[SCRÂȘIT] [FOȘNIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK, deci haideți să continuăm cu discuția noastră despre spațiile Hilbert. Și așa că ultima dată, am terminat cu teorema reprezentării Riesz , singura teorie a reprezentării pe care mi-o amintesc, teorema reprezentării Riesz , care afirmă că, dacă aveți un spațiu Hilbert, atunci pentru toate f din spațiul dual-- ceea ce rețineți, aceasta este o mulțime de hărți liniare mărginite de la H la numere complexe-- există un v unic în H astfel încât f din u este egal cu u produsul interior v pentru tot v, pentru tot u și H. Deci, fiecare funcțională liniară continuă pe un spațiu Hilbert poate să fie realizat ca un produs interior cu un vector fix. Deci, folosind aceasta, putem revizui subiectul pe care l-ați atins în atribuirea adjuncților. Așa că permiteți-mi să afirm asta ca o teoremă. Fie H un spațiu Hilbert și A care merge de la H la H un operator liniar mărginit. Concluzia este atunci că există un operator liniar mărginit unic A de la H la H, pe care îl numim adjunctul lui A, astfel încât A stea să satisfacă următoarea proprietate - pentru tot u, v în H, A u produsul interior v este egal cu u produs interior A stea v. Și, în plus, norma operatorului adjunctului este egală cu norma operatorului lui A. Deci, din nou, în același mod în care am demonstrat unicitatea pentru teorema reprezentării Riesz, puteți demonstra că un astfel de operator liniar care satisface acest lucru identitatea pentru toți u și v trebuie să fie unică. Așa că voi afirma aici doar că unicitatea unui astfel de operator A stea decurge din identitatea pe care o satisface, la fel ca vectorul v, care scuipă f din u când iei cu el produsul interior cu u. Așa cum acel vector este unic, indiferent de modul în care ați ales să-l definiți - adică cum l-ați creat pe baza acelei identități - același lucru este valabil și pentru adjunct. Deci, este același argument la care vreau să spun. Deci, cum definim acest operator? Ei bine, o definim practic prin această relație. Deci, să fie v în H. Definiți o hartă f sub v de la H la C prin f sub v a lui u este egal cu A u produs interior cu v. Acum, aceasta este în mod clar o hartă liniară. Poate că nu ar trebui să verific asta, poate că ar trebui, dar haideți să verificăm oricum. Dacă iau f din v din lambda de 1 ori u1 plus lambda 2 u2, aceasta este egală cu A ori lambda 1 u1 plus lambda 2 u2 v. Și acum, folosim faptul că A este un operator liniar astfel încât să acționeze asupra combinație liniară prin liniaritate. Deci, primesc lambda 1 A u1 plus lambda 2 A aplicat la produsul interior u2 v. Și pentru că produsul interior este liniar în prima intrare -- este liniar conjugat în a doua intrare, dar este liniar în prima intrare -- aceasta este egal cu lambda de 1 ori A u v plus lambda 2 A u2 v și care este lambda 1 f v din u1 plus lambda 2 f v din u2. Deci chestia asta este o hartă liniară. Eu susțin că este și continuu, adică este un element al dualului. Și doar verificăm. Dacă norma lui u este egală cu 1, atunci dacă iau valoarea absolută a lui f sub v aplicată lui u, aceasta este, prin definiție, A u v, care este mai mică sau egală cu inegalitatea Cauchy-Schwarz , norma lui A. u ori norma lui v. Și norma lui A u este mai mică sau egală cu norma lui A, deoarece este un operator liniar mărginit , ori norma lui v. Deci acest lucru este valabil pentru tot u și norma u este egală cu 1. Și prin urmare, norma acestui operator este mai mică sau egală cu norma lui A ori norma lui v. Deci asta demonstrează că este un element. Deci, f sub v este un element al dualului. Și acum folosim teorema reprezentării Riesz. Deci, prin teorema reprezentării Riesz, există un element unic, pe care îl notăm O stea v, în H, astfel încât pentru tot u din H, f v din u este egal cu u produs interior cu A stea v. Adică, pentru tot u din H A u v-- pentru că aceasta este definiția acestui tip din stânga-- este egal cu u A stea v. Deci, aceasta definește doar, pentru fiecare v, un element A stea v în H. Deci acum să demonstrăm că această hartă v la A steaua v este un operator liniar mărginit. Aceasta definește apoi adjunctul. Deci, mai întâi, susținem v, care se mapează la A steaua v -- elementul care satisface această identitate -- este liniar. Deci fie lambda 1, fie v1 v2 în H, lambda 1, lambda 2 numere complexe. Atunci, pentru toți cei din H, ce avem? Dacă iau -- să vedem, cum