[SCRÂȘIT] [FOȘIT] [CLIC] PROFESORUL: OK, deci orto-- astăzi, vom discuta despre bazele ortonormale ale unui spațiu Hilbert. Așa că permiteți-mi doar să-mi amintesc ce am făcut la sfârșitul timpului trecut. Am introdus mulțimi ortonormale maxime, deci o colecție de vectori în a-- am putea spune un spațiu pre-Hilbert, dar să spunem într- un spațiu Hilbert. Deci, acesta este maxim dacă u în H și u, e lambda este egal cu 0 pentru toate lambda din index implică faptul că u este egal cu 0. Deci o colecție de-- deci ar trebui să spun că o colecție de vectori ortonormali-- ortonormali este maximă dacă singurul lucru care este ortogonal cu toate acestea este vectorul zero. Și ultima dată, am demonstrat că -- fie H un spațiu Hilbert separabil, adică are o submulțime densă numărabilă. Majoritatea... Adică, cred că toate spațiile Hilbert cu care ai intrat în contact sunt separabile. Cn, Rn, de asemenea mic l2, mare L2 - asta este ceea ce faci în sarcină. Acesta este, de asemenea, separabil - atunci H are o submulțime ortonormală maximă numărabilă, e sub n. Așa că am demonstrat acest lucru la sfârșitul ultimei timpi prin procesul Gram-Schmidt. Am luat o colecție numărabilă de... o colecție numărabilă de elemente în spațiul Hilbert, care erau dense. Și apoi am format acest subset ortonormal numărabil. Și nu ar trebui să pun N, N majuscul, deoarece aceasta ar putea fi o colecție finită sau ar putea fi o colecție infinită numărabil. Dar apoi am aplicat procesul Gram-Schmidt la acea colecție de elemente dense și am venit cu acest subset ortonormal maxim. Acum, avem un nume special pentru subseturile ortonormale maxime numărabile dintr-un motiv întemeiat, după cum vom vedea. Deci, fie H un spațiu Hilbert. O bază ortonormală a lui H este o submulțime ortonormală maximă numărabilă -- n- ar trebui să spun din nou n și N -- a lui H. Deci o bază ortonormală este doar un nume special pe care îl dăm acelor submulțimi ortonormale maxime care sunt numărabile, adică ele poate fi fie finit, fie infinit infinit. Deci, din nou, toate spațiile Hilbert pe care le-am întâlnit în practică - de exemplu, Cn, mic l2, mare L2, care sunt toate separabile, ceea ce înseamnă că au submulțime ortonormală maximă numărabilă, adică au o bază ortonormală - deci au aceste obiecte. Acum, de ce numim-- de ce numim un ortonormal numărabil-- sau un subset ortonormal maxim numărabil o bază totală ortonormală? Deci, o bază ar trebui să fie ceva în care puteți scrie fiecare vector din spațiu ca un fel de combinație liniară a elementelor bazei, nu? Acum, ne-am ocupat de baza Hamel - sau baze, care sunt puteți scrie fiecare element ca o combinație liniară finită a elementelor din acest subset. Acum, în acest cadru, în ce sens este aceasta o bază? Sau ce este... N-ar trebui să spun, este o bază? Dar în ce sens se leagă acest lucru cu ceea ce am întâlnit, să zicem, în dimensiuni finite? O bază ortonormală - așa cum se spune în următoarea teoremă, fiecare element poate fi scris acum ca o combinație liniară infinită de elemente ale unei baze ortonormale, nu neapărat finite. Deci afirmația este următoarea: dacă en este o bază ortonormală în spațiul Hilbert H, atunci pentru tot u din H, dacă mă uit la suma parțială, un produs interior e sub n, e sub n, aceasta converge ca n merge la infinit la elementul u din spațiul H. Scris într-o formă mai scurtă este că u este egal cu suma de la n egal cu 1 la infinitul lui u produs interior e sub n, e sub n. Uneori, aceasta este denumită o serie Fourier-Bessel. Deci, la fel ca în dimensiunile finite, dacă aveți o bază ortonormală constând din doar un număr finit de vectori, atunci puteți extinde fiecare vector din acel, de exemplu, Cn în acest fel. Acum, afirmația este, într-un spațiu Hilbert, dacă aveți o bază ortonormală în acest sens, adică este o submulțime maximă sau ortonormală numărabilă, atunci puteți extinde fiecare element ca o combinație liniară infinită a acestor elemente. OK, deci pentru a demonstra acest lucru, vom folosi inegalitatea lui Bessel și completitudinea lui H. Aici folosim faptul că H nu este un spațiu pre-Hilbert, ci un spațiu Hilbert, bine? Ceea ce vom face este că vom putea arăta că partea dreaptă a acestei egalități -- așa că vom putea arăta că această serie aici converge în H. Aceasta folosește inegalitatea lui Bessel. iar faptul că H este un spațiu Hilbert converge către un element. Și apoi vom folosi faptul că această colecție este maximă pentru a arăta că produsul interior a ceea ce definește acest lucru cu fiecare element e sub n este același cu produsul interior al acestui lucru cu fiecare element e sub n, și apoi concluzionați că acest lucru din partea dreaptă trebuie să egaleze acest lucru. În regulă, deci dacă mai întâi dovedim că șirul sumelor parțiale - deci m este Cauchy. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deci, prin inegalitatea lui Bessel, avem că suma lui n este egală cu 1 până la infinitul lui u pătrat - acest lucru converge. Deci singurul lucru pe care trebuie să-l verificăm este că, deoarece aceasta este o serie care implică termeni nenegativi, acest lucru este mărginit mai sus. Și avem prin inegalitatea lui Bessel că aceasta este întotdeauna delimitată mai sus de norma u pătratul. Deci această sumă, această serie converge către un număr finit. În special, seria -- sumele parțiale corespunzătoare acestei serii este o succesiune Cauchy de numere reale, de numere reale nenegative. Astfel, există un număr natural N astfel încât pentru toate-- să vedem-- toți N mai mari sau egali cu M, avem că coada este mică, adică n este egal cu N plus 1 infinitate mai mică decât epsilon. Puteți doar să vă uitați înapoi în bancnotele dvs. de 18.100 sau orice altceva, dacă am o serie de termeni nenegativi care converg, atunci pentru fiecare epsilon, pot găsi un N majuscul astfel încât coada, deci începând suma la o intrare suficient de mare , va fi mic. Atunci pentru toate m mai mari decât l mai mari decât acest M capital, dacă am calculat norma lui n egal cu 1 la m u produs interior e sub n, e sub n minus N este egal cu 1 la l u e sub n, e sub n pătrat. Și să facem din asta un pătrat. Pot sa fac asta. Acest lucru îl puteți calcula doar. Expandând acest lucru ca produsul interior al întregului lucru cu el însuși, aceasta vă oferă suma de la n egal cu l plus 1 până la m din u en pătrat. Și din moment ce l este mai mare sau egal cu m, acesta este cu siguranță mai mic sau egal cu... ei bine, pot pune infinitul aici. n este egal cu l plus 1 u produs interior e sub n pătrat. Și asta este mai puțin decât... deoarece l este mai mare sau egal cu M majuscul, putem folosi această inegalitate. Și asta este mai puțin de epsilon pătrat. Deci am arătat că pentru n și l mai mari decât sau egal cu capitalul M, norma pătratului diferenței este mai mică decât pătratul epsilonului. Și, prin urmare, norma diferenței este mai mică decât epsilon, demonstrând că succesiunea sumelor parțiale este Cauchy. OK, așa că am demonstrat că succesiunea sumelor parțiale este Cauchy. Deci, deoarece H este complet, există un element u în H astfel încât u-bar este egal cu limită, deoarece n merge la infinit este egal cu 1 m din aceste sume parțiale, unde această limită înseamnă că norma diferenței în H converge la 0 Deci, pe scurt, din nou, asta înseamnă... acum, ceea ce aș vrea să fac este să arăt că u-bar este egal cu u. Nu mă refer la conjugat complex. Mă refer doar la un element al lui H. Și acum, cum vom face asta este să arătăm că produsul interior al lui u minus u-bar față de fiecare element din această submulțime ortonormală maximă este 0 și, prin urmare, să concluzionam că u este egal cu u-bar . Acum, avem acest rezultat, că produsul interior este continuu în raport cu intrarea. Deci, prin continuitatea produsului interior, avem că produsul interior al lui u-- deci permiteți-mi-- deci, pentru tot numărul natural l, produsul interior al lui u minus u-bar cu el, acesta este egal cu -- u -bar este egal cu limita pe măsură ce m merge la infinitul acestei sume parțiale în H. Deci acest produs interior este egal cu limita pe măsură ce m merge la infinitul lui u minus suma din n este egal cu 1 la m din u en, en inner product el. Și asta este, de asemenea... Adică, sunt sigur că ai văzut asta la un moment dat. Dar și de aceea coeficienții care apar în fața enului sunt așa cum sunt. Deci aceasta este egală cu limita pe măsură ce m merge la infinitul u produs interior el minus suma de la n este egală cu 1 la m din u en, en produsul interior el. Și când n nu este egal cu l, așa că nu uitați, acestea sunt ortonormale. Când n nu este egal cu l, primesc 0. Și când n este egal cu l, primesc 1. Deci tot ceea ce iau este u-- acest lucru se reduce doar la u produsul interior el, care se anulează cu acesta. Și, prin urmare, primesc 0. Bine, așa că am arătat că pentru fiecare l, u minus u-bar produsul interior cu el este 0. Și, deoarece această colecție este maximă, orice produs interior cu-- deci singurul element care este ortogonal pentru fiecare element din această colecție este 0. Aceasta înseamnă că u minus u-bar este egal cu 0. Și, prin urmare, u este egal cu u-bar, ceea ce înseamnă că u este egal cu această serie. OK, deci am arătat că, dacă un spațiu Hilbert are o bază ortonormală, atunci fiecare element poate fi extins în ceea ce se numește de obicei o serie Fourier-Bessel în acest fel, în ceea ce privește elementele bazei ortonormale. Acum, lasă-mă să leg un singur lucru. Deci știm că fiecare spațiu Hilbert separabil are o bază ortonormală, o submulțime ortonormală maximă numărabilă. Și deci, dacă H este separabil, înseamnă că H are o bază ortonormală. Acum, ceea ce demonstrează