[SCRÂTÂND] [FOȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Deci, să continuăm cu discuția noastră despre derivat. Permiteți-mi să reamintesc că derivata unei funcții, dacă există, pe care o notăm cu f prim din c, aceasta este limita pe măsură ce x merge la c din f de x minus f de c peste x minus c. Ultima dată, ne-am uitat la relația dintre continuitate și diferențiere și am arătat că diferențiabilitatea implică continuitate, dar că a avea o derivată este un lucru destul de miraculos. Pentru că există funcții continue, pe care de fapt le-am construit. Am construit o funcție continuă. Puteți generaliza acest exemplu. Deci am construit o funcție continuă care nu este diferențiabilă nicăieri. Deci, de fapt, diferențiabilitatea este o condiție mult mai puternică decât continuitatea. Și este ceva de minune. Doar ca o notă secundară, dacă continuați să studiați analiza complexă, care sunt funcții ale unei variabile complexe mai degrabă decât ale unei variabile reale, aveți și noțiunea de derivată acolo. Și apoi, derivatul este mult mai miraculos decât este aici în decorul lui r. Dar ideea este că derivatul este un miracol. Deci astăzi, scopul este de a demonstra unele proprietăți despre derivate. Pe majoritatea le cunoașteți. Poate că nu ați acoperit dovezile lor în calcul cu scopul final de a demonstra teorema valorii medii , care este, pentru mine, probabil cel mai subapreciat, dar cel mai important rezultat din calcul. Acum, ați putea argumenta că, probabil, eroul poveștii calculului este teorema fundamentală a calculului, care leagă integrarea, pe care o vom acoperi în continuare după diferențiere. Așadar, teorema fundamentală a calculului leagă integrarea și diferențierea. Deci asta este, dar... și acesta este cu adevărat eroul calculului. Se folosește mai mult decât orice altceva. Dar pentru a demonstra asta, folosiți teorema valorii medii. Deci, dacă teorema fundamentală a calculului ar fi Batman, aș spune că teorema valorii medii este ceva asemănător lui Alfred. El este cu adevărat motivul pentru care Batman ajunge să fie cine este. Suficiente analogii pentru moment. Să ne întoarcem la demonstrarea unor proprietăți ale derivatei. Deci, mai întâi, să facem câteva elemente de bază - liniaritatea de bază și regulile pentru derivată. Deci, să fie f de la I la R. i este întotdeauna un interval. Și dacă f-- deci am două funcții, f și g, de la I la R. c este un punct în i. Și concluzia este că dacă f și g sunt diferențiabile la c, atunci avem mai multe reguli pe care le putem aplica. Prima este practic liniaritatea derivatei care pentru toate alfa și R, funcția alfa f plus g, care acum merge de la I la R, este diferențiabilă la c. Și derivata funcției alfa f plus g prim c este alfa ori f prim al lui c plus g prim al lui c. Cred că încep să scriu puțin calomniat aici. În al doilea rând este regula înmulțirii, care este funcția f ori g este diferențiabilă la c. Și derivata produsului nu este produsul derivatelor, ci primul lui c, g al c plus f al lui c, g prim al lui c. Deci aceasta este o regulă de înmulțire. Și apoi, avem și regula coeficientului. Și la fel ca atunci când trebuie să împărțiți cu ceva, trebuie să presupuneți că nu împărțiți niciodată la 0. Dacă g din x nu este egal cu 0 pentru tot x din I, atunci funcția f peste g este diferențiabilă la c. Iar derivata este derivata din partea de sus ori cea de jos minus cea de sus ori derivata din partea de jos peste patratul de jos , [? acum ?] prim g din c pătrat. Așa că voi dovedi unul și doi. Trei vom pleca ca exercițiu. Deci, pentru unul, doar calculăm că limita pe măsură ce x merge la c de alfa f plus g de x, minus alfa f plus g de c peste x minus c, aceasta este doar prin definiție alfa ori f de x plus g de x minus alfa ori f din c plus g din c. Și astfel, aceasta este egală cu limita pe măsură ce x merge la c. Și doar adunând termeni alfa ori alfa f de x minus f de c ori x minus c, plus g de x minus g de c peste x minus c. Și toate aceste limite există. Deci acesta este doar un număr fix. Limita pe măsură ce x merge la c a acesteia există și aceasta există. Deci prin ceea ce știm despre limite, și anume că limita sumei este suma limitelor. Și apoi, scalarii pur