[SCRÂTÂND] [FOȘNIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK, deci haideți să continuăm cu discuția noastră despre seria Fourier de data trecută. Pentru o funcție dată din L2, definim coeficientul Fourier f hat al lui n ca fiind integrala lui 1 peste 2 pi minus pi la pi f a lui t e la minus int dt, care până la un factor de 1 peste rădăcina t, este egal cu produsul interior al lui f cu e la int peste rădăcina pătrată a lui 2 pi în spațiul Hilbert L2, OK? Și întrebarea pe care o aveam-- așa că permiteți-mi-- și am avut, de asemenea, că a n-a sumă parțială pentru seria Fourier asociată cu f a fost dată de suma de la n egal cu minus n la n f pălăria lui n e la inx. Și întrebarea pe care încercăm să o rezolvăm este dacă avem pentru toate limitele f și L2 pe măsură ce n merge la infinit de f minus SN din f 2 este egal cu 0, OK? În regulă? Cu alte cuvinte, este f egal cu seria lui Fourier, cel puțin atunci când interpretăm egali ca în acest sens aici? Acum, pe baza a ceea ce am făcut pentru spațiile Hilbert, această întrebare este echivalentă cu următoarea afirmație. Dacă f este un L2 și toți coeficienții Fourier sunt 0, înseamnă că f este egal cu 0, nu? Deci această întrebare este -- prin ceea ce am făcut pentru spațiile Hilbert, marele L2 este un spațiu Hilbert. Această întrebare aici este echivalentă cu această afirmație, care este că colecția de vectori ortonormali și L2 mare constând din exponențiale împărțite la rădăcina pătrată a lui 2 - este aceasta o submulțime ortonormală maximă? Sau, deoarece folosim terminologia pe care o aveam de data trecută, formează asta o bază ortonormală? Deci aceasta este afirmația că vom demonstra această clasă. Și vom continua prin metoda lui Fejer, dacă doriți să-i dați un nume, unde ceea ce am făcut ultima dată a fost - când ne amintim, am avut semnificația Cesaro Fourier pe care am definit-o ca fiind media primului n parțial. sume cu speranța că cumva aceasta se comportă puțin mai bine decât sumele parțiale, pentru că asta este lucrul pe care încercăm să-l studiem. Și asta e o întrebare grea. Și de obicei, mijloacele secvențelor s- ar putea comporta mai bine decât secvențele în sine. Dar dacă șirul inițial converge, atunci mediile converg. Așadar, ar trebui să ne așteptăm ca acest lucru să convergă la f, dar sperăm mai rapid sau să aibă proprietăți mai bune și mai recunoscute decât doar studierea sumelor parțiale în mod direct. Și vom ajunge la -- în următoarea declarație, este puțin mai clar de ce Cesaro Fourier înseamnă converge către f. Și deci scopul nostru - ceea ce vom arăta este că, dacă f este un L2, atunci Cesaro Fourier înseamnă convertește la 0, adică transformă la f pe măsură ce n merge la infinit. BINE? Și așa că, odată ce am dovedit asta, atunci asta ne dă ceea ce ne dorim în caseta galbenă, nu? Asta dovedește ce este în caseta galbenă, pentru că să luăm f și L2 cu 48 de coeficienți toți 0. Apoi, toate sumele parțiale vor fi 0. Apoi, toate mediile vor fi 0. Și, deoarece mediile converg către f, că demonstrează că f este 0. Și obținem ceea ce este în caseta galbenă. Și, prin urmare, parțialul pe care sumele Fourier o transformă în f pe măsură ce capitalul N ajunge la infinit în L2, bine? Și apoi, odată ce dovedim asta, voi face câteva comentarii despre alte tipuri de întrebări pe care le puteți pune și ce puteți face, sau un scurt comentariu. Deci acesta este scopul nostru pentru această prelegere. Și ar trebui să putem trece peste asta. Deci, permiteți-mi mai întâi să rescriu semnificațiile lui Cesaro Fourier ușor diferit. Cum am procedat în prelegerea anterioară pentru sumele Fourier parțiale -- le-am scris ca ceea ce se numește o convoluție. Nu am definit convoluția -- ci o integrală a unei funcții care depinde de x și t ori f din t dt. Și vom face același lucru acum pentru mijloacele Cesaro. Și vom vedea aici în ce-- este puțin mai clar, deși nu am vorbit atât de mult despre nucleul Dirichlet care apare pentru acești tipi-- dar de ce înseamnă Cesaro converge la f. Bine, bine, deci afirmația este pentru toate f din L2 minus pi la pi, avem că a n-a medie Cesaro a lui f, care este media noastră Fourier, pot scrie ca integrală de la minus pi la pi a unui funcția kn de x minus t ori f de t dt. Așadar, amintiți-vă, pentru sumele parțiale s sub n, l-am putea scrie ca d sub n, unde d reprezintă un nucleu Dirichlet, unde kn de x-- acesta este egal cu n plus 1 peste 2 pi și apoi 1 peste 2 pi ori n plus 1 ori sinus n plus 1 peste 2x peste sinus x peste 2 pătrat. Și asta înseamnă că x este egal cu 0. Acesta este valabil pentru x0 egal cu 0. OK? Și acest lucru, îl numim Fejer sau nucleul Fejer. Deci bine? Și acum, permiteți-mi să enumeram câteva proprietăți pe care le vom obține din asta. Mai mult, avem următoarele proprietăți. 