am scris acest lucru -- u produs interior cu elementul A stea lambda 1 v1 plus lambda 2 v2 -- deci nu uitați, acesta este elementul sau acesta este elementul astfel încât acest produs interior este definit prin-- este egal cu A u plus produs interior cu lambda 1 v1 plus lambda 2 v2. Și aceasta este egală cu... deci, mai întâi, produsul interior este conjugat liniar în a doua intrare. Deci, acesta este egal cu lambda 1 complex conjugat A u v1 plus lambda 2 complex conjugat A u v2. Acum, cum este definită o stea - cum se definește acest simbol, dacă doriți - este că este egal cu această cantitate aici este egal cu lambda de 1 ori A u O stea v1 plus lambda 2 bar u O stea v2. Și trăgând înapoi numerele complexe, aceasta este egală cu u lambda 1 A steaua v1 plus lambda 2 A steaua v2. Acum, acest lucru este valabil pentru tot u din H, adică produsul interior al lui u cu acest minus acesta este 0 pentru tot u din H. Și singurul lucru ortogonal cu tot ce este în H este vectorul zero. Deci, concluzionăm că acest element este egal cu... deci acest element corespunzător acestei combinații liniare este o combinație liniară a acestor elemente. Astfel, harta v care este mapată la O stea v este liniară. Și astfel desemnăm această hartă acum pur și simplu cu o stea. Acționează asupra unui vector v prin operarea cu O stea v, prin înmulțirea cu A stea. Deci, acum, O stea este un operator liniar. Când scriu O stea aici, mă refer la harta care duce v la O stea v. Deci acum vreau să verific dacă acest operator liniar este un operator liniar mărginit. Trebuie să verific dacă este continuu. Și în acest proces, vom ajunge să arătăm că norma stelei A este egală cu norma lui A. Acum, să presupunem că norma lui v este egală cu 1. Deci vreau să leg O stea aplicată la v. Deci, dacă O stea v este egală cu 0 , atunci în mod clar, O stea v este mai mică sau egală cu norma lui A. Asta, în cele din urmă, este ceea ce voi arăta. Dar am de-a face cu cazul stupid, care este atunci când acest lucru din partea stângă este 0. Deci, să presupunem că O stea v este diferită de zero. Atunci, dacă iau norma A steaua v pătrat, aceasta este egală cu A steaua v produsul interior A steaua v. Acum, prin definiția produsului interior, aceasta este egală cu A ori O stea v, v, luând acest lucru O stea și mut-o aici. Și, de către Cauchy-Schwarz, ei bine, în primul rând, toate aceste numere sunt reale, așa că are sens să scrieți mai puțin sau egal cu. Dar, de către Cauchy-Schwarz, aceasta este egală cu, sau mai mică sau egală cu, A ori A stea v norma ori norma lui v, care este egal cu 1. Acum, aceasta este egală cu 1. Și norma lui A aplicată unei stele v, care este delimitată de norma A înmulțită cu norma intrării, care este A steaua v. Și, prin urmare, am început cu A steaua v la pătrat mai mică sau egală cu norma A înmulțită cu norma A steaua v. Acesta este diferit de zero. Așadar, pot împărți cu ea și pot concluziona că A steaua v norma este mai mică sau egală cu norma lui A. Acum amintiți-vă, norma unui operator sau a unui operator liniar este sup de aceasta pentru toate v care au legat 1. Și din moment ce aceasta este mărginită mai sus de norma lui A, asta implică că norma lui A este mai mică sau egală cu norma lui A. Așa că am arătat că practic toată această teoremă, cu excepția egalității normelor. . Deci, fiecare operator liniar mărginit are un adjunct care este un operator liniar mărginit și satisface-- și este un operator liniar unic care satisface acea identitate acolo sus pentru stea A. Acum, rețineți că pentru toate u, v și H, dacă mă uit la A stea u produsul interior v, acesta este egal cu conjugatul complex al lui v produs interior A stea u, care este egal cu, prin definiția stelei A. , trece la A v u. Și din nou, aplicarea conjugatului complex schimbă ordinea intrărilor. Deci, acesta este egal cu u A v. Deci, ce am arătat? Am arătat că adjunctul adjunctului este egal cu A. Așa că am arătat că O stea u v este egală cu u ori cu A v. Și amintiți-vă că aceasta se presupune că este egal cu u O stea A stea, deci adjunctul adjunctului. Și am arătat că această cantitate este egală cu această cantitate pentru toate u și v. Și, prin urmare, adjunctul adjunctului este din nou egal cu operatorul. Astfel, prin ceea ce am făcut anterior -- argumentul anterior, dacă doriți -- aplicat acum în cazul în care A este înlocuit cu o stea, norma lui A, care este egală