și simplu ies din limită. Acesta este egal cu alfa ori f prim al lui c plus g prim al lui c. Deci asta este dovada primului. Pentru demonstrarea celui de- al doilea, vom folosi faptul că o funcție care este diferențiabilă într-un punct este și continuă într-un punct. Deci, deoarece g este diferențiabilă la c, este continuă la c. i.e. limită pe măsură ce x merge la c de g de x este egal cu g de c. Acum calculăm limita pe măsură ce x ajunge la c de f ori g de x minus f de c ori g de c peste x minus c. Acum, ceea ce voi face este să adun și să scad f din c ori g din x. Deci asta pot scrie ca limită pe măsură ce x merge la c de f de x, minus f de c peste x minus c, ori g de x. Plus acum, f de c ori g de x minus g de c peste x minus c. Și din nou, deci această limită pe măsură ce x merge la c există. Aceasta este doar derivata lui f la c. Și am observat că, deoarece g este diferențiabil la c, g este și continuu la c, adică limita pe măsură ce x merge la c a lui g a lui x este egală cu g a lui c. Aceasta este doar o constantă f a lui c. Aceasta merge la g prim din c. Deci toate aceste limite există. Și, prin urmare, obținem că acesta este egal cu f prim de c ori g de c plus f de c, g prim de c. Și trei, voi pleca ca exercițiu. Din nou, vei scrie -- vei adăuga și scădea ceva la f de x peste g de x minus f de c peste g de c și vei folosi faptul că diferențiabilitatea într-un punct implică continuitate și doar evaluezi limitele. Așa că mă voi opri cu aceste două reguli. Nu știu de ce am numit-o regula înmulțirii. Se numește regula produsului - ei bine, înmulțirea și produsul sunt același lucru. Dar avem și regula lanțului, care necesită puțin mai multă grijă pentru a demonstra decât ceea ce am făcut până acum pentru aceste reguli. Deci să presupunem că am două intervale. Și atunci am o funcție g care merge de la I1 la I2, f care merge de la I2 la R. Și să presupunem că g este diferențiabilă la c și f este diferențiabilă la g din c. Atunci funcția f a lui g, funcția trece de la I1 la R. Aceasta este diferențiabilă la c. Și derivata este egală cu f prim pentru g de c ori g prim pentru c. Deci, care este ideea de bază? Din nou, deci aceasta este ideea de bază este că scriem coeficientul de diferență, g de x minus f de g de c peste x minus c ca f de g de x minus g, f la g de c ori peste g de x minus g de c ori g de x peste g de c ori x minus c. Și lăsați x să meargă la c și apoi vom ridica derivata lui g aici la c. Și chiar aici, acesta este f din ceva care converge către g din c. Și astfel, acesta ar trebui să fie ca f prim de g din c. Dar singura problemă cu a scrie cu adevărat acest lucru este că ar putea exista puncte în care g de x este egal cu g de c. Și apoi, împart la 0. Asta nu este permis. Deci scrierea acestei expresii este lipsită de sens. Dar vom face așa ceva în spirit, unde cel puțin atunci când g de x nu este egal cu g de c, acest lucru este într-un fel egal cu acest lucru. Aceasta este ideea de bază. Deci, pentru a implementa această strategie, să introducem câteva notații și câteva funcții auxiliare. Deci, mai întâi, funcția pe care ne interesează să luăm derivata f a lui g, permiteți-mi să o numesc h din x. Pentru că nu vreau să fiu nevoit să continui să scriu f din g din x. Să-i spunem d. Acesta va fi punctul g din c. Deci vrem să arătăm că h prim din c există și este egal cu f prim din d ori g prim din c. Doar în această notație pe care am configurat-o. Deci acum, permiteți-mi să definesc câteva funcții auxiliare u ale lui y. Acesta va fi în esență coeficientul de diferență al lui f, cu excepția unui anumit punct. Deci, acesta este f din y minus f din d peste y minus d atunci când y nu este egal cu d, astfel încât acest lucru este semnificativ. Și apoi, f prim al lui d când y este egal cu d. Și apoi, v din x-- deci aceasta va juca rolul primei expresii pe care am scris-o acolo, f din g din x minus f din g din c. Și apoi, v din x, acesta va fi g de x minus g de c, x minus c când x nu este egal cu c și g prim pentru c când x este egal cu c. Acum, în esență, ce avem aici? Atunci, dacă mă uit la f din y minus f din d, acesta este egal cu u de y ori y minus d, întotdeauna. Pentru că dacă y nu este egal cu d, atunci împart