[SIGOA SUNETĂ] ROBERT TOWNSEND: Vă mulțumesc tuturor pentru că ați venit. Deci intrăm în ultima treime din clasă. Cred că cel mai bun mod de a vorbi despre asta ar fi programul. Așa că am ajuns la acestea... tocmai ai avut al doilea examen. Și ultimul și ultimul set de probleme a fost lansat puțin târziu în weekend. Dar oricum, ar trebui să-l ai acum. Deci ceea ce vom face astăzi sunt teoremele bunăstării. Și apoi lucruri precum existența echilibrelor competitive și a echilibrului Nash, agregarea Gorman, când ni se permite să ne uităm la acea gospodărie reprezentativă sau nu. Și să ne gândim dacă modelele identifică datele. De fapt, dacă ai putea respinge un model bazat pe date. Deci, aceste primele patru prelegeri sunt toate într-un echilibru general, dar totuși se leagă de alte teme pe care le-am acoperit în clasă. Și apoi, ultimele prelegeri se întorc la teoremele bunăstării și vorbesc despre cum pot eșua, dar, în special, despre cum puteți construi remedii de piață pentru eșecuri. Și apoi, încheiem cu teoria monetară. Așadar, cred că au mai rămas șapte prelegeri. Și apoi, dacă ne uităm pe lista de lectură, optimitatea și echilibrele competitive. Aceasta a fost prelegerea teorema bunăstării. Și există o singură lectură cu stea, care este Kreps, secțiunea 6.3. Deci, din nou, vă recomand să vă uitați la... acesta este mai mult stil manual. Dar este scris la un nivel destul de simplu. Și cred că îl vei găsi util. Deci, permiteți-mi să încep cu prelegerea 16. Deci, teoremele fundamentale ale bunăstării sunt două. Acesta va fi punctul central astăzi. În primul rând, echilibrele competitive sau echilibrul în creștere sunt Pareto optime. Am definit ambele concepte mai devreme. Vom ridica optimitatea Pareto de echilibru. Deci asta e recenzia. Am menționat că aceste teoreme ale bunăstării sunt adevărate, dar nu am trecut niciodată prin exact în ce condiții și cum decurg dovezile. Aceasta este prima teoremă a bunăstării. A doua teoremă a bunăstării, orice alocare Pareto-optimă poate fi susținută ca un echilibru competitiv cu transferuri. Și din nou, vom trece prin dovezi. De fapt, două tipuri de dovezi ale celei de-a doua teoreme a bunăstării. Unul, aș spune că este constructiv. Se potrivește condiții de ordinul întâi. Iar al doilea folosește hiperplanuri de separare în spații convexe. Al doilea este mai general decât primul, în sensul că se aplică multor medii. Dar prima dovadă constructivă oferă multă intuiție. Deci, într-un anumit sens, când aceste teoreme ale bunăstării sunt valabile, puteți merge înainte și înapoi între alocările optime și alocările competitive. Un anumit echilibru competitiv este Pareto optim, dar asta nu înseamnă că nu i-ați putea contempla pe alții. Este asociat cu o distribuție specială a bogăției din proprietate privată. Și dacă doriți să ajungeți la alte redistribuire a bogăției și a beneficiilor, unele în detrimentul altora, să găsiți o altă alocare Pareto-optimă, există și o modalitate de a susține oricare altul suplimentar de genul acesta. Dar va necesita astfel de transferuri. Deci aceasta este tema generală pentru astăzi. Așa că permiteți-mi să vă reamintesc, lipiți câteva diapozitive de mai devreme. Acesta este satul India, cu venituri în timp și peste gospodării. Și poate vă amintiți acest gradient, că, într-un fel, venitul mediu crește pe măsură ce treceți de la cei fără pământ la cei mari. Este un venit, dar la aceeași scară, deci ceva mai greu de văzut, este totuși prezent și în consum , cu această înclinație. Deci, într-un anumit sens, acest gradient în secțiune transversală reflectă greutățile lambda, ca să spunem așa, atunci când rezolvăm alocarea optimă a partajării riscurilor în acest mediu sat din India. Maximizăm suma ponderată lambda a utilităților și intuitiv, precum și, în special, pentru anumite forme funcționale, cu cât sunt mai mari lambda, cu atât ar fi mai mare consumul mediu. Deci, acel gradient reflectă lambda, ca să spunem așa. Acum, ne-am uitat la optimitatea Pareto doar când am făcut alocarea optimă a partajării riscurilor. Nu l-am legat cu adevărat de echilibrele competitive, dar o vom face astăzi. Și, în special, ne-am putea întreba dacă lambda implicite din acel gradient sunt legate de bogăție. Gândiți-vă la faptul că satul își realizează alocarea de resurse pe piețele competitive și, în special, prin proprietate privată. Apoi, ar trebui să vedem o corelație între ponderile lambda și alte variabile care reprezintă bogăția. Deci nu cred că ți-am arătat acest slide mai devreme. Este în satul de risc de hârtie și asigurări din India. Și aici, puteți vedea o regresie a acelui gradient, în special a lambda-urilor , care sunt retrase din munca empitică, din alocarea optimă a partajării riscurilor. Acele lambda sunt corelate cu lucruri precum proprietatea pământului, unde valoarea taurului pe care îl dețin și cu care ară și valoarea moștenirii. Deci, asta ar părea să sugereze că există o oarecare corelație între bogăție și greutățile lambda, deși nu este uniformă și deloc adevărată în Shirapur. Așa că se vede în mare parte doar în unul dintre cele trei sate, în Aurepalle. Și ceea ce nu știi din acest tabel este că proprietatea asupra taurilor și așa mai departe se mișcă în timp. Deci, oricum, nu este atât de reprezentativ pentru bogăție. Deci, acest lucru ar putea sugera că alocarea în acele sate, chiar dacă este realizată prin forțele competitive ale pieței, include și un fel de redistribuire de la proprietarii de caste superioare către cei săraci. Deci, să ne întoarcem la teoremele bunăstării. În primul rând, să presupunem că avem o alocare competitivă, notată x stea, y stea cu preț p și avere w. Și, de fapt, acest slide îl tratează mai general. Un echilibru competitiv cu transferuri. Un caz