cu norma lui A - adjunctul adjunctului deoarece acest operator este egal cu A-- prin ceea ce am făcut, am arătat că norma adjunctului este întotdeauna mai mică sau egală cu norma lucrului cu care luați adjunctul. Deci aceasta este mai mică sau egală cu norma lui A. Și așa avem asta. Și avem aceasta, care implică norma adjunctului este egală cu norma operatorului. Deci, ce este această creatură în practică? Deci, să luăm poate un al doilea exemplu cel mai simplu. Cel mai simplu exemplu ar fi dacă sunteți pe C n și R n-- ei bine, deci să vorbim despre asta. Să presupunem că acum avem o matrice. Deci u este egal cu u1, u n. Și aceasta este în C n. Și A aplicat la u, dacă vreau coordonata i-a a acesteia, este dată de suma lui j este egală cu 1 la n din u j, unde acestea sunt doar numere complexe, niște numere complexe fixe. Deci A este doar o matrice. O transformare liniară pe C n este întotdeauna reprezentată printr-o matrice. Și aici, scriu u în termeni de vectori de bază standard 1, 0 și așa mai departe. Apoi, pentru a determina care este adjunctul, ne dăm seama care este operatorul care satisface identitatea pe care trebuie să o satisfacă adjunctul. Deci, dacă luăm A u și luăm produsul său interior, vrem să scriem asta-- așa că permiteți-mi să scriu asta într-o casetă-- vrem să putem scrie asta ca u cu un operator B aplicat la v. Și apoi aceasta ar fi-- și, prin urmare, acesta ar fi adjunctul. Deci, dacă scriem A u produsul interior v, acesta este egal cu suma i egală cu 1 la n din v i complex conjugat. Și acesta este, prin definiție, egal cu-- Voi scrie doar suma peste i și j, i și j merg de la 1 la n, a conjugatului complex A i, j, u i v j . Și dacă acum schimb acest lucru și sum mai întâi în raport cu i și apoi în raport cu j, pot scrie acest lucru ca u j sum i este egal cu 1 la n din A i j aplicat la v i conjugat complex, conjugatul complex acolo. Și deci acest lucru îmi spune că-- deci aceasta este egală cu suma j egală cu 1 la n u j și ori cât voi numi adjunct aplicat la v j unde-- care este adjunctul? Sau cum funcționează adjunctul pe un element v? Aceasta este egală cu suma de la - să presupunem că vreau al -lea membru acum - aceasta este suma de la j este egală cu 1 la n A j i complex conjugat aplicat la v j. Deci, pentru matrice - din nou, acest lucru ar trebui să fie revizuit - dacă A este reprezentat de matrice, atunci adjunctul, care este de asemenea reprezentabil printr-o matrice, este reprezentabil de matrice. Deci ar trebui să spun că matricea pentru adjunctul A i j este egală cu A j i complex conjugat. Deci am făcut asta pentru C n. Nu există niciun motiv pentru care să nu putem face asta pentru, să spunem, micul l2 acum și să-l facem puțin mai interesant. Deci, să presupunem că acum am acum infinit de numere A i j, deci o secvență dublă în C n, astfel încât suma i j, suma A i j pătrat, care este legată pe măsură ce n merge la infinit, a sumei lui i este egală cu 1 la n, j este egală 1 la n, este finită. Acum, să definim A acum de la mic l 2 la mic l 2 prin A aplicat unei secvențe, pe care am pus sublinierea dedesubt, sau să o facem u. OK, am folosit A pentru elementele din mic l p, deoarece suma j este egală cu 1 până la infinit A i j A j. Și aici, aceasta este pentru A este egal cu A puțin l 2. Acum, prin inegalitatea Cauchy-Schwarz, puteți verifica că dacă această condiție este îndeplinită, atunci acesta este un operator liniar mărginit. Valoarea absolută a acestui lucru va fi mai mică sau egală cu suma j este egală cu 1 până la infinitul lui A i j suma j pătrat, rădăcina pătrată înmulțită cu norma l 2 a lui A. Și, prin urmare, pot însum că folosind-- asta este l 2 însumabil folosind faptul că acesta este finit. Nu vă faceți griji pentru faptul că însumez această sumă dublă într-un anumit fel prin j mergând de la 1 la n, i mergând de la 1 la n. De fapt, dacă este absolut însumabilă în aceasta, care este -- este suma numerelor nenegative -- această sumă nu depinde de modul în care o însumez în acest fel. Deci, acesta este un operator liniar mărginit. Și care este adjunctul lui? Adjunctul său va avea aceeași aromă cu ceea ce am primit pentru cazul cu dimensiuni finite. Și pentru tot A B și micul l 2, dacă iau produsul interior al lui A aplicat la u, A, B și micul l 2, aceasta este egală cu suma peste i-- Adică, aceeași dovadă se aplică, în esență-- sum i j A i B i conjugat complex, care este