1, kn este nenegativ. kn din x este egal cu kn din minus x. Este chiar. Și kn este 2 pi periodic. Al doilea este că integrala lui k sub n din x de la minus pi la pi-- dx, sau să facem acest t-- dt egal cu 1. Și a treia este dacă delta este un număr pozitiv mai mic decât pi, mai mic sau egal. la pi, atunci pentru toți x cu valoare absolută mai mare sau egală cu delta și mai mică sau egală cu pi, avem acel kn de x, care este egal - nu am nevoie de valori absolute, deoarece nu este negativ -- este mai mic sau egal cu 1 peste 2 pi peste n plus de 1 ori sinus pătrat delta peste 2, OK? Deci bine. Deci, să demonstrăm această teoremă. Și apoi, voi spune câteva comentarii despre... ei bine, din moment ce am aceste proprietăți chiar aici, permiteți-mă să continui și să fac câteva comentarii înainte de a dovedi. Ce înseamnă asta ca arată kn? Lasă-mă să desenez 0 pi minus pi. Deci kn este nenegativ. Este chiar. Și departe de un cartier mic, este destul de mic dacă capitalul N este foarte mare. Deci, ceea ce arată poate este primul - și este mare la origine. OK, deci poate că este n egal, să spunem 1. Și apoi, să spunem că acesta este delta și apoi minus delta. Dacă ar fi să mă uit acum la, să spunem, n este egal cu... nu știu... un miliard, pare mai degrabă ceva care este foarte concentrat la origine, dar în așa fel încât aria de sub grafic... deci integrala-- aria este egală cu 1, OK? Și la fel și cu ce am desenat în alb, pentru că albul trebuia să fie n egal cu 1. Galbenul trebuia să fie n egal... nu știu... 1.000. Zona este întotdeauna 1, bine? Deci asta vă spune că dacă mă uit la sigma n din f-- deci acestea sunt doar câteva remarci. Acest lucru nu trebuie luat complet literal. Aceasta este doar intuiția de ce credem că mijloacele Cesaro converg la f. Și voi spune cum diferă această imagine de dacă ne-am uita doar la SN. Deci, aceasta înseamnă că sigma n din f este, de fapt, deci amintiți-vă, vom obține, în cele din urmă, că aceasta este egală cu kn din x minus t f din t dt. Acum, kn este foarte concentrat aproape de unde t este egal cu x, OK? Deci, pe baza imaginii, pe măsură ce n devine foarte mare, acest lucru devine din ce în ce mai concentrat lângă locul unde n este egal cu x, OK? Acum, și prin urmare, cel puțin pentru să spunem foarte frumos f, dacă acest lucru este concentrat lângă unde t este egal cu x, atunci f din t va fi aproximativ f din x. Deci f din x iese din integrală deoarece aceasta este o integrală dt. Deci, deoarece acest lucru este concentrat la-- și pentru că aria de sub curbă este întotdeauna 1, această integrală este întotdeauna egală cu integrala lui kn peste oricare. Deci kn este 2 pi periodic. Această integrală este egală cu aceeași integrală pe orice interval periodic de 2 pi, ceea ce înseamnă că aș putea pune aici: aș putea adăuga un x atât în ​​partea de sus, cât și în jos și, prin urmare, schimba variabilele pentru a obține kn de t dt, care este egal cu- - pentru că integrala este 1, aș obține ceva de genul f din x, OK? Deci acesta este un motiv euristic pentru care ar trebui să ne așteptăm ca mijloacele Cesaro să converge către f. BINE? Dacă te uiți înapoi la nucleul pe care l-am avut pentru sumele parțiale, acesta avea unele dintre aceleași proprietăți. A fost 2 pi periodic și, de asemenea, chiar. Integrala a fost 1. Și a scăzut de la 0. Cu toate acestea, nu este negativă. Vorbesc despre nucleul Dirichlet dn, care dacă te uiți înapoi în notele tale, a fost sinus de plus n plus 1/2 ori x peste sine x peste 2 cu o constantă în față. Și acea mică diferență, faptul că acest nucleu nu este negativ, iar nucleul Dirichlet nu este, face o mare diferență. Deci, deși acest argument euristic - poate că nu îl vedeți acolo - în dovezile reale în sine, acea oscilație - și ceea ce vreau să spun prin izolare este faptul că dn oscilează de fapt între valorile negative și pozitive - acest bit de oscilație este de fapt ceea ce puteți folosi pentru a construi o funcție continuă ale cărei sume parțiale nu converg către acea funcție continuă într-un punct, OK? Dar după cum vom vedea pentru mijloacele Cesaro, Cesaro Fourier înseamnă, practic, alegeți un spațiu. Și sumele Cesaro sau mijloacele Cesaro converg către funcția în orice spațiu despre care vorbiți. Și voi spune puțin mai multe despre asta într-un minut. Dar OK. Deci, să demonstrăm teorema că mijloacele Cesaro sunt scrise în acest fel, iar nucleul are aceste trei proprietăți. Așa că permiteți-mi să-mi amintesc că avem SN de x-- sau să punem un k acolo-- acesta este egal cu, așa cum am scris data trecută, minus pi la pi DK de x minus t f de t dt, unde DK de, să zicem, t a fost, de data trecută, egal cu 2n plus 1 peste 2 pi la t egal cu 0 și sine n plus 1/2 t peste sine t peste 2, și apoi cu 1 peste 2 pi în față, cred. Lasă-mă să mă asigur că am exponentul potrivit. Dreapta. Pentru t nu este egal cu 0. OK? Oh, și asta ar trebui să fie k. OK, deci folosind aceasta, avem că suma Cesaro a lui x-- aceasta este egală cu 1 peste n plus 1, suma de la k este egală de la 0 la n, media primelor sume și a sumelor parțiale. Și aceasta este egală cu -- acum, sk f din x este egal cu aceasta. Deci pot scrie aceasta ca integrală de la minus pi la pi de 1 peste n plus 1 sumă de la k este egală cu 0 la n din DK x minus t f din t dt. Și deci aici este kn de x minus t. În regulă? Așa că acum, voi verifica doar că kn de x ia forma pe care o aveam înainte. Și kn de x-- acesta este egal cu 1 peste n plus 1 sumă de la k este egală cu 0 la n din DK de x. Și să trecem la următoarea demipensiune. Așa că pot scrie asta ca 1 peste 2 pi n plus 1 și ori-- așa că mă voi uita la cazul în care x este non-0. x