[SCRÂTÂND] [FOȘIT] [FĂCÂND] CASEY RODRIQUEZ: Așa că vom continua cu discuția noastră despre derivat. Deci acum, permiteți-mi să-mi amintesc definiția pe care am introdus-o la sfârșitul ultimului timp al derivatei. Deci, să fiu un interval, adică ar putea fi deschis, închis, s-ar putea stinge la plus infinit, s-ar putea stinge la minus infinit. Dar știi ce este un interval. Și să luăm o funcție din acel interval la R. Deci spunem, f este diferențiabilă într-un punct c din I. Dacă această limită a f de x minus f de c peste x minus c, acest coeficient de diferență, dacă această limită există. Dacă această limită există, o notăm și prin f prim din c. Și ultima dată, am arătat că-- am dat un exemplu simplu, că de data trecută, dacă x este egal cu alfa ori x cu n, atunci această funcție este diferențiabilă la fiecare c, iar derivata ei este egală cu n ori alfa x c la n minus 1. Acum, să afirmăm acest lucru într-un mod echivalent folosind secvențe. Amintiți-vă, am avut această caracterizare a limitelor funcțiilor. Și funcția la care ne uităm este f de x minus f de c peste x minus c. Am avut această echivalență între limitele și limitele secvențelor de data trecută, că limita ca, să spunem, g de x ca x merge la c este egală cu L, dacă și numai dacă pentru fiecare șir x sub n convergând la c g dacă x sub n converge spre L pe măsură ce n merge la infinit. Deci putem reformula ce înseamnă ca o funcție să fie diferențiabilă într-un punct și derivata ei să fie L, să zicem, dacă și numai dacă pentru fiecare secvență x sub n, cu x sub n nu este egal cu c pentru tot n și convergând la c, avem că L este egal cu această limită, deoarece n merge la infinit de acum această succesiune de numere, f de xn minus f de c peste x de n minus c. Așadar, astăzi, tema zilei de astăzi este legătura dintre diferențiere și continuitate. Și avem o implicație foarte ușoară, care este că, dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct, atunci trebuie să fie continuă în acel punct. Deci aceasta este o afirmație a acestei teoreme, dacă f mergând de la un interval la R este diferențială la c, atunci f este și continuă la c. Așadar, permiteți-mi să adaug aici că continuitatea în punctul c într-un interval este echivalentă cu a spune că limita ca x merge la c din f din x este egală cu f din c. Acum, acesta este doar un punct subtil pe care vreau să-l subliniez, este că pentru un interval, deschis, închis, jumătate deschis, jumătate închis, orice punct din acel interval este un punct de grup al acelui interval. Și, prin urmare, această definiție pe care am făcut-o acolo este de fapt semnificativă. Și pentru continuitate, ceva care este continuu la c este echivalent cu -- dacă c este un punct de grup, ceea ce tocmai am spus că este -- este întotdeauna, această limită este egală cu funcția evaluată la punctul respectiv. Deci este doar un comentariu subtil pe care vreau să-l fac. Deci, cum demonstrăm asta? Scriem limita pe măsură ce x merge la c din f al lui x ca în acest fel. Deci, în esență, ceea ce fac este să adun și să scad f din c. Și apoi, partea care este f din x minus f din c, o înmulțesc cu x minus c și împart cu x minus c, ceea ce este perfect. Pentru că nu uitați, pentru o limită, nu mă uit niciodată la punctele în care x este egal cu c. Deci e bine. Și așa, am această expresie aici. Acum, ceea ce știm despre limite, este că limita sumei este suma limitelor atâta timp cât există toate aceste limite. Și limita produsului este un produs al limitelor, din nou, presupunând că toate aceste limite există. Și limita așa cum x merge la c a tot ceea ce vedeți aici există. Deci, când x merge la c, acest lucru între paranteze, sau în... Presupun că acestea sunt paranteze. Nu stiu cum se numesc astea. Această limită aici este f prim pentru c. Pe măsură ce x merge la c din x minus c, acesta este doar 0. Și f din c este doar o constantă. Nu se schimba nimic cu x. Deci limita unei constante este acea constantă. Deci primesc doar f din c. Deci limita acestei expresii este f prim de c ori 0 plus f din c, care este egal cu f din c. Așa că tocmai am demonstrat că limita pe măsură ce x ajunge la c din f din x este egală cu f din c, ceea ce dorim să demonstrăm. Și, prin urmare, o funcție care este diferențiabilă într-un punct trebuie să fie continuă în acel punct. Deci, ca studenți începători la matematică, învățăm dovezi, dar învățăm și întrebări, ce tipuri de întrebări să punem. Și ori de câte ori întâlniți o nouă teoremă care are o implicație, o ipoteză, o concluzie, atunci ar trebui să vă întrebați dacă este și inversul? Concluzia implică și ipoteza? Deci am arătat că f diferențiabilă la c implică că f este continuă la c. Deci inversul este valabil? Și anume, dacă f este continuă într-un punct, aceasta înseamnă că f este diferențiabilă în acel punct? Și după cum puteți vedea deja acolo, răspunsul este, nu. Cred că probabil ai acoperit asta în calcul. Dar care este funcția care dă acest contraexemplu care este continuu la c, dar nu poate fi diferențiat la c? Ei bine, să luăm, de exemplu, c