CASEY RODRIGUEZ: Deci ultima dată am terminat prin a demonstra teorema valorii intermediare a lui Bolzano , care afirmă că o funcție continuă atinge toate valorile între funcția evaluată la punctul final. Deci, dacă am o funcție continuă, nici-- iau o valoare y între f din a și f din b, deci fie f din a este mai mică decât f din b și y este mai mare decât f din a și mai mică decât f din b, sau f din a este mai mare decât f din b, dar y este încă între ele. Atunci există c în intervalul a, b astfel încât f din c să fie egal cu y. Deci, fiecare valoare între f evaluată la punctele finale este atinsă. Am desenat imaginea care merge împreună cu acest a, b, f din a, f din b și care ar putea fi - și dacă luăm ceva între ele, atunci trebuie să existe un c, astfel încât f din c să fie egal cu y. Cel puțin în imagine, am desenat că sunt trei tipi diferiți, dar întotdeauna există cel puțin unul. Și apoi ultimul lucru despre care am vorbit la sfârșitul ultimei prelegeri a fost că imaginea unui interval închis și mărginit de o funcție continuă este, din nou, un interval închis și mărginit , unde e corespunde maximului absolut al lui f și f. corespunde astfel încât-- nu ar trebui să-l numesc f, deoarece avem deja f folosit-- să-l facem d-- corespunde minului absolut al lui f. Deci, ceea ce am demonstrat data trecută este că dacă f este continuă, atunci există e, d și r, astfel încât intervalul acestui interval închis și mărginit este, din nou, un interval închis și mărginit. Deci f se comportă foarte bine pe intervale închise și mărginite. Și vom vedea un alt mod în care funcțiile continue se comportă bine pe un interval închis și mărginit în doar o secundă. Acum, o simplă aplicare a teoremei valorii intermediare Bolzano este următoarea - într-adevăr este o aplicație a acelei teoreme pe care am numit-o metoda bisecției. Dar să punem asta la teorema valorii intermediare de la Bolzano , care este următoarea că, dacă f din x este orice polinom impar, atunci f are cel puțin o rădăcină reală. Deci orice polinom impar are cel puțin o rădăcină reală. Deci, după teorema fundamentală a algebrei, fiecare polinom are exact n rădăcini, n corespunzătoare gradului polinomului, dar aceste rădăcini pot fi evaluate în complex. Dar pentru polinoamele impare, trebuie să existe cel puțin o rădăcină reală, iar aceasta este o consecință a teoremei valorii intermediare de la Bolzano . Dar în loc să demonstrez această teoremă în întreaga sa generalitate, permiteți-mi să vă dau doar un exemplu reprezentativ. Deci, să luăm f din x este egal cu x la 2021 minus x la 2020 plus-- Nu știu. Ce este azi? Cred că 25 sau 24. Nu știu. --1025x minus 300. Deci, ce rost are? Atâta timp cât conectez un x suficient de mare, asta va învălui totul aici. Deci, de exemplu, dacă rămân în f de 100.000, vă las pe dumneavoastră să verificați dacă acest lucru este pozitiv, deoarece acesta va fi 100.000 la 2020 minus 100.000 la 2021 și apoi plus acest lucru, care va fi pozitiv minus 300. Asta nu contează. Deci, ceea ce contează cu adevărat este că tipul ăsta cu cea mai mare putere îi va învălui pe toți ceilalți și, în cele din urmă, va fi pozitiv dacă păstrez o valoare pozitivă suficient de mare. De fapt, pentru acest tip, dacă rămân într-o valoare negativă, atunci primesc ceva foarte mare, dar acum cu un semn minus, care îi va acoperi din nou pe toți acești băieți mai devreme. De fapt, nu trebuie să aleg minus 100.000. Dacă rămân doar în 0, voi obține minus 300, care va fi negativ. Dar puteți verifica că dacă rămân în minus 100.000, acesta va fi în continuare negativ. Astfel, după teorema valorii intermediare, există un c în 100.000, astfel încât f din c este egal cu 0 deoarece 0 este ceva între f evaluat la aceste două puncte finale. Și ideea este aceeași este că atâta timp cât mergi suficient de departe și pozitiv, atunci polinomul va fi pozitiv dacă coeficientul din față este pozitiv; și dacă mergi suficient de departe negativ, atunci vei obține ceva care este negativ. Și apoi aplicați teorema valorii intermediare pentru a putea găsi o rădăcină. Acum, desigur, un alt lucru pe care l-am făcut cu afirmația teoremei min-max a fost, putem renunța la oricare dintre ipotezele acestei teoreme? Și puteți vedea că exemplul este nu. Deci întrebarea este, dacă f dintr- un interval închis și mărginit nu este continuă și, să spunem, f din 0 este mai mică decât 0, f din a, f din b este mai mare decât 0, atunci există c, a, b , astfel încât f din c este egal cu 0? Permiteți-mi să pun acel