[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [CLIC] ROBERT TOWNSEND: Ca de obicei, să aflăm unde suntem. Am făcut primele două secțiuni ale echilibrului general privind bunăstarea și existența. Și acum, vom face azi agregarea Gorman și apoi vom termina acest segment cu identificare. Avem două prelegeri pentru a termina clasa. Deci acolo suntem. În ceea ce privește lista de lectură de astăzi, există un singur lucru acolo, și este locul de unde am extras mult material pentru teorema bunăstării pentru agregarea Gorman și colegul meu Daron. Este marcat cu stea, dar este, de asemenea, acoperit pe larg și astăzi. Apoi avem ghidul de studiu. Deci data trecută, am făcut concepte de existență în diferite moduri distincte. Nu există prea multe întrebări de recenzie aici. Nu l-am întrebat pe primul set. Dar ajungem la Negishi. Deci, cum folosește Negishi prima și a doua teoremă a bunăstării pentru a genera o mapare în greutăți lambda, al cărei punct fix este un echilibru competitiv? Și din moment ce am sunat pe toată lumea data trecută, lasă-mă să iau voluntari. Să sperăm că există voluntari. PUBLIC: Am fost... ROBERT TOWNSEND: Continuă. PUBLIC: Dați înainte. PUBLIC: Eram pe cale să spun că am fost puțin neclar în ceea ce privește dovezile în ansamblu, dar îmi amintesc că folosim faptul că pentru orice lambda, perioada corespunzătoare de alocare optimă ar fi în echilibru cu transferurile din a doua teoremă a bunăstării și folosim asta pentru a demonstra teorema lui Negishi. ROBERT TOWNSEND: Da, așa e. Pe cel de- al doilea îl aveam foarte mult. Primul este că orice echilibru competitiv este Pareto optim și, prin urmare, corespunde unor ponderi lambda din problema Pareto. Așadar, maparea lui Negishi este de a găsi o modalitate de a găsi lambda speciale speciale ale echilibrului competitiv cu proprietatea privată, care este punctul fix al cartografierii sale. Mi-am dat seama după oră, discutând parțial cu unul dintre voi care a venit la orele de birou, că niciodată... Cred că am neglijat să spun ceea ce este evident. Ceea ce am spus este să găsim lambda astfel încât evaluarea cheltuielilor sub Pareto a utilizărilor optime folosind cea de-a doua teoremă a bunăstării să fie egală cu evaluarea dotării plus acțiunile la profit care corespunde echilibrului competitiv. Dar ceea ce cred că am omis să spun a fost... poate că am spus-o. Urșii care se repetă. Că, dacă inițial ghiciți o lambda care este mai mare decât valoarea pentru o anumită gospodărie, atunci evaluarea cheltuielilor acelei gospodării va fi mare în raport cu evaluarea bogăției în economia de proprietate privată. Deci, într-un fel intuitiv, reduceți greutatea lambda. Acest lucru se leagă de ceva ce am învățat când am făcut aceasta a doua teoremă a bunăstării, și anume, acele lambda sunt invers proporționale cu utilitatea marginală a bogăției. Deci, dacă lambda este prea mare, tipul are prea mult... evaluarea cheltuielilor este prea mare. Deci utilitatea marginală a bogăției cu utilitate concavă este scăzută. Așa că doriți să mergeți în direcția creșterii utilității marginale a bogăției, care îndepărtează efectiv bogăția prin scăderea lambda. Deci oricum, multumesc. Urmatoarea intrebare. Definiți un echilibru Nash cu strategie mixtă. PUBLIC: Cred că pot face asta. De exemplu, un echilibru Nash cu strategii mixte este -- este un tip de echilibru Nash în care cel puțin unii dintre jucători sunt -- aleg unele dintre opțiunile care sunt aleatorii? Deci, există câteva probabilități ponderate în care puteți avea șanse de a face opțiunea A, unele șanse de a face opțiunea B și așa mai departe. Și pentru ca acesta să funcționeze, jucătorul care face chestii mixte trebuie să fie indiferent față de toate lucrurile cu non-zero între toate opțiunile diferite cu probabilități diferite de zero și, de asemenea, trebuie să fie în acest fel. că, din nou, nimeni nu are niciun stimulent să se abată de la strategie. ROBERT TOWNSEND: Corect. Ultimul lucru, mai ales, este cheia. Așadar, echilibrul Nash cu strategii mixte îl ia -- fiecare jucător ia ca dată o configurație de strategii mixte ale celorlalți -- un fel de strategie de vedetă, ca să spunem așa -- și apoi se simte liber să o aleagă pe cea mai bună pentru el însuși. Dar asta va ajunge să fie exact strategia vedetă pentru început. Deci este, ca, auto-împlinire în spațiul strategiilor. Mulțumesc. Acesta a fost un răspuns bun. Și apoi ultimul. Cum oferim un stimulent pentru comercianți să își respecte promisiunile și să obțină peste ridicarea echilibrului? Așa că am făcut acest lucru în contextul pieței tranzacțiilor cu trezoreria SUA din New York. Care este o tranzacție convenită de trezorerie pentru lichiditate. Am menționat că, de fapt, au existat eșecuri comerciale în care nu sunt la înălțimea acordului lor, deoarece partea care vinde trezoreria nu o deține, nu o poate transfera în momentul în care este scadentă o decontare sau persoana care a promis să plătească lichiditate nu are suficientă lichiditate. Și apoi am mapat asta în cadrul de echilibru Walrasian . Așa că lasă-mă să o întreb din nou. Cum să oferim un stimulent pentru tranzacții-- comerț-- pentru comercianți, cred că ar trebui să fie, să își respecte promisiunea și să atingă un echilibru walrasian? Îți amintește cineva? PUBLIC: Îmi amintesc că a existat o penalizare pentru lichiditate, nu? Dacă creditorul a fost negativ, atunci va avea această utilitate. Și deci ești în-- deci în cele din urmă, pentru a atinge [? variație?] alocarea, trebuie să lăsăm toate în jos-- sau a existat o-- trebuie să lăsăm [? operator ?] egal cu 0, astfel încât să nu existe o cerere de exercițiu, nu-- da. Adică... ROBERT TOWNSEND: Da. Da, e bine. PUBLIC: Ar trebui să dorim să promitem că, dacă dotarea este egală cu alocațiile, măsura alocației. ROBERT TOWNSEND: Corect. Asta e bine. Deci problema este că ei depun oferte, iar noi căutăm un echilibru Nash. Ofertele constau în ordine de cumpărare și, de asemenea, ordine de vânzare. Tragem pentru echilibrul Walrasian, în