egal cu suma j A j i A i j B i complex conjugat, complex conjugat, care este egal cu produsul interior cu A steaua B, unde A steaua B este definită prin sum-- deci I ar fi trebuit să spună că aceasta este i-a intrare din această nouă secvență din l 2. Și aici, a i-a intrare din această nouă secvență din l 2 este definită a fi j egal cu 1 la infinit A j i complex conjugat B j. Deci, la fel ca în cazul cu dimensiuni finite, pentru acest caz, dacă schimb variabilele acestui A-- dacă doriți o matrice dublă infinită, dacă doriți să o gândiți în acest fel -- este la fel ca în cazul caz cu dimensiuni finite. Să facem un ultim exemplu. Deci nu voi trece din nou prin calculele, care sunt foarte asemănătoare. Aici, avem un fel de sume finite. Dacă puteți face ceva cu sume, ar trebui să vă gândiți dacă o puteți face sau nu pentru integrale. Deci, să presupunem că K este o funcție continuă pe 0, 1 cruce 0, 1. Și definim o hartă A despre care putem arăta că merge de la L 2 la L 2 prin A f lui x este egală cu integrala de la 0 la 1 a lui K din x, y, f din y dy. De fapt, aceasta este pentru fiecare f din L 2, A f-- acest lucru este, de fapt, o funcție continuă. Este mai mult decât doar în L2. Este, de fapt, o funcție continuă. Dar funcțiile continue pe 0, 1 sunt elemente ale L2 pe 0, 1. Apoi puteți verifica, așa cum am făcut în aceste alte două exemple, că adjunctul lui f este egal cu-- sau să facem acest lucru diferit-- să spunem că adjuvantul aplicat la g este egal cu integrala de la 0 la 1 K y, x complex conjugat g al lui y dy. Deci, din nou, este ca și cum ar fi răsturnarea indicilor și a lua conjugatul complex. Am spus la sfârșitul clasei trecute că puteți spune ceva despre solubilitatea ecuațiilor pe baza modului în care adjunct-- pe proprietățile adjunctului. Vom vedea un alt mod în care acest lucru se manifestă mai târziu. Acesta este un fel de cel mai simplu mod. Și deci să presupunem că H este un spațiu Hilbert. Și A de la H la H este un operator liniar mărginit. Apoi-- am folosit Ran în sarcini, așa că îl voi folosi în acest fel aici-- intervalul A, complement ortogonal-- așa că intervalul pe care îl puteți afișa este un subspațiu al lui H. De fapt, cred că a fost în una dintre sarcinile anterioare. Dacă luați complementul ortogonal al acesteia, acesta este egal cu spațiul nul al adjunctului. Așa că aici, permiteți-mi să-mi amintesc acea gamă a unui operator B-- asta este exact ceea ce este. Acesta este un set de toți vectorii B u unde u este în H și spațiul nul al lui B -- L-aș fi numit nucleu, l-aș fi putut eticheta ca nucleul lui B, dar ambele înseamnă aceeași mulțime. Aceasta este o mulțime de tot u din H astfel încât B u este egal cu 0. Deci, în special, dacă știm că avem un operator A astfel încât domeniul este un subspațiu închis, atunci a putea rezolva ecuația A u este egal cu v este echivalent cu a arăta că spațiul nul al adjunctului este pur și simplu 0. Așa că permiteți-mi să fac asta ca o remarcă. Să presupunem că domeniul lui A este închis. Atunci A de la H la H este surjectiv dacă și numai dacă adjunctul este injectiv, adică singurul lucru care este setat la 0 este vectorul zero. Deoarece dacă spațiul nul este egal cu 0-- deci mai întâi, este ușor de văzut dacă domeniul lui A este egal cu H, atunci complementul ortogonal al lui H este vectorul zero. Deci spațiul nul al adjunctului este doar o mulțime care conține vectorul zero. Acum, dacă faza nulă a adjunctului este doar un vector zero, atunci luând complementele ortogonale ale ambelor laturi și folosind faptul că intervalul este închis astfel încât complementul ortogonal al complementului ortogonal îmi dă înapoi mulțimea, concluzionez că domeniul lui A este egal cu complementul ortogonal al vectorului zero, care este H, întregul spațiu. Deci știm că avem un operator care are un interval închis. Atunci a fi surjectiv este echivalent cu adjunctul fiind injectiv. Deci, dovada acestui lucru, totuși, este destul de ușoară. Deci B este în spațiul nul al stelei A dacă și numai dacă u O stea B este egală cu 0 pentru toate u din H. O stea v este egală cu 0 dacă și numai dacă acest lucru este valabil pentru tot u din H. Și acest lucru este echivalent cu, prin proprietatea adjunctului, u produsul interior al unei stele v este egal cu A ori produsul interior v v, deci A u, v este egal cu 0 pentru tot u din H. Deci v este un lucru fix. Deci, aceasta spune că v