următorul conținut este oferit sub o licență creative commons. Sprijinul dvs. va ajuta mit opencourseware să continue să ofere gratuit resurse educaționale de înaltă calitate pentru a face o donație sau pentru a vizualiza materiale suplimentare de la sute de cursuri mit, vizitați mit opencourseware la ocw.mit.edu, așa că astăzi vom face ultima noastră prelegere despre împrăștierea în mecanica cuantică în mecanica cuantică 1d și vom introduce câteva idei puternice, în special schimbarea de fază și matricea s și sunt grozave, le vom folosi pentru totdeauna înainte să începem întrebări de data trecută, chiar acum, este o trupă numită saint germain, de fapt, este un tip, dar se referă la el însuși ca o trupă numită cengermain, oricum, este dintr-un album care cred că se numește întrebări de fizică a călătorilor [muzică] oricine bine, bine, bine, bine. rău, de fapt, m-aș referi foarte mult dacă ați avea întrebări, dar voi lua asta ca un semn de competență și măiestrie în cunoștințe, bine, da, așa că ultima dată am vorbit despre împrăștierea unei bariere cu o înălțime l și o înălțime v care Cred că am sunat nimic și am observat o grămadă de lucruri frumoase despre asta, mai întâi, am calculat probabilitatea de transmitere peste această barieră oops probabilitatea de transmitere peste această barieră în funcție de energie și a avut mai întâi o grămadă de caracteristici frumoase. este asimptotat la unul la energii mari, ceea ce are sens, lucrurilor nu ar trebui să le pese dacă aveți o barieră minusculă, a ajuns la zero la energie zero, uh, nu știu cum, uh, cred că toți ar trebui să găsim asta, evident, dacă aveți o energie extrem de scăzută, veți sări de pe acest zid foarte dur între ele, deși există o structură și, în special, la anumite valori ale energiei corespunzătoare anumitor valori ale numărului de unde din regiunea barierei la anumite valori ale energie am văzut că transmisia a fost perfectă hopa asta ar fi trebuit să fie aici, îmi pare rău, transmisia a fost perfectă la valori speciale ale energiei și că reflexia în acele puncte a fost zero, ați transmis perfect, dar între timp reflexia care este unul minus transmisia a atins maximul la puncte speciale și acele puncte speciale se dovedesc a fi jumătate întreg deplasate de la punctele speciale pentru o transmisie perfectă, astfel încât în ​​anumite puncte avem transmisie perfectă în anumite puncte avem o reflexie extrem de eficientă și astfel unul dintre obiectivele noastre astăzi va fi să înțelegem această fizică, fizica rezonanței în împrăștierea unui potențial bine, deci asimptotele le înțelegem clasic, care au sens, clasic, au sens, dar clasic, aceasta este o structură cu adevărat ciudată de văzut și de observat că, de asemenea, nu este ceva ce am văzut când ne-am uitat la împrăștierea dintr-un pas simplu când ne-am uitat la un pas simplu, ceea ce am primit a fost ceva care arăta ca zero și apoi nu a existat nicio structură, era doar o curbă simplă și frumoasă, așa că ceva se întâmplă atunci când avem o barieră, spre deosebire de o barieră. pas, așa că treaba noastră va fi într-un anumit sens să răspundem de ce sunt atât de diferite înainte de a începe să am întrebări despre bariera trepte, da este doar că scala oh, scuze, asta, asta a fost transmisia, îmi pare rău, ar fi trebuit să o desenez separat. a fost transmisia ca o funcție de energie într-un singur pas și așa arăta exact așa, oh, scuze, așa că am vrut doar să le compar pe cele două, vreau doar să mă gândesc la ele ca două sisteme diferite în acest sistem, avem curba de transmisie este o curbă simplă drăguță, nu are nicio structură în cazul unei bariere în trepte, obținem o transmisie diferită de zero la energii scăzute în loc să mergem la zero și obținem această structură rezonantă, așa că este doar pentru contrast, bine, așa că înainte de a intra în asta în detaliu, vreau să fac o mică variație a acestei probleme și nu voi face niciunul dintre calcule, doar o să vă spun cum să obțineți răspunsul din răspunsurile pe care le-am calculat deja, așa că luați în considerare o barieră un pătrat Ei bine, băieți, ați rezolvat bine pătratul finit în seturile dvs. de probleme, luați în considerare să găsiți din nou pătrat bine de lățime l și adâncime acum minus v nimic, așa că este același lucru cu v merge la minus v bine și din nou vreau să iau în considerare stările de împrăștiere, așa că am Dorim să luăm în considerare stări cu energie pozitivă de energie peste potențialul asimptotic acum, în acest moment, până acum, știm cu toții cum să rezolvăm acest lucru, scriem unde plane aici unde plane aici rezolvăm și unde plane între ele rezolvăm potențialul în fiecare regiune în care este constant și apoi impunem continuitatea p uh și a funcției de undă și continuității derivata funcției de undă la punctele de potrivire corect, astfel încât să știm cum să rezolvăm această problemă și să deducem coeficienții de reflexie de transmisie pe care i- am făcut pentru această problemă și este exact aceeași algebră și, de fapt, este atât de exact aceeași algebră încât putem doar să luăm rezultatele din aceasta și să luăm v la minus v și vom obține răspunsul corect pe care trebuie să îl faceți, așa că dacă facem ceea ce obținem pentru probabilitatea de transmitere și acum aceasta este probabilitatea de transmisie pentru un puț pătrat și din nou voi folosi aceleași constante adimensionale g nimic pătrat este egal cu 2m l pătrat peste h bară pătrat ori v nimic acesta este 1 peste o energie aceasta este o energie aceasta este adimensională și energia adimensională epsilon este egal cu e peste v pentru a exprima probabilitatea mea de transmisie viața este mai bună atunci când este adimensională, deci t probabilitatea de transmisie este din nou, este una dintre acestea oribile peste unu peste 1 plus 1 peste 4 epsilon epsilon plus 1. Sinus bun pătrat de g nimic rădăcină pătrată a epsilonului plus 1. și aceasta este din nou la fel, așa că dacă vă amintiți ultima dată, puteți vedea ce am primit ultima dată, luând din nou v la minus v, ceea ce duce epsilon la minus epsilon, deci ieșim epsilon un epsilon minus sau epsilon minus unu ridicând semnul minus de la acest epsilon și aici obținem un epsilon minus în loc de un epsilon plus, asta este exact ceea ce am primit data trecută, așa că dacă te simți puternic acasă în seara asta, verificați acest lucru într-un anumit sens, îl veți rederiva pe setul de probleme, în regulă, așa că arată practic la fel ca înainte, avem o funcție sinus la parter, care din nou va fi uneori zero, sinusul va fi uneori b0 când argumentul este un multiplu de pi și când acea funcție sinus este zero, atunci probabilitatea de transmisie este unu peste unu plus zero, este cunoscut și ca o transmisie este perfectă, așa că obținem din nou o structură rezonantă și de fapt este exact aceeași diagramă sau aproape exact aceeași diagramă, deci um Am de gând să complot transmisia, hai să mergem mai departe și să facem această probabilitate de transmisie ca o funcție din nou a energiei fără dimensiuni și ceea ce obținem este din nou, oops, rezonanțe nu foarte bine desenate, unde transmisia merge la una, datorită abilităților mele frumoase artistice, punctele în care rezonanța sau unde reflecția atinge un maxim local, bine, dar mai știm un lucru despre acest sistem și este că, pe lângă faptul că avem stări de împrăștiere a căror probabilitate de transmitere este indicată de acest grafic, știm că avem și stări legate de energie negativă, spre deosebire de pas barieră pentru puțul pas avem și stări legate, așa că iată curba de transmisie, dar vreau doar să vă reamintesc că avem energii la valori speciale ale energiilor, avem și stări legate și exact ce energii depind de structura puțului și de adâncime. dar dacă adâncimea puțului este să spunem v nimic, deci acesta este minus unu, știm că starea cea mai inferioară este întotdeauna o energie mai mare decât fundul puțului rece, așa că epsilonul reține că este e peste v nimic și în puțul pătrat de adâncime v nimic din starea cea mai joasă limită nu poate avea energie mai mică decât fundul puțului, așa că epsilonul său trebuie să aibă epsilon mai mare de unu sau minus unu, oricum, asta este doar pentru a vă aminti că există stări legate și gândiți-vă la asta ca la un pistol. jos pe o masă într-o piesă din primul act, bine, este atât de dramatic, așa că va apărea din nou, se va întoarce și va juca bine cu noi, așa că vreau să vorbesc despre aceste reședințe, așa că hai să înțelegem de ce sunt acolo, așa că există o grămadă modalități de a înțelege de ce sunt prezente aceste rezonanțe și permiteți-mi să vă ofer câteva, așa că mai întâi o imagine euristică și apoi vreau să vă ofer o imagine computațională foarte precisă a motivului pentru care se întâmplă aceste rezonanțe, așa că primul este să vă imaginați că avem o stare în care transmisia este perfectă ceea ce vă spune că kl este un multiplu al lui pi, deci aici, deci