este egal cu 0. Și să ne uităm la funcția f a lui x este egală cu valoarea absolută a lui x. În această funcție de aici, aceasta este continuă în fiecare punct. Deci, în special, la c este egal cu 0. Dar nu este diferențiabil la c este egal cu 0. Și cum vii cu-- și cum faci asta? Cum arăți că ceva nu este diferențiabil? Cel mai simplu mod este să folosiți această remarcă aici, găsind o succesiune convergentă către c, astfel încât coeficientul de diferență să nu aibă o limită pe măsură ce n merge la infinit. Așa că asta vom face aici este, vom găsi o secvență x sub n, cu x sub n care nu este egal cu 0 pentru toți n convergând la 0, astfel încât această limită să nu existe. În loc să scriu asta, pentru că limita nu există, nu prea are sens să scriu nici măcar asta. Permiteți-mi să scriu asta ca spunând, deoarece secvența este divergentă. Acum, cum vom veni cu această secvență, x din n, astfel încât coeficientul de diferență să nu convergă? Ei bine, care este logica? Deci, pentru f din x este egal cu valoarea absolută a lui x, arată astfel. Se pare că x-- este egal cu x aici minus x aici. Deci, dacă ar fi să diferențiezi în mod formal-- ei bine, vreau să spun, ai putea de fapt să diferențiezi la stânga lui 0, vei obține că derivata este egală cu minus 1. La dreapta, derivata este 1. Așa că acest fel sugerează că poate există unele afaceri amuzante se desfășoară la 0. Deci, să ne uităm la o secvență care alternează între a fi negativă și pozitivă, dar converge la 0 și să vedem dacă acea secvență ne va oferi această secvență dorită, care are ca rezultat divergențul coeficientului de diferență . Deci hai să presupunem doar. Fie xn minus 1 la n peste n. Nu trebuie să fie acesta, doar ceva care alternează înainte și înapoi ar fi suficient. Deci, acesta ar putea fi n pătrat aici, sau 2n, sau n până în 2020, orice doriți. Apoi, acesta este în mod clar întotdeauna diferit de zero. Și converge către 0. Și, desigur, de ce converge către 0? Adică, ai putea demonstra acest lucru prin definiția epsilon m, dar și dacă iau valoarea absolută, aceasta este mai mică sau egală cu 1 peste n. Și știm că acesta converge la 0, 0. Deci, prin teorema de strângere, lucrul din mijloc trebuie să convergă la 0. Și am terminat. Deci avem această secvență x sub n este egală cu minus 1 la n peste n, care alternează înainte și înapoi. Și sperăm că va avea ca rezultat ca acest coeficient de diferență să fie divergent pe măsură ce n merge la infinit. Și așa, calculăm asta. Să ne uităm la diferența coeficientului f de x sub n minus f de 0. F de 0, care este 0. Deci obțin doar f din x sub n, care este valoarea absolută a minus 1 la n peste n peste x sub n, care este minus 1 la n peste n. Acesta este doar egal cu-- deci este doar egal cu 1 peste n peste minus 1 la n peste n, care este egal cu minus 1 la minus n. Dar minus 1 la minus n, acesta este egal cu același lucru cu minus 1 la n. Deci această secvență aici de coeficienti de diferență, deci f de xn minus f de 0 peste xn minus 0, aceasta este doar egală cu secvența minus 1 la n, despre care știm că este divergentă, nu are o limită. Acesta este unul dintre primele exemple ale unei secvențe despre care am demonstrat că nu converge. Deci, în rezumat, această funcție f a lui x este egală cu valoarea absolută a lui x este continuă la c este egal cu 0, dar nu este diferențiabilă la c este egal cu 0. Deci, acum, o întrebare firească pe care oamenii o pun este, deci o funcție care este continuă într-un punct nu nu implică neapărat că este diferențiabilă. Dar să luăm o funcție care este continuă pe dreapta numerică reală. Există un punct în care este diferențiabilă? Deci este deja pe tablă. Dar aceasta nu este o întrebare complet nebunească de pus. De exemplu, să revenim la f de x este egal cu valoarea absolută a lui x. Această funcție este diferențiabilă peste tot, cu excepția 0. Deci, există o mulțime de puncte în care această funcție este diferențiabilă. Este diferențiabilă pentru c pozitiv și c negativ. Deci, pentru această funcție continuă, există puncte în care este diferențiabilă. Și vă puteți imagina că încercați să desenați orice fel de curbă pe o bucată de hârtie. Și probabil că puteți găsi un punct pe acea curbă care are o tangentă. Adică, dacă stai acolo cu un creion și apoi încerci să desenezi ceva foarte zimțat, vreau să spun, vor fi încă mici secțiuni ale curbei tale zimțate unde are o tangentă. Așa că îmi imaginez că acesta este motivul pentru care oamenii au crezut că acesta este cazul, că o funcție continuă trebuie să aibă cel puțin un punct în care este diferențiabilă. Iar Weierstrass, nașul analizei, a spus, nu. El a venit cu o clasă întreagă de exemple de funcții, care sunt continue pe dreapta numerică reală, dar nu sunt diferențiabile nicăieri. Și acesta a fost un set cu adevărat surprinzător de exemple și rezultat pentru comunitate. Și pentru mine, este, de asemenea, unul dintre puținele rezultate din această clasă pe care cu adevărat nu le-ați văzut la clasa de calcul. Deci vom trece prin acest exemplu. Deși în majoritatea