[SCRÂȘIT] [FUSĂMÂNT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Bine, deci haideți să continuăm cu discuția noastră despre funcțiile continue, fără un joc de cuvinte. În primul rând, permiteți-mi să amintesc câteva fapte. Ei bine, aceasta nu este o definiție. Dar aceasta a fost o teoremă pe care am demonstrat-o data trecută. Deci nu îmi voi aminti definiția continuității. Dar am demonstrat această teoremă care caracterizează continuitatea. Și dacă avem o submulțime de R, un element în S și o funcție f care merge de la S la R, atunci f este continuă la C dacă și numai dacă pentru fiecare șir x sub n, avem elemente ale lui S astfel încât xn converge la C. Avem o limită pe măsură ce n merge la infinit dacă x sub n este egal cu f din C. Deci aceasta a fost o teoremă pe care am demonstrat-o data trecută. Și permiteți-mi să-mi amintesc o teoremă mai veche , despre care am spus că este foarte puternică, dar nu v-a oferit niciodată vreo aplicație puternică, căreia vom începe să oferim câteva aplicații puternice acum. Dar aceasta a fost teorema Bolzano-Weierstrass, care afirmă că fiecare șir mărginit de numere reale are o subsecvență convergentă. Și vom folosi aceste două teoreme astăzi și în următoarea prelegere pentru a demonstra că o funcție continuă pe un interval închis și mărginit este foarte bine comportată. Deci ceea ce vom arăta, să-i spunem tema, este că, dacă f dintr-un interval închis și mărginit este continuă, adică este continuă în fiecare punct, atunci se comportă bine. Și, de exemplu, primul lucru pe care îl vom demonstra, aceasta va fi o combinație de două teoreme, este că imaginea unui interval închis și mărginit de o funcție continuă este un alt interval închis și mărginit . Și E ar putea fi egal cu D. Deci acesta ar putea fi doar un singur punct. De exemplu, dacă f este o funcție constantă, atunci imaginea ar fi doar un singur punct. Deci aceasta este o temă a acestei prelegeri și a următoarei prelegeri. Și așa, să începem. Practic, vom demonstra două teoreme. Una se numește teorema min-max, iar cealaltă se numește teorema valorii intermediare a lui Bolzano . Teorema min-max vă va spune că f al unui interval este întotdeauna conținut într- un interval de acest tip. Și apoi teorema valorii intermediare vă va spune că totul între două anumite limite este atins de f. Deci, să începem prin a arăta că f dintr-un interval închis și mărginit este o mulțime mărginită. Așa că permiteți-mi doar să-mi amintesc ce înseamnă ca o funcție să fie mărginită. Spunem că o funcție dintr-o submulțime S la R este mărginită. Deci aici, S este o submulțime a lui R-- este mărginită dacă există un B nenegativ astfel încât pentru toate x și S, f din x este mai mare sau egal cu B. Deci, de exemplu, dacă iau f din x să fie 3x plus 1. Și aici, S este închis și intervalul mărginit 0, 1, apoi f este mărginit. Deci pictural, ce înseamnă asta? Ei bine, f din x este egal cu 3x plus 1. Deci, la 1, va fi 4. Și din punct de vedere grafic, o funcție este mărginită dacă graficul este întotdeauna mărginit între două numere reale. Și pentru noi, pentru f de x, este întotdeauna mărginit între 0 și 4 în ceea ce privește această valoare absolută. Deci f de x este egal cu 3x plus 1. Aceasta este mai mică sau egală cu inegalitatea triunghiului de 3 ori valoarea absolută a lui x plus 1. X este între 0 și 1. Deci valoarea absolută este mărginită de 1. Deci această funcție este mărginit. Și deci, ce zici de o funcție care nu este mărginită? Ce înseamnă asta? Amintiți-vă, ori de câte ori vedem o definiție, ar trebui să încercăm să o negăm pentru a o înțelege mai bine. Deci f este nemărginit dacă pentru tot B mai mare sau egal cu 0, există un x rău astfel încât f din x în valoare absolută este mai mare sau egal cu B. Deci, dacă o funcție mărginită se presupune că are un grafic mărginit între două numere reale, unul nemărginit este unul în care cel puțin o parte a graficului merge la plus infinit sau minus infinit. Deci, cel mai de bază exemplu la care ne-am putea gândi este, să spunem dacă am vrea să