[SCRÂȘIT] [FOȘIT] [CLIC] PROFESORUL: OK, deci data trecută, am discutat despre bazele ortonormale. Și apoi am considerat întrebarea concretă a exponențialelor complexe fiind o bază ortonormală pentru L2 de minus pi la pi, că seria Fourier converge de fapt către o funcție L2 în norma L2. Deci acum, ne vom întoarce la o discuție generală despre spațiul Hilbert. Acesta este felul în care restul cursului va fi o teorie generală urmată de niște aplicații concrete împrăștiate, concrete în sensul că nu va fi vorba doar despre spații Hilbert generale , ci despre operatori specifici, probleme specifice pe care le avem. incerci sa rezolvi. Acum, vom discuta despre minimizatorii de lungime. Și ce vreau să spun cu asta? Vreau să spun prin următoarele, dacă am un subspațiu închis al unui spațiu Hilbert, atunci aș putea defini -- desigur, deci de când, atunci când, am putea defini o normă pe H modulo, acest spațiu Hilbert închis și norma pe care este infimul normei lui v minus w, unde w, mic w, este în capitalul subspațial liniar W. Acum, o întrebare firească este, este acel infimum, este acel minim, acea distanță minimă realizată de fapt de un element în subspațiu? Acum, răspunsul este, de fapt, da. Și este, de fapt, adevărat pentru o clasă mai mare de submulțimi de spații Hilbert decât pentru subspații închise. Deci avem următoarele - să presupunem că C este o submulțime a unui spațiu Hilbert -- a unui spațiu Hilbert H astfel încât să fie valabile trei condiții. Cel mai prost... C nu este gol, C este închis. Și finalul este că C este ceea ce se numește convex. Aceasta înseamnă că, dacă v1 și v2 sunt în submulțimea C și t este în 0, 1, atunci tv 1 plus 1 minus tv2 este în C. Deci o altă modalitate de a afirma această ultimă condiție este aceea că pentru oricare două elemente din C , segmentul de linie de la v1 la v2 este conținut în C. Deci acesta nu este altceva decât un element pe segmentul de linie care unește v1 cu v2. Deci aici, avem ceea ce ar arăta ca o mulțime convexă C. Și pentru fiecare v1, v2, este convex, adică segmentul de linie care le unește este acolo. Deci nu ai fi... să zicem că nu ai fi... deci asta este convex. Și așa, de exemplu, ceva ca această imagine nu este convex pentru că aș putea lua două elemente-- v1, v2-- aici și segmentul de dreaptă nu rămâne în mulțimea C. Bine, deci dacă presupunem că avem un non -submulțime goală, închisă și convexă a unui spațiu Hilbert H, atunci există un element unic v în C astfel încât -- sau ar trebui să spun -- da, v în C astfel încât v este egal cu minimul lungimii lui u în C. Acum, vom vedea, când aplicăm această teoremă, cum apar astfel de C-uri. Una dintre ele este, așa cum am spus acum un minut, că-- OK, nu am spus-o exact așa, dar C fiind un vector plus a-- deci C ar putea fi un vector fix plus un subspațiu, adică mulțimea a tuturor vectorilor de forma v plus w, unde w este într-un anumit subspațiu. Dar acesta nu este neapărat singurul tip pe care îl vom întâlni. OK, deci dacă avem o submulțime închisă, convexă, nevidă a unui spațiu Hilbert, atunci există un minimizator unic în acest subspațiu. Deci, desigur, vă încurajez să vă gândiți dacă renunț la oricare dintre aceste condiții dacă această teoremă rămâne sau nu adevărată. Deci, este clar că nu puteți renunța la C fiind închis. Deci, de exemplu, această remarcă nu puteți renunța la condiția C închis. De exemplu, să presupunem că acum aveți o minge deschisă în R2. Și iei orice punct în afara mingii. Atunci minim... acum, să vedem. Am asta pe dos. Să considerăm că C este totul în afara mingii. Deci nu este nici închisă, nici convexă. Atunci, desigur, aceasta nu va avea o lungime minimă pentru că -- sau acest submult nu va avea un vector care are lungime minimă pentru că lungimea minimă va dori să fie pe aceasta -- să spunem că este raza 1 -- pe acest cerc de rază 1, care nu este inclus în mulțimea C. Așa că sunt luate ambele condiții - că C este închis și convex. Desigur, puteți face ceva în cazul în care este doar convex, dar nu închis - de exemplu, luați un pătrat acum în R2. Atunci să presupunem că acesta este minus 1, 1. Acesta este colțurile la 1, 1. Și există originea. Atunci vectorul de lungime minimă va dori să fie chiar aici în punctul 0, 1. Dar asta nu este în C. Deci, puteți arăta și că pentru C dat de acest dreptunghi lipsește un punct, nu va avea un minimizator. Și apoi poți să te joci cu asta și să găsești un subset închis care nu este convex și care nu are un minimizator unic. Deci aceste condiții sunt necesare pentru ca această teoremă să fie valabilă. Nu sunt doar eu să vă ofer o teoremă mai mică sau o teoremă cu presupuneri care sunt mult mai puternice decât aveți nevoie. OK, deci care este dovada? Deci, acest