special, desigur, al unui echilibru competitiv ar fi lipsa de transferuri și doar proprietatea privată. Dar să începem cu un echilibru competitiv cu transferuri. Și dacă preferințele sunt raționale și local nesatisate, acea alocare x stea, y steaua este Pareto optimă sau, cu siguranță, echilibru competitiv sau Pareto optim. În mod surprinzător, nu ai nevoie de multe. Tot ce ai nevoie sunt în esență preferințe raționale și nesatiență locală. Și intuitiv, motivul pentru care aveți nevoie de atât de puțin este că ni se oferă mult pentru început. Ni se oferă existența unui echilibru competitiv cu transferuri. Așa că nu trebuie să avem toate ipotezele care vin cu acestea, care asigură acel echilibru. Acest lucru este luat ca un dat în enunțul problemei. În special, nu trebuie să vorbim despre seturile de consum ale agenților, cu excepția faptului că acestea trebuie să fie construite într-un mod care să fie în concordanță cu nesatierea locală. Nu trebuie să spunem nimic despre seturile de producție, cu excepția faptului că nu sunt goale, deoarece există o stea y aici, deși, în principiu, ar putea fi 0. Deci se presupune foarte puțin. Deci, iată o ilustrare în caseta Edgeworth a primei teoreme a bunăstării. Începem cu dotarea, proprietate privată. Fără producție. Și găsim prețuri astfel încât fiecare dintre cei doi agenți de aici să maximizeze. Și de-a lungul liniei bugetare, este aceeași linie pentru fiecare, într-un anumit sens. Gospodăria 1 renunțând la Bunul 1, obținând Bunul 2. Gospodăria 2 mergând în direcția opusă, renunțând la Bunul 2 și obținând Bunul 1. Și iată echilibrul. Și puteți vedea cât de frumos este, deoarece ratele marginale de înlocuire se potrivesc cu raportul prețului. Și am atins echilibrul competitiv. Deci echilibrul competitiv este Pareto optim. Desigur, nu este singurul. Sunt multe, multe altele, după cum puteți vedea. Dar prima teoremă a bunăstării începe doar cu un anumit echilibru competitiv, în acest caz, proprietatea privată. Acum, cum demonstrăm teorema? Imaginea face să pară evidentă. Dar vrem ca dovada să fie mai generală. Deci, dacă preferințele sunt nesatisate la nivel local, atunci, în special, dacă steaua Xi a echilibrelor competitive se maximizează sub preferințele Agentului I, maximizând în sensul că este obiectul care maximizează utilitatea din setul bugetar al lui h și i, acestea sunt cheltuieli mai mici decât sau egal cu bogăția, atunci pentru orice alt punct Xi, care este cel puțin la fel de bun în preferință ca stea Xi, trebuie să se întâmple ca evaluarea acelei alte alocări, p evaluat al prețului, să nu fie mai mică decât, să fie mai mare decât sau egal cu evaluarea cheltuielilor la echilibrul competitiv. Este foarte mult de acceptat. Partea cheie a ei este această implicație și obișnuiam să am dovada scrisă. Dar este nevoie de șase sau șapte rânduri. Lasă-mă să-ți dau doar intuiția. Să presupunem că nu ar fi adevărat? Să presupunem că dacă px ar fi strict mai mic decât px star. Ei bine, ei cheltuiesc tot ce au. Deci px star este averea lor și ar putea cheltui mai puțin dacă ar alege. Dacă px ar fi mai puțin decât stea px, acesta ar fi un punct în care cheltuiesc mai puțin. Cu toate acestea, în cele din urmă, ne întoarcem la nesătuire. Desenați o minge sau un cerc în jurul lui Xi. Dacă vă amintiți afirmația, trebuie să existe un pachet care este strict preferat lui Xi care este în apropiere. Deoarece este în apropiere, cheltuiește și mai puțin decât stea Xi. Deci, acum, există un punct preferat pentru că Xi este cel puțin la fel de bun ca steaua Xi. Acest alt punct îl va domina strict pe Xi și, prin urmare, va domina preferința la stea Xi. Deci, există un punct în purtătorul setului de buget care este strict preferat punctului ales stea Xi, care contrazice maximizarea utilității. Chiar și mi-a luat destul de mult să o spun, dar este destul de intuitiv când te gândești la asta. Deci această mică lemă inofensivă este pe cale să se obișnuiască cu demonstrația primei teoreme a bunăstării, și anume că un echilibru competitiv este Pareto optim. Dovada prin contradictie. Nu, nu este. Tu spui că este. Dar voi presupune că nu este Pareto optim. Ei bine, orice punct care nu este optim Pareto înseamnă, desigur, vă amintiți cu toții, că există o alocare fezabilă, care are proprietatea că este cel puțin la fel de bună ca alocarea competitivă de stea pentru tot i și domină strict pentru cel puțin un agent , în acest caz, notat i prim. Deci asta este ceea ce ne referim prin faptul că steaua Xi nu este optimă pentru Pareto. Acum, clar, pentru băieți, Xi prime, aceste pachete sunt strict preferate celui ales. Deci nu pot fi în bugetul stabilit. Deci avem o inegalitate strictă a cheltuielilor pentru cei pe care îi primesc. Dar ce zici de acești tipi care erau doar puțin indiferenți? Asta ar putea fi o problemă. Dar nu, avem totul acoperit. După lema anterioară, știm deja că cheltuielile nu sunt mai mici. Deci avem cheltuieli strict mai mari, slab mai mari ale alocării alternative presupuse dominante cu alocarea competitivă dată. Să însumăm valorile pentru toate gospodăriile I și vom obține o inegalitate strictă. Deci, dacă ar fi adevărat că există o alocare, pe care Pareto domină echilibrul competitiv, aceasta ar fi asociată la prețurile de echilibru cu cheltuielile agregate mai mari. Apoi, următorul pas este revizuirea definiției maximizării profitului într-un echilibru competitiv, adică la yj star, evaluarea profiturilor nu este mai mică decât orice alt vector fezabil -- tehnologic fezabil yj. Și acest lucru este valabil pentru fiecare firmă j, deci valabil pentru toate. Deci putem rezuma peste ele. Și acum luăm această declarație pentru firme cu declarația din slide-ul anterior pentru gospodării și începem să le folosim