mergem de la 0, 1 la R. Din nou, am putea lua f din x ca fiind bine, 0 la x este egal cu 0, 1 peste x dacă x nu este egal la 0. Deci această funcție arată ca 1, 1 și merge până la infinit pe măsură ce te apropii de x este egal cu 0. Deci, de ce este aceasta nemărginită? Trebuie să verificăm negația definiției. Deci pretenția f este nemărginită. Fie B mai mare sau egal cu 0. Acum trebuie să găsim un x în 0, 1, astfel încât 1 peste x-- sau astfel încât f din x să fie mai mare decât B. Și acest lucru este destul de ușor. Deci, să fie x în R astfel încât 1 peste x este mai mare decât B. Deci, dacă B este egal cu 0, considerăm că x este orice în 0, 1. Este destul de corect -- adică x [? mai puțin de ?] 1 peste B. Deci, dacă ne place, am putea face acest lucru explicit. Așa că o voi păstra aici. Și așa, acum, dacă luăm x aici și ne uităm la grafic, va fi mai mare decât B. Și asta este tot. Deci, mai multe dintre aceste dovezi vor avea aceeași aromă a ceea ce vom încerca să dovedim. Și acesta este unul frumos pentru a începe și este necesar. Deci prima mea teoremă pe care vreau să o demonstrez despre funcțiile continue pe un interval mărginit - interval închis și mărginit - este că sunt mărginite. Deci, dacă am o funcție de la a, b la R este continuă, adică este continuă în fiecare punct din a, b, atunci f este mărginită. Deci, demonstrarea acestei teoreme și a mai multor dintre aceste teoreme vor fi prin contradicție. Și faptul că ne aflăm pe intervalul închis și mărginit este... sau că ne aflăm în această setare este ceea ce ne permite să folosim Bolzano-Weierstrass, acest instrument puternic. Deci aceasta este... așa că presupunem și așa cum am spus, această dovadă este prin contradicție, că concluzia este falsă. Care sensul precis este chiar aici. Pentru tot b, există un x și S astfel încât. Deci, pentru fiecare b, pot găsi un x și S, astfel încât valoarea absolută a lui f a lui x să fie mai mare sau egală cu b. Deci, aș putea lua b ca N, de exemplu, unde N ca număr natural. Atunci, pentru tot N, un număr natural, deci consider că b este N, există x sub n în a, b, astfel încât f din x sub n în valoare absolută este mai mare sau egal cu n. Deci acum am această secvență, care este mărginită pentru că se află în acest interval închis și mărginit. Atunci xn este mărginit, deoarece se află în acest interval închis și mărginit a, b. Deci, de către Bolzano-Weierstrass, există o subsecvență x în sub k, a șirului x sub n și x în R, astfel încât limita ca k merge la infinit de x din n sub k este egală cu x. Acum, susțin că acest x este de fapt în intervalul a, b. Deoarece x din n sub k este o subsecvență a x sub n, care sunt într-un sub b, sau o virgulă b, deci am pentru toate k x sub n sub k este între a și b. Acest lucru implică, prin ceea ce știm despre limite, că limitele respectă inegalitățile. Și, prin urmare, a este mai mic sau egal cu limită pe măsură ce k merge la infinitul lui x sub n sub k, care este mai mic sau egal cu b. Și acesta este x. Deci x este între a și b. Un alt mod, în loc să trecem prin asta, cred că am făcut-o în sarcină, că un interval din această formă este închis. Și ai demonstrat că pentru o mulțime închisă, deci când spun că un interval de această formă este închis, vreau să spun că este un set închis. Și ați dovedit pe sarcină că pentru o mulțime închisă, dacă am o secvență convergentă, atunci limita acelei secvențe trebuie să aparțină mulțimii. Deci aceasta este într-adevăr o consecință a faptului că acest interval este un set închis. Deci am această subsecvență x sub n sub k. Converge către x, care este în a, b. Și știu funcția. Nu am folosit încă nimic despre f. Și presupun că este continuu. Deci, să ne uităm la f din x. Deoarece f este continuă, iar x sub n sub k este convergentă către x pe măsură ce k merge la infinit, știu din teorema de sus, că f din x este egală cu limita lui f a x sub n sub k. Și, prin urmare, valoarea absolută a lui x este egală cu limita pe măsură ce k merge la infinitatea valorilor absolute. Dar acum, f din x sub n este întotdeauna