special pentru constrângerile bugetare. Așa că dorim, pentru fiecare comerciant, ca evaluarea a ceea ce cumpără să fie cel puțin egalată cu evaluarea a ceea ce vinde. Cu alte cuvinte, au suficientă lichiditate. Și dacă nu punem penalty, toată lumea ar cheltui în exces, pentru că de ce nu? Deci da, atunci penalizarea pe care ai menționat-- deci beta este negativă. Când beta este negativă, înseamnă că cheltuiesc mai mult decât au în venituri. E un lucru rău. Așa că facem efectiv pedeapsa beta-- Îmi pare rău, nu îmi amintesc notația. Cred că a fost lambda times beta-- suficient de mare pentru ca apoi să facă compromisul corect. Ei se uită la cât de mult ar obține în utilitate cumpărând direct aceste lucruri și cântăresc asta cu dezutilitatea pedepsei. Mărimea penalizării a avut de-a face cu utilitatea marginală a venitului, acel multiplicator Lagrange pe care ne concentrăm în continuare în echilibrul competitiv și constrângerea bugetară. Deci, utilitatea în marjă a venitului reprezintă câștigul incremental din a avea epsilon mai multă lichiditate. Și sunt tentați să cheltuiască mai mult decât trebuie să meargă în acea direcție epsilon, dar penalizarea este suficient de mare încât să domine acel câștig și nu deviază. Ei bine, în alocarea acestei întrebări, am recunoscut că ne-am grăbit puțin la final. De fapt, am depășit ora cursului cu câteva minute. Deci, oricum, sper că a fost o recenzie utilă. Alte întrebări de data trecută? BINE. Deci acum vreau să ajung la agregare. Aceasta este un fel de o prelegere interesantă, în sensul că se întoarce și trece în revistă unele dintre lucrurile pe care le-am făcut înainte -- cu siguranță, elementele de bază ale teoriei consumatorului cu maximizarea utilității, câteva lucruri despre Lagrangieni și teoremele anvelopei. De asemenea, se întoarce la prima aplicație pe care am avut-o de consumatori care maximizează utilitatea în funcție de buget și ce se întâmplă atunci când veniturile se modifică și așa mai departe. Deci am vorbit deja despre unghiuri, curbe și bunuri Giffen și așa mai departe. Și așa ai deja fundalul micro. Deci, puteți judeca plauzibilitatea ipotezelor pe care suntem pe cale să le facem pentru a permite agregarea. Și agregarea a fost folosită când am făcut, cum ar fi, comerț liber. Am vorbi despre un consumator reprezentativ, nu doar Robinson Crusoe, un om de pe insulă, ci cineva care reprezintă întreaga populație a SUA. Deci, acesta este un mare salt de credință. Astăzi, vom explica ce este nevoie pentru a face asta. Deci aceasta va fi agregarea Gorman și o vom face în sensul pozitiv de a prezice ce se va întâmpla și în sensul normativ de a face declarații despre bunăstarea consumatorului. Și apoi vom avea funcții de utilitate indirectă , forme Gorman Polar și restul pe care le-am menționat deja. Deci unii micro, dar mai ales macro-economiști, își asumă consumatorul reprezentativ sau agenți reprezentativi. Este oarecum firesc, pentru că ei se îngrijorează de agregate, nu de aspectele de distribuție. Așadar, asta le oferă lor și nouă un mod ușor de a înțelege cererea de pe piață - și oferta, de altfel - și permite o analiză destul de ușoară a bunăstării, deoarece există o singură persoană. Deci acestea sunt toate avantajele, dar vom vedea cât de realist este. Deci iată problema maximizării utilității. Maximizarea -- vom suprima aici etichetele pentru gospodăriile i și h și așa mai departe. Deci această gospodărie are o funcție de utilitate reprezentată de u din x, unde x este în setul de consum și evaluarea cheltuielilor la prețuri p nu poate depăși averea w. Așa că numim soluția acestei probleme, după ce o depășim la maxim - utilitatea maximizată obținută se numește valoare. Și această funcție v se numește funcție de utilitate indirectă, v pentru valoare. Deci ia ca dați parametrii pe care gospodăria îi ia ca dați, și anume, vectorul preț p și bogăția w. Deci este utilitatea maximă realizabilă în bugetul stabilit în funcție de acești parametri. Și linia de jos aici-- puteți vedea doar, dacă x din p și w este maximizatorul, îl punem înapoi în funcția de utilitate și aceasta ar fi valoarea optimizată. Deci, există proprietăți foarte utile ale acestei funcții de utilitate indirectă și sunt revizuite pe acest slide. Să presupunem că mulțimea de consum este o submulțime a spațiului euclidian de dimensiune finită, L-dimensională. Funcțiile de utilitate sunt continue, reprezentând o relație de preferință care este rațională și continuă. Utilitatea indirectă tocmai definită. În primul rând, acest v în funcție de p și w este omogen de gradul 0 în p și w, deoarece, după cum știți deja, dacă, de exemplu, dublați prețurile și averea, nu schimbă imaginea maximizării consumatorului. si ai aceeasi solutie. E ca și cum nu există nicio iluzie de bani aici. Dacă prețul este dublu, dar și pierderea averii se dublează, ești la fel de bine ca înainte și nu mai rău. Această funcție de utilitate indirectă are derivate intuitive în raport cu p și w. Creșterea p vă face mai rău, sau cel puțin nu mai bine . Creșterea w te face mai bine. w este avere. Prețurile sunt ceea ce trebuie să plătiți. De fapt, acea utilitate indirectă va crește strict în w atunci când avem nesatiere locală, ceea ce vom presupune întotdeauna aici. Funcția de utilitate indirectă este cvasi-convexă, nu concavă -- convexă în p și w. Deci, din nou, când am făcut teoria consumatorului, am avut o utilitate concavă. Seturile de contur superior au fost cvasi-convexe, dar funcția de utilitate a fost concavă. Această utilitate maximizată peste buget este convexă, sau cel puțin cvasi-convexă. Continuă, care este ușor de asumat și diferențiabilă. Și când funcția de utilitate indirectă este diferențiabilă, o putem folosi pentru a recupera cererea. Și dovada este destul de ușoară, dar aici, pare uimitor, presupun, adică dacă dorim cantitatea maximizată de bun L pentru acest consumator care se confruntă cu vectorul preț p și bogăția w, răspunsul va fi să luăm derivata funcția de utilitate indirectă