[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [CLIC] PROFESOR: Bine, așa că haideți să continuăm discuția despre spațiile Banach. Deci, să fie V un spațiu de normă, adică un spațiu vectorial cu o normă pe el. Și ultima dată, un spațiu Banach a fost definit ca fiind un spațiu de normă astfel încât metrica indusă de această normă este completă - toate secvențele Cauchy converg. Deci, dacă doriți să verificați că un spațiu normă este un spațiu Banach, trebuie să luați o secvență Cauchy și să arătați că converge în spațiu, ceea ce am făcut ultima dată pentru spațiul funcțiilor continue mărginite pe un spațiu metric. Acum, există o modalitate alternativă, utilă de a verifica dacă un spațiu este un spațiu Banach, pe care îl vom folosi într-un minut. Dar pentru a o afirma, trebuie să introduc o definiție foarte repede. Deci, să fie vn o secvență în V. Și voi abuza de notație și voi scrie subsetul lui V, chiar dacă aceasta este o secvență. Folosesc această notație, totuși. Deci, aceasta înseamnă să lăsăm vn o secvență în V. Seria, care este chiar acum o expresie, doar cretă pe o tablă chiar acum, este doar un simbol - spunem că această serie este însumabilă dacă succesiunea de sume parțiale, care sunt acum elemente în spațiul normal, deci dacă această succesiune de sume parțiale converge. Spunem că seria vn este absolut însumabilă dacă seria care implică acum aceste numere nenegative converge. OK, deci aceasta este la fel ca definiția convergenței unei serii de numere reale, de care ați tratat în analiza anterioară și convergența absolută, doar că aici folosesc terminologia absolut sumabilă, deoarece aceasta este terminologia folosită de Richard Melrose, deci Vreau să rămân la ceea ce folosește. El este australian, așa că cred că poate are ceva de-a face cu asta. Deci, acesta este unul dintre lucrurile nefericite despre asta, este că nu pot spune dacă râzi, dar voi presupune că râzi. OK, deci suma absolută a tuturor înseamnă suma absolutului-- a normelor converge. Și aveți această teoremă, la fel ca din analiza reală, pe care ați văzut-o la un moment dat, că dacă vn-- deci dacă această serie este însumabilă-- este-- îmi lipsește un adjectiv acolo. Dacă am o serie absolut însumabilă, atunci succesiunea sumelor parțiale -- aceasta este o secvență Cauchy în spațiul V. Deci, din nou, lucrăm într- un spațiu normal V. Bine, iar dovada este aceeași cu în cazul numerelor reale . Așa că o dovadă ți-o las. Acesta este doar un exercițiu simplu. Și este la fel ca pentru V egal cu R. Acum, observați că am spus ceva care este strict mai slab decât ceea ce întâlniți în oricare dintre cazurile V este egal cu R. În cazul în care V este egal cu R, aveți teorema că dacă am o serie absolut însumabilă , atunci este sumabil. Fiecare serie absolut convergentă este convergentă. Dar nu am spus asta aici. Tocmai am spus că succesiunea sumelor parțiale este Cauchy, nu neapărat convergentă. Deci, când este convergentă succesiunea seriei parțiale? Când pot spune că o serie absolut însumabilă în acest spațiu de normă este însumabilă? Și pot spune asta tocmai când este un spațiu Banach. Deci, teorema pe care o vom demonstra este că V este un spațiu Banach dacă și numai dacă fiecare serie absolut însumabilă este însumabilă. OK, deci acest lucru caracterizează spațiile Banach ca acele spații pentru care această teoremă ai din analiză reală, că fiecare serie absolut convergentă converge, este tocmai asta. Fiecare serie absolut însumabilă este însumabilă. Și uneori, aceasta este o proprietate mai ușor de verificat decât să treci prin întreaga afacere Cauchy. Și uneori, este exact aceeași cantitate de muncă. Vom folosi acest lucru mai târziu când ne ocupăm de integrarea și teoria măsurării pentru a demonstra că spațiile mari Lp sunt spații Banach. În regulă, deci avem două direcții de demonstrat... că dacă V este un spațiu Banach, atunci obținem că fiecare serie absolut însumabilă este însumabilă. Și acest lucru este destul de simplu. Deci o direcție - dacă V - să presupunem că V este un spațiu Banach. Atunci, dacă vn, dacă această