pe ambele simultan. Deci, din slide-ul anterior, avem suma peste I pxi domină strict pxi star. Dar am avut și un echilibru competitiv dat ca o condiție inițială, deci fezabilă. Prin urmare, stea xi este egală cu omega bar plus stea y. Și ar fi trebuit să subliniez. Cred că am sărit peste ea prea repede. Cel mai ușor este să te gândești la prețuri ca fiind strict pozitive. Așa că singura algebră care se întâmplă aici este să luăm produse punctuale, să luăm prețuri, să le puneți în afara parantezei, apoi să colectați termeni, să le puneți înapoi înăuntru. Deci p dot xi, însumarea peste I, dar Xi este egal cu un baton omega plus stea yj. Deci, dacă punem p în exterior și apoi îl înmulțim în interior, obținem prețul înmulțit cu obiectul de cantitate impară în fiecare dintre cei doi termeni. Acum, această ultimă inegalitate este afirmația maximizării profitului. Menținerea evaluării dotării agregate a stelei py fix j nu este mai mică decât pyj. Și acum, facem din nou acest truc. Luăm prețuri, punem în exterior și ne uităm la toți termenii din paranteze și avem Xi aici și omega bar și yj aici. Așa că colectăm acești termeni împreună și obținem această declarație. Dar dacă aceasta este mai mare decât aceasta, atunci când le scazi, este mai mare decât 0. Așa că ajungem în sfârșit la contradicție. De ce? Deoarece acest punct presupus dominant Pareto trebuie să fie fezabil în sensul constrângerii resurselor, ceea ce înseamnă că acesta trebuie să fie 0 pentru fiecare componentă. Dar, după argumentul atins, nu poate fi 0 pentru fiecare componentă sau acesta nu poate fi mai mare de 0. Deci nu este adevărat că este fezabil și asta e contradicția. Deci este o mare dovadă prin contradicție. Deci ceva se întâmplă pe parcurs. Vom trece la a doua teoremă a bunăstării acum. Orice alocare Pareto-optimă poate fi implementată ca un echilibru competitiv. Putem reveni la acest slide. Dar iată poza. Deci alegem un alt punct Pareto optim în acea casetă Edgeworth. Nu acesta care a trecut prin dotare, ci ceva la sud-vest de ea. Deci iată dotarea. E încă acolo. Dar acum vizează această altă alocare Pareto optimă . Și teorema spune că există o modalitate de a redistribui bogăția în așa fel încât să o atingi. Rețineți că ratele marginale de înlocuire se potrivesc toate pentru agentul A și agentul B. Ele sunt egale cu prețul sumei. Prețul, p1 peste p2, este captat de panta acelei, citat, „linia bugetară”. Dar chiar vreau să spun linia averii pentru că nu este o linie care trece prin dotările private. Deci diapozitivul anterior, pe care l-am sărit, spune doar că acele alocații de stele pentru A și B au aceleași pante, care sunt ratele lor marginale de substituție. Și ratele marginale de substituție se potrivesc, deoarece sunt egale între ele. Doar ceva numit gamma. Deci asta e poza aici. Ratele marjei de substituție sunt egale, egale cu panta acestei linii de bogăție, care are o pantă gamma. Acum, ideea este că dacă ar fi plecat de la dotare, chestia asta, agentul B nu ar avea suficientă bogăție pentru a ajunge la această alocare Pareto-optimă. Conceptual, imaginându -ne cumva pantele ar fi aceleași dacă am fi tras la acele prețuri linia gamma, o linie bugetară care trece prin dotare, Agentul B trebuie să fie mai departe. El trebuie să aibă mai multă bogăție. Și de unde acea bogăție? Ei bine, domnul A de aici ajunge să facă sacrificiul pentru că s-a dus la sud-vest de locul în care ar fi în ceea ce privește linia bugetară prin dotare dacă am insistat că nu a trecut prin dotare. Deci toate acestea sunt rezumate pe acest slide. Dacă începem cu acel raport de preț... apropo, gama 1, de ce? Pentru că panta acestui lucru este p1 peste p2. Deci am putea la fel de bine să setăm p2 egal cu 1 ca numărător, deoarece nu vom obține mai multă determinare decât atât. Deci pare ciudat când scrieți așa, dar p egal p1 equal gamma p2 egal cu 1 sunt prețurile de care avem nevoie. Agenții vor maximiza la acele prețuri, în funcție de care este averea lor. Dar alocarea la acele prețuri pentru Agentul B costă mai mult decât evaluarea dotării Agentului B la prețul gama 1. Deci ceea ce ne propunem să facem Agentului B este să le oferim diferența, doar să le oferim suficientă bogăție suplimentară, astfel încât Agentul B. își poate permite să cumpere pachetul de stele, care necesită mai mult decât evaluarea averii sale la dotarea anterioară. Așa că numim asta un transfer la B. Și este pozitiv, așa cum ați putut vedea din diagrama respectivă. Iar A face sacrificiul. Se pare că există o greșeală de scriere aici. Probabil este... oricum, poți să-l vezi. Transferul de avere este același. Se trece de la B la A, iar acest lucru este scris ciudat ca și cum ar fi dotarea lui B și cheltuiala lui B. Dar se referă într-adevăr la punctul de pe caseta de aici, care este simultan punctul pentru B și pentru A. Și așa ne deplasăm spre sud-vest, taxând A și dând taxa lui B ca transfer fizic. Așadar, am găsit un echilibru de preț cu transferuri care vor susține acea țintă alocarea optimă Pareto. Și este posibil să faci oricare dintre ele. Deci, dacă te întorci aici, acesta a fost optimul Pareto al proprietății private . Există toate aceste alte alocări Pareto-optime. Teorema spune, dă-mi orice alocare Pareto-optimă și pot redistribui bogăția în așa fel încât să o susțin ca un echilibru competitiv cu transferuri. Cine este impozitat și cine primește transferurile depinde de optimul pe care îl avem în vedere. Deci acesta ia mai mult. Va trebui să începem să presupunem lucruri pentru ca teorema să fie... pentru condiții suficiente pentru ca teorema să fie adevărată. Începem cu notarea economiei noastre. Seturi de consum pentru agenți, funcții de utilitate, dotări, seturi de producție, acțiuni în proprietatea profiturilor, care