infimum - deci permiteți-mi să-mi amintesc foarte repede că - deci ceva, să spunem a, este egal cu infiumul unei mulțimi S, unde S este o submulțime a numerelor reale dacă și numai dacă două lucruri - a este o limită inferioară pentru S și există o secvență Sn în S astfel încât Sn converge către a. Deci acest lucru ar fi trebuit să fie acoperit în 18.100. Deci, să sunăm acest număr d. Deci, să fie d infimumul lui u, despre care știm că există, deoarece normele sunt mărginite mai jos de 0. Deci acest set de norme în care u se întinde peste C este mărginit mai jos de 0, deci infimumul există. OK, deci să fie asta. Atunci există o secvență un de elemente în C astfel încât normele acestor un converg către d. Deci acum susțin că această secvență - deci ceea ce încercăm să facem este să venim cu un element în C care să realizeze acest d, astfel încât norma lui v să fie egală cu acest d. Deci acum susțin că această secvență este, de fapt, Cauchy. Și veți vedea cum folosim structura spațiului Hilbert a-- sau structura produsului interioară care vine cu spațiul Hilbert. Așa că vom face asta în mod veche. Fie epsilonul să fie pozitiv. Acum trebuie să găsim un N capital, astfel încât diferența dintre un și um mai mică decât epsilon în normă pentru toate n și m mai mare sau egală cu capital N. Deci, deoarece norma un este convergentă către d, există un număr natural N astfel încât pentru toți n mai mari sau egali cu N, am că 2 un pătrat este mai mic de 2 d pătrat plus epsilon pătrat peste 2. Deci acest lucru aici converge la de 2 ori d pătrat pe măsură ce n merge la infinit. Deci, dacă perturb 2 d pătrat cu puțin, atunci deoarece acesta converge la 2 d pătrat, va fi mai puțin decât acesta pentru insuficient de mare. Acum, susțin că acest N capital funcționează. Și pentru toți nm mai mari sau egali cu capitalul N, dacă iau norma... acum, voi folosi această lege a paralelogramului pe care o am pentru norme, care se bazează în mod esențial pe proprietatea spațiului Hilbert. Deci asta pot scrie ca 2 norm u pătrat plus 2 norm um pătrat minus de 4 ori un plus um peste 2 pătrat. Acum, ce rost mai are? Acum, un plus um împărțit la 2, adică, dacă doriți, t este egal cu 1/2 în condiția C. Acum, deoarece un și um sunt în C, un plus um peste 2 este și în C, nu? Deci acest lucru este în C. Și, prin urmare, norma sa pătrat este mai mare sau egală cu d pătrat. Deci, atunci când este lovit cu un negativ, asta schimbă inegalitatea. Această normă pătrat este mai mică sau egală cu -- sau minus 4 această normă pătrat este mai mică sau egală cu minus 4 d pătrat. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 2 un pătrat plus 2 um pătrat minus 4 d pătrat - din nou, deoarece d este o limită inferioară pentru normele tuturor elementelor din C și acest element este în C. Și acest semn minus se întoarce, în regulă? Și acum, pe baza modului în care am ales capitalul N, am ales-o astfel încât să avem această inegalitate aici. Obțin că acesta este mai puțin de 2 d pătrat plus epsilon pătrat peste 2 din primul plus 2 d pătrat plus epsilon pătrat peste 2 din al doilea și apoi minus d pătrat din ultimul. Și asta este egal cu epsilon pătrat. Deci, pentru toți nm mai mari sau egali cu N majuscul, pătratul norma un minus um este mai mic decât pătratul epsilonului. Și, prin urmare, asta dovedește afirmația că această secvență este Cauchy. Acum, deoarece această secvență este Cauchy și ne aflăm într-un spațiu Hilbert, un spațiu produs interior complet, există o limită astfel încât un converge către v. Acum, C este închis. Deci v este și în H. Deoarece C este închis, conține toate limitele, toate limitele ulterioare. Deci C este închis este echivalent cu pentru fiecare secvență care converge către ceva, acel ceva trebuie să fie în mulțime. v este în C. În cele din urmă, deoarece un converge către v, avem v norma este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de norme ale unului. Și ține minte, de unde am venit cu aceste ONU? Se presupune că ar trebui să fie... normele lor ar trebui să convergă către d. Deci v este un element din C a cărui normă îmi dă d. Acum, există o ultimă afirmație în teoremă că v este unic. Nu pot fi doi dintre ei. Și rezultă dintr-un argument similar pe care l-am susținut aici. Deci ceea ce am arătat până acum este că există un v în C a cărui normă îmi dă d. Acum, susținem că nu poate fi mai mult de unul. Să presupunem că v și v-bar sunt în C și ambele lor norme îmi dau d, acest infimum de norme peste C. Acum, folosesc din nou legea paralelogramului. Obțin acea normă de v minus v-bar pătrat, aceasta este egală cu 2 norm pătrat de v plus norma v-bar pătrat cu un 2-- plus 2-- minus 4 norma v plus v-bar pătrat. Acum, aceasta este egală cu d pătrat. Aceasta este egală cu d pătrat. Deci, aceasta se combină și îmi dă 4 d pătrat minus același lucru. Și din nou, deoarece C este convex în v și v-bar sunt în C - v-bar nu înseamnă conjugat complex. Înseamnă altceva decât v. Deci, deoarece ambele aceste elemente sunt în C, punctul lor de mijloc, adică din nou t este egal cu 1/2 dacă doriți în condiția C pentru această teoremă, aceasta este și în C. Și deoarece d este cea mai mică dintre toate normele, norma pătratului normei trebuie să fie mai mare sau egală cu d pătratul. Și când lovesc un semn minus, asta inversează inegalitatea. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 4 d pătrat minus 4 d pătrat este egal cu 0. Și, prin urmare, această normă pătrat trebuie să fie 0, adică v este v-bar. Acum, această teoremă simplă are consecințe importante pe care le vom obține din ea. Deci prima aplicație a acestei teoreme va fi o modalitate de a descompune întotdeauna un spațiu Hilbert dacă ni se oferă un subspațiu liniar închis, cu care te-ai cam obișnuit dacă lucrezi în Rn sau Cn , dar nu am atins încă pentru spațiile Hilbert. Și există un motiv, pentru că nu aveam încă tehnologia. Dar acum, să discutăm despre ortocomplemente. Deci, să vedem. OK, de fapt am scris-o corect. Când eram la Universitatea din Chicago, mi-am trimis teza consilierului meu. Și avea câteva întrebări despre punctele matematice ale tezei pe care trebuia să le clarific puțin. Acestea nu au fost mari afaceri din punct de vedere matematic. Dar, desigur, de fiecare dată când am primit un e-mail de la consilierul meu cu o întrebare despre teza mea, mi- a lovit frica de Dumnezeu . Dar totul era bine. Totul a fost reparabil. Și apoi ultimul comentariu pe care l-a făcut a fost de aproximativ 50 de ori pe parcursul lucrării de care aveam nevoie să-- sau teza că trebuia să schimb complementul pentru că am continuat să- l scriu compliment cu un I, deci complement însemnând ceea ce nu este acolo. Complimentul este ceva frumos ce spui. Și astfel se fac greșeli uneori. Deci, pentru complementele care ne interesează, avem următoarele. Dacă H este un spațiu Hilbert și W este un liniar-- este un subspațiu, atunci următoarea mulțime, W-perp, care este egală cu mulțimea tuturor u din H care sunt ortogonale cu tot ce este în W -- deci u produsul interior w este egal cu 0 pentru toate w din W-- acesta este un subspațiu liniar închis al lui H. Deci aceasta este prima parte. Dacă subspațiul cu care am început, W, este închis, atunci, de fapt, putem scrie H ca produs direct al-- sau suma directă, îmi pare rău, a lui W și complementul ortogonal. Ce înseamnă acest lucru? Din nou, îmi voi aminti din algebra liniară ce înseamnă asta, adică, permiteți-mi să mă asigur că nu omit nimic. adică pentru tot u din H, există un w unic în W, w-perp în W-perp, mic w, astfel încât u este egal cu w plus w-perp. Așadar, este simplu să arăt că-- așa că pentru a vedea că W-perp este un subspațiu al lui H. Ceea ce trebuie să verific este că combinațiile liniare de elemente ale W-perp rămân în W-perp. Dar acest lucru este oarecum clar. Dacă u produsul interior w1 este egal cu 0 pentru toate u în majuscule W-- nu, nu, nu, invers. Dacă u1 produsul interior w este egal cu 0 pentru toate w în capitalul W și u2 produsul interior w este egal cu 0 pentru toate w în capitalul W, atunci combinația liniară a u1 și u2 va fi ortogonală cu w pentru toate micile w în capitală W. Deci este destul de ușor de înțeles de ce este un subspațiu. Și singurul lucru pe care aceste două subspații îl au în comun este vectorul zero, deoarece dacă am ceva în W și W-perp, atunci trebuie să fie ortogonal cu el însuși. Și una dintre condițiile pe care le avem pentru un produs interior este ca acesta să fie definit pozitiv. Dacă am ceva ortogonal cu sine, trebuie să fie vectorul zero. Deci, de aceea le primim destul de repede. De ce este W-perp... de ce este închis? Aceasta rezultă din continuitatea produsului interior. Deci, pentru a arăta că W-perp este închis, fie un o secvență în W-perp și u în H astfel încât un converge către u. Deci W-perp este închis dacă arătăm că u este, de fapt, în W-perp. Aceasta este condiția ca un subset al unui spațiu metric să fie închis, nu? Este inchis. Adică, există mai multe moduri diferite de a exprima asta. Dar cel mai util este adesea faptul că un subset este închis dacă și numai dacă este închis și întreprinde limite ulterioare. Fiecare limită a unei secvențe este conținută în mulțime. Deci trebuie să verificăm că dacă am o secvență de elemente în W-perp care converg către ceva, atunci acel ceva trebuie să fie în C. Acum, să fie mic w în W majusculă. Atunci produsul interior al acestei limite, u cu w, prin continuitatea produsului interior, deoarece