CASEY RODRIGUEZ: OK. Deci, să continuăm discuția noastră despre continuitate, pe care am început-o data trecută, care este-- pe care am definit-o data trecută și am scris din nou aici, care spune intuitiv că dacă vrei să fii-- că dacă x este suficient de aproape de numărul c , atunci f din x va fi foarte aproape de f din c. Deci, conectează modul în care funcția se comportă în apropierea unui punct de modul în care o funcție se comportă în acel punct. Și ultima dată, am dat un exemplu de funcție care este continuă peste tot, și anume funcția f a lui x este egală cu ax plus b și una care nu a fost continuă într-un punct c. Și am încheiat cu... permiteți-mi doar să-mi amintesc întrebarea pe care am pus-o data trecută. Dacă f este o funcție - să presupunem că întregul său domeniu este r. Există un punct în care este continuu? Acum, aș putea răspunde la această întrebare acum doar folosind definiția, dar îi voi răspunde într-un minut după ce vom demonstra următoarea teoremă, care este un analog al acestei teoreme pe care am demonstrat-o aici pentru limite. Am arătat că, dacă aveți o submulțime s de r, un punct de grup de s-- deci aici luați limite, iar atunci limita pe măsură ce x ajunge la c din f de x este egală cu l dacă și numai dacă, pentru fiecare succesiune convergând către c, avem f din xn, care este o nouă succesiune, converge către l. Deci, aceasta conectează limitele funcțiilor cu limitele secvențelor - limite de- a lungul secvențelor, dacă doriți. Vom demonstra acum un analog al acestei teoreme pentru noțiunea de continuitate. Dar există un fel de-- și aceste două definiții arată cu siguranță-- dacă te uiți la definiția limitei și la definiția continuității, aceasta arată cu siguranță ca definiția limitei unde acum limita trebuie să fie f din c, funcția evaluat la acel moment. Și în esență este, dar avem un caz degenerat în care c aici nu este necesar să fie un punct de grup al lui s. Este orice punct al s. Și vom avea două cazuri, c este un punct cluster al lui s și c nu este un punct cluster al lui s. Și veți vedea că atunci când c nu este un punct de grup al lui s, vom avea o situație stupidă pentru a vorbi despre continuitate. Deci aceasta este următoarea teoremă A, care are trei părți. Deci să presupunem că s este o submulțime a lui r. c este un element al lui s. f este o funcție de la s la r. Deci prima parte este dacă c nu este un punct de grup al lui s, atunci f este continuă la c. Deci, dacă ne uităm la continuitatea într-un punct, singurele puncte interesante de privit sunt punctele cluster ale mulțimii s. În caz contrar, indiferent de ce funcție este, va fi continuă într-un astfel de punct. Al doilea este că -- acum să presupunem că ne aflăm în cazul mai interesant în care c este un punct de grup al lui s. Să presupunem că c este un punct de grup al lui s, care este în esență singurul lucru care nu-- lipsește din această definiție și din definiția limită. Atunci f este continuă la c. Și acest lucru este confirmat în această teoremă dacă și numai dacă limita ca x merge la c din f din x este egală cu f din c. Și a treia parte a acestei teoreme, care este acum analogul acestei teoreme pe care am demonstrat-o aici pentru limite, este următoarea: f este continuă la c dacă și numai dacă pentru fiecare șir xn de elemente ale lui s astfel încât x din n converge la c, avem f din x sub n converg la f din c. Deci, din nou, dacă c nu este un punct de cluster al mulțimii, atunci fiecare funcție va fi continuă în acel punct. Deci, acesta este un fel de a-- deci, dacă c nu este un punct de grup al lui s, acesta este un caz prostesc de privit. În regulă. Deci, să demonstrăm prima teoremă, adică prima parte a acestei teoreme. Deci care este intuiția? Amintiți-vă, continuitatea este o conexiune între f în apropierea unui punct și funcția din punct. Acum, dacă singurele puncte de lângă c este c, atunci f din x este egal cu f din c pentru x lângă c, deoarece x poate fi doar c. Și, prin urmare, va fi mai puțin decât epsilon. Deci, atunci când ne aflăm într-un punct care nu este un punct de cluster, se elimină oarecum partea apropiată. Și ne uităm doar la f la c și comparăm f cu sine la c. Deci, să presupunem că f nu este un punct de cluster. Deci vrem să dovedim continuitatea, așa că acesta este un argument pentru toate epsilonul delta. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deoarece c nu este un punct de grup al lui s, ce înseamnă aceasta? Așa că nu uitați, a fi un punct de cluster al unui set s înseamnă pentru toate delta pozitive, există-- așa că permiteți-mi să-mi amintesc ce înseamnă să fii un punct de cluster aici, în lateral. Deci c este un punct de grup al lui s. Aceasta înseamnă că pentru toate delta pozitive, setul x minus delta x plus delta intersectează c, intersectează s takeaway c nu este gol. Deci, deoarece c nu este un punct de cluster, asta înseamnă că există o delta 0, astfel încât acest interval este disjuns de s takeaway c astfel încât c minus delta 0, c plus delta 0 intersectează s takeaway c este egal cu setul gol. Acum, dacă includ c în această intersecție - deci un alt mod de a afirma acest lucru este că singurul lucru - deoarece c este un element al lui s, singurul lucru care se află în această intersecție este c. Deci, acesta este modul riguros de a spune că nu există nimic în s lângă c cu excepția lui c însuși. Și, prin urmare, nu există nimic de comparat cu f din c. Deci, vom alege delta să fie aceasta pentru că atunci nu există nimic - nu există niciun x în s în acest interval, în afară de c. Și atunci f din c minus f din c este 0, deci alegeți delta să fie delta 0. Și dacă x minus-- așa că acum vrem să spunem că acest delta funcționează. Deci, dacă x este în s și x minus c este mai mic decât delta, asta înseamnă că x este egal cu c. Pentru că singurul lucru din acest interval care vine de la s este c. Și, prin urmare, f din x minus f din c - aceasta este egală cu f din c minus f din c este egal cu 0, care este mai mică decât epsilon. Deci, acesta este un caz cu adevărat degenerat de când încercați să vedeți dacă o funcție este continuă la un anumit punct. În regulă. Deci, să trecem acum la partea mai interesantă care vede un punct de cluster. Deci, să presupunem că c este un punct de grup al lui s. Și vrem să arătăm că f este continuă la c dacă și numai dacă limita lui f ca x merge la c din f din x este egală cu f din c. Mersul în această direcție este destul de ușor, așa că vom merge în această direcție. Și ar trebui să poți demonstra această direcție doar din ceea ce scriu aici. Deci, să presupunem că limita pe măsură ce x ajunge la c din f din x este egală cu f din c. Adică, tot acest argument este un fel de prostesc, deoarece definițiile sunt atât de apropiate, cu excepția faptului că acum c este un punct de grup, deci nu lipsește din nicio definiție. Dar singura diferență este tipul ăsta, te uiți doar la x lângă c, dar nu la c. Deci, să presupunem că limita pe măsură ce x ajunge la c din f din x este egală cu f din c. Acum vrem să arătăm că f din x este - că f este continuă la c, deci să fie epsilon pozitiv. Deoarece avem aceasta, există o delta pozitivă astfel încât dacă x este în s și valoarea absolută a lui x minus c este mai mare decât 0 este mai mică decât delta 0, atunci f din x minus f din c este mai mică decât epsilon. Și vom alege doar delta să fie acest delta 0. Dacă x minus c este mai mic decât delta 0, atunci există două cazuri. Fie x este egal cu c, fie x nu este egal cu z. Vedea? Deci haideți să scriem așa. Dacă x este egal cu c, atunci în mod clar, f din x minus f din c este egal cu f din c minus f din c este egal cu 0 este mai mic decât epsilon. Și dacă x nu este egal cu c, atunci acesta este cu siguranță mai mare decât 0, dar încă presupunem că este mai mic decât delta, ceea ce ține minte, acest delta 0 provine din faptul că limita ca x merge la c din f lui x -- Am ratat asta acolo-- îmi spune că acesta este mai puțin de epsilon. Deci, rezultă imediat din definiție. Nu e mare lucru. BINE. Deci acum să demonstrăm a treia parte a acestei teoreme, care este un analog al acelei teoreme pe care o avem acolo pentru limite. Deci haideți să dovedim această direcție. Să presupunem că f este continuă la c și acum vrem să demonstrăm această afirmație despre secvențe. Așa că lasă-mă și eu... când dovedesc direcția opusă, nu trebuie să o etichetez. Așa că lasă-mă să pun o stea. Această stea va fi partea dreaptă a acestei declarații. Deci, fie x sub n o succesiune în s de elemente ale lui s astfel încât x converge către c. Acum, am desenat această imagine pentru limite și este aceeași imagine acum pentru acest tip. Și vrem să arătăm acum că limita ca n merge la infinitul lui f din x sub n este egală cu f din c. Deci iată argumentul epsilon m, deci epsilon să fie pozitiv. Așa că acum mă duc la poză. Iată f din c. Iată f din c plus epsilon, f din c minus epsilon. Deci ce știm? Știm că funcția este continuă la c. Deci, asta înseamnă că dacă mă uit la c, atunci există o deltă, astfel încât, dacă sunt în acest interval aici, totul în acest interval este mapat în interiorul acestui interval. Acum, ce mai știu sau ce mai presupun? x sub n este o secvență care converge către s. Deci, pentru n mare, pentru n suficient de mare pentru un capital M0, x sub n se va afla în acest interval. Dacă doriți, în definiția convergenței unei secvențe, epsilon este egal cu delta în acea definiție. Dar să nu te superi. Deci, pentru toți n suficient de mari, x sub n se află în acest interval. Și deoarece acest interval este mapat în interiorul acestui interval de f, acest f din x sub n va ajunge în acest interval în epsilon la f din c atâta timp cât n este suficient de mare. Și deci această imagine prin care tocmai am trecut, aceasta este dovada. Și acum trebuie doar să o scriem. Deoarece f este continuă la c, există un delta pozitiv, astfel încât dacă x minus c este mai mic decât delta, acest lucru îmi spune că f din x minus f din c este mai mic decât epsilon. Acum, deoarece secvența x sub n converge către c, există un număr întreg M0, astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu 0, x sub n minus c este mai mic decât delta. Și, prin urmare, pentru toate n mai mari sau egale cu m sub 0, f din x in va fi în epsilonul lui f din c. Deci acesta va fi m-ul pe care îl alegem. Atunci, dacă n este mai mare sau egal cu M, obținem că x sub n minus x minus c este mai mic decât delta, ceea ce implică modul în care este definită delta - dacă x minus c se află în distanța delta, f din x minus f din c se află la distanță epsilon. Obținem f din x sub n minus f din c este mai mic decât epsilon. Deci asta ne oferă o direcție. În regulă. Deci acum vom demonstra direcția opusă. Deci presupunem că această afirmație steaua este valabilă, și anume pentru toate secvența x sub n care converg către c, avem f din x sub n care converg către f din c. Și vrem să demonstrăm că limita sau că f este continuă la c. Și vom face acest lucru prin contradicție, care este același mod în care am demonstrat direcția opusă pentru teorema despre limite. Deci dovada este prin contradicție, și anume să presupunem că concluzia pe care o dorim nu este ținută. Deci, să presupunem că f nu este continuă la c. Așa că permiteți-mi să-mi amintesc că am negat această definiție în ultima prelegere, dar o vom infirma din nou. Pentru aceasta, aceasta înseamnă că există un epsilon rău, astfel încât pentru toate delta pozitive, există un x și s care satisface x minus c este mai mic decât delta. Și f de x minus f de c este mai mare sau egal cu epsilon 0. În regulă. Deci, deoarece presupunem că f nu este continuă sau există la epsilon 0, avem toate acestea, ceea ce este valabil pentru fiecare deltă. Și acum vom alege delta să fie 1, 1/2, 1/3 și așa mai departe. Atunci există x sub 1 în s astfel încât x sub 1 minus c este mai mic decât 1 și f din x sub 1 minus f din c este mai mare sau egal cu epsilon 0. Asta este doar delta. Dacă vă place delta, este egal cu 1. Și acum continuăm. Există x sub 2 astfel încât x sub 2 minus c este mai mic de 1/2. Și aici, acesta este delta este egal cu 1/2. Deci, acesta este delta este egal cu 1/2 și așa mai departe. Deci, atunci concluzionăm... deci, dacă doriți, omiteți acest lucru din dovadă. Și asta este cu adevărat ceea ce se află în spatele următoarei declarații pe care sunt pe cale să o fac. Atunci, pentru toate numerele naturale n, există un x sub n în s astfel încât x sub n minus c este mai mic decât 1 peste n, iar f din x sub n minus f din c este mai mare sau egal cu epsilonul 0. Acum haideți uitați-vă la această secvență. Încercăm să spargem ceva. Și vom sfârși prin a sparge presupunerea vedetei. Deci acum avem această secvență, x sub n din s, de care ne apropiem din ce în ce mai mult de c. Deci avem 0 este mai mare sau egal cu x sub n minus c este mai mare - este mai mic decât 1 peste n. Deci aceasta converge la 0. Aceasta converge la 0. Deci, prin teorema de strângere, valoarea absolută a lui x sub n minus c converge la 0. Și, prin urmare, x sub n converge către c. Prin teorema de strângere, obținem că xn converge către c. Acum, din moment ce presupunem că stea ține-- aceasta este partea dreaptă a lui 3, a dacă și numai dacă-- trebuie să fie cazul că f din xn converge către f din c. Asta îmi spune steaua - că dacă iau o secvență care converge către c, f din x converge către f din c. Dar fiecare dintre acestea, amintiți-vă, este mai mare sau egală cu epsilonul 0, ceea ce este o contradicție. Epsilon 0 este un număr pozitiv. Și asta încheie demonstrarea acestei teoreme. Asta ne oferă un mod echivalent de a afirma continuitatea în termeni de secvențe. Și la fel ca pentru limite, acest lucru ne va permite să folosim ceea ce știm despre secvențe pentru a concluziona fapte analoge pentru funcții continue. Deci, să ne uităm la un exemplu non-trivial de funcție continuă și să folosim și această teoremă , această teoremă anterioară. Funcțiile f ale lui x sunt egale cu sinus x și g ale lui x sunt egale cu cosinusul x, acestea sunt funcții continue. Deci domeniul lor este setul de numere reale, deci sunt continui la fiecare număr real. Ele sunt continue la c pentru fiecare c, un număr real. Deci vom folosi asta-- ei bine, nu vom folosi această teoremă încă în această parte. De fapt, vom demonstra că sinusul este continuu direct din definiția epsilon delta , ceea ce este întotdeauna bun. Deci, mai întâi, pretindem sine x. Așa că, înainte de a spune ce vom face, permiteți-mi să vă dau o scurtă reîmprospătare cu privire la ceea ce puteți demonstra doar din definiția sinusului și cosinusului. Ține minte, eu nu sunt... De obicei, aș pune asta în clasă și aș vedea cine își amintește și cine nu. Deci, acesta ar trebui să fie și un cerc unitar, deși nu prea arată așa. Amintiți-vă că sinusul și cosinusul sunt definite pe măsură ce călătoriți de-a lungul distanței semnate x de-a lungul cercului și ajungeți într-un punct al cercului unitar, pe care îl... deci este o pereche ordonată. Primul element pe care îl numiți cosinus x. Al doilea element pe care îl numiți sinus x. Așa se definește sinusul lui x. Așa că acum pur și simplu... Nu voi face asta pentru că acesta este trig, nu analiză. Dar din definiția sinusului și a cosinusului din cercul unitar, avem că, desigur, toate x și r sinus x plus cosinus la pătrat x este egal cu 1. Și, prin urmare, fiecare dintre aceste lucruri individuale trebuie să fie mai mic sau egal. la 1, ceea ce după ce luați rădăcini pătrate înseamnă că... deci aveți acestea. Acum, puteți face și o estimare mai bună pentru sinusul x atunci când x este aproape de 0, ceea ce este util doar pentru x aproape de 0, dar care este următorul: pentru tot x, sinusul x este mai mic sau egal cu valoarea absolută a lui x, obținută prin compararea lungimii unei laturi a unui triunghi din această imagine cu lungimea arcului. Deci aveți aceasta și apoi aveți și formula sumei unghiurilor, care spune că sinusul a plus b este egal cu sinus a cosinus b plus cosinus a sinus b. Și mai aveți și... Nu-mi amintesc numele formulei exacte. Cred că este o diferență față de produs sau ceva de acest fel, care spune sinusul unui minus sinus a b, puteți scrie -- deci aceasta este folosind formula anterioară - de două ori sinus al minus b peste 2 cosinus a plus b peste 2 Deci, folosind aceste proprietăți elementare ale sinusului și cosinusului, vom arăta acum că sinusul lui x este continuu. Deci primul lucru pe care vrem să-l arătăm este că sinus x este o funcție continuă. Deci, să vedem. În R, vom arăta sinusul este continuu la c. Fie epsilonul să fie pozitiv. Și acum trebuie să spunem cum să alegem delta în funcție de acest epsilon. Alegeți delta să fie epsilon. Acum vom folosi aceste proprietăți elementare pentru a arăta că această deltă funcționează. Atunci, dacă x minus c este mai mic decât delta, acum dorim să arătăm că f de x minus f de c, sinus x minus sinus c, este mai mic decât epsilon. Deci sinus x minus sinus c, aceasta este egală cu... prin această ultimă formulă pe care o avem pe tablă aici, aceasta este egală cu de două ori sinus x minus c peste 2 cosinus x plus c peste 2. Și acum acesta este produsul lui de 2 ori valoarea absolută a sinusului ori valoarea absolută a cosinusului. Prin a doua proprietate de aici, cosinusul este întotdeauna mărginit de 1, deci acesta este mai mic sau egal cu de 2 ori valoarea absolută a sinusului x minus c peste 2. Și acum folosim această a treia proprietate aici că sinusul x este mai mic decât sau egală cu valoarea absolută a aceluiași lucru în care țineți. Deci, aceasta este mai mică sau egală cu de 2 ori x minus c peste 2, ceea ce este egal cu x minus c. Deci acum suntem în afaceri. Am conectat f din x la x minus c. Deci, acesta este mai mic sau egal cu... deci este mai mic decât delta, care este egal cu epsilon după alegerea noastră de delta. Și, prin urmare, sinus x minus sinus c este mai mic decât epsilon. Sinus x minus sinus c este mai mic decât epsilon. Deci, funcția sinus x este continuă la c. Acum vom folosi aceasta și teorema pe care am arătat-o ​​acum un minut. L- am șters? Da, acum am șters-o oficial. Oricum, am folosit teorema anterioară pe care am demonstrat-o pentru echivalența continuității și convergența secvențelor pentru a arăta că cosinusul este continuu. Fie deci c un element al lui R. Fie xn o succesiune convergentă către c. Și acum vrem să arătăm că cosinusul lui x sub n converge către cosinusul lui c. Odată ce am făcut asta, prin teorema pe care am demonstrat-o anterior, putem concluziona că cosinusul este continuu la c. Acum, iată chestia. Pentru toate x și r, avem cosinusul lui x este egal cu sinusul lui x plus pi peste 2. Putem deduce că pur și simplu din această formulă a sumei unghiurilor. Luați a este egal cu c, b este egal cu pi peste 2. Folosesc acel cosinus al lui pi peste 2 este 0. Și asta este ceea ce vom folosi și faptul că știm că sinusul este continuu. Deoarece secvența xn converge către c, aceasta implică șirul x sub n plus pi peste 2 converge către c plus pi peste 2. Acum, această secvență x sub n plus pi peste 2 converge către acest număr. Și întrucât sinusul este continuu, avem prin teorema anterioară că sinusul acestuia converge către acesta. Și, prin urmare, cosinusul lui - cosinusul lui x sub n, care este egal cu sinusul lui x sub n plus pi peste 2, converge către sinusul lui c plus pi peste 2, care este egal cu cosinusul lui c, adică cosinusul lui x sub n converge la cosinusul lui c. Și, prin urmare, acum am arătat că cosinusul este și continuu. Deci haideți să răspundem la această întrebare foarte repede. Deci răspunsul este nu. Puteți găsi o funcție care este discontinuă în fiecare punct, în fiecare număr real. Deci, poate că acesta este mai degrabă un exemplu decât o teoremă, dar o voi prezenta ca o teoremă. Fie f din x funcția care ia valoarea 1 dacă x este irațional, 0 dacă x nu este irațional. Atunci f nu este continuă la fiecare c și r. Așa că, mai întâi, nu încercați să reprezentați acest lucru folosind Matlab sau Mathematica sau orice altceva, deoarece, mai întâi, computerele nu pot face față numerelor iraționale. Așa că veți obține doar 1, indiferent de ce ați lipiți în f. BINE. Deci aveți această funcție, care este 1 dacă x este un 0 rațional. Dacă x nu este un număr rațional, dacă este irațional, să arătăm că este discontinuu la fiecare c. O modalitate diferită, dacă doriți, de a afirma teorema pe care am șters-o deja, dar permiteți-mi să o afirm ușor diferit. f nu este continuă la c. Deci, amintiți-vă, cele două afirmații sunt echivalente dacă și numai dacă negațiile lor sunt echivalente. Deci f nu este continuă la c dacă și numai dacă există o secvență x sub n astfel încât xn converge la c și f a lui xn-- șirul fn a lui xn nu converge la f a lui c. Deci poate pur și simplu nu converge deloc, sau poate converge către altceva decât f din c. Deci aceasta este doar o reformulare a teoremei pe care am demonstrat-o deja, dar acum utilizând negații ale afirmațiilor care au apărut pe dacă și numai dacă. Deci sunt două cazuri de luat în considerare pentru asta. Deci acum mergem-- deci aceasta este o afirmație a teoremei că suntem-- o reformulare a teoremei pe care o folosim. Și acum vom demonstra teorema pe care am afirmat-o aici. Deci, să fie c un element al lui R. Vom arăta că această funcție este discontinuă la c. Există două cazuri de luat în considerare, c este un număr rațional sau c este un număr irațional. Deci cazul 1-- c este un număr rațional. Să arătăm că f nu este continuă la c. Acum, știm că pentru fiecare număr natural n, există un element x sub n și complementul lui q, deci un număr irațional, astfel încât c este mai mic decât x sub n este mai mic decât c plus 1 peste n. Așa că am demonstrat acest lucru într-o misiune. Între oricare două numere reale, pot găsi un număr rațional, un număr irațional între ele. Deci asta spune această afirmație , este pentru fiecare n, pot găsi un număr irațional între numărul c și numărul c plus 1 peste n. Acum, după teorema de strângere, aceasta este doar o secvență constantă, dacă doriți, care converge către c. Această convergență la c. Și pe măsură ce n merge la infinit, această convergență la c. Deci am obținut că șirul x sub n converge către c. Aceasta va fi secvența mea proastă pentru a satisface această concluzie, deoarece-- deci xn converge către c, dar dacă mă uit la f din xn, dacă iau limita ca n merge la infinitul lui f din xn, deoarece toate xn-urile nu sunt raționale -- sunt numere iraționale-- și le înfig în f, obțin 0. Și acesta nu este egal cu 1, care este egal cu f din c pentru că suntem în cazul în care c este un număr rațional. Deci aici folosim densitatea iraționalilor pentru a arăta că această funcție nu este continuă la un număr rațional și vom face același lucru în cazul în care c este un număr irațional. Este aceeași dovadă, doar că acum primim în esență complimente. Am demonstrat această teoremă imediat după proprietatea arhimediană a lui r că pentru oricare două numere reale, pot găsi un număr rațional între ele. Deci pentru fiecare n, există un număr rațional astfel încât c este mai mic decât x din n este mai mic în c plus 1 peste n. Și din nou, prin teorema strângerii, rezultă că xn converge către c. Și dacă ne uităm la limita pe măsură ce n merge la infinitul lui f din x din n, aceasta este egală cu - toate aceste valori sunt 1, care nu este egal cu 0, care este egal cu f din c. Și se presupune că c este un număr irațional. Deci această funcție nu este continuă la fiecare număr real. Deci doar terminologie aici. Dacă mă auzi spunând asta, când spun că ceva nu este continuu, deseori spun discontinuu. BINE. Vom folosi această teoremă-- tot spun asta, deși am șters-o deja, dar teorema care echivalează continuitatea într-un punct și faptul că fiecare secvență converge-- fiecare șir care converge către c implică f din xn converg către f din c. Vom folosi acea teoremă pentru a obține teoreme corespunzătoare despre continuitate care arată analog cu afirmațiile pe care le-am făcut despre secvențe. Și apoi vom lua în considerare un caz care nu este acoperit, care nu are analog pentru secvențe. Deci, permiteți-mi să enunț următoarea teoremă. Deci, să presupunem că s este o submulțime a lui r, c este un element al lui s. Și am două funcții de la s la R. Atunci, dacă f și g sunt continue la c, atunci concluzia este f plus g-- funcția f plus g este continuă la c. f ori g este continuă la c. Și dacă g din x nu este egal cu 0 pentru toate x și s, deci pot împărți la el, atunci f peste g este continuă la c. Și așa, de exemplu, voi dovedi prima afirmație, celelalte două, le puteți dovedi singur. Și din nou, acest lucru rezultă din această caracterizare pe care o avem a unei funcții care este continuă într-un punct în termeni de limite de secvențe. Și limitele secvențelor pe care le cunoaștem bine. Am