și această teoremă este că dacă H are o bază ortonormală, atunci H este separabil. Deci, permiteți-mi doar să afirm asta ca o simplă teoremă care decurge din aceasta. Deci am arătat că dacă H-- aceasta a fost prima teoremă pe care am afirmat-o la început, că dacă H este separabil, atunci are o bază ortonormală. Dacă H are o bază ortonormală, H este un spațiu Hilbert. Așa că ar fi trebuit să spun asta la început. Dar H este un spațiu Hilbert. Atunci H este separabil, adică are o submulțime densă numărabilă. Deci, ce este acest subset dens numărabil? Îți voi oferi doar subsetul și apoi voi vorbi de ce funcționează acest subset. Deci, să presupunem că en este o bază ortonormală pentru H, iar un spațiu Hilbert. Atunci, dacă definesc S ca fiind uniunea peste tot, să spunem, m numărul natural de elemente de forma suma de la n este egal cu 1 la m din qn en unde q1-- acestea sunt doar numere raționale. Deci, în primul rând, acesta este un subset numărabil al lui H. De ce? Ei bine, fiecare dintre acestea este într-o corespondență unu la unu cu produsul cartezian de m ori al numerelor raționale. Și acum, numerele raționale sunt numărabile. Și ai dovedit în 18.100 că orice... de fapt, ei bine, orice produs cartezian, produs cartezian finit al unei mulțimi numărabile este, din nou, numărabil. Și apoi luăm o uniune numărabilă. Un alt lucru pe care l-ați dovedit în 18.100 este că o uniune numărabilă de submulțimi numărabile este numărabilă. Deci, de aceea S este numărabil. Și apoi acum, voi spune doar prin teorema anterioară S este dens în H. Și apoi voi pune o casetă aici și voi explica de ce. Deci fiecare element - deci dacă H are o bază ortonormală, prin teorema pe care am demonstrat-o, fiecare element poate fi extins într-una dintre aceste serii Fourier-Bessel ca coeficienți ori - ca o combinație liniară infinită de vectori ortonormali, a acestor vectori ortogonali . Acum, aceasta înseamnă că sumele parțiale converg către un element dat u. Deci, ceea ce trebuie să arătăm pentru ca acest lucru să fie dens - trebuie să arătăm pentru fiecare epsilon, există ceva din acest set la distanța epsilon de acel vector dat. Acum, dă-ți un vector. Seria lui Fourier-Bessel converge către el. Așa că putem tăia a-- putem tăia seria la un anumit punct și să fim în continuare în epsilon peste 2 față de acel element de care încercăm să ne apropiem. Atunci acea sumă finită va fi într-una dintre acestea... ei bine, nu va fi într-una dintre acestea. Dar va fi doar suma de la n este egală cu 1 la m a unor coeficienți în timp ce e sub n. Acum, numerele raționale-- ar trebui să spun-- acolo, acum este corect. Acum, orice număr complex de aici poate fi aproximat cu un număr rațional aici plus i ori numărul rațional de aici. Aceasta este încă în corespondență unu la unu cu q pătrat, produsul cartezian al cu sine. Și, prin urmare, acest lucru este încă numărabil - și așa că ar fi trebuit să spun 2m aici. Mă gândeam la numere reale, astfel încât să te poți apropia de coeficienții Fourier-Bessel care apar în acea sumă până acum doar numere raționale sau complexe cu parte rațională reală și imaginară. Așa că sper că explicația a fost clară. Poate stai jos și gândește-te la asta și notează cu atenție argumentul epsilon. Dar, în esență, acesta este motivul pentru care acest lucru este adevărat. Deci ceea ce am arătat este că un spațiu Hilbert este separabil dacă și numai dacă are o bază ortonormală. Deci, permiteți-mi să fac o remarcă că ceea ce am arătat până în acest punct este că dacă H este un spațiu Hilbert, atunci H este separabil dacă și numai dacă H are o bază ortonormală. În regulă, deci am demonstrat că, în spațiul Hilbert, dacă un spațiu Hilbert are o bază ortonormală, atunci fiecare element poate fi extins în acest tip de serie infinită care implică vectorii ortonormali. Eu zic infinit. Asta doar dacă baza ortonormală este infinită numărabil. Dacă a fost finit, atunci aceasta nu este de fapt o sumă infinită. Este o sumă finită. Acum, ceea ce decurge din aceasta este că - deci avem inegalitatea lui Bessel, care spune că suma pătratelor coeficienților care apar în această serie Fourier-Bessel este întotdeauna mai mică sau egală cu norma u pătratul. Asta indiferent de ceea ce presupuneți despre subsetul ortonormal. Asta pentru orice subset ortonormal. Dar acum, avem că, dacă este o bază ortonormală, atunci, de fapt, avem egalitate. Deci, dacă H este spațiul Hilbert și aceasta este o bază ortonormală numărabilă , atunci pentru toate u din H, avem că suma n este egală cu 1 -- Voi pune doar suma peste n pentru că aceasta poate fi o sumă finită -- u ro, care prin inegalitatea lui Bessel, am avut întotdeauna mai puțin sau egal cu norma u pătratul, de fapt, egal cu norma u pătratul. Și aceasta este uneori denumită identitatea lui Parseval. Bine, deci care este