peste și obțin u din y, atunci obțin f din y minus f din partea stângă peste y minus d. Și acesta este egal cu u din y prin definiție. Și apoi, când y este egal cu d, primesc 0 aici și primesc 0 aici. Deci asta e clar. Și, de asemenea, la fel și aici, g de x minus g de c este egal cu v de x minus [ INAUDIBIL] ori x minus c. Deci avem aceste două expresii. Și încă un lucru pe care vreau să-l remarc este că u și v sunt continue la y este egal cu d și, respectiv, x este egal cu c. Așadar, rețineți că v din y este continuă la d, iar v din x este continuă la c. Deci, să ne uităm la dovada asta. Trebuie doar să arătăm că limita pe măsură ce y merge la d din v din y este egală cu v din d. Deci, calculați limita pe măsură ce y merge la d din v din y. Acum, când ne uităm la limite, amintiți-vă, nu avem voie să punem y egal cu d în expresia pentru această limită. Ne uităm mereu la punctele y apropiate de d, dar nu egale cu d, este ceea ce spun. Așadar, atunci când y este aproape de d și nu este egal cu d, v din y este dat de-- ar trebui-- asta ar fi trebuit-- ar fi trebuit să scriu u aici, scuze, u. Deci ne uităm la y lângă d, dar nu egal cu d. Și, prin urmare, este dat de această expresie. Deci aceasta este limita pe măsură ce y trece la d din f din y minus f din d peste y minus d. Și aceasta este doar definiția derivatei lui f la d. Deci, amintiți-vă, d este g din c. Deci f este diferențiabilă acolo. Și aceasta este prin definiție u din d. Deci această funcție u este continuă la y egal cu d. Și, în mod similar, limita ca x merge la c al lui u al lui x, v al lui x este egal cu v din c, care este g prim al lui c. Deci acum vom combina ceea ce am scris aici pentru a termina dovada. Deci, în h de x minus h de c, acesta este egal cu f de g de x minus f de g de c. Și aceasta este egală cu u de g de x ori g de x minus g de c. Aceasta este din această relație de aici. Așa că o vom numi o stea, aceasta o stea dublă. Aceasta este după stea. Și acum, folosesc a doua relație, stea dublă, pentru a scrie g de x minus g de c este egal cu v de x ori x minus c. Și, prin urmare, limita pe măsură ce x merge la c de h de x minus h de c, sau x minus c, aceasta este egală cu limita pe măsură ce x merge la c de u de g de x ori v de x. Acum, u este continuă la g din c, g este continuă la c. Și am demonstrat că alcătuirea a două funcții continue este continuă. Deci aceasta este egală cu u de g din c. Și v din x, am demonstrat deja. Această limită este v din c. Și u din g din c, deci acesta este d, amintiți-vă, în notația pe care o aveam mai devreme. Și, prin urmare, aceasta este egală cu f prim de g din c. Amintiți-vă, g din c a fost d, ori g prim din c. Deci, pentru a merge de la acest punct la acest punct, folosim faptul că u este continuă la c, ceea ce am demonstrat. u este continuă la g din c, ceea ce am demonstrat acolo. Și acel g este continuu la c. Și, prin urmare, compoziția a două funcții continue este continuă în acel moment pentru a ajunge la acest tip. Dar, din nou, întreaga idee de bază a fost de a putea scrie coeficientul de diferență ca un produs al ceea ce arată ca coeficientul de diferență de f ori coeficientul de diferență al lui g. Dar trebuie să fii atent, deoarece g de x ar putea fi egal cu g de c, caz în care împărțiți la 0 în această idee de bază pe care am avut-o acolo, ceea ce nu este permis. Dar o ocoliți folosind aceste funcții care sunt egale cu ceea ce doriți, atâta timp cât nu împărțiți la 0, practic. Așadar, aceasta completează proprietățile de bază ale derivatului. Și acum, vom trece la încercarea de a demonstra teorema valorii medii - Alfred din această poveste cu Batman. Dar mai întâi, pentru a demonstra acest lucru, vom avea nevoie de un rezultat despre derivată în raport cu un anumit minim relativ și maxim relativ. Așa că mai întâi să definesc ce înseamnă asta. Fie S o submulțime a lui R, f o funcție de la S la R. Spunem că f are un maxim relativ la c în S. Dacă există o delta pozitivă, astfel încât pentru tot x din S, x minus c este mai mic decât delta, atunci f din x este mai mic sau egal cu f din c. Deci imaginea de aici și apoi permiteți-mi să afirm că există o definiție analogă a relativului min la c. Doar luați