este ortogonal cu toate elementele lui H de forma A ori u. Dar acesta este doar intervalul lui A. Deci, acesta este echivalent cu B este în complementul ortogonal al intervalului lui A. Deci, în curând vom intra în domeniul lucrurilor mai rafinate pe care le putem spune despre rezolvarea anumitor ecuații care implică operatori, adică când poți rezolva A u este egal cu v și așa mai departe. Dar acum, cea mai bună teoremă despre asta pe care ar trebui să o știi sau poate auzită la un moment dat din algebra liniară este teorema rangului-nulitate , care spune că dimensiunea intervalului plus dimensiunea spațiului nul este egală cu dimensiunea -- să spunem treci de la spații cu aceeași dimensiune, apoi dimensiunea intervalului plus dimensiunea nucleului -- s- ar putea să înțeleg greșit; este sfârșitul unei zile; este sfârșitul unei zile lungi -- echivalează cu dimensiunea întregului spațiu. Deci ceea ce spune aceasta este că, în esență, pentru a putea rezolva o ecuație dată, intrarea dvs. trebuie să satisfacă un număr finit de relații liniare. Și soluția acelei ecuații este unică până la mai multe... sau un subspațiu cu dimensiuni finite. Acum, acesta este cel mai bun lucru pe care îl poți spune. Intrarea trebuie să satisfacă un număr finit de relații liniare și unice. Deci existența se bazează pe datele tale care satisfac multe condiții liniare finite și aveți unicitate până la un subspațiu dimensional finit, adică spațiul nul. Acum, aceasta este din algebra liniară cu dimensiuni finite. Ar fi grozav dacă am putea face același lucru pentru dimensiuni infinite, nu doar pentru că ar fi distractiv, ci în cele din urmă pentru că trebuie să facem aceste lucruri, sau ar trebui să spun că trebuie, dar nu în sensul că un avion aripa va cădea dacă nu facem noi. Dar pentru a afla mai multe despre anumite probleme care apar, ar fi grozav să poți face aceste lucruri. Și le vom putea face pentru anumiți operatori, care sunt într-un fel -- aceștia nu sunt singurii operatori, ci pentru anumiți operatori care sunt aproape de a fi matrici într-un anumit sens. Deci vom ajunge la asta într-un minut. Acum, acești operatori pe care le vom studia în cele din urmă proprietățile de solvabilitate au o natură sau o proprietate foarte specială asupra modului în care acţionează asupra secvenţelor mărginite. Acum, ceva ce luați de la sine înțeles în R n este că, dacă am un operator liniar și am o secvență mărginită de vectori, atunci A mapează asta la o secvență mărginită de vectori, deoarece o matrice este un operator liniar mărginit. Este nevoie de seturi mărginite de mulțimi mărginite. Și prin urmare, după teorema Heine-Borel, va exista o subsecvență a imaginilor acestor vectori, care converge. Deci există o oarecare compactitate ascunsă în ceea ce faci pe R n și C n. Și de ce rătăcesc acum? Ajung la punctul final că trebuie să studiem puțin despre compactitate și spațiile Hilbert pentru a ajunge în cele din urmă la locul în care putem spune mai multe despre capacitatea de a rezolva ecuații care implică operatori liniari mărginiți, acum în dimensiuni infinite. Deci, cu această acumulare divagatoare, sper că v-am convins că ar trebui să studiem puțin despre ce înseamnă pentru mulțimi să fie compacte într-un spațiu Hilbert. Deci, să ne uităm la compactitatea în spațiul Hilbert. Așa că permiteți-mi să vă amintesc ce înseamnă pentru un set să fie compact într-un spațiu metric. Dacă X este un spațiu metric, spunem că o submulțime K din X este compactă dacă fiecare șir de elemente din K are o subsecvență care converge către un element din K. Deci o mulțime este compactă dacă fiecare șir de elemente din mulțime are o subsecvență care converge către un element din mulţime. Deci, cele mai simple tipuri de mulțimi compacte de pe Pământ sunt mulțimi finite. Acest lucru decurge din principiul porumbeilor, practic. Deci cel mai simplu exemplu sunt mulțimi finite de submulțimi finite ale unui spațiu metric, ale oricărui spațiu metric. Acum, avem această teoremă foarte grozavă din Intro Analysis, care poartă numele de Heine-Borel, care spune o submulțime K în R-- puteți înlocui R cu R n sau C n, dar acest lucru decurge din unidimensional caz, în esență-- o submulțime K a lui R este compactă dacă și numai dacă K este o submulțime închisă a lui R și mărginită. Deci, de exemplu, intervalele închise și mărginite a, b-- sunt toate mulțimi compacte. a, b, mulțimea