dacă aceasta este distanța l a puțului de aici, unda este exact o perioadă sau dacă este kale este egală cu două la un multiplu de pi um Deci, dacă kl este pi ui, cred că vreau, vreau două bune, lasă-mă să-mi simplific viața și să iau în considerare cazul kale este două plăcintă, așa că atunci când valul vine și devine oh știu de ce trage așa pentru acest lucru scuze patru pi, așa că um i Am schimbat notațiile pentru tine pe care le foloseam în capul meu și sau mai degrabă în notele mele, lățimea puțului este de 2 l de la um uh, din motive pe care le vei vedea pe note dacă te uiți la note, dar hai să ignorăm că hai să ne concentrăm pe acestea băieți, considerați starea o configurație în energie, astfel încât în puț să avem exact o perioadă a funcției de undă, ceea ce înseamnă că valoarea funcției de undă la cele două capete este aceeași și panta este aceeași, deci indiferent de energia este aici dacă se potrivește fără probleme continuu și derivata sa este continuă aici, se va potrivi fără probleme și continuu și aici, cu aceeași amplitudine și aceeași perioadă în interior și în exterior, amplitudinea este aceeași în faze aceeași ceea ce înseamnă că această undă trebuie au aceeași amplitudine în aceeași perioadă, bine, trebuie să aibă aceeași perioadă este aceeași energie, dar trebuie să aibă aceeași amplitudine și aceeași pantă în acel punct și asta înseamnă că această undă are aceeași amplitudine ca și această undă, norma pătratului este norma de probabilitate de transmisie la pătrat a acesteia împărțită la pătratul normal al acesteia, ceea ce înseamnă că probabilitatea de transmisie trebuie să fie una ceea ce s-ar fi întâmplat dacă sistemul în loc să fie perfect periodic în puț, lasă-mă de fapt să las asta sus, așa că avem haideți să facem asta, oh trage, chiar mă înțeleg greșit funcțiile mele calitative de undă, hai să încercăm din nou, bine începeți de sus, coborâți și apoi are o mai mică uh uh, este mai adânc în interiorul puțului, așa că amplitudinea de aici este cea mai puternică diferența de energie dintre energie și potențial este mai mică, ceea ce înseamnă că perioada este mai lungă și amplitudinea este mai mare, dar așa am desenat, are o anumită valoare, are zero um zero uh uh uh derivată în acest moment, deci este Am două bine, așa că există și funcția noastră de undă același lucru aici, dar important este că amplitudinea de aici trebuie să fie aceeași cu amplitudinea de aici, deoarece amplitudinea și amplitudinea în fază au fost exact ca și cum nu ar fi existat nicio regiune intermediară. Nu sunt de acord cu asta, prin contrast, dacă am fi analizat o situație în care în interiorul puțului nu avea aceeași amplitudine, deci, de exemplu, ceva de genul acesta a venit cu o pantă care este diferită într-o valoare care era diferită, atunci aceasta se va potrivi cu ceva cu aceeași perioadă, dar cu o amplitudine diferită decât ar avea aici în aceeași perioadă, deoarece are aceeași energie, dar o amplitudine diferită pentru că trebuie să se potrivească cu valoarea și derivata, astfel încât să te poți gândi la asta și să convingi destul de repede despre necesitatea ca amplitudinea transmisiei să fie una dacă aceasta este din nou exact periodică dacă aceasta este exact o perioadă în interior, vă puteți imagina că aceasta a dispărut și obțineți o funcție de undă continuă, astfel încât amplitudinea și derivata trebuie să fie aceleași pe ambele părți ca și cum nu există nicio barieră acolo și când fazele uh când faza nu este aceeași aici când funcția de undă nu are exact o perioadă în interiorul puțului, nu poți face asta, așa că amplitudinile nu pot fi aceleași la ambele laturile bine, dar asta nu este o explicație foarte satisfăcătoare, care este într-adevăr o explicație despre soluțiile ecuației diferențiale. Vă spun doar proprietățile ecuațiilor diferențiale de ordinul doi, să ne gândim la o explicație mai fizică, mai mult mecanică cuantică, de ce obținem bine aceste rezonanțe ? vreau să mă gândesc la asta în același mod în care ne-am gândit la casetele din prima prelegere să presupunem că avem acest pătrat bine și știu că am o amplitudine aici și vreau să știu cu unele că am o funcție de undă pe care o are oarecare amplitudine aici are o oarecare impuls care merge în acest fel oarecum un impuls pozitiv și vreau să întreb care este probabilitatea ca să mă împrăștii dincolo de potențial să spunem până în acest punct chiar aici, de cealaltă parte a potențialului, care este probabilitatea să mă împrăștii bine, spuneți că am făcut acest calcul, știm probabilitatea de a transmite prin acest potențial pas, am făcut-o ultima dată, așa că acesta este pasul și știm probabilitatea să știm ce se întâmplă cu faza funcției de undă sau îmi pare rău, știm că probabilitatea de a se împrăștia în acest pas potențial și aceasta este transmisia uh sus și deci probabilitatea ca tu să transmiteți de aici până aici este probabilitatea pe care o transmiteți mai întâi aici și apoi probabilitatea ca să transmiteți aici corect produsul probabilităților sună rezonabil, bine, să votăm cum Mulți oameni cred că aceasta este egală cu probabilitatea de transmitere în potențialul și orice voturi trebuie să votați într-un fel sau altul nu, nu este cât de mulți oameni votează bine da, este în regulă, nasul o are și asta nu este teribil de surprinzător, uh, pentru că bineînțeles, acestea nu au nicio structură de rezonanță, deci de unde a venit asta dacă este doar acel lucru pătrat corect, așa că probabil că nu poate fi, dar iată cu atât mai bine, aici este problema mai mare de ce este argumentul greșit pentru că există reflecție, da exact, există reflecție dar acesta este doar un pas în răspunsul de ce este răspunsul greșit de ce altfel definițiile tale de transmisie trebuie să se desfășoare departe, este adevărat, dar vreau doar probabilitatea, dacă am ajuns aici cu un impuls pozitiv, în cele din urmă voi ajunge la infinit deci este aceeași probabilitate, deoarece este doar un e la ik x aici, funcția de undă este doar e la ikx, deci probabilitatea va fi aceeași în celălalt puț. Motivele puțului sunt foarte importante, dar primul argument ignoră asta exact asta este și adevărat până acum. Motivele pe care le avem sunt că avem nevoie de lățimea fântânii nu pare, ceea ce pare probabil greșit, bine, a doua, este posibil să fi putut reflecta că nu am încorporat asta într-un fel de elegant fel ce există alte modalități care sunt absolut adevărate există alte modalități de a transmite, astfel încât să puteți transmite, apoi ați putea reflecta, astfel încât să putem transmite, apoi să reflectăm și să reflectăm din nou și apoi să transmitem astfel încât să putem transmite reflecta reflectați transmite ce altceva adaugă probabilitățile în mecanica cuantică și când ai produse ale evenimentelor, probabilitățile tale înmulțim ceea ce adaugă în mecanica cuantică amplitudinea funcția de undă nu luăm produsul probabilităților ceea ce facem este să întrebăm care este amplitudinea pentru a ajunge aici de acolo și luăm norma de amplitudine la pătrat la obțineți probabilitatea corectă, deci întrebarea corectă este care este amplitudinea pe care trebuie să o obțineți de aici până aici. Cum vă binecuvântează cum se schimbă funcția de undă a amplitudinii pe măsură ce vă deplasați de aici până aici și, pentru asta, gândiți-vă la cele două... Experimentul de fante sau gândiți-vă la casetele pe care le-am pus următoarea întrebare. Tranzitul amplitudinea pe care ar trebui să o transmiteți prin acest puț are o grămadă de componente este o sumă a unei grămadă de termeni pe care i-ați putea transmite în jos, transmiteți în jos și în interior. aici știi că funcția ta de undă este e la i k prim l sau cred că o numesc k2 l uh da key2 x și în deplasarea prin puț funcția ta de undă evoluează cu un e la i k 2 l și apoi ai putea transmite din nou cu o anumită amplitudine de transmisie, deci acesta ar fi timpii de transmisie e la i k de 2 l ori transmisia în sus, așa cum am văzut data trecută, acestea sunt aceleași, dar vreau doar să le păstrez separate, ca să știi despre care vorbesc, așa că aceasta este o contribuție aceasta este ceva care ar putea contribui la amplitudine este singurul lucru care ar putea contribui la amplitudine nu ce altceva ar putea contribui sărirea corectă, așa că pentru a ajunge de aici până aici aș putea transmite evoluează transmite pot și transmite evoluează reflectă evoluează reflecta evoluează transmite, deci există și un termen care este la i k l r e la minus i k l r e la i k l scuze e fie plusul pentru că creștem evoluția fazei um și apoi transmitem în sfârșit la sfârșit și aceste k sunt toate k2 k2 p2 dar aș fi putut face asta de multe ori, dar observ că de fiecare dată ce voi face este să transmit reflect reflect reflect transmit sau transmit reflect reflect reflect reflect transmit așa că mereu voi face asta chiar și numar de un numar de ori fac asta o data fac asta de doua ori