serie, este absolut însumabilă prin teorema anterioară, pe care nu am demonstrat-o, dar este foarte ușor de demonstrat, obțin că șirul sumelor parțiale - aceasta este o secvență Cauchy în V. Și pentru că V este un spațiu Banach, fiecare secvență Cauchy converge. Și, prin urmare, converge în V. Și, prin urmare, seria este însumabilă. Deci această direcție destul de simplă. Să mergem în direcția opusă și să arătăm că fiecare-- că condiția ca fiecare serie absolut însumabilă să fie însumabilă implică că V este un spațiu Banach. Deci fiecare serie absolut însumabilă este însumabilă. Acum, vrem să arătăm că fiecare secvență Cauchy converge în V. Deci, să fie vn un Cauchy în V. Deci ceea ce vom face este că, de fapt, vom arăta că există o subsecvență a secvenței care converge. Deci, ce vom arăta... astfel încât această secvență să aibă o subsecvență convergentă. Și odată ce am făcut asta, am terminat pentru că amintiți-vă la zilele dvs. reale de analiză. Dacă o secvență Cauchy are o subsecvență convergentă, atunci întreaga secvență converge. Și vn converge prin teoria spațiului metric, bine? Deci chestii reale de analiză. OK, deci haideți să găsim această secvență. Și, practic, vom construi această subsecvență prin accelerarea convergenței lui vn sau, dacă doriți, accelerarea Cauchiness-ului lui vn. Deci, faptul că șirul este Cauchy implică că pentru toate numerele naturale, există un număr natural k, de asemenea un număr natural, astfel încât pentru toți nm mai mari sau egali cu N sub k, avem că norma lui v sub n minus norma lui v sub m este mai mică de 2 la minus k. Bine, de ce am ales minus k? Pentru că asta e sumabil, bine? Și o să vezi. Și deci ceea ce vom face este să construim, în esență, o sumă telescopică din aceștia... de la tipi bine aleși. Deci definiți n sub k. Ce va fi asta? Acesta va fi egal cu N sub 1 plus plus N sub k. Deci n sub 1 este mai mic decât n sub 2 este mai mic decât n sub 3 pentru că la fiecare etapă, adun un număr natural. Deci n sub 1 este egal cu capital N sub 1. n sub 2 este egal cu capital N sub 1 plus n sub 2. Acestea sunt numere naturale. Așa că devin mereu mai mare la fiecare etapă. Deci aceasta este o secvență crescătoare de numere întregi. Și pentru tot k, n sub k este mai mic sau egal cu N sub k, capital N sub k deoarece mic n sub k este egal cu suma numerelor întregi plus capital N sub k. Și astfel v sub n sub k vor fi în esență tipii care converg. Astfel, pentru toate k numere naturale, obțin că v sub n sub k plus 1 minus v sub n sub k-- dacă iau norma, deci n sub k este mai mare sau egal cu capitalul N sub k. n sub k plus 1 este mai mare sau egal cu n sub k, care este mai mare sau egal cu capitalul N sub k. Și, prin urmare, prin această condiție-- cum sunt alese n sub k-- așa că aceasta, aceasta, aceasta și ceea ce este în albastru îmi spune că aceasta va fi mai mică de 2 la minus k. Și, prin urmare, astfel, suma v sub n sub k plus 1 minus v sub n sub k - aceasta este absolut însumabilă, nu? Deoarece norma este mai mică de 2 la minus k, pe care îl puteți însuma. Și prin presupunerea noastră, că fiecare serie absolut însumabilă este însumabilă, aceasta implică că -- nici măcar nu am spus nimic după aceea -- este absolut însumabilă, ceea ce implică că aceasta este însumabilă, ceea ce implică limita ca m-- sau lasă Eu, în schimb, termin doar cu asta -- adică succesiunea de sume parțiale k este egală cu 1 la m v ​​sub n sub k plus 1 minus v sub n sub k -- această secvență de sume parțiale converge în V. OK, deci recapitulând din nou, vom a început cu o secvență Cauchy. Ieșim în secvența Cauchy suficient de departe și alegem anumiți tipi, astfel încât să fie destul de aproape unul de celălalt. Și cât de aproape? Atât de aproape încât suma normelor lor este finită, încât este absolut însumabilă. Și, prin urmare, seria este însumabilă după presupunerea noastră. Dar aceasta este în esență o sumă telescopică. Astfel, seria v sub n sub m, care este egală cu-- deci șirul v sub n sub m, care este suma de la n este egală cu 1 la m din v sub n sub k plus 1 -- să vedem, permiteți-mi