constând din 1 peste n, n un număr natural, unește elementul 0. Și aceasta este o mulțime compactă. Este închis și este mărginit. Acum, aceasta este o teoremă despre elementele submulților compacte ale lui R. Se poate construi din demonstrația acestui lucru, într-adevăr, pentru a obține rezultatul pentru R n și C n. Proprietățile metrice ale lui C n sunt aceleași cu R 2n, deci să spunem doar R n-- că o submulțime a lui R n este compactă dacă și numai dacă este închisă și mărginită. Acum, asta este valabil pentru spații metrice arbitrare? Nu. Este valabil pentru spațiile Banach? Nu. Ai făcut un exemplu pentru una dintre sarcini care a demonstrat că micul l p nu este compact. Dar dacă vom specializa spațiile Hilbert? Răspunsul este încă nu. Deci, să facem din asta un non-exemplu, deoarece am făcut exemple acum un minut. Deci toate acestea, ca submulțimi ale lui R, acestea sunt toate compacte. Deci, să presupunem că H este un spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite . Atunci bila închisă B este egală cu mulțimea lui u și H-- să o facem F-- astfel încât lungimea lui u să fie mai mică sau egală cu 1. Acesta este o mulțime închisă și mărginită. Puteți verifica asta. Acesta nu este compact. Să revenim la compactitate. Deci, să presupunem că H este o dimensiune infinită - să-l facem chiar separabil, așa cum sunt toate spațiile Hilbert bune. Atunci bila unității închise nu este compactă. Deci de ce este asta? Fie e n egal cu 1 la infinit b n-- sau, de fapt, nu trebuie să fie separabil. De fapt, dacă luați orice spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite , puteți găsi prin... nu trebuie să îl facem separabil. Puteți găsi întotdeauna un subset ortonormal, ortonormal infinit infinit, de H. Acum, în cazul separabil, l-am putea alege astfel încât să fie o bază ortonormală. Dar asta chiar nu contează. Doar faptul că H este un spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite , putem găsi o submulțime numărabilă. Deci putem găsi un subset numărabil infinit de vectori ortonormali. De ce asta? Deoarece putem găsi o mulțime numărabilă de vectori independenți liniar -- un spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite sau un spațiu vectorial cu dimensiuni infinite. Și apoi le putem face ortonormale prin aplicarea procesului Gram-Schmidt la acea colecție și putem găsi un subset ortonormal infinit infinit. Apoi, pentru toate n care nu sunt egale cu k, obținem acea normă e n minus e k pătrat - aceasta este egală cu, din nou, folosind legea paralelogramului - ei bine, nu trebuie să aplic legea paralelogramului. Pot doar să aplic ceea ce este asta. Aceasta este egală cu norma n pătrat plus norma e k pătrat plus 2 părți reale e n e k. Și din moment ce sunt ortogonale, acesta este 0. Și din moment ce sunt normalizați la 1, acesta este egal cu 2. Deci, pentru oricare două elemente distincte din succesiune, distanța dintre cele două este egală cu 2. Deci, există în niciun caz secvența acestor vectori ortonormali nu poate avea o subsecvență convergentă. Pentru că o subsecvență convergentă ar însemna că dacă merg de-a lungul subsecvenței, sau această subsecvență trebuie să fie Cauchy, astfel încât diferența dintre vectori trebuie să devină mică. Dar niciodată nu este mic. Este întotdeauna cel puțin mai mare sau egal cu 2, cel puțin lungimea la pătrat sau distanța la pătrat. Deci aceasta este o submulțime închisă și mărginită care nu este compactă. Există secvențe care nu au -- sau această secvență nu are o subsecvență convergentă. Deci întrebarea este, care este condiția suplimentară de care am nevoie pentru a concluziona că un subset al unui spațiu metric este compact? Din Real Analysis 18.100, fiecare set compact trebuie să fie închis și mărginit. O implicație este că, dacă ceva este compact, este închis și este mărginit. Ce condiție suplimentară pe set - deci să fie închis și mărginit este o necesitate a setului. Ce condiție suplimentară garantează că este compact? Poate nu dacă și numai dacă, așa cum am făcut pentru Heine-Borel, dar cel puțin ceva simplu de verificat, astfel încât submulțimea spațiului Hilbert să fie compactă. Acum, dacă nu ai văzut asta în 18.100, e în regulă. Dar această întrebare poate sau ar fi putut fi pusă deja într-un context diferit în 18.100. Și cel puțin când l-am predat, 100B, a fost că puteți pune aceeași întrebare despre subseturile de funcții continue. Deci