o fac de trei ori asta imi da o serie geometrica aceasta este t e la i k 2 x t ori 1 plus aceasta cantitate plus aceasta cantitate la patrat care este o serie geometrica 1 peste 1 plus aceasta cantitatea pătrat sau scuze 1 minus pentru că este o sumă geometrică și care este această cantitate, bine este r pătrat și amintește-ți că r-urile din ambele direcții sunt aceleași, așa că o voi scrie ca r pătrat e la 2i bine r pătrat este un număr real, dar voi pune abdomenul pe valoare absolută oricum, îmi va simplifica viața, aveți nevoie de 2i k2l bine, așa că aceasta este predicția noastră din mai multe sărituri ceea ce facem aici este că luăm în serios Principiul suprapunerii care spune că, având în vedere orice proces, în orice mod în care s- ar putea întâmpla acel proces, însumați amplitudinile și probabilitatea este norma la pătrat dacă avem o sursă și avem două fante și vă întreb care este probabilitatea ca să aterizați aici, probabilitatea este nu suma probabilităților pentru fiecare tranzit individual, probabilitatea este pătratul amplitudinii unde amplitudinea este suma amplitudinii de sus plus amplitudinea de jos aici există multe fante, există multe moduri diferite în care s-ar putea întâmpla acest lucru, ați putea reflecta de mai multe ori vreodată grozav. cu asta nu, în același sens, am fi putut face același lucru pentru reflecție, dar să rămânem cu transmisia pentru moment, asta este ceea ce obținem pentru transmisie și din nou amplitudinile de transmisie pe pas, așa cum am văzut data trecută, sunt aceleași, așa că asta este de fapt t pătrat și acest lucru ne oferă un rezultat pentru transmisia în jos potențial și dacă introducem factorii dacă folosim ceea ce uh șanțul Îmi pare rău dacă folosim care au fost amplitudinile de reflexie și transmisie pentru puțurile noastre trepte, răspunsul că acest lucru dă este 1 peste e la i k2l minus 2i la transmiterea pentru un pas ori sinusul lui k prim l sau îmi pare rău k2l acum aceasta nu este aceeași cu probabilitatea pe care am derivat-o aici, dar asta pentru că aceasta nu este probabilitatea aceasta a fost amplitudinea pe care tocmai am calculat amplitudinea totală pentru a obține probabilitatea pe care o avem de a lua norma la pătrat a amplitudinii și când luăm norma la pătrat ceea ce obținem este 1 pe 1 plus 1 peste 4 epsilon epsilon minus 1 sau plus 1. sinus pătrat de g nimic rădăcină epsilon plus unu obținem același răspuns scuze, aceasta este inegalitate oh scuze scuze mulțumesc martin obținem că probabilitatea de transmisie atunci când luăm pătratul normal al amplitudinii mulțumesc este egală cu aceasta, care este aceeași așa cum am primit înainte, mulțumesc bine, deci asta este pentru mine, este foarte trist. am greșit un factor de doi mulțumesc mulțumesc matt mulțumesc um răspuns analiză este un lucru minunat um ok, așa că asta ne dă asta are ceva foarte frumos pentru noi de ce obținem o rezonanță la valori speciale de ce obținem o rezonanță de special valori ale energiei ce se întâmplă bine în acest proces în acest proces mecanic cuantic al interacțiunilor multiple împrăștieri multiple există mulți termeni în amplitudinea de transmitere există termeni care nu implică nicio reflectare există termeni care implică două reflexii sunt termeni care implică patru reflecții și toate vin cu o magnitudine și o fază reală și când faza este aceeași, se adaugă constructiv și când fazele nu sunt aceleași, interferează și când fazele sunt exact oprite, interferează în mod distructiv și de aceea primești o rezonanță mai mulți termeni din suprapunerea dvs. interferează unul cu celălalt ceva ce nu se întâmplă în mod clasic clasic probabilitățile sunt produse mecanice cuantice avem suprapoziție și probabilitățile sunt pătratele amplitudinii și obținem efecte de interferență și probabilitățile sunt cool, așa că pentru mine aceasta este o Un fel de versiune minunată a experimentului cu două fante și ne vom întâlni din nou mai târziu, când vorbim despre fizica solidelor, în lumea reală, bine, întrebări în acest moment, da, ai spus mai devreme, da, ce este special la asta deci, ceea ce este special este că, în acest moment, în care kale este în pi, când kale este n pi, obținem o transmisie perfectă când kl este egal cu n plus jumătate de pi, reflexia este la fel de bună pe cât de bună, deci ceea ce face cu adevărat este spune când este cel mai mare la nivel local, în regulă, deci acestea sunt aceste puncte speciale când suntem transmisia este cât mai mică posibil, ceea ce înseamnă că reflexia este unul minus probabilitățile de transmisie cât mai mare posibil și poți obține asta din nou din aceste expresii alte întrebări bine, așa că mă opresc, așa că vreau să mă gândesc puțin mai mult la aceste bariere pătrate și, în special, când ne gândim la bariera cu puțuri pătrate, ceea ce am vorbit tot timpul sunt împachetari de unde monocromatice, am vorbit doar despre valuri plane. simplu e la ikx, dar nu puteți construi de fapt, uh, nu puteți pune o singură particulă într-o stare care este o undă plană, nu este normalizat, ceea ce ne referim cu adevărat la sfârșitul zilei când vorbim despre particule individuale este le punem într-un pachet de unde bine localizat, care la momentul zero să spunem că este în poziția x nimic sau poate bine x nimic, care în acest caz este negativ și care are un impuls mediu bine definit, nu voi spune că este valoarea așteptată a impulsul din acest pachet de val și întrebarea pe care vrem să o punem atunci când vorbim despre împrăștiere este ce se întâmplă cu această fiară când lovește greutatea când lovește bariera pe care o voi pune partea stângă la zero pe partea dreaptă la l și lăsați adâncimea să fie minus v-nimic din nou ceea ce se întâmplă este că acest pachet de undă incidentă lovește bariera și apoi se împrăștie bine știm ce s-ar întâmpla dacă ar fi un val plan, dar un val plan nu ar fi localizat, deci aceasta este întrebarea pe care vreau să o pun și vreau să folosesc rezultatele pe care le avem deja acum, iată principalul lucru dacă am fi luat în considerare să începem doar cu un pachet de undă pentru o particulă liberă centrată pe x și cu impulsul nimic bine, doar pentru o particulă liberă, știm cum să scriem asta și, dacă acesta este um, putem pune sistemul, de exemplu, putem considera funcția noastră de undă la momentul 0 ca fiind o gaussiană, niște ori de normalizare e la minus x minus x nimic pătrat peste 2a pătrat și vrem să-i dăm un pic de impuls și știți cum să faceți asta după ultima problemă setați e la i knaught x toată lumea îl numește așa că există funcția noastră de undă inițială și vrem să știm cum evoluează în timp și știm cum să facem asta pentru a evolua în timp, o extindem mai întâi în stări proprii de energie, astfel încât psi de x nimic este egal cu bine energia i pot afirma în acest caz sunt unde plane dk e la ikx peste rădăcină de 2 pi ori niște coeficienți f de k coeficienții de expansiune, dar aceștia sunt doar transformata Fourier a pachetului nostru inițial de unde gaussiene și știm care este forma lui f 0 f 0 sau îmi pare rău f din k este egal cu bine, este un gaussian de lățime 1 pe alfa e la minus k minus k nimic pentru că are impuls k nimic, deci este centrat în jurul k nimic pătrat de peste 2 ori un pătrat și a urcă la etaj și poziția fourier-ului a uh pachetul inițial de undă este codificat în transformarea fourier și i' Voi pune aici o normalizare de care nu mă voi îngrijora cu o fază generală e la i um minus i k x nimic, așa că în același mod în care adăugând o fază e la aik nu x în unda spațială de poziție funcția vă spune care este valoarea așteptată a impulsului pe fază și putem obține acest lucru de la doar transformarea Fourier atacând faza e la ik x nimic nu vă spune în transformarea Fourier vă spune punctul central poziția centrală a undei împachetați bine, deci ați făcut acest lucru în setul de probleme și aceasta este o versiune spațială de impuls trivial a aceluiași lucru, așa că iată pachetul nostru de undă extins în valuri plane care sunt stări proprii de energie și afirmația că acestea sunt stări proprii de energie este echivalentă cu afirmația că sub evoluția timpului nu fac altceva decât să se rotească cu o fază, așa că dacă vrem să știm care este funcția de undă o funcție de timp psi a lui x și t este egal cu integrala dk modul Fourier uh f din k o voi scrie de fapt Voi scrie acest lucru în mod explicit f din k 1 peste rădăcina 2 pi e la i k x minus omega t unde omega, desigur, este o funcție de k este o particulă liberă, așa că pentru particula noastră liberă uh h bar pătrat omega pătrat oh scuze h bar pătrat k pătrat pe 2m este egal cu uh h bar omega bine, așa că am mai făcut asta înainte, dar acum ceea ce vreau să fac este să iau exact același sistem și vreau să adaug la poziția 0 o fântână de adâncime v nimic și lățime l cum se va schimba povestea noastră bine vrem pachetul nostru inițial de undă, care este, știți, noi să alegem