unurile converg către u, acesta este egal cu produsul interior al lui un cu w, luând limita. Și toate acestea sunt 0 pentru toate n. Deci aceasta este egală cu 0. Și, prin urmare, acest produs interior este 0 pentru tot w în capitalul W. Dar aceasta este condiția ca u să fie în W-perp. Astfel, u este închis. Acum, să facem a doua parte. Deci, poate că ar fi trebuit să numere aceste - 1, 2. Deci, aceasta este o dovadă a lui 1. Așa că, acum, suntem la demonstrația afirmației 2. Dacă W este închis, atunci H este egal cu produsul direct al lui W și W-perp. Deci acum, să presupunem că W este închis. Dacă W este doar întregul spațiu Hilbert, atunci în mod clar singurul lucru ortogonal cu totul este vectorul zero. Și avem descompunerea la fel de banal. Deci, să presupunem că w nu este întregul-- nu este întregul spațiu. Așa că acum avem ceva de verificat. Lasă-te în H ia W. Nu-mi amintesc dacă bara oblică inversă merge așa sau așa. Nu mă refer la H modulo W. Adică H elimină setul W. Și hai să definim setul C pare a fi... OK, deci poate se pare că doar te mint că nu trebuie să ai de-a face cu H mod W. Dar, în orice caz, setul real u plus W majuscul, adică setul u plus mic w, mic w în majuscul W. Bine? Deci doar acest set. Acum, susțin că C este-- deci, în primul rând, C este în mod clar nevid. Acesta conține u. Deci nu este gol. Eu susțin că este și închis. Ei bine, mai întâi, să facem ceva mai ușor, că este convex. Este convex, deoarece dacă u plus w1 este în C, u plus w2 este în C. Deci acestea sunt două elemente acum în C. Sunt de forma u plus un element de capital W-- w1, w2 sunt în majusculă W și t este între 0 și 1-- apoi de t ori u plus w1 plus 1 minus t ori u plus w2, aceasta este egală cu t ori u plus 1 minus t ori u doar îmi dă înapoi u plus t w1 plus 1 minus t w2. Și acum, observați că w1 și w2, fac parte din a-- sunt elemente într- o majusculă subspațială W. Și, prin urmare, această combinație liniară a acestora este de asemenea în W. Prin urmare, u plus acest element este în W. C, care sunt toate elementele de forma u plus w pentru w în W majusculă. Deci C este convex. Acum, să arătăm că C este închis. Acum, de ce este C închis? Deci, să presupunem că u plus wn-- deci aceasta este succesiunea de elemente din C. Deci fiecare dintre acestea este în C-- converge către un element-- să-i spunem v în H. Vrem să arătăm că v este în C. Noi Vrei să arătăm că v este în C. Acum, u plus wn convergând spre v implică faptul că wn converge către v minus u. Și din moment ce wn provine dintr- un subspațiu închis, amintiți-vă, acesta este de fapt ceea ce folosim faptul că W este închis. Deci, acest lucru implică din moment ce W este închis v minus u este în W. Și deoarece v este în-- deoarece v minus u este în W, aceasta implică că v este egal cu u plus un element w cu w în W majusculă, adică v este în C. Din nou, capitalul C este mulțimea tuturor elementelor de forma u mic plus ceva din capitalul W. Deci am arătat că dacă avem o succesiune care converge către un element din H, atunci acea limită trebuie să fie în mulțime . Deci C este închis. Bine, așa că lasă-mă să fac acum o imagine a ceea ce se întâmplă. Să ne imaginăm că W, subspațiul W, este... deci imaginați-vă că H este R2 și W este doar axa x. Și tu ești acest vector aici. u plus w este acum linia orizontală care trece prin acest punct. Acesta este tu plus w. Acesta este... să-i spunem C. Acum, avem mulțimea C. Avem W. Am dori să despărțim u într- un element care este paralel cu W și ceva care este perpendicular pe w, nu? Acum, pe baza acestei imagini, ce este... să numim acest element v. Acesta nu este același v de înainte, deci nou v. Am dori ca acest v să fie perpendicular pe C. Și pe baza acestei imagini, ce ar fi satisface? Ar fi elementul lui C de lungime minimă. Deci, așa vom defini v. Sau, dacă doriți, acesta este elementul care este W-perp. Va ajunge să fie partea perpendiculară. Deci, deoarece C este închis și convex, există un element unic v în C, astfel încât norma lui v este egală cu infimumul tuturor elementelor - normele elementelor și C. dar îl voi scrie într-un mod ușor diferit, w în W majusculă a normei u plus w deoarece toate elementele din C vin în acest fel. Deci, acesta este modul în care această normă a lui v este... sau felul în care acest infimum poate fi scris. Așa că am identificat un candidat pentru piesa care va fi ortogonală. Și apoi pur și simplu, u minus v va fi partea care este în C, sperăm. Și hai să verificăm asta. Deci pretinde . Deci, mai întâi, să remarcăm un lucru simplu, rețineți că v în C implică faptul că u minus v este în W. v are forma u plus mic w. Deci u minus care trebuie să fie un element al lui W. Și avem că u este egal cu u minus v plus v. Deci acesta ar fi elementul lui w. Și sperăm să arătăm că acest element este în W-perp. OK, așa că acum, susținem că micuța w este în majusculă W-perp. Acum, cum facem acest lucru este ceea ce se numește, cred, un argument variațional sau argument al ecuațiilor Euler-Lagrange . Dar, în orice caz, ceva este infimumul acestui dacă și numai dacă v satisface anumite ecuații -- sau nu dacă nu numai dacă, dar v fiind infimumul acestui implică faptul că v satisface anumite ecuații. Dacă ați luat mecanica clasică, acele ecuații ajung să fie ecuațiile Euler-Lagrange. Dar oricum, susțin că v este în W-perp. Deci să fie w în W majusculă. Vrem să arătăm v produsul interior w egal cu 0. Fie f din t norma pentru u-- norma pentru, scuze, v plus tw pătrat, care este doar un polinom în t. Aceasta este egală cu norma v pătrat plus t pătrat norma w pătrat plus 2 parte reală din 2t parte reală vw. Deci este doar un polinom. Acum, ce știm? Deci, f din t are un minim la t este egal cu 0, deoarece pentru fiecare t, acesta este un element al capitalului C. Și norma a tot ce este capitală C este minimizată exact la v, care este t egal cu 0. Deci, acesta are un minim la t este 0, ceea ce implică f-prim evaluat la t egal cu 0 este 0. Și, prin urmare, dacă iau derivata lui f-prim a lui t și setez t egal cu 0, atunci aleg doar de două ori partea reală a lui vw egalând cu 0. Și, prin urmare, obțin că partea reală a lui vw este egală cu 0. Așa că am înțeles că partea reală a produsului interior este 0. Acum, nu este... deci ceea ce putem face este să repetăm argumentul anterior cu iw, i ori w în loc de w pentru a obține că partea reală a lui v produs interior iw, care este egală, de fapt, partea imaginară a lui vw, este egală cu 0. Și, prin urmare, produsul interior al lui v cu w este 0, deoarece partea sa reală și partea imaginară sunt egale cu 0. Și, prin urmare, vw este egal cu 0 și v este în complementul ortogonal. Și astfel v este în complementul ortogonal și u poate fi scris ca ceva în W plus ceva în W-perp. Acum, de ce este asta? Deci, să luăm doar două secunde pentru a spune de ce această descompunere este unică. Este unic pentru că singurul lucru pe care cele două subspații îl au în comun este vectorul zero. OK, deci dacă am u este egal cu două descompuneri diferite-- w1 plus w1-perp este egal cu w2 plus w2-perp, unde fiecare dintre acestea este în W majusculă, fiecare dintre acestea este în complementul ortogonal a capitalului W-- I nu am spus-- de fapt, asta este terminologia pe care o folosesc, dar w-perp voi numi complement ortogonal-- atunci asta implică că w2 minus w1 este egal cu w1-perp minus w2-perp. Și acesta este în W. Acesta este în W-perp. Și prin urmare, deoarece singurul lucru din W și W-perp este 0, asta implică că partea stângă și dreaptă trebuie să fie 0. Și, prin urmare, w este egal cu w1. w1-perp este egal cu w2-perp. Și asta ne oferă unicitatea descompunerii. Deci este în sarcină... Ar trebui să spun însărcinarea opțională. Dar acest subspațiu, atunci... deci am un subspațiu W. Pot să-i iau complementul ortogonal. Dacă este închis, atunci H este egal cu w plus w-perp. Dar dacă am doar un subspațiu arbitrar și iau complementul lui ortogonal, pot lua apoi complementul ortogonal al acestuia. Eu ce obțin? Ei bine, complementul ortogonal al unei mulțimi este întotdeauna închis. Deci s-ar putea să nu mai recuperez subspațiul real. Dar voi recupera închiderea lui. Deci, închiderea lui W, pe care o puteți verifica este, din nou, un subspațiu, este egală cu complementul ortogonal al complementului ortogonal. Deci, în special, dacă W este închis, atunci complementul ortogonal al complementului ortogonal este din nou mulțimea. Deci, acesta este în subspațiul opțional - în atribuirea opțională din ultima săptămână. În regulă, acum, având în vedere un subspațiu liniar închis, pot defini un operator-- poate că este-- deci să-i spunem doar o hartă deocamdată-- care ia un vector u și scuipă-- să spunem partea care este în majuscule W. Este partea W. Acum, ce fel de operator este acesta? Sau aș fi putut spune că ia un element u și scuipă partea care se află în complementul ortogonal al lui W majuscule. Ce fel de hartă este acea parte? Sau asta e? Deci există un nume foarte special pentru asta. Deci, desigur, în R2, dacă am un element u-- deci să presupunem că W este axa x. W-perp ar fi atunci axa y. Și atunci aceasta ar fi partea care este în W. Acest vector ar fi partea care este în W-perp. Acum, cum se numește asta de obicei, cel puțin revenind la zilele tale de calcul? De obicei, vă referiți la el ca proiecția lui u pe, să spunem, axa x. Dar acel nume are... sau acel cuvânt are un sens foarte specific. Și apoi vom arăta că ceea ce tocmai am discutat - ducându-vă la partea W sau la partea W-perp - este, de fapt, o proiecție. Deci, un operator liniar fondat P care merge de la H la H este o proiecție dacă p pătrat este egal cu P. Deci aceasta este o nouă terminologie. Deci, de exemplu, nu trebuie să arate exact așa sau să provină din acest fel pe care îl descrieam despre obținerea unei hărți de la H la W sau W-perp. Aceasta nu este definiția unei proiecții. Definiția unei proiecții este aceasta. Deci, de exemplu, a duce totul la 0 este cu siguranță o proiecție, la care cred că ați putea crede că proiectați pe subspațiul format doar din 0. Dar ceea ce vreau să spun este că, de fapt, harta pe care tocmai am schițat-o este: de fapt, o proiecție așa cum este definită aici. Deci, fie H un spațiu Hilbert, ca de obicei; W, un subspațiu închis. Deci, prin teorema anterioară, avem H este egal cu suma directă a lui W și complementul său ortogonal. Harta pi sub W care merge de la H la H dată de -- definită de următoarele -- dacă v este egal cu w plus w-perp -- deci iau un element din spațiul Hilbert, îl descompun ca o parte care este în W și ca parte care este în W-perp. Atunci definiția acestei hărți evaluată pe v este doar w. Această hartă este o proiecție. Așadar, trebuie să arătăm că este un operator liniar mărginit și pătratul său vă dă înapoi harta originală. Deci, mai întâi, să arătăm că această hartă este liniară. Deci prima afirmație este că pi este liniar. Deci, dacă am v1 este egal cu w1 plus w1-perp, v2 este egal cu w2 plus w2-perp și am doi scalari -- lambda 1, lambda 2, numere complexe -- atunci lambda 1 ori v1 plus lambda 2 v2 , aceasta este egală cu-- înmulțirea și combinarea, aceasta este egală cu lambda 2 w2 plus lambda 1 w1-perp plus lambda de 2 ori w2-perp. Acum, deoarece w1 și w2 sunt în W, această combinație liniară a acestora este de asemenea în W. Și această parte, de asemenea, deoarece aceasta este în complementul ortogonal al lui W și așa este, combinația lor liniară este și în complementul ortogonal. Deci descompunerea acestei combinații liniare a v1 și v2 este o combinație liniară a descompunerilor. Și, prin urmare, prin modul în care definim această hartă ca partea care este în W, aceasta este egală cu lambda 1 w1 plus lambda 2 w2. Și w1, asta este doar pi sub W. Asta este doar proiecția -- o numesc proiecție, deși nu am demonstrat încă asta -- acest lucru aplicat la v1 și w2 este acest lucru aplicat la v2 prin definiție. Acesta este pi. w2 este pi prin definiție. Deci, acesta este egal cu lambda 1 v1 plus lambda 2 v2. Și, prin urmare, această hartă este liniară. OK, deci este liniar. De ce este mărginit? Deci acum, pi este mărginit la v este egal cu w plus w-perp. w este, din nou, egal cu pi al lui v. Apoi, deoarece aceste două lucruri sunt ortogonale, obțin că norma lui v pătrat este egală cu norma lui w plus w-perp pătrat. Și acum, ce iau? Preiau norma w pătrat plus norma w-perp pătrat plus de 2 ori partea reală a produsului interior al lui w cu w-perp. Dar asta este 0, așa că obțin doar suma normelor. Și acesta este mai mare decât sau egal - sau, deoarece este o sumă a două lucruri nenegative, este mai mare sau egal cu unul dintre ele, care este w pătrat. Sau reformulând, deoarece w este egal cu pi aplicat la v, am spus că acesta este mai mic sau egal cu norma lui v, astfel încât pi este un operator liniar mărginit. De fapt, ceea ce am arătat este că norma sa este mai mică sau egală cu 1. OK și, în sfârșit, ultima piesă pe care trebuie să o verificăm este că pi pătratul este egal cu pi. Dar asta e destul de ușor de verificat. Pur și simplu observăm că dacă v este egal cu w plus w-perp, atunci trebuie să verific dacă obțin din nou pi w din v. Deci aceasta este egală cu partea din aceasta care este în w. Acum, acesta este egal cu w, mic w. Și din nou, aceasta alege partea din elementul de aici care este în W majusculă. Dar aceasta este în W majusculă. Deci, aceasta este egală cu w. Și acesta este, prin definiție din nou, egal cu pi din v. Deci am arătat că pi pătratul lui v este egal cu pi din v. OK, deci vom face o ultimă aplicație a minimizatorilor, care este probabil cea mai importantă aplicație, care s-ar putea dovedi pentru spații Hilbert separabile pe baza a ceea ce știm și am făcut până acum. Dar această demonstrație funcționează și pentru spații Hilbert neseparabile. Și OK, deci care este această teoremă la care mă refer? Este probabil una dintre cele mai importante teoreme din toată această afacere. Este teorema reprezentării Riesz. OK, deci singura teorie a categoriilor pe care o cunosc este teorema categoriei Baire. Singura teorie a reprezentării pe care mi-o amintesc este teorema reprezentării Riesz , care ne spune că putem identifica un spațiu Hilbert, dualul unui spațiu Hilbert cu spațiul Hilbert însuși. Deci, dacă H este un spațiu Hilbert, atunci pentru tot f din dual, există un element unic v în H astfel încât f din u-- deci acesta este un element din dual, adică duce u la un număr complex -- și este liniar în u, îl puteți scrie ca u produs interior cu acest element v Bine, astfel încât fiecare element al dualului poate fi realizat ca produs interior cu un vector. Acum, am văzut asta într-o anumită formă deja în, cred, poate a fost prima sau a doua sarcină când ați calculat-- sau ați dovedit că spațiul dual al micului lp este un mic lq, unde 1 peste p plus 1 peste q este egal cu 1. Când p este egal cu 2, q este 2. Deci ați văzut că spațiul dual ar putea fi identificat cu el însuși atunci când ne uităm la micul l2, care este singurul spațiu Hilbert dintre toate micile lp. Și amintiți-vă, cum am demonstrat că mic lq a fost dual cu mic lp a fost prin împerechere între cele două, care în mod specific a fost suma secvențelor înmulțite intrare cu intrare. Și acum, așa că această teoremă spune că nu a fost o întâmplare. Acest lucru este, de fapt, adevărat pentru fiecare spațiu Hilbert, că dualul poate fi identificat cu spațiul însuși în acest mod canonic, unde fiecare element al dualului poate fi realizat ca luând produsul interior cu un vector. Deci, pentru dovadă, deci, în primul rând, observăm că v este unic. Dacă un astfel de v există, este unic, deoarece dacă f din u este egal cu u, produsul interior v este egal cu u, produsul interior v-tilde pentru tot u implică că u produsul interior v minus v-tilde este egal cu 0 pentru tot u din H, care, punând u egal cu v minus v-tilde, îmi spune v este egal cu v-tilde. În regulă, deci tot ce trebuie să facem este să venim cu... dat un element al dualului, să venim cu un vector care de fiecare dată când bag un u în vectorul dual, să fie egal cu acest produs interior. OK, deci cel mai ușor caz de tratat este, desigur, f egal cu 0. Cu alte cuvinte, mapează u la 0 indiferent de ce u este. Alegem doar acest vector care-- alegem doar acest vector v să fie 0. Atunci vom avea întotdeauna f din u egal cu u produsul interior cu vectorul 0. Deci, să presupunem că acum f nu este egal cu 0. Atunci există, să spunem, un u1 în H astfel încât f din u1 să nu fie egal cu 0. Atunci, dacă consider că u0 este u1 peste f din u1, aceasta implică faptul că f din u0 este egal 1. OK, deci acum, să fie C e mulțimea tuturor elementelor u din H care îmi dau 1 când îl înfig în F. Acum, acest set nu este gol, pentru că tocmai ți-am dat un element pe care când îl lipesc în f îmi dă 1. Deci, acesta este nevid. Și ce este asta? De fapt, aceasta este imaginea inversă a singletonului din setul de numere complexe. Acum, un singleton este un set închis. f este o funcție continuă, nu? Un element al dualului este o hartă liniară mărginită -- sau o hartă liniară mărginită de la spațiul Hilbert la numerele complexe. Și, prin urmare, este continuă. Deci imaginea inversă printr- o funcție continuă a unei mulțimi închise este închisă. Deci și acesta este închis. Deci C este acela, care este un subset închis non-vid al lui H. Puteți vedea unde se duce acest lucru. Acum, să verificăm dacă C este convex. Scrisul este un pic cam deformat. Acum, dacă u1, u2 sunt în C, t este în 0, 1, atunci f de t ori u1 plus 1 minus t u2, aceasta este egală cu -- acum, f este liniară. Deci aceasta este egală cu t ori f din u1 plus 1 minus t f din u2. Acum, acesta este egal cu 1. Este egal cu 1. Deci primesc 1. Deci C este și convex. Acum, puteți vedea cum merge dovada . Dar am putea ghici că... dacă te uiți doar la dovezi, de ce fac asta? Ei bine, de fapt, aproape vectorul minim, sau vectorul cu lungimea cea mai mică, va fi vectorul care satisface acea inegalitate. Deci, deoarece C este o mulțime închisă, convexă, nevidă, există un v0 în C astfel încât v0 este egal cu inf al, să spunem, u în C astfel încât - deci ne uităm la norma u . Deci, fie v egal cu norma v0 peste norma pătratului v0. Deci, mai întâi, rețineți că v0 nu poate fi 0, nu? Dacă v0 este 0, atunci f din v0 este egal cu 0. Dar v0 este în C. f din v0 trebuie să fie 1. Deci v0 este diferit de zero. Și susțin că acest v face treabă. Pentru toate-- OK, am folosit u pentru a desemna elemente în C. Dar pretind-- voi scrie doar face o treabă-- adică pentru toate u în H majusculă, f din u este egal cu produsul interior u cu v. În regulă, pentru a vedea că, fie N spațiul nul al lui f, mulțimea tuturor vectorilor care sunt trimiși la numărul 0. Deci aceasta este o mulțime a tuturor w în H astfel încât f din w este egal cu 0. Acesta este un subspațiu liniar închis al lui N-- Adică al lui h. Atunci nu este prea greu să te