în raport cu prețul L-lea și împărțiți la derivata funcției de utilitate indirectă în raport cu bogăția și puneți un semn negativ în fața tuturor acestora. Deci, iată o mică dovadă în acest sens. Avem Lagrangianul, care reprezintă o problemă de maximizare a utilității, cu 0 fiind prețul umbră al bugetului și L-- scuze, sunt lambda sub 0 și lambda sub L fiind prețurile umbră potențiale pentru constrângerile de non-negativitate. Deci vom folosi teorema anvelopei, care pentru a vă aminti, afirmă că puteți lua o derivată în raport cu parametrii problemei de optimizare, în acest caz, p și w. Și dacă luați derivatele la soluția de optimizare pentru a obține un fel de creștere în utilitate asociată cu modificarea acelor parametri. Deci, incrementul de utilitate din rezolvarea problemei maxime la acei parametri este, de asemenea, derivata Lagrangianului în raport cu acești parametri. Deci, sunt doi pași acolo-- cum să reprezinte valoarea maximă, și anume, ca o soluție la Lagrangian, și, de asemenea, teorema anvelopei care vă spune-- vă reamintește că derivata soluției optimizate în raport cu parametrul este, cum ar fi, diferențierea la cantitățile maximizante. Deci prea multe cuvinte. Deci prima derivată aici în ecuația 3, derivata funcției valorii în raport cu un anumit preț pl este derivata lagrangianului în raport cu -- la prețul pl evaluat la maxim, și anume, x sub p și w este cerere. Și mergând înapoi sus aici, derivat al lagrangianului în raport cu pl, unde apare? Apare doar aici în buget. Deci obțineți un lambda 0 și p este liniar în x. Deci primești x sub l înapoi și acesta este acest obiect. La fel, derivata cu utilitate indirectă în raport cu w, derivată a Lagrangianului în raport cu averea w, evaluată la soluția de maximizare. Există un singur loc în care apare w. E aici sus. Deci doar obțineți lambda 0. Deci, lambda 0 este acum în 4 și în 3. Înlocuiți expresia din 4 în 3 și obțineți dv dp l egal cu-- ei bine, totul este scris aici. În principiu, luați lambda 0, uitându-vă la partea stângă, înfiind-o aici și apoi repetând x sub l. Deci acum, rezolvați această ecuație pentru x sub l și obțineți ceea ce ne-am dorit, și anume, raportul derivatei față de p împărțit la-- față de w cu semnul minus în fața ei. Așa că obținem ceea ce ne-am dorit. Întrebări? Deci, aceasta este o problemă interesantă a utilităților indirecte. Acum, suntem gata să definim o anumită versiune a funcției de utilitate indirectă numită forma Gorman Polar sau forma Gorman. Acest lucru nu se întâmplă întotdeauna, dar se poate întâmpla. Pentru anumite funcții de utilitate, funcția de utilitate indirectă din p și w are o intersecție și o pantă și. Interceptarea este o funcție a vectorului p. Panta b față de w este o funcție a vectorului p și este liniară în w. Și vă voi arăta un exemplu chiar acum, pentru că asta pare puțin misterios. Deci, să revenim la funcția noastră de utilitate preferată, acest fel de Cobb Douglass, cu două bunuri, x1 și x2, ridicate la puterea alfa și 1 minus alfa. Vă amintiți că aceste valori alfa și 1 minus alfa reprezintă cota de cheltuieli în soluția optimizată. Deci p1 ori x1 este alfa ori w. Deci, această gospodărie cheltuiește fracțiunea alfa din averea sa, w, pe bunul 1 și cheltuiește 1 minus alfa ori w pe bunul 2. Doar mut aceste prețuri aici în partea stângă, așa că nu este doar cantitate. Este cantitatea înmulțită cu prețul sau valoarea. Deci, cu fiecare Cobb Douglas, este cota constantă a cheltuielilor. Mai multe despre asta pentru moment. Și acum, definiția utilității indirecte spune, doar înlocuiți valoarea maximizată. Deci luăm Ux1, dar folosim această expresie pentru x1 la alfa x la această expresie pentru x2 la 1 minus alfa. Asta e afacerea asta. Și când o rezolvi , obții a din p, căutând să fie în această formă. a din p este 0 și b din p este acest coeficient, [INAUDIBIL] alfa 1 minus alfa p1 și p2 la aceste puteri alfa și 1 minus alfa. Acesta este b din p. Depinde de p și de nimic altceva. Și este într-adevăr liniar în w. Linearitatea în w provine doar de la proprietatea că alfa plus 1 minus alfa este 1. w alfa înmulțit cu w la 1 minus alfa. Doar adunați coeficienții de putere. Deci, asta este tot, până acum, pentru o singură gospodărie, deci neglijând să introduceți notația h sau i, sau orice etichetă ar fi gospodăria. Totuși, dacă această funcție Cobb Douglas ar fi aceeași pentru toate gospodăriile, atunci avem o formă Gorman Polar, în care toate gospodăriile au aceeași intersecție, a din p și același termen de pantă, b din p. De asemenea, dacă ar fi cazul în care coeficientul alfa variază între gospodării, atunci acest BSP nu va fi comun pentru toate gospodăriile. Va depinde de anumite preferințe. Deci, poate că asta este ilustrativ cât de slabă va fi deja presupunerea. Dar va fi foarte puternic dacă este adevărat. Deci haideți să vorbim despre cererea agregată. Deci avem o economie cu I gospodării, I agenți. Averile lor sunt de la w1 la wI. Un profil de avere. Să definim w bar ca fiind bogăția totală agregată, doar însumând toate bogățiile individuale. Și rețineți această notație că xI din p și wI este funcția de cerere pentru agentul I. Cererea agregată, x bar, prin definiție, va fi suma cererilor individuale. Și scriem că notațional ca bara x a vectorului - parametrii problemei, și anume, vectorul preț comun și averea individuală. Deci, aceasta este definiția cererii agregate. Nimic până acum în afară de definiție. Dar prima întrebare despre agregare este, putem găsi o funcție a cererii agregate care este specială prin faptul că depinde doar de bogăția totală a populației, nu de modul în care este distribuită bogăția în populație? Deci ideea aici este această bară x de L-- care, din nou, tocmai a fost definită. Dar acum, pentru al-lea bun, x bara lui L la p și w este cererea agregată. Căutăm această funcție, capital X, acum, a lui L-- capital, cred, pentru un agregat mare, care este o funcție a lui p, desigur, dar acum w bar. Deci, iată conținutul acestuia. Sau privind în