vrem că pachetul nostru de undă inițială să fie același, vrem să începem cu departe gaussian departe de barieră, dorim ca acesta să fie bine localizat în poziție și bine localizat în spațiul de impuls nu perfect localizat, desigur, este un gaussian finit pentru a satisface principiul incertitudinii, dar este bine localizat, deci cum se schimbă bine povestea asta nu se schimbă deloc, este aceeași funcție de undă, totuși, atunci când ne extindem în stările proprii de energie, stările proprii de energie nu mai sunt stările proprii de energie nu mai sunt simple unde plane stările proprii de energie, așa cum știm pentru sistem, iau o formă diferită pentru pătrat bine și pozitiv împrăștierea energiei indică unda plană sau stările proprii de energie pe care le voi eticheta cu k doar pentru că o să numesc e este egală cu h bar pătrat k pătrat pe 2 m care este energia și energia este constantă care este k asimptotic departe de potențial, funcția de undă pot scrie ca 1 peste rădăcină de 2 pi ori e la ikx atunci când suntem pe partea stângă, dar a fi stânga pe partea stângă este echivalent cu înmulțirea cu o funcție theta de minus x minus x aceasta este funcția care este zero când argumentul său este negativ și pozitiv când argumentul său um este și una când argumentul său este pozitiv plus avem termenul reflectat care are o amplitudine r care este din nou o funcție a lui k acesta este amplitudinea de reflexie cunoscută și sub numele de c pe a e la minus psi kx din nou pe partea stângă teta a minus x plus o amplitudine de transmisie a cărei normă la pătrat este probabilitatea de transmitere e la ikx când suntem în dreapta uh x whoops theta de x bine, deci aceasta este doar o notație ușor diferită față de ceea ce scriem de obicei cu stânga și dreapta separate, așa că ceea ce vrem să facem acum este să ne descompunem funcția de undă în termeni de stările proprii de energie reale și așadar modul în care vom proceda asta și după ce am făcut asta, extinzându-ne funcția de undă în această bază proprie, putem determina evoluția timpului în felul următor, mai întâi calculăm, extindem funcția de undă la momentul 0 ca o integrală dk și o să trag rădăcină 2 pi și avem unele pentru o transformare pe care nu o voi numi f tilde pentru că este puțin diferită de f tilde, dar este ceea ce trebuie să fie coeficienții de expansiune f tilde of um da scuze f tilde de k ori această bestie phi sub k 5k bună și lasă-mă să scriu de fapt acest lucru în termeni de lasă-mă să iau de fapt acest produs și să-l scriu în ceea ce privește cei trei termeni, astfel încât acești trei termeni vor fi din nou f de k tilde e la i kx theta minus x plus f tilde r e la minus ikx theta minus x plus f tilde uh t e la i k x theta de x bine, deci să ne uităm la acești termeni, aceasta este această funcție de undă acum oh și îmi pare rău, în sfârșit, vrem să Uită-te la evoluția timpului, dar asta am început ca o suprapunere de stări cu energie definită etichetată cu k, așa că știm că evoluția în timp este e la i k x minus omega t e la i minus i k x plus omega t adică minus i omega t și k x minus omega t, astfel încât să putem imediat din acest timp funcția de undă în evoluție să identificăm acești doi termeni ca termeni cu un vârf central care se mișcă la dreapta și acesta un vârf central care se mișcă spre stânga kx plus omega t toată lumea se simte bine cu acele întrebări sau doar unde asta a venit de la oh, bine, bine, bine, deci acesta este doar o chestie notațională, așa că, de obicei, când spun că un uh phi sub k este egal cu din stânga e cu ikx uh cu o amplitudine generală a să spunem 1 peste rădăcină 2 pi e to ikx plus c peste a e la minus ikx dreapta în stânga și voi numi asta pentru că aceasta este unda reflectată, o voi numi doar r ok și apoi în dreapta avem e la ikx există doar o undă care călătorește spre dreapta și coeficientul este amplitudinea de transmisie, așa că asta este ceea ce scriem în mod normal, dar atunci folosesc funcția funcția theta așa-numita funcție theta theta a lui x este definită ca zero atunci când x este mai mic decât zero și unul când x este mai mare decât zero, bine, deci aceasta este o funcție, așa că acest lucru îmi permite utilizarea funcției theta îmi permite să scriu acest lucru ca o singură funcție fără a fi nevoie să mă uit cu o mulțime de termeni este atât de grozav pe care îl voi lua în considerare cont pentru că altfel ar trebui să avem ceva excelent excelent. Vă mulțumesc foarte mult, așa că aici ceea ce vreau să fac este să vă mulțumesc ceea ce vreau să fac este să mă gândesc la funcția de undă, deci aceasta este o descriere bună când particula este departe. și aceasta este o descriere bună atunci când particula nu este în potențial, așa că vreau doar să îmi imaginez acest lucru. Îmi pare rău, mulțumesc, am trecut complet peste acest pas. Vreau să-mi imaginez acest lucru ca un potențial în care toate potrivirile sunt implementate la x egal cu zero, bine. um, atunci când o scriu în acest mod, dar cel mai bun mod de a gândi la asta este o modalitate mai bună de a gândi la asta, aceasta este o descriere bună a funcției de undă atunci când nu ne aflăm în fântână, așa că în scopul restului analizei, Voi face asta este exact forma funcției de undă când nu ne aflăm în fântână, bine și apoi să nu folosim asta pentru a pune întrebări în interiorul puțului când o scriu în această formă theta sau pentru contează când o scriu în această formă, aceasta nu este forma la care vreau să spun este stânga fântânii și dreapta fântânii și în interiorul ikx din interior face altceva, dar nu vrem să punem întrebări despre asta bine, mișto, asta o să-mi simplifice viața rădăcină a capitalului, da, este rădăcina pătrată a capitalului t, dar trebuie să fii atent pentru că poate exista o fază. Amintește-ți că aceasta este amplitudinea și ceea ce este cu adevărat este că această reflecție s-a terminat. a și băieții ăștia sunt numere complexe și este adevărat că b peste o normă pătrat este probabilitatea de transmitere, dar b peste a are o fază și acea cantitate o voi numi t și o vom interpreta mai detaliat în câteva minute bine, bine, deci este de această formă și vreau doar să mă uit la fiecare dintre acești trei termeni și, în special, vreau să mă concentrez asupra lor la momentul 0. deci la t este egal cu 0 cum arată, bine, primul termen este integral dk din f din k e la ikx minus omega, bine theta minus x, observați că theta minus x este independent de k este independent de integrală, deci aceasta este doar o funcție ori teta de minus x ok și această funcție a fost construită pentru a ne oferi gaussianul inițial deci acesta este doar oh, scuze și acesta a fost la t este egal cu 0. deci acesta este doar gaussianul nostru în poziția x nimic centrat în jurul valorii k nimic la timp este egal cu zero theta de minus x bine, asta spune doar că um îmi pare rău la x la poziția x Îmi pare rău de x nimic, așa că această funcție este aceasta este transformata Fourier a gaussianului nostru și anulăm transformarea Fourier, așa că asta ne dă înapoi gaussianul nostru și atâta timp cât particula este departe de put, așa că iată fântâna și iată pachetul nostru de unde uh, că funcția theta este total irelevantă, deoarece gaussianul o face oricum la zero de centrul gaussianului și deci doar ca o întrebare rapidă dacă ne uităm la asta ca o funcție a lui t, așa că punem înapoi în minus omega t, deci dacă punem înapoi în dependența de timp, acesta este un val care se mișcă spre dreapta și trebuie să facem mai precis ce înseamnă să spunem că este un val care se mișcă spre dreapta, asta este o anvelopă pe acest set de unde plane și anvelopa prin construcție a fost bine localizată în jurul poziției x, dar a fost, de asemenea, bine localizată în impuls și, în special, transformata Fourier este bine localizată în jurul impulsului knaught și astfel folosind metoda fazei staționare sau doar întrebând unde este constanta de fază staționară, obținem că centrul vârfurilor vârful central al funcției de undă satisface ecuația ddk nimic dacă nu ești familiarizat cu faza staționară, anunță instructorii de restaurare uh și ei o vor discuta pentru tine, um, deci acestea sunt punctele fazei staționare ale acestui uh această suprapunere a acestui pachet de undă se află la poziția ddk nimic de kx scuze ddk de kx minus omega de kt evaluat la punctul de vârf al distribuției, dar ddk de kx minus omega t este pentru primul termen x și pentru al doilea termen ddk de omega bine știm că omega suntem în regim de particule libere um omega unde a mers um bine știm cu toții ce este este h bar h bar k pătrat pe 2 m luăm o derivată în raport cu k obținem h bar k peste m cei doi se anulează deci x minus h bar k peste m t și un loc în care acest punct în care această fază este zero unde faza este staționară se mișcă de-a lungul timpului, deoarece x este egal cu h bar k peste m t dar h bar k peste m aceasta este clasa care este impulsul