convingi că pot scrie C ca, de fapt, v0 plus w, unde w este în acest subspațiu. Și ce este v0? Din nou, v0 este infimumul normelor tuturor acestor tipi. Deci este egal cu infimumul peste, dacă scriu C în acest fel, w în norma N v0 plus w. Bine, de ce fac asta? Din cauza argumentului pe care l-am dat acum un minut, pot concluziona că v0 este ortogonal cu tot ce este în n. Deci, prin argumentul anterior, vreau să spun, uită-te înapoi la... este acolo sus sau... nu, era pe această placă și l-am șters. Dar unde definim această funcție f a lui t egală cu-- în acest caz, ar fi v0 plus t w pătrat. Deoarece acesta are un minim la t egal cu 0, concluzionăm că v0 este ortogonal cu W. Deci, prin argumentul anterior pentru când am arătat că H poate fi scris ca W plus ortogonalul său - suma directă a unui subspațiu liniar închis și ortogonalul său. completa. Deci, prin argumentul anterior din această demonstrație, putem arăta că v0 este un element al complementului ortogonal al lui N, mulțimea tuturor vectorilor care sunt trimiși la 0. Acum, aproape am terminat. Deci să fie u în H. Vreau să arăt că f din u este egal cu v produsul interior u. Aveam nevoie doar de acel pic de fapt acolo. Deci, amintiți-vă, atunci dacă mă uit la f din u minus f din u v0, aceasta este egală cu - deci f este liniară, vă amintiți? Deci ies scalari. Acesta este doar un număr complex. Deci aceasta este egală cu f din u minus f din u f din v0. Acesta este egal cu 0, nu? Și, prin urmare, u, care este egal cu u minus f din u v0 plus f din u v0-- acum, acest lucru aici, pentru că f aplicat lui îmi dă 0, acesta este în N. Și acesta este în, amintiți-vă din nou, N-perp, deși nu voi folosi asta în mod special. Voi folosi faptul că v0 produsul interior cu totul de la N este 0. Și, prin urmare, dacă iau produsul interior al lui u cu v-- amintiți-vă, v a fost v0 peste v0 pătrat-- acesta este egal cu u 1 peste v0 produs interior pătrat u v0. Acesta este egal cu 1 peste norma v0 pătrat. Acum, din nou, acest element este în N. Deci, când iau produsul interior al acestei linii cu v0, când v0 lovește acest lucru, primesc 0 pentru că este în N. Deci, dacă doriți, numiți asta -- așa că numiți acest lucru w , care este în N. Deci, acesta este egal cu produsul interior w v0 plus f al produsului intern v0 u v0. Și din nou, acest lucru este în N. v0 este în complementul ortogonal al lui N. Deci acest produs interior este de 0 ori f de u ori v0 produsul interior cu el însuși este norma la pătrat. Și mă înțeleg de tine. Așadar, am găsit un vector, și anume acest anumit minimizator pe lungimea sa pătrat, astfel încât f din u este egal cu u produsul interior cu acest vector pentru tot u din H. Și asta completează demonstrația teoremei reprezentării Riesz . Acum, data viitoare, vom vorbi despre adjuncții, pe care i-ați avut într-o misiune la un moment dat când vorbeam despre... Cred că am definit adjunctul pentru un spațiu general Banach. Deci, dacă aveți o hartă, să spunem, dintr-un spațiu Banach la sine, atunci definim adjunctul, într-un anumit fel, să fie acum o hartă liniară care merge de la spațiul dual la spațiul dual. Acum, în cazul unui spațiu Hilbert, spațiul dual este egal cu spațiul însuși. Deci adjunctul pentru un spațiu Hilbert va fi o hartă, din nou, de la spațiu la el însuși. Și va satisface o anumită identitate. Și vom vedea legătura dintre adjuncți și ce are aceasta de-a face atunci când o hartă este-- sau un operator liniar mărginit este pe. Deci, adjuncții apar acum când încercăm să rezolvăm ecuații pe spații Hilbert. Proprietățile adjunctului ne pot spune când ne putem rezolva întotdeauna ecuația. Și nu numai atât, vor ajunge -- sunt analogul transpunerii pe care sperăm că l-ați văzut. Poate că s-a referit și la adjunctul în algebra liniară pe dimensiuni finite. Și așa este cu mult înainte. Dar, să sperăm, ceea ce ați demonstrat în algebra liniară și dimensiunile finite a fost teorema spectrală, care spune că, dacă aveți o matrice care este egală cu adjunctul ei -- mai general, că este normal, că comută cu acest adjunct -- atunci -- iar pentru dimensiuni finite, adjunctul unei matrice a fost schimbat între intrările, comuta i și j și ia conjugatul complex. Dacă aceasta este din nou egală cu matricea, atunci ceea ce puteți concluziona, afirmația teoremei spectrale este că puteți găsi o bază ortonormală a lui Cn, să zicem, sau Rn, care diagonalizează matricea. Și vom vedea că așa ceva este valabil și în setarea spațiului Hilbert, dar nu este atât de simplu ca valorile proprii -- deoarece diagonalizarea pur și simplu nu înseamnă un număr finit de valori proprii. Și vom analiza mai multe despre... Voi intra mai mult în asta când vom ajunge la asta. Bine, ne oprim aici deocamdată.