semn de întrebare la sfârșit. Și este ușor să venim cu un exemplu de funcție care nu este continuă care să satisfacă aceste concluzii și nu există un punct între ele astfel încât f din c să fie egal cu 0. Cel mai simplu fiind, voi face doar o imagine. Să trecem de la minus 1, 2. Deci, funcția este f de x egal cu x minus 1. Și aceasta este pentru x nu este egal cu 1 și să o facem 1/2 acolo. Deci această funcție arată ca 1/2 acolo. Deci nu există valoare, nu există c între ele. Deci x este între 0 și 2. Deci vedeți că f de 0 este egal cu minus 1, asta este negativ; f din 2 este egal cu 1, este pozitiv; dar nu există c între ele, astfel încât f din c este egal cu 0. Deci, care este ideea pe care o spun? Chiar avem nevoie de această ipoteză că funcția este continuă pentru ca această teoremă să fie adevărată. Dacă renunți la acea ipoteză, atunci teorema nu mai este adevărată. Deci acum vom trece la un nou concept numit continuitate uniformă. Și înainte de a face asta, voi rescrie definiția continuității. Deci aceasta este o definiție veche, dar vreau să subliniez un aspect specific al acesteia. Deci, eu scriu din nou definiția unei funcții continue. Deci funcția f de la o mulțime s la r este continuă. Deci am spus că asta înseamnă că este continuă în fiecare punct, adică dacă pentru toate c și s, este continuă la c, ceea ce înseamnă că pentru toate epsilonul pozitiv, există o deltă. Și am văzut asta în exemplele pe care le-am făcut, dovedind continuitatea. Acest lucru depinde de obicei de epsilon și c, punctul în care mă uit, astfel încât pentru toate x și s, x minus c mai mic decât delta implică faptul că f din x minus f din c este mai mic decât epsilon. Deci, aceasta este, din nou, o mică revizuire. Dar vreau doar să vă arăt că, în general, atunci când verificăm că o funcție este continuă pe o mulțime, trebuie să arătăm că este continuă în fiecare punct al mulțimii. Și asta înseamnă că pentru fiecare epsilon, există delta. Dar această deltă depinde de obicei de epsilon, dar poate depinde și de punctul c, care este locul în care verificăm continuitatea. Deci, de exemplu simplu, să luăm f din x egal cu 1 peste x pe intervalul deschis 0, 1. Așa că susțin că f din x este egal cu 1 peste x este continuă. Deci dovada trebuie să arătăm că pentru fiecare c și 0, 1 pentru tot epsilon, există asta. Deci, să vedem b și 0, 1, dar epsilonul să fie pozitiv. Din nou, de la acest tip de recenzie, nu voi trece prin procesul de gândire din spatele alegerii acestei delte. Adică, există calcule pe care le faci în lateral pentru a încerca să obții această deltă. Dar să alegem delta să fie minimul de c peste 2 și c pătrat peste 2 ori epsilon. Deci, ceea ce vreau să subliniez din nou este că această deltă depinde de c, punctul la care ne uităm și de epsilon. Așa că susțin că această deltă funcționează. Să presupunem că x este în 0, 1 și x minus c este mai mic decât delta. Atunci valoarea absolută a lui x, aceasta este prin inegalitatea triunghiului. Lasă-mă să scriu așa. c valoarea absolută este egală cu c minus x plus x, care este mai mică sau egală cu c minus x plus x, care este mai mică decât delta, care este mai mică sau egală cu minimul acestor două. Deci este cu siguranță mai mic sau egal cu c peste 2 plus x. Și acum c și x, acestea sunt în 0, 1, deci toate sunt pozitive și, prin urmare, înțeleg că... Să trecem la următoarea tablă. Deci, dacă scad c peste 2 pe cealaltă parte, obțin că c peste 2 este mai mic decât x. Deci, aceasta este atâta timp cât x este în 0 și x minus c este mai mic decât delta. Acest lucru nu ar trebui să fie un șoc. Există 0, 1, c, c peste 2 3c peste 2. Și deci, dacă x este în acest interval, cu siguranță este delimitat de c peste 2. Sau dacă x este aici, atunci x este cu siguranță mai mare decât c peste 2. Și acum ne uităm la f din x minus f din c. Acesta este egal cu 1 peste x minus 1 peste c este egal cu c minus x peste x ori c, care este mai mic decât delta peste x ori c. Și acum x este mai mare decât c peste 2, așa că dacă iau 1 peste asta, primesc 1 peste x este mai puțin de 2 peste c. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 2 delta peste c pătrat, iar delta este minimul de acum c peste 2 și c pătrat peste 2 ori epsilon. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 2 peste c pătrat ori c pătrat peste 2 epsilon este egal cu epsilon. Așa că tocmai am trecut prin demonstrația continuității pentru 1 peste x, pe care, folosind mașini mai bune, am fi putut-o dovedi. Dar am făcut acest lucru pentru a evidenția acest punct care arată continuitatea lui 1 peste x pe 0, 1, că, arătând asta, această deltă pe care o alegeți depinde de punctul pe care îl priviți. Deci, ceea ce spune definiția continuității este pentru toate c, pentru toate epsilonul, puteți găsi o deltă în funcție de epsilon și c. Acum, continuitatea uniformă înlătură acea necesitate a deltei în funcție de c. Și voi face o analogie posibil proastă în doar un minut, dar mai întâi permiteți-mi să notez definiția continuității uniforme. Fie s submulțimea lui r, f mergând de la s la r. Spunem că f este uniform continuu pe s dacă pentru toate epsilonul pozitiv, există o delta care depinde numai de epsilon, astfel încât, unde toate x, c și s, cu x minus c mai mic decât delta, obținem că f de x minus f de c este mai mic decât epsilon. Deci o funcție fiind continuă înseamnă că pentru toate epsilonul poți găsi delta în funcție de unul dintre aceste puncte, în funcție de c, astfel încât dacă am avut asta, atunci am asta. Continuitatea uniformă spune că puteți găsi delta care funcționează peste tot. Așa că o să încerc să fac o analogie pe care sper să nu trebuie să o iau din această prelegere. Dar e cam așa. Să facem o excursie pe calea memoriei și să ne imaginăm că suntem la o petrecere. Așa că știi că toată lumea este la petrecere și să spunem că toată lumea poate auzi, urechile lor funcționează cam la fel, iar scopul este să încercăm să înțelegem conversația celuilalt, să încercăm să auzim conversațiile. Acum, pentru ca eu să aud conversația acestei persoane, în funcție de cât de tare vorbește, trebuie să fiu suficient de aproape pentru a putea să o aud. Și asta se schimbă de la o persoană la alta din cameră. Poate pot sta la un picior de această persoană de aici. Poate că această persoană de aici este un vorbitor slab și trebuie să fiu aproape sus în fața lor pentru a putea să-i aud. Poate că acea persoană doar șoptește și trebuie să fiu aproape nas la nas pentru a putea să-i aud. Este un pic ca o funcție care este continuă. Pragul de auzire a ceea ce spun ei este epsilonul și trebuie să-mi schimb delta în funcție de punctul în care mă aflu pentru a le putea auzi. Acum, continuitatea uniformă, este ca și cum toți vorbesc mai mult sau mai puțin la același nivel, vorbesc la aceeași voce. Așa că pot să mă aflu, să zicem, la un picior de toată lumea și să-i pot înțelege. Du-te la această persoană dacă mă aflu la un picior, le aud bine. Dacă mă duc la această persoană și într-un picior o pot auzi bine și așa mai departe. Deci, aceasta este cel puțin o analogie liberă a diferenței dintre continuitate și continuitate uniformă. Deci aceasta este o definiție destul de interesantă. Așa că ar trebui să vedem exemple și să le respingem. În primul rând, ar trebui să vă puteți convinge că o funcție care este uniform continuă este de fapt continuă. Nu voi scrie dovada asta. Rezultă în esență direct din definiție. Dar să ne uităm la o funcție, care este uniform continuă. Deci funcția f a lui x este egală cu x pătrat pe intervalul 0, 1 este uniform continuă. Deci care este dovada? Vreau să observați că voi folosi într-un mod foarte esențial că ne aflăm în acest interval închis și mărginit. Așa că trebuie să arătăm că pentru fiecare epsilon, există o deltă, astfel încât indiferent de ce două puncte-- Deci, dacă doriți, iată o imagine care merge împreună cu asta-- astfel încât dacă mă uit la poate două puncte care sunt apropiate unul față de celălalt mai puțin decât delta, valoarea funcției lor este în epsilon. Și deci să presupunem că sunt pe un interval a, b. Dar nu doar acest punct, aș putea trece aici la alte două puncte care sunt în deltă unul față de celălalt. Și dacă mă uit la funcția evaluată în cele două puncte, atunci diferența dintre acești doi tipi este, de asemenea, mai mică decât epsilon. Așa că pot trece prin petrecere și atâta timp cât sunt suficient de aproape, la o distanță uniformă de cineva, îi pot auzi foarte bine. Așadar, ce călătorie frumoasă pe calea memoriei când am putea fi în preajma altor oameni. Deci, să arătăm că această funcție este uniform continuă. Fie epsilonul să fie pozitiv. Alegeți delta să fie epsilon peste 2. Acum, vedeți că această delta depinde doar de epsilon, atunci dacă x și c sunt în 0, 1 și x minus c este mai mic decât delta, atunci dacă calculez diferența, x pătrat minus c la pătrat, pot scrie ca x plus c ori x minus c. Și acum folosesc inegalitatea triunghiului, aceasta este mai mică sau egală cu x minus c. Acum, acești băieți sunt în 0, 1, deci valorile lor absolute sunt întotdeauna mărginite de 1. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 1 plus 1, iar apoi x minus c este mărginit de delta, care este egal cu 2 ori delta, iar delta este ales să fie epsilon peste 2. Deci primesc epsilon. Acum, din nou, cum ai alege delta? Deci se pare că tocmai am ales această deltă din senin. În practică, cum alegi delta? Acesta este calculul pe care îl faceți. Luați x pătrat minus c pătrat, împărțiți-l, aveți asta. Puteți estima cu ceea ce știți mai sus de 2 ori delta. Deci, cum alegi delta astfel încât de 2 ori delta să fie, să zicem, egal cu epsilon? Alegeți delta să fie epsilon peste 2. Așa că să negăm această definiție și apoi să ne uităm încă o dată la 1 peste x și să verificăm dacă este uniform continuu. Vom arăta că nu este. Deci negația f de la s la r nu este uniform continuă. Așa că am văzut un pic din noul film Borat care a apărut. Așa că aproape că am vrut să spun f este uniform continuu. Nu. Dar nu am făcut-o. Nu este uniform continuu. Și acum anulați restul definiției. Dacă există un epsilon prost, astfel încât indiferent ce deltă alegeți, există unele x și c și s proaste, astfel încât acestea să fie aproape unul de celălalt, dar valorile nu sunt mai mari sau egale cu. Deci, să revedem 1 peste x. Aceasta nu este uniform continuă pe intervalul deschis 0, 1. Deci vedeți că această funcție este continuă, dar nu este uniform continuă. Tocmai am demonstrat că acum un minut că este continuu. Deci, permiteți-mi acum să vă dau dovada că această funcție nu este uniform continuă. Și care este ideea din spatele asta? Iată una. Aceasta nu este la scară, dar există și una, iar 1 peste x crește până la plus infinit pe măsură ce x se apropie de 0. Deci ceea ce spune continuitatea uniformă este că dacă iau oricare două puncte din interval care sunt aproape unul de celălalt, atunci ieșirile trebuie să fie aproape una de alta. Continuitatea, amintiți-vă, spune că dacă repar un punct, atunci atâta timp cât sunt aproape de acel punct, ieșirile vor fi aproape una de alta. Uniform spune, indiferent de ce două puncte alegeți, atâta timp cât sunt apropiate, ieșirile vor fi apropiate într-un mod controlat. Acum, dacă iau două puncte foarte aproape unul de celălalt aici, foarte aproape de 0, pot fi destul de aproape unul de celălalt. Adică, valorile lor pot fi destul de mari. Chiar dacă diferența dintre argumente este mică, valorile pot fi destul de mari doar pentru că 1 peste x crește. Deci, să cuantificăm asta. Trebuie să vă spun ce nu este epsilonul rău. Alegeți epsilon nu este egal cu 2. Acum, orice epsilon nu va funcționa bine. Lasă delta să fie pozitivă. Deci acum trebuie să găsim x și c și s în distanța delta unul față de celălalt ale căror valori variază cu cel puțin două. Deci haideți să alegem c ca să fie minimul de delta și 1/2, iar eu voi alege x ca să fie c peste 2. Deci ignorând această jumătate pentru un minut, c este egal cu delta, x este egal cu delta peste 2, iar apoi 1 peste c minus 1 peste x va fi 2 peste delta. Și dacă delta este foarte mică, cu siguranță este mai mare sau egală cu 2. Dar a trebuit să introduc această 1/2 aici pentru că am ales ca epsilon să nu fie 2, iar delta este arbitrară. Așadar, vedem că x minus c, acesta este egal cu c peste 2, care este cu siguranță mai mic sau egal cu deoarece c este minimul delta și 1 peste 1/2 este mai mic decât delta peste 2, care este mai mic decât delta. Și dacă calculăm 1 peste x minus 1 peste c, acesta este -- reține că x este c peste 2, deci acest 1 peste x este 2 peste c, deci 1 peste c. Și acum, de la c fiind mai mic sau egal cu 1 peste 1/2m, obțin că 1 peste c va fi mai mare sau egal cu 2. Și acesta este sfârșitul dovezii. Deci vedem că, deși aceste două argumente sunt foarte apropiate unul de celălalt, ieșirile sunt, de fapt, separate de o anumită distanță fixă. Cel putin doua. Dar am putea să-l facem mai mare decât 3, mai mare decât 4, orice vrei. Și nu voi trece peste acest exemplu. Dar, de fapt, vă las pe voi sau poate o voi pune în sarcină, f din x este egal cu x pătrat nu este uniform continuu pe r. Deci am văzut că este uniform continuu pe un interval închis 0, 1, dar nu este uniform continuu pe tot r. Motivul este din nou pentru că x pătrat începe să devină mare. Așa că pot lua două lucruri aproape unul de celălalt, le pot lipi în x pătrat, iar rezultatele lor ar putea fi foarte diferite una de cealaltă. Nu am scris dovada acesteia, așa că o să trecem puțin pe lângă