mai mare sau egal cu n. Așa s-au ales x din n. Presupunem că f este nemărginit și, prin urmare, toate aceste x sub n din a, b au fost alese astfel încât f din x sub n este mai mare sau egal cu n. Deci, acesta este mai mare sau egal cu-- deci fiecare dintre acestea este mai mare sau egal cu n sub k. Să vedem cum să scriu asta fără... OK. Așa că o vom scrie așa. Nu vreau să scriu limita a ceva egal cu infinitul, pentru că nu am spus ce înseamnă limita a ceva egal cu infinitul. Deci, limita pe măsură ce k merge la infinitul lui f a lui x sub n sub k există, ceea ce implică că șirul este mărginit. O secvență convergentă este întotdeauna mărginită. Și deoarece n sub k este întotdeauna mai mic sau egal cu f al lui x sub k și aceasta este o secvență mărginită, aceasta îmi spune că șirul n sub k este mărginită. Dar acest lucru este imposibil. Amintiți-vă, pentru a forma o subsecvență, n sub k sunt numere întregi crescătoare, ceea ce este o contradicție. Și acest lucru se datorează întotdeauna faptului că n sub 1, este întotdeauna mai mic decât n sub 2, este mai mic decât n 3 și așa mai departe. Așa că acestea devin mereu mai mari fără limitare. Și, prin urmare, avem contradicția noastră. Deci, din nou, iată structura dovezii. Vrem să presupunem o proprietate a lui f. Deci presupunem că nu. Obținem acest tip de secvență proastă de numere în acest interval. Și folosind Bolzano-Weierstrass, ajungem să trecem la o anumită limită x. Și continuitatea lui f la x rupe în esență răutatea acestei secvențe x sub n. Și vom vedea un alt argument în care este cam aceeași aromă. Deci vom afirma în curând că f atinge întotdeauna o valoare maximă și o valoare minimă. Așadar, permiteți-mă mai întâi despre intervalele închise și mărginite -- așa că permiteți-mi să definesc cu precizie care sunt aceste minime și maxime absolute. Deci, fie f o funcție de la S la R. S este o submulțime nevidă a lui R. Spunem că f atinge un max absolut. Permiteți-mi să o scriu în felul acesta - un min absolut la c în S dacă f din c se află sub f din x pentru tot x din S. Dacă pentru tot x din S, f din c este mai mic sau egal cu f din x. Deci acesta este un min absolut. f atinge max absolut la d și S dacă f din d se află deasupra tuturor. Fiecare x pe care îl bagi în f, dacă pentru tot x din S, f din x este mai mic sau egal cu f din d. Deci de exemplu. Deci, care este poza care merge cu asta? Să ne imaginăm că suntem într-un interval închis și mărginit. Atunci d-- deci f atinge max absolut la d. Graficul lui f se află sub valoarea f a lui d. Și se află deasupra valorii f a lui c. Acum, maximele și minurile absolute la puncte sunt astfel încât funcția să se afle întotdeauna deasupra f evaluată în acel punct. Doar un avertisment rapid. Să spunem că ne uităm la... în regulă, deci nu este la scară. Dar să presupunem că funcția noastră arată așa. Deci aceasta este una, două, trei jumătăți. Apoi, această funcție nu are un max absolut, nu realizează un max absolut sau atinge un min absolut pe setul 1, 2. Ce ați dori să spuneți este că f atinge un min absolut la 1. Dar graficul nu are nu sta deasupra f evaluat la 1. La fel ca aici, graficul lui f nu se află sub f evaluat la 2. Deci f absolut atinge un min absolut într-un punct dacă întregul grafic se află deasupra f evaluat în acel punct, nu neapărat un număr, se află sub întregul grafic. Asta înseamnă delimitare. Așa că vreau doar să clarific acea distincție între graficul unei funcții fiind mărginit mai jos de un număr și f obținerea unui min la un anumit punct. Deci, de exemplu, graficul acestei funcții este mărginit mai jos de 1. Dar f nu atinge un min absolut la c egal cu 1. Deci următoarea noastră teoremă este teorema min-max pentru funcțiile continue, care este următoarea. Fie f o funcție de la a, b la R. Dacă f este continuă, adică este continuă în fiecare punct din a,b, atunci f atinge min absolut și max absolut pe a, b. Deci, un alt mod de a afirma acest lucru, deci să facem doar o remarcă, se spune că ele există c, d și a, b, astfel încât f din a, b este conținută