dovedit toate aceste proprietăți despre ele. Dacă îți place, acolo am făcut toată munca grea. Și acum obținem niște plăți prin faptul că obținem declarații interesante fără multă muncă. Deci presupunem că f și g sunt continue la c, deci să demonstrăm că f plus g este continuă la c prin această caracterizare secvențială. Să presupunem că xn este o secvență care converge către c. Atunci, deoarece f și g sunt continue la c, acest lucru implică faptul că secvențele f ale lui x sub n converg către f din c și g ale x sub n converg către g din c. Și prin urmare, prin teorema pe care am demonstrat-o cu câteva prelegeri în urmă, că suma a două secvențe convergente converge către suma limitelor, obțineți că f plus g din x sub n, care este f din x sub n plus g din x sub n , converge spre f din c plus g din c sau funcția f plus g evaluată la c. Si asta e. Am arătat acum că fiecare secvență care converge către c, f plus g din x sub n converge către f plus g din c. Și la fel și pentru ceilalți, deși poate există un mic sughiț aici în care vrei să... ei bine, nu. Deci urmează... Mă gândeam la altceva. Nu-ți face griji pentru asta. Dar 2 și 3 urmează, de asemenea, în mod similar folosind teoremele secvenţiale -- teoremele secvenţiale analoge. Totuși, avem... deci acestea sunt trei operații naturale pe care le putem face cu două funcții. Le putem adauga. Le putem multiplica. Le putem împărți, așa cum am făcut-o pentru secvențe. Există o operație pe care o putem face cu funcții pe care nu o faceți cu secvențe sau pe care nu o puteți face cu secvențe și aceasta este să le compuneți. Deci întrebarea firească este, este compoziția a două funcții continue continuă? Și răspunsul la asta este da. Trebuie să precizăm acest lucru cu atenție. Deci, să presupunem că a și b sunt o submulțime a lui R și c este un element al lui a. Deci haideți să scriem asta puțin diferit. Fie a și b o submulțime a lui r. c este un element al lui a, iar f va fi o funcție de la - permiteți-mi să înțeleg bine. f va fi o funcție de la a la r, iar g este o funcție de la o mulțime b la a. BINE. Așa că primesc asta înapoi. Deci, când le compun pe acestea două, când iau f din g, f din g va fi o funcție acum de la b la r. Deci, dacă g este continuă la c și f este continuă în punctul g al lui c, care este, amintiți-vă, un element al lui a, atunci compoziția f lui g este continuă la c. Deci vom folosi, din nou, această caracterizare în termeni de secvențe. Nu trebuie neapărat. Am fi putut să o facem, strict vorbind, din definiție. Dar acesta este un mod scurt și frumos de a demonstra această afirmație. Fie deci xn o succesiune în b, deci de elemente ale lui b astfel încât x sub n converge către c. Și ceea ce vrem să arătăm este că f de g limită pe măsură ce n merge la infinit de f de g de x sub n este egal cu f de g de c. Lasă-mă să pun asta la o parte. BINE. Deci, deoarece xn converge către c și g este continuă la c, aceasta implică faptul că secvența g a lui xn converge către g a lui c. Acum, g din x sub n-- aceasta este o secvență acum într-o convergență către un element al lui a. Da? Deci, deoarece această secvență g a lui x sub n converge către g din c și g, iar acum f, este continuă la g din c, aceasta implică că f din g din x sub n converge către f din g din c, adică aceasta este , prin definiție, același lucru cu a spune f din g din x sub n este egal cu f din g din c. Deci avem o operație pe care nu o putem face cu secvențe, dar această operație păstrează totuși continuitatea. Deci, luarea de sume de funcții continue menține o continuă-- rămâne în clasa funcțiilor continue. Produsul a două funcții continue este continuu. Coeficientul este continuu. Și acum, de asemenea, compoziția a două funcții continue este continuă. Deci, ca o consecință a acestui lucru, putem folosi acest lucru pentru a demonstra unele - dați mai multe exemple de funcții care sunt continue. Deci, de exemplu, pentru tot n, un număr natural, f al lui x egal cu x cu n este continuu ca funcție pentru x și r. Deci care este dovada? Putem face acest lucru prin inducție. Deci, pentru n este egal cu 1, f din x este egal cu x, am făcut deja. Acesta