să pun un minus 1 aici, minus v sub n sub k plus v sub n sub, m egal cu 1 la infinit converge în V. Și am terminat. Deci v sub n sub m este egal cu această sumă telescopică plus -- așa că, atunci când adun acest lucru , termenii se anulează. Și îl ridic doar pe ultimul, care este atunci când ridic m sub 1 aici minus primul, care este v sub n sub 1 aici. Deci, dacă adaug pe v sub n sub 1, doar ridic v sub n sub m. Acum, pe măsură ce m merge la infinit, aceasta converge către ceva deoarece această secvență converge. Și acest lucru este doar fixat în m. Deci această sumă converge. Și, prin urmare, v sub n sub m converge. Și astfel, această subsecvență a secvenței noastre originale Cauchy converge, dovedind că secvența Cauchy converge în V. Și am terminat. OK, deci spații Banach, acestea sunt o generalizare frumoasă a spațiilor cu care ați lucrat în analiza reală și algebra liniară - Rn, Cn și așa mai departe. Deci, care sunt analogii matricilor, pe care a trebuit să le utilizați în calcul și algebră liniară? Acest lucru va duce la următorul nostru subiect, care este operatorii și funcționalii - deci operatorii fiind analogul matricelor care iau un vector într-un alt vector, funcționalele sunt analogul luării unui vector și luării produsului său punctual cu un vector fix, scuipând un număr real. Deci, funcționarii vor mânca vectori și vor scuipa numere reale sau complexe, în funcție de domeniul în care lucrați. Așa că permiteți-mi să notez doar un exemplu de reținut, în ceea ce privește operatorii. Așa că vreau să țineți cont de acest exemplu , care a fost motivul pentru care am construit cu adevărat toate aceste mașini. Adică, acest exemplu a venit mai întâi, iar apoi a venit mașina-- a fost construită mai târziu pentru a putea spune tot ce putem despre acest tip de operatori-- sau acest tip de transformări. Și în funcție de dacă ești sau nu în clasa mea, poate ai văzut o întrebare despre o astfel de creatură la o temă sau poate la un examen. Deci, fie K o funcție pe 0, 1 încrucișează 0, 1, să spunem, în numerele complexe. Și să presupunem că este continuă pentru f, o funcție continuă pe 0, 1. Putem defini o nouă funcție din f, Tf a lui x, să fie integrala de la 0 la 1 a lui K de xy ori f a lui y dy. Acum, acestea sunt lucruri pe care... Sunt pe cale să scriu câteva lucruri pe care le puteți verifica de mână. Dar apoi puteți verifica, atunci Tf este și o funcție continuă. Și este liniar în argumentul f. Și pentru toate lambda 1, lambda 2 în C, f1, f2 în 0, 1, T lambda 1, f1 plus lambda 2 f2 este egal cu lambda 1 Tf1 plus lambda 2 Tf2. Și are o altă proprietate, pe care o voi spune într-un minut, și anume că este continuă pe spațiul funcțiilor continue. Deci am demonstrat deja că acest spațiu de funcții continue pe 0, 1, acesta este un spațiu Banach, nu? Acesta a fost un exemplu special al spațiului de funcții continue mărginite pe un spațiu metric pe care l-am considerat anterior deoarece pe intervalul închis și mărginit 0, 1, fiecare funcție continuă este mărginită. Deci, acesta este doar egal cu infinitul indicelui C de 0, 1. Deci știm că acesta este un spațiu Banach. Și deci acesta este un exemplu de ceea ce se numește un operator liniar. Deci definiție - să fie V și W spații vectoriale. Deci ar fi trebuit să vedeți o transformare liniară. Îl voi numi operator liniar. Îmi amintesc doar ce înseamnă să fii liniar. Fie V și W spații vectoriale. Spui că o hartă T de la V la W este liniară - deci liniară, dacă pentru toate lambda 1, lambda 2 din domeniul tău de scalari - dacă sunt fie R, fie C - și pentru toate v1, v2 în V, T de lambda 1 v1 plus lambda 2 v2 este egal cu lambda 1 T v1 plus lambda 2 T v2. Deci, într-o hartă dintr- un spațiu normal, deci aceasta este doar o notă în lateral. Așa voi folosi... ei bine, nici măcar nu o voi scrie. Deci, având în vedere două spații normative, o hartă liniară între ele la care mă voi referi cel mai adesea ca un operator liniar. Mai degrabă decât transformarea liniară, ceea ce probabil ați auzit în algebra liniară, mă voi referi la aceștia drept operatori. Ