[SCRÂȘIT]
[FOSȘIT]
[CLIC]
ROBERT TOWNSEND: Bine.
Deci haideți să aruncăm o privire
unde ne aflăm.
În calendar, suntem
astăzi la cursul 17.  După cum am
spus data trecută,
prelegerile 16, 17, 18 și 19
sunt toate despre
echilibrele Walrasian
și proprietățile lor.
Așa că am făcut teoremele bunăstării, pe
care le putem revizui
pentru moment astăzi
despre existența
tuturor echilibrelor de ridicare.
Și în timp ce suntem la asta, cum am
putea interpreta
echilibrul Walrasian ca rezultat
al jocului folosind o
noțiune de echilibru Nash.
Și apoi, ajungem la aceste două
prelegeri juxtapuse, 18 și 19.
Agregarea Gorman
are de-a face cu atunci când
pare că ar
fi mult mai puține gospodării
decât sunt de fapt, pentru că
suntem capabili să le adunăm.
Acest lucru necesită niște
ipoteze destul de puternice pe
care le-am trecut deja
în ceea ce privește
căile liniare de expansiune a veniturilor.
Deci vom revizui asta.
Și atunci, identificarea
este că, dacă mergi în altă direcție
și nu asumi aproape nimic altceva
decât raționalitate,
ești capabil să
respingi modelul?
Și apoi, ultimele
două prelegeri sunt
despre eșecurile
teoremelor bunăstării
și, în consecință, despre
economia monetară.
Ne mișcăm imediat.
În ceea ce privește ceea ce ar
trebui să citiți, în
mod ideal, eu nu

citiți vreodată aceste articole de început.
Dar permiteți-mi doar să subliniez
că ar trebui să fiți.
Și în special,
astăzi, prelegerea 17 azi --
așa că pe postarea cursului
sub Canvas,
va fi secțiunea Kreps
6.4 despre existența și numărul
de echilibre.
Unele dintre diagramele de
astăzi provin din acel capitol.
Deși, evident, există
mai mult acolo în carte
decât există în prelegere.
Și, de asemenea, acest material de curs...
lucrurile lui Asu dintr-un
alt curs MIT.
Are o
prelegere grozavă despre existența
echilibrului Nash.
Și am împrumutat asta destul de mult.
Întreaga prelegere este
postată pe site-ul nostru web,
dar vom acoperi o mare
parte din ea astăzi în clasă.
Deci acestea sunt cele două
lecturi cu stea.
Și apoi, ajungem la
o mică recenzie.
Așa că este puțin dificil,
dar o voi întreba oricum.
Are de-a face cu afirmarea
primei teoreme a bunăstării
și apoi conturarea pentru noi a
pașilor necesari pentru a o demonstra.
Așadar, Daniel, vrei să te ocupi
de asta din întâmplare?
Îți amintești pașii pentru
demonstrarea primei
teoreme a bunăstării?
PUBLIC: Dacă îmi amintesc corect,
prima teoremă a bunăstării
a fost că, în ipoteza că
toată lumea este rațională
și [INAUDIBILĂ].
Cred că asta ar fi putut fi.
Există o pondere lambda--
atunci, economia va
crea o ponderare lambda--
va maximiza
suma ponderată lambda
a utilităților oamenilor.
Și dovada... da,
nu cred că îmi amintesc
pașii dovezii.
PUBLIC: Pot să
încerc?
ROBERT TOWNSEND: Sigur.
PUBLIC: Dacă îmi
amintesc bine,
dovada este ceva
de genul, pentru fiecare persoană,
din cauza
constrângerii bugetare,
orice rezultat care ar
fi preferat strict
de persoana respectivă ar
necesita un buget mai mare.
Și astfel, pentru ca
ceva să fie sau să nu--
pentru alocarea,
indiferent de ceea ce toată lumea ajunge să
nu fie
liberă la optim,
ar fi nevoie ca
toată lumea să obțină-- ar necesita
cel puțin--
ar fi nevoie de toate
bugetele  fie la fel,
fie crescut.
Dar nu poți - și dacă iei în
considerare și prețul,
partea de maximizare a profitului,
poți face același lucru
în ceea ce privește producția.
Și, practic, ajungi să primești
o situație imposibilă, în care
trebuie să consumi
mai multe lucruri
decât produse
din cauza pieței [INAUDIBIL]..
ROBERT TOWNSEND: Da,
asta e foarte bine.  A
fost o schiță foarte,
foarte bună.
Deci prima teoremă a bunăstării
spune că orice
echilibru walrasian este optim.
Și dovada este
prin contradicție.  Să
presupunem că nu este optim.
Apoi, există
ceva care este slab
preferat de unele gospodării și
strict preferat de altele.
Și apoi, așa cum tocmai s-a spus,
strict preferat de alții
înseamnă că nu ar fi putut fi
disponibil, deoarece altfel
ar fi fost achiziționat
în echilibru walrasian.
Și apoi, am avut o mică lemă
care a fost destul de subtilă chiar și
pentru acei tipi care preferă săptămânal
alocarea alternativă, și
ei ar
cheltui mai mult săptămânal.
Și astfel obținem că
cheltuielile totale
însumând
toate gospodăriile
care ar fi necesare
la prețuri competitive
pentru a realiza
alocarea alternativă să fie strict
mai mare decât ceea ce este cheltuit
în alocarea competitivă.
Apoi, adăugăm asta la
maximizarea profitului.
Și obținem o relație, o
relație de inegalitate strictă,
care, la sfârșitul zilei,
spunea că alocarea
alternativă -
alocarea care ar trebui
să domine Pareto
nu este fezabilă din punct de vedere al resurselor.
Dar definiția
optimității Pareto
este că există o dominare --
dacă ceva nu este optim,
poate fi dominat de
ceva care este fezabil.
Deci partea de fezabilitate
va fi contrazisă,
iar asta a fost dovada.
OK, deci veți vedea
această teoremă din nou
când vom ajunge la ultima
prelegere despre economia monetară.  Se va
dovedi că,
în anumite condiții,
cum ar fi să avem
generații suprapuse de oameni,
astfel încât nimeni să nu trăiască pentru totdeauna,
dar timpul trece pentru totdeauna,
asta este suficient pentru a
face ca prima
teoremă a bunăstării să eșueze, surprinzător, când
intrăm în economia monetară.
Și dovada
ridică apoi problema
unde se defectează această dovadă
.
Și se va
dovedi că evaluarea
pachetului alternativ la
prețuri competitive de echilibru
costă o sumă infinită.
Deci implicit
presupunem că totul
este finit în această
dimensiune finită a spațiului euclidian.
Oricum, doar pentru a anticipa.  Al
doilea lucru despre care vreau să
întreb este similar.
Subliniați pașii demonstrației celei
de-a doua teoreme a bunăstării pe
care am făcut-o în clasă data trecută.
Așa că nu mă aștept la
multe detalii despre asta,
dar să vedem cine ar dori.
Yuen, te poți oferi
voluntar pentru asta?
PUBLIC: Sigur, da.
Deci, a doua
teoremă a bunăstării afirmă
că orice
alocare optimă Pareto
poate fi realizată printr-
un anumit echilibru al prețurilor,
presupunând că puteți schimba
punctul de dotare în schimb.
Și astfel, în
problema de maximizare lagrangiană,
în principiu, găsiți
dotarea reală
care vă va oferi
echilibrul corect al prețului
corespunzător
alocării optime Pareto dorite.