este o trecere în revistă rapidă a notației pe care ați văzut-o înainte. Va trebui să presupunem că aceste seturi de consum pot fi formate în esență din combinații de funcții cvasi-concave. Această primă linie este cea mai incomodă. Și dacă doriți, vă puteți gândi doar că acestea sunt orthant nenegativ, că orice pachet de consum pozitiv este bine. Am pus doar versiunea cea mai generală pentru că vreau să subliniez că aveți nevoie de restricții asupra lucrurilor. Iată o declarație despre seturile de producție. Seturile de producție Yj admit o funcție de transformare concavă numită F. Ce naiba înseamnă asta? Ei bine, înseamnă că pentru orice vector Y din mulțimea de producție, acesta poate fi reprezentat printr-o funcție F, care este nenegativă atunci când este evaluată la acel Y. Un exemplu, deoarece acest lucru este cu adevărat obscur, să presupunem că avem o intrare z mapată prin funcția de producție little f pentru a obține rezultatul q. Și aruncăm o parte din rezultate. Deci nu suntem la frontieră, suntem în interior. Apoi, dacă rescrieți acest lucru ca f din z minus q, nu este negativ. Deci orice combinație de intrare-ieșire , zq, atunci când este evaluată sub F, care ia această formă, este nenegativă. Deci este într-adevăr destul de inofensiv. Dar este foarte convenabil să vorbim doar despre această transformare concavă. Ar trebui să subliniez din nou, acestea sunt presupuneri suficiente. Ceva despre seturile de consum fiind reprezentate de cvasi-concave, acest lucru fiind o transformare concavă, preferințele de a coborî la 3 vor fi concave și local nesatisate. Nesatisati pe plan local am avut-o inainte. Concav este nou, ceea ce știți dintr-una dintre primele prelegeri echivalează cu preferințele raționale, convexe, continue și nesătuite. Și, în sfârșit, avem un punct interior astfel încât niciuna dintre aceste constrângeri sau reprezentări nu este obligatorie la 0, și anume nenegativ, nenegativ și chiar în ceea ce privește constrângerea resurselor prin alocare existentă, care nu consumă toate dotarea plus producţia. Este o stare tehnică interioară. Dacă avem toate aceste lucruri pentru această economie, atunci obținem a doua teoremă a bunăstării exprimată în termeni de lambda. Pentru orice lambda, care este un vector de greutate Pareto, există un vector de preț p în acest spațiu euclidian cu dimensiunea L. Și vectorul nostru de bogăție, unul pentru fiecare dintre agenții i, astfel încât x steaua, y steaua, p și w steaua este un echilibru Walrasian cu transferuri. Aceasta este o declarație formală a teoremei. Acum, o să dovedim asta. Și din nou, în dovadă, este mai ușor să presupunem că acele lambda sunt strict pozitive. Și se va generaliza la unele dintre ele fiind 0. Dar doar iese în cale. Așa că haideți să ne ușurăm puțin. Dovada este constructivă și puțin plictisitoare, dar este destul de simplă. Voi încerca să te ghidez. Pasul 1, caracterizați alocarea Pareto-optimă. Acesta este în condițiile în care dorim să obținem cu un echilibru competitiv al transferurilor. 2, caracterizează condițiile pentru un echilibru competitiv cu transfer. Și apoi, 3, se potrivesc acele condiții și arată că, dacă avem condițiile îndeplinite pentru alocarea optimă, vor fi îndeplinite pentru alocarea competitivă, dacă alegem corect. Aceasta a fost problema Pareto, scrisă acum pentru economia complet specificată. Pentru a găsi o alocare Pareto-optimă , vom găsi soluția pentru maximizarea unei sume ponderate lambda de utilități, în funcție de fezabilitatea resurselor și constrângerile de producție. Max, sub rezerva punctelor 15 și 16. Ați mai văzut asta de multe ori, deja în șase sau șapte aplicații. Aceasta este o declarație completă. Deci așa-numita problemă Pareto. Uneori o numesc problema de matematică. Și vă puteți aminti că soluțiile la această problemă generează alocări Pareto-optime și că orice alocare Pareto-optimă poate fi realizată ca soluție la această problemă. Deci nu pierdem nimic limitându-ne atenția la aceste probleme Pareto. Al doilea pas este folosirea Lagrangianului. Și motivul pentru care am subliniat pe diapozitivul precedent toată concavitatea și convexitatea este aceea, nu este doar obținerea condițiilor necesare pentru un optim din metoda Lagrangiană, acele condiții sunt și suficiente atunci când avem acest tip de concavitate. Vă reamintesc pentru moment. Deci avem constrângeri de producție aici. Avem constrângeri de resurse. Așa că căutăm un consum de alocare în setul de consum, pozitivitate din acele transformări concave și curățarea resurselor. Iată slide-ul de recenzie. Am făcut asta, prima dată când a apărut a fost optimizarea consumatorului supusă unui buget. Și am spus, o, acum vom învăța un instrument grozav, instrumentul de optimizare constrânsă. Deci maximizăm funcția supusă unei serii de constrângeri. Formăm Lagrangianul, am luat derivate și ne-am uitat la condițiile suplimentare de ordinul întâi, pe care sunt pe cale să vi le arăt din nou în contextul problemei. Deci a fost un slide de revizuire. Asta vrem să rezolvăm. Și lagrangianul pentru asta este această problemă. Deci dorim să rezolvăm să maximizăm o sumă ponderată lambda de utilități prin alegerea unui vector Xi de alocare, acum începem să scriem constrângerile de resurse L. Dar am pus un multiplicator Lagrange gamma sub l în fața lor, așa cum am fost instruiți să facem de la algoritm. De asemenea, punem lagrangianului aceste pozitivități - aceste F care reprezintă frontiera funcției de producție. Există j dintre acestea și am venit cu o notație pentru multiplicatorul Lagrange. Și apoi, când diferențiam întregul sistem, să spunem în ceea ce privește bunul L pentru a I-a gospodărie, vrem să setăm derivata lagrangiană la 0, care este același lucru cu lambda i U i prim add Xi steaua . Și unde mai intră acel Xil? Intră aici în constrângerea resurselor. Deci preia o gamma. Și acum, încep să pun stele pe soluție pentru că soluția va satisface aceste condiții de ordinul întâi. Deci există alocări speciale și multiplicatori speciali Lagrange pentru că sunt soluții. La fel, pentru bunul L, pentru firma J, setați derivata lagrangianului cu 0. Unde se întâmplă chestia asta? Se întâmplă aici. Deci există o ridicare a unui gamma l. Și aici, ar trebui să luăm un derivat. Deci, acesta ar fi pozitiv, pozitiv egal cu 0. Deci unul dintre acești termeni trebuie să fie negativ. O scădem și obținem această expresie. Gama l este derivata funcției F față de yl. Aceasta este pentru firma J-a și avem această stea pe multiplicatorul Lagrange. Deci această ecuație 10 este un set de condiții. Avem nevoie de ceva, de o condiție tehnică care să poată fi ceva care să fie totul... Îmi pare rău. Nu este tehnic, că toate constrângerile sunt satisfăcute, iar multiplicatorii Lagrange nu sunt nenegativi. Și apoi, în sfârșit, această condiție de slăbiciune complementară ca multiplicatorii Lagrange înmulțiți cu constrângerile respective să fie egal cu 0. Probabil că sunt multe de revizuit, dar în toată această notație a mediului este exact ceea ce ați învățat înainte. Ideea este că ecuațiile 10 și celelalte reprezintă o soluție la problema Pareto maximă. Și nu sunt doar necesare, sunt suficiente din cauza concavității. Și în special, aceste funcții de utilitate sunt în creștere strictă. Și am spus mai devreme, toată lumea are un lambda pozitiv. Este suficient ca cel puțin o persoană să aibă o lambda pozitivă, atunci va trebui să avem gamas pozitive y. Asta e chestia asta pentru că aici este utilitatea marginală, care este pozitivă, o lambda, care este pozitivă. Deci, dacă partea stângă este pozitivă, partea dreaptă este pozitivă. Deci de aici provin gamma-urile pozitive. Deci știm puțin mai multe despre soluție. Sunt prețuri pozitive. Și din această condiție de slăbiciune complementară, dacă prețurile sunt toate pozitive și toată treaba trebuie să fie 0, atunci lucrul interior dintre paranteze trebuie să fie 0. Deci, constrângerile de resurse sunt satisfăcute la egalitate, așa cum este firesc. Deci haideți să rezumam. Am caracterizat alocările optime Pareto, x stea, y stea. De asemenea, notat stea x, stea y la lambda, deoarece ni s-a dat o anumită alocare Pareto-optimă , prin urmare, o anumită sumă ponderată lambda a fost utilizată în funcția obiectiv. Și este soluția la 14, care este acea problemă Pareto. Deci este Pareto optim. Este fezabil și există aceste gamma, care sunt strict pozitive pentru fiecare l bun. Și aceste înmulțiri Lagrange pe seturile de producție astfel încât stea x, stea y, stea gamma și stea phi satisfac 19 și 21. 19 și 21 au fost, da, ceva sa întâmplat în acest proces. Acesta este 10. Și 21 este constrângerea de fezabilitate. Nu. E chiar aici. 21. Atât pentru caracterizarea alocării optime Pareto. Să ne uităm la a doua parte, care caracterizează echilibrul cu transferuri, doar separat. Uită prima parte pentru un minut. Avem un dat în timp ce creștem echilibrul cu transferurile, adică ce? Este x steaua, y steaua, p și w steaua care trebuie să fie în concordanță cu optimizarea consumatorului, maximizarea profitului, constrângerile de resurse fiind satisfăcute. Și din moment ce este un echilibru cu transferuri, nu neapărat proprietate privată, trebuie să ne asigurăm că distribuția averilor este fezabilă, că averea se adună la evaluarea dotării și a profiturilor. Deci, să o luăm pe aceasta pe rând. Opțiunea pentru consumatori, firmele și începeți să priviți condițiile de ordinul întâi. Acum, a treia parte a acestui lucru este punerea acestor piese împreună. Dar în acest moment, suntem pierduți, nu? Nu ne amintim de unde am început. Am pornit de la a doua teoremă a bunăstării. Așa că ni s-a dat o alocare Pareto-optimă. Și vrem să arătăm că poate fi atins ca un echilibru de preț cu transferuri. Dar dorim să găsim componentele x steaua, y steaua, p și w steaua echilibrului competitiv cu transferuri care ne vor returna exact alocările optime Pareto de la care am plecat. Deci, să începem cu gospodăriile. Avem un set de condiții pentru alocarea optimă Pareto și care sunt date pentru că am început cu optimul Pareto - acum, nu ești obișnuit să o vezi așa. De obicei scriem lambda de ori utilitatea marginală este egală cu gamma. Iată-l. Tot ce am făcut a fost să împart cu lambda i și să-l pun în partea dreaptă. Aceasta a făcut parte din condițiile necesare și suficiente pentru problema Pareto. Asta e. Așa că ni se dă asta. Și dorim să găsim multiplicatorii Lagrange mu și prețurile p astfel încât să satisfacem această condiție de optimizare de ordinul întâi per gospodărie i în echilibrul competitiv cu transferuri. Acum, ce ai ghici? Ei bine, noi vrem... acest lucru este adevărat și vrem asta. Deci, să presupunem că prețul pe care îl dorim este gamma, multiplicatorul Lagrange asupra constrângerii de resurse pentru bun l. Pl egal gamma l. Și să presupunem că mu pe care vrem să-l găsim este pur și simplu 1 peste lambda i. Asta e aici jos, rezumat în partea de jos. Și ipoteza finală ar fi că alocarea bogăției de care avem nevoie în alocarea Pareto-optimă este doar evaluarea cheltuielilor la acea alocare Pareto-optimă . Îmi folosesc cuvintele cu atenție aici. Evaluarea, însă, este la prețurile umbră gama l. Dacă te întorci la problema Pareto, aceste gamma au fost multiplicatori Lagrange arbitrari ai constrângerii de resurse. Și am trecut la matematica tuturor condițiilor de ordinul întâi. Dar, de fapt, ceea ce este, este cât de mult soluția că prețul umbră reflectă câștigul incremental în funcția obiectiv pentru a slăbi constrângerea