scaunul pantalonilor noștri. Deci vrem să arătăm că acest lucru nu este uniform continuu. Deci cred că epsilon 0 este egal cu 1 va funcționa foarte bine. Fie delta pozitivă, iar ideea este că vrem să alegem x să fie un număr. Să-i spunem un plus - ei bine, c va fi un număr și c este un număr, x este egal cu c plus delta peste 2. Deci, acesta este un fel de lucru de zgârietură în lateral. Și să vedem dacă putem alege cumva c. Deci, în primul rând, x minus c va fi delta peste 2, ceea ce este mai mic decât delta. Și acum să vedem dacă putem alege c astfel încât x pătrat minus c pătrat să fie mai mare sau egal cu 1. Deci c este un fel de lucru cu care trebuie să ne jucăm aici. Adică, așa se întâmplă de fapt dacă vrei să afli dovada înainte de a o nota, zgârietura lucrează în lateral. Așa că alegeți c, astfel încât asta-- acum, să începem cu lucrul pe care încercăm să-l legăm de jos și să începem să calculăm câteva lucruri. Acesta este egal cu x plus c-- și c va fi pozitiv. Deci acesta va fi c, iar x va fi pozitiv. Deci x plus c ori x minus c; acum x plus c va fi 2c plus delta peste 2; x minus c va fi delta peste 2. Până acum toate aceste lucruri sunt egalitate și obținem că aceasta este egală cu 2c plus-- deci delta este 2c plus delta la pătrat peste 2 și aici vom alege c pozitiv. Deci încercăm să arătăm că nu este uniform continuu pe r. Așadar, trebuie doar să găsim o valoare a lui c și o valoare a lui x, astfel încât să fie în distanță delta unul față de celălalt, dar rezultatele lor sunt mai mari sau egale cu 1. Până acum, dacă c este doar ceva pozitiv, x este c plus delta peste 2, atunci sunt aproape. Diferența lor, totuși, va fi doar prin acest calcul egală cu 2c plus delta peste 2 ori delta peste 2 pătrat. Acum delta pătrat peste 2 este întotdeauna nenegativă, deci este cu siguranță mai mare sau egală cu delta ori c. Și acum amintiți-vă că am vrut ca acest lucru să fie mai mare sau egal cu 1. În momentul de față avem că este mai mare sau egal cu delta c. Deci, să alegem c să fie 1 peste delta și să vedem că funcționează. Alegeți c pentru a fi 1 peste delta, x pentru a fi 1 peste delta. Deci c plus delta peste 2. Atunci aceste două valori sunt apropiate. x minus c este egal cu delta peste 2 este mai mic decât delta, iar x pătrat minus c pătrat este egal cu x plus c ori x minus c. x plus c, așa cum am făcut acum un minut, va fi 2 peste delta plus delta peste 2. Adică x plus c. x minus c este egal cu delta peste 2, care este egal cu 1, plus delta pătrat peste 4, care este mai mare sau egal cu 1, epsilonul nostru rău. Deci f din x este egal cu x pătrat nu este uniform continuu pe r, chiar dacă este uniform continuu pe acest interval închis și mărginit. Deci continuitatea uniformă este într-adevăr o relație între o funcție și domeniul pe care este definită. Deci, acesta este un fel de a încheia tema noastră a funcțiilor continue și modul în care acestea se comportă pe intervale închise și mărginite. Și vedem aici că continuitatea uniformă este o noțiune mult mai puternică decât continuitatea, așa cum am spus. Adică, puteți demonstra cu ușurință din definiție că, dacă o funcție este uniform continuă pe s, atunci este continuă pe s. Și am văzut că, în general, includerea inversă nu este valabilă. Așa că permiteți-mi să scriu asta ca o remarcă. În general, f uniform continuu implică faptul că f este continuu. Acest lucru rezultă doar din definiție. Acest lucru nu este greu de arătat. Dar inversul nu este valabil, așa cum tocmai am văzut. Avem două exemple aici. f din x este egal cu 1 peste x pe intervalul deschis 0, 1, care este continuu, dar nu este uniform continuu; și atunci avem funcția f de x este egală cu x pătrat, care nu este uniform continuă pe r. Dar, de fapt, este uniform continuu pe acest interval închis și mărginit 0, 1. Acest exemplu de aici, totuși, este, de fapt, regula; că dacă mă uit la o funcție pe un interval închis și mărginit , atunci, de fapt, aceste două noțiuni sunt echivalente. Deci aceasta este următoarea teoremă. Fie f o funcție de la a la b la r. Deci interval închis și mărginit acum, nu doar un set arbitrar. Atunci f este continuă pe a, b, adică este continuă în fiecare punct, dacă și numai dacă f este uniform continuă pe a, b. Și necesitatea de a lucra pe un interval închis și mărginit este văzută din nou de acest exemplu pe care l-am avut aici de f de x egal cu 1 peste x și f de x egal cu x pătrat pe r și 0, 1. Dar atâta timp cât căutăm pe un interval închis și mărginit, continuu este echivalent cu continuitatea uniformă. Acum, nici acesta nu este cel mai clar lucru pe care îl puteți spune. De fapt, ceea ce puteți spune este că dacă înlocuiesc acest lucru cu ceea ce se numește un set compact, pe care îl pot pune în sarcină, s-ar putea să nu, atunci afirmația este încă adevărată. Și aceasta este, într-un fel, cea mai clară afirmație. Dar cred că acest lucru este suficient de interesant pentru a lucra doar pe un interval închis și mărginit. Deci haideți să demonstrăm asta. Vă las asta ca un exercițiu, continuitate uniformă implicând continuitate. v-o las pe voi. Și voi face una mai dificilă și vom folosi un fel de filozofie așa cum am făcut-o în prelegerea anterioară, unde folosim definiția continuității sau această teoremă despre continuitate în termeni de secvențe și, de asemenea, teorema Bolzano-Weierstrass. Bun. Mai avem negația definiției continuității uniforme și de asta vom avea nevoie. Deci vom demonstra că f continuu implică uniform continuu și vom face acest lucru prin contradicție. Deci, să presupunem că f este continuă pe a, b, dar nu este continuu uniform. Și apoi vom sparge universul într-un fel, ceea ce arată că ipoteza noastră că f nu este uniform continuu nu este valabilă. Deci folosim această negație a definiției continuității uniforme, care spune că există delta 0. Așa că permiteți-mi să scriu asta. Am de gând să rescriu asta aici, apoi există un delta 0, astfel încât pentru toate delta pozitive, există x, c și a, b, care depind de delta, astfel încât x minus c este mai mic decât delta și f de x minus f de c este mai mare sau egal cu epsilon nu. Acum, acest lucru este valabil pentru fiecare deltă. Puteți găsi x și c astfel încât x minus c este mai mic decât delta și f din x minus f din c este mai mare sau egal cu epsilon nu. Deci, să alegem delta să fie 1 peste n pentru fiecare număr natural n, iar pentru toate numerele naturale n, există xn, cn și a, b, astfel încât aceasta este afirmația acum cu delta egal cu 1 peste n. xn minus cn este mai mic decât 1 peste n, iar f din x sub n minus f din c sub n este mai mare sau egal cu epsilon 0. Acum, am două secvențe aici și sunt mărginite pentru că sunt în acest interval închis și mărginit. Așa că pot trece la o secvență a uneia dintre ele pentru a începe cu teorema Bolzano-Weierstrass -- nu B-Z, Bolzano-Weierstrass. Cred că probabil că este în altă parte în prelegere sau în precedentul pe care l-am scris B-Z, dar mă refeream la B-W prin Bolzano-Weierstrass -- există xn sub k ulterioare ale x sub n și x și a, b, astfel încât limita ca k merge la infinitate de x sub n sub k este egală cu x. Deci Bolzano-Weierstrass din orice șir mărginit putem găsi o subsecvență convergentă. Și pentru că această subsecvență este întotdeauna între a și b, limita x va fi între a și b. Acum, deoarece subsecvența cn sub k este mărginită între a și b-- deci am o subsecvență de x sub n sub k, și apoi obțin o subsecvență a c sub n doar alegând aceste numere întregi să fie aceleași. Și acum, acea subsecvență este a c sub n este că toate provin de la a, b. Deci este mărginit de a, b. Deci este mărginit. Deci, prin Bolzano-Weierstrass aplicat acum acestei subsecvențe, există o subsecvență c sub n sub k a lui j, a lui c sub n sub k și un element c în a, b, astfel încât limita ca j merge la infinitul lui c sub n sub k sub j este egal cu c. Așa că am găsit o secvență a x din n, iar acum mă uit la o subsecvență corespunzătoare a c sub n-urilor unde acum cn sub k ulterioare provin din n sub k alese pentru această subsecvență, aceasta este încă o secvență mărginită. Deci, prin Bolzano-Weierstrass, pot lua o subsecvență a acesteia și un element c astfel încât să am convergență. Așa că acum, permiteți-mi să rezumam. Deci, în rezumat, secvențele x sub n sub k ale lui j-- deci acum aceasta este chiar o subsecvență a x sub n sub k și c sub n sub k sub j. Acestea sunt subsecvențe ale secvențelor originale x sub n și c sub n. Și acest x și c și a, b, astfel încât limita ca j merge la infinitul lui x sub n sub j este egal cu x, iar limita ca j merge la infinitul lui z sub n sub kj este egal cu c. Acum, susțin că x este egal cu c. Acum, 0 este cu siguranță mai mare sau egal cu x sub n sub k sub j minus c sub n sub k sub j, care este mai mic sau egal cu modul în care am definit aceste secvențe este mai mic sau egal cu 1 peste n sub k sub j. Deci, în primul rând, prin definiția subsecvențelor, j este întotdeauna mai mare sau egal cu n sub k-- n sub k sub j este întotdeauna mai mare sau