întreaga definiție și întoarceți inegalitatea. Aceasta este definiția pentru min relativ. Deci, ce înseamnă asta din punct de vedere pictural, așa că nu uitați, am avut această noțiune de min absolut și maxim absolut. Un max absolut într-un punct c înseamnă în orice alt punct din S, f din x se află sub f din c. Aici spunem doar că, atâta timp cât ești aproape de punctul c, atunci stai sub f din c. Deci, să presupunem că funcția noastră arată cam așa. Deci, să presupunem că suntem în acest punct aici. Deci, acesta ar fi max absolut, deoarece graficul funcției se află sub valoarea funcției în acest punct pentru tot x din acest interval a, b. Și apoi, aici, în acest moment, am avea un min absolut, pentru că restul de-- deoarece graficul funcției se află deasupra punctului respectiv pentru toți x din acest interval. Dar acum, dacă merg în acest punct, să zicem, acesta ar fi un maxim relativ, pentru că de ce? Dacă mă uit la un interval -- un interval mic în jurul lui și mă uit în interiorul acestui interval -- sunt prea multe linii întrerupte. Așa că o să șterg asta. Da, am de gând să elimin liniuța. Dacă măresc doar pe această singură bucată a graficului, atunci în acest moment, graficul se află sub acest punct în interiorul acestei mici fâșii verticale. Deci tipul ăsta ar fi un maxim relativ. Și apoi, în mod similar, în acest moment aici, poate este-- lasă-mă-- ca să poți vedea cu adevărat care este graficul. Ar fi trebuit să aduc culori diferite. În acest moment, avem un min relativ. Deoarece punctele din apropiere se află deasupra valorii funcției evaluate în acest punct. Deci, maxim relativ înseamnă că punctele din apropiere f se află sub acel f evaluat în acel punct. Iar min relativ este invers. Așa că nu cred că trebuie să analizăm punctul în care sunt maximele relative minime. Cred că este destul de clar. Deci teorema este următoarea. Dacă f din a, b are o relativă min sau max într-un punct c strict în interiorul acestui interval închis, în intervalul deschis a, b, atunci și f este diferențiabilă la c, atunci f prim lui c este egal cu 0. Și acesta este un fel este clar din această imagine, deși ar putea să arate mai mult ca un dinte de ferăstrău, dar nu ar trebui, că tangenta în acest punct este orizontală. Și tangenta în acest punct este orizontală, care este expresia pe care tocmai exprimăm că f prim pentru c este egal cu 0. Deoarece f prim pentru c se presupune că este panta tangentei. Deci ideea dovezii este... și o vom face pentru un maxim relativ. Min relativ pe care îl obțineți luând minus f. Deci o vom face dacă presupunem că f are un maxim relativ la c în a, b. Atunci, voi face doar o imagine pentru a ilustra de ce este cazul, deci sau de ce ceea ce voi spune este cazul. Deci avem a, b, avem c. Apoi există delta pozitivă, să spunem delta unu, astfel încât două lucruri sunt adevărate. x sau c minus delta 1 c plus delta 1 este conținut în a, b. Doi, pentru toate x din c minus delta 1, c plus delta 1, f din x este mai mică sau egală cu f din c. Deci, delta 1 este aleasă ca minim de-- așa că poate să nu-i spun delta unu, să-i spun doar delta. Deci, mai întâi, știți că a, b, interval deschis, acesta este un set deschis pe care l-am întâlnit în teme. Deci puteți găsi o delta astfel încât delta 0, să zicem, astfel încât acest interval centrat pe c să fie conținut în a, b. Acum, deoarece f are un maxim relativ în acest punct, există o altă deltă 1, să zicem, astfel încât, dacă sunt în acel interval, atunci f din x este mai mic sau egal cu f din c pentru tot x din acel interval. Și aleg delta să fie minimul dintre aceste două delte. Și apoi voi avea o delta aleasă, astfel încât c minus delta c plus delta să fie -- deci aici, aceasta este -- și apoi delta 0 le arată astfel încât să fie conținut. Așa că aleg minim dintre aceste delte. Și aceasta este delta pe care o iau pentru această afirmație. Deci, acum, modul în care obținem că derivata este 0 este, vom aborda c de sus și de jos și vom folosi faptul că avem un maxim relativ pentru a arăta că derivata este mai mare sau egală cu 0 și mai mic sau egal cu 0. Deci, fie xn c minus-- cum am scris asta-- delta peste 2n, care este în intervalul c minus delta c pentru toate n. Atunci ce știm? xn, limita pe măsură ce n merge la infinit de c minus delta peste 2, n converge către c. Deci derivata la c este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui f din x sub n minus f din c peste x sub n minus c. Acum, ce notăm? Deci x sub este în acest interval aici, care este conținut în acest interval aici. Și, prin urmare, f din x sub n este întotdeauna mai mică sau egală cu f din c. Deci ceea ce este deasupra este întotdeauna mai mic sau egal cu 0. Acum, x sub n este întotdeauna mai mic decât c. Deci, acest lucru de jos este, de asemenea, mai mic decât 0. Și, prin urmare, ceva care este mai mic sau egal cu 0 deasupra peste ceva care este mai mic de 0 în partea de jos trebuie să fie mai mare sau egal cu 0. Deci se apropie de c din stânga. Dacă ne apropiem de c din dreapta, delta peste 2n care este conținut în c, c plus delta pentru tot n, atunci xn converge către c. Și dacă ne uităm la f prim din c, din nou, aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui f din y sub n minus f din c peste y sub n minus c. Din nou, f din c este un maxim relativ. Deci, acest lucru de deasupra este încă mai mic sau egal cu 0. Și lucrul de jos, totuși, este acum, deoarece y sub n este mai mare decât c, acest lucru este pozitiv. Deci ceva de deasupra este negativ, ceva de deasupra este pozitiv. Deci limita trebuie să fie negativă. Așa că tocmai am arătat că f prim lui c este mai mare sau egal cu 0. Și că este, de asemenea, mai mic sau egal cu 0. Și, prin urmare, derivata este 0 în acest moment. Și din nou, dovada unui minim relativ este foarte asemănătoare, cu excepția faptului că inegalitatea inversează semnele. Și, prin urmare, ați obține că acesta este mai mic sau egal cu 0, acesta ar fi mai mare sau egal cu 0. Dar obțineți totuși f prim din c este mărginit între 0 și 0. Deci, într-un punct în care avem o relativă minim strict în interiorul intervalului, derivata trebuie să fie 0. Iar faptul că se întâmplă strict în interiorul intervalului este important. Acest lucru nu este neapărat adevărat dacă maximul relativ sau minul relativ are loc la un punct final. Gândiți-vă la f din x este egal cu x pe 0, 1. Apoi are un minim absolut la 0, un maxim absolut la 1, iar derivata este 1 în ambele puncte, nu 0. Deci, aceasta este doar pentru minurile relative, maximele relative care apar interior-- strict în intervalul pe care funcția este definită și unde este diferențiabilă. Deci acum, avem teorema lui Rolle , care este în esență teorema valorii medii rotite. Vom obține teorema valorii medii din teorema lui Rolle. Și care afirmă următoarele, fie f de la a, b la R, să fie continuă. Deci este continuă în fiecare punct din a, b, diferențiabilă în fiecare punct din interiorul lui a, b. Ar putea fi diferențiat la punctele finale. Asta e bine. Dar trebuie să fie diferențiabilă pe intervalul deschis a, b. Dacă f din b, a este egal cu f din b este egal cu 0, atunci există un punct c în intervalul deschis a, b-- și acest lucru este important-- astfel încât f prim din c este egal cu 0. Și care este imaginea care este merge cu asta? Sunt sigur că ai mai văzut-o. Desenăm o funcție care arată cam ca sinus sau cosinus. Dar oricum, funcția care este 0 aici, 0 aici. Apoi trebuie să existe un punct în care tangenta este verticală. De fapt, aici poate apărea în două puncte diferite. Dar ceva care deja cam dezvăluie jocul în ceea ce privește modul în care vom demonstra acest lucru, haideți să vedem unde funcția ia un maxim și un minim. Acesta este miezul dovezii. Și de ce putem... de ce are chiar un maxim absolut sau un minim absolut? Deci, cred că nu am spus asta acolo când am discutat despre min și maxim relativ. Dar un maxim absolut este și un maxim relativ. Iar minimul absolut este, de asemenea, un minim relativ. Așa că lasă-mă să fac asta... aceasta este o remarcă târziu. Max absolut este un maxim relativ, min absolut este un min relativ. Deci imaginea asta a cam dat jocul deja. Să ne uităm la locul în care funcția ia un maxim și un min. Și de ce f ia un max sau un min? Se datorează faptului că f este continuă pe acest interval închis și mărginit . Acesta este ceva ce am demonstrat când am discutat despre continuitate, teorema min max. Deci