resurselor cu o sumă mică. Deci este ca un preț umbră. Numim adesea prețurile umbră multiplicatorului Lagrange. Este într-adevăr prețul marginal al utilităților, deoarece creștem puțin suma ponderată a utilităților , deci ca o derivată, pe măsură ce slăbim constrângerea. Deci este firesc ca acești multiplicatori Lagrange l, pentru bine, să fie prețuri umbră. Și prețurile reale de echilibru competitiv în corespunzătoare în timp ce crește în echilibru cu transferurile. Acest lucru de aici, scris foarte simplu, este că mu i este 1 peste lambda i. Oh, cui îi pasă? Nu Nu nu nu nu NU. Nu te gândi așa. Gândiți-vă la acele grafice frumoase din Kansas și așa mai departe de la început. BINE? Deci, ceea ce se spune este mu i, care este utilitatea marginală a venitului, utilitatea marginală a bogăției în competiția țintă - ridicăm un echilibru cu transferurile pe care încercăm să le găsim. Utilitatea marginală a bogăției în acea locație este invers legată de ponderile lambda din problema Pareto. Deci, cu cât greutatea lambda este mai mare, cu atât utilitatea marginală a bogăției ar fi mai mică. Amintiți-vă de primele două diapozitive, v-am spus că gradientul din profilul de consum a avut legătură cu greutățile lambda. Și am putea căuta în date pentru a vedea dacă sunt legate de bogăție. Deci acest lucru poate părea cu susul în jos, dar asta doar pentru că mu i este utilitatea marginală a bogăției. Pe măsură ce bogăția crește, utilitatea marginală scade. Deci, pe măsură ce lambda crește și sunt mai favorizați în problema Pareto, utilitatea marginală a bogăției scade. Și cum se întâmplă asta? Se întâmplă pentru că obțin mai multă bogăție. Deci există un fel de mapare 1 la 1 , o mapare monotonă, între lambda din problema Pareto și bogăția care corespunde echilibrului competitiv cu transferuri. Și iată că cade într-un mod foarte elegant. Iar asta din partea de jos, steaua aceea Wi, este evaluarea cheltuielilor. Din nou, cam asta făceam în cutie. Am luat o alocare țintă aici, că nu era un echilibru competitiv cu proprietatea privată. Dar am putea impozita pe A și să-l transferăm pe B, astfel încât aceste stele aici au reprezentat alocarea optimă Pareto țintă . Și evaluăm acele cheltuieli la prețurile corespunzătoare liniei bugetare. Așa că le puteți începe cu averea fiind la prețuri alese cu grijă, evaluarea alocației stelei Pareto optime. Și aceasta este partea de jos, că averea pe care o dăm Agentului I este doar evaluarea alocării optime Pareto. Acum, de asemenea, utilitatea maximizează alocarea la prețurile gamma, gamma star. Am făcut toate astea pentru consum. Altceva se întâmplă automat pe parcurs, și anume, când te uiți la acele condiții de ordinul întâi, putem defini rata marginală de substituție a bunului l cu bunul k pentru agentul I. Lambda se anulează, nu? Este lambda I pentru o gospodărie i pentru orice bun l. Deci, dacă luăm derivata de utilitate în raport cu cele două bunuri, în acest caz l și k, lambda este la numărător și numitor se anulează. Deci aceasta este rata marginală de substituție corespunzătoare acestor condiții de optimizare de ordinul întâi pentru gospodăria I, evident egală cu - I-urile, așa cum am spus, se anulează, egal cu raportul prețurilor, înapoi la o altă gospodărie h. Deci, aceasta este calculul a ceea ce ați văzut deja în imaginea pe care v-am arătat-o ​​de trei ori, ratele marginale de substituție sunt egalate între gospodării și egale cu raportul prețului comun. Toate acestea provin din condițiile de ordinul întâi pe care acum le-am derivat oficial. Încă un pas, firme. Deci avem maximizarea profitului. Oh, te-ai pierdut din nou? Spun asta un pic de limba în obraz pentru că totul este echivalent cu orice altceva. Și este ușor să ne întoarcem și să uităm punctul nostru de plecare. Așa că am început cu o alocare Pareto-optimă. Ne-am uitat la condițiile de ordinul întâi , care sunt necesare și suficiente. Și avem chestia asta. Deci acest lucru este adevărat. Acum, dorim să găsim condițiile pentru maximizarea profitului într-un echilibru competitiv cu transferuri. Deci dorim ca această ecuație să fie satisfăcută. Atâta timp cât putem alege gama și piesa în mod corespunzător, vom termina și este ușor să le alegem. P, ne-am fixat deja. p sub l. Prețul bunului l este prețul umbră derivat anterior gamma l. Și rămâne doar să ne dăm seama ce este această deltă. Putem găsi cumva acel multiplicator Lagrange? In cautarea? Sigur. Să-l lăsăm egal cu multiplicatorul Lagrange asociat și cu soluția problemei Pareto. Și din nou, pentru că toate acestea-- dacă puteți satisface acest lucru pentru că este necesar și suficient, atunci avem profit max. Deci alegem doar delta și p pentru a fi ceea ce... evident, ar fi adevărat, astfel încât să avem maximizarea profitului. Deci aproape am ajuns. Avem o soluție. Am început cu o alocare țintă Pareto optimă. Avem o soluție la problema gospodăriei în echilibrul competitiv cu transferuri. Avem o soluție la prima problemă. Deci, ce știm despre fezabilitate și ce știm despre alocarea bogăției? Așa că știm care trebuie să fie averea gospodăriei, așa cum spuneam. Este doar evaluarea atribuirii, alocarea stelei Xi în problema Pareto la prețuri gamma egale cu p. Deci, aceasta este bogăția gospodăriei I. Să le rezumam și să ne asigurăm că este fezabil. Așadar, însumăm evaluarea țintei la prețuri p. Dar acum facem acest truc. Adu p afară. Este comun. Presupun că este strict pozitiv și în toate componentele, doar pentru a fi ușor. Apoi, această însumare a... din cauza că am început cu un optim Pareto, deci trebuia să fie fezabilă din punct de vedere al resurselor. Deci acum, folosim faptul că însumarea peste i stea Xi trebuie să fie egală cu însumarea peste i a dotării plus ieșirii. Deci cererea este egală cu