acest fel, vector p, da, dar componenta bogăției în cererea agregată depinde doar de suma averilor individuale. Nu depinde de distribuție. Pe acest slide, bogăția intră în funcția de cerere a fiecărui agent. Și nu există niciun motiv pentru care ar trebui să fie reprezentabil să depindă doar de agregat. Dar vom căuta specificații de utilitate acolo unde este adevărat. Și nici măcar nu ne-am întrebat dacă acea funcție a cererii agregate , acel capital X, provine dintr-o funcție de utilitate subiacentă ca soluție. Căutăm doar dacă depinde doar de bogăția agregată sau, mai degrabă, ar putea depinde de distribuție. Dar aceasta este o condiție necesară pentru a exista o gospodărie reprezentativă care maximizează o funcție de pseudo-utilitate care va reprezenta cererea agregată. Deci facem câte un lucru pe rând. Deci, care este o condiție necesară pentru ca noi să ne putem agrega astfel? Și este că impactul marginal al bogăției se modifică asupra cererilor, să zicem, pentru al-lea bun, este același pentru toate gospodăriile și acest lucru este valabil și pentru toate bunurile. Deci, indiferent de L bun pe care îl alegeți, indiferent de gospodăriile perechi I și J alegeți, trebuie ca fiecare să aibă același efect de venit al modului în care cererea se schimbă odată cu averea. Și iată poza, pe care ați cam văzut-o înainte. Acestea sunt căi liniare de expansiune a bogăției. Menținem prețurile fixe pentru cele două bunuri, în acest caz. Iar pentru consumator - unul dintre acești consumatori, găsim soluția optimizată pe măsură ce schimbăm averea - optimizarea în sensul că gospodăria a atins utilitatea maximă pentru orice bogăție dată caracterizată printr-o tangență între curba indiferenței și buget. linia. Celelalte gospodării de aici au și ele o cale de expansiune liniară. Acum, este adevărat că această gospodărie -- eu, este -- are niveluri mai mari de cerere pentru bunul 2 în comparație cu bunul 1 decât în cazul gospodăriei J. Deci nu sunt identice. Dar când te gândești la ce se întâmplă atunci când redistribuiți bogăția cu aceste căi paralele de expansiune liniară, derivatele sunt aceleași. Am putea, de exemplu, să luăm niște avere de la gospodăria I. Ne-am muta în sud-vest. Am avea schimbarea în x1, x2 și schimbarea în x1 triunghi mic acolo și am oferi acea bogăție gospodăriei J, care s-ar muta spre nord-est. Dar din nou, pentru că aceste linii sunt paralele, vom avea exact aceleași modificări [INAUDIBIL].. Deci nivelurile pot fi diferite, dar derivatele sunt aceleași. Și acea imagine reprezintă această condiție 10, că efectele veniturilor sunt aceleași în toate gospodăriile. Și aceasta este o condiție necesară pentru ca numai bogăția agregată să conteze. Cerințele individuale se mișcă pe măsură ce redistribuiți bogăția. Dar ceea ce renunță un tip este ceea ce câștigă celălalt. Deci cererea totală nu se mișcă. Cine primește ceea ce se mișcă, dar nu cererea totală, pe măsură ce redistribuim bogăția. Următorul pas este să găsiți o funcție de utilitate care va oferi acea cerere agregată. Îl vom numi pe acest tip gospodăria reprezentativă pozitivă . Deci, să avem setul de consum să fie o submulțime a acestui spațiu euclidian cu dimensiunea L. Cererile individuale, xI ale vectorului p și wI pentru gospodării I peste toate acestea să fie cererile individuale. Căutăm o comandă de preferințe cu o stea pe setul de consum agregat și o anumită funcție de utilitate, stea u, care reprezintă această ordine de preferință. Și acel obiect, setul de consum și în special ordonarea preferințelor, se spune că reprezintă sau corespunde unei gospodării reprezentative pozitive dacă și numai dacă cererea agregată, acel capital X de p și w bar, provine din problema de maximizare a utilității în care utilitatea funcția este de forma u steaua. Deci, din nou, ne-am obișnuit cu maximizarea utilității. u steaua este o funcție de utilitate. Îl maximizăm. Oh, în funcție de buget, care este bugetul? Este ca și cum ai da acestui, citat, „persoană”, această gospodărie reprezentativă, întreaga bogăție a economiei, w bar. Și acest lucru X, în cazul în care ați uitat, acest capital X din bara p și w, a fost obiectul pe care îl căutam aici , cererea agregată ca o funcție numai a sumei bogățiilor sau a bogăției agregate. . Deci, în ce condiții putem găsi această stea uimitoare? Da, forma Gorman Polar. Deci, o condiție necesară și suficientă pentru a obține acea ecuație tinde să fie adevărată este ca preferințele fiecăruia să poată fi reprezentate prin 16, și anume, acum cu I-urile să fie explicite, funcția de utilitate indirectă pentru gospodărie sau agent I are această interceptare și panta. Termenul de interceptare poate depinde de fapt de i. Permitem acest grad de eterogenitate. Dar panta față de w și wI pentru gospodăria I nu depinde de i. Termeni comuni de panta. Deci, din nou, pentru a scrie , modul în care funcțiile de utilitate indirectă pentru i și j răspund la bogăție este același. Și anume, este bp, care nu este chiar imaginea la care ne uitam, dar se apropie, după cum vă puteți imagina. Deci, dacă 16 este adevărat pentru toate gospodăriile i, atunci putem găsi uimitoarea noastră stea u sau, în special, funcția de utilitate indirectă corespunzătoare stelei u. Și va arăta foarte mult cu funcțiile de utilitate indirectă individuale, în sensul că este scrisă ca un timp b din w. Steaua a pentru consumatorul reprezentativ este suma aI a ps peste i. Așa că le adunăm. Și steaua b este comuna b a lui p pentru toate gospodăriile i. Deci, acest tip, reprezentat de funcția de utilitate indirectă, este gospodăria reprezentativă pozitivă. Deci este un lucru dacă și numai, dar să mergem într-un singur sens. Dacă și numai dacă înseamnă dacă au aceste forme polare, atunci este de acord cu Gorman și avem un consumator reprezentativ. Și, de asemenea, dacă avem un consumator reprezentativ, atunci gospodăriile subiacente trebuie să aibă utilitatea reprezentată de 16. Deci, să mergem într-un singur sens. Să presupunem că preferințele au funcții