este egal cu 0, veți obține ceea ce obțineți. Dar să ne uităm la x nu este egal cu 0. Așadar, conectez această formulă aici și scot un sinus t peste 2-- sau sinus x peste 2 pătrat în partea de jos. Și apoi, obțin k este egal cu 0 la n de sinus x de peste 2 ori sinus n plus 1/2 x, OK? Și pentru că îmi vine să pun un 2 aici și un 2 aici. De ce am chef? Ei bine, pentru că dacă am de 2 ori sinusul unui sinus b, pot scrie asta folosind formulele mele de sumă a unghiurilor din trigonometrie. Te-ai întrebat de ce ar fi de folos. Ei bine, iată că apar la clasa avansată MIT. Puteți scrie acest lucru ca sumă de la k este egală cu 0 la n cosinus n x minus cosinus n plus 1x. Lasă-mă să mă asigur că am înțeles bine. Sau acesta ar trebui să fie k. Îmi pare rău. Asta ar fi trebuit să fie k. k, k, bine? Acum, aceasta este o sumă telescopică, nu? Am o sumă de cosinus kx. Am un cosinus k plus 1x. Deci, aceasta este egală cu... așa că hai să scriem asta. Și permiteți-mi să spun doar de ce aceasta este o sumă telescopică. Obținem cosinus 0x minus cosinus 1x plus cosinus 1x minus cosinus 2x punct punct punct plus ultimul, care este cosinus nx minus cosinus n plus 1x. Și bine, deci telescoapele astea. Asta se anulează cu asta. Asta se va anula cu așa mai departe. Și acesta din urmă se va anula. Deci tot ce ne rămâne este acesta minus acesta împărțit la 2 pe care le am chiar acolo. Și primesc 1 peste 2 pi n plus 1 ori 1 peste sinus pătrat x peste 2 ori 1 minus cosinus n plus 1 x peste 2. Și din nou, folosind o formulă trigonometrică -- 1 minus cosinus 2a este egal sinus pătrat -- împărțit la 2 este egal cu sinusul pătratul a. Deci, obțin că acesta este egal cu 1 peste 2 pi n plus de 1 ori sinus pătrat n plus 1 peste 2x împărțit la sinus pătrat x peste 2, OK? Deci, aceasta verifică formula pentru nucleul Fejer. Dar proprietățile pe care le avem acolo? Aceste proprietăți - cel puțin primele două - rezultă direct din această formulă și din definiție. Deci 1, urmează imediat. Acest lucru este în mod clar non-negativ. Este par, luarea x la minus x nu schimbă acest lucru, pentru că avem pătrate. Și, de asemenea, din cauza pătratelor, este 2 pi periodic, mai degrabă decât 4 pi periodic, OK? OK, deci este 1. Pentru 2, observăm că, dacă luăm integrala pentru minus pi la pi a nucleului Dirichlet, aceasta este-- OK, am avut o formulă pentru nucleul Dirichlet, dar amintiți-vă, aceasta nu este altceva decât... - aceasta a fost definită ca fiind suma de la n este egală cu minus k la k din e la int dt, OK? Acum, e la int când n nu este egal cu 0 este 2 pi periodic. Și când o integrez de la minus pi la pi, integrala de la minus pi la pi a acestui lucru periodic de 2 pi - puteți doar să verificați. Este integrala lui sine, nt și cosinus nt pe perioada sa. Asta o să-mi dea 0. Deci tot ce înțeleg este când n este egal cu 0, nu? Și deci este egal doar cu termenul n este egal cu 0. Deci asta îmi dă 1, bine? Deci, din moment ce integrala fiecărui nucleu este 1, atunci integrala nucleului Fejer-- care ne amintim, aceasta este egală cu media nucleelor ​​Dirichlet. Și fiecare dintre acestea este 1 sumă de la k este egală cu 0 la n 1. Primesc n plus 1 împărțit la n plus 1. Primesc 1, OK? Deci asta îmi dă 2. Și pentru a treia proprietate, avem... ce avem? Apoi, funcția sinus pătrat x peste 2 - cum arată? Aceasta este în creștere. Sau ar trebui să spun că este par și crește de la 0 la pi. Deci, ceea ce arată este sinus pătrat x peste 2. Deci există pi minus pi sinus pătrat. Se pare că merge până la 1. Deci, dacă mă uit la toate x în afara - deci în acea regiune umbrită - atunci, dacă x este în afara acestei regiuni deltă, atunci obțin că sinus pătratul x peste 2 va merge să fie mai mare sau egal cu orice, deci se află deasupra valorii pe care o primesc aici, care este delta sinus pătrat peste 2. Și, prin urmare, obțin că kn de x, care este egal cu valoarea sa absolută, este mai mic decât sau egal cu 1 peste 2 pi n plus 1 sinus pătrat n plus 1 peste 2x peste-- Am avut sinus pătrat x peste 2, dar deoarece sinus pătrat x peste 2 este mai mare sau egal cu sinus pătrat delta peste 2, luând 1 peste invers inegalitățile. Și primesc delta sinus pătrat peste 2 aici. Sinusul oricăror este întotdeauna mărginit deasupra de 1. Deci am obținut că acesta este mai mic sau egal cu 1 peste 2 pi n plus 1 delta pătrat sinus peste 2, OK? Deci, pentru moment, permiteți-mi să pun această valoare absolută acolo. Nu o fac pentru că cred că arată mai bine. Pentru că o să fac un comentariu într-un minut. OK, lasă-mă să fac un mic comentariu. Ei bine, să demonstrez următoarea teoremă. Și apoi, voi face comentariul. OK, deci avem aceste proprietăți ale nucleului Fejer. Și acum, ceea ce vom face este să dovedim că avem convergența mijloacelor Cesaro către o funcție în L2, mai întâi o vom face pentru o funcție continuă. Deci ai dovedit în sarcini că în L2 minus pi la pi, funcțiile continue care dispar la cele două puncte finale sunt dense în spațiul mare L2, OK? Acum, dacă o funcție este continuă și este egală cu 0 la ambele puncte finale, este periodică 2 pi în sensul că are aceeași valoare la ambele puncte finale. Și, prin urmare, subspațiul funcțiilor continue care sunt 2 pi periodice