hai să dăm dovada. Deoarece f este continuă pe a, b, f atinge un maxim relativ la un punct c1 în a, b și min relativ la c2 în a, b. Dacă există și un x-- . Dacă f din c1 este pozitivă, atunci ce poți spune? Ei bine, c1 nu poate fi unul dintre punctele finale, deoarece la punctele finale, f din a este egal cu f din b este 0. Aceasta implică că c1 este în intervalul deschis a, b, ceea ce implică, prin teorema anterioară, f prim al lui c1 este egal cu 0 Deci aici tu... c este egal cu c1. Dacă sunt la minim acum, și acesta este mai mic decât 0, atunci din nou, acest lucru implică faptul că c2 este în intervalul deschis a, b, ceea ce implică, deoarece f are un minim la c2, f prim de c2 este egal cu 0 prin teorema anterioară. Și, prin urmare, am putea lua c egal cu c2. Dacă-- acum, acestea sunt două cazuri-- f din c1, dacă fie f din c1 este pozitivă, fie f din c2 este mai mică decât 0, atunci avem rezultatul. Dacă f din c1 este mai mică sau egală cu 0, este mai mică sau egală cu f din c2, acum amintiți-vă, f atinge un maxim pe care c1. F atinge un min la c2. Și, prin urmare, aceasta ar trebui să fie întotdeauna mai mică sau egală cu aceasta. Dacă maximul și minul... deci, mai întâi, vreau să mă asigur că îmi înțeleg logica corectă aici. Deci, mai degrabă decât să spunem așa , hai să o facem așa. Deci, în ceea ce privește imaginea de aici, acesta ar fi c1, c2, unde obținem un maxim și un min. Apoi, în cazul final, că f din c1 și apoi, deci acesta este max. 0 este egal cu f evaluat într-un punct. Atunci... în regulă. Așa că permiteți-mă să mă întorc la ceea ce voiam să spun acum un minut. Deci, în ultimul caz, faptul că f din c1 este mai mic sau egal cu 0 este mai mic decât f din c2. Acum, amintiți-vă, acesta este min, acesta este max de f. Deci, acesta ar trebui să stea întotdeauna deasupra f din c2. Deci asta implică faptul că f din c1 este egal cu f din c2. Și, prin urmare, max și min se egalează. Ceea ce implică pentru toți x și a, b, deoarece f din c1 este minimul, sau f din c2 este -- așa că am început cu ceva aici, acolo și între ele, care implică pentru tot x din a, b, f din x este egal cu f din c2. Deci asta înseamnă că f este constantă. Și știm care este derivata unei funcții constante. Este doar 0. Deci am putea lua... să zicem, punctul de mijloc. Și acesta este sfârșitul. Îmi pare rău că m-am cam bătut peste asta pentru un minut, dar... OK. Deci, pentru orice funcție care este 0 la punctele finale, trebuie să existe un punct între unde funcția este -- derivata funcției este egală cu 0. Acum, din nou, ar trebui să revenim la când vedem o teoremă, ar trebui să ne întoarcem. desprindeți-l puțin pentru a vedea ce este necesar și ce nu. Am avut aceste două ipoteze, că dacă funcția este continuă și diferențiabilă pe acest interval deschis a, b, sunt acestea necesare? Deci, de exemplu, să presupunem că am funcția -- dacă mă uit la funcția 1 minus valoarea absolută a lui x. Deci, la minus 1, 1, 1, aceasta este o funcție continuă pe minus 1, 1. Și f din minus 1 este egal cu f din 1 este egal cu 0. Dar nu există niciun punct în care f prim din c este egal cu 0. Ce ipoteză am lăsat iesit pentru aceasta functie? Faptul că este... ipoteza că este diferențiabilă în fiecare punct între ele. Această funcție nu este diferențiabilă. Dar nu există niciun punct în care derivata să fie egală cu 0. Deci, acest exemplu vă spune că ipoteza că funcția este diferențiabilă pe intervalul minus 1, 1 sau a, b este necesară pentru ca teorema să fie adevărată. La asta ajung. Acum, este necesară și cealaltă ipoteză că funcția este continuă pe intervalul închis. Să presupunem că mă uit la... și este destul de ușor să vin cu un contra-exemplu, dacă nu presupun asta. Să luăm funcția care este -- funcția care este x minus 1 pentru x nu este egal cu minus 1 și 0 pentru x egal cu minus 1. Deci, arată această funcție? Deci, această funcție aici este diferențiabilă pe minus 1, 1, f din minus 1 este egal cu f din 1 este egal cu 0. Dar din nou, nu există niciun punct c în minus 1, 1, astfel încât f prim din c este egal cu 0. Deoarece derivata dintre minus 1, 1 este doar 1. Deci ambele ipoteze, că f este continuă pe intervalul închis și diferențiabilă pe intervalul