orelor de analiză, este rezervat pentru mai târziu. Dar cred că o putem face acum. Și așa. Ceea ce vom demonstra este -- așa că vom construi o funcție care este continuă peste tot, dar nu este diferențială nicăieri, deci o funcție continuă diferențiabilă nicăieri. Și chiar o să notez funcția pentru tine. Deci, care este ideea pe care a avut-o Weierstrass? A fost, lasă-mă... ei bine, nu am de gând să notez funcția încă. Dar ideea de a construi o astfel de funcție este că ar trebui să fie extrem de oscilativă. Imaginați-vă, din nou, că încercați să desenați o imagine a graficului unei funcții care nu este diferențiabilă nicăieri. Stăteai acolo și rupeai creionul încercând să desenezi doar o funcție extrem de oscilantă, astfel încât să nu aibă niciodată o tangentă. Și aceasta este ideea lui, este de a construi o funcție care este foarte oscilativă, dar prea oscilativă, astfel încât să fie continuă în fiecare punct. Deci, pentru a începe cu construcția acestei funcții, care este continuă, dar nu poate fi diferențiată nicăieri, vom avea nevoie de câteva fapte simple pentru a începe. Deci, din nou, lasă-mă să scriu, să ne declar scopul. Vom construi o funcție continuă de la R la R, care nu este diferențiabilă nicăieri Nu diferențiabilă, nu este diferențiabilă în niciun moment. Deci, să începem cu câteva fapte simple despre-- așa că am spus că vom construi o funcție care oscilează destul de mult. Există două funcții pe care le cunoașteți, care oscilează cosinus și sinus. Deci acestea vor fi elementele noastre de construcție. Vom alege una dintre ele. Să alegem cosinusul, să zicem, ca să fie elementul nostru de construcție. Dar oricum, să începem cu câteva fapte elementare despre cosinus. Deci, mai întâi, pentru toate x, y și R, cosinusul x minus cosinusul y este mai mic sau egal cu valoarea absolută a x ori x minus y. Al doilea este că pentru fiecare număr real c și pentru tot k număr natural, există un y în c plus pi peste k, c plus 3 pi peste k, astfel încât - și permiteți-mi să etichetez asta ca teoremă unu - astfel încât cosinusul lui kc-- e amuzant-- minus cosinusul lui ky este mai mare sau egal cu 1. Deci ambele sunt fapte simple despre cosinus. Într-adevăr, acesta decurge doar din formula sumei unghiurilor. Acesta rezultă din periodicitatea cosinusului. Dar de ce sunt acestea adevărate? Așa că, în primul rând, am dovedit-- și poate că ar fi trebuit să folosesc sinus în loc de cosinus în toate astea. Dar dacă vă amintiți din secțiunea noastră de continuitate, am demonstrat că pentru toate x și y, sinus x minus sin y este mai mică sau egală cu valoarea absolută a x minus y pentru toate x și y. Și a existat o relație simplă între cosinusul x și sinusul a ceva. Și aceasta este doar o schimbare cu pi peste 2. Atunci cosinusul x minus cosinusul lui y, acesta este egal cu sinus x plus pi peste 2 minus sinus y plus pi peste 2. Și dacă doriți, permiteți-mă, în loc să folosesc x și y aici, permiteți-mi să folosesc a și b. Deci, acesta este mai mic sau egal cu x plus pi peste 2 minus y plus pi peste 2 folosind această inegalitate. Deci asta dovedește numărul unu. Pentru numărul doi, este doar un simplu fapt că cosinusul este 2 pi periodic. Deci funcția g a lui x este egală cu cosinusul k a lui x. Acest lucru este, de asemenea, periodic. Dar acum, care este perioada? Este 2 pi peste k. Acum, acest interval are legătura 2 pi, cu excepția faptului că lipsește punctul c plus pi peste 2 și c plus 3 pi peste k. Astfel, dacă mă uit la imaginea lui... OK. Atunci, această funcție g a lui x este egală cu cosinusul k a lui x. Dacă mă uit la imaginea acestui interval, aceasta va conține toate numerele reale între minus 1 și 1. Deci aceasta este o perioadă. Acesta este un interval de legătură 2 pi peste k. Cosinus kx este 2 pi peste k periodic. Așa că ar trebui să obțin totul între minus 1 și unu, cu excepția, eventual, a valorii de la punctele finale. Deci, luați-- și valoarea la punctele finale este minus cosinus ck. Deoarece cosinusul de k ori c plus pi este egal -- pi peste k este egal cu cosinusul lui kc plus pi. Și cosinusul ceva plus pi este egal cu cosinusul minus al acelui lucru. Deci imaginea mulțimii prin cosinus kc conține totul între minus 1 și 1, cu excepția eventualului punct final. Acest lucru se întâmplă într-adevăr doar dacă cosinusul de k ori E este egal cu 1. Deci OK. Atunci, dacă cosinusul lui kc este mai mare sau egal cu 0, atunci alegem y în acest interval c plus pi peste kc plus 3 pi peste k. Să scriem așa. Deci, dacă acest lucru este mai mare sau egal cu 0, atunci alegem y-- de ce mă confund? Deci, acest lucru este destul de simplu. Alegem y în acest interval, astfel încât cosinusul lui ky să fie egal cu minus 1. Și dacă cosinusul kc este mai mic decât 0, atunci alegem y astfel încât cosinusul lui ky să fie egal cu 1. Deci, din nou, iată-- așa că uitați-- doar pentru a obține un idee. Așa că mă îndoiesc cu un punct minor, faptul că trebuie să eliminăm, eventual, punctul în care-- posibil valoarea cosinus kc. Oricum, asta e șterge asta pentru