este dens în L2. Deci, dacă vom reuși să arătăm că mijloacele Cesaro converg la o funcție în L2 pentru o funcție L2 arbitrară, poate că are sens să încercăm să o facem mai întâi pentru funcții continue. Și aici acest argument pe care doar... acest argument euristic pe care l-am dat aici va fi mai asemănător matematicii. OK, deci avem următoarea teoremă datorită lui Fejer, care este următoarea. Dacă f este continuă și 2 pi periodic, adică f din pi este egal cu f minus pi, atunci nu numai că avem mijloacele Cesaro care converg la f în L2, ci o avem de fapt în cel mai bun sens pe care l-ați putea pentru o funcție continuă . Apoi, sigma n din f converge către f uniform în minus pi la pi, bine? Deci, înainte, ne uitam la seria Fourier în L2. Deci, convergența în L2 a fost modul în care cineva înțelege seria infinită sau ceva care converge către altceva, bine? Dacă ne uităm la funcții continue, atunci avem deja o normă diferită acolo dacă vrem să luăm în considerare doar un spațiu complet care conține funcții continue. Avem norma uniformă, sau norma infinitului. Și ceea ce spune aceasta este că chiar și în acest spațiu mai mic și în această normă mai puternică, avem convergența mijloacelor Cesaro la funcția f. Dar din nou, acest lucru nu înseamnă că seria Fourier converge către f uniform. După cum am spus, se poate folosi, de fapt, acest comportament oscilator al nucleului Dirichlet pentru a demonstra că există funcții continue a căror serie Fourier diverge într-un punct. Și, prin urmare, nu converge uniform către funcție. Dar acest lucru este valabil pentru mijloacele Cesaro din cauza acestor proprietăți ale miezului Fejer, deoarece are această formă în care nu este negativă. Are vârful aproape de origine. Și are masa totală 1 și integrala totală 1. Într-un anumit sens, ar trebui să vă gândiți la, pe măsură ce n merge la infinit, sigma n seamănă din ce în ce mai mult cu funcția delta Dirac la 0, pe care poate ați întâlnit-o în fizică. Dacă asta nu înseamnă nimic, nu-ți face griji. Treceți la următoarea parte a discuției, care ar trebui să aibă această proprietate magică că este 0 distanță de 0, care arată ca, ca integrală 1. Și când o integrați cu o funcție, obțineți f evaluat la origine, care este ca ceea ce spunem aici, OK? Deci, din nou, acestea sunt mai multe euristice. Dar operatorii liniari în funcție de un parametru care apar așa, unde este o funcție a acestei forme ori f din t integrat dt, apar tot timpul în analiza armonică, OK? Și având aceste proprietăți, de fapt, apare și în analiza armonică, OK? Analiza armonică este un nume de lux pentru analiza Fourier și alte chestii. Deci haideți să demonstrăm asta. Deci primul lucru pe care vreau să-l fac este -- deci f este o funcție continuă pe minus pi la pi. Adică 2 pi periodic. Deci pot extinde f la tot R prin periodicitate. Cu alte cuvinte, deci extindem la tot R, adică am-- deci există pi minus pi pi. Iată un 3 pi. Iată minus 3 pi. Deci, se presupune că am această funcție continuă, care este 2 pi periodic. Acum, iau acea funcție continuă și o extind după cum este aici și așa mai departe, OK? Nu spun că o prelungesc cu 0 afară. Spun că îl prelungesc periodic, bine? OK, acum, pot scrie o formulă pentru exact cum faci asta. Dar ai încredere în mine. Poti sa faci asta. Și, de asemenea, următoarele proprietăți simple, atunci - f, referindu-ne acum la ea ca o funcție definită pe tot R care este 2 pi periodic, acesta este, de asemenea, continuu, este 2 pi periodic, ceea ce implică că f este uniform continuu și mărginit, adică. Dacă mă uit la norma infinitului lui f mai întâi, pentru că prin periodicitate, aceasta este doar egală cu sup xn minus pi la pi, și pentru că f este continuă, acest lucru este finit, OK? În regulă. Acum, nu este greu de crezut că f este... dacă îl extind periodic, va fi continuu. Dar folosind asta și faptul că este periodic de 2 pi, puteți concluziona și că este uniform continuu, adică să analizăm rapid ce înseamnă uniform continuu. Aceasta înseamnă că pentru toate epsilonul pozitiv, există o delta pozitivă astfel încât, dacă y minus z este mai mic decât delta, atunci f din y minus f din z este mai mic decât epsilon, ceea ce înseamnă că pot alege o delta independent de y și de punct, dreapta? Continuă într-un punct înseamnă că fixez x. Apoi, pentru orice epsilon, există o deltă. Uniform continuu înseamnă că delta nu depinde de x, punctul la care mă uit. Bine, deci avem o observație de bază pe care o vom face acolo. Și poate voi lăsa asta deocamdată. Deci dorim să demonstrăm convergența sigma n către f uniform pe minus pi la pi. Deci, asta înseamnă că ar trebui să putem găsi, pentru fiecare epsilon, un M majuscul, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M sigma int și pentru toate x în minus pi la pi sigma n din f minus f este mai mică decât epsilon în valoare absolută. Bine, așa că epsilonul să fie pozitiv. Deoarece f este uniform continuu, așa cum am spus -- amintind definiția -- asta implică că există o delta pozitivă, astfel încât dacă y minus z este mai mic decât delta, atunci f din y minus f din z este mai mic decât - și fie Am înțeles bine, așa că iese destul de până la urmă-- este mai puțin de epsilon peste 2, OK? Deci, acum, prin ce vom trece este să facem exact acel argument pe care tocmai l-am șters , bine? Deci aici, spunem că dacă f este foarte aproape de - dacă oricare două puncte sunt suficient de apropiate, f va fi aproape ca valoare. OK, acum alegeți M număr natural astfel încât pentru toți n mai mari sau egali cu M, cantitatea de două ori mai mare decât norma infinitului L peste n plus de 1 ori sinus pătrat delta peste 2 să fie mai mică decât epsilon peste 2, OK? Deci n plus 1-- acesta este lucrul care se schimbă. Deci am aceste numere fixe aici acum. Am reparat delta. Am norma L infinitate a lui f. Deci am acest număr aici. Și spun doar, alegeți un M majuscul, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M, acest număr de ori-- și chiar îl voi pune aici-- ori 1 peste n plus 1 este mic, este mai mic decât epsilon peste 2. Și pot face asta pentru că aceasta, pe măsură ce capitalul N merge la infinit, converge la 0, nu? BINE. Acum, deoarece f și k sub n, nucleul Dirichlet, sunt 2 pi periodice, pot scrie media Cesaro, care este dată de minus pi la pi kn din x minus t f din t dt. Pot face o schimbare de variabile, setați tau egal cu x minus t. Și apoi, acesta va fi egal cu... cu ce va fi egal? x minus pi x plus pi kn de tau f de x minus tau d tau, OK? Toată această schimbare a lucrurilor variabile este în regulă, pentru că am de-a face cu funcții continue. Integrez funcții continue. Deci aceasta este integrala Riemann. Avem o schimbare de variabile pentru integrala Riemann. Deci e complet bine. OK, acum acesta este produsul funcțiilor periodice 2 pi. Și dacă iau integrala acelei mărimi a unei funcții periodice de 2 pi, integrala acesteia este egală cu integrala pe orice interval de lungime 2 pi, bine? Deci integrăm pe un interval de lungime 2 pi, nu? Trecem de la x minus pi la x plus pi. Aceasta este egală cu integrala aceleiași mărimi pe orice interval de lungime 2 pi. Deci este, de asemenea, egală cu integrala peste minus pi la pi. BINE? Deci tot ce spun este că pot schimba variabilele și pot muta x minus t. Și lasă-mă să mă întorc la t în loc de tau aici. Din cauza periodicității, pot schimba acest x minus t aici la f. Bine, acum vom începe să vedem cum se întâmplă ceva magie. Și aici începe să aibă sens acel argument euristic pe care l-am dat mai devreme . Deci, am că pentru toate n mai mari sau egale cu M-- deci am condiția că cantitatea a fost mai mică decât epsilon peste 2. Și pentru toate x și minus pi la pi, am acea sigma n f de x minus f de x-- deci acesta este egal cu minus pi la pi. Și din nou, voi scrie asta acum ca kn de t f de x minus t dt minus -- acum, iată trucul. Nucleul Fejer are integrala 1. Deci pot scrie f din x ca minus pi la pi integrala kn de t ori f din x dt. Eu integrez dt, nu? Apoi, pur și simplu iese. Obțin f de x ori integrala nucleului Fejer, care este 1, OK? Și aceasta este egală cu minus pi pi. Deci, doar combinând lucruri-- kn de t f de x minus t minus f de x, ceea ce este bine, deoarece avem o funcție continuă. Și acum, avem ceva înăuntru care pare să scad f dintr-un argument minus f din argument minus ceva, OK? Acum, voi împărți această integrală în două părți, apoi voi folosi inegalitatea triunghiului și voi aduce inegalitatea triunghiului în interior. De fapt, voi merge înainte și voi face asta aici. Acest lucru este mai mic sau egal cu dacă combin termenii așa cum am făcut și apoi aduc valoarea absolută înăuntru. BINE? Și acum, voi împărți această integrală în două părți. Aceasta este egală cu integrala peste t mai mică decât delta. Și pentru că kn este nenegativ, acesta este doar kn din t f din x minus t minus f din x dt plus celălalt termen. BINE? kn de t f de x minus t minus f de t dt, bine? Acum, ce știm? Dacă valoarea absolută a lui t este mai mică decât delta, atunci x minus t minus x este egal cu minus t, care este o valoare absolută mai mică decât delta. Deci, rețineți că x minus t minus x egal cu t este mai mic decât delta aici, nu? Și, prin urmare, această cantitate aici este mai mică decât epsilon peste 2 prin modul în care am ales delta. Deci aceasta este mai mică decât epsilon de peste 2 ori integrala din această regiune a kn a lui t. BINE? Dar pot să măresc această regiune și să mă întorc la... așa că permiteți-mi să o las aici așa cum este. Plus acum ce fac cu aceasta piesa? Am asta. Am legat de două ori norma L infinitate a lui f. Valoarea absolută a acestuia este mai mică sau egală cu inegalitatea triunghiului, suma valorilor absolute, care este mai mică sau egală cu supa acestui plus sup a acesteia și x, care este egală cu dublul normei infinitului . Așa că obțin de 2 ori norma infinită a f din acest termen și kn a t-- oh, sunt departe de t mai puțin decât delta. Și aici folosesc acea a treia proprietate pe care o am de înainte, că este mai mică de 1 peste 2 pi. Așa că lasă-mă să las asta aici. Suma 1 peste 2 pi n plus 1, delta sinus pătrat peste 2 dt, OK? Și acum, aceasta, pot spune, este mai mică sau egală cu întreaga integrală peste minus pi la pi, care este egal cu 1. Plus din nou, făcând aceasta o integrală pe întreaga regiune, primesc de 2 ori pi -- sau împărțit la 2 pi îmi dă 1. Deci primesc de două ori infinit peste n plus 1 sinus pătrat delta peste 2. Și am ales n plus 1, astfel încât această a doua cantitate de aici să fie mai mică decât epsilon peste 2. OK? Și prin urmare, în mod uniform, demonstrăm că pentru toate capitalurile N mai mari sau egale cu M pentru toate x în minus pi la pi, diferența de sigma nf în f este mai mică decât epsilon, dovedind convergența uniformă, OK? Deci, iată observația pe care urma să o fac, este că aceeași dovadă poate fi modificată dacă, în loc ca kn de x să fie mai mare sau egal cu 0, permiteți-mi să mă asigur că spun ceea ce trebuie. Deci, dacă în loc de această proprietate, pe care am avut-o pentru nucleul Fejer, avem că sup peste n a integralei de la minus pi la pi a lui kn de x este finită, adică dacă am o funcție sau dacă am o succesiune de funcții , kn, și am operatorii corespunzători care arată așa -- poate că nu sunt asociați cu nicio întrebare despre analiza Fourier, dar spun doar -- și satisface cele trei proprietăți pe care le aveam înainte, cu excepția faptului că sunt non-negativ, dar în loc de asta, satisface această proprietate, atunci pot reface aceeași dovadă și arăt că acele lucruri converg către f uniform, OK? De ce spun asta? Pentru că poate ați dori să încercați apoi să înlocuiți kn cu dn, nucleul Dirichlet, bine? Nucleul Dirichlet satisface toate celelalte proprietăți pe care le aveam acolo. Integrala este 1. În valoare absolută, se degradează de la x este mai mică decât delta. Și este chiar și în 2 pi periodic, OK? Dar nu satisface acest lucru. Și dacă mă uit la minus pi la pi al nucleului Dirichlet, ceea ce se poate dovedi este că acesta este ceva de genul log n pentru n suficient de mare, OK? În regulă? Așadar, asta a fost doar o mică remarcă pe care am vrut să spun de ce, dacă te-ai gândi la refacerea acestei dovezi folosind nucleul Dirichlet, care satisface aproape toate aceleași proprietăți, cu excepția faptului că nu este negativ, ai putea, dacă nucleul Dirichlet îndeplinise această legătură. Dar nu este. Ea satisface această legătură. Este ca jurnalul n. Și prin urmare, dacă iau supa, nu primesc ceva finit, bine? În regulă, deci am demonstrat că mijloacele Cesaro ale unei funcții continue se convertesc uniform într- o funcție continuă. Așadar, suntem aproape în punctul în care putem spune că mijloacele Cesaro ale unui L2 pentru a funcționa converg către o funcție L2 și concluzionam că submulțimea exponențialelor împărțite la rădăcina pătrată a lui 2 pi formează o submulțime ortonormală maximă a lui L2 și, prin urmare este în bază ortonormală, astfel încât sumele Fourier parțiale converg înapoi către funcția din L2. Avem nevoie doar de încă o informație. Deci avem următoarea teoremă. Pentru toate f din L2 din minus pi la pi, dacă mă uit la sigma n din f -- deci, mai întâi, aceasta este doar o combinație liniară finită de exponențiali, nu? Deci, acesta este în mod clar un L2. Este o funcție continuă. Dar dacă iau norma L2 din asta, ar putea depinde de n. Dar, de fapt, este mai mică sau egală cu norma L2 a lui f. BINE? Așadar, cum vom demonstra acest lucru este mai întâi - și această limită este cea care ne permite să trecem de la funcțiile continue periodice 2 pi la funcțiile generale L2 printr-un argument de densitate, OK? Deci, mai întâi, vom face acest lucru pentru 2 pi funcții periodice continue și apoi, după densitate, vom concluziona pentru funcțiile L2. Deci, să presupunem mai întâi că f este 2 pi periodic. Și apoi, desigur, extinde-l la R prin periodicitate, așa cum am făcut-o înainte. Apoi, ca și înainte, am avut că media Cesaro a lui f este egală cu integrala de la minus pi la pi a lui f de x minus t kn a t dt. Și deci, dacă calculez integrala sigma n f a x pătrat dx, aceasta este egală cu - deci fiecare dintre acestea este egală cu o integrală peste minus pi la pi. Deci voi avea trei integrale. Și f de x minus s ori complexul conjugat fx minus t ori kn de s și kn de t, Și apoi ds dt dx, OK? Acum, toate aceste funcții sunt continue. Deci avem o teoremă a lui Fubini, care spune că putem inversa ordinea integrării oricum ne place. Deci pot scrie aceasta ca integrala pentru minus pi la pi, minus pi la pi, a integrării acum mai întâi în raport cu x-- kn t. Și acum, integrând mai întâi în raport cu x. dx, să spunem ds, dt, OK? Acum fac Cauchy-Schwarz pe asta. Și astfel, acesta este mai mic sau egal cu minus pi la pi minus pi la pi pi kn de s kn de t ori -- folosesc Cauchy-Schwarz în x acum -- deci de ori norma L2 a funcției minus s. Deci iau norma L2 în această variabilă-- de 2 ori 2 ds dt, OK? Ce vreau să spun prin aceasta este că iau norma L2 a acestei funcții în funcție de s, dar în prima variabilă - în această variabilă x, OK? Așa că scrie-l ca să vezi ce vreau să spun. Acum, aceasta este integrala unei funcții pe un interval de lungime 2 pi. Adică 2 pi periodic. Aceasta este egală cu integrala acelei funcție pe orice interval periodic de 2 pi sau orice interval de lungime 2 pi. Așa că pot, de fapt, să elimin acest s și să elimin acest t și doar să preiau norma L2 a lui f în ambele locuri. Deci, acesta este, de fapt, egal cu - și pentru că aceste două lucruri nu mai depind de s și t, ele ies până la capăt din integrală. Și obțin L2 norma pătrat ori minus pi la pi kn de s ds