deschis, sunt necesare pentru ca această teoremă să fie adevărată. Dacă renunțați la oricare dintre aceste ipoteze, atunci teorema este falsă. Deci, să rotim această imagine aici și să ajungem la teorema valorii medii. Fie f de la a, b la R continuu. Deci este continuă pe intervalul închis a, b, diferențiabilă pe a, b. Atunci există un c în intervalul deschis a, b astfel încât f prim lui c-- permiteți-mi să-l scriu astfel-- f de b minus f de a ori b minus a. Deci, de ce mă refer la ea ca la o imagine rotită și o versiune deplasată a teoremei lui Rolle? Deci există a, b. Iată f din a, f din b. Și să spunem că așa arată funcția. Acum, panta dreptei care leagă f din b de f din a este exact f din b minus f din a. Deci panta acelei drepte este f din b minus f din a. Și ceea ce afirmăm este că există un punct c, astfel încât tangenta din acel punct este paralelă cu acea dreaptă, are aceeași pantă ca și dreapta care leagă f din b de f din a. Deci această teoremă se reduce într-adevăr la teorema lui Rolle. Deci, permiteți-mi să definesc o funcție g de la a, b la R, care satisface ipotezele teoremei lui Rolle și ne va da ceea ce ne dorim, practic. Deci g de x este egal cu f de x minus f de b, plus f de b minus f de a peste b minus a ori b minus x. Practic, ceea ce face această funcție g este că ia funcția acum și o rotește și o deplasează în jos, astfel încât f-- aceste două puncte să coincidă și să vă dea 0. Atunci g este continuă pe intervalul închis a, b. De ce? Pentru că este o sumă a două funcții continue pe a, b. f din x este continuă pe a, b. Și aceasta este doar o constantă. Asta e doar o constantă. Acesta este un polinom. Deci g este continuă pe a, b și diferențiabilă pe a, b, din nou, deoarece f este. F este diferențiabilă pe intervalul deschis a, b. Această parte este diferențiabilă peste tot, astfel încât suma a două funcții diferențiabile este diferențială. Deci g din x este diferențiabilă pe a, b. Deci continuu pe a, b si diferentiabil pe a, b. Și din moment ce am spus, vom folosi teorema lui Rolle, să calculăm g din a. Aceasta este egală cu f din minus f din b, plus f din b minus f din a, peste b minus a, ori b minus a. Asta se anulează cu asta. Minus f din b se anulează cu f din b. f din a se anulează cu minus f din a și obținem 0. Și apoi, g din b, acest lucru este și mai ușor de văzut. Dacă doar bag asta, acesta este f de b minus f de b plus f de b minus f de a, peste b minus a, b minus b. Și acesta este, de asemenea, egal cu 0. Deci g din a și g din b sunt 0. Funcția este continuă pe intervalul închis. Este diferențiabilă pe intervalul deschis. Prin urmare, după teorema lui Rolle, cred că ar trebui să existe un fel de accent peste O, dar nu-mi amintesc și l-am uitat deja. După teorema lui Rolle, există un punct c în a, b, astfel încât 0 este egal cu g prim pentru c, care este egal cu - luăm g și calculăm de fapt care este derivata la c, este egal cu f prim pentru c. Aceasta este o derivată constantă care este 0. De aceasta ori aceasta, derivata lui x evaluată la c îmi dă minus f din b minus f din a, ori b minus a. Si asta e. 0 este egal cu f prim al lui c minus ceea ce vrem. Mutăm asta în cealaltă parte, înmulțim cu b minus a și am terminat. Așadar, câteva aplicații foarte frumoase ale teoremei valorii medii , pe care cred că le-ați învățat din calcul sunt următoarele. Fie f de la I la R diferențiabilă, adică este diferențiabilă în fiecare punct din intervalul I. Atunci avem două concluzii. f este în creștere, adică ne amintim ce înseamnă asta, pentru că f este în creștere, înseamnă că dacă x este mai mic decât y, aceasta implică că f din x este mai mic sau egal cu f din y. Acest lucru este echivalent cu pentru tot x din I, f prim pentru x este mai mare sau egal cu 0. Așa că rețineți, f prim este rata de schimbare. Dacă rata de schimbare este întotdeauna nenegativă, atunci f trebuie să fie în creștere. Dar aceasta spune că f este în scădere, adică x mai mic decât y implică că f din x este mai mare sau egal cu f din y. Acest lucru este echivalent cu, deoarece o funcție este în creștere dacă și numai dacă minus f este în scădere, această inegalitate ar trebui să se inverseze. Așa că voi face creșterea-- scăderea