oferta. Cererea este egală cu dotările plus producția. Și apoi, puteți rescrie punctele p yj pentru a fi în concordanță cu revendicarea acelor profituri din aceste acțiuni de proprietate, theta ij. Probabil că ar fi fost mai clar dacă p ar fi încă înmulțit fiecare parte. Dar este acolo. E chiar în afara parantezei. Și apoi, grupăm... în sfârșit, punem p-urile în interior. Și avem ceea ce ne dorim pentru că aceasta este bogăția totală în economie. Este valoarea totală. Este evaluarea dotării agregate plus profituri. Și se adună la suma bogățiilor de care avem nevoie, în funcție de soluțiile la problema maximizării consumatorului. Deci acum am terminat. Acest ultim diapozitiv este întotdeauna puțin misterios. Este ca, ei bine, de ce trebuie să facem altceva? Ei bine, din nou, amintiți-vă doar definiția unui echilibru competitiv cu transferuri. Pentru că este vorba de transferuri, este specificat nu în termeni de proprietate privată, ci în termeni de avere. Deci, oricare ar fi acele bogății, ele trebuie să se adună la total. Despre asta este acest slide. Deci asta este ceea ce numim demonstrația constructivă, este doar utilizarea spațiilor euclidiene cu dimensiuni finite, introducerea multă concavitate, convexitate și cetera, apoi un fel de potrivire a condițiilor de ordinul întâi. Dar teorema este valabilă în general. A doua teoremă a bunăstării este adevărată, chiar și fără a face ipoteze speciale despre spațiul mărfurilor și așa mai departe. Un pas pe parcurs este ceva numit cvasi-echilibru cu transferuri, cvasi însemnând că nu este pe deplin maximizarea consumatorului. Dar va fi aproape. Deci iată definiția. O alocare, stea x, stea y și un vector de preț p, constituie un cvasi-echilibru de preț cu transferuri dacă putem găsi niveluri de bogăție care se adună la bogăția totală dacă fiecare firmă J maximizează profitul. Până acum, bine. Nimic diferit. Iată diferența. Gospodărie i, această condiție trebuie să fie adevărată. Dacă steaua Xi este alocarea pe care o dorim în definiția echilibrului cu prețul de transfer cvasi-echilibru cu transferuri, dacă începeți cu acea stea Xi și a existat o alocare care este strict mai bună pentru gospodăria i, atunci costă cel puțin cât alocarea averii în cvasi-echilibru de preţ cu transferuri. E un fel de gura. O modalitate de a pune acest lucru, totuși, este că steaua Wi este evaluarea cheltuielilor la echilibru, la echilibrul steaua Xi. Deci, acest lucru spune pxi, evaluarea acestui Xi arbitrar, care este strict preferat, evaluarea nu este mai mică decât evaluarea stelei pxi. Aceasta înseamnă că stea px nu costă mai mult sau reduce costurile peste setul de contur superior de alocări care sunt asociate cu o utilitate strict mai mare. Așa că ai mai văzut asta înainte, cu mult timp în urmă. Când am rezolvat problema maximizării utilității consumatorului, am subliniat că acesta este un fel de lucru dublu. În loc să maximizăm utilitatea în funcție de bugete, am minimizat bugetul necesar pentru a atinge un anumit nivel de utilitate. De fapt, am făcut multe cu asta. Am făcut substituții hicksiene versus substituții walrasiene și așa mai departe. Am avut o prelegere întreagă despre asta. Deci iată-l din nou, cu excepția faptului că, în loc să presupunem maximizarea utilității, vom presupune minimizarea costurilor. Aceasta este singura diferență dintre un echilibru regulat cu transferuri și acest cvasi-echilibru cu transferuri. Fezabilitatea alocării este aceeași. Așa că vă voi arăta teoremele acum. Dar doar pentru a spune, când vom face a doua teoremă a bunăstării, vom spune că este un cvasi-echilibru de preț cu transferuri. Și apoi, având în vedere structura economiei, este posibil să aveți nevoie de puțin mai mult pentru a stabili că minimizarea costurilor corespunde cu maximizarea utilității. Deci, să presupunem că seturile de producție sunt stricte sau convexe, relațiile de preferință sunt convexe raționale și satisfac nesatierea locală, atunci orice alocare Pareto-optimă are un preț p astfel încât x stea, y steaua p este un cvasi-echilibru de preț cu transferuri. Deci arată destul de asemănător, dar vom demonstra asta într-un mod diferit. Și va fi o dovadă care funcționează pentru spații destul de arbitrare. Și dovada care va funcționa are de-a face cu separarea hiperplanelor. Așa că permiteți-mi să vă reamintesc despre ce era vorba. De fapt, acesta nu este chiar diapozitivul potrivit. Acesta a fost un slide de recenzie despre un hiperplan de sprijin. Cel mai bun slide era că aveam două seturi convexe care erau tangente la un punct. Și apoi am reușit să desenăm acest hiperplan care ar fi tangent la panta comună a celor două mulțimi convexe. Deci, tot ce ai nevoie pentru existența unor hiperplanuri de susținere și separare este o presupunere că mulțimile sunt convexe. Iată o poză cu el. Am mai văzut versiuni ale acestui lucru înainte. Iată un set de producție. Iată un alt set de producție. Iată dotarea undeva pe aici, cred că a fost. Și așa adunăm seturile de producție și dotările și obținem acest tip de frontieră exterioară. Ideea este că definește o mulțime convexă. Lucruri la frontieră dar și la interior. Orice combinații liniare de lucruri din interior se află și în interior. Ce este celălalt monstru de aici? Chestia asta arată ca o curbă de indiferență. Dar, de fapt, avem multe, multe gospodării. Deci, ce naiba este? Ei bine, este chestia asta. Este setul de contur superior. Este setul de alocări, care sunt slab preferate alocației x stea și însumate peste toate gospodăriile. Deci asta e chestia asta care arată ca o curbă de indiferență. Dar pentru că avem convexitate, acest set de contur superior este și el convex. Deci acum, avem două mulțimi convexe. Avem un hiperplan de sprijin pentru amândoi, care separă