p peste m care este viteza clasică, deci aceasta este v nulă la viteza asociată cu acel impuls, deci este bine că am avut Am făcut treaba corectă de a configura pachetul nostru de unde, am construit un gaussian care era departe, care se mișca cu o viteză fixă ​​către barieră și acum vrem să știm ce se întâmplă după ce se ciocnește de barieră, așa că ceea ce vrem cu adevărat să facem Întrebarea este că timpii târzii cum arată bine funcția de undă la orele târzii poziția acesteia, așa că din nou ne concentrăm pe primul termen, poziția acestui pachet de undă la momentele târzii la t pozitiv este pozitivă și atunci când este pozitivă, atunci aceasta Funcția theta își distruge contribuția la funcția de undă generală chiar acest teta este acum theta de minus un număr pozitiv și acest gaussian a dispărut, ce este înlocuit cu ei bine, acești doi termeni nu sunt neapărat zero, în special acesta se deplasează spre stânga, deci x este pe măsură ce timpul trece înainte x se mișcă din ce în ce mai mult spre stânga și astfel această funcție theta începe să se pornească și, în mod similar, pe măsură ce x devine pozitiv, această funcție theta începe să se pornească și să ne concentrăm pe acest al treilea termen transmis, așa că să ne concentrăm asupra acestui al treilea termen, deci, în special, acel termen arată ca integral dk peste rădăcină de 2 pi f ori amplitudinea de transmisie ori e la i kx minus uh omega este bine și există un theta general de x în exterior, dar pentru momentele târzii unde centrul pachetului de undă pentru că pachetul de unde transmise ar trebui să fie pozitiv, starea va fi doar una, astfel încât să-l putem ignora în siguranță, spune doar că suntem departe la dreapta și acum vreau să fac un ultim lucru, acesta a fost un general a fost un plic general, aceasta a fost amplitudinea noastră de împrăștiere și vreau să o scriu în următoarea formă, vreau să o scriu ca rădăcină t e la minus i phi unde phi este în regulă, așa că ceea ce spune aceasta este că într-adevăr, așa cum sa subliniat mai devreme norma pătratului acestui coeficient t este probabilitatea de transmitere, dar are o fază și ceea ce vreau să știu este ce înseamnă această fază ce informații sunt conținute în această fază și asta e ceea ce suntem pe cale să găsim, așa că hai să punem asta aici avem rădăcina t și minus phi bine, unde omega și k și phi sunt ambele funcții ale lui k, deoarece amplitudinile transmisiei depind de impuls sau de energie, bine și acum vreau din nou să știu cum se mișcă acest pachet de undă dacă mă uit la această undă pachet cum se mișcă pe masă cum are un grup de valuri cum se mișcă acest pachet de undă în special cu viteza y, așa că voi face din nou un argument prin faza staționară, mă voi uita la un punct de fază egal cu 0 și întrebați cum se mișcă în timp și punctul fazei staționare este din nou dat de ddk al fazei kx minus omega de kt minus 5k este egal cu zero evaluat la k0, care este locul în care anvelopa noastră are vârful brusc, astfel încât această expresie este egală cu aceasta este din nou x minus d omega dk asta este viteza clasică v nimic t minus d phi d k dar la fel ca o notă d phi d k este egală cu d omega d k d phi d omega dar aceasta este egală cu aceasta este doar regula lanțului omega dk asta este viteza clasică d omega sau definită omega care este d phi d e ori h bar i doar înmulțit cu h bar în partea de sus și de jos, deci aceasta este egală cu x minus v nimic t plus h bar d phi d e așa că mai întâi să ne asigurăm că că unitățile au sens, este o lungime care este o viteză, așa că ei au spus că ar fi bine să aibă unități de timp, care sunt bune, deci h bar ori d faza peste d e bine, o fază este energie adimensională este unități de energie h este energie ori timp, așa că acest lucru funcționează dimensional deci acesta este zero, deci afirmația este că punctul de faza staționară are această derivată egală cu zero, așa că setarea acesteia la zero ne spune că vârful funcției de undă se mișcă în conformitate cu această ecuație și deci acum, acest lucru este într-adevăr satisfăcător. ar trebui să fie într-adevăr satisfăcător din câteva motive, în primul rând, vă spune că vârful undei transmise vârful pachetului de undă transmis nu doar o undă plană vârful pachetului de undă real bine localizat se mișcă cu viteza totală v deloc constantă viteza cu care am început și asta e bine dacă s-ar fi deplasat cu o altă viteză, am fi pierdut cumva energie, ceea ce nu ar fi atât de sensibil, așa că acest pachet de undă se mișcă cu o viteză totală v nimic, dar nu se mișcă în același timp nu se mișcă așa cum vârful pachetului de undă inițial se mișcă ca și cum ar fi fost deplasat în timp, bine, deci faza și mai mult până la punctul gradientul fazei în raport cu energie rata de schimbare cu energia fazei ori h -bar ne oferă o schimbare de fază a timpului în care se află pachetul de val, deci ce înseamnă asta, deci hai să fim precisi despre asta, deci hai să interpretăm asta și iată interpretarea pe care vreau să ți-o dau, așa că în absență, luați în considerare asta În mod clasic, considerăm sistemul clasic, avem un obiect cu ceva energie și vine de-a lungul se rostogolește și găsește o barieră un put potențial și ce se întâmplă când ajunge în putul potențial se accelerează corect pentru că are mult mai multă energie relativă la potențial, așa că merge mult mai repede aici și ajunge pe cealaltă parte, încetinește din nou, așa că dacă aș fi luat o particulă cu viteză și deci să numim această poziție zero, să spunem că ajunge la acest perete la momentul zero, așa că se mișcă cu x este egal cu v nimic, dacă nu ar fi existat nicio barieră acolo, atunci în momentele ulterioare ar ieși aici într-un timp x acea distanță peste v nimic, totuși imaginați-vă că această fântână ar fi extraordinar de adânc dacă această fântână ar fi extraordinar de adânc ce s-ar întâmpla Ei bine, practic aici, viteza sa este arbitrar mare și ar sări imediat peste acest puț, da, deci viteza sa, așa că aceasta ar fi o descriere perfect bună a mișcării înainte de a ajunge la puț, dar după ce părăsește puțul, poziția este nu va fi nimic t plus bine, care este decalajul de timp, schimbarea de timp este timpul de care nu a trebuit să trecem acest decalaj și cât de mult ar fi fost acel timp, că timpul ar fi fost bine, este distanța împărțită la viteza bine, așa că acesta este timpul de care nu aveam nevoie, așa că t plus se mișcă ca și cum ar fi mai târziu t plus l peste v nimic mișto, așa că dacă am avea o fântână foarte adâncă și am urmări o particule care se mișcă, am urmări-o mișcându-se x nimic x este v nu t v nu t v nu t v nimic t plus l peste v v nimic t plus peste v bine, deci este momentul în care am compensat fiind adânc în fântână, deci există o imagine clasică pentru că merge mai repede înăuntru, așa că comparând acestea aici Am făcut un calcul al deplasării în timp din cauza particulei cuantice transversale mecanice cuantice care tranzitează bine potențialul, da, așa că haideți să le comparăm predicția clasică, aceasta spune că predicția clasică este timpul necesar delta t clasic este egal cu l peste v nimic și întrebarea este dacă aceasta este aceeași, așa că o modalitate de a formula această întrebare este aceeași cu h bar d phi d e evaluat la uh k nimic bine și din rezultatele noastre ultima dată pentru amplitudinea c peste a obținem că phi este egal cu care este doar minusul uh argumentul sau faza lui c peste a sau a coeficientului de transmisie amplitudine mică de tranziție little t phi se dovedește a fi egal cu k2 l minus arctan al lui k1 pătrat plus k2 pătrat peste 2 k1 k2 tan al lui k2l bine, mă uit la asta și nu-mi spune prea multe că este puțin derutant, așa că hai să despachetăm asta ceea ce vrem cu adevărat să știm este că este atât de aproape de rezultatul clasic, bine, așa că iată o modalitate rapidă de a verifica acest lucru, dacă știm această expresie se va simplifica aproape de rezonanță acolo unde semnul dispare, așa că să căutăm doar simplitatea lângă rezonanță și, în special, să ne uităm în apropierea rezonanței k2 l este egal cu n pi, apoi se dovedește că un calcul rapid vă oferă h bar d phi d e la această valoare a k la acea valoare a energiei merge ca l peste 2 v nimic ori 1 plus hoops 1 plus energia peste adâncimea puțului v nimic acum amintiți-vă că aproximarea clasică a fost l peste v nimic tocmai am făcut asta Am făcut-o foarte repede presupunând o fântână arbitrar adâncă, așa că v nimic este arbitrar mai mare ca magnitudine decât e, deci acest termen este neglijabil, așa că în cazul în care ar trebui să comparăm acel rezultat clasic foarte simplu naiv este aici l peste două v nimic și ceea ce vedem este că rezultatul mecanic cuantic dă o schimbare de timp care este redusă cu un factor de doi, bine, așa că ce se întâmplă bine, aparent, lucrurile s-au încetinit în timp, timpul pe care ne-a trebuit să-l traversăm a fost mai mare decât ai fi ghicit naiv