definiția unei mulțimi compacte este în raport cu un spațiu metric. Nu trebuie să fie un spațiu interior al produsului. Deci spațiul funcțiilor continue pe, să zicem, 0, 1-- acesta este un spațiu metric perfect cu norma infinitului. Ați putea să vă întrebați, care sunt condițiile pe un set pentru a vă asigura că setul este compact? Și cele trei condiții sunt închise, mărginite - pentru că acestea sunt necesare pentru ca mulțimea să fie compactă - și ceea ce se numește „echicontinuu”. Deci, pentru submulțimile spațiului de funcții continue, dacă submulțimea este închisă, mărginită și ceea ce se numește echicontinuu, atunci submulțimea este compactă. Aceasta este celebra teoremă Arzela-Ascoli. Și această condiție suplimentară, echicontinuitatea, este într-un anumit sens ceea ce vă permite să reduceți problema de a arăta că spațiul dvs. este compact la cazul cu dimensiuni finite. Are grijă de dimensiunile infinite sau are grijă de partea infinită, într-un sens. Acest lucru nu este foarte specific, dar este necesar pentru a controla toate lucrurile, cu excepția unui număr limitat de lucruri, într-un anumit sens. Echicontinuitatea în Arzela-Ascoli este ceea ce vă ajută să controlați toate lucrurile, dar nelimitate. Acum, există o teoremă similară pe care o puteți demonstra, acum în spațiile Hilbert. Să spunem doar teorema. O parte a teoremei va fi o definiție, din păcate, dar să fie H un spațiu Hilbert. Ei bine, nu vom demonstra încă teorema pe care vreau să o demonstrez. Am sărit înainte cu unul. Deci vom motiva o anumită condiție. Așa că m-am devansat cu doar un minut cu o singură teoremă. Dar permiteți-mi să introduc definiția. Deci, fie H un spațiu Hilbert. O submulțime K de mulțimi H are cozi echimice în raport cu o submulțime ortonormală numărabilă. Deci noua terminologie este „cozi egale--” e n dacă-- să facem acest K-- într-un anumit sens-- deci prin inegalitatea lui Bessel, suma coeficienților Fourier, dacă doriți, sau suma pătratelor al produsului interior e K cu un vector fix-- acesta este întotdeauna mărginit de norma vectorului pătrat. Și, prin urmare, converge întotdeauna. Deci, cozile echimice înseamnă că, într-un fel, acea serie converge sau capătul de coadă a acelei serii converge, uniform în raport cu această submulțime ortonormală. Deci, cu alte cuvinte, pentru orice epsilon pozitiv, există un număr natural N astfel încât pentru toate v din mulțimea K, dacă mă uit la coadă, acesta este mai mic decât epsilonul pătrat. Deci, cumva, având în vedere epsilon, pot alege întotdeauna un N care este independent de elementul din K, astfel încât capătul de coadă, dacă doriți, seria Fourier să fie mică. Și acest N poate fi ales independent de elementul din K. Așa că vă las pe voi să verificați dacă K este pur și simplu o mulțime finită, aceasta implică că K are cozi echimice în raport cu orice submulțime ortonormală. Deci, care este motivația acestei definiții este că următorul cel mai simplu tip de set care este compact. Deci, așa cum am spus, orice submulțime finită a unui spațiu metric este compactă. Acum, voi da un exemplu de alt set compact, mai interesant. Dar acel set compact satisface și această proprietate, că are cozi echimice în raport cu orice submulțime ortonormală numărabilă. Și atunci, ar trebui să sperăm că, dacă o mulțime este închisă, mărginită și are proprietatea că, în raport cu o bază ortonormală, are cozi echimice, atunci acea mulțime este compactă. Și asta e ceea ce se va dovedi în cele din urmă , dar nu cred că vom ajunge la asta astăzi. Dar, deci, încă un pic de motivație despre motivul pentru care aceasta ar putea fi condiția suplimentară potrivită de adăugat la seturi închise și delimitate pentru a produce seturi compacte este oferită de următoarele. Deci, din nou, fie H un spațiu Hilbert și să fie într-o secvență convergentă. Acum să fie e K o oarecare submulțime ortonormală ortonormală, numărabilă. Deci două lucruri sunt valabile -- unul este că mulțimea K este egală cu o mulțime de elemente v N unirea limitei. Acesta este compact. Dovada este dată în [? Mel?] [? Notele lui Rose?] și am să vă las pe voi să vă uitați în sus sau să vă descurcați . Nu este atât de greu să-ți faci drum. Și K are cozi echimice în raport cu e K. Deci această submulțime constând dintr- o secvență convergentă împreună cu această limită este compactă. Și are detalii echivalente cu privire la orice subset ortonormal numărabil. Așa că, așa cum am spus, o să vă las unul. 2 vom demonstra. Cât timp am? Nu mai am mult timp, dar ar trebui să putem termina asta. Trebuie să verificăm această definiție. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deci de ce ar trebui să... care este ideea de ce ne așteptăm ca acest set să aibă cozi egale? Așa că trebuie să verific dacă pot găsi un întreg suficient de mare încât toate pătratele acestor coeficienți să fie mici. Acum, ideea este că v N-urile sunt în esență foarte aproape de a fi v, cel puțin pentru N foarte mari. Și pentru un v fix, pot alege întotdeauna un N majuscul, astfel încât acest lucru să fie valabil. Și astfel încât N să aibă grijă de infinit de multe, și atunci trebuie doar să aleg N suficient de mare pentru v și, de asemenea, finiți mulți care nu sunt foarte aproape - finiți multe elemente ale acestei secvențe care nu sunt aproape de v. Asta este în esenţă argumentul. Deci, deoarece v N converge spre v, există un număr natural M astfel încât toți N mai mari sau egali cu M, am v N minus v, iar norma este mai mică decât epsilon peste 2. Acum, alegeți numărul natural N atât de mare încât acea sumă k mai mare decât N din v v k-- aceasta este mică, deci aici, v este fix. Și avem întotdeauna că toată această sumă converge prin inegalitatea lui Bessel. Și, prin urmare, putem alege întotdeauna un N, astfel încât coada să fie mică. Și putem face același lucru pentru primele M minus 1 elemente ale secvenței, deci plus max de 1, astfel încât totul să fie mai mic decât epsilon pătrat peste 4. Deci, pentru fiecare v N, pot găsi o majuscule - deci pentru v1, pot găsi un N1, astfel încât acesta să fie mai mic decât epsilon pătrat peste 8, să zicem. Și apoi pentru N este egal cu 2, N este egal cu 3, până la N minus 1, pot găsi un N capital sub n. Apoi iau capitalul N ca fiind maximul acelor N sub n capitaluri finit împreună cu N de care am nevoie pentru asta. Deci, acesta este argumentul de ce pot găsi un astfel de N majuscul. Am doar o mulțime de lucruri pe care trebuie să le fac mici, pe care le pot individual. Acum, susțin că acest N capital funcționează. Deci trebuie să arăt că dacă iau orice element din K, atunci are o coadă mică. Apoi am că, după cum am ales N, suma peste k mai mare decât N din v e k pătrat -- aceasta este mai mică decât epsilon pătrat peste 4, care este mai puțin decât epsilon pătrat. Și pentru toți 1 mai mic sau egal cu n este mai mic sau egal cu n minus 1, aceeași limită. Deci, trebuie doar să verific acum că acesta este mic atunci când n este mai mare sau egal cu M. Acum, dacă n este mai mare sau egal cu M, prin inegalitatea lui Bessel , avem că ceva K mai mare decât N v n e K pătratul nostru, dacă pot lua 1/2 putere și arăt că este mai puțin de epsilon. Deci, acesta este egal cu K mai mare decât N din v N minus v plus v. Deci pot-- e K plus-- deci să scriem astfel. Acum, aceasta este norma mică l2 a unei sume a două secvențe în K, nu N, ci în K. Deci, prin inegalitatea triunghiului pentru secvențele din mic l2, aceasta este mai mică sau egală cu suma K mai mare decât N din v N minus v e K 1/2 plus suma de la K mai mare decât N din v e K la puterea 1/2. Acum, această cantitate pe care o am deja control. Adică mai puțin de epsilon peste 2. Iau 1/2 putere aici. Și pot lega asta de inegalitatea lui Bessel. Aceasta este mai mică sau egală cu norma v N minus v plus-- și apoi folosind limita pentru aceasta-- epsilon peste 2. Și acum amintiți-vă, cum se alege capitalul M? M majuscul este ales pentru a ne asigura că acesta este mai mic decât epsilon peste 2, ceea ce putem face deoarece v N-urile converg către v. Deci, acesta este mai mic decât epsilon peste 2 plus epsilon peste 2 este egal cu epsilon, demonstrând că această mulțime constând din elemente ale unei secvențe convergente împreună cu limita, are cozi echimice în raport cu o submulțime ortonormală arbitrară . Deci data viitoare, vom demonstra că dacă avem o submulțime a unui spațiu Hilbert separabil care este închis, mărginit și are detalii echimice în raport cu o bază ortonormală, care există deoarece este un spațiu Hilbert separabil , atunci mulțimea este compactă. Și apoi, vom reformula asta într-un mod care să nu implice spații Hilbert și să mergem de acolo și să începem să ne uităm la unii dintre acești operatori pe care i-am spus, care sunt aproape de matrice. Bine, ne oprim aici.