un hiperplan de sprijin. Și vom defini sistemul de prețuri. Deci, acesta este un fel de mod grafic de a gândi la acea dovadă constructivă fără a lua condiții de ordinul întâi și a potrivi multiplicatorii Lagrange. Definim folosirea convexității și a teoremelor de susținere a hiperplanului de separare pentru a obține prețurile. Deci, în 1954, Debreu a rezolvat toate acestea. El a numit echilibrul său un echilibru de evaluare, diferit de un echilibru competitiv. Optimitatea Pareto a fost definită în același mod. Mediul este similar. Avem un număr finit de gospodării care primesc alocații în seturile lor de consum. Dar când spune că mulțimea de consum este o submulțime a acestui L, nu mai înseamnă un spațiu euclidian cu dimensiuni finite. Este un spațiu liniar arbitrar , notat convenabil L pentru liniar. Preferințele au o comandă completă. Asta e raționalitatea. Producătorii J au un set de producție, alegând obiecte din decor. De asemenea, o submulțime a spațiului liniar. Compensarea pieței arată destul de asemănătoare. x este egal cu y plus 6e sau x minus y este egal cu 6e, unde x este însumarea gospodăriilor, y este însumarea producătorilor și xi este dotarea. Deci, de fapt, numim o stare a economiei ceva ce poate fi atins în seturile de producție, seturile de consum și satisfacerea constrângerii de resurse. Deci, ajungem la teoreme. Prima și a doua teorema bunăstării sunt similare, deși ipotezele sunt puțin diferite. Echilibrul de evaluare, adică echilibrul competitiv, este Pareto optim. Cum arată sistemul de prețuri? În aceste spații liniare generale, se numește doar funcțional liniar, ceea ce înseamnă că păstrează aditivitatea. Dacă luați evaluarea unei medii ponderate a două pachete, aceasta este media ponderată a evaluării celor două pachete. Pare destul de natural. Evident, pentru spațiile euclidiene cu dimensiuni finite și produsul punctual, acest lucru este valabil în mod automat. Aceasta este o generalizare a acestei idei. Deci, un echilibru de evaluare este atins, maximizează utilitatea, supus bugetului și maximizează profiturile, unde sistemul de prețuri este această funcție de evaluare v. Aceasta este literalmente maximizare a utilității deoarece spune că, dacă este în buget, nu este preferat Xi . Dacă nu ar fi adevărat, dacă ai avea un punct în buget care să fie strict preferat alocării Xi0, atunci s-ar alege. Deci asta ar contrazice maximizarea utilității. A doua teoremă de bunăstare a echilibrului de evaluare este o teoremă de bunăstare optimă Pareto. Ceea ce avem nevoie, avem nevoie de convexitatea seturilor de consum și puțin mai mult despre convexitatea preferințelor. Nu aveam nevoie de asta anterior. Când aveam spații euclidiene cu dimensiuni finite, am spus foarte mult că tot ce aveam nevoie era nesatierea locală. Nu avem nevoie de săturare aici. De asemenea, avem nevoie de puțin mai multe despre convexitatea seturilor de consum și a preferințelor. Deci încerci ceva mai mare, ceva care funcționează pentru un număr foarte, foarte mare de medii economice, trebuie să presupunem ceva mai mult. A doua teoremă a bunăstării, orice optim Pareto poate fi atins ca echilibru de evaluare. Deci, din nou, mai multe lucruri despre seturile de consum. Când combinațiile tale de puncte din set sunt și ele în set, seturile sunt închise. Seturi de producție, atunci când sunt agregate în sus, setul de producție agregat este convex. Și aici, fie L este dimensional finit, fie dacă este infinit sau altă dimensiune, Y are un punct interior. Știu că acest lucru este cu adevărat, foarte abstract. O să vă arăt câteva aplicații pentru moment. Și teorema este, presupunând 3, 4 și 5, fiecare alocare Pareto-optimă, care nu este un punct de satură, este asociată cu o funcție liniară continuă netrivială, în care avem o condiție pentru gospodării și o condiție pentru firme. Deci aici, condiția pentru gospodării este ca dacă Xi, avem alocarea Pareto optimă Pareto Xi0. Avem o alocare care este strict preferată Xi0 și se află în setul de consum, atunci aceasta implică că evaluarea acelei alte alocări Xi nu este mai mică decât evaluarea lui Xi0. Aceasta corespunde minimizării costurilor. Și din nou, doar inversează-l. Dacă evaluarea a fost mai mică decât Xi0, atunci celălalt punct este, să zicem, mai bun, poate indiferent. Dar pentru că avem nesatie locală, la fel ca Lema, am putea construi ceva aproape care să fie strict mai bun și în bugetul stabilit pentru Xi0. Deci asta ar fi o contradicție. Deci aceasta este partea de minimizare a costurilor. Acesta este motivul pentru care va fi un cvasi-echilibru, nu un echilibru complet. Așa că simt că a fost nevoie de multă muncă pentru a trece peste toate astea. Principalele concluzii sunt că există o modalitate de a face lucrurile în general cu separarea și susținerea hiperplanelor, atâta timp cât avem suficientă convexitate. Mi-am făcut timp să vă ghidez prin articolul lui Debreu. Este într-adevăr foarte asemănător, în afară de modificările de notație, cu ceea ce am făcut cu spațiile euclidiene cu dimensiuni finite. Dar se aplică altor economii, în special, echilibrelor competitive în spațiul contractelor, inclusiv posibilitatea de alocări aleatorii pe care le-am folosit înainte. Așa că cred că am menționat contracte cu opțiuni, cum ar fi CD-uri de care puteai să retragi anticipat sau pensii în care ai putea decide să iei o sumă forfetară sau să iei o anuitate. Ti le-am dat ca exemple de contracte cu optiuni. Și apoi am avut câteva prelegeri vorbind despre contracte. Vă scutesc să aflați prin toate aceste notări cum contractele cu loterie și, într-adevăr, fără grile, deci măsurile, pot fi mapate în echilibrul de evaluare al lui Debreu și, prin urmare, obținem teoremele bunăstării. BINE. Deci asta e tot pentru azi.