făcându-l arbitrar profund și putem face acest lucru puțin mai clar prin trasarea în funcție de e peste v nimic, uh, schimbarea de fază reală, așa că predicția clasică dacă faci o treabă mai bună decât a spune că este infinit de adâncă, predicția clasică arată cam așa bine și aceasta este pentru delta t- ul clasic de schimbare a timpului când te uiți la rezultatul mecanic cuantic corect, iată ce găsești hopa, unde diferența este un factor de doi, jumătate din înălțime în jos și din nou cu jumătate de înălțime mai jos, deci acesta este acel factor de două la parter, astfel încât pachetul de undă merge de fapt un pic mai repede decât ar ghici predicția clasică, cu excepția rezonanței apropiate și acestea sunt la valorile rezonante ale impulsului la valorile rezonante ale impulsului care durează mult mai mult pentru a le transmite. de a merge puțin mai repede decât rezultatul clasic, merge cu un factor de doi mai lent decât rezultatul clasic și așa că acum vă pun întrebarea de ce merge mai încet de ce petrece atât mai mult timp în interiorul puțului cuantic mecanic decât este ar fi în mod clasic de ce particulei durează atât de mult timp să tranziteze puțul aproape de rezonanță, da, exact așa că particula clasică trece doar peste particula mecanică cuantică are o suprapunere a contribuțiilor la amplitudinea sa acolo unde tranzitează tranzit bounce tranzit tranzit bounce bounce săriți tranzitul și acum puteți întreba cât timp a petrecut fiecare dintre acele particule imaginare care se mișcă în mod imaginar și dacă sunteți atent la modul în care ați configurat acea întrebare, puteți recupera acest factor de două care este destul de frumos, dar cel mai important lucru. aici este momentul în care atingeți rezonanță, procesele multiple de împrăștiere sunt importante, nu se anulează, nu sunt în fază aleatorie, nu interferează distructiv între ele, interferează constructiv și obțineți o transmisie perfectă tocmai datorită interferența constructivă a unui număr infinit de contribuții la amplitudinea mecanică cuantică bine și asta este din nou, vedem același lucru în această încetinire enervantă și asta ne spune un alt lucru, totuși, care este că faza faza de împrăștiere faza în amplitudinea transmisiei conține o mulțime de fizică a sistemului, ne spune despre cât timp este nevoie ca pachetul de undă să tranziteze eficient potențialul, da îmi pare rău, axa verticală, aici este timpul necesar pentru schimbarea în timp datorită faptului că că a trecut peste așa bine și a mers puțin mai repede înăuntru, bine, așa că empiric ceea ce înseamnă este când ieși foarte departe și te uiți la viteza mișcării pachetului de undă și te întrebi cât timp a trecut de când a ajuns bariera, în primul rând, a durat mai puțin timp decât ai fi ghicit știind că viteza sa este deloc inutilă și timpul mai mic este atât de mult timp care răspunde la întrebarea ta bine de uh, da, sare de două ori um uh așa că Amplitudinea clasică este așa atunci când comparăm lungimea clasică cu limita în care nimic nu merge la infinit, deci comparația este doar un factor de doi, bine, este mai complicat aici și cred că nu este în limită în care nu este nimic. este mare, aceasta este exact o jumătate de bine, are da, are rezonanțele duc la acest factor suplimentar de jumătate um, așa că, dacă nu știu, trebuie să spun că nu-mi amintesc exact dacă așa cum includeți termenii sublider ai unu peste v nimic, indiferent dacă rămâne o jumătate sau dacă nu, dar în limita că v nimic nu este mare, rămâne fie aproape de jumătate, fie exact unul dacă pur și simplu nu îmi amintesc exact lucrul important este că există o scădere bruscă, durează mult mai mult pentru a tranzita și astfel obțineți mai puțin timp bonus, așa cum ar fi, ați câștigat mai puțin timp în modelul mecanic cuantic decât în modelul clasic și când faceți experimentul obțineți rezultatul cuantic corect, așa că acesta este punctul crucial, alte întrebări, bine, deci faza conține o mulțime de fizică, așa că vreau să generalizez toată povestea într-un mod foarte particular și acest mod de a reorganiza împrăștierea în 1d, așa că ceea ce suntem ceea ce facem acum este că studiem problemele de împrăștiere într-o singură dimensiune, dar trăim în trei dimensiuni, povestea va fi mai complicată în trei dimensiuni, va fi mai complicată în două dimensiuni, dar ideile de bază sunt toate aceleași, sunt doar detaliile vor fi diferite și un lucru care se dovedește a fi foarte util în organizarea împrăștierii atât într- o dimensiune, cât și în trei dimensiuni, ceva numit matrice de împrăștiere și voi vorbi despre asta acum în trei dimensiuni, aproape că vreau să spun că este esențial, dar chiar și într-o dimensiune în care de obicei nu este folosit, este o modalitate foarte puternică de a ne organiza cunoștințele despre sistem așa cum sunt codificate de datele de împrăștiere, așa că iată ideea de bază, așa cum am discutat înainte, ceea ce vrem cu adevărat să facem în lumea ideală este să luăm un potențial necunoscut într-o regiune mărginită într-o regiune delimitată, într-o regiune și în afara, avem potențialul este modul constantă abilitățile mele artistice proaste, așa că potențialul este constant aici și potențialul ar putea fi ceva oribil aici pe care nu se întâmplă să-l cunoaștem și vrem să îl cunoaștem. Citiți din procesul de împrăștiere, vrem să putem face ceva cu privire la potențial, așa că, de exemplu, putem deduce energia pasului nostru sau putem deduce energia arătând atât de bine încât putem reduce energia privind la um poziția barierelor și putem dezlega poziția energiei și uh lățimea adâncimea și lățimea uitându-ne la schimbarea de fază uitându-ne la întârzierea în timp, astfel încât să putem deduce toți parametrii potențialului nostru prin Privind punctele de rezonanță și schimbările de fază, vreau să fac asta în general pentru un potențial general și pentru a-l configura, trebuie să fim puțin mai generali decât am fost bine, așa că în general, dacă rezolvăm acest potențial pe măsură ce am am vorbit înainte de a avea a și d oh scuze un plus b i e la i k x minus i k x aici și aici avem c e la i k x și d e la semnul minus și nu o să întreb ce se întâmplă înăuntru acum putem face După cum discutăm două tipuri de experimente de împrăștiere, putem trimite lucruri din stânga, caz în care a este diferit de zero și apoi lucrurile se pot transmite sau reflecta, dar nimic nu va veni de la infinit, așa că d este zero sau am putea face același lucru în trimite invers de aici și asta corespunde unui zero, nimic care vine în acest fel, dar d non-zero și, mai general, putem pune următoarea întrebare, uite să presupunem că trimit o cantitate de lucruri din stânga și trimit o cantitate de lucruri intră din dreapta d, atunci asta îmi va spune câte lucruri vor ieși la dreapta și câte vor ieși la stânga, da dacă îmi spui câte intră, o să- ți spun câte vor ieși bc, deci, dacă ați putea rezolva această problemă, răspunsul este doar o relație o pereche de relații liniare între acestea și o putem scrie ca o matrice pe care o voi numi s11 s12 s21 s22 bine, ceea ce face această matrice este că ia amplitudinea dvs. trimiteți din stânga sau dreapta și vă spune amplitudinea care iese la stânga sau la dreapta, da, de unde am ști că această relație este liniară, dacă dublezi cantitatea de lucruri care intră, atunci trebuie să dublezi cantitatea de lucruri care merg sau probabilitatea nu este conservată, de asemenea, am derivat aceste relații, știți cum funcționează relațiile, relațiile funcționează prin satisfacerea unei serii de ecuații liniare uh între diferiții coeficienți, astfel încât să aveți continuitate și diferențiere în toate punctele de potrivire, dar lucrul crucial de liniaritate este că aveți nevoie de probabilități conservate și evoluția timpului este liniară, deci alte întrebări sunt bine, deci aceasta este doar o matrice stupidă și nu este surprinzător o numim matricea s în toată măreția sa, um, iar ideea de bază este aceasta pentru probleme de împrăștiere dacă dacă cineva vă spune matricea s și, în special, dacă cineva vă spune cum toți coeficienții matricei s variază în funcție de energie, atunci ați rezolvat complet orice problemă de împrăștiere, spuneți-mi ce a și d sunt grozave, vă voi spune exact ce b și c sunt mod cu mod și pot face acest lucru pentru o suprapunere, astfel încât acest lucru vă permite să rezolvați complet orice problemă de împrăștiere în mecanica cuantică odată ce o cunoașteți, așa că este suficient să știți s pentru a rezolva toate problemele de împrăștiere, așa că să vreau să cheltuiesc acum doar puțin timp să mă gândesc la ce proprietăți trebuie să satisfacă matricea s și componentele ei ce lucruri ce proprietăți trebuie să satisfacă matricea s pentru a știi să fii bine cu restul regulilor mecanicii cuantice și nu o să fac studiază orice sistem anume, vreau doar să pun întrebări generale, așa că primul lucru care trebuie să fie adevărat