în f din c, f din d. Deci vom face dovada unui max absolut. Și dovada minului absolut, vă las pe voi. Este o simplă schimbare a argumentului care nu este prea dificilă. Și din nou, vom folosi acest instrument puternic, Bolzano-Weierstrass, care ne permite să trecem de la o secvență arbitrară în a, b la o subsecvență convergentă. Deci, aceasta este egală cu f de la a la b-- permiteți-mi să-l scriu astfel. Dacă această funcție este continuă, atunci prin ceea ce am demonstrat... unde? Dincolo. Aceasta înseamnă că f este mărginit. Atunci mulțimea E dată de intervalul lui f, deci f de x, unde x este în a, b, această mulțime este mărginită mai sus. Dacă valoarea absolută a lui f a lui x este întotdeauna mai mică sau egală cu un anumit b, atunci f a lui x este întotdeauna mărginită mai sus de b pentru tot x și a, b. Deci acest set este mărginit mai sus. Acum, să fie L supremul lui E, care există, deoarece numerele reale au cea mai mică proprietate superioară. Ori de câte ori avem o submulțime nevidă care este mărginită mai sus, putem găsi întotdeauna un supremum. Acum, deoarece L este un suprem al acestui set, am făcut asta, cred, într-o misiune. Da, cu siguranță am făcut o misiune. Apoi, există o secvență de elemente din această mulțime E care converg către L. Și pentru a exprima asta, înseamnă că există o secvență de elemente. Deci, există o secvență de forma f a lui x sub n astfel încât limita ca n merge la infinit de f a lui x sub n este egal cu L. Acum, am dori să arătăm că L este egal cu f din d pentru un număr d. Și cum vom face acest lucru este, ei bine, aceasta este -- sub n-urile x sunt doar o secvență din a, b. Deci putem trece la o subsecvență, care converge către un număr, numiți-o d. Și apoi trebuie să arătăm că f din d este egal cu L. Și aici folosim continuitatea. Și atunci, asta e toată dovada. Pe care l-am văzut puțin aici. Am trecut o urmă. Și apoi ajungem să spunem că limita acestei subsecvențe are aceeași proprietate ca și secvența originală. Deci, după Bolzano-Weierstrass, există o subsecvență x sub n sub k. Deci aceasta este o subsecvență a șirului x sub n. Și ca și mai înainte, același argument și limita d, dar ca și înainte, d va fi în mulțimea a, b, astfel încât limita ca k merge la infinitul lui x din n sub k este egal cu d. Deci folosim Bolzano-Weierstrass pentru a trece la o subsecvență a x sub n-urilor și la o subsecvență convergentă. Și da, deci, toate aceste x sub n sub k sunt între a și b. Deci limita lor d va fi între a și b. Dar acum, deoarece f este continuă la d, este continuă în fiecare punct din a, b. Deci este cu siguranță continuu la d-- f din d, aceasta este egală cu limita pe măsură ce k merge la infinitul lui f din x din n sub k, deoarece x din n sub k converg către d. Și acum, f din x sub n sub k, aceasta este, de asemenea, o subsecvență a șirului f a lui x sub n. Și f din x sub n este o secvență convergentă. Deci orice subsecvență trebuie să convergă către același lucru. Deoarece f din x sub n converge spre L și f din n sub k, k este o subsecvență a lui f a x sub n. Și ține minte, ce a fost L? L a fost sup-ul lui V. Și, prin urmare, pentru tot x din a, b, f din x este mai mic sau egal cu f din d, ceea ce înseamnă că f atinge un max absolut la d. Iar minul absolut este similar. Și ți-o las pe tine. Așa că doar reluând dovada. Am folosit faptul că o funcție continuă este mărginită. Și am extras sup, dacă doriți, din intervalul de f. Și așa, ceea ce este prin acest exercițiu pe care l-am făcut într-una dintre sarcini, înseamnă că acest supremum este egal cu limita lui f a x sub n. Am dori să arătăm că L este egal cu f din d pentru unele d. Deci am trecut o subsecvență a x sub n-urilor. Aceasta converge către ceva în intervalul a, b. Și putem arăta folosind continuitatea lui f. Și cum a fost aleasă această secvență originală , că f în acel punct este de fapt egal cu supremamul acelei mulțimi. Și, prin urmare, f atinge un maxim absolut la acel set. Ca studenți începători la matematică, unul dintre lucrurile despre care ar trebui să fim