un minut. Și să ne imaginăm că intervalul acestui tip... Adică, este un 2 pi peste k interval periodic. Deci, aceasta ar trebui să acopere practic toate valorile între minus 1 și 1. Deci cosinusul lui kc va fi fie plus, fie minus. Deci, dacă nu este negativ, atunci pot găsi un y în acest interval, deoarece este 2 pi peste k periodic. Deci cosinusul lui ky este egal cu minus 1. Și deoarece acesta nu este negativ și acesta este egal cu minus 1, diferența dintre acestea două în valoare absolută va fi mai mare sau egală cu 1. Acum, dacă cosinusul lui kc este mai mic decât 0 , apoi din nou, deoarece acest interval conține minus 1 la 1, este 2 pi peste k periodic, alegem un y astfel încât cosinusul lui ky să fie egal cu 1. Și apoi, acesta este negativ. Acesta este 1. Deci diferența dintre ceva negativ și 1 este mai mare sau egală cu 1. Și asta este dovada. Am făcut un fel de mizerie din asta. Dar acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă doar desenați o imagine cu adevărat. Deci hai sa continuam. Și din nou, ceea ce spun aceste două părți ale acestei teoreme este că cosinusul poate fi destul de oscilant dacă introduceți un k aici. Pentru că diferența dintre acest interval este de fapt destul de mică. Lungimea acestui interval este de 2 pi peste k. Dacă k este foarte mare, acesta este un interval foarte mic. Totuși, cumva, putem găsi două puncte care diferă cu cel puțin 1 ca valoare dacă le conectăm la funcție. Dar cosinusul nu este prea sălbatic, pentru că satisface această legătură. Deci acestea două sunt un fel de-- vor fi ingredientele acelei idei pe care am spus-o la început, că vom construi o funcție care oscilează, care este destul de oscilativă, dar nu este prea oscilativă încât să fie încă continuu. Și ne vom construi funcția din cosinus kx, unde k se va schimba. Așa că voi avea nevoie de încă un fapt foarte simplu. Așa că acesta, nu o să încurc prea mult. Care este următorul. Pentru toate a, b, c și R, valoarea absolută a lui a plus b plus c, aceasta este mai mare sau egală cu valoarea absolută a lui a, minus valoarea absolută a lui b, minus valoarea absolută a lui c. Și dovada acestui lucru este doar folosirea inegalității triunghiulare de două ori. Avem valoarea absolută a lui a. Acesta este egal cu a plus b plus c, minus b plus c. Și aceasta este mai mică sau egală cu, prin inegalitatea triunghiului, valoarea absolută a lui a, plus b, plus c, plus valoarea absolută de minus ori b plus c. Dar acel minus dispare cu valoarea absolută. Și apoi, mai folosesc o inegalitate triunghiulară aici pentru a obține-- și apoi dacă scad-- oh, nu am vrut să fac asta. Și așadar, dacă scad această parte din cealaltă parte a acestei inegalități, obțin enunțul teoremei. Așa că acum, vom introduce -- numiți această teoremă două -- acum permiteți-mi să vă prezint oaspetele de onoare. Deci, mai întâi, am următoarea afirmație. Pentru tot x din R, seria dată de suma de la n este egală de la 0 la infinit - și în loc de n, voi folosi k, cosinus 160 kx. Deci, iată tipul nostru foarte oscilant peste 4 la k este absolut convergent. Deci, pentru fiecare x din R, această serie converge absolut. Deci scuipă un număr real. Deci pot defini o funcție în termenii acestei serii. Fie f de la R la R definit printr-un prim-- f de x este doar numărul pe care îl obțin atunci când rămân în x de serie. Ceea ce este semnificativ, deoarece pentru toți x, această serie converge absolut. Deci aceasta este doar o funcție. am pus x. Scot un număr real. Atunci afirmația este, f este mărginită și continuă. Deci aceasta va fi funcția noastră, care este continuă, dar nu poate fi diferențiată nicăieri. După cum puteți vedea, este construit dintr-o grămadă de funcții foarte oscilatorii , cosinus de 160 kx, acesta este doar un număr foarte mare aici. Și după cum am spus, când vorbeam despre această teoremă aici, fiecare dintre acele piese este foarte oscilatoare. Pe un interval foarte mic, oscilează între două valori care diferă cu cel puțin 1. Și așa, toți acești tipi sunt oscilatori. Și sunt oscilatorii la intervale din ce în ce mai mici. Și cumva, le adunăm pe toate într-un mod pentru a obține o funcție care este oscilativă la intervale arbitrar mici. Și, prin urmare, nu va fi diferențiabilă. Deci dovada unuia este foarte ușoară. Folosim doar principiul comparației. Cosinusul de 160 k ori x peste 4 la k, acesta este mai mic sau egal cu -- deoarece cosinusul indiferent de ceea ce conectați este mărginit de 1. Acesta este întotdeauna delimitat de 1 peste 4 la k. Și prin urmare, prin principiul comparației, obținem că această serie este convergentă. Și, prin urmare, seria originală este absolut convergentă. Deci fiecare dintre acestea este mărginită de 1 peste 4 la k. Această serie converge. Aceasta este o serie geometrică. Prin urmare, prin principiul comparației, această serie converge. Deci, acum, avem această funcție definită de această serie. Rețineți, aceasta nu este o serie de puteri, deoarece o serie de puteri implică polinoame în x. Acesta este cosinusul lui x, sau un număr