este că lucrurile nu pur și simplu nu dispar, cred că dispar, este probabil cea mai potrivită, astfel încât lucrurile să nu se scurgă din lume, așa că orice se întâmplă in trebuie să iasă, așa că ceea ce înseamnă este norma unui pătrat plus norma d pătrat care este densitatea de probabilitate în sondă și densitatea de probabilitate afară trebuie să fie egală cu b pătrat plus c pătrat bine toată lumea este de acord cu asta de ce nu pot rămâne lucrurile în potențial, aceasta este o întrebare bună, așa că da, este o stare staționară, dacă ne uităm la stările proprii de energie fixă, știm că suntem într- o stare staționară, deci indiferent de amplitudinea care merge la mijloc este aceasta trebuie să iasă și din dreapta mijloc, așa că există o altă modalitate de a spune asta și anume că um, hai să ne gândim la asta, nu în termeni de energie, energie individuală, pot spune, deci hai să ne gândim la asta în termeni de pachete de valuri, așa că dacă luăm un val pachet de lucruri și trimitem acel pachet de val, are un anumit impuls, um oh, asta va deveni tehnic delicat, lasă-mă să rămân cu prima, prima afirmație, care este că, dacă lucrurile intră, atunci trebuie să iasă și ele prin faptul că aceasta este o stare proprie de energie, distribuția generală a probabilității nu se schimbă în timp, așa că dacă lucrurile au intrat și nu au ieșit, ar însemna că rămâne acolo, asta ar însemna că densitatea probabilității se schimbă în timp, ceea ce nu este. ce se întâmplă într-o stare proprie de energie, distribuția probabilității este independentă de timp, toată lumea îl numește bine, deci bine, deci să ne gândim totuși despre ce este asta, pot scrie asta în următorul mod frumos, pot scrie asta ca un conjugat complex d complex conjugat whoops d complex conjugat a d și în partea dreaptă acesta este egal cu uh b complex conjugat c complex conjugat bc nu am făcut altceva decât să scriu asta într-o formă sugerată, dar b și c sunt egale cu matricea s, deci bc este s matrice ori a și b benzi desenate conjugatul c conjugatul complex este conjugatul complex transpus, deci acesta este egal cu un conjugat complex d conjugat complex s conjugatul complex transpus cunoscut și sub numele de adjunct și acesta este pe a d da, dar acesta trebuie să fie egal cu acesta pentru orice a și d, deci ceea ce trebuie să fie adevărat pentru s pumnal s ca matrice trebuie să fie identitatea ca matrice pentru ca aceasta să fie adevărată pentru toate a și e ah, chestii grozave nu dispar s este un unitar matrice deci s este matrice unitară inversul său este adjunctul său bine și veți dovedi acest lucru mai mult um uh eleganță um veți studia asta mai detaliat despre setul de probleme pe care l-ați arătat uh definiția unitarului ai studiat definiția unitarului și ultima problemă este că în regulă, deci acesta este primul lucru despre s și se dovedește a fi complet general oricând, indiferent dacă ești într-o dimensiune sau în două dimensiuni sau trei, dacă trimiți lucruri în el, nu ar trebui să să se blocheze, ar trebui să iasă și când iese, uh, afirmația că iese pentru stările proprii de energie este afirmația că s este o matrice unitară întrebări în acest sens, deci o consecință a acesteia este că valorile proprii ale lui s sunt faze faze pure astfel încât să pot scrie s, le voi scrie ca s1 e la i uh phi 1 și s2 este egal cu i phi 2. bine, deci afirmația că s este o matrice unitară duce la constrângeri asupra coeficienților bine și vei merge pentru a le deriva din setul dvs. de probleme, le voi enumera acum, așa că primul este că mărimea lui s1 1 este egală cu mărimea lui s22, magnitudinea lui s12 este egală cu mărimea lui s21 oops bun și mai important s12 norma pătrat plus s unu pătrat este egal cu unu și în cele din urmă s11 s2 s12 complex conjugat plus doi unu s doi doi complex conjugat uh este egal cu zero, deci ce înseamnă acestea care sunt aceste condiții care ne spun care sunt acestea pot, deci sunt ei ne spun, desigur, că sunt o consecință a conservării probabilității, dar au o altă semnificație și să obținem acel alt sens, să ne uităm la definiția amplitudinilor de transmisie, așa că luăm în considerare în special cazul în care trimitem lucruri. de la stânga și nimic din dreapta, astfel încât să corespundă cu d este egal cu zero, deci atunci când d este egal cu zero, ce ne spune acest lucru, ne spune că b este egal cu și a este egal cu unu pentru normalizare, deci b este egal cu bine d este egal cu zero, deci este doar s11 a deci b peste a este s11 și, în mod similar, c peste a este s21, dar c peste a este lucrul pe care l-am numit amplitudinea de transmisie mic t și aceasta este amplitudinea de reflexie mic r, deci aceasta este reflexia amplitudine dacă trimitem lucruri și respinge reflexul la stânga și aceasta este amplitudinea de transmisie pentru transmiterea la dreapta, toată lumea se răcește cu asta și, de aceea, aceasta este reflexie la stânga, aceasta este transmisie la dreapta cu același simbol aceasta va fi transmisie la stânga și reflectare la dreapta, așa că acum să ne uităm la aceste condiții s11 este reflexie aceasta va fi reflectare aceasta spune că reflectarea la stânga este egală cu reflectarea la dreapta ca mărime înainte de ceea ce Am văzut că pentru pasul simplu, reflexia a fost egală cu reflexia, amplitudinea reflexiei a fost egală de la stânga la dreapta nu doar mărimea, ci valoarea reală a fost egală de la stânga, iar la dreapta a fost un pic o înșelăciune pentru că erau real și am văzut că aceasta a fost o consecință a faptului că nu știam nimic mai mult despre el, dar acum vedem că, din motive generale de conservare și probabilitate, amploarea reflecției la stânga și la dreapta pentru orice. potențialul ar fi mai bine să fie egal și, în mod similar, amploarea transmisiei pentru stânga și transmisia spre dreapta ar fi mai bine să fie egale toate celelalte lucruri fiind uh, știți dacă trimiteți din stânga și apoi transmiteți spre stânga sau trimiteți de la dreapta și transmitând la dreapta și ce ne spune acesta bine s12 și s11 care ne spune că t pătrat mic t pătrat care este probabilitatea totală trans de a transmite plus mic r pătrat norma pătrat este probabilitatea totală de a reflecta este egală la unul și am văzut-o și pe aceasta ultima dată și aceasta a fost definiția anterioară a că nimic nu se blochează și aceasta pe care o veți studia pe setul dvs. de probleme, este puțin mai subtil, bine întrebări, da încă o dată, da, am înțeles, e bine, așa că modul am primit s a fost mai întâi unitar, aceasta este doar definiția lui s s este matricea pe care g pentru orice energie leagă a și d amplitudinile de intrare cu amplitudinile de ieșire b și c doar definiția între timp eu susțin că lucrurile nu dispar nimic nu se blochează nimic nu se blochează nimic nu dispare, așa că densitatea totală a probabilității ca obiectele să intre trebuie să fie egală cu densitatea totală a probabilității ca obiectele să iasă, dar probabilitatea aceasta probabilitatea ca lucrurile să intre poate fi exprimată ca acest vector rând înmulțit cu acest vector coloană și pe afară acest vector rând înmulțit cu acest vector coloană și acum folosim definiția matricei s, acest vector coloană este egal cu s ori acest vector rând, da b c este egal cu s ori a d și când iau conjugatul complex transpus, obținem un d transpune complex conjugat s transpune complex conjugat, dar asta este adjunct, dar pentru ca acest lucru să fie adevărat pentru orice matrice, orice vector a și d trebuie să fie, așa cum trebuie să fie eșalonat s este unitarul este identitatea, dar aceasta este definiția unui unitar matrice cool alții bine, vei demonstra o varietate de lucruri pe setul de probleme despre matricea de împrăștiere și coeficienții ei, dar vreau să-ți arăt două proprietăți ale ei, prima este relativ modestă și va face puțin mai clar rezultatul pasului pe care l-am obținut mai devreme, că reflectarea în ambele direcții a potențialului pas este de fapt exact aceeași, deci unde am pus acest lucru bun, așa că să presupunem că sistemul nostru este invariant cu inversarea timpului, deci dacă t merge la minus, nu se va schimba nimic nu este adevărat, de exemplu, dacă am avut curenți electrici în sistemul nostru, deoarece, pe măsură ce luăm t la minus t, curentul se inversează, deci dacă curentul lor apare în potențial sau dacă un câmp magnetic datorat unui curent apare în energia potențială, atunci pe măsură ce schimbăm t în minus t, schimbăm direcția curentului, schimbăm direcția câmpului magnetic, deci în sistemele simple în care avem invarianți de inversare a timpului, de exemplu electrostatică, dar nu, de exemplu, magnetostatică, presupunem că avem inversare și varianță în timp atunci ceea ce Am arătat într-un set de probleme anterior că psi este o soluție, apoi conjugatul complex psi stea psi este, de asemenea, o soluție și folosind acestea, ceea ce veți, ceea ce puteți arăta și nu voi trece prin pașii pentru acest