curioși este de ce ipoteze sunt necesare și ce nu sunt în enunțurile teoremelor. Deci ipoteza noastră principală - deci am avut două ipoteze în teoremă, că f trece de la acest interval închis și mărginit la R și că f este continuă. Deci, ce se întâmplă dacă renunțăm la una dintre aceste ipoteze? Concluzia este încă adevărată, că f atinge un maxim absolut și un min absolut? Deci, acest exemplu pe care l-am desenat chiar aici arată că trebuie ca funcția să fie continuă pentru ca aceasta să atingă un maxim absolut și un min absolut pe intervalul închis și mărginit. Dar trebuie să fie și pe un interval închis și mărginit. Deci avem o funcție continuă de la S la R. Putem renunța la presupunerea că S este egal cu acest interval închis și mărginit? Însemnând că ar putea fi, să zicem, un interval deschis? Este valabilă aceeași concluzie? i.e. să presupunem că f este dintr- un interval deschis. Și răspunsul este, nu. Un exemplu simplu este, dacă iau funcția f de x este egală, de exemplu, 1 peste x, minus 1 peste 1 minus x. Și în intervalul deschis 0, 1, deci cum arată acest tip? Iată 0. Lasă-mă să trag o linie punctată acolo. Iată 1. Și graficul se ridică la infinit pozitiv pe măsură ce te apropii de 0 și pe măsură ce te apropii de 1. Deci, unde este egal cu 0? Presupun că există 1/2. Deci, această funcție nu realizează un minim absolut sau un maxim absolut. Dar este continuu pe acest interval. Dar pentru că intervalul nu este închis și mărginit, această funcție nu realizează un minim absolut sau un max absolut. Deci ceea ce încerc să spun este că ipotezele că două-- deci există două ipoteze aici, că lucrăm la un interval închis și mărginit și că f este continuu. Aceste două ipoteze sunt necesare pentru ca teorema să fie adevărată. Acum, ele nu sunt cel mai precis mod de a afirma această teoremă. Ai putea înlocui un interval închis și mărginit cu ceea ce se numește un set compact, pe care poate îl voi pune în sarcină sau la jumătatea perioadei, în funcție de locul în care este loc. Dar doar în stabilirea intervalelor, intervalul trebuie să fie închis și mărginit. Și funcția trebuie să fie continuă pentru ca această teoremă să fie adevărată. Deci la asta am vrut să ajung. Deci ceea ce am demonstrat, așa cum am spus în această remarcă aici, este că există două numere c și d în a, b, astfel încât f din a, b este conținut în f din c, f din d. c ar fi acolo unde f atinge un min absolut. d ar fi unde dacă f atinge un max absolut. Și acesta este max. absolut. Deci acum întrebarea devine, ating tot ce este între ele? Aceasta includere devine egalitate? Și am dat jocul la începutul prelegerii spunând, da, va fi. Dar asta este de fapt o teoremă. Deci aceasta a fost teorema min-max, pe care nu am numit-o așa. Ar trebui sa am. De fapt, așa se numește în note. Dar acum vom trece la teorema valorii intermediare . Și mai întâi vom face ceea ce pare un caz special, apoi vom demonstra cazul general. Deci, această teoremă, pe care eu sunt de fapt... nu se numește așa în manual. Dar o voi numi așa, pe care o voi numi metoda bisecției, este următoarea. Fie f o funcție de la a, b la R dacă f din a este mai mică de 0-- și deci, am nevoie de încă una-- să fie continuă. Așa că suntem întotdeauna în setarea continuă pentru această secțiune. Deci, dacă f din a este mai mică decât 0 și f din b este mai mare decât 0, atunci există c și E în intervalul a, b astfel încât f din c este egal cu 0. Deci imaginea care continuă cu aceasta este , iată a, b. Iată f de a. f din b este pozitivă. Și, prin urmare, dacă este continuă și crezi că definiția unei continuități este faptul că nu trebuie să-mi ridic bucata de cretă. Mă doare să spun asta. Dar, din nou, aceasta nu este definiția oficială, ci una pe care o ții în cap. Din moment ce probabil că cineva ți-a spus asta la un moment dat, dacă nu trebuie să-mi ridic bucata de cretă, atunci în cele din urmă, trebuie să trec de axa x. Și, prin urmare, în acest punct c, f din c va fi 0. Acum, de ce numesc această teoremă metoda bisecției? După cum vom vedea, modul în care