[SCRÂȘIT][FOȘIT][CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK, deci numele jocului de astăzi este compact. Și așa că ultima dată mi-am amintit că definiția unei submulțimi a unui spațiu metric x este compactă dacă fiecare secvență xn din k, deci fiecare șir de elemente din k are o subsecvență convergentă în K, are o subsecvență care converge către un element din k . Și așa, de exemplu, după teorema Heiner-Borel, submulțimile închise și mărginite ale lui Rn sau Cn sunt compacte. Aceasta este din 18100. Și submulțimile generale închise și mărginite ale unui spațiu Hilbert nu sunt neapărat compacte. Ultima dată când ne-am uitat la bila unității închise în spațiul Hilbert, sau să spunem în micul l2, aceasta nu este compactă, deoarece puteți lua vectori de bază ortonormali care sunt secvențele care au zero, cu excepția unuia în locul n-lea. Acestea sunt toate legate de unități. Și secvența constând din acești vectori de bază, care sunt secvențe, deci secvența de secvențe nu converge în l2 mic sau are o subsecvență care converge în l2 mic. Așa că căutam o condiție suplimentară care să asigure compactitatea. Și ca o pregătire pentru acest lucru, ultima dată am demonstrat următoarele că la-- așa că lucrăm întotdeauna într-un spațiu Hilbert care poate fi separabil sau nu, în funcție de dacă spun că este sau nu-- că dacă luăm un secvență, o secvență convergentă în H, atunci concluzia este, 1, că mulțimea k formată din toate elementele acestei secvențe și limită este compactă. Și mulțimea k are ceea ce se numesc cozi echi-mici în raport cu orice submulțime ortonormală a lui H. Dacă e sub k este o submulțime ortonormală numărabilă a lui H, atunci este valabilă următoarele, această condiție pe care am numit-o K având cozi echi-mici, atunci pentru fiecare epsilon pozitiv, există un număr natural N astfel încât pentru toate-- să-i spunem-- folosiți o literă diferită, v tilde în K, deci fie un element al șirului, fie v, avem că suma peste K este mai mare decât N pătrat este mai mic decât epsilon pătrat. Deci, ceea ce spune acest lucru în această condiție pe care am numit-o K are cozi echi-mici în raport cu acest submult ortonormal. Așadar, desigur, pentru orice v fix, deoarece acest întreg some-- uitați doar K peste N-- este mărginit de norma acestei v tilde pătrat de inegalitatea lui Bessel. Putem alege întotdeauna un N pentru orice v tilde individual. Acum cozile egale mici înseamnă că pot alege acest lucru independent de elementul din K. Deci, dacă vă plac cozile uniform mici, este un alt mod în care vă puteți gândi la asta. Dar terminologia equi a fost folosită în schimb. Dar un alt mod este de a crede că putem face uniform cozile în raport cu o secvență ortonormală sau subset ortonormal de H mici. Acum, ceea ce vom demonstra este că, de fapt, această condiție aici de a avea cozi echi-mici în raport cu o bază ortonormală pe deasupra mulțimii care este închisă și mărginită, este suficientă pentru a demonstra că submulțimea este compactă. Și aceasta este următoarea teoremă. Deci fie H un spațiu Hilbert separabil. Și să fie ek o bază ortonormală a lui H. Așa că am spus suficient, dar nu doar suficient. De asemenea, este necesar, așa cum vom arăta. Atunci K submulțimea lui H este compactă dacă și numai dacă K este închis, mărginit și are cozi echi-mici în raport cu această bază ortonormală, deci în special pentru orice bază ortonormală. Deci, aceasta este o descriere completă a submulților compacte ale unui spațiu Hilbert, sunt acele submulțimi care sunt închise, mărginite și au detalii echi-mici cu privire la o bază ortonormală. Și ceea ce spune această teoremă este că, dacă are detalii echi-mici cu privire la o bază ortonormală și este închisă și mărginită, atunci același lucru este valabil și în ceea ce privește orice bază ortonormală. OK, deci hai să dovedim... deci este o stradă cu două sensuri. Ei bine, nu are sens să spunem că o stradă este mai scurtă, o parte a străzii este mai scurtă - poate mai largă, mai ușor de utilizat. Dar să demonstrăm că dacă K este compact, atunci implică toate acestea. Deci, să presupunem că K este compact și K este închis și mărginit de teoria spațiului metric general. Așa că căutați acest lucru în materialul din anii 18100 sau introducerea materialului de analiză. Așa că haideți-- asta ne oferă, de asemenea, o oportunitate de a înțelege această condiție de coadă echi-mică, fiind nevoită să o negăm. Deci vom demonstra, de asemenea, că K are detalii echi-mici prin contradicție. Deci, să presupunem că K nu are cozi echi-mici în raport cu această bază sau această bază ortonormală. Atunci ce înseamnă asta? Deci, acesta este un pentru tot ce există într-o declarație. Deci, există un epsilon rău, astfel încât pentru tot N, un număr natural, există un uN în K astfel încât-- deci aceste N cresc astfel încât u-- deci avem negația condiției care a satisfăcut K mai mare decât N din uN eK pătrat este mai mare sau egal cu acest epsilon 0 pătrat. Așadar, rețineți că aceasta este o secvență din această mulțime compactă K. Și astfel, prin proprietatea definitorie a unei mulțimi compacte, aceasta trebuie să aibă o subsecvență convergentă, ceea ce implică că există o secvență pe care o desemnați de obicei folosirea lui N, N majuscul sub m, unele altă scrisoare. Dar o voi numi doar , pentru a face o mică legătură cu ceea ce am scris acum un minut, v sub n. Deci aceasta este o subsecvență a u sub capital N și v în K astfel încât v sub n converge către v. Acum, pentru tot N, număr natural, avem acea sumă peste K mai mare decât n din vN eK pătratul este mai mare decât epsilon 0 pătrat deoarece aceasta este o subsecvență a secvenței originale care a îndeplinit această condiție. Acum, acesta ar fi de fapt capital N sub n. Dar dacă aș mai adăuga ceva , N majuscul sub n ar fi o succesiune crescătoare de numere. Și este întotdeauna mai mare decât n. Deci pot înlocui acel N sub n capital cu acesta. În regulă, deci este în regulă. Atunci asta spune că submulțimea constând din elementele v sub n din uniunea numerelor naturale v nu are cozi echi-mici, ceea ce este o contradicție cu teorema pe care am demonstrat-o data trecută. Acest lucru contrazice teorema anterioară pe care am afirmat-o și am demonstrat-o data trecută. Deci orice succesiune convergentă împreună cu limita sa este o mulțime compactă și are cozi echi-mici. Deci asta e o contradicție. Și care a fost ipoteza care ne-a adus la această bifurcație în sine este presupunerea că K nu este compact. Deci K-- Adică, nu compactul lui K. K are cozi echi-mici în raport cu această bază ortonormală. Deci, aceasta este o direcție în care, dacă K este compact, atunci trebuie să aibă cozi echi-mici în raport cu baza ortonormală. Nu am folosit nimic despre ca aceasta să fie o bază, așa că, de asemenea, aceasta spune că, dacă aveți un set compact, atunci, în ceea ce privește orice submulțime ortonormală, are cozi echi-mici în raport cu acel submult ortonormal. Deci acum să folosim această condiție că K este închis și mărginit și are cozi echi-mici pentru a demonstra că K este compact. Deci, să presupunem că K este închis, mărginit și are cozi echi-mici în raport cu această bază ortonormală. Acum să fie uN o secvență în K. Deci vrem să arătăm că are o subsecvență care converge către un element din K. Acum, K este închis, ceea ce înseamnă că dacă iau orice succesiune care converge în K sau care orice succesiune a elementelor din K care converg, limita trebuie să fie în K. Aceasta este definiția unei mulțimi care este închisă. Deci trebuie doar să arăt că această secvență, de fapt, are o subsecvență de convergență. Asta e tot ce am de arătat. Deci, deoarece K este închis, trebuie doar să arătăm uN ca o subsecvență convergentă. Deci ideea este să folosim ceea ce știm despre submulțimile mărginite de numere complexe. Deci știm despre submulțimile mărginite de numere complexe. Dacă am o secvență mărginită - nu ar trebui să spun submulțimi, dar dacă am o secvență mărginită de numere complexe, are o subsecvență convergentă. Acesta este un Bolzano-Weierstrass. De obicei, este afirmat în termeni de submulțimi ale lui R. Dar șirurile de numere complexe converg dacă și numai dacă partea reală și cea imaginară converg și sunt mărginite dacă și numai dacă partea reală și imaginară, care sunt șiruri de numere reale, sunt mărginite. Deci, Bolzano-Weierstrass implică imediat o afirmație similară pentru numerele complexe, că fiecare șir mărginit de numere complexe are o subsecvență convergentă. asa de. Cum am folosi asta? Ceea ce vom face este să extindem ONU. Și aici vom folosi asta ca bază ortonormală în ceea ce privește această bază ortonormală. Deci, pentru fiecare K, vom avea o succesiune de numere complexe date de intrarea, intrarea K-a, bineînțeles intrarea K-a a acestei secvențe. Și aceasta va fi o secvență mărginită de numere complexe, deoarece presupunem că K este mărginit și, prin urmare, această secvență este mărginită în K. Deci ceea ce vom ajunge să avem este intrare cu intrare, o secvență mărginită de numere complexe în care aceste numere complexe reprezintă K-a intrare a secvenței de vectori. Și vom lua apoi o subsecvență care converge pentru prima intrare. Vom lua o subsecvență a acelei subsecvențe pentru a obține o subsecvență care converge pentru prima și a doua intrare, apoi așa mai departe și așa mai departe, un argument de diagonalizare. Și acea succesiune pe care o vom arăta converge. Acum, nu este atât de simplu pentru că dacă poți face ceva de 10 ori nu înseamnă că poți obține un control uniform. Avem doar controlul pentru orice număr finit de intrări. Ceea ce ne salvează în cele din urmă este această condiție de coadă echi-mică, care ne permite practic să aruncăm infinit de intrări. Asta spune că puteți alege întotdeauna un N, astfel încât capătul de coadă al intrărilor să nu conteze. Și astfel încât, cu controlul asupra primului bloc mare de intrări, va fi suficient pentru a încheia. Deci asta a fost foaia de parcurs. Dacă nu ai urmat foaia de parcurs, bine. Sper să urmați dovada. Dar este un argument diagonal. Și acestea sunt relativ ușor de înțeles, oarecum greu de scris, așa că voi face tot posibilul. Deci, deoarece K este mărginit, asta implică că există un c nenegativ astfel încât pentru tot n, norma lui u sub n este mai mică sau egală cu C. C este independent de n. Depinde doar de mulțimea K. Și, prin urmare, se stabilește pentru toți K și n-- Ar trebui să spun pentru toți K, pentru toți n, dacă mă uit la K-th-- dacă mă lăsați să numesc asta