ori x. Deci haideți să arătăm că este mărginit. Aceeași dovadă pe care am dat-o aici arată că este mărginită. Fie x în R, atunci f de x este egal cu limita atunci când n merge la infinitul acestei sume. Și acum, pentru valorile noastre absolute , această limită se retrage. Ori de câte ori există limită, limita valorii absolute este egală cu valoarea absolută a limitei. Și aceasta este mai mică sau egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit pentru a aduce [INAUDIBIL].. Deci, prin inegalitatea triunghiului, aceasta este doar o sumă finită. Deci pot aduce valorile absolute. Și obțin suma de la a egal cu 0 la m de cosinus 160 k, x peste 4 la k, valoarea absolută. Și aceasta este mai mică sau egală cu limita, deoarece n merge la infinit de sumă k este egală cu 0 la m de 4 la minus k, din nou, pentru că cosinusul oricărui lucru este mărginit de 1. Și acesta este egal cu 4/3. Aceasta este doar o sumă de la k este egală cu 0 până la infinit 4 până la minus k. Deci această funcție este întotdeauna mărginită de 4/3. Deci funcția este mărginită. Să arătăm acum că este continuă. Așadar, pentru a arăta continuitatea unei funcții, amintiți-vă, avem acea altă caracterizare a continuității că o funcție este continuă într-un punct dacă și numai dacă pentru fiecare succesiune care converge către acel punct f din xn converge către c. Deci, înainte de a începe să scriu toate acestea, să fie c în R și să fie xn o secvență care converge către c. Deci ceea ce vrem să arătăm este că limita pe măsură ce n merge la infinitul lui f din xn minus f din c în valoare absolută este egală cu 0. Este același lucru cu a spune că limita când n merge la infinitul lui f din xn este egal cu f din c. Acum, f ca funcție mărginită. Deci această secvență, f de xn minus f de c în absolut este o secvență mărginită. Deci are un lim sup. Și am făcut un exercițiu privind misiunea că limita unei secvențe este egală cu 0 dacă și numai dacă lim sup este egal cu 0. Deci, în mod echivalent, vom arăta că lim sup de f din x sub n minus f din c este egal cu 0. Acest lucru lucru există întotdeauna pentru o secvență mărginită. Unul dintre motivele care face ca lim sup să fie atât de util, este că există întotdeauna. Deci, dacă arătăm că această limită este egală cu 0, atunci aceasta este echivalentă cu arătarea că această limită este egală cu 0. Din nou, acesta a fost un exercițiu, în care îl puteți lua ca și limita inf a ceva care este nenegativ este întotdeauna mai mare sau egal. la 0. Deci, dacă arătăm că acesta este egal cu 0, am avea că 0 este mai mic sau egal cu lim inf al acestui lucru, este mai mic sau egal cu lim sup, care este egal cu 0. Și, prin urmare, lim inf este egal cu lim sup este egal cu 0. Deci, acesta este un alt mod de a spune că aceasta este echivalentă cu aceasta. Așa că vom arăta acest lucru la lim sup de f din x sub n minus f din c este egal cu 0. Dar nu-- așa că ar putea fi puțin greu. Dar ceea ce putem arăta, și ceea ce vom arăta, este că ne vom oferi puțin spațiu. Vom arăta că pentru toate epsilonele pozitive, lim sup a lui f a lui x sub n, minus f a lui c, care este un număr nenegativ, este mai mică decât epsilonul. Deci, acesta este un număr fix, numar nenegativ, care este întotdeauna mai mic decât -- puneți mai puțin sau egal cu acolo -- care este mai mic decât orice număr pe care îl vreau. Și prin urmare, trebuie să fie 0. Și dovedind astfel, lim sup. Deci, pentru a recapitula, vrem să arătăm... avem o secvență care converge către c. Vrem să arătăm că f din xn converge către f din c. Un alt mod de a afirma aceasta este că această limită a valorii absolute între-- a diferenței dintre aceste două converge la 0. Acesta este din nou un mod echivalent de a afirma limita. Și într-o altă sarcină, am demonstrat că pentru o secvență de numere nenegative sau, dacă doriți, doar pentru o secvență de numere, aceasta converge la 0 dacă și numai dacă lim sup a valorii absolute converge la 0. Dar aceasta este o succesiune de numere nenegative, această valoare absolută a lui f din xn minus f din c. Deci acest lucru este echivalent cu acesta. Deci acest lucru pe care vrem să-l arătăm este echivalent cu acest lucru chiar de sub el. Acum, în loc să arătăm direct că această limită lim sup este egală cu 0, vom arăta că pentru toate epsilonul pozitiv este mai mic sau egal cu acel număr mic. Și, prin urmare, demonstrând că este 0, deoarece este un număr nenegativ mai mic decât orice număr pozitiv. Deci acesta este scopul nostru, să arătăm că acest lim sup este mai mic decât epsilon. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Acum vom demonstra că acel lim sup este mai mic decât epsilon. Deci, mai întâi, să fie m0 un număr natural astfel încât suma de la k să fie egală cu m0 plus 1 până la infinit de 4 până la minus k este mai mică decât epsilon peste 2. Deci această serie aici, chiar aceasta este o serie convergentă dacă merg de la k este egal cu 0 până la infinit. Și avem acest criteriu Cauchy pentru seria convergentă, care poate fi afirmat în mod echivalent ca pentru toate m0 și numărul natural, există -- sau pentru toate epsilonii, există -- așa că mai întâi, mai degrabă decât să trecem prin toate acestea, putem de fapt doar calculează asta. Că partea stângă este egală cu 4 cu minus m0 minus 1, cu suma de la L este egală cu 0 până la infinit, 4 cu minus L, care este egal cu 4/3. 