de utilitate indirectă care satisfac 16. Vom trece de la micro la macro, ca să spunem așa. Acum, folosim identitatea lui Roy. Probabil te întrebai de ce am avut asta vreodată. Deci cererea gospodăriei i pentru bunul l la vectorul preț p și bogăția wi este doar acest raport al derivatelor cu semnul minus în față. Și acum, folosim formele particulare, și anume, derivata funcției de utilitate indirectă în raport cu wi este și anume doar b din p, pentru că acesta este acel coeficient acolo. Și derivata funcției de utilitate indirectă față de p care este? Ei bine, întoarce-te aici. Este funcția de utilitate indirectă pentru gospodăria i. Luați derivate în raport cu intercepta și termenul de pantă în raport cu p. Deci asta este ceea ce este scris aici, derivata termenilor de interceptare și panta față de p. Și, desigur, acel w rămâne acolo ca un coeficient. Deci asta trebuie să fie adevărat. Acum, după ce au derivat cererile gospodăriei i, putem lua derivata în raport cu bogăția. Și doar va apărea aici. Așadar, obținem acest lucru, deoarece modul în care cererea se schimbă. Ei bine, un lucru pe care îl puteți vedea, în partea dreaptă aici, nu există i. Deci, schimbarea cererilor în ceea ce privește averea este aceeași în toate gospodăriile și egală cu acest termen comun din partea dreaptă. Deci, acest lucru ne dă că, cu funcția de utilitate indirectă, avem aceste efecte constante asupra venitului asupra tuturor gospodăriilor. Acum, al doilea lucru pe care vrem să-l arătăm nu este doar asta, ci că putem găsi acest consumator reprezentativ uimitor . Așadar, dorim-- când maximizăm orice este această stea v în ceea ce privește-- când obținem această soluție maximizată pentru acest consumator reprezentativ stea și bogăția agregată w, ar trebui să reprezinte suma cererilor individuale. Deci aveți deja această expresie pentru... permiteți-mi să vă reamintesc, vedeta v, candidatul, are 17 ani. Așa că vom demonstra că funcționează. Luați v stea ca utilitate indirectă să fie acest termen o stea, b stea, w bar. Apoi, după identitatea lui Roy, aceasta este doar o altă funcție de utilitate indirectă . Deci, cererea care vine de la aceasta la bara w a bogăției agregate și la vectorul prețului p ar fi doar raportul acestor efecte marginale cu un semn negativ în față. Și, desigur, cunoaștem forma lui v stea. Deci, la nivel agregat, este foarte mult ca înainte, 1 peste bp, pentru că acesta este doar coeficientul de bogăție. Și p intră în termenul de interceptare și panta în această ecuație agregată - utilitate indirectă agregată 17. Deci obținem asta. Amintiți-vă că steaua a este suma ai prin construcție. Deci, acum, totul este scris foarte explicit. Nu se întâmplă nimic cu bogăția. Dar acum, trebuie să luăm această însumare și să o scoatem afară. Deci avem cererea pe care o dorim este însumarea peste i a ceea ce a mai rămas după scoaterea însumării. Avem termenii individuali. Dar, desigur, asta nu este altceva decât, din nou, din identitatea lui Roy, cererile de bază, care, atunci când le însumăm, este cerere agregată. Deci am folosit această funcție de utilitate particulară, 17, pentru a deriva cererea agregată, care acum se dovedește a fi suma cererilor individuale și, prin această construcție, depinde doar de bogăția agregată. Bara W lipsește acolo. Întrebări? În regulă. Așadar, permiteți-mi să vă dau un exemplu de funcții utilitare de bază și seturi de consum. Să presupunem, fiind explicit cu privire la eterogenitate, fiecare set de consum al gospodăriei i este un subset al acestui spațiu L-dimensional. Și anume, sunt pachete de subzistență sau minime. Deci, cantitatea de bun l nu poate fi mai mică decât câteva x bare mai mici l per gospodărie i. Aceasta este eterogenitatea. Poate depinde de gospodărie i. Și să avem utilitatea gospodăriei i peste vectorul x să fie doar diferența la o putere între xl și acele pachete minime de subzistență. Deci eterogenitatea este în pachetele de subzistență, care pot varia în funcție de gospodării. Dar sigma sunt aceleași. Nu este sigma i. Este sigma, comună, în toate gospodăriile. Deci, dacă am avea o economie reprezentată de aceste seturi de consum și de aceste preferințe, am putea privi utilitatea lor indirectă. Și dacă faci socoteala, primești chestia asta urâtă. Dar are forma potrivită, ai p plus bp ori wi pentru gospodăria i. Și apoi adună-- și anume, adună tipul ăsta peste gospodării i. Și obțineți expresia în partea de jos a slide-ului. Și în special, eterogenitatea în pachetele de subzistență este chiar aici. Deci toate sunt diferite. Au minime diferite. Dar, în mod miraculos, suntem capabili să adunăm acele minime și să-l numim un fel de pachet de pseudo-subzistență pentru o gospodărie reprezentativă agregată care ar avea utilitatea indirectă care este scrisă aici în partea de jos a slide-ului. Nu mai am prea multe exemple în fața mea astăzi, dar vreau să spun, chiar vreau să dau-- Am vrut să vă dau un exemplu, deoarece acest spațiu de utilitate indirectă este puțin diferit și puțin abstract. Deci, aici, începem de fapt cu funcțiile de utilitate subiacente. Am spus toate acestea în cuvinte. Deci acum, să trecem la gospodăria reprezentativă normativă . Ar trebui să spun, este același tip. Este aceeași persoană. Are doar două caracteristici. Poate fi folosit pentru economie pozitivă, în sensul că este predictiv a ceea ce face întreaga economie și poate fi, de asemenea, folosit pentru a face declarații de bunăstare printr-o ordonare de rang în funcție de funcția de utilitate. Dar nu există, de exemplu, o gospodărie normativă reprezentativă și o gospodărie pozitivă reprezentativă. Este o gospodărie reprezentativă dată, cu caracteristici atât pozitive, cât și normative și suntem pe cale să trecem prin partea normativă. Deci, să avem funcțiile cererii individuale - acesta este -- primul mic paragraf aici este partea pozitivă, că aceste cereri pot fi derivate ca și cum ar fi printr-o funcție de cerere agregată, având în vedere bogăția totală a economiei. Acum, vrem să