coeficientul Fourier în această bază în această bază ortonormală a lui ek, dacă mă uit la K-al-lea coeficient Fourier, acesta este mărginit de Cauchy-Schwartz, u n ek. Și acestea sunt ortonormale, așa că aceasta are lungimea unității. Aceasta este delimitată de c. Deci, pentru fiecare K fix, aceasta este o succesiune în N de numere complexe care este mărginită. Secvența constând din K-al-lea coeficient Fourier al elementelor u sub n, deci n este lucrul care se schimbă, este șirul mărginit de numere complexe. Deci, acum, aici vom începe să alegem subsecvențe de subsecvențe, astfel încât să obținem convergență de-a lungul intrărilor. Deci, deoarece u sub este mărginit, acest lucru implică faptul că există de către Bolzano-Weierstrass, o subsecvență, pe care o voi desemna u sub n sub 1 din k-- permiteți-mi să nu folosesc k. Să folosim... ce folosesc aici? j-- e1, deci 1, 1-- în n, care converge în c. OK, deci acum am o subsecvență a secvenței inițiale a ONU, astfel încât prima intrare să convergă aici. Sau această secvență converge. Acum voi lua-- OK, deci din moment ce un1 din j e2, aceasta este încă o secvență mărginită de ceea ce am arătat aici, secvență mărginită. Aceasta înseamnă că există o subsecvență. Acum voi numi această subsecvență un2 din j e2 j. Deci, în 2 din j, aceasta este o succesiune de numere întregi. Acesta este un subset al acestor tipi care crește --of un1 of j. Deci ar trebui să spun... care converge. Așa că acum rețineți că această secvență converge. Dar n2 din j, deci aceasta este o subsecvență de numere întregi ale n1 ale lui j. Deoarece n2 din j este o subsecvență a n1 din j, obținem că limita j merge la infinitul lui un1 din j-- sau ar trebui să spunem n2 din j-- e1. Deci aceasta este o subsecvență a acestei secvențe. Deci n2 din j este doar o subsecvență a lui n1 din j. Deci, deoarece această secvență în j converge, și această subsecvență converge. Dar acum le-am ales pe cele două astfel încât să avem nu doar convergență de-a lungul primei intrări, ci și convergență de-a lungul celei de-a doua intrări. Dar acum vezi ce-- deci așa decurge argumentul, că acum voi lua o subsecvență a lui n2 din j, astfel încât subsecvența să convergă atunci când o împerechez cu e3. Și apoi iau o subsecvență din acea subsecvență, astfel încât să obțin e4 și așa mai departe, și așa mai departe. Și toate aceste subsecvențe sunt subsecvențe ale-- sau aceste subsecvențe de numere întregi sunt subsecvențe ale setului precedent de numere întregi, care sunt din nou o subsecvență a numerelor întregi originale n. Atunci ce primim? Pentru tot l există o subsecvență de numere întregi în l din j din mulțimea anterioară de numere întregi în, să zicem, l minus 1 din j, astfel încât pentru toate k între 1 și l limită pe măsură ce j merge la infinit de u în l din j ek exista. Deci sper că acest lucru este clar. Deci, luați doar o subsecvență a secvenței originale, astfel încât prima intrare să convergă, luați o subsecvență a acesteia, astfel încât a doua intrare să convergă și așa mai departe și așa mai departe. Deci, aveți aceste subsecvențe imbricate, astfel încât la fiecare l fix, aveți convergența primelor l intrări. Și ceea ce faci acum este să alegi... așa că lasă-mă să scriu sau să aleg vl ca să fie diagonala de-a lungul acestei secvențe. Deci u în l din l, unde l este egal cu 1, 2, 3 și așa mai departe. Atunci ceea ce obținem este că a 1-a subsecvență converge-- sau a k-a intrare pentru una-- OK, așa că permiteți-mi să revin și să mai spun asta încă o dată. Deoarece patru l fix aici am convergența primelor l intrări, prin alegerea de-a lungul diagonalei obțin o subsecvență de un astfel încât pentru tot k am convergența pentru k-a intrare pe măsură ce l merge la infinit, converge. În regulă, deci pot lua subsecvențe ale subsecvențelor și să obțin o subsecvență la final, astfel încât pentru această subsecvență a secvenței inițiale un, am convergența intrărilor intrare cu intrare sau am convergența coeficienților Fourier așa cum trece l. infinit. Și acum vom folosi aceste cozi echi-mici pentru a demonstra că secvența v sub l converge. De fapt, o să-i arătăm Cauchy. Deoarece H este un spațiu Hilbert, atunci concluzionăm că trebuie să convergă. Deci, revendicarea vl este Cauchy. Și atunci asta va încheia demonstrația pentru că atunci trebuie să convergă în H. ​​Și prin ceea ce am spus la început, deoarece aceasta este o succesiune de elemente în k, care este o mulțime închisă, limita trebuie să fie în k. În regulă, deci trebuie doar să arătăm că este Cauchy și apoi dovada este făcută. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deci, din moment ce k are cozi echi-mici -- să trecem aici -- există un număr natural capital N, astfel încât pentru tot l avem că suma pătratelor k mai mare decât N a cozilor, vl, ek pătrat, este mai mică decât epsilon pătrat peste 16. De ce 16? Pentru că vreau să iasă totul corect până la urmă. Deci, din moment ce N secvențe date de primele N intrări ale secvenței vl, deci din moment ce N secvențe vl, e1 l până la vl, vn, l-- deci acestea sunt numai-- deci acesta este bitul în care am spus echi- cozile mici ne permit să aruncăm capătul de coadă al acestor intrări, iar doar controlul asupra primelor intrări finite ne oferă condiția sau convergența pe care o dorim. Aici se întâmplă asta. Deci, deoarece acestea converg, există un număr natural M, astfel încât pentru tot l, m mai mare decât capitalul M, am că suma n este egală cu 1 capitalul N al lui vl, ek minus vm, ek pătratul este mai mic decât epsilonul pătrat peste 4 Deci fiecare dintre acestea sunt secvențe convergente. Deci fiecare dintre acestea sunt secvențe Cauchy. Deci, pentru fiecare, pot găsi un M sub 1 cu majuscule, astfel încât doar una dintre aceste intrări să fie foarte mică pentru l și m mai mare decât M sub 1 cu majuscule. Și apoi pot să o fac pe următoarea astfel încât pentru... ar trebui să fie k. Nu știu cum arată, dar k. Astfel că pentru k este egal cu 2, este foarte mic și apoi până la k este egal cu n. Și apoi aleg M majuscul pentru a fi maxim peste toate acele M sub N. Așa că pot alege oricând acest lucru pentru că, din nou, sunt doar un număr limitat de condiții pe care trebuie să le verific, bine. Așa că acum susțin că acest M capital funcționează. Atunci, pentru toate lm mai mari sau egale cu M, dacă ne uităm la norma vl minus vm, deci aceasta este egală cu sum-- ar trebui să spună k este egal cu 1 la n din vl minus vm. Deci prin k este egal cu - k mai mare decât N, vl minus vm, ek 1/2. Deci aici folosesc faptul că avem o bază ortonormală. Apoi, în acest caz, norma este egală cu suma pătratelor coeficienților Fourier. Inegalitatea lui Bessel ar spune că aceasta este mai mică sau egală cu această parte. Nu ne-ar oferi controlul pe care ni-l dorim asupra normei reale. Dar pentru că lucrăm pe o bază ortonormală, norma este egală cu suma pătratelor, luați rădăcina pătrată. Și acum, rădăcina pătrată a lui A plus B, aceasta este întotdeauna mai mică sau egală cu rădăcina pătrată a lui A plus rădăcina pătrată a lui B. Deci, mai puțin decât A este egal cu 1 la N din vl minus vm pătrat 1/2 plus k mai mare decât n vl, ek. Așa că o să scriu asta puțin diferit, vm, ek, 1/2. Acum, această parte pe care o știm că este mai mică decât... după cum am ales M majuscul, această parte finită este mică. Este mai puțin decât epsilon peste 2. Deci este mai puțin decât epsilon peste 2. În plus, acum folosim inegalitatea triunghiulară pentru mic l2. Pot să mă gândesc la aceasta ca la suma în micul l2-- sau pot să mă gândesc la aceasta ca la norma în micul l2 a acestei secvențe în k minus această secvență în k. Deci, acesta este mai mic sau egal cu k mai mare decât N, vl, ek, 1/2 plus suma k mai mare decât vm, ek 1/2 Bine, aproape am terminat. Deci, aceasta este mai mică decât, partea pătrată este mai mică decât epsilon pătrat peste 16. Deci, luând rădăcina pătrată a acesteia, obțin epsilon peste 4 după cum am ales N. Deci, aceasta se bazează pe modul în care am ales N, plus-- care provenea din partea de cozi echi-mici. Și această parte, de asemenea, din cauza N este mai mică decât epsilon peste 4 egal epsilon. Deci am arătat acum afirmația că subsecvența v sub l este Cauchy și, prin urmare, converge deoarece H este complet. Acum, de exemplu, se poate verifica cu ușurință acum că următorul submult. Fie k mulțimea i a tuturor secvențelor n mic l2 cu proprietatea că ak este mai mic sau egal cu 2 cu minus k. Deci, acesta nu este un subspațiu, este un subset - este compact. Acest subset este cunoscut sub numele de cubul Hilbert. Bine, acum poate că este puțin greu de manevrat că condiția noastră de a fi compact este formulată în termeni de o bază ortonormală. Poate că nu este atât de simplu de verificat sau cu siguranță nu neapărat, care este cuvântul pe care îl caut , canonic-- bănuiesc că acesta este cuvântul pe care îl caut-- în sensul că trebuie să facem o alegere pentru a verifica compactitatea. Dar un mod diferit de a caracteriza submulțimile compacte ale unui spațiu Hilbert este următorul. Acum, nu am de gând să dau dovada acestui lucru. Îl poți căuta în notele lui Melrose. Poate voi spune un cuvânt despre de ce ar trebui să crezi sau să crezi că este adevărat. Dar, din nou, implică un argument în diagonală, ceea ce a fost destul de greu de făcut aici, sau cel puțin suficient de dureros pentru a scrie. Și așa că nu vreau să o fac din nou. Deci avem următoarele că-- și această teoremă este valabilă și într- un spațiu Hilbert neseparabil, practic printr-un truc de reducere la un spațiu Hilbert separabil , dar asta e OK. O submulțime K a unui spațiu Hilbert H este compactă dacă și numai dacă K este închisă, mărginită. Și următoarea condiție deține ceea ce vă puteți gândi că K poate fi aproximat prin subspații dimensionale finite. Și pentru toate epsilonele pozitive, există un subspațiu dimensional finit W în K, astfel încât pentru tot u din K, dacă mă uit la distanța de la u la acest subspațiu dimensional finit - ceea ce cred că am spus la un moment dat, poate că nu am făcut-o. 