a fost unul dintre primele exemple de funcții continue pe care le-am făcut, a fost ax plus b. Deci a este egal cu 1, b este egal cu 0 îmi dă acest caz. Deci acesta este cazul de bază. Să facem acum pasul inductiv. Să presupunem că funcția x la m este continuă. Și acum vrem să arătăm x la n plus 1 este continuu. Apoi x la m plus 1, acesta este egal cu x ori x la m. Și deoarece x la m este continuă și funcția f a lui x egală cu x este continuă, produsul a două funcții continue este continuu. Este un produs a două funcții continue, care prin teorema pe care am demonstrat-o implică faptul că x la n plus 1 este continuu. Deci tot spun continuu, dar ceea ce spun este pentru tot c și r, x la m este continuu la c. Deci poate ar fi trebuit să notez asta, dar cred că sensul ar trebui să fie suficient de clar. Și prin același raționament inductiv, ați putea demonstra că într- un număr natural polinoamele sunt continue. f de x-- pentru toate într-un număr natural, a0 și R, funcția dată de un polinom a sub n x la n plus un sub n minus 1, x la n minus 1 plus un sub 0 este continuă. Deci, mai degrabă decât să scriem dovada reală prin inducție, să vorbim despre ea. Deci, din nou, pentru n este egal cu 1, acesta va fi doar un număr de ori x, de care ne-am ocupat deja într-un exemplu anterior. Deci știm că este continuu. Deci asta rezolvă cazul de bază. Acum să presupunem că am demonstrat acest lucru pentru n egal cu m, sau să presupunem acest lucru pentru n egal cu m și să ne uităm la o funcție cu n egal cu n plus 1. Aceasta va fi a la a sub m plus de 1 ori x la n plus 1 plus un polinom de ordin inferior, despre care știm deja că este continuu. Și un sub m plus 1 ori x la n plus 1, acesta este continuu pentru că este produsul unei constante și unei funcții continue din exemplul anterior. Deci ar fi continuu plus polinomul de ordin inferior , care este continuu prin presupunere. Acest lucru va fi continuu prin teorema pe care am demonstrat-o. Dar nu trebuie să te uiți doar la polinoame. De exemplu, de exemplu, funcția f a lui x este egală cu 1 peste 3 plus sinus x la al patrulea. Aceasta este, de asemenea, continuă - este o funcție continuă. De ce? Deoarece pentru toate x-- în primul rând, 3 plus sinus x la 4, acesta nu este niciodată 0. Deci această funcție are un sens perfect. Deci partea de jos este întotdeauna diferită de zero. Sinusul x este continuu, deci sinusul x la 4 este continuu. 3 este o funcție continuă. Este doar o constantă. Deci fundul ca o funcție în sine este continuu. Și 1 peste această funcție este continuu atâta timp cât partea de jos nu este niciodată 0, care nu este niciodată 0, așa că din nou, prin această teoremă aici. Deci am folosit compoziția unu pentru a spune că sinusul x la 4 este continuu. Și o folosim pe aceea, teorema de dinainte, pentru a arăta că 1 peste 3 plus sinus x 4 este continuu. Așa că lasă-mă să scriu asta foarte repede. Voi spune prin teorema de compunere, funcția sinus x a lui 4 este continuă, ceea ce implică, voi spune, teorema algebrică, adică acea teoremă care implică operații algebrice, 3 plus sinus x la 4 este continuă. Și din nou prin teorema algebrică, deoarece 3 plus sinus x la 4 nu este niciodată 0 pentru toate x și r, aceasta este continuă. În regulă. Deci data viitoare, ne vom uita la unele proprietăți ale funcțiilor continue, și anume numite teoremele min și max pentru funcții continue. Deci, lucrul grozav despre funcțiile continue este că, dacă le privești pe intervale închise și mărginite, ele ating întotdeauna un maxim și un minim la un moment dat - nu doar că graficul este mărginit deasupra sau dedesubt, dar există un punct real în care f ajunge la acel punct. min și atinge acel max. Și apoi vom demonstra și teorema valorii intermediare, care spune între oricare două -- dacă am o funcție continuă pe un interval a, b și mă uit la f din a și f din b și iau un număr în între aceste două valori, f pentru a și f pentru b, există un punct între ele, astfel încât f să atingă acea valoare. Și acest lucru este extrem de important. Și vom vedea cu siguranță de ce mai târziu, odată ce ajungem la diferențiere și continuitate.