dovada asta? Avem că u este egal cu suma lui u, en en. Și, prin urmare, imediat, prin continuitatea produsului interior, putem scrie norma pentru u pătrat ca - deci acesta este cazul în care avem infinit numărabil. Dacă este finită, dacă este o bază ortonormală finită, aceasta urmează imediat. Dar suma de la m este egală-- sau suma pe măsură ce m merge la infinitul lui n este egală cu 1 la m u, en en sum from, să spunem, l este egală cu 1 la m u, el el. Și aceasta este egală cu limita pe măsură ce m merge la infinitul sumei lui n egal - să spunem că nl este egal cu 1 la m din u, en. Și acum, această constantă de aici iese cu un conjugat complex - u, el times en inner product el. Și acum, doar ridicăm... așa că n și eu mergem de la 1 la m. Pentru un n fix, luăm doar l unde l este egal cu n deoarece acești vectori sunt ortonormali. Și când n este egal cu l, acest lucru îmi dă 1. Așa că iau doar -- când l este n, obțin u, en ori conjugatul complex al u produsul interior en, care este doar norma la pătrat atunci când înmulțesc cu aceasta. Și iau limita pe măsură ce m merge la infinit. Așa că ridic toată suma, suma infinită, dacă este infinită. În regulă, deci am văzut câteva aplicații simple ale teoremei. Am demonstrat că dacă am o bază normală, atunci spațiul Hilbert trebuie să fie separabil. Și, de asemenea, avem egalitate în inegalitatea lui Bessel pentru... în ceea ce privește baza ortonormală. Mai mult, este că precedentul ne oferă de fapt o modalitate de a identifica fiecare spațiu Hilbert separabil cu cel cu care ai fost prezentat în prima săptămână, deși nu l-am numit spațiu Hilbert. Deci aceasta este următoarea teoremă, că dacă H-- deci dacă H este un spațiu Hilbert cu dimensiuni finite, înseamnă că pot găsi o mulțime de vectori ortonormali care se întind în spațiu. Și este destul de ușor să arăți că atunci acesta este izomorf cu Cn într-un mod izometric. Așa că voi spune doar versiunea dimensională infinită. Dacă H este un spațiu Hilbert separabil cu dimensiuni infinite, atunci H este izomorf izometric - și voi explica ce înseamnă aceste cuvinte - la l2, mic l2, adică ce? Înseamnă că există o hartă bijectivă T care merge de la H la micul l2-- deci este unul la pe și mai departe-- astfel încât pentru toate u, v în H, avem că norma Tu-- Ar trebui să spun o hartă liniară bijectivă , hartă liniară bijectivă. Sau chiar ar trebui să spun, vreau să spun, operator liniar bijectiv. Deci va fi o hartă liniară mărginită. Și asta decurge imediat din ceea ce sunt pe cale să notez - astfel încât, dacă iau norma imaginii în mic l2, aceasta este egală cu norma vectorului în H. Deci, aceasta este partea izometrică aici, este asta harta nu își schimbă lungimile. Și practic, dacă am două hărți între-- sau dacă am o hartă între două spații Hilbert care păstrează lungimile, atunci păstrează și produsele interioare prin-- nu legea paralelogramului, este identitatea polarizării, pe care o vedeți în misiune. Dar oricum-- și, de asemenea, avem Tu, Tv-- luând acest produs interior și l2 pentru că acestea sunt acum elemente de mic l2, acesta este același cu produsul interior din H din u și v. Și într-adevăr urmează pur și simplu amabil de imediat din ceea ce am făcut, odată ce doar notez harta. Deci care este dovada? Deci, deoarece H este un spațiu Hilbert separabil, are o bază ortonormală, en, care este infinit infinit, deoarece ne aflăm în setarea dimensională infinită. Și prin teorema anterioară, avem pentru tot u din H, u este egal cu suma de la n egal cu 1 la infinit u produs interior en, en. Și cu norma u pătrat equals-- dacă doriți, permiteți- mi să elimin pătratele și pot scrie asta ca sumă de la n egal cu 1 la infinitul u en norm pătrat 1/2. Așa că acum, asta ar trebui să sară la tine. Cum îmi definesc harta de la H la mic l2? Apoi definesc T din u ca fiind pur și simplu succesiunea de coeficienți care apar aici. Și acesta este un element de puțin l2 prin această identitate aici, identitatea lui Parseval. Apoi T face treaba. Deci nu am trecut și nu am verificat toate proprietățile pe care trebuia să le verific. Adică, este clar că va fi liniar în u, deoarece acești coeficienți sunt liniari în u. Și asta e clar. Este unul la unu. Rezultă din faptul că fiecare u este extins în acest fel. Și, prin urmare, dacă coeficienții sunt aceiași pentru două u-uri diferite, atunci acele două u-uri trebuie să fie la fel. Deci asta îl face injectiv. Faptul că este surjectiv-- din nou, nu este nevoie de prea multe pentru a demonstra, deși doar arăți că pentru fiecare alegere de secvență din mica l2, că formând o astfel de sumă-- așa că să etichetăm aceste Cn. Deci acum, aveți doar elementul mic l2. Acum, dacă pun Cn aici en, acum, puteți argumenta, așa cum am făcut înainte, că această serie este, de fapt, Cauchy în H și, prin urmare, converge către un element