determinați acest c este prin ceea ce în cărțile de calcul se numește metoda bisecției. Deci, pentru demonstrație, să-- vom defini o succesiune de numere a în b și cu proprietăți speciale. Așa că mai întâi o să vă spun ce sunt a1 și b1. a1 va fi doar a, b1 va fi b. Și așa, acum am să vă spun cum să alegeți următorul element din secvență cunoscând elementul din secvența anterior. Deci, vom găsi mai întâi două secvențe a n și bn. Așa că lasă-mă să-ți spun cum să faci asta. Și modul în care vom alege acest lucru este astfel încât f dintr-un sub n să fie întotdeauna mai mic decât 0, iar f din b sub n este întotdeauna mai mare sau egal cu 0. Și s-a obținut de la cei doi băieți anteriori luând punct de mijloc, deci bisectându-le pe cele de dinainte. Deci, pentru a începe, a1 va fi doar a, b1 va fi b. Acum, pentru că într-un număr natural, vom defini - așa că știm a1. Așa că acum, am să vă spun cum să definiți a2 pe baza acum că știți a1. Dar ceea ce sunt pe cale să notez vă va spune și cum să definiți a3, deoarece acum știți cum să faceți a2. Așa că o voi scrie așa. Căci într-un număr natural, cunoscând un sub n, b sub n, definim un sub n plus 1 și b sub n plus 1 după cum urmează. Deci, dacă f dintr-un sub n plus b sub n - deci punctul de mijloc dintre cei doi bărbați pe care îi cunosc deja -- așa că dacă doriți, luați n ca fiind 1 pentru prima dată când citiți cum să definiți un sub 2, să zicem. Dar ceea ce scriu se aplică fiecărui in. Deci luăm f dintr-un sub n plus b sub n peste 2, dacă acesta este mai mare sau egal cu 0, atunci definim un sub n plus 1 ca fiind a sub n și b sub n plus 1 să fie punctul de mijloc. Și dacă punctul de mijloc este mai mic decât 0, atunci un sub n plus 1 va fi punctul de mijloc, iar b sub n plus 1 va fi punctul anterior. Deci, permiteți-mi... de fapt, așa definiți secvența în general. Să vedem ce înseamnă asta doar pentru n este egal cu 2, astfel încât să vedeți-- înțelegeți ideea. Poate ar fi trebuit să fac asta mai întâi. Deci, hai să facem o imagine pentru a merge... de fapt, nu am nevoie de această axă. Eu doar... b. Deci și acesta este un sub 1, acesta este b sub 1. Și apoi, ne uităm la punctul de mijloc. Deci știm că f al unui sub 1 este mai mic decât 0. f al lui b sub 1 este mai mare decât 0, care este cu siguranță mai mare sau egal cu 0 dacă este mai mare decât 0. Acum ne uităm la punctul de mijloc. Și pe baza semnului acestui tip va fi modul în care definim a2 și b2. Deci, de dragul meu să trec prin asta, să presupunem că f din acest lucru este mai mic decât 0. Atunci iau, a2 va fi a1 plus b1 peste 2. Și b2 va fi b1. Și acum mă uit la mijlocul acestor doi tipi. Așadar, acum sunt în această etapă, f din a2 este mai mică decât 0, f din b2 este mai mare decât 0. Așa că sunt în imagine înainte, cu excepția faptului că acum sunt la jumătate din distanța dintre cele două puncte finale. Și așa, mă uit la acest punct acum, a2 plus V2 peste 2. Și mă uit la semnul asta. Și să presupunem că f din acest lucru este mai mare sau egal cu 0. Atunci voi considera acest punct ca fiind un 3, iar acest punct va fi acum b3. Și ceea ce am este f din a3 este mai mic decât 0, f din b3 este mai mare sau egal cu 0. Deci ideea este că punctul final din stânga este întotdeauna negativ atunci când îl bag în f. Punctul final din dreapta este întotdeauna nenegativ atunci când îl bag în f. Și că distanța dintre cele două puncte de mijloc este întotdeauna redusă la jumătate cu distanța anterioară. Dar suntem mereu în imagine, dar cam în decor am fost în pasul de dinainte. Acum, avem trei proprietăți ale acestei secvențe de a n și bn. Deci, pentru toți n, ele sunt întotdeauna mărginite între cele două puncte finale originale. Nu numai că, sub n-urile a se mișcă mereu spre dreapta. Amintiți-vă, un sub n este întotdeauna înlocuit de punctul de mijloc dintre un sub n și b sub n, eventual, sau rămânând același. Deci un sub n este întotdeauna mai mic sau egal cu un sub n plus 1. Deci, de fapt, permiteți-mi să- l scriu astfel. Avem întotdeauna un sub n este mai mic sau egal cu