punem întrebarea normativă. Având în vedere un set de funcții individuale de cerere, putem găsi această gospodărie fictivă i stea astfel încât alocările optime Pareto în economie să poată fi considerate ca provenind de la această gospodărie reprezentativă care maximizează utilitatea? Continui să pun accent pe fictiv, uimitor, pentru că nu vreau să crezi că aceasta este o persoană reală. Este un construct. Deci, să luăm economia noastră de bază, pe care am citit-o această linie în ultimele două sau trei prelegeri. Economia subiacentă este scriptul E caracterizat prin seturi de consum, funcții de utilitate pentru toate gospodăriile, seturi de posibilități de producție pentru toate firmele, unele dotări agregate w bar. Acum, în sfârșit, definim o gospodărie reprezentativă normativă cu două caracteristici. Dacă am început cu o alocare x și y și am găsit o alocare alternativă x prim, y prim, pe care Pareto o domină x, y, adică cel puțin la fel de bună pentru unii și strict mai bună pentru alții. Apoi, sub u steaua, a evaluat că la o parte din pachetul principal este mai mare decât u steaua evaluată la pachetul original. Cu alte cuvinte, este un fel de intuitiv, dar nu este întotdeauna adevărat. Aici, pentru definirea dominantei Pareto, ne uităm la alocările individuale pentru toate gospodăriile și încercăm să găsim ceva care este cel puțin la fel de bun pentru unii și strict mai bun pentru ceilalți. Dacă putem găsi această stea u uimitoare , atunci tot ce trebuie să facem este să evaluăm agregatele, și anume, agregatul sub x prim și agregatul sub x. Și ceea ce avem nevoie-- și în afară de condiția 2, singurul lucru de care avem nevoie-- este că steaua u atribuie o valoare mai mare. Cu alte cuvinte, este mai ușor să cauți îmbunătățiri Pareto doar privind valoarea sub funcția de pseudo-utilitate evaluată la agregate. Deci al doilea lucru este similar, dar nu chiar. În loc să începem cu micro-distribuțiile subiacente, să presupunem că am avut o alocare fezabilă x și y, ca înainte, și o alocare fezabilă alternativă , x prim, y prim. Și ni se dă că sub u star, utilitatea este mai mare la agregate. Apoi vrem să pretindem că există o alocare alternativă fezabilă pe care Pareto o domină. Cu alte cuvinte, această alocare xi Pareto este optimă sau nu? Nu, dacă putem găsi o altă alocare, x prim, care domină, ci domină în sensul de u star. Și u star doar evaluează aceste lucruri la agregate însumate. Și de fapt, există o subtilitate aici care este importantă. Nu te poți opri pur și simplu. Poate fi necesar să redistribuiți. Ei bine, iată ce vreau să spun prin asta. Dacă acest lucru este adevărat, există o alocare alternativă fezabilă , tilde-- x tilde, y tilde-- astfel încât sumarea peste x tilde a alocărilor cererilor și așa mai departe să fie exact același agregat ca și în cazul primului, iar y aren nu se schimba. Deci, acest tip de pas subtil aici, nu înseamnă, neapărat, că poți să te oprești cu x prim și y prim și să pretinzi victoria, pentru că dacă te oprești acolo, nu este neapărat adevărat că toată lumea este mai bine-- sau nu mai rău. . Unele persoane pot fi deteriorate. De fapt, poate că acesta este momentul să vorbim despre comerțul liber. Când ne uitam la acea prelegere, am reprezentat o țară printr-o curbă de indiferență, ca și cum ar fi dintr-o gospodărie reprezentativă u stea pentru întreaga țară pentru a privi direcția comerțului. Așa că am făcut ca țara să fie de acord că obținem cererea într- un sens pozitiv, analizând curba de indiferență reprezentativă a agentului. Și ar fi putut părea că întreaga țară ar putea fi îmbunătățită prin comerțul liber. Pe de altă parte, ați văzut în detaliu, în două prelegeri diferite-- trei, într-adevăr-- că nu toată lumea este alungată în condițiile liberului schimb. Amintiți-vă, gospodăriile care sunt relativ bine înzestrate cu un factor care este abundent sunt ajutate de exporturi. Ceilalți băieți sunt răniți. Et cetera. Deci, cum putem pretinde că comerțul liber îi face pe toți mai bine? Trebuie să redistribuim, ceea ce nu se face întotdeauna. Prin urmare, oamenii se plâng de comerțul liber și vor tarife. Oricum, susțin faptul că această prelegere este în concordanță cu celelalte, cu excepția faptului că acum suntem în sfârșit în situația de a putea vorbi în mod explicit despre redistribuire ca o parte necesară pentru a îmbunătăți starea tuturor. Cu alte cuvinte, pentru a rezuma, chiar și atunci când avem preferințe agregate, nu este neapărat cazul că toată lumea este mai bine sub o alocare alternativă xi prim. Trebuie să redistribuiți pachetele de bază. Deci haideți să facem aceeași definiție, dar faceți-o în spațiul utilității indirecte în locul utilității directe. Să presupunem că ni se oferă un vector de bogăție, ca în distribuția venitului, și o bogăție agregată care corespunde cu aceasta. p este un vector de preț. Definiți din nou funcțiile de utilitate indirectă, așa cum am făcut. Acum, dorim să găsim această persoană vedetă miraculoasă , această gospodărie reprezentativă normativă, i star, care are o funcție de utilitate indirectă v steaua, evaluată la vectorul preț p și la averea agregată w bar. Și există două condiții, 1 și 2, care corespund cu cea din spațiul de alocare xi din slide-ul precedent. Și anume, dacă ai două configurații, începi cu o bogăție p și w. Te uiți la o alternativă, p prim, w prim, vector de preț în bogăție, astfel încât, luând în considerare utilitățile indirecte reale reale ale tuturor gospodăriilor, unii oameni nu sunt mai rău, iar alții sunt strict mai bine în condițiile alocației prime. . Deci aceasta este afirmația dominanței Pareto în spațiul funcțiilor de utilitate indirectă. Și ceea ce ne dorim este o modalitate de a o face mai ușor prin steaua, utilitatea indirectă a gospodăriei reprezentative normative, care doar evaluează scenariul alternativ, p prim și w prim. Dar este w prime adunate peste toate gospodăriile. Așa că folosim doar bogăția agregată aici, în partea stângă, și, de asemenea, bogăția agregată în partea