din H. Și apoi puteți demonstra că T ia acel element. că trebuie să faceți ordinea cu care ați început, demonstrând că T este surjectiv. Deci nu voi trece prin toate detaliile. Dar ar trebui să fie oarecum clar că asta-- cel puțin pe baza acestei identități de aici, care ar trebui să fie harta. În regulă, deci am văzut câteva aplicații ale acestei teorii generale a bazelor ortonormale ale submulților maxime numărabile în aplicațiile spațiale Hilbert, adică dacă are o bază, bază ortonormală, atunci spațiul trebuie să fie separabil. Fiecare spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite separabil este practic același. Toate sunt izomorfe izometrice la mic l2. Dar cum putem folosi acest lucru într-un cadru mai concret, orice înseamnă concret? Adică, betonul este după gust. Așa că m-am gândit să ne oprim aici la teoria generală pentru spațiile Hilbert pe care am făcut-o și să facem ceva mai specific și să ne uităm la seria Fourier, care va conecta aceste lucruri generale pe care le-am făcut cu spațiile Hilbert la mai mult din partea concretă a producerii integrării Lebesgue în aceste spații mari LP, despre care am demonstrat că sunt spații complete care implică, într-un anumit sens, funcții integrabile. Deci haideți să facem o pauză de la teoria generală și să vorbim puțin despre seria Fourier. OK, seria Fourier, care a fost motivul pentru care a fost creată o mulțime de teoria integrării în primul rând, a fost să înțelegem o anumită întrebare, la care vom ajunge într-un minut. Permiteți-mi să încep cu o teoremă foarte simplă, că submulțimea de funcții, e la inx peste rădăcina 2 pi în acum un întreg este un ortonormal - submulțime ortonormală de l2 minus pi la pi. Și aici, permiteți-mi-- doar pentru o reîmprospătare rapidă, dacă t este un număr real, de la e la it, acesta este pur și simplu definit ca fiind numărul complex al cosinus t plus i sinus t. Și satisface toate lucrurile pe care le știi și le iubești despre exponențial. Dacă înmulțesc e la it ori e la i tau, este egal cu e la it plus tau doar făcând referire la definiție și folosind formule de sumă a unghiurilor și așa mai departe. În regulă, deci nu este prea greu de demonstrat. Care este dovada asta? Dacă iau e la inx și produs interior cu e la inx, acum acest produs interior este în L2 mare. Aceasta este, prin definiție, egală cu integrala de la minus pi la pi e la inx ori e la conjugatul complex imx. Și din nou, din definiție, când iau un conjugat complex, care întoarce acest i la un i minus. Și apoi pot să iau acel minus care stă aici și să-l pun înăuntru și să fac asta un minus t aici și un minus t acolo, deoarece cosinus t este par și sinus t este impar. Deci, acesta devine e la inx e la minus imx x dx. Și din nou, puteți merge de la definiția a ceea ce este aceasta. Nu aveți nevoie de nicio analiză complexă. Acesta este i la n minus m ori x dx. Acum, această cantitate aici-- când n este egal cu m, am doar 0 aici. Și, prin urmare, acesta este doar 1. Și când îl integrez, primesc 2 pi. Deci aceasta este egală cu 2 pi. Și acum, când n nu este egal cu m, acesta are o antiderivată pe care te aștepți să fie. Și, prin urmare, aceasta este egală cu e cu i n minus m x peste n minus m ori i evaluat la pi n minus pi. Și asta dacă n este egal cu m, n nu este egal cu m. Acum, ce este vorba despre e to the it? Acest lucru este 2 pi periodic. Și este la fel dacă am un n aici. Atunci acesta va fi 2 pi peste n periodic. Deci, dacă rămân în pi aici, valoarea pe care o primesc va fi aceeași ca atunci când rămân în minus pi aici, deoarece diferența dintre aceste două valori este de 2 pi. Acesta este 2 pi periodic. Și țin două numere separate de 2 pi. Deci acesta va fi 0 atunci când n nu este egal cu m. Și, prin urmare, asta dovedește afirmația că acesta este un subset ortonormal. Împărțim cu rădăcina pătrată a 2 pi, astfel încât atunci când iau produsul interior al acestuia cu el însuși sau elementul cu el însuși, obținem 1. Aici, tocmai am făcut e la inx, așa că am obținut 2 pi. Așa că împart la rădăcina pătrată pentru a obține lucrul ortonormal. Așa că faceți o definiție. Deci, fie f în l2 din minus pi la pi. Al n-lea coeficient Fourier - acesta este noul bit de terminologie - al lui f este numărul complex f-pălăria lui n este egal cu 1 peste 2 pi produs interior - adică - produs interior - integrală a minus pi la pi din f din t e la minus int dt. Și a N-a sumă Fourier parțială a lui f este notată cu S sub N majuscul lui f din x. Aceasta este egală cu suma pentru n în valoare absolută mai mică sau egală cu capitalul N. Așadar, mic n este un număr întreg de f-pălărie de n ori e față de inx, ceea ce pot-- este același cu f produs interior cu in-- să spunem t peste rădăcina pătrată a 2 pi e la i. Tot ce am făcut cu definiția mea a coeficientului Fourier a fost că am combinat