4 la minus m0 nu minus 1, care este egal cu 1/2, 4 la minus m0. Deci, dacă m0 este ales foarte mare, acesta este 4 la minus m0. Deci asta este... Pot scrie asta ca 1/2 peste 1/4. Și atâta timp cât m0 este ales foarte mare, o pot face întotdeauna foarte mic. Acolo e partea stângă. Deci pot găsi întotdeauna m0, astfel încât acesta să fie cazul. Și acum, calculăm lim sup a lui f de xn minus f de x. Am împărțit asta în două bucăți. Aceasta este egală cu lim sup apoi a două părți, suma de la k este egală cu 0 la m0 de cosinus de 160 k xn minus - deci fiecare dintre acestea este definită în termeni de sumă. Deci voi sparge suma până la m0. Și apoi, totul trecut de m0, acesta este egal cu 1 peste 4k ori cosinus 160 k xn minus cosinus 160 kx, plus suma de la k este egală de la 0 la m0 plus 1 la infinit, 1 peste 4 k, același lucru, valoare absolută. Și acum, folosim inegalitatea triunghiulară și faptul că lim sups păstrează inegalitatea. Deci valoarea absolută a acestui lucru este mai mică sau egală cu suma valorilor absolute. Și lim sup a acelor secvențe este mai mică sau egală cu suma lim sups. Acesta a fost un alt exercițiu dintr-o misiune sau ați făcut ceva similar cu lim int. Deci, acesta este mai mic sau egal cu lim sup de - acum folosesc inegalitatea triunghiulară, suma de la k este egală cu 0 la m0, 4 minus k, cosinus 160 k x din n minus cosinus 160 k - oh dragă. Deci am tot scris x. Am vrut să scriu c. Îmi pare rău pentru asta. c, c, c, c. BINE. Și apoi, același lucru în aceste paranteze aici. Acum, [INAUDIBLE] ar putea păstra asta. Deci avem că acest lim sup al lui f din x sub n minus f al lui c este mai mic sau egal cu lim sup al acestui tip, plus lim sup al acestui tip. Și acum, voi folosi din nou inegalitatea triunghiului, aducând valorile absolute în interiorul sumelor, ceea ce este perfect valabil, chiar și pentru suma infinită prin același argument pe care l-am folosit practic acolo. Acesta este mai mic sau egal cu lim sup pe măsură ce n merge la infinitul minus cosinus de 160 kc, iar sup plus lim sup al sumei de la k este egal cu m0 plus 1 până la infinit, acum, valoarea absolută a aceluiași lucru. Acum, am aplicat inegalitatea triunghiului la asta. Acum, cosinusul oricărui lucru este întotdeauna mărginit de 1. Deci, acesta este mărginit de -- mai întâi, permiteți-mi să mă întorc la al doilea. m0 este fix. Amintiți-vă, acest lucru nu se schimbă în interior. Este doar reparat. Depinde doar de epsilon. Deci m0 este fix. Și aceasta este mai mică sau egală cu lim sup de int. Acum folosim ceea ce știm despre cosinus, acel cosinus a ceva minus cosinus al altceva este mărginit de diferența din argument. Deci, acesta este delimitat de minus 4 la minus k ori 160 k xn minus 160 kc, plus lim supa de k este egal cu m0 plus 1 la infinit, 4 minus k ori 2. Deoarece acesta este mărginit de 1, acesta este mărginit de 1. Acum , nu a mai rămas niciun n aici. Deci, acest lucru este chiar acum egal cu asta. Și am ales m0 astfel încât această cantitate aici să fie mai mică decât epsilon peste 2. Deci, ori 2, aceasta este mai mică decât epsilon. Deci aceasta este mai mică sau egală cu lim sup, suma de la k este egală de la 0 la m0 de 40 k. Acum, din nou, acesta este doar un număr fix. Lim sup este în n. Acesta este doar un număr fix ori x sub n minus c. Diferența în aceasta este doar egală cu 160 k ori 4 cu minus k, adică 40 k. Și apoi, am ales m0, astfel încât această cantitate de aici să fie mai mică decât epsilon. Și acum, pe măsură ce n merge la infinit, x sub n converge către c. Deci acest lucru aici converge la 0, egal cu 0 plus epsilon este egal cu epsilon. Deci, pentru mine, aceasta este o primă dovadă reală de analiză, în care folosiți tot ceea ce ați fost expus până în acest moment pentru a demonstra o teoremă cu adevărat profundă. Așa că treci prin asta încet. Dar nu sunt prea multe - estimările nu sunt chiar atât de complicate odată ce le ai în fața ta. Deci am arătat că pentru toate epsilonul, acest lim sup este mai mic sau egal cu epsilonul. Pentru că amintiți-vă, am terminat cu epsilon aici. Dar am început să estimăm acest lim sup aici. Acum suntem în măsură să demonstrăm teorema finală pe care vrem să o demonstrăm. Și asta se datorează lui Weierstrass. Funcția pe care am studiat-o, f de x este egală cu suma de la k este egală cu 0 la infinit cosinus 160 kx peste 4 la k nu este nicaieri diferențiabilă. Deci, cu tot ce am făcut până acum, așa că această funcție este continuă. Noi am dovedit asta. Deci această teoremă vă oferă un exemplu de funcție care este continuă, dar nu poate fi diferențiată nicăieri. Și cu ceea ce avem pe tablă, și anume părțile cheie vor fi ceea ce este în prima teoremă de acolo. Și cu această inegalitate triunghiulară