't, dar un subspațiu dimensional finit este întotdeauna un subspațiu închis în H. Un subspațiu dimensional finit este întotdeauna închis. Dar dacă mă uit la distanța de la acest punct la subspațiu, acest subspațiu dimensional finit, aceasta este mai mică decât epsilon. Deci, o submulțime din spațiul Hilbert este compactă dacă și numai dacă este închisă, mărginită și, dacă doriți, poate fi aproximată prin submulțimi compacte de subspații cu dimensiuni finite, un alt mod de a gândi. Acum, de ce este acest lucru credibil în primul rând? Ei bine, ce asta... unde este? Ceea ce spune condiția de coadă echi-mică este, în principiu, că toate elementele din K pot fi aproximate prin -- dacă lăsați epsilonul să fie pozitiv -- poate fi aproximat prin subspațiul constând din intervalul primului până la N vectori de bază sau ortonormali vectori de bază. Asta este. Pentru toate epsilonii cozile sunt mici. Un alt mod de a spune aceasta este că pentru toate epsilonul, puteți aproxima orice element din mulțimea K în intervalul primilor N vectori de bază. Deci K trebuie să fie aproape de subspațiul dimensional finit. Dar se poate merge și în direcția opusă, arătând că subspațiul dimensional finit - a putea fi aproximat de acești tipi implică faptul că K este compact. Și este un alt argument diagonal pe care pur și simplu nu vreau să-l scriu și mai degrabă să încep să folosesc aceste condiții pentru a începe să spun lucruri despre când putem rezolva anumite ecuații și anumiți operatori interesanți care apar destul de natural. Deci, să începem să vorbim despre anumite clase de operatori. Și ar trebui să începem cu cei mai simpli, care sunt operatori de rang finit. Deci, singurii operatori liniari pe care ați intrat în această clasă știind probabil-- dacă nu ați făcut-o și ați fi mai sofisticat, asta e bine-- dar erau matrici. Acum, o matrice este doar o transformare liniară definită în termeni de o bază ortonormală - sau nu ortonormală, ci o bază atât în ​​domeniu, cât și în țintă. Am ales ca ținta să fie domeniul. Fixăm doar o bază și apoi putem exprima o transformare liniară ca o matrice de numere. Operatorii de rang finit sunt generalizarea a ceea ce credeți despre matrice acum la spațiile Hilbert. Și vom vedea asta într-un minut. Și ceea ce urmează H este un spațiu Hilbert. Și în loc să scriu spațiul operatorilor liniari mărginiți, B H, H, voi doar să concatenez acest lucru eliminând unul dintre acele H. Deci spațiul operatorilor liniari mărginiți de la H la sine va fi notat cu B din H. Deci operatori de rang finiți , aceștia sunt, așa cum am spus, aceștia vor fi analogii matricilor. Dar mai întâi să dau o definiție invariabilă. Deci un operator liniar mărginit este un operator de rang finit dacă domeniul lui T care este un subspațiu al lui H este dimensional finit, OK. Deci, de exemplu, permiteți-mi să vă dau simplu-- bineînțeles că operatorul zero este unul simplu. Dacă H este un spațiu Hilbert cu dimensiune finită, [INAUDIBLE], atunci fiecare operator liniar mărginit este un operator de rang finit deoarece intervalul este întotdeauna conținut în Cn, care este dimensional finit. De exemplu, pe l2 mic, dacă definesc Ta ca fiind acum șirul dat de a1 peste 1, a2 peste 2, până la un peste n pentru niște n și apoi 0 după aceea, și aceasta este pentru o secvență egală în micul l2, atunci T este un operator de rang finit deoarece intervalul acestui operator - deci aici N este un număr fix care acționează asupra secvențelor. Și micuțul l2 doar scuipă primul... hai să facem asta și mai explicit. Să presupunem că este 5. Acesta este un operator de rang finit deoarece este conținut în subspațiul format din acele secvențe care sunt 0 după a cincea intrare. Și asta este o dimensiune finită. O bază este dată de secvența constând din 0 cu un 1 aici, 0 cu un 1 aici, 0 cu un 1 aici și așa mai departe. Deci acesta este un operator de rang finit. Și deci permiteți-mi doar să pun aici că, în ceea ce privește notația, scriem T este în RH, R pentru rang, rang finit. Bine, deci R din H, acesta este setul tuturor operatorilor de rang finit. Acum, nu este doar un set. Este ușor de observat că acesta este un subspațiu al spațiului Banach constând din toți operatorii liniari mărginiți de la H la el însuși. De ce este asta? Ei bine, deci dacă iau un operator care are o gamă dimensională finită și îl înmulțesc cu un scalar, atunci domeniul multiplu scalar al acelui operator este egal cu domeniul operatorului original, cu excepția cazului în care este scalarul 0. Deci, acesta va fi finit dimensională. Pe de altă parte, dacă iau doi operatori de rang finit și iau în considerare suma lor, intervalul sumei va fi conținut în suma directă a intervalelor. Și suma directă a două spații dimensionale finite, subspații, este din nou dimensională finită. Deci, dacă unul are dimensiunea 5, iar celălalt are dimensiunea 6, atunci suma directă a acestor două va fi de dimensiunea 11. Așadar, eu vă vorbesc despre dovada că acesta este un subspațiu. Așa că ia-ți un minut să-l notezi. Dar acum permiteți-mi să demonstrez că acești operatori cu rang finit sunt într-adevăr matrici. Am următoarea teoremă care caracterizează operatorii cu rang finit . Deci T este un operator de rang finit dacă și numai dacă există o submulțime ortonormală finită ek, k este egal cu 1 la un număr întreg L. Și numerele complexe cij ij sunt egale cu 1 la l. Deci aceasta este o subsecvență sau un subset de numere complexe, astfel încât, dacă vreau să calculez ceea ce este T aplicat la u , va fi doar suma i egală cu j, ij trece de la 1 la l din aceste numere Cij ori intrarea j de voi ori ei. Deci, cu alte cuvinte, T corespunde unei matrice în care coeficienții sunt acești c, practic, acționând asupra