aceste două rădăcini pătrate a 2 pi în definiția mea pentru f-hat a lui n. Dar această sumă parțială este doar egală cu o sumă parțială în ceea ce privește acest submult ortonormal. OK, și asociem și funcției f un obiect formal. Seria Fourier a lui f este seria formală, deoarece nu facem deloc pretenții cu privire la convergența sa , însumată de la n în z f-hat de n e la inx. Deci, întrebarea la care vom răspunde - și așa cum am spus, ceea ce a motivat toate acestea pentru început este următoarea. Așa că atunci când Fourier studia conducția căldurii, a susținut că fiecare funcție poate fi extinsă în termeni de-- în esență, făcea cosinus și sinusuri. Dar în acest sens, el a spus că fiecare funcție poate fi extinsă - este egală cu seria lui Fourier. Acum, la vremea aceea, oamenii spuneau, nu, nu este cazul. Nu orice funcție este periodică. Și acestea sunt 2 pi-- fiecare dintre acestea este 2 pi periodic. Deci despre ce vorbesti? Și apoi a spus, poate dacă ne limităm la funcții continue, poate că este egal cu seria lui Fourier. Nu este adevarat. Există funcții continue care au-- în care seria Fourier de fapt diverge într-un punct și nu converge înapoi la funcție. Dar seria Fourier, acum, dacă întrebați despre convergența punctuală, aceasta este o problemă foarte complicată și delicată. Dar seria Fourier are un răspuns foarte frumos și frumos atunci când te uiți în ceea ce privește spațiul pe care ar trebui să-l faci. Când am început această discuție, am spus că aceste elemente sunt ortonormale în ceea ce privește acest produs interior. Și acest produs interior trăiește, cât într-un spațiu Hilbert, în spațiul mare L2. Deci întrebarea pe care ar trebui să o pună atunci este: aveți acesta sau subsetul normal al L2. Deci întrebarea este, avem pentru tot f din L2 f de x egal cu f-pălăria lui n e la inx. Deci aceasta este o sumă infinită. Așa că ar trebui să vorbesc despre în ce sens converge această serie . Și vreau să spun în sensul în spațiul în care punem această întrebare, în L2, adică am că sumele parțiale converg către f în norma L2? Deci nu voi scrie argumentul. OK, poate o voi face. Este egal... face asta... OK, acum, măcelesc asta. În loc să scriem acea limită, să spunem, această normă converge la 0 pe măsură ce capitalul N merge la infinit? Deci asta e întrebarea. Avem convergența acestei serii, adică sumele parțiale, converg către funcția f din norma L2? Deci, acesta este ceva mai slab decât... sau poate nici măcar nu este comparabil cu convergența punctuală. Deci, uneori, aceasta este denumită convergență în medie. Și deci, care este modul de a formula această întrebare pe baza a ceea ce am făcut? Deci, această întrebare este echivalentă cu întrebarea, este această colecție de elemente ortonormale din L2 mare un subset maxim al L2 mare? adică și acum, să punem această întrebare în echivalență doar cu o declarație pură - adică dispariția tuturor coeficienților Fourier implică faptul că funcția este 0? Așa că am demonstrat că această afirmație aici este echivalentă cu e cu inx fiind o bază ortonormală. Așa că am dovedit o direcție. Am demonstrat că, dacă am o colecție de vectori ortonormali, atunci aceasta este o bază ortonormală implică faptul că fiecare funcție poate fi extinsă în această serie infinită. Dar și inversul este valabil. Dacă pot extinde fiecare funcție dintr-o serie infinită cu acești coeficienți, atunci asta implică că submulțimea trebuie să fie orto-- trebuie să fie maximă, deoarece dacă ceva este ortogonal cu tot ce este în colecție, atunci toți acești coeficienți care apar în serie sunt 0. și, prin urmare, funcția este 0. Deci această întrebare aici este echivalentă cu întrebarea dacă această colecție este sau nu maximă, ceea ce înseamnă că dacă am un element în L2 care este ortogonal cu tot ce este aici, atunci trebuie să fie 0, care este acesta declarație aici. Așa că lasă-mă să pun o cutie în jurul ei. Pe baza a ceea ce am făcut, a problemei convergenței seriei Fourier în L2 mare - și ceea ce folosesc aici este faptul că L2 mare este complet. Toate acestea funcționează doar într-un spațiu Hilbert. În anumite puncte, ne-am bazat pe faptul că secvențele Cauchy converg către ceva în acest spațiu. Deci, faptul că pot reduce clar această întrebare la ceea ce este în galben se bazează pe faptul că marele L2 este complet, pe care am muncit mult să îl arătăm și să îl construim. Deci aceasta este întrebarea la care vom încerca să răspundem. Și lasă-mă să merg înainte și să răspund... Am pus o întrebare, așa că ar trebui să dau răspunsul. Răspunsul este da, dar va fi nevoie de ceva muncă. Aceasta este o chestiune non-trivială. Deci, să vedem, cât timp am la dispoziție? OK, așa că modul în care vom proceda este prin ceea ce poate fi numit metoda lui Fejer. Deci, din nou, scopul nostru este să arătăm acest lucru, să