b sub n. Avem întotdeauna a este mai mic sau egal cu un n plus 1, care este mai mic sau egal cu un n. Și apoi, avem, de asemenea, deci pentru toți din b. Fac o mizerie din ceea ce scriu. Deci, să o luăm de la capăt. Deci, prima proprietate pe care vreau să o scriu, pentru toate N numere naturale, avem b, un sub n este întotdeauna mai mic sau egal cu un sub n plus 1. Și b sub n plus 1, amintiți-vă, ori de câte ori-- dacă am o să schimbi b, este întotdeauna să-l schimbi la mijlocul dintre tipul anterior și a de la pasul anterior. Deci, acesta este întotdeauna mai mic sau egal cu b sub n. Și acum, doi, dacă mă uit la diferență, aceasta este întotdeauna egală cu 1/2 din distanța anterioară. Pentru că oricare dintre acestea se schimbă la mijloc. Deci, dacă este un sub n plus 1, atunci b sub n plus 1 minus un sub n plus 1, este b sub n minus un sub n plus b sub n peste 2, ceea ce îmi dă asta. Trei, pentru tot n, un număr natural - și acesta se bazează doar pe modul în care alegem - facem această construcție, f al unui sub n este mai mic decât 0 și f al b sub n este mai mare sau egal la 0. Deci sper că acest lucru este clar. Toate acestea, dacă vrei, le poți dovedi prin inducție. Pentru egal cu 1, acest lucru este cu siguranță adevărat. Să presupunem că este valabil pentru n egal cu m și apoi dovediți toate aceste afirmații aici pentru n este egal cu m plus 1. Dar spun doar că este clar din construcție și sper că este. Deci, ce ne oferă asta? Ei bine, de la unul, secvența este sub n și b sub n sunt mărginite, pentru că sunt întotdeauna mărginite între secvențe monotone a și b. a sub n este în creștere, b sub n este în scădere. Astfel, există limite. Așa că o să le numesc c și d. Dar nu are nimic de-a face cu c și d de aici. Astfel, aceste secvențe converg. Adică, există elementele c și d în a, b, astfel încât limita ca n merge la infinitul unui sub n este egal cu c - din nou, a sub n și b sub n sunt între a și b. Deci limitele lor vor fi, de asemenea, între a și b-- b sub n este egal cu d. Acum, susțin că c este egal cu d. De ce nu ar trebui să fie o surpriză? Ei bine, a n-urile și bn-urile se apropie foarte mult. Sunt întotdeauna... distanța dintre oricare dintre ei se reduce întotdeauna la jumătate. Acum, un sub m minus b sub n, acesta este egal cu un sub n minus 1, minus b sub n minus 2 peste 2, care este egal cu 1 peste 2 la pătrat, un sub n minus 2, minus b sub n minus 2, punct, punct , punct. Și, prin urmare, acesta este egal cu 1 peste 2n minus 1 b sub 1 minus a sub 1, este egal cu 1 peste 2 cu n minus 1, b minus a. Și, prin urmare, c minus d, care este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul unui sub n minus b sub n este egal cu limita atunci când n merge la infinit de 1 peste 2 la n minus 1, b minus a. 1 peste 2 la n minus 1 converge spre 0, de ori acest număr fix, b minus a, este egal cu 0. Și, prin urmare, aceste două numere, aceste două limite c și d sunt egale între ele. Deci, acest pas aici este de a doua proprietate aici. Și acum, practic am terminat. Folosind a treia proprietate, de trei și continuitate, dacă mă uit la f din c, deoarece sub n-urile a converg către c, aceasta este egală cu -- și f din sub n este întotdeauna mai mică decât 0. Deci limita sa este mai mic sau egal cu 0. Și acum, amintiți-vă, c este, de asemenea, egal cu limita b sub n-urilor. Și prin urmare, prin continuitate, f din c este egal cu f din b sub n. Și f-urile b sub n sunt întotdeauna nenegative. Deci limita lor este, de asemenea, mai mare sau egală cu 0. Deci am arătat că acest număr f al lui c este mai mic sau egal cu 0 și că este, de asemenea, mai mare sau egal cu 0. Și, prin urmare, f din c este egal cu 0 Deci folosim... de ce am pus metoda bisecției aici este pentru că am folosit o metodă a bisecției pentru a demonstra această teoremă, care arată ca un fel de caz special al unei anumite proprietăți de valoare intermediară . Înseamnă că pot găsi întotdeauna ceva, că dacă am... că pot găsi întotdeauna ceva în intervalul care realizează ceva între f din a și f din b. În