Și puteți face
asta doar
rezolvând mai întâi problema Pareto pentru a
obține realocările condițiilor de ordinul întâi
.
Și apoi, puteți rezolva
problema echilibrului walrasian,
deci problema consumatorului și a firmei
separat.
Și apoi, potriviți doar
prima ordine de condiții.
Deci, parametrii adecvați,
cum ar fi prețurile umbră,
trebuie să egaleze prețurile
în echilibrul prețurilor -
chestii de genul ăsta.
Și puteți arăta că toate aceste
lucruri există în sistemul nostru.
ROBERT TOWNSEND: Perfect, da.
Cheia este
metoda lagrangiană,
care sub convexitatea în mulțimi
și concavitatea în funcții
face ca condițiile de ordinul întâi să fie
necesare și suficiente.
Deci, pentru a găsi o soluție,
tot ce trebuie să faceți
este să găsiți variabile și
prețuri umbră care să satisfacă
acele condiții de primă comandă.
Avem candidatul evident,
pentru că începem cu o
alocare Pareto optimă.
Așa că comparăm doar ceea ce avem nevoie
pentru alocarea Walrasiană
cu ceea ce avem deja
din problema Pareto --
alocarea și alegem
prețurile și
multiplicatorii Lagrange și
așa mai departe în consecință.
Deci răspunsul tău a fost perfect.
Mulțumesc foarte mult.  În
regulă.
Deci sunt atât de multe
întrebări de revizuire,
pentru că ne-am concentrat într-
adevăr pe acele două teoreme
în clasă.
Deci în regulă.
Deci, prelegerea de
astăzi este existența.
Sună de rău augur.
[Chicote] Ce
înseamnă să nu existe?
Ei bine, conform
teoremelor bunăstării,
am spus cu prima
teoremă a bunăstării,
dacă există un echilibru competitiv

și este optim, de unde știm că
există în primul rând?
Acesta este un mod de a spune.
Oricum, este posibil
ca multe lucruri pe care le facem să
fie vacue, pentru că ne
asumăm un concept
și asumăm o alocare
care satisface conceptul.
Dar mai bine ne
întoarcem și verificăm.
Pe parcurs, se

întâmplă lucruri mai interesante în
această prelegere, care
are de-a face cu revizuirea
definiției unui
echilibru walrasian și apoi să vedem
cât de suficiente presupuneri
pentru existență, dar
și, în principiu,
cum ați dori
să o calculați,
ceea ce ne aduce  către
platformele moderne și piețele online.
Deci nu este doar abstract.
De fapt, este ceva despre care
oamenii de știință informatic
și fintech-urile își fac
destul de mult griji.
Și în mod corespunzător, vom compara
echilibrul Walrasian
cu echilibrul Nash,
care este un concept diferit
de echilibru.
Dar este nevoie de aceleași
condiții suficiente.
Și din nou, acesta este un
instrument foarte, foarte util de stăpânit.
Dar vrem să mergem dincolo de asta.
Vrem să-l folosim.
Așa că am să vă arăt
câteva imagini cu ceea ce se
întâmplă pe
piețele financiare din New York și să dați, cel
puțin verbal, un eșec comercial
și când acele piețe se
încurcă, ca în
Coronavirusul din martie.
Și apoi, ne vom
gândi, există
modalități de a curăța piețele
și de a evita eșecurile care
au legătură cu designul pieței.
Deci asta este agenda pentru azi.
În mare parte, este conceptual
și notațional.
Și am
scos în mod deliberat
o mulțime de notații
necesare pentru a vedea
maparea reală,
pentru că devine destul de plictisitor,
de fapt.
Și nu este chiar
punctul principal.
OK, deci aici sunt instrumentele de matematică.
Ce înțelegem prin
punct fix al unei funcții?
Vom dori să
rezolvăm ecuații neliniare.
Vrem să știm dacă există sau
nu o soluție.
Acestea ar putea fi ecuații de cerere în exces
în
cazul Walrasian sau
funcții de reacție în cazul Nash.
Vom ajunge acolo o clipă.
Deci, o funcție, f, mapează un
domeniu, A, înapoi în sine.
Și căutăm
o anumită valoare
a stelei x în domeniu, astfel
încât atunci când o introduceți, să
o scoateți înapoi.
Și ceea ce vreau să spun prin asta
este că la x stea, f din x stea
este din nou x stea.
Declarația mai formală -
Teorema punctului fix a lui Brower -
se află în partea de jos a acestui diapozitiv.
Fie A o submulțime a unui spațiu euclidian cu
dimensiune finită L.
Și acel „domeniu” citat
fiind nevid, convex
și compact, și f mapează
acel domeniu înapoi în sine, de la
A la A, f este continuu, sunt
suficiente condiții
pe f și pe această mulțime
A astfel încât să
existe un punct special  ,
x stea, în A,
iar când o introduceți
în funcția f,
obțineți x stea imediat înapoi.
Deci ceea ce se
întâmplă este destul de bine
surprins de această
imagine clasică.
Mulțimea A este doar
integrala de la 0 la 1.
Și  acesta este domeniul.
Și intervalul este
același, de la A la A, de la 0 la 1.
Și această funcție f
este desenată aici
ca o funcție continuă.
Și provocarea ar fi,
cum ați putea desena
această funcție, care
trebuie să fie  continuu,
intr-un fel incat sa nu
traverseze diagonala verde?
Aceasta clar o face.
Deci acolo unde trece, prin
definitia liniei de 45 de grade pe care
am gasit-o, x stea,
primim inapoi ceea ce am pus.
Deci, oh,  nu.
Nu vreau să cobor acolo.
Ce zici să îmbrățișăm
axa aici sus?
Dar chiar și atunci, unde
f din x este 1 pentru tot x,
ar fi totuși un
punct fix la punctul final.
Deci, oricum,  asta e intuitia.
Este destul de clar suficient
să ai punctul fix.
Și când nu...
Îți voi arăta o poză... este
pentru că va sări peste.
Nu va fi
definit exact unde
ar trebui definit
pentru a trece linia de 45 de grade.
Aceasta este o generalizare
a teoremei lui Brower.
Este
teorema punctului fix a lui Kakutani.
A-- tot la fel,
o submulțime nevidă
a unui
spațiu euclidian cu dimensiuni finite.
f, totuși, nu are
valori unice unice în interval.
Ar putea fi un întreg
set de valori ale lui f.
Se numește corespondență.
Deci alegem x din domeniu.
Există un
întreg set plauzibil de valori--
f din x, care este un
submult al lui A. Deci, ne
uităm doar la
condițiile de pe A,
care ne sunt deja date ca să
fie nevide, compacte
și convexe, exact ca  în
Brower, f din x nu este gol.  Ei
bine, s-a
presupus implicit
că are o valoare pentru fiecare x.
Și iată mai multe... cu
valori convexe și închise.
Așa că, deși nu a fost vorba
despre asta, întrebarea pe care
a pus-o la
început... deci este așa.
Deci f este convex-valoare
înseamnă că iau oricare două
puncte din f din x,
combinația convexă este și în f din x.
Și închis înseamnă pur și simplu că, dacă
aveți o secvență de puncte,
xn și yn convergând către x și y,
cu fiecare punct de-a lungul
șirului
satisfăcând yn, un element
al lui f al lui xn, atunci limita
y este un element al lui f  de x.
Deci, din nou, nu sare.
Și apoi, Kakutani
ne spune că acestea
sunt ipoteze suficiente
pentru ca noi să avem un punct fix.
Mi-aș fi dorit să fi fost
scris aici cu o stea.
Dacă x steaua este un
element al lui A, atunci x
steaua este un element al lui
f al lui x steaua, nu este egală.
Pentru că avem o
corespondență, doar
un element al.
Așa că iată imaginea sclipitoare
pe care ți-am promis--
cele două excepții.
F trebuie să fie convex și
continuu, într-un anumit sens,
sau să aibă un grafic închis.
Aici, nu este valorizată convex
în acest punct special
al domeniului.
Nu este adevărat că
orice combinație liniară
de puncte din interval
sunt, de asemenea, în interval.
Și în special, nu este
nimic la mijloc aici.
Deci sare peste
linia aceea de 45 de grade.
La fel și aici, există
o secvență de puncte -
de fapt, puncte unice.
Corespondența permite
funcții cu o singură valoare.
Dar când ajungeți
aici, punctul limită
nu mai este în concordanță cu
f din x fiind un punct al lui x.
Și funcția scade.
x este aici.  f din x este aici.  Asta e
bine.
E bine săritul ăla.
Dar problema este că acest lucru
poate fi realizat printr-o limită.
Iar punctul din
limită nu este în pereche.
Acesta este
Cheerio micuț cu o gaură.
Acesta nu este un
argument al lui f din x.
Deci, oricum, acesta este ceea ce poate
merge prost pentru a motiva citatul
„presupune suficiente”.
Acum, ajungem la
prima aplicație -
existența prețurilor Walrasian.
Vrem condiții suficiente.
Luați în considerare o
economie pură de schimb.
Scapă de producție.  Să
aibă o
dotare agregată strict pozitivă.
Să presupunem că preferințele sunt
raționale, nesatisate local
și continue.
De fapt, preferințele
pot fi reprezentate
prin funcții de utilitate.
Setul de consum
este, să zicem, tot
spațiul L-dimensional nenegativ.
Deci definim trei lucruri aici.  În
primul rând, definim
cererea de maximizare.
Așadar, maximizăm
funcția de utilitate cu condiția ca consumul să
fie în ansamblul de consum,
sub rezerva să nu cheltuim mai mult
decât evaluarea
dotării la acest preț, p.
Aceasta este definiția
cererii pentru toate prețurile
p dată parametric.
Z va numi cerere în exces - și
anume, nu cerere totală, ci
diferența dintre cerere
și dotare.
Acest lucru este de obicei pozitiv
dacă cumpără lucruri.
Ar putea fi negativ dacă
vând lucruri.
Și da, o
numim doar cerere în exces.
Și apoi, luăm suma
cererilor în exces,
însumând toate gospodăriile.
Acesta este I, capitalul I. Deci aceasta
este funcția de cerere în exces agregată
.
Acum, dacă putem găsi un preț,
p, astfel încât acest z al lui p este 0,
atunci am terminat.
De ce?
Pentru că am găsit
p astfel încât, atunci când
marșăm prin
diferitele gospodării,
avem cererea în exces fiind
pozitivă pentru unii oameni.
Dar, deoarece trebuie să se însumeze
la 0, cererea în exces
trebuie să fie negativă.
Deci, orice este furnizat de
gospodării, unele gospodării,
este cerut de
alte gospodării.
Apropo, toate acestea sunt
scrise în notație vectorială,
deși nu este evident.
Trebuie să ți se reamintească asta.
Dorim să putem curăța
fiecare dintre piețele L
cu acest vector de preț p.
OK, deci iată o
imagine unde funcționează
și o imagine unde nu.

Dotarea agregată este aici.
Și ne vom uita, în ciuda a ceea ce tocmai am
spus, la bunul 1.
Luați prețul bunului 1.
Iată cererea
pentru el, cererea totală.
Aceasta este oferta totală.
Cererea în exces atinge 0 chiar aici.  Au fost
efectuate.  Am
găsit un preț -
acest preț, unde
cererea în exces este 0,
deoarece oferta este
egală cu cererea.
Dar dacă s-ar întâmpla ca
cumva acele curbe ale cererii să
sară, atunci pentru unele prețuri,
excesul de cerere este pozitiv,
iar pentru alții este negativ.
Și nu am găsi
0 din acea funcție.
Deci când se poate întâmpla asta?
Nu am desenat imaginea aici,
dar dacă luați o
diagramă cu casetă Edgeworth, vă puteți
imagina că gospodăriile
ar putea sări de la a-și dori tot
bunul x la a-și dori tot bunul y
la un anumit preț.
Și poate dacă o configurați
chiar și cu mai multe restricții, nici ei
nu sunt foarte mulțumiți de
chestii din mijloc,
de exemplu, cu
curbe de indiferență nu concave,
ci curbe de indiferență convexe.
Chestiile liniare nu vor
funcționa, pentru că vor
fi fericiți la mijloc.
Dar când este vorba de o
funcție concavă,
sau de curbe de indiferență convexe
sau de seturi de contururi superioare concave,
atunci vor
dori doar să meargă la extreme.
Și asta va
crea o gaură.
Deci cred că nu este scris.
Dar o vei vedea
indirect într-un minut.
Avem nevoie de suficientă convexitate
a mulțimilor de consum
și concavitate a
funcțiilor de utilitate,
iar dacă am avea producție,
niște
ipoteze de convexitate acolo pentru a
obține condițiile pentru a
putea folosi punctul fix.
Amintiți-vă,
punctul fix presupune
că funcțiile sunt
continue și că domeniul

mapării de bază este închis
și convex și nevid.
Acum, aș fi putut pune mai
multe diapozitive aici.
În anii anteriori,
le aveam.
Este surprinzător de plictisitor.
Aceasta a fost munca făcută de
Arrow, Debreu și McKenzie
în anii '50 și '60.
Și maparea
nu este atât de simplă pe
cât ați putea spera.  Cu
siguranță nu
seamănă cu aceste imagini.
Dar cred că intuiția
este bună pentru astăzi.
Acum, mult mai relevantă
din moment ce tocmai am făcut-o,
ar fi maparea lui Negishi.
În loc să căutăm
prețuri care clarifică piețele,
vom căuta
ponderi Pareto folosind
prima și a doua
teoremă a bunăstării.
Din nou, exact ce am
făcut ultima dată.
Prima
teoremă a bunăstării ne spune
că echilibrul competitiv
va fi Pareto optim.
Și vom
avea suficiente ipoteze, astfel
încât acea teoremă să
fie adevărată -
nesatierea și raționalitatea locală.
Deci știm, dacă este optim,
există ponderi Pareto
lambda astfel încât, atunci când
rezolvăm problema maximă ponderată lambda
, vom obține acea alocare
optimă Pareto
.
Nu orice lambda --
anumite lambda
care generează acea
alocare optimă Pareto care
corespunde
echilibrului Walrasian.
Deci asta e metoda lui Negishi.
În loc să încerce să găsească
prețuri care eliberează piețele, va
încerca să
găsească ponderi Pareto --
în special,
ponderi Pareto astfel
încât să căutăm pe măsură ce
variem
ponderile Pareto în spațiul
alocărilor optime Pareto, astfel încât

punctul fix al unei mapări
va fi
ponderile Pareto particulare care generează
alocarea Walrasiană.
Și în special, evaluarea
cheltuielilor asociate
cu
echilibrul competitiv este exact
evaluarea bogăției în
economia de proprietate privată.
Deci acestea sunt cuvintele
și notațiile care vin.
Sunt trei sau patru diapozitive depărtare.
Bine, deci ce face Negishi în...
el adună de fapt peste firme.
Așa că ne comportăm ca și cum ar fi
o singură firmă.
E perfect de făcut.
Doar
ușurează notarea.
Și aceste ipoteze
sunt cam ceea ce
am făcut ultima dată când am
făcut teorema lagrangiană
și a doua teoremă a bunăstării.
Seturile de consum
sunt închise și convexe.  Să
presupunem că conțin 0.
Este
puțin mai special.
Funcțiile de utilitate sunt
funcții concave continue,
cu nesatiție locală.
Definim un
ansamblu de consum agregat,
dotarea sociala agregata,
productia agregata
a
firmei reprezentative, care este de asemenea convexa
si are o
transformare concava,
posibilitatea unei actiuni
in ansamblul productiei
si fezabilitatea --
in special, existenta
unei  punct interior
și că setul fezabil
de alocări este compact.
Această compactitate
poate părea ciudată.
Și pot reveni
la asta dacă vrei.  Cu
siguranță, dacă ai avut o
economie de cutie Edgeworth,
setul de
resurse agregate este fix și finit.
Producția creează
posibilitatea de a crea mai multe,
dar aveți un
număr finit de intrări și așa mai departe.
Deci, până la urmă,
ajungi cu un set compact.  În
regulă.
Deci, teorema lui Negishi, 1960 - să
presupunem că avem o economie de
proprietate privată
cu acest
șir de elemente pe
care acum le cunoașteți foarte bine,
care satisface A.1
până la A.4, toată convexitatea,
concavitatea și continuitatea
și așa mai departe  .
Atunci, voila.
Există un
echilibru walrasian.
stea x, stea y, stea p.  Să
presupunem că
funcțiile de utilitate sunt diferențiabile.
F este diferențiabilă.  Am
făcut asta oricum cu a
doua teoremă a bunăstării.
Deci, cheia aici este că
alocările optime Pareto
sunt indexate prin lambda.
Această problemă simplă,
care este alegerea unui vector lambda,
maximizează sumele ponderate lambda
ale utilităților
prin alegeri de consum
și producție
care sunt în
seturi de consum, seturi de producție
și satisface
constrângerile de resurse
pentru fiecare dintre L bunurile.  Ai
văzut un diapozitiv
ca acesta ultima dată
cu a doua teoremă a bunăstării.
Aici, vom
indexa în mod explicit
soluția unui anumit
lambda ca x și y lambda.
Deci, pentru o anumită lambda, o
anumită alocare optimă Pareto țintă

este soluția
acestei probleme Pareto.
Acum, din nou, am spus asta mai devreme.
Știm că există o lambda,
desigur, care generează o
alocare Pareto optimă care
corespunde
echilibrului Walrasian.
Și mai general, din a
doua teoremă a bunăstării,
orice alocare Pareto optimă are,
prin urmare,
o anumită
lambda, astfel încât să
poată fi atinsă ca un
echilibru competitiv cu transferuri.
Deci, să căutăm doar în
spațiul alocărilor optime Pareto
până când o
găsim pe cea potrivită, o
găsim pe cea Walrasiană.
Și, în special,
prețurile se
vor întâmpla pe parcurs.
Ei sunt
multiplicatorii Lagrange asociati
cu constrângerile de resurse.
Aceasta este, de fapt, exact
aceeași notație de data trecută,
cu excepția faptului că acest gamma,
care este vectorul prețului,
este indexat de lambda atunci când am
corelat, amintiți-vă,
problema consumatorului
cu condițiile de ordinul întâi
în
echilibrul Walrasian
cu  condiţiile de ordinul întâi
ale problemei Pareto.
Și vom obține, de asemenea,
din problema Pareto,
alocarea consumatorului,
alocarea firmei,
aceste prețuri, din nou,
așa cum tocmai am menționat,
și alocarea averii.
Și bogăția pentru o anumită
lambda pentru o anumită
alocare optimă Pareto
este doar evaluarea
la aceste
prețuri multiplicatoare Lagrange
a
alocării x optime Pareto țintă.
Acesta este un dat.  I
aici este o gospodărie I.
Însumăm toate
bunurile L, un număr finit dintre ele.
Și din nou, adăugați lambda x hat.
Adăugați lambda de L--
este cererea pentru al L-lea bun.
Acesta este prețul
bunului al L-lea.
Însumăm toate bunurile L.
Primim cheltuieli totale.
Și atribuim acel nivel de bogăție.
Poate vă amintiți acel diapozitiv.
Am spus, de ce avem nevoie de asta?
Și ți-am tot amintit de
algoritmul global,
adică trebuie să ne asigurăm că
alocațiile de avere care
corespund
prețurilor de susținere ale problemei Pareto se
însumează la totalul
dotării sociale.
Deci ai văzut asta înainte.
Ce căutăm?
Căutăm o
repartizare a bogăției astfel
încât bogăția să fie egală
cu evaluarea bogăției
în
economia cu proprietate privată.
Deci aceasta este doar
dotarea gospodăriei I
plus creanța gospodăriei I
asupra acțiunilor companiei.
Obișnuiai
însumarea theta Ij peste j,
dar pentru că, pentru
simplitate, am presupus
1
firmă agregată reprezentativă,
avem nevoie doar de theta
I, nu de theta Ij.
Este revendicarea mea asupra profiturilor
firmei, a unei singure firme.
Oricum, asta e
proprietate privată.
Deci
căutăm lambda cumva.
Și din nou, nu am mers mult
mai departe cu cartografierea.
Vom repeta
pe lambda în așa fel
încât, în cele din urmă, definim
maparea în așa fel
încât lambda pe care o
dorim să fie un
punct fix al cartografierii
și să satisfacă
evaluarea cheltuielilor
la acel optim Pareto special
este  exact
evaluarea averii
în
economia de proprietate privată.
Din nou, maparea
este puțin mai plictisitoare
decât ați putea spera.
Pe de altă parte, puteți vedea
clar din a doua
teoremă a bunăstării cum folosim
convexitatea și continuitatea
și așa mai departe.
Deci, poate că
nu este prea surprinzător,
la sfârșitul
zilei, că ajungem să avem
suficiente presupuneri pentru a...
oh, iată-l.
Aici vorbesc.
Suficiente ipoteze pentru a obține
această stea Lambda
ca punct fix pe care îl dorim.
Am spus asta în cuvinte
și ar fi trebuit să
am acest slide pe tablă.
Evaluarea cheltuielilor este
egală cu evaluarea
bogăției în
economia cu proprietate privată.
Deci, există într-adevăr
două moduri de a căuta
un echilibru competitiv.
Putem căuta în spațiul preț, sau
putem căuta în spațiu lambda.
Este curios că, în ambele
cazuri, avem nevoie de un simplex.
Ca să vă reamintim, un
simplex este spațiul în
care fiecare dintre elemente
este nenegativ mai mare
sau egal cu 0, iar suma
elementelor se adună până la 1.
Deci prețurile însumează
1, pentru că
avem un grad de libertate.  pentru
normalizarea prețurilor,
din cauza omogenității
gradelor 0
și omogenității
gradului 1, cred.
Și, de asemenea, în greutățile lambda,
lambda sunt normalizate.
Sunt nenegative.
Și însumează până la 1.
Deci, acesta este un alt simplex.
Dar, pe de altă
parte, dimensiunile
pot fi mai ușoare în
spațiul lambda.
Poate sunt mai multe bunuri decât
tipuri de gospodării.
Avem intrări și
ieșiri de toate tipurile.
Poate exista, cel puțin
pentru modelarea economică, ne
putem gândi la un
număr finit de tipuri de gospodării.
Poate când te gândești la
bogăție, avem bogați și săraci.
Avem mediane.
Avem quartile.
Când ne-am gândit la
comerțul internațional,
aveam gospodării care diferă
prin dotări.
Unii sunt muncitori.
Unii dețin capitalul și așa mai departe.
Deci, de obicei, numărul
de lambda corespunzător
numărului de
tipuri de gospodării
este mai mic decât numărul
de prețuri de care avem nevoie.
Și, prin urmare, este mai ușor
să căutați și să calculați
în spațiul lambda.
Oricum, m-am gândit că ai
putea aprecia asta,
pentru că tocmai am terminat cu a
doua teoremă a bunăstării.
Și această
dovadă a existenței folosește asta.
Acum, ca să nu credem că
este doar elegant,
mă întorc la ceea ce se
întâmplă în informatică -
și anume, cum să găsim
echilibrul Walrasian.
Deci, Echenique și
Wierman de la Caltech,
de fapt, au niște
chestii foarte grozave.
De fapt, poate fi
destul de greu să găsești
echilibrul competitiv.
Desenăm imagini simple, nu?
Dar ai o mulțime de gospodării.
Și în special, gospodăriile
ar putea publica informații
pe site-uri web.
Și vrem să organizăm o
licitație sau așa ceva.
Și sperăm că
există suficiente gospodării
pe care încercăm să ajungem la
alocația Walrasian.
Nu este ușor să
rezolvi aceste lucruri.
De fapt, în general,
pare o problemă foarte grea.
Și uite, exemplele despre cum să-l
găsești par relativ ușor.
Deci există acest mare
decalaj în literatură.
Oricum, tipii ăștia l-
au descoperit pe Negishi.
Toată lumea se întoarce în 1960.
Și au un
algoritm care funcționează
pentru a găsi
echilibrele competitive folosind
algoritmul lui Negishi
pe care tocmai ți l-am arătat.
Și acesta este legat.
Calcularea
rapidă a echilibrului walrasian.
Deci, din nou,
sunt lucruri aici.
Deși este mișto în
sensul de a scrie un cod
care iterează.
Și vrei să știi
timpul
necesar pentru a găsi soluția.
Și să sperăm că acest lucru nu va
crește exponențial
cu numărul de gospodării,
sau numărul de bunuri,
sau ceva de genul.
Așa că vor să funcționeze rapid.
Deci nu vor să evalueze
derivatele tot timpul.
Așa că și-au dat seama de
acest algoritm care
face un apel către oracol.
Iar oracolul, atunci când va fi consultat, le
va spune derivata
curbei cererii în exces.
Și așa au luat asta jos.
Ei trebuie doar să consulte
oracolul de relativ puține ori.
Și este polinom.
Și așa pot... acest
algoritm funcționează destul de repede.
Acest limbaj de
consultare a oracolelor
este folosit în
informatică oricând
doriți să mergeți la o
sursă externă de date.
Și ar putea fi precipitații, sau
prețul acțiunilor sau orice altceva.
Și apoi, aduceți
asta în cod...
ca Oracolul Matrix.
OK, să trecem la un alt
concept de echilibru,
echilibrul Nash, și să definim
un joc de formă strategică.
Lasă-mă să dau înapoi o secundă.

Echilibrul walrasian este bun - să
zicem, prețuri astfel
încât, atunci când toată lumea
ia acele prețuri ca
date și maximizează,
atunci ne uităm la
constrângerea resurselor,
găsim prețurile astfel
încât cererile în exces sunt 0.
Dar asta ridică problema
unde este  naiba de
la care vin preturile.
Chiar dacă avem algoritmi
pentru a le găsi,
acesta este un pas pe parcurs.  Jocurile de
formă strategică
sunt modalități
de a fi foarte explicit cu privire la
strategiile și rezultatele
pe care comercianții le folosesc.
Și din nou, voi lega acest lucru
de prețul Walrasian
pentru moment.
OK, deci iată
câteva definiții.
Un joc de formă strategică
are un număr finit
de jucători, capital I,
scenariu I. Există
un set de acțiuni posibile
pentru fiecare jucător, S sub I.
O anumită acțiune, si
mic, este în SI mare.
Deci, aceasta este o anumită acțiune
dintr-un set de toate acțiunile posibile
care definesc jocul.
Și funcțiile payoff--
arată ca funcții utilitare--
mapează acțiunile
în numere reale.
Dar acest vector, capitalul
S aici, este de fapt
acțiunile tuturor jucătorilor,
spre deosebire de, să zicem, într-un
echilibru walrasian, în care prețurile sunt
date și tu alegi cererile.
Aici, trebuie să mapam în mod
explicit acțiunile
fiecărui jucător pentru a
determina rezultatul
și, prin urmare, pentru a determina
utilitatea fiecărui jucător.
Iată câteva notări convenabile.
S din minus I înseamnă
toată lumea, cu excepția I.
Deci sunt
acțiunile particulare ale tuturor jucătorilor j
excluzând jucătorul I.
De asemenea, S sub I majusculă este
setul tuturor acțiunilor posibile
asupra tuturor jucătorilor, alții
decât I. Și, în sfârșit,
această notație S
sub I S  sub minus I
este profilul strategiei.
Este deosebit de
relevant pentru jucătorul I,
deoarece are
propria sa acțiune acolo, S sub I,
dar și ca rezumat,
acțiunile tuturor
celorlalți jucători, S 0 I.
OK, deci acestea sunt definițiile
unui strategic strategic.  joc de formă -
acțiuni, utilități și așa mai departe.
Deci, o strategie este cum să
joci, cum să
alegi anumite acțiuni.
Este ca și cum ai scrie
cod pentru a-ți spune
ce să faci în funcție de ceea ce
fac toți ceilalți.
Deci acest lucru poate fi ușor sau greu.
În zilele noastre, ai putea programa
computere pentru a juca șah.
Dar se crede că este
o problemă destul de grea.
Dar acesta este modul în care ne gândim
la agenții care aleg ce
să facă într-un joc de formă strategică.
Deci, în loc să trecem imediat la
o noțiune de echilibru Nash
, să ne gândim
la măsurile de probabilitate în
defavoarea strategiilor pure.
Dar permiteți-mi să spun
de la început,
de ce facem asta?
Dacă credeai că există un
număr finit discret de acțiuni
pentru doi jucători, atunci jucătorul
unu ar putea face un singur lucru
și, condiționat de asta, jucătorul își
va alege lucrul.
Și din nou, condiționat de
ceea ce face jucătorul doi,
jucătorul unu vrea să se
răzgândească și să facă altceva.
Deci, în principiu,
ar putea sări peste tot
și să nu găsească niciodată un set
de acțiuni consistente.
Dar dacă, în schimb, ne gândim
că fiecare jucător își alege
acțiunea la întâmplare,
atunci ne întoarcem la simplex.
Pentru că setul de
numere de probabilitate
va fi nenegativ
și va aduna până la 1.
Deci puteți vedea unde
mergem, nu?
Vom mapa
asta în Kakutani.  Iată de
ce,
imediat, începem să
vorbim despre
măsurile de probabilitate în detrimentul strategiilor pure.
Deci, de exemplu, dacă ați
avut două acțiuni,
ați putea să vă gândiți la
această măsură a probabilității
ca atribuind o
probabilitate de a face
un lucru sau altul
, sau probabilitatea
pentru orice
număr finit de lucruri.
Și numim aceste
măsuri de probabilitate strategii mixte,
sigma fiind
strategia mixtă a jucătorului
I în setul tuturor
măsurilor de probabilitate
care pun masa peste acțiuni.
Deci sigma sub I pentru jucătorul
I, sigma fără I
este un set de
strategii mixte asupra tuturor,
asupra tuturor jucătorilor.
Și
aici se presupune că
nu există coordonare, că sunt
randomizate independent.
Sigma minus I reprezintă
strategiile mixte
ale fiecărui jucător, altul decât I.
Și vă puteți gândi la
funcția de utilitate a jucătorului I
ca o funcție a vectorului
sigma pe care îl joacă toată lumea.
De ce?
Pentru că sigma mă include nu doar pe
mine, ci pe toți ceilalți jucători.
Este un mod aleatoriu
de a alege acțiunile.
Iar o funcție a unui set dat
de configurație de acțiuni
va genera un
profit și, prin urmare, va
genera utilitatea
fiecărui agent I.
Deci aceasta este
utilitatea așteptată.
Acesta este doar o
utilitate așteptată de Von Neumann Morgenstern,
ținând
cont în mod explicit de modul aleatoriu în care
sunt realizate alocările.
Și am fost puțin vag în ceea
ce privește spațiul de strategie, S.
Uneori, am spus că este
finit, ca două acțiuni.
Această
specificație de bază aici
este ca și cum ar putea exista un
continuum de acțiuni posibile.
Așa că am integrat mai degrabă
decât să rezumam lucrurile.
OK, deci să definim în sfârșit
un echilibru Nash.
Strategia mixtă Echilibrul Nash
este o stea de profil de strategie
pentru fiecare
jucător, astfel încât jucătorul pe care
eu aici îl iau ca fiind
strategia mixtă,
strategia mixtă de vedetă
a tuturor celorlalți jucători
și, sperăm, că va găsi
sigma pe care o vedem pentru el
însuși este,  de fapt,
nu mai rău în termeni de utilitate
decât a face orice altă
strategie mixtă.
Deci Nash este întotdeauna, luați ca dat
ceea ce fac toți ceilalți.
Și apoi, sunteți pe deplin
liber să vă optimizați.
Și poți vedea
unde se duce asta.
E un pic mai complicat.
Vom
căuta un fel
de punct fix în
aceste strategii mixte,
astfel încât, atunci când punem stea sigma
, să scoatem stea sigma înapoi.
Un lucru curios aici,
nu că ar conta,
dar este interesant să ne gândim
la
problema de dezechilibru a unui agent dat.
Agentul ia ca dat steaua
sigma I
a tuturor celorlalți
jucători, mai puțin el însuși,
și atunci ar fi în
principiu în căutarea
unei strategii mixte care ar putea
funcționa mai bine decât steaua sigma I.
Dar strategia mixtă
ar fi să pună în masă un număr
potențial de acțiuni non-triviale
.
Dar dacă o acțiune din
strategia mixtă
oferă o utilitate mai mare
decât cealaltă, atunci jucătorul
I aș
alege întotdeauna acțiunea respectivă.
De ce să randomizezi alte lucruri
care îți oferă mai puțină utilitate?
Deci, de fapt, pentru a încerca să vă protejați de
alternativele care se
descurcă mai bine, trebuie doar să
evaluați strategii pure,
nu strategii mixte.
Dar, oricum,
definiția este pe Nash,
că sigma I star aici va
domina slab
orice altă strategie pură SI,
având în vedere că ceilalți jucători
fac sigma star minus I.
Așa că aceasta este definiția
și o propunere.
Acum, în sfârșit,
obținem dividendul.
Fiecare joc finit are o
strategie mixtă de echilibru Nash.
Este imens, extrem de important.
Și din nou, ai putea
scrie un joc.
Dar de unde știm că
are chiar echilibrul Nash?
Acum știm că, dacă este un joc
cu un număr finit de acțiuni
pentru fiecare jucător,
are un echilibru Nash.
Este posibil să nu fie un
echilibru strategic pur.
Poate implica randomizare.
Dar există.
Și pentru a ajunge la
partea fixă ​​a acesteia,
căutăm această
stea sigma de profil
astfel încât pentru fiecare jucător
I, steaua sigma I să
domine slab orice altă
strategie sigma I,
inclusiv
strategiile pure, luând ca dat ceea ce

sunt ceilalți jucători  face.
Cu alte cuvinte, dacă începeți
cu o stea sigma, jucătorul
eu aș reacționa la ceea ce
fac ceilalți jucători
și aș alege cel mai bun
răspuns având în vedere ceea ce
fac ceilalți jucători.
Deci, într-adevăr, acest B capital
este cel mai bun set de răspuns.  Este
posibil să existe mai mult de un
răspuns de maximizare a utilităţii.
Dacă da, alege unul.  Ar
trebui să
maximizeze utilitatea pentru fiecare jucător,
având în vedere configurația a ceea ce
fac toți ceilalți.
Așa că acum, putem vorbi despre
cel mai bun răspuns pentru jucătorul I,
luând ca dat ceea ce
fac alți jucători.
Este un pic cam complicat de notare
aici, deoarece sigma I steaua
este ceea ce vrem să găsim.
Și acesta este cel mai bun
răspuns având în vedere strategiile
celorlalți minus I.
Și pentru a fi în consecvență
cu notația,
acest B are un minus I pe el.
Dar asta nu înseamnă că
acestea sunt răspunsurile
celorlalți jucători j.
Este doar o modalitate de a indica
cel mai bun răspuns pentru jucătorul pe care l-
am condiționat de ceea ce
fac toți ceilalți tipi.
Deci minus I și
minus I amândoi fiind
consecvenți unul cu celălalt.
E puțin ciudat în ceea
ce privește notația.
Dar acest B de
minus I-- minus I
înseamnă cel mai bun
răspuns pentru jucătorul I.
Facem asta pentru toți jucătorii
I și îl definim aici.
Acesta este BI.
Ar fi trebuit să fie un minus I. Va
trebui să-i trimit un e-mail lui Ashley.
Oricum, avem
B de sigma pentru a fi
configurația celor
mai bune răspunsuri pentru toți
jucătorii.
Și așa căutăm
ca echilibrul Nash
să fie un punct fix
al acestei mapări.
În special,
putem găsi o sigma astfel
încât, având în vedere că sigma
pentru fiecare jucător,
acum știe ce fac ceilalți bărbați
în sensul strategiei mixte
, vine cu
propria sa cea mai bună strategie mixtă ca parte
a celui mai bun răspuns.
Fiecare jucător face
asta și termină prin a
face ceea ce toți au considerat ca fiind dat de la
început - și anume,
sigma star.
Deci avem nevoie doar de acest lucru B
pentru a avea proprietăți bune.
Și în special,
acest lucru B se dovedește
a satisface condițiile
teoremei lui Kakutani.
Funcționează pe seturi compacte,
convexe, nevide.
El însuși fiind nevid, are o
corespondență de valoare convexă
și are un grafic închis.
Deci, îl invocăm pe
Kakutani și am terminat.
Deci, a doua sau a treia
ilustrare, acum,
a teoremei lui Kakutani
, în acest caz,
pentru a stabili existența
unei strategii mixte de
echilibru Nash
într-un joc finit -
există întrebări?  În
regulă.
Deci, să aplicăm această artilerie pe
piețele americane și să vorbim despre
eșecurile comerciale.
Deci, un eșec comercial este în cazul în care
un cumpărător al unei trezorerie este
de acord să predea
lichidități-- bani,
rezerve în exces--
vânzătorului, care are o trezorerie.
Și, la fel,
celălalt tip, vânzătorul,
este bucuros să furnizeze trezoreria
în schimbul lichidității.
Deci cumpărătorul și vânzătorul se întâlnesc.
Se întâlnesc pe piața de la
ghișeu.
Nu este o
piață Walrasian centralizată.
Și apoi, ar trebui să
apară și să rezolve tranzacția.  Ei
bine, din punct de vedere tehnic,
vânzătorul trezoreriei
poate să nu dețină încă
trezoreria, dar
intenționează să o obțină
într-un fel sau altul
pentru a putea trece
trezoreria de la el
însuși la cumpărător.
Și, de asemenea,
cumpărătorul poate sau nu să
aibă lichiditate în
momentul în care încheie tranzacția,
dar intenționează, sperăm,
să obțină lichiditate
pentru a putea cumpăra pentru a
plăti pentru ceea ce au fost deja
de acord să facă.  .
Dar nu
merge întotdeauna așa.
Și există
eșecuri de soluționare în sistem.
Acest lucru s-a întâmplat, de exemplu,
cu o întrerupere a calculatorului.
Cum poți deconta tranzacțiile
când totul este electronic
și nu este nimic
pe ecran?
9/11 a fost o altă problemă în care
există o mulțime de întreruperi.
Acum, toți au
sisteme de rezervă în New Jersey
și la Sanford, dar
nu la momentul respectiv.
Deci, după cum am spus, vânzătorul
poate să nu aibă titlurile de valoare.
O posibilitate este
că plănuia
să le obțină de la
altcineva, dar
altcineva care îi vindea
titlurile de valoare
pentru ca el să le vândă
terțului însuși eșuează.
Așa că obținem ceea ce
numim acest lanț de margarete,
o cascadă de eșecuri.
Așa că te bagi într-adevăr în
buruieni în ceea ce privește...
nu este Walrasian.
Nu este simplu Nash.
Este un aranjament instituțional mult mai complicat
.
Dar vom încerca să
folosim echilibrul Nash.
Acum, iată o imagine
a comerțului eșuat.
Deși acest lucru s-a întâmplat
între 1990 și 2014,
această lucrare de la Fed din New York
se dorește a fi ilustrativă
pentru acest val de eșecuri care
a avut loc în marea
criză financiară din 2007, '07, '08.  Deci
bine.
Este un vârf.
Şi ce dacă?
Vom merge aici, să
zicem, mai mult de 9.000.
9.000 ce?
9.000 de miliarde.
Vorbim de trilioane aici.
Asta este de necrezut.
BINE?
Nu devine mai mare decât asta.
De fapt, piața de trezorerie
este cea mai mare piață de valoare din lume
din întreaga lume.
Și acum, avem o
parte substanțială
a tranzacțiilor care au fost
acceptate ca fiind eșuate.
Nu am reușit să
actualizez acest diapozitiv,
dar am văzut o lucrare în urmă cu doar două
zile, adică, practic,
anul acesta --
începând, să zicem, ianuarie,
februarie, martie --
în martie, virusul a lovit.
Și comerțul eșuează pur și
simplu.
Așa că Fed s-a convins
că având suficiente rezerve
în registrele sale ar
oferi
sistemului suficient de lichiditate,
astfel încât să nu mai
vedem niciodată vânzări comerciale.  Au înțeles
greșit.
Nu sunt sigur cât de mult
ai trecut.
Dar Fed
cumpără titluri.
Cumpără
titluri garantate cu ipoteci pe
care alți oameni nu le-ar deține.
Și pentru cumpărarea lor, ei
creditează cumpărători, brokeri
și bănci cu conturi
la Rezerva Federală.
Deci acele lucruri se
numesc rezerve.  Au
depășit cu mult
rezervele în exces.
Acolo băncile
păstrează excesul de valoare.
Și plătesc pentru chestii
cu acele rezerve.
Băncile nu se mai împrumută foarte des
una de la alta
din cauza
tuturor rezervelor în exces
și așa mai departe.
Dar în martie, totul s-a prăbușit.
Și Fed a trebuit să injecteze și mai
multă lichiditate.
Deci nu suntem
încă pregătiți pentru economia monetară,
dar suntem gata să
vorbim despre cum să modelăm
această piață pentru valori mobiliare.
Așa că să ne gândim
la el ca pe un joc,
un joc strategic
jucat printre comercianți.
Deci vor
exista diverse bunuri, cum ar fi
lichiditate, trezorerie.  Ne-am
întors la
notația noastră obișnuită aici.
Există j bunuri, j egal cu
1 prin nu L, ci k.
Și va
exista un post comercial --
o piață, ca să spunem așa --
pentru fiecare dintre bunuri.
Și vor cumpăra
plătind o unitate de cont
pentru a obține bunul
sau vor vinde bunul
și vor returna o unitate de
cont în conturile lor.
Deci agentul I, comerciantul
I, joacă o strategie,
care are patru obiecte.
Practic, puteți cumpăra
sau vinde, dar și
mai mult decât atât,
puteți cumpăra și specifica
un preț pi pentru bunul j.
Sunteți dispus să
cumpărați dacă prețul este
mai mic sau egal cu
prețul specificat.
Aceștia sunt consumatori, nu?
Deci prețurile mai mici
sunt un lucru bun.
Dacă sunteți dispus să
cumpărați la pi j pentru bun j,
atunci sunteți dispus să cumpărați
dacă prețul ar fi mai mic.
Dar îți limitezi expunerea.
Indiferent dacă
este pi sau mai puțin,
veți fi de
acord doar să cumpărați cel
mult unități qij ale mărfurilor.
Deci acestea se numesc
prețuri limită.
Atunci, așa
funcționează Bursa de Valori din New York,
etc.
Nu toate schimburile
funcționează așa.
Tildele denotă aici
prețuri limită pentru vânzători.
Deci un vânzător de bun j va spune, ei
bine, am nevoie de un preț minim,
p tilde ij.
Sunt dispus sa
vand la pretul acela.
Sunt dispus să vând dacă
prețul este mai mare,
dar nu am de gând să
vând o sumă infinită.  O să-mi
limitez
vânzările la q tilde ij.
Deci, în acest joc,
toți comercianții
trimit aceste ordine limită.
Și efectiv ar putea
fi de o parte sau de cealaltă,
sau ar putea fi dispuși să facă ambele,
în funcție de prețurile de
care au nevoie.
Deci o strategie, S,
constă din setul
de acțiuni posibile, toate aceste
configurații de vectori
pentru fiecare dintre
jucătorii N capital.
Și apoi, trebuie să
denotăm rezultatul.
Funcția rezultat
este această funcție g-- o
vom pune aici--
că, dacă toată lumea este S, fiind S1,
S2, Sn pentru fiecare dintre jucători,
acest vector S de
acțiuni limitează ordinele
trimise de toți
jucătorii finali.  mapează
un anumit
rezultat pentru jucătorul
I, comerciantul I, care este
x, cererea
sau oferta în exces și beta.
Și beta este un obiect nou aici.  Va
fi
creditul net pe care îl primește agentul I
atunci când profilul strategic S este
jucat de toți agenții.
Beta va fi
unitatea totală de cont pe care o
cheltuiește un agent.
Și dacă este pozitiv, dacă este
pozitiv, beta înseamnă că
cheltuiți mai puțin decât ceea ce
obțineți ca vânzător.
Sunteți vânzător, obțineți
venituri în unitate de cont
din vânzare.
Cât de mult depinde de ceea ce
pun toți ceilalți.
Dacă cumpărați, atunci
datorați o unitate de cont.
Cât de mult depinde de ceea ce
fac toți ceilalți.
Beta ar putea reflecta faptul
că au vândut mai mult ca valoare
în unitate de cont
decât au cerut.
Ar fi un
lucru bun.  Doar
cheltuiesc prea puțin.
Opusul este
un dezastru, în care s-
au angajat să cheltuiască unitatea
de cont pe care nu o au.
Atunci beta devine negativ.
Asta e un esec.
Acesta va fi un eșec comercial.
Nu pot veni
cu lichiditatea.
Sau ei bine, vrem să prevenim
asta să se întâmple.
Apropo, iată programele
simple ale ofertei
și cererii.
Acestea sunt în concordanță
cu ordinele limită.
De exemplu, există
un preț maxim
pe care o gospodărie
este dispusă să-l plătească.
Trecem peste toți comercianții.
Maximul peste maxim
este cea mai mare cerere.
Și pe măsură ce prețul începe să
scadă, veți
ridica alți câțiva comercianți
care sunt dispuși să cumpere,
dar și-au limitat
comanda în cantități.
Și prețul mai scade puțin.
Deci obțineți aceste funcții de pas.
Și, la fel, pentru
furnizori,
obțineți o funcție de treaptă în sus.
Pe măsură ce prețul devine din ce în ce
mai mare,
atrageți mai mulți vânzători.
Dar toți au
trimis ordine limită.
Deci căutăm
acest echilibru
pe această
piață unidimensională.  Ar
putea exista legături.
Oferă cerere egală.
Trebuie să avem o modalitate de a
raționaliza sau de a aloca tot ceea ce
este scurt sau lung aici.
În acest caz, există
mai multă cerere decât ofertă.
Așa că trebuie să alocăm
asta între solicitanți.
Oricum, acestea sunt menite
să fie imagini intuitive.
Deci asta
descrie doar acea poză.
Acum, vrem să ne
asigurăm că nu există erori.
Așa că am introdus acest lambda.
Deci lambda va
fi o funcție de penalizare.
Și cum funcționează?
Dacă beta este pozitivă, atunci
sub strategiile lor
și
ale tuturor celorlalți,
există mai multe venituri
decât costuri,
caz în care, beta este pozitivă.
Pozitiv este mai mare decât 0.
Tot acest termen este 0.
Nu există penalizare.
Dar, invers, dacă
beta este negativă
deoarece
cheltuielile lor nete angajate sunt mai mari
decât venitul lor net, atunci
minimul acestei funcții
este un număr negativ.
Și este amplificată de lambda.
Deci lambda este costul penalizării.
Apare dacă cheltuiți în exces.
Și, desigur,
ex-ante, își vor
alege strategiile
având în vedere strategiile
pe care alți oameni le
adoptă în astfel de moduri
pentru a maximiza această răsplată totală,
nu doar utilitatea de a obține
bunuri dacă reușesc să facă
asta, ci și  dezutilitate
dacă încalcă bugetul.
Deci, există o
lemă curioasă aici pe parcurs
că beta-urile ajung să fie 0.
Cu alte cuvinte, într-un
echilibru Nash activ,
fiecare are bugetul său.
Oh, da, ca chestia cu
Walrasian, nu?
Asta căutăm.
Vom încerca să
sprijinim
momentan alocarea Walrasian.
Dar un lucru -- nu
singurul lucru care este adevărat
despre alocarea Walrasian --
este că cererile în exces
sunt 0 pentru fiecare gospodărie.
Evaluarea a ceea ce se vinde
este egală cu evaluarea
a ceea ce se cere.
Sunt în bugetul lor.
Data I este 0. Se
pare că modul în care
este definit acest joc
, beta I trebuie să fie 0.
De ce?  Ei
bine, este înșelător de simplu.  Să
însumăm beta-urile
tuturor gospodăriilor.
Trebuie să fie 0.
De ce?
Pentru că totul este
în unitate de cont
dacă orice
cheltuiesc de mine ajunge
în poala celui care
mi-a vândut marfa.
Deci unitatea de
lichiditate a contului doar
trece prin sistem.
Cu alte cuvinte, lichiditatea
curge întotdeauna astfel încât să fie echilibrată.
Deci suma
deficitelor de lichiditate
trebuie să fie 0, pentru că
cineva
ajunge întotdeauna să dețină lichiditatea.
Și apoi, ați putea încerca
ce s-ar întâmpla
dacă o parte beta I nu ar fi 0.
Ei bine, dacă această sumă
este 0 și suma beta
am fost pozitivă, decât dacă
există o beta I care nu este
0-- să zicem, mai mică de
0-  - apoi mai există
un alt beta L care
este mai mare decât 0.
Acum, acel comerciant
nu și-a cheltuit toată
unitatea de
evaluare a contului.
Deci, asta nu ar putea
fi maxim, având în vedere
strategiile pe care toți
ceilalți jucători le adoptă.
Jucătorul L ar cumpăra mai mult.
Deci beta-urile trebuie să fie 0.
Și diapozitivul final aici
este, cum alegem lambda?
Sau, alternativ, având în vedere un
echilibru competitiv,
cum găsim
echilibrul Nash corespunzător
în acest joc care îl atinge?
Dar ni se oferă
prețurile și alocările
echilibrului competitiv.
Și într-un
echilibru competitiv,
utilitatea maximă a fiecărui comerciant supusă
bugetului definit de acele
prețuri date, vector p.
Asta va defini
utilitatea marginală a venitului, mu,
care întâmplător este exact ceea ce am
numit-o marți--
mu I, utilitatea marginală
a venitului comerciantului I, OK?
Deci ceea ce ne dorim este să alegem
aceste penalități suficient de mari,
astfel încât penalitatea să fie mai mare
decât utilitatea marginală
a venitului.
Deci mu I este
utilitatea marginală a venitului.  O vom
scala
cu ceva
numit alfa în așa fel încât să
obținem această inegalitate.
Deci vă gândiți să nu
respectați comerțul.
Aceasta va fi asociată
cu această penalizare lambda.
Și aceasta este mai mare decât
utilitatea în marjă a venitului.  Ar fi trebuit să

evitați această situație
nedepășind bugetul.
Și astfel, având în vedere alfa,
putem redefini prețurile limită
și
cantitățile limită astfel
încât să realizăm un
echilibru walrasian.
Deci, de fapt, am definit
echilibrul Walrasian,
echilibrul Nash, a definit un joc aici
pe o piață care poate
avea o problemă.
Evident, sancțiunile
nu sunt suficient de mari.
Dacă urmăm acest
model, există o modalitate
de a implementa sancțiuni pentru a evita
eșecurile comerciale, astfel încât
echilibrul Nash al acelei
structuri instituționale
să corespundă cu
echilibrul Walrasian.
OK, așa că mulțumesc că ai
venit astăzi.