ori integrala de la minus pi la pi kn din t dt. Ambele integrale sunt egale cu 1. Așa că obțin norma la pătrat. Și am început cu norma L2 la pătrat sau norma L2 la pătrat a mediei Cesaro a lui f. Așa că primesc asta pentru toate funcțiile periodice continue de 2 pi, OK? Acum, cum obținem atunci limita pentru generalul f? Folosim argumentul densității. Deci, după ceea ce ați făcut în teme, există o secvență de 2 pi-- așa că permiteți-mi să o iau de la capăt foarte repede. Acum, să luăm un element general în L2. OK, acum începem. Prin atribuiri, știți că există o secvență de 2 pi funcții periodice continue care converg către f în L2-- fn a din 2 pi funcții periodice continue, astfel încât fn converg către f în L2. Și se poate verifica pur și simplu din definiția fiecărui Cesaro înseamnă că atunci -- deci acesta este atât de mic n ajunge la infinit -- că atunci și mijloacele Cesaro converg pe măsură ce puținul n merge la infinit. Deci, N majuscul aici este fix, bine? Folosind doar definiția a ceea ce înseamnă Cesaro și Cauchy-Schwarz, practic, OK? Și faptul că fn converg către f în L2. Astfel, obținem că norma L2 a mediei Cesaro este egală cu limita, pe măsură ce n merge la infinit, a -- deci acesta este mic n-- din norma L2 a mediei Cesaro a acestor funcții periodice continue 2 pi , care așa cum am demonstrat deja - toate acestea sunt mai mici sau egale cu norma L2 a fn, deoarece sunt periodice de 2 pi. Și din nou, pentru că f converge către fn, normele converg. Și obțin rezultatul pe care l-am dorit pentru funcțiile generale L2. BINE? Așa că acum, aproape am ajuns. Ceea ce avem este această legătură. Și avem că Cesaro rămâne converg către-- așa că dacă iau mediile Cesaro ale unei funcții continue, acestea converg către funcția continuă în mod uniform pe interval. Vom folosi asta, această limită și densitatea, din nou, a funcțiilor continue periodice 2 pi din L2 pentru a încheia următoarea teoremă. Pentru toate f din L2, mijloacele Cesaro converg către f, deoarece capitalul N merge la infinit. În special, obținem, ca corolar imediat, dacă toți coeficienții Fourier sunt 0, atunci f este 0, nu? Pentru că dacă am demonstrat acest lucru și toți coeficienții Fourier sunt 0, atunci mediile Cesaro sunt toate 0. Și, prin urmare, deoarece acesta este 0 convergând către f, f trebuie să fie 0. OK? Și, prin urmare, setul de exponențiali - normalizat, desigur -- formează un submult ortonormal maxim al L2, adică că ele sunt o bază ortonormală pentru marele L2, care răspunde la întrebarea pe care am avut-o despre seria Fourier care converge la o funcție în L2. , BINE? În regulă. Deci vom face asta ca un argument standard epsilon n. Fie epsilon-- deci să fie f în L2. Fie epsilonul să fie pozitiv. Deci știm că funcțiile periodice continue 2 pi sunt dense în L2, deoarece am făcut acest lucru în sarcina că pentru orice f din L2 pe un interval, pot găsi o funcție continuă care dispare la punctele finale și, prin urmare, este periodică, ceea ce este aproape de f în L2. Deci, există un g care este continuu 2 pi periodic, astfel încât f minus g în norma L2 este mai mic decât sau epsilon peste 3. Deci, deoarece sigma N g converge către g uniform pe minus pi către pi, există un număr natural M astfel încât pentru toate N mai mare sau egal cu M, pentru toate x minus pi la pi, am că sigma N g de x minus g de x este mai mică decât epsilon peste 3 rădăcină pătrată a 2 pi. BINE? Acum, trecem la partea în care înlocuim f cu g, OK? Apoi, pentru toate N mai mari sau egale cu M, dacă mă uit la norma L2 a sigma N a f minus f în L2 și aplic triunghiul -- adun și scad termeni și aplic inegalitatea triunghiului -- obțin că aceasta este mai mică sau egală cu sigma N din f minus g 2 plus sigma N din g minus g în L2 plus g minus f în L2, OK? Deci sigma N din f minus g este egală cu sigma N din f minus sigma N din g. Așa că îl folosesc acolo fără să spun asta în mod explicit. Deci, permiteți-mi să spun sigma N din f minus sigma N din g. Doar din definiție, puteți verifica că aceasta este egală cu sigma N din f minus g, OK? Acum, după limita pe care tocmai am demonstrat-o, norma L2 a mediei Cesaro este mai mică sau egală cu norma L2 a funcției de aici. Deci, acesta este mai mic sau egal cu f minus g2. Și apoi, am și această normă L2 de f minus G acolo. Așa că voi pune un 2 acolo plus-- și voi scrie de fapt ce este asta-- sigma N g de x minus g de x pătrat dx 1/2, OK? Acum, f minus g este mai mic decât epsilon peste 3 în norma L2. Deci, acesta este mai puțin de două ori epsilon peste 3. Sigma N g minus g este mai mic decât epsilon peste 3 rădăcină pătrată a 2 pi aici. Așa că primesc epsilon peste 3-- care trage până la capăt-- minus pi pi 1 peste 2 pi dx. Și primesc epsilon până la urmă, bine? BINE. Așadar, asta termină ceea ce am vrut să fac pentru seria Fourier, cel puțin pentru moment, care aplică ceea ce am făcut pentru integrarea Lebesgue, aceste spații mari LP și, de asemenea, unele dintre aceste mașini generale pe care le- am construit pentru ca spațiile Hilbert să fie de fapt. răspunde la o întrebare mai concretă, mai degrabă decât să încerci doar să demonstrezi afirmații generale. Declarațiile generale sunt foarte, foarte utile. Nu spun că nu