rezultatelor de la numărul unu luând minus f. Deci cât timp am la dispoziție? mai am timp. Deci, să presupunem mai întâi că f prim al lui x este întotdeauna nenegativ. Să fie a, b în I. [Strănută] Scuză-mă. Acum vrem să arătăm că f din a este mai mic sau egal cu f din b. Atunci f este continuă pe acest interval mai mic a, b. De ce? Deoarece f este diferențiabilă în fiecare punct din I. Și, prin urmare, este continuă în fiecare punct din I. Deci, în special pe acest interval mai mic , și diferențiabilă pe a, b, ceea ce implică că există un c în a, b-- Deci prin teorema valorii medii , astfel încât f din b minus f din a este egal cu f prim de c ori b minus a. Și acum, deoarece derivata este întotdeauna nenegativă și b minus a este pozitivă, aceasta este mai mare sau egală cu 0. I.e. dacă a b minus f al lui a este mai mare sau egal cu 0. Deci demonstrăm într-o direcție. Am demonstrat că, dacă vă place, derivata funcției fiind nenegativă, înseamnă că funcția este în creștere. Deci acum să demonstrăm direcția opusă. Deci, să presupunem că f este în creștere și c este în I. Fie xn o succesiune în I, astfel încât xn converge către c. Și unul din două lucruri ține. Și fie să spunem, a, tot n xn este mai mic decât c, fie b, tot n xn este mai mare decât c. Și putem găsi întotdeauna o astfel de secvență având în vedere un punct C în intervalul I. Deci dacă I, deci să spunem, este un interval închis. Și c este aici. Apoi putem găsi o secvență xn convergentă către c, apropiindu-se de c din stânga. Dacă c este unul dintre punctele finale, atunci putem găsi o secvență din I care se apropie de c din dreapta. Asta e b. Și același lucru dacă c este aici putem găsi o secvență care se apropie de c, strict din stânga. Deci există întotdeauna o astfel de secvență. Întotdeauna există. Și asta pentru că, I este un interval. Și dacă șirul satisface cazul a și ne uităm la f prim, atunci obținem că f din xn este mai mică sau egală cu f din c pentru tot n. Și, de fapt, permiteți-mi să scriu asta puțin diferit. Din moment ce... deci aici folosim acel f ca crescător. Deoarece f este în creștere, ceea ce implică pentru tot n, f de xn minus f de c peste x de n minus c-- acum, acest lucru de deasupra este negativ. xn este mai mic decât c. Deci chestia asta din partea de jos este și negativă. Și, prin urmare, acest lucru este, pozitiv-- non-negativ, vreau să spun. Și, prin urmare, limita trebuie să fie și negativă. Dar acea limită este doar o derivată evaluată la c. Și cazul b este oarecum similar. Adică, nu, așa este. În cazul b, obținem că pentru toate n, f din xn, acum, deoarece x tinde spre dreapta lui c-- permiteți-mi să o scriu astfel. Acest minus f al lui c este mai mare sau egal cu 0, ceea ce implică faptul că f prim al lui c, care este limita pe măsură ce n merge la infinitul lui f din xn minus f din c peste xn minus c. Ceea ce este deasupra nu este negativ. Și ceea ce este în partea de jos este nenegativ, deoarece xn este mai mare decât c. Deci mai mare decât 0, mai mare decât 0, mai mare decât 0. Astfel, în oricare dintre cazuri, obținem că f prim lui c este mai mare sau egal cu 0. Și, prin urmare, am demonstrat că derivata este întotdeauna nenegativă. Deci asta e una. Și doi, f este în scădere dacă și numai dacă funcția minus f este în creștere, ceea ce, prin ceea ce am făcut din prima parte, este dacă și numai dacă minus f prim al lui x este mai mare sau egal cu 0 pentru tot x din I. Și apoi, înmulțind cu acest minus 1, îmi dă numărul doi. Și așa, lasă-mă să fac un ultim... Știu că e tabu să scrii pe spate. Dar o voi face oricum. Avem teorema foarte simplă care urmează acum. Fie f de la I la R diferențiabilă, atunci f este constantă. Deci f din x este egal cu f din y pentru toate x și y din I, dacă și numai dacă derivata este identic 0. Deci f este constantă dacă și numai dacă f este atât crescător, cât și descrescător. Pentru că satisface semnul egalității în ambele. Și prin ceea ce am făcut acum, asta înseamnă pentru tot x din I, dacă primul lui x este mai mare sau egal cu 0 și -- asta pentru partea crescătoare -- f prim lui x este mai mic sau egal cu 0 Și, prin urmare, aceasta este echivalentă cu f prim lui x egal cu 0. Deci ne vom opri aici.