acestui subspațiu dimensional finit al ek. Deci, să dăm dovada acestui lucru. O directie este imediata. Dacă T are o astfel de reprezentare, atunci are rang finit deoarece atunci imaginea este conținută în intervalul ei pentru i mergând de la 1 la l. Și acesta este un subspațiu cu dimensiuni finite. Deci, este clar că această condiție implică faptul că T este un operator de rang finit. Deci să mergem în direcția opusă. Deci, deoarece intervalul lui T este dimensional finit, putem găsi o bază ortonormală, numiți-o ek, k este egal cu 1 la N, astfel încât T aplicat la u este egal cu -- deci este un element în intervalul de -- deci aceasta se întinde intervalul. Așa că pot scrie asta ca niște numere ori ek. Și care sunt aceste numere? Ei bine, aceste numere, deoarece acestea sunt ortonormale, trebuie să fie aplicate T la u într-un produs ek. În regulă, deci Tu-- deci intervalele acoperite de acești vectori ortonormali și orice lucru din intervalul acestor vectori ortonormali trebuie scris ca acel lucru într-un produs ek times ek. Dar permiteți-mi acum să fac o observație că acest lucru chiar aici îl putem scrie ca folosind adjunctul ca u într-un produs T stea ek, ek. Operatorul adjunct, deci T stea care merge de la H la H, nu uita că îndeplinește această proprietate că, având în vedere doi vectori a-- sau u și v, T aplicat la u într-un produs v este egal cu u într-un produs T stea v. Aceasta este proprietatea definitorie a adjunctului Așa că o pot scrie așa. Și-- care este k este egal cu 1 la N din u într-un produs, numiți acest lucru vk, ek bar, unde aici vk este pur și simplu definit ca fiind T steaua ek acum, fie e1 până la el submulțimea ortonormală a lui H obținută prin aplicarea procesul Gram-Schmidt la vectorii E1, e2 până la eL vL, până la vL. Deci, aplicând-o acestui subset, păstrez e1 până la eL. Și apoi s-ar putea să mai iau ceva din niște vectori mai ortonormali care sunt normali pentru acești tipi atunci când lovesc v1-ul până la vl. Ar fi trebuit să merg la N, îmi pare rău. Deci nu L aici, ci N. Așa că am obținut un subset ortonormal care se întinde pe aceeași perioadă a acestor tipi. Și ce înseamnă asta? Apoi, există numere akj, bkj-- să-i spunem i-- astfel încât ek bar să fie în intervalul acestor vectori ortonormali. Așa că îl pot scrie ca aki, ei k este egal cu 1 la l-- nu, nu, nu, sumele merg pe o cale greșită-- i este egal cu 1 la l și, de asemenea, același lucru pentru v-uri, unele vk sunt egale cu j sunt egale cu 1 la l bkj kj. Deci acestea sunt obținute prin procesul Gram-Schmidt aplicat acestei colecții de vectori. Și, prin urmare, pot scrie fiecare dintre acești vectori ca o combinație liniară a acestor vectori ortonormali. Deci asta e tot ce spun aici. Acum doar conectăm asta la acest calcul. Și avem Tu pe care l-am calculat a fost egal cu suma de la k egal cu 1 la N din u într- un produs vk, ek bar. Acest lucru este egal cu -- acum, dacă rămân în aceste sume aici, obțin suma ij egală cu 1 la L a unor k este egală cu 1 la N a conjugatului complex aki, bkj. Acum, u într-un produs ej-- acest lucru vine de la momentul în care mă bag în vk's-- ei. Și asta vine din momentul în care lipesc ceea ce am pentru ek bar. Și acest număr chiar aici este numărul meu cij. Și acesta este sfârșitul. Deci, operatorii cu rang finit sunt de fapt doar matrici. Puteți doar să calculați aceste numere și ele caracterizează complet operatorul liniar. Deci, în special, nucleul, spațiul nul al lui T este subspațiul care este ortogonal cu e1 până la eL, sau cel puțin include asta. Acum din aceasta putem concluziona o proprietate frumoasă despre operatorii de rang finit , și anume prima este că dacă T este un operator de rang finit , atunci adjunctul său este și un operator de rang finit. Și dacă T este un operator de rang finit și A și B sunt doar operatori liniari mărginiți pe H, atunci A ori T ori B, acesta este, de asemenea, un operator de rang finit. Într-o formă fantezie sau pe scurt, ați spune că acesta este un ideal stea închis cu două fețe în spațiul operatorilor liniari mărginiți, sau adjuncții săi de întreprindere închisă în întreprinderea închisă înmulțirea cu două fețe cu operatori liniari mărginiți. Deci 2 voi pleca ca exercițiu. Care e ideea? T are un domeniu dimensional finit. A acționează apoi asupra acelui interval dimensional finit. Și, prin urmare, intervalul său, intervalul A care lovește T trebuie să fie apoi dimensional finit. Și ce faci cu B chiar nu contează. Deci 1 este un exercițiu. Deci, să demonstrăm 1. 1 vom demonstra folosind această caracterizare a operatorilor de patinoar finiți . Deci presupunem că T este rang finit. Deci putem scrie T ca o constantă cij, u și un produs ej, ei, u în H. ​​Deci îl putem exprima în acest fel în care acestea sunt doar niște constante fixe care nu depind de u. Acum să calculăm modul în care T steaua x pe vectori utilizând această proprietate definitorie a adjunctului. Apoi u, T steaua v-- ceea ce vom face este că vom veni cu o expresie pentru aceasta ca u într-un produs ceva și din care putem concluziona că T steaua v trebuie să egaleze acel ceva pentru toate v. Acum, aceasta este egală cu, prin proprietatea definitorie a adjunctului, T aplicată la u, v. Deci aceasta este egală cu -- i și j se vor înțelege că merg de la 1 la l. Deci aceasta este doar finită, o sumă finită, OK-- cij, u, ei-- sau ej, scuze-- ei, produsul interior v. Acum luând produsul interior este liniar în prima intrare. Deci aceasta este egală cu suma ij. Din nou, aceasta este o sumă finită ij, u, ej, produs interior ei, v. Și acum voi schimba ceea ce însumez. Acest lucru îl pot scrie ca acum u inner product sum ij cij bar. Deci, dacă vreau să-- asta pot scrie ca bar, bar, dar ei, v, complex conjugate, ej. Putem verifica acest lucru ca fiind corect, deoarece - deci, atunci veți produce produsul interior cu fiecare dintre ej și aceste constante atunci când ies din produsul interior, sunt lovite de un conjugat complex, care le transformă înapoi în cij și ei, v. Acum, conjugatul complex al produsului interior este la fel ca și cum aș întoarce intrarea. Deci aceasta este egală cu cij ori v, ei, ej. Acum, acest lucru este valabil pentru toate u și v. Deci, ce am arătat? Am arătat că u T stea v minus această sumă finită, așa că am pus-o aici, cij v, ei, vj, aceasta este egală cu 0 pentru tot u, pentru toate v. Acum, pentru un v fix, această cantitate este aici ortogonal cu tot în H. ​​Deci trebuie să fie 0. Și, prin urmare, concluzionez că T steaua v trebuie să egaleze suma de la ij este egală cu 1 la l, conjugatele complexe ale cij, v produsul interior ei, ej pentru toate v din H. Și asta demonstrează că stea T este un rang finit și, de asemenea, vă oferă expresia coeficienților în termenii celor vechi. Aș putea scrie asta-- acum, dacă aș vrea să- l scriu în termenii i-ului fiind în fața vectorului de baze pe care îl am aici, îl scriu ca sum ij. Vedem deci că matricea corespunzătoare adjunctului este ceea ce am calculat ultima clasă, practic, este conjugatul complex al transpunerii acestei matrice, a matricei originale cij. În regulă, asta dovedește că adjuncții sunt, de asemenea, rang finit. Acum, luând adjunctul unui rang finit, operatorul vă lasă în spațiul operatorilor cu rang finit. Dacă luați operatori cu rang finit și îi compuneți în stânga și în dreapta cu operatori mărginiți, rămâneți rang finit. Submulțimea operatorilor de rang finit formează, de asemenea, un subspațiu în spațiul Banach al operatorilor liniari mărginiți pe un spațiu Hilbert. Deci, spațiul operatorilor liniari mărginiți pe un spațiu Hilbert vine în mod natural și cu o normă , norma operatorului. Deci următoarea întrebare evidentă este, este subspațiul operatorilor de rang finit , acesta este închis? Închis nu înseamnă - nu ca o întreprindere închisă combinații liniare. Desigur, asta este valabil pentru fiecare subspațiu. Dar dacă iau o secvență de operatori de rang finit care converg în norma operatorului către ceva, atunci limita este și un operator de rang finit? Deci, aceasta este definiția de a fi un subspațiu închis, sau permiteți-mi să spun subset, astfel încât acum să întrebăm despre asta într-un sens metric. Este o submulțime închisă în spațiul operatorilor liniari mărginiți? Acum, răspunsul la aceasta este nu. De ce? Să luăm , de exemplu, Tn. Deci aceasta va fi o secvență de operatori de la mic l2 la mic l2. Și pentru un element a din l2 mic, asta ar trebui să-mi dea o altă secvență în l2 mic. Și va fi șirul dat de a1 peste 1, a2 peste 2, până la un peste n și apoi zerouri după aceea. În regulă, deci T1, operatorul T1 ia secvența în micul l2 și doar scuipă secvența care are prima intrare împărțită la 1. Și după aceea urmează 0. Acesta este operatorul T1. T2 ia o secvență în l2 mic și scuipă prima intrare împărțită la 1, a doua intrare împărțită la 2, iar după aceea, T3, așa mai departe. Acum, aceasta este doar o imagine. Acest lucru este formal. Acest lucru nu este menit să însemne nimic. Dacă ar fi să exprim acest lucru ca o matrice infinită înmulțită cu un vector infinit, sau un vector cu lungime infinită în care lungimea infinită este secvența lui ak, acesta este 1, 1/2, 1/3, 1 peste n, 0, 0, 0, 0. Această matrice infinită înmulțește a1, a2, a3 și așa mai departe. Deci doar înmulțesc a1 cu 1, a2 cu 1/2, a3 cu a 1/3 și apoi până la un n peste n, înmulțind un n cu 1 peste n. Și apoi restul intrărilor sunt scuipat pentru a-mi da 0. Deci aceștia sunt operatorii de rang finit. Și puteți verifica dacă Tn minus T în norma operatorului merge la 0, unde ce este T? T este operatorul care scoate o scuipă-- deci a va fi un element în micul l2. Acum, pe măsură ce n merge la infinit, poți să ghicești că ce se va întâmpla este că ajung să înmulțesc totul cu 1 oriunde mă aflu, a1 peste 1, a2 peste 2, a3 peste 3, a4 peste 4 și așadar iar si iar. Deci, ca exercițiu, puteți arăta că norma operatorului T minus Tn, aceasta este mai mică sau egală cu v1 peste n plus 1, ceva de genul acesta, OK. Acum, acest operator aici nu are rang finit pentru că atunci pot găsi infinit de vectori liniar independenți în interval. De exemplu, T din e1, unde acesta este vectorul de bază, îmi dă -- acesta este primul vector de bază din micul l2. Dacă acesta este al doilea vector de bază în micul l2, acesta este doar-- și așa mai departe. Dacă am aplicat T la en, This. Este 1 peste n, 0, 0 și așa mai departe. Acesta este în locul n. Deci, este nevoie doar de fiecare vector de bază și-- deci, dacă doriți, acesta este e1, acesta este 1/2 e2, acesta