dreaptă, când ne gândim să încercăm, citați, descomiați, „Domine Pareto”. Deci, la fel ca înainte, este foarte intuitiv, dar uimitor când este adevărat, că modalitatea de a căuta alocările dominante Pareto este doar să evaluezi alocările agregate și să vezi dacă obții o valoare mai mare sub stea v. De asemenea, mergând în sens invers, începeți cu vectorul bogăție și preț agregat p. Priviți un scenariu alternativ, p prim și w bar prim, astfel încât utilitatea sub v stea să fie mai mare în alocarea alternativă. Dacă acest lucru este adevărat, atunci există o distribuție alternativă a venitului w prim care se adaugă la bogăția agregată în alternativă - alocarea dominantă cu primul pe ea. Acum, din nou, să ne oprim aici. Acest venit alternativ înseamnă o distribuție a venitului care funcționează în scenariul principal în raport cu distribuția inițială a venitului în linia de bază fără primul. Așadar, trebuie să avem libertatea de a distribui bogăția, nu neapărat în funcție de proprietate privată, atunci când modificăm prețurile și așa mai departe, dar potențial, cu transferuri de bogăție între agenți - dând unora, luând de la alții, ca în a doua teoremă a bunăstării, unde am mai văzut acest tip de redistribuire. Așadar, găsim această alternativă astfel încât obținem dominație Pareto în funcțiile de utilitate indirectă subiacente . Nu mai rău pentru nimeni și strict mai bun pentru unii. Deci, cum găsim această gospodărie reprezentativă, sau gospodăria reprezentativă cu această proprietate normativă? Același tip, forma Gorman Polar, deși acest lucru este declarat ca o propunere. Dacă avem această formă polară Gorman cu acest mod particular în care eterogenitatea intră în funcțiile de utilitate indirectă , atunci când ne uităm la funcția de utilitate indirectă sub agregat, fiind în special suma ai plus b ori w, aceasta este gospodărie normativă. Am demonstrat deja partea pozitivă mai devreme. Acum, este normativ. Am pus atât pozitive cât și normative pe slide pentru a sublinia că, așa cum am spus, nu căutăm o gospodărie normativă diferită de gospodăria pozitivă. Căutăm această gospodărie reprezentativă cu ambele atribute. Am dovedit lucrul pozitiv mai devreme. Acum, trebuie să dovedim partea normativă. Deci, să presupunem că avem acele forme Gorman Polar, în special, pentru a ne da seama în ce direcție mergem de la condiția 1, tipul ăsta de aici. Condiția 1. Deci avem o ordonare a rangului în funcție de funcțiile de utilitate indirecte reale fiind explicită despre gospodăria i. Deci sub vi, nu mai rău pentru unii și strict mai bun pentru alții. Așa că ni se dă asta. Acum, vrem să demonstrăm că atunci când evaluăm sub v stea folosind agregatele, obținem o dominație strictă. Deci, să ne uităm la asta. v steaua sub alocare prima alternativă agregată este-- și asta tocmai acum scrie lucrurile. Aceasta este definiția funcției de utilitate indirectă steaua, cea care va funcționa. Și apoi, pe măsură ce continuăm prin aceste ecuații, recunoaștem, din nou, luarea însumării peste I în fața tuturor, că doar adunăm funcțiile de utilitate indirectă. Dar din nou, ni se dă nu mai rău pentru unii și strict mai bun pentru alții. Deci, atunci când adunăm funcțiile de utilitate indirectă sub alocarea primară și o comparăm cu alocarea inițială, trebuie să fie dominanță strictă. Și apoi, dacă inversați ordinea acestor vi-uri, colectând termeni și întoarceți-vă spre partea stângă - nu sub prim, ci sub linia de bază - veți obține această utilitate indirectă stea pentru gospodăria reprezentativă. Deci linia de jos este v steaua sub prim strict mai mare decât v steaua sub linia de bază. Și am dovedit una. Al doilea lucru pe care vrem să-l dovedim este că avem o alocare inițială și că ne uităm la o alocare primară care oferă o utilitate indirectă mai mare pentru gospodăria agregată. Și apoi vrem să găsim o modalitate de a atribui bogăția care să-i facă pe toți mai bine, în esență. Deci, din nou, de la 2, avem acest lucru ca dat, că v steaua returnează o valoare mai mare sub primă în raport cu linia de bază. Vrem să construim o distribuție alternativă a venitului -- pare că ar putea fi greu de făcut -- care îi face pe toți, de fapt, am să vă arăt, să fie strict mai bine. De fapt, dominație strictă pentru toată lumea. Și este de fapt foarte constructiv și intuitiv. Ni s-a dat deja aici că avem această ecuație 30 la agregate, partea stângă fiind mai mare decât partea dreaptă. Deci, luați diferența și numiți-o c. Este o constantă pozitivă acum, restul chestiei este doar să scrieți ceea ce v steaua este sub prim și v steaua este sub linia de bază și apoi să colectați termeni. Singurul motiv pentru a face această parte folosind definiția stelei v este să căutăm nivelurile de bogăție pe care le dorim, și anume, să dăm fiecărei gospodării proporția sa de c. Există gospodării în economie. Dați fiecăruia c peste i. Deci începem cu linia de bază în ceea ce privește funcția de utilitate indirectă . Adăugăm la linia de bază această constantă pozitivă. Și dorim ca aceasta să fie utilitatea indirectă pe gospodărie i în cadrul alternativei. Deci, acum, putem doar să rezolvăm această ecuație pentru wi. Este aproape mecanic. Acestea sunt, totuși, noile distribuții necesare a bogăției care vor funcționa. De ce funcționează? Ei bine, lucrând înapoi, dacă le dai asta, atunci avem această ecuație. Și puteți vedea, de asemenea, pentru că tocmai am adăugat o constantă la funcția de utilitate indirectă, că fiecare gospodărie i din alternativă are mai multă utilitate decât sub linia de bază. Acesta este acest vi din p prim w prim, vi din p și wi, plus această constantă proporțională. Așa că este aproape banal, pentru că acum am mers pe altă cale. Am dovedit 2, chestia asta. Deci am reușit, dacă au aceste forme Gorman Polar, să construim o funcție de pseudo-utilitate peste funcția de utilitate indirectă asupra agregatelor. Întrebări? BINE. Deci acum să revenim la problema Pareto. În special, am făcut o versiune a acestui diapozitiv când am făcut