răspundem la întrebarea despre convergența seriei Fourier în L2. De ce în L2? Pentru că acesta este complet -- acesta este un spațiu Hilbert complet în care lucrăm, la care vom aplica cadrul general. Deci, permiteți-mi să încep cu un calcul simplu următor, că pentru toate f din L2 minus pi la pi și pentru toate numerele naturale n, inclusiv 0, dacă vreau să mă uit la a n-a sumă parțială a lui f, pot scrie asta ca integrală de la minus pi la pi a unei funcții evaluată la x minus t ori f din t dt integrat. Și din nou, aceasta ar trebui interpretată ca o integrală Lesbegue, chiar dacă o scriu folosind notația pe care o folosești tu... Doamne, îmi pare rău, a fost groaznic. Pur și simplu nu l-am putut lăsa să rămână acolo. Chiar dacă am folosit această notație la un moment dat pentru a desemna integrala Riemann, acum folosesc această notație pentru integrala Lebesgue dacă funcția este-- dacă vorbesc despre integrarea Lebesgue, care nu este un astfel de abuz de notație, deoarece am aflat că integrala Lebesgue a funcțiilor continue este integrala Riemann. Așa că lasă-mă să termin declarația. Deci o putem scrie ca o funcție de x minus t ori f de t integrată de la minus pi la pi unde dn de x, aceasta este egală cu funcția, care este 2n plus 1 peste 2 pi când x este egal cu 0 și sinusul lui n plus 1/2 din x peste 2 pi sinus x peste 2 când x nu este egal cu 0. Și această funcție aici -- așa că, mai întâi, rețineți că aceasta este o funcție continuă. Pe măsură ce x converge la 0, folosind regula lui L'Hopital, dacă doriți, acest lucru converge la 2n plus 1 peste 2 pi. De fapt, este o funcție lină. Această funcție este denumită aici nucleul Dirichlet. Ca un prim pas, am spus, ne vom uita la-- vom rescrie sumele parțiale în acest fel. Îți spun de ce într-un minut. Dar să luăm asta doar ca pe un calcul de încălzire a unor calcule care urmează. OK, deci care este dovada? Avem că a n-a sumă Fourier parțială a lui f, aceasta este egală cu n mai mică sau egală cu N din-- permiteți-mi doar să scriu aici care este coeficientul Fourier-- 1 peste 2 pi minus pi la pi din e la minus i din f din t, e tot he minus int dt e la inx. Și aceasta este doar o sumă finită. Așa că pot aduce asta în integrală și pot combina totul. Și obțin că acest lucru este egal cu minus pi la phi de f de t ori dn de x minus t, unde dn of-- deci, de fapt, lasă-mă-- lasă-mă să nu trec înainte. Voi merge înainte și voi scrie asta. Aceasta este egală cu acum suma ori e la in x minus t dt. Deci acesta este dn, bine? Deci dn-- așa numit acest lucru, dn de x minus t, x minus t apar acolo. Și acum, să calculăm dn pentru x. Așadar, permiteți-mi să rescriu ceea ce este, suma mai mică sau egală cu n e la inx. Unde s-a dus? Din nou, acesta este dn de x minus t. Deci argumentul este acolo. Deci dn din x este -- aici este argumentul. Poate că ar fi trebuit să pun un y sau ceva de genul ăsta, dar nu m-am gândit atât de mult înainte. Așa că acesta este N majuscul d. Și acum, hai să-l masăm puțin. Putem scrie ca e la minus inx ori acum suma de la n este egală cu 0 la 2n e la inx. Aceasta este o sumă de la, dacă doriți, n este egal cu minus N capital la n. În regulă, deci dacă elimin un e la minus inx, pot scrie această sumă ca această sumă. Acum, aceasta este o sumă geometrică. Acest e la inx, din nou, acesta este ceva pe care îl puteți verifica doar din definiție. Acesta este, de asemenea, egal cu e la ix ridicat la puterea a n-a. Și știu cum să însumez lucruri care implică ridicarea a ceva la a-a putere -- sume finite, adică. Acesta este egal cu 1 peste 2 pi ori e la minus inx ori 1 minus e la i 2n plus 1 x peste 1 minus e la ix, lucrul care apare aici. 2n plus 1 lucrul care apare deasupra plus 1. Acum, înmulțind prin acest e la inx, scoțând un 1/2 e la ix peste 2 și distribuindu-l în jos, obținem că precedentul este egal cu 1 peste 2 pi. Deci, în primul rând, acest lucru este valabil numai când x-- ce? Când x nu este egal cu 0. Când x este egal cu 0, primesc doar 1 aici și primesc 1 aici. Și apoi obțin suma de la 0 la 2 n, care este egală cu 2n plus 1. De aceea obțin ceea ce obțin când x este egal cu 0. Deci, acest lucru este valabil pentru x nu este egal cu 0. Și astfel obțin e la în plus 1 x. Ar trebui să spun, după ce am luat acea 1/2 x care a apărut cu acest 1x și l-am distribuit pe e de jos la ix peste 2 minus e la minus ix peste 2. Acum, dacă am e la I ori ceva minus e la minus I ori acel ceva și le scad pe cele două, iau de 2i ori sinusul a ceea ce este în... indiferent de acest număr real. Deci iau 1 peste 2 pi ori 2i sinus al lui n plus 1/2 x peste 2i sinus al lui x peste 2. Și aceste 2i se anulează. Și asta este egal cu 1 peste 2 pi sinus de n plus 1/2 x peste sinus x peste 2, ceea ce mi-am dorit. Deci, care este ideea de a încerca să demonstrezi asta? În cele din urmă, vreau să spun, la