este 1 peste n en și înmulțește fiecare dintre acești vectori de bază cu 1 peste întregul care nu este delimitat. -- denotând, îmi pare rău. În regulă, este sfârșitul unei zile, așa că o parte din gândirea mea a încetinit. Deci operatorii de rang finit nu sunt închiși-- nu este o submulțime închisă a spațiului operatorilor liniari mărginiți. Deci, care este închiderea? Și operatori cu rang finit pentru care am dori să credem că știm cum să rezolvăm ecuații. Adică, doar pe baza acestei expresii pentru un operator de rang finit , ei bine, dacă vrem să rezolvăm Tu egal cu v, ei bine, mai întâi știm că v trebuie să fie în intervalul sau în intervalul acestor vectori de bază care apar aici. Și acum, odată ce ne-am limitat la asta, atunci putem rezolva ecuația uitându-ne la proprietățile acestei matrice. Și spațiul nul va fi nu numai spațiul nul care se află în interiorul intervalului acestor vectori de bază, ci va include și complementul ortogonal în H al acestor vectori de bază. Deci, rezolvarea ecuațiilor care implică operatori de rang finit ar trebui să fie destul de simplă dacă ne amintim algebra liniară. Din păcate, acestea nu sunt închise după luarea unor limite ulterioare. Dar putem identifica închiderea-- așa că acum întrebarea este, care este închiderea operatorilor de rang finit în spațiul operatorilor liniari mărginiți pe H? Deci ceva în închidere trebuie să fie o limită de operatori de rang finit . Și din moment ce știm cum să rezolvăm ecuații finite care implică operatori de rang finit, sperăm că știm cum să rezolvăm ecuațiile utilizate și cu acești operatori. Există o modalitate simplă prin care putem caracteriza -- sau nu simplă, dar cel puțin o modalitate mai utilă de a le caracteriza decât a fi doar limita operatorilor de rang finit? Deci răspunsul la această întrebare este-- deci nici nu voi scrie-- OK, voi scrie răspuns-- este ceea ce se numește operatori compacti, deci subspațiul operatorilor compacti. Deci, permiteți-mi să fac o definiție. Deci k, un operator liniar mărginit este operator compact dacă închiderea imaginii bilei unității închise în H-- deci închiderea imaginii prin k-- sau închiderea imaginii bilei unității închise este compactă. De asemenea, pot scrie acest lucru ca o închidere a subsetului ku norma a u mai mică sau egală cu 1. Deci nu voi avea timp să demonstrez această teoremă în această clasă, dar o vom face data viitoare. Și vom arăta de fapt că, de fapt, această clasă de operatori compacti care sunt definiți în acest fel, acesta este un operator compact conform acestei definiții dacă și numai dacă k este în închiderea operatorilor de rang finit , adică există o succesiune de operatori de rang finit care converg în norma operatorului către k. Și, din nou, de ce ne interesează operatorii compacti? Ei bine, știm cum să rezolvăm rang finit sau ecuații care implică operatori de rang finit. Ne uităm doar la subspațiul care conține intervalul. Și apoi ne uităm la matricea care apare acolo în acea descompunere. Operatorii compacti sunt ceva complet nou. Când trecem de la algebra liniară cu dimensiuni finite la analiza funcțională, deoarece aceștia nu sunt neapărat egali cu operatori de rang finit. Adică, tocmai am făcut acest exemplu acum un minut al acestui operator dat aici de unde iau intrarea secvenței și o împart la locul în care a apărut în secvența pentru o secvență dată în l2. Deci, dacă credeți teorema, acesta este un rang finit... Adică, nu finit. Acesta este un operator compact. Este limita acestei secvențe de operatori de rang finit. Poate că doriți să încercați să demonstrați acest lucru ca operator compact direct din definiție sau nu. poți să aștepți până data viitoare și să folosești această teoremă. Dar mulți alți operatori, mulți operatori interesanți, de exemplu, inversele operatorilor diferențiabili se dovedesc de fapt a fi operatori compacti. De aceea ne interesează și noi. Așa că le-am obținut prin închiderea operatorilor cu rang finit . Și apoi după-- așa că acum avem acest subspațiu interesant de operatori pe care sperăm să putem rezolva ecuațiile care implică. Și asta va fi practic ceea ce ne va ocupa restul timpului în acest curs. Deci, doar privind această definiție, puteți să vedeți că... ei bine, puteți vedea că dacă k este un operator de rang finit, atunci este un operator compact. Deci nu vom demonstra această teoremă, așa cum am spus, ci doar pentru a vedea sau a face o verificare a sensului că operatorii cu rang finit ar trebui să fie operatori compacti. Ei bine, un operator de rang finit , imaginea acestei bile unitare închise a unui operator finit de către un operator de rang finit, care va fi o submulțime mărginită a unui subspațiu dimensional finit. Orice operator mărginit duce mulțimi mărginite la mulțimi mărginite. Deci, dacă este un rang finit, aceasta duce această mulțime mărginită la o submulțime mărginită a unui subspațiu dimensional finit al lui H. Și apoi iau închiderea. Obțin o submulțime mărginită și închisă a unui subspațiu cu dimensiuni finite. Și știm de Heine-Borel că submulțimile închise și mărginite de subspații cu dimensiuni finite sunt compacte. Deci, asta arată de ce, cel puțin, ar trebui să credeți că operatorii cu rang finit sunt compacti. Bine, așa că ne oprim aici.