și nu avem a doua inegalitate, f de x minus f de c este mai mare sau egal cu acest epsilon rău. Acum, pentru acest tip, este destul de clar ce x să aleagă. Deci hai să ne gândim la asta un minut. Ar trebui să existe un epsilon 0 rău, astfel încât, dacă iau orice interval mic în jurul valorii de 0, pot găsi un punct în acest interval, astfel încât f de x minus f de c va fi mai mare sau egal cu epsilonul 0. Acum, aici, f din c este f de 0, care este 1. Acum, care ar fi epsilonul rău, astfel încât f din 1 să fie mai mare decât distanța 1 sau mai mare decât distanța epsilon 0 la f din x pentru un x din acest interval? Ei bine, dacă iau orice x în acest interval, altul decât 0, și îl bag în f, voi obține 2. Și acesta este mai mare sau egal cu distanța de la 1 la f de 0. Deci epsilon 0 voi alege să fiu 1. Deci acum vrem să demonstrăm că f, această funcție de aici, nu este continuă la 0. Așa că vă voi spune care este epsilonul rău. Alegeți epsilonul 0 egal cu 1. Deci acum trebuie să arătăm că acest epsilon 0 rău este într-adevăr rău. Lasă delta să fie pozitivă. Acum trebuie să găsim un număr în acest interval, astfel încât f de x minus f de 0 să fie mai mare sau egal cu 1. Și, așa cum am spus acum un minut, dacă luați orice x din acest interval, altul decât 0 și îl puneți în f, primesc 2, care este distanța de la 1 la f de 0. Fie x să fie delta peste 2, să zicem. Atunci x minus 0 este mai mic decât delta. Este de fapt egal cu delta peste 2. Și f de x minus f de 0-- acesta este egal cu 2 minus 1, care este mai mare sau egal cu epsilonul 0. Deci această funcție nu este continuă. Și deci data viitoare... și voi lăsa doar această întrebare aici, pe care o vom aborda în prelegerea următoare. Dar este un fel de întrebare simplă. Deci, în primul rând, dacă te uiți la această funcție, nu ar trebui să fie prea greu să te convingi, așa că ți se spune și când erai copil că o funcție este continuă Dacă poți să desenezi graficul și să nu ridici creionul , pe care mai bine nu o vad la examen daca te intreb de continuitate. Dar oricum, de dragul acestei conversații, să luăm asta drept intuiție. Deci, vă puteți convinge că această funcție este continuă aici, totuși. Dacă mă apropii de-- să spunem că acesta este minus 1, atunci funcția se apropie de 2. Și valoarea funcției la minus 1 este 2. Deci funcția se apropie de valoarea funcției la minus 1. Și același pentru dacă mă uit la c este egal cu 1. Deci, ar trebui să vă puteți convinge că această funcție este continuă în orice punct, altul decât la originea 0. Deci o întrebare firească de pus este, fie f să fie o funcție, să spunem, definită pe întreaga dreaptă numerică reală. Există un punct în R astfel încât f este continuă în acest punct c? Pentru acest exemplu de aici, am putut să-- orice alt punct decât 0, funcția este continuă acolo. Deci întrebarea firească este, să presupunem că iau o funcție arbitrară. Trebuie să aibă un punct în care să fie continuu? Și data viitoare, vom vedea că răspunsul este nu. Vom da un exemplu care cred că se datorează lui Dirichlet, deoarece este numit după el, dar numirea nu înseamnă neapărat nimic în matematică. Teorema lui Green poartă numele lui Green, dar el nu a demonstrat-o, așa că poate s-a datorat altcuiva. Și vom folosi o caracterizare similară a continuității, care este oarecum analogă cu această primă afirmație pe care am avut-o pentru limite. Și asta vom face data viitoare.