început, ar trebui să spun, ne întrebam despre convergența sumelor parțiale Fourier la f. Și nu știm că intră. Asta încercăm să dovedim. Deci, poate că lucrul cu sumele parțiale nu este cel mai bun lucru. La ce ajung aici? Ce-ar fi să introduc următorul fragment și apoi vă voi explica de ce ne interesează. Deci, dacă f este în l2 de la minus pi la pi, definim a N-a medie Cesaro-Fourier a lui f - deci acesta este noua terminologie - să fie media sumelor parțiale ale lui f. Aceasta o notăm prin sigma n a lui f din x. Aceasta este egală cu media primelor n sume parțiale ale lui f. În cele din urmă, ceea ce am dori să facem este să încercăm să stabilim că această afirmație din caseta galbenă -- dacă toți coeficienții Fourier sunt zero, atunci funcția trebuie să fie zero. Deci s-ar putea să vă gândiți, ei bine, să demonstrăm că sumele parțiale converg către funcția f. Și asta ne-ar da imediat că funcția este 0 deoarece sumele parțiale ar fi toate 0 deoarece implică coeficienții lui f. Dar asta este ridicol pentru că de fapt asta încercăm să dovedim. Este echivalent cu întrebarea pe care încercăm să... este echivalent cu ceea ce este în caseta galbenă. Nu ne facem viața mai ușoară făcând asta. Deci, acum, ceea ce se poate face este în loc să încercăm să demonstrăm ce este în caseta galbenă, că dacă toți coeficienții sunt zero, funcția este zero, ce se întâmplă dacă putem demonstra că acest obiect converge acum la f? Acest obiect de aici, care este această medie a sumelor parțiale, poate are proprietăți mai bune decât sumele parțiale pe care am încercat să le studiem inițial. Amintiți-vă, dacă vă uitați înapoi la 18.100, dacă ați spus doar o secvență de numere reale care converge, puteți defini o medie Cesaro a acesteia făcând media primilor n termeni, la fel cum am făcut aici. Există un n plus 1 aici, deoarece începem de la 0 și mergem până la n, în loc să mergem de la 1 la n. Dar dacă aveți o succesiune de numere reale, puteți să vă uitați la sumele sale Cesaro sau la mijloacele lui Cesaro. Și ceea ce este grozav în ceea ce înseamnă Cesaro este că nu... se comportă un pic mai bine decât secvența cu care începeți. Dar nu pierdeți nicio informație. Deci, dacă secvența inițială converge, atunci converge și media Cesaro. Deci, dacă vă așteptați ca sumele parțiale să convergă la f, atunci mijloacele Cesaro ar trebui să convergă la f. Dar mijloacele Cesaro au o calitate și mai bună. Să revenim la secvențe de numere reale. Ați putea avea șiruri de numere reale care nu converg ale căror mijloace Cesaro converg. Deci, luați secvența 1, minus 1, 1 minus, 1, 1 minus 1 și așa mai departe, acea secvență nu converge. Dar mijloacele Cesaro converg. Media Cesaro este 1, 0, 1/3, 0, 1/5, 0, 1/7, 0. Deci mijloacele Cesaro converg la 0. Deci toate acestea înseamnă că acest obiect de aici, care este media dintre sumele parțiale, ne așteptăm să ne comportăm mai bine decât cum converg sumele parțiale. Ne așteptăm să aibă proprietăți de convergență mai bune. Și ce înseamnă proprietăți de convergență mai bune? Sincer, înseamnă că ar trebui să putem arăta că converge către f într-un mod, sperăm, direct -- sau poate nu direct , dar într-o -- da, nu știu cum să descriu asta. Și asta vom face. Acesta este planul, ceea ce vom arăta este că pentru fiecare f din l2, semnificațiile Cesaro converg la f în l2, adică limita ca N capitală - așa că permiteți-mi - deci care este scopul pe care îl vom avea arată este că vom arăta că Cesaro înseamnă-- mijloacele Cesaro-Fourier ale lui f converg către f în L2. Acum, dacă putem face acest lucru, atunci vom fi răspuns și vom fi arătat ce este în caseta galbenă, deoarece dacă presupuneți că toți coeficienții Fourier sunt 0, atunci toate sumele parțiale sunt 0. Și, prin urmare, toate Cesaro mijloacele sunt 0. Și prin acest lucru pe care sperăm să-l demonstrăm, acesta va demonstra că 0 converge către f. Și, prin urmare, f este 0, ceea ce am vrut să arătăm. Deci încă o dată-- vrem să demonstrăm că, dacă toți coeficienții Fourier sunt 0, atunci funcția trebuie să fie 0. Acum, dacă toți coeficienții Fourier sunt 0, atunci toate sumele parțiale sunt 0. Și, prin urmare, toate 0 înseamnă 0. Și dacă suntem capabili să dovedim că acest lucru este valabil pentru tot f din l2, atunci acest lucru ne-ar spune că 0, care este ceea ce înseamnă toate aceste medii Cesaro-Fourier, converge către f. Și, prin urmare, f este 0, concluzia noastră dorită. Și din asta, concluzionăm că colecția e la inx peste rădăcina pătrată a lui 2 pi este un maxim - este o bază ortonormală pentru l2. Prin urmare, seria Fourier a unei funcții date l2 converge către funcția din l2, adică f minus suma parțială converge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Bine, și asta va fi ceea ce vom face data viitoare, este să demonstrăm această afirmație chiar aici.