egal cu j. Deci, acesta este întotdeauna mai mic sau egal cu 1 peste j. Aceasta este doar o consecință a modului în care sunt definite unele secvențe. Trebuie să vă deplasați întotdeauna la dreapta după ce ați ales o intrare în secvența pe care o veți lua ca element al secvenței dvs. Deci 0 este mărginit, mărginește aceasta de jos și este mărginit deasupra de 1 peste j, care converge la 0. Deci, lucrul din mijloc trebuie să convergă la 0 prin teorema strângerii. Dar aceste două lucruri, care converge către x, aceasta converge către c. Și astfel valoarea absolută a lui x minus c este egală cu 0 și, prin urmare, x este egal cu c. Acum suntem aproape liberi acasă. Această limită pe măsură ce j merge la infinitul lui x sub n sub k sub j este egală cu c, iar limita pe măsură ce j merge la infinit c sub n sub k sub j este egal cu c. Acum, unde e kicker? Acest. Deci acestea sunt subsecvențele x sub n și c sub n. Dar fiecare dintre aceste secvențe converge către un număr c. Deci, prin teorema despre continuitate, deoarece f este continuă la c, aceasta implică faptul că 0 este egal cu limita pe măsură ce j merge la infinitul lui f al lui x sub n sub-- scrieți-l în acest fel. f din c minus f din c este egal cu limita j merge la infinit de f din n din c sub n sub k sub j, care este mai mare sau egal cu epsilonul 0. Toate acestea se presupune că sunt mai mari sau egale cu unele fixe epsilon 0, care este pozitiv. Dar tocmai am arătat că este egal cu 0. Și aceasta este contradicția. Astfel, f este uniform continuu pe a, b. Deci asta încheie ceea ce vom spune despre continuitate. Și după cum veți observa că în viitor, vom acoperi subiectele mai repede. Asta doar pentru că avem mai multe utilaje cu care să lucrăm. La început a mers foarte lent doar pentru că unul, este începutul primei tale clase bazate pe dovezi. Așa că o să merg încet; și doi, nu prea aveam cu ce să lucrăm. Tocmai am avut că numerele reale sunt în câmpul ordonat cu cea mai mică proprietate superioară. Dar acum am acoperit secvențele, continuitatea știm mai multe și va fi mai ușor să dovedești lucruri noi și, de asemenea, sperăm că familiaritatea cu dovezile devine mai bună, astfel încât argumentele mele să poată fi puțin mai scurte și să nu fie atât de implicate. Deci trecem la ceva acum. Acesta ar trebui să fie despre calcul. Am acoperit limite, continuitate. Următorul mare subiect trebuie să fie diferențierea. Deci acesta este un nou capitol despre derivată. Așa că mai întâi permiteți-mi să vă dau definiția precisă. Deci, mai întâi, voi spune, să fie I un interval, f merge de la I la R și c un element al lui I. Acum, când spun un interval, nu vreau să spun că trebuie să fie închis și mărginit. ca cele la care am lucrat. Nu vreau să spun că trebuie să fie deschis. Nu trebuie să fie un interval mărginit, cum ar fi de la 0 la 1. Ar putea fi de la 0 la infinit. Poate include punctele finale, cu excepția, desigur, infinitului. Dar cred că ceea ce vreau să spun și nu trebuie să scriu toate astea pentru ce este exact un interval. Deci, să fie I un interval și f o funcție de la I la R și c un punct al lui I. Deci, mai întâi, convingeți -vă de acest lucru, dar cred că ar trebui să fie destul de clar. Pentru un interval, fiecare punct din interval este un punct de grupare al intervalului. Acest lucru nu este prea greu de demonstrat. Și nu vă voi cere să dovediți acest lucru, dar spun asta doar pentru că sunt pe cale să definesc o limită la c. Deci, ar fi mai bine să fie un punct de cluster al unui set pe care această limită este definită folosind. Deci din mine, ia c. Și dacă nu vă place afirmația, uitați că am scris- o și vom continua. Spui că f este diferențiabilă la c-- deci acesta este noua terminologie. Dacă limita x merge la c, f de x minus f de c peste x minus c există. Dacă această limită există, spunem funcțiile diferențiabile la c și folosim o notație f prim f apostrof c pentru această limită. Dacă f este diferențiabilă în fiecare punct al intervalului I, am obține o nouă funcție, această funcție f prim a lui c, pe care o notăm funcția care este derivată a lui f ca f prim sau dfdx. Deci, cei mai simpli băieți care sunt diferențiați sunt, desigur, polinoame. Cred că acesta este unul dintre primele lucruri pe care le înveți în calcul. Și nu voi trece prin ceea ce ar trebui să reprezinte asta. Știți acest lucru din calcul, cel mai bun mod de a spune ce reprezintă acest număr este rata instantanee de modificare a funcției f în acest moment. Cum se schimbă f în acel