sunt. Dar spun doar ca să puteți vedea o problemă concretă de ce s- ar dori și de a folosi analiza funcțională în primul rând. Acum, revenind la ceea ce am făcut până acum, așa că permiteți-mi doar să fac câteva observații despre ceea ce nu am arătat. Este o teoremă foarte profundă datorată lui Carleson. Deci ceea ce am arătat este că sumele parțiale-- așa că am arătat setul de exponențiali normalizat, sau un set ortonormal maxim-- vreau să spun că sunt pe bază ortonormală. Deci sumele parțiale converg către f în L2. Deci asta este ceea ce am arătat. Pentru toate f din L2, sumele parțiale converg către f din L2, bine? Dar acest lucru nu se traduce într-o afirmație punctuală. Aceasta nu înseamnă că sumele parțiale converg către f aproape peste tot. BINE? Există o teoremă generală despre care se poate spune că este acoperită în clasele mai avansate de teorie a măsurii în care se poate spune că există o subsecvență care converge către f aproape peste tot. Dar asta nu este foarte bine, sau cel puțin foarte curat. Acum, pentru o lungă perioadă de timp, nu s-a crezut neapărat că sumele parțiale convergeau spre f aproape peste tot. Dar o teoremă datorată lui Carleson arată că pentru toate f din L2, sumele parțiale converg către funcția aproape peste tot, OK? Acesta este, de fapt... poate că este adevărat. Poate că nu este. Am auzit asta de la consilierul meu. Carleson a petrecut câteva decenii încercând să demonstreze negația enunțului, încercând să vină cu un exemplu de funcție ale cărei sume parțiale converg nu converg aproape peste tot înapoi la funcție. Și apoi, i-a venit ideea strălucitoare că, ei bine, poate că nu este adevărat. Lasă-mă să petrec ceva timp încercând să mă pun în ceilalți pantofi. Și în decurs de un an sau câțiva ani, a fost capabil să demonstreze această teoremă, bine? Deci aceasta este teorema lui Carleson că avem convergență aproape peste tot. Acum, vă puteți întreba, de asemenea, cum rămâne cu convergența? Deci această convergență în L2 a sumelor parțiale. Avem alte spații LP, nu? Dar în acele spații LP? Pot înlocui acest 2 cu p? Coeficienții Fourier și sumele parțiale - toate acestea au sens pentru orice spațiu mare LP. Deci, ceea ce se știe este că și asta-- și acum, numele îmi scapă, dar o voi spune doar. Pentru toate p între 1 și infinit, sumele parțiale converg către funcția din lp. Când p este egal cu 1, acesta este fals, OK? Și când p este egal cu infinitul, acest lucru este și fals, deoarece sumele parțiale - acestea sunt o combinație liniară finită de exponențiale și, prin urmare, o funcție continuă, OK? Deci nu puteți avea, pentru o funcție arbitrară în L infinit -- care poate fi discontinuă, trebuie doar să fie mărginită -- acestea convergând la L într-o astfel de funcție. Pentru că atunci, limita ar trebui să fie continuă, bine? Limita uniformă a funcțiilor continue, care este un fel de L infinit, trebuie să fie continuă, OK? Deci, de aceea nu te-ai aștepta la L infinit. Și pentru ceea ce s- ar numi dualitate, pentru că infinitul este dualul lui L1, nu obțineți nici p egal cu 1. Dar, de fapt, lucrurile stau mai rău acolo. Puteți veni cu o funcție L1. Așa că seria Fourier-- nu cred că mint când spun asta, dar-- diverge aproape peste tot, vreau să spun, OK? Nu cred că mint. Dar dacă p este egal cu 1, se poate găsi un exemplu în care sumele parțiale diverge punctual aproape peste tot, OK? BINE. Dar pentru a demonstra această aromă de afirmații este nevoie de o analiză armonică mai profundă, analiza armonică fiind umbrela în care se află analiza Fourier și necesită cunoașterea sau cel puțin lucrul cu anumiți operatori, care sunt numiți operatori integrali singulari , care au fost dezvoltați în trecut. secolul trecut, mijlocul secolului trecut la Universitatea din Chicago de către bunicul și străbunicul meu matematic, ceea ce vă oferă niște rezultate frumoase despre, din nou, convergența seriilor Fourier, dar și unele aplicații la PDE, motiv pentru care au fost create inițial. în primul rând și așa mai departe. Dar poate veți întâlni asta dacă luați o clasă de analiză armonică sau seria Fourier. Nu am predat ora din seria Fourier, așa că nu știu despre ce este vorba. Dar acest tip de material nu va fi acoperit în această clasă. Și asta va fi cât de departe vom ajunge până la aceste tipuri de întrebări, bine? Deci data viitoare, vom trece la minimizatori peste mulțimi convexe închise și consecințele acestora, una fiind că putem identifica - care este cea mai importantă aplicație - putem identifica duala unui spațiu Hilbert cu spațiul Hilbert din un mod canonic. Puteți demonstra deja că, dacă doriți, folosind faptul că fiecare spațiu Hilbert este izomorf asimetric la micul l2. Știți că dualul lui mic l2 este 1 peste q, este lq, unde 1 peste 2 plus 1 peste q este egal cu 1. Și, prin urmare, q este egal cu 2. Deci, mic l2 este un dual în sine. Dar o vom demonstra pentru spațiile Hilbert generale, care are niște consecințe foarte importante și interesante atunci când vine vorba de studiul, rezolvarea ecuațiilor în spații Hilbert, ceea ce înseamnă că aveți operatori liniari. Când puteți rezolva ecuații care implică acești operatori liniari și așa mai departe? Bine, așa că ne oprim aici.