pe care o avem aici, vom putea demonstra acest lucru. Deci, de fapt, permiteți-mi să- mi acord puțin spațiu. Și voi enunț teorema doi de acolo, pentru că am nevoie de puțin spațiu pentru a îndrepta într-un minut. Pentru toate a, b, c, valoarea absolută a lui a, plus b, plus c este mai mare sau egală cu a minus valoarea absolută a lui b minus valoarea absolută a lui c. Așa că permiteți-mi să rezumam. Din moment ce l-am rezumat deja. Ce am făcut până acum, am arătat că această funcție aici este bine definită. Absolut, seria este întotdeauna absolut convergentă. Și, prin urmare, această funcție este mărginită și/sau am demonstrat, de asemenea, că este mărginită și continuă. Asta a fost teorema anterioară. Deci această funcție este mărginită și continuă. Și vom demonstra că nu este diferențiat nicăieri. Și din nou, care este ideea? Ideea este că l-am construit din funcții care sunt extrem de oscilante la scară din ce în ce mai mică. Deci, cumva, această funcție este extrem de oscilativă la fiecare scară. Și dacă aveți o funcție care este foarte oscilativă la fiecare scară, dacă unii dintre voi au auzit de mișcarea browniană, care este o funcție care este... Adică, care este o cale care este foarte oscilativă, atunci acea funcție nu va fi diferentiabil oriunde. Deci dovadă, fie c orice număr real. Și ceea ce vom face, la fel ca atunci când ne-am uitat la f din x este egal cu valoarea absolută a lui x, vom construi sau găsim o secvență x sub n, astfel încât x sub n să nu fie egal cu c pentru toate n, xn converg spre c. Și succesiunea, f de x de n, minus f de c, peste x sub n minus c, de fapt, este divergentă. Dar vom merge și mai departe, este nelimitat. Și, prin urmare, succesiunea nu poate converge. Și, prin urmare, funcția nu este diferențiabilă la c. Deci vom folosi teorema unu pentru a găsi șirul. Prin teorema unu, și anume partea a doua, pentru tot N, un număr natural, există x din n, astfel încât ce? x sub n este în acest interval de formă. Deci c plus pi peste 160 n este mai mic decât x, este mai mic decât c plus plus 3 pi peste 160 n. Și cosinusul lui 160 n x din n minus cosinusul lui 160 nc este mai mare sau egal cu 1. Așa că permiteți-mi să numesc aceste două proprietăți a și b. Deci, un alt mod de a scrie a este, am fi putut scrie în schimb , scăzând c peste bord, că x sub n minus c este între pi peste 160 n și 3 pi peste 160 n. Deci prin a, pentru tot n, x sub n nu este egal cu c, deoarece diferența lor este mărginită mai jos de un număr pozitiv. Adică, diferența lor este de fapt pozitivă și nu este zero. Deci, și după teorema strângerii, din nou, dacă vă place să puneți c pe ambele părți, obținem că x sub n converge către c. Deci aceasta va fi secvența noastră - secvența noastră proastă, pentru care coeficientul de diferență este nemărginit. Deci, de fapt, lasă-mă să scriu asta puțin mai mult. Și x sub n minus c, care este egal cu x sub n minus c, deoarece acesta este pozitiv, este mai mic de 3 pi peste 160 n. Și aceasta merge la 0. Prin urmare, valoarea absolută a lui xn minus c converge către 0. Și, prin urmare, x sub n converge către c. Acum, pentru a reduce numărul de ori când trebuie să scriu cosinus 160 k, să fie fk din x cosinus 160 kx peste 4 la k. Deci f al lui x este egal cu suma lui k egală cu 0 a lui fk al lui x. Și acum, ceea ce vom face este să găsim o limită inferioară a valorii absolute a lui f de xn minus f de c peste x sub n minus c. Așa că acum, găsiți o limită inferioară pe... dacă pot găsi o limită inferioară a acestei valori absolute, care devine mare, atât de mare cât vreau, atunci asta dovedește că această secvență este nelimitată și am terminat. Deci, să ne uităm la valoarea absolută a lui f lui xn minus f a lui c. Să scriem asta în câteva moduri diferite. Sau nu în câteva moduri diferite. Dar haideți să o împărțim ca o sumă. Deci toți acești tipi sunt egali cu o sumă de f sub k. Deci il am pe al n-a. Deci, amintiți-vă, f sub k, acesta este doar unul dintre aceste blocuri de construcție. Plus suma de la k este egală cu 0 la n minus 1, plus am pus x aici. Am vrut să scriu c. Și așa, voi lăsa un sub n să fie acest prim număr, b sub n al doilea număr, inclusiv suma. Și acesta va fi c sub n. Deci, acesta este egal cu un sub n plus b sub n plus c sub n. Și acum voi folosi inegalitatea triunghiulară pe care am demonstrat-o. Atunci f din x sub n minus f din c este mai mare decât-- care este egal cu un sub n plus c sub n plus c sub n este mai mare sau egal cu un sub n, minus b sub n, minus c sub n. Acum, un sub n, acesta va fi... aceasta este doar diferența dintre acești tipi. Aceasta este delimitată mai jos de 1. Deci este cam mare. Nu 1, ci 1 peste 4 la n. Acești băieți pe care îi vom demonstra că sunt foarte mici în comparație cu a sub n. Și apoi, această limită inferioară - această limită superioară pe care o avem pe x sub n minus c va fi cuiul din sicriu, așa cum spunem. Deci, scopul nostru este acum să estimăm de dedesubt un sub n-- amintiți-vă, încercăm să găsim o limită inferioară pentru această cantitate peste x