acest caz, este doar 0. Dar, de fapt, pot face upgrade. Aceasta este următoarea teoremă datorată lui Bolzano, deci teorema valorii intermediare a lui Bolzano. Fie f de la a la b, R continuu. Dacă y este între f din b - deci înseamnă, să spunem, deci suntem într-unul din două cazuri. Să presupunem că f din a este mai mic decât f din b. Dacă y este între f din a și f din b, atunci există un c în a, b, astfel încât f din c este egal cu y. Dacă f din a este, să zicem, mai mare decât f din b și luăm ceva între ele, aceeași concluzie este valabilă. Deci, pe scurt, dacă iau ceva între valoarea funcției evaluată la cele două puncte finale a și b, atunci funcția atinge acea valoare la un moment dat. Deci, dacă iau orice y între aici, f trebuie să traverseze această linie orizontală. Și se realizează la un moment dat c. Și vom deduce acest lucru din-- așa că arată ca un caz special al acestei teoreme a valorii intermediare , dacă f din a este mai mică de 0, f din b este mai mare decât 0 și y este egal cu 0. Dar, de fapt, puteți reduce această afirmație generală la acel caz special doar printr-un simplu truc. Deci demonstrație, să presupunem că f din a este mai mică decât f din b. Deci suntem în acest prim caz. Și y este în f din a, f din b, fie g din x f din x minus y. Aceasta nu este o funcție a lui x și y. y este un număr fix între f din a și f din b. Și aceasta este o funcție care merge de la f la b la R și care este continuă. Deci suma a două funcții continue este continuă, f este o funcție continuă prin presupunere. Aceasta este doar o constantă minus y. Deci suma lor este de asemenea continuă. Dar acum, dacă ne uităm la g din a, aceasta este egală cu f din minus y. Acum, y este mai mare decât f din a, deoarece y este în f din a, f din b. Deci, acesta este mai mic decât 0. Și g din b este egal cu f din b minus y este mai mare decât 0. Și, prin urmare, prin teorema anterioară, există un c în a, b, astfel încât g din c este egal cu 0, ceea ce înseamnă adică f din c este egal cu y. Și dovada, presupunând că f din a este mai mare decât f din b este similară, tocmai acum puneți y aici minus f din x. Sau puneți-- acum definiți g din x ar fi y minus f din x. Așa că permiteți-mi doar să fac o remarcă despre asta. Este similar, uitați-vă la g din x este egal cu y minus f din x. Deci, teorema valorii intermediare a lui Bolzano ne spune că dacă iau orice valoare între funcția evaluată la cele două puncte finale, atunci acea valoare este atinsă de ceva între a și b. Și, prin urmare, acest lucru ne va da, de fapt, că f din a, b este egal cu f din c, f din d pentru unele c și d. Deci aceasta este o teoremă simplă din aceasta. Este continuă dacă f local n la c-- nu local, min absolut la c și max absolut la d, atunci imaginea prin f din a, b este egală cu f din c, f din d. Și care este dovada? Ei bine, aplică teorema valorii intermediare a lui Bolzano la f mergând acum de la intervalul posibil mai mic, c, d. Ar putea fi d, c sau c, d, în funcție de dacă lucrul pe care trebuie să îl bag în f pentru a obține min și lucrul pe care trebuie să îl bag în f pentru a obține max este mai mic decât celălalt. Așadar, aplicați teorema valorii intermediare a lui Bolzano la această funcție, acum limitată la intervalul închis mai mic. Este încă continuu. Și asta e dovada. Așa că poate am fost puțin prea rapid cu asta. Așa că permiteți-mi să mai spun câteva cuvinte despre asta. Deci asta îmi spune că totul între cele două valori f ale lui c și f ale lui d este realizat de f pe acest interval. Dar acesta este un interval posibil mai mic decât a, b. Deci aceasta este conținută în intervalul f acum din f al acestui interval mai mare. Și din moment ce știm deja că f din a, b este conținut în f din c, f din d și acum am demonstrat includerea inversă, acest lucru implică faptul că f din c, f din d este egal cu f din a, b. Și asta e dovada. Așa că cred că ne vom opri aici. Data viitoare, vom termina cu câteva observații despre o aplicare a teoremei valorii intermediare. Și apoi vom trece la continuitatea uniformă.