lucru bine. este ușor, așa că dacă facem inversarea timpului, funcția de undă privind în stânga sau în dreapta, deci comparând acești tipi, um, deci ceea ce se schimbă bine la inversarea timpului obținem o soluție, așa că având în vedere această soluție, avem o altă soluție o stea la minus i k x b star e la plus i k x vezi minus star star plus bine, așa că putem rula exact același joc acum cu această amplitudine și când puneți aceste condiții când puneți împreună condițiile pe care le veți face la problema setați um așa un alt mod de a spune că aceasta este aceeași soluție cu k la minus k și cu a și b ex înlocuite cu conjugatele lor complexe și c și d înlocuite cu conjugatele complexe ale celuilalt, atunci acest lucru implică faptul că trebuie să fie adevărat că a uh și d care sunt acum, băieții care ieșire, pentru că am inversat timpul este egal cu s și voi scrie acest lucru în mod explicit s11 s12 s21 s22 b stea și c stea bine și așa că acestea împreună vă dau că ar fi trebuit să fac asta aici, prin urmare, este conjugatul complex s este egal cu unu bine, deci dacă s conjugat complex s este egal cu unu, atunci s invers este egal cu s transpun doar punând acest lucru la dreapta, astfel încât s transpoziție este egal cu s invers este egal cu s adjunct deoarece s este și unitar, deci timpul inversarea și varianța implică, de exemplu, că s este egal cu whoops um uh că s pumnal este egal cu s r s este egal cu s transpune tulpină invers asta este ceea ce am vrut să scriu aici, ne dă că s este egal cu s transpune și în special aceasta ne spune că s21 este egal cu s12, termenii în afara diagonalei sunt egali nu doar ca mărime, ceea ce a fost asigurat de unitaritate, ci dacă în plus față de a fi un sistem unitar, ceea ce desigur ar trebui să fie dacă, în plus, este invariant de inversare a timpului, atunci vedem că termenii în afara diagonalei sunt egali nu doar în mărime, ci și în fază și, după cum știți, faza este importantă, faza conține fizică, vă spune despre întârzierile de timp și schimbările în procesul de împrăștiere, astfel încât fazele sunt aceleași afirmația. nu este unul banal, conține fizică, așa că atunci când sistemul este invariant cu inversarea timpului, fazele sunt fazele, precum și amplitudinile sunt aceleași și veți deriva o serie de condiții sau consecințe înrudite pentru matricea s din diferite proprietăți ale sistem, de exemplu, paritate, dacă puteți, dacă aveți un potențial simetric, dar acum vreau să o fac în ultimele minute vreau doar să vă spun un lucru cu adevărat minunat, așa că ar trebui să fie destul de clar în acest moment că toate informațiile despre împrăștiere sunt conținute în matricea s și dependența acesteia de energie, dacă știi care sunt amplitudinile incidente, știi care sunt amplitudinile de ieșire și asta e grozav pentru că poți măsura corect, poți lua un potențial pe care îl poți trimite literalmente într-un fascicul de particule pe care îl poți trimite. pot întreba cât de probabil sunt ei să iasă și, mai important, dacă construiesc un pachet de undă în medie, care este întârzierea sau accelerația pachetului de unde transmise și astfel pot măsura și faza, pot măsura atât probabilitățile de transmisie, cât și fazele eliberează gradientul către faza cu energia menținută, mergeți înainte, există o condiție specială pe care o putem impune pentru a vedea rezonanța excelentă, țineți întrebarea dvs. pentru o secundă, da, așa că există o cantitate enormă de fizica împrăștierii conținută în s matrice și puteți măsura matricea s și puteți măsura dependența acesteia de energie puteți măsura coeficienții s12 și s22 fazele și amplitudinile lor în funcție de energie și le puteți reprezenta grafic și iată de ce vreau să vă conving dacă le reprezentați grafic și vă uitați la modul în care funcțiile se comportă ca funcții ale energiei și întrebați cum se extind acele funcții la energia negativă, doar trasând linia continuând liniile, puteți obține energia oricăror stări legate în sistem și cunoașterea împrăștierii. este suficient pentru a determina energiile legate de starea unui sistem și permiteți-mi să vă arăt asta și acesta este unul dintre cele mai tari lucruri din mecanica cuantică, așa că iată cum funcționează asta avem din definiția matricei s că bc este egal cu matricea s pe un d exact unde funcția de undă permiteți-mi să pun asta înapoi în forma originală este c d a b e la i k x e la minus i k x și e la plus i k x e la minus i k x da, așa că aceasta este definiția matricei s matricea s la un energia dată e este această relație este o matrice de relații de coeficienți între intrarea de ieșire sau mai mult până la punctul a și d și în toate acestea am presupus că energia a fost pozitivă că k1 și k2 sunt sunt pozitive și reale, dar acum să punem întrebarea ce s-ar fi întâmplat dacă în întregul proces aș fi luat um luăm energia mai mică decât zero, așa că dacă energia ar fi mai mică decât zero în loc de k k ar fi înlocuită cu i alfa să ne gândim la ce înseamnă asta dacă k este i alfa aceasta este e la i k este minus alfa și minus ik este plus alfa plus alfa în mod similar de k ori i asta îmi dă un minus alfa și asta îmi oferă un plus alfa da, așa că, ca ecuații, sunt aceleași ecuații cu k înlocuit cu eu alfa da și acum ce trebuie să fie adevărat pentru această stare pentru ca aceste stări să fie normalizabile, ceea ce trebuie să fie adevărat, de exemplu, a trebuie să fie zero, deoarece la minus infinit, aceasta diverge, nu este normalizat, deci pentru a fi un bouncy pentru a avea o starea fizică a trebuie să fie zero, cum rămâne cu d, același motiv pentru care trebuie să fie zero la infinitul pozitiv, acești bărbați sunt convergenți, deci c și b pot fi diferite de zero, așa că acum iată întrebarea mea: pot împrăștia o stare din a b știm că aceste relații trebuie fi adevărat pentru că toate aceste relații sunt codificate toate aceste relații sunt codificate este modul în care o soluție aici se potrivește cu o soluție aici printr- un potențial între ele cu continuitatea continuității derivatei și orice altceva care este adevărat despre acel potențial în tot ceea ce face s din asta punctul de vedere îmi spune cum acești coeficienți se potrivesc cu acești coeficienți, da, acum, pentru o stare legată, deci, dacă avem e mai mic decât zero, ceea ce trebuie să fie adevărat, trebuie să fim adevărat că a d este egal cu zero și în special zero zero corect, deci ce sunt b și c oh bine, o matrice ori 0 este egală cu, cu excepția cazului în care matricea în sine este divergentă și atunci trebuie să fii mai atent, dar să fim naivi pentru moment dacă a este 0 0, atunci pentru ca b și c să fie non -zero s trebuie să aibă un pol s trebuie să meargă ca unul peste zero s trebuie să diverge la o valoare specială a energiei, bine, e ușor, asta vă spune că, dacă vă uitați la un anumit coeficient în s, oricare dintre elementele matricei lui s numărătorul poate fi orice vrei un număr finit, dar numitorul ar fi mai bine să fie zero, așa că hai să ne uităm la numitor dacă calculez s21 oh, de fapt, lasă-mă să fac asta aici hai să calculăm ah nu, totul este plin la naiba, hai să o facem aici, așa că dacă mă uit la s21 pentru barieră sau pentru puțul potențial de împrăștiere a puțului potențial la care ne-am uitat la începutul prelegerii de astăzi acest tip și acum mă voi uita la s21 unul dintre coeficienții acestui tip, cunoscut și sub numele de amplitudine de împrăștiere. t pentru fântână aceasta este egală cu și are o expresie groaznică 2 k1 k2 e la ik k2 l peste 2 1 k 2 cos de k prim l minus i k pătrat plus k 1 pătrat plus k 2 pătrat ori sinus de k 2 l bine acesta este un lucru oribil, dar acum întreb starea uite când are acesta un pol pentru ce valori ale energiei face asta atunci când energia continuă să fie negativă pentru ce valori are acesta un pol sau numitorul are un zero și răspunsul este dacă iei asta și masezi ecuația, acesta este egal cu 0 puțin, obții următoarea expresie k2 l pe 2 tangenta lui k2 l pe 2 este egal cu k1 l pe 2. aceasta este condiția pentru limita starea energiilor puțului pătrat și am calculat-o folosind doar cunoștințele stărilor de împrăștiere dacă ați luat particule și un puț pătrat și ați rulat particulele peste potențialul puțului pătrat și ați măsurat în funcție de energie amplitudinea de împrăștiere amplitudinea de transmisie în particular s21 un element al matricei s și l-ați reprezentat în funcție de energie și apoi ați aproximat asta printr- o funcție de energie care satisface proprietățile de bază ale unitarității ceea ce ați găsi este că atunci când extindeți acea funcție în matematică la minus o anumită valoare a energiei, numitorul diverge la acea energie, știți că va exista o stare legată și astfel, din împrăștiere, ați determinat existența unei stări legate și așa găsim o mulțime de particule pe care le avem de fapt. deducem că trebuie să existe în lumea reală pe care o vom ridica data viitoare [Aplauze]