a doua teoremă a bunăstării. Avem această economie subiacentă cu consum, preferințe, funcții de producție, agregat, dotări, orthant nenegativ satisfăcător și seturi de producție convexe diferențiabile sau transformări concave, resurse agregate nenegative, seturi de consum având puncte interioare, funcțiile de utilitate fiind strict concave, și, de asemenea, un punct interior în ceea ce privește resursele agregate. Mă grăbesc puțin, dar numai pentru că ai mai văzut acest diapozitiv. Dacă toate acestea sunt adevărate, atunci putem rezolva această problemă Pareto pentru a obține alocările optime Pareto. Aceasta înseamnă doar maximizarea sumelor ponderate lambda ale utilităților supuse faptului că consumul este fezabil, producția fiind fezabilă și constrângerile de resurse fiind satisfăcute. Cererea este egală cu oferta. Ar trebui să spun, alocările sunt fezabile având în vedere dotările din setul de producție. Problemă? Ce sunt lambda? Mutăm lambda, obținem un optim Pareto diferit. Asta am făcut cu a doua teoremă a bunăstării. Și am folosit acest lucru cu partajarea riscurilor în multe aplicații anterior. Dar a trebuit să ținem evidența lambdelor. Iată ce se întâmplă cu consumatorul reprezentativ. Gata cu lambda. Acum, doar maximizăm utilitatea. Ei bine, acest x este acum consum agregat. Seturile de producție sunt aceleași ca înainte. Constrângerea resurselor este aceeași în total. Adică, x este agregat. X agregat intră în pseudofuncția de utilitate u steaua și dorim să găsim cea mai mare u. Îți amintești de ce... pentru că am demonstrat deja asta, nu? Este suficient să te privești stea în agregate în sensul de a îndeplini ambele condiții. Și asta facem aici. Căutăm doar în spațiul agregatelor sub această funcție de pseudo-utilitate u stea. Dacă nu o maximizăm, atunci când ne îndreptăm într-o direcție care o îmbunătățește, de fapt îmbunătățim bunăstarea tuturor gospodăriilor individuale. Vom domina, într-un fel, Pareto. Atât de simplu de scris, dar extrem de puternic. Și asta... deci este o macro contemporană. Aceasta este ceea ce se presupune de obicei în macroeconomie sau economia agregativă. Nicio referire la redistribuiri sau bogăție, bogății subiacente sau orice altceva. Atât de hipnotizat de gospodăria individuală, încât uităm să explicăm bazele și, în special, ipotezele de care sunt necesare. Sunt mulțumiți? Nu, de obicei nu. În acea prelegere anterioară despre microdate, am văzut că căile de extindere a veniturilor sunt un caz special. În special, există căi de expansiune neliniare. Pe măsură ce schimbăm veniturile, cota cheltuielilor crește pentru unele bunuri. Le numim bunuri de lux. Cota de cheltuieli scade pentru alte bunuri. Le numim nevoi. Și așa mai departe. Deci asta este în date. Engel a găsit asta foarte devreme. Și am prezentat și alte aplicații, bunurile Giffen fiind o versiune extremă a cazului când efectele de venit, prin necesități, sunt atât de puternice încât domină efectele prețului. Ei bine, poate se poate spera că, ca o aproximare, deși nu am satisface literalmente ipotezele, acele efecte de venit sunt aproape de a se anula. Acesta este un fel de cel mai bun caz. Macro cu suport micro. Este o referire la prelegerea despre comerț. V-am spus deja povestea mea în această după-amiază despre câștigurile de tranzacționare și despre faptul că avem perdanți, deși teorema ne spune că, dacă avem un consumator reprezentativ, atunci suntem în siguranță în privința maximului, ambele pozitivul și normativul. Dar va necesita o redistribuire de un anumit tip. Și, în sfârșit, impactul economic al COVID-19. Am pus asta acolo pentru a vă aminti de lucrurile pe care le-am găsit în acea prelegere când am analizat care a fost impactul. Și am avut gospodării relativ sărace, care erau șomeri, reducând cheltuielile sau potențial creșterea cheltuielilor doar dacă obțineau banii guvernamentali și, de asemenea, s-au uitat la gospodăriile cu venituri mai mari prin setul de date al JP Morgan. Și tipii aceia aveau modele diferite de cheltuieli. Deci, nu pare că aceste efecte se anulează atunci când ne uităm de fapt la micro-datele de bază. Adică, pentru a anula, nu s-ar întâmpla nimic... ei bine, ar trebui să fiu atent aici. Există un șoc advers agregat, evident. Cu toții suferim de asta, cel puțin indirect. Deci agregatele au scăzut. Dar atunci întrebarea este, alte schimbări se echilibrează la nivel agregat? Și datele pe care vi le-am prezentat sugerează că nu este adevărat. Deci întrebări? PUBLIC: Pot să pun o întrebare despre diapozitivul 22? ROBERT TOWNSEND: 22? PUBLIC: Da. ROBERT TOWNSEND: Da? PUBLIC: Da, aici. Sunt un pic confuz asta. Presupunem că suma lui x prim va fi egală cu suma lui x aici? Pentru că în slide-ul 21, spunem că, la [? centru?] al alocării ar trebui să fie identic cu originalul. Și suma producției - producția este egală cu originalul. Deci, când treci de la 21 la 22, mai presupunem asta? ROBERT TOWNSEND: Este doar implicit în sensul că ne uităm la bogățiile individuale și le cumulăm. Deci sunt de acord, probabil că nu este evident, dar există doar două reprezentări, una în acest spațiu al funcțiilor de utilitate indirectă cu parametrii p și w, iar cealaltă și alocările subiacente reale. Un alt mod de a spune asta este că dacă noi... unde este? Dacă am merge cu... nu o găsim. Da. Luați, ca exemplu, această funcție de utilitate și utilitățile indirecte asociate , acești tipi. Ai putea merge înainte și înapoi. Ai putea să o faci într-un fel sau să o faci în alt fel. Vei primi același răspuns. PUBLIC: Oh, am înțeles. ROBERT TOWNSEND: OK. BINE. Deci, aceasta este agregarea Gorman, cu multe piese care se unesc împreună. Data viitoare, ne vom întoarce în cealaltă direcție. Vom întreba, dacă nu facem ceva special ca asta parametric, teoria economică pune vreo restricție asupra datelor? Și răspunsul va fi da, așa că vom vorbi despre teorie care poate fi respinsă în date, ceea ce este un lucru bun. Altfel, nu există conținut. Deci asta e tot pentru azi. Multumesc ca ati venit.