sub n minus c. Deci trebuie să estimăm aceste lucruri de jos, sau această sumă de jos. Aceasta înseamnă că trebuie să estimăm acest lucru de jos, și apoi b sub n și c sub n, deoarece au semne minus, de sus. Acum, prin b, un sub n, care este egal cu 4 la minus n, cosinus 160 nx din n, minus cosinus 160 la nc. Acesta este... amintiți-vă cum am ales aceste x sub n-uri. Acesta este mărginit deasupra de 1 sau mărginit dedesubt de 1. Deci, acesta este mai mare sau egal cu 4 la minus n. Deci acesta este un sub n. Acum, să ne uităm la cât de mare este b sub n. Acum, vrem să legăm asta de sus. Pentru că atunci când atinge semnul minus, aceasta va inversa inegalitatea și vom avea că aceasta ar fi delimitată de jos de ceva. Deci, valoarea absolută a lui B7, care este egală cu suma de la k este egală cu 0 la n minus 1 din fk din x din n minus f din c, k din c. Și aducând valorile absolute în interior prin inegalitatea triunghiului, aceasta este mai mică sau egală cu suma din k este egal cu n minus 1 din f din fk x din n minus fk din c. Și acum, deci aceasta este egală cu suma de la k egal cu 0 la n minus 1, 4 la minus k, cosinus 160 k, x sub n minus cosinus de 160 kc. Și acum folosim teorema unu, numărul doi-- sau numărul unu. Îmi pare rău, teorema prima parte. Deci aceasta este teorema 1, 1. Diferența dintre acestea este mărginită de 160 k ori diferența dintre cele două. Deci asta e... și acum, aceste lucruri le putem rezuma într-o formă închisă. Ei bine, de fapt, x sub n minus c, am demonstrat că este mai mic de 3 pi peste 160 n. Deci aceasta este mai mică decât o sumă din k este egală cu 0, n minus 140 k. Și aceasta este egală cu 3 pi peste 160 n. Acum, suma de la k este egală cu 0 la n minus 1 40k, am folosit această formulă pentru însumarea unei sume geometrice. Aceasta este egală cu... cu ce a fost aceasta egală? 40 la n minus 1 peste 39. Și care este mai puțin decât... OK, așa că ia-l pe cel. Acesta este 1 peste 13, de patru până la minus n ori pi. Și asta este mai puțin decât-- pi este mai mic decât 4. Deci plus 1. Așa că permiteți-mi să rezumam asta. Este mai mic decât sau la 1 peste 13 patru și minus n plus 1. Acum, pentru ultima casetă, aceasta este mai mică-- valoarea absolută a lui c sub n. Și valoarea absolută este mai mică sau egală cu... acum, facem doar o estimare brutală. Aducem valorile absolute înăuntru. Deci, acesta este egal - așa cum am avut înainte, cu b sub n-urile, cu excepția faptului că acum însumăm de la k egal cu n plus 1 la infinit. Am adus valorile absolute înăuntru. Și apoi, să folosim inegalitatea triunghiului pentru asta. Aceasta este... amintiți-vă, fk este egal cu cosinusul de 160 k ori x peste 4 cu k. Deci, indiferent de ce plug-in, acesta este delimitat de 1 peste 4 la k. Și acum asta putem să însumăm de fapt. Aceasta este egală cu 4 la minus n minus 1, suma multiplicată de la L este egală cu 0 la infinit de 4 la minus L. Cu ce ​​este egală? Aceasta este egală cu 2 ori 4 cu minus int minus 1 ori 4/3 este egal cu 2/3 4 cu minus n. Așadar, munca mea la consiliu devine puțin proastă, dar va fi în regulă. i.e. am demonstrat că valoarea absolută a lui c sub n este mărginită cu 2/3 4 la minus n. Deci combinând tot ce am făcut. Am arătat că f din x sub n minus f din c. Care amintiți-vă, este mărginită mai jos de un sub n-- amintiți-vă, deci prima casetă este delimitată de 4 la minus n. Deci, în primul rând, totul, a sub n-urile, b sub n-urile, c sub n-urile, au unele înainte către minusul n implicat. Ce sa întâmplat cu estimarea mea pentru b? Oh, acoperind-o până la 4 la minus n. Deci acesta este unul care provine de la sub n-urile a și minus 4 peste 13 provenind de la sub n-urile b, minus 2/3 provenind de la sub n-urile c. Și dacă faci aritmetica, acesta este 4 la minus n, 1 peste 39. Deci f de x sub n minus c este mărginit de jos de 4 la minus n ori 1 peste 39. Acum doar împart la x sub n minus c, care este mărginit mai sus de 3 pi peste 160 n. Și, prin urmare, când iau reciproce, înțeleg asta. Obțin că valoarea absolută a lui f de x de n minus f de c peste x de n minus c este mărginită de sus de 1 peste x de n minus C ori 4 la minus n, 1 peste 39, care este mărginită mai jos de acum inserând această estimare aici. Primesc 40 n peste... Cred că este 1017 pi. Da. Și, prin urmare, valoarea absolută a coeficientului de diferență este mărginită mai jos de 40 la n peste un număr fix. Și acest lucru din partea dreaptă este nemărginit, ca în, presupun, ca în variază pentru că de la 1 la infinit. Și prin urmare, valoarea absolută a acestui coeficient de diferență este nemărginită, ceea ce termină demonstrația. Așa că am făcut câteva lucruri, poate câteva lucruri pe care nu le-ați văzut la cursul de calcul. Cu siguranță nu am văzut asta, cel mai probabil. Și într-adevăr, acesta este primul rezultat care implică o mulțime de matematică pe care le-am acoperit până în acest moment pentru a demonstra o teoremă foarte netrivială și profundă că diferențiabilitatea este un pic un miracol. Este un miracol când se întâmplă. OK, ne oprim aici. .