moment în sensul creșterii, scăderii și așa mai departe? Sau, dacă doriți, interpretați aceasta ca fiind panta dreptei care este perfect tangentă la curba la graficul funcției f. Dar ce înseamnă asta a fi tangent la graficul unei funcții? Deci este nevoie de puțină explicație. Deci nu am de gând să intru în care este interpretarea reală a acestui număr. Cred că ai o idee destul de bună despre ce este asta. Vom începe doar să dovedim unele proprietăți ale acestuia. Deci cel mai simplu exemplu de funcție care este diferențiabilă este cel al unui monom. Deci f din x este egal cu x cu n. Să punem chiar și un număr acolo. Deci haideți să scriem așa. Fie că f a fost R în numărul natural 0, atunci funcția f a lui x este egală cu alfa ori x la n este diferențiabilă. Deci ar fi trebuit să spun și aici dacă o funcție este diferențiabilă în fiecare punct în care este definită sau dacă o funcție este diferențiabilă în fiecare punct din domeniul său I, atunci spunem doar că funcția este diferențiabilă. Deci, acest monom este diferențial și pentru tot c f prim al lui c este egal de n ori alpha x la n minus 1, c. Deci, să dăm o dovadă în acest sens și vom folosi acest tip de formulă simplă. Deci, să aruncăm o privire la x minus c ori această sumă ciudată la x, n minus 1 minus j, c la j. Deci, înmulțiți x prin, obțin suma de la j egală cu 0 la n minus 1, x la n minus j, c la j minus - și nu voi folosi j din nou în sumă când port acest c prin. Voi folosi l-- suma de la l este egală cu 0 la n minus 1, x la n minus-- o voi pune astfel-- j plus 1, c la j plus 1, l și acum Voi face o schimbare de variabile în această a doua sumă și să fie j egal cu l plus 1. Deci, în acest caz, când l este egal cu 0, j începe de la 1. Când l atinge n minus 1, j este egal cu n. Deci aceasta este egală cu suma de la j este egală cu 0, n minus 1, x, n minus j, c la j minus suma j este egală cu 1 la n, x, n minus j, c la j. Deci sunt aceiași termeni în sumă, cu excepția faptului că începe din locuri diferite. Deci, ceea ce nu este ucis aici este termenul j egal cu 0, deoarece acesta începe la j egal cu 1. Acesta se termină la n. Și astfel ucide termenul n minus 1. Deci singurul lucru care supraviețuiește din această sumă este termenul j egal cu 0, x la n minus 0, c la 0 minus. Și acum, de aici, totul este ucis, cu excepția celor n termeni. Deci x la n minus n, c la n este egal cu x la n minus c la n. Deci acest lucru este, prin urmare, egal cu acesta. Deci folosim aceasta pentru a calcula această limită. Deci, f prim al lui c este egal cu limita pe măsură ce x merge la c al lui x la n alfa ori x până la de n ori alfa ori c până la n, unde x minus c - acum, alfa este doar un număr. Poate ieși -- x la n minus c la n împărțit la x minus c este acest lucru împărțit la x minus c. Deci, aceasta este egală cu alfa ori limita pe măsură ce x merge la c a sumei de la j este egală cu 0 la n minus 1, x la n minus 1 minus j, c la j. Acum, acesta este doar un polinom în x. Polinoamele sunt funcții continue. Deci limita pe măsură ce x merge la c este doar să conectați c la x. Și astfel, aceasta este egală cu alfa ori suma de la j egal cu 0 la n minus 1, c la n minus 1 minus j ori j egal - deci c la n minus 1 minus j ori c la j îmi dă c la n minus 1-- Însumez în j. Nu există nici un j aici, așa că doar iese -- de ori suma j este egală cu 0, n minus 1. Și există n din ori 1. Deci acesta este doar n. Și asta e dovada. Deci sunt sigur că ai văzut asta la un moment dat. Data viitoare vom da un exemplu de funcție care nu este diferențiabilă dintr-un punct. Desigur, cred că probabil că știți deja acest lucru, f din x este egal cu valoarea absolută a lui x. Dacă există timp la un moment dat, voi trece peste un exemplu de funcție, care a fost foarte surprinzător pentru oameni la un moment dat. Așa că acum că avem diferențiere și continuitate pe placă, de mult timp de când oamenii morți au crezut că dacă ai o funcție continuă, orice funcție continuă, atunci trebuie să existe cel puțin un punct în care să fie diferențiabilă. Trebuie să existe cel puțin un punct în care să fie diferențiat. Și oamenii au încercat să demonstreze asta multă vreme și nu au reușit pentru că este fals. Weierstrass, care a fost, din nou, un fel de naș a tot ceea ce facem, a venit cu o întreagă clasă de exemple de funcții care sunt continue, dar nu pot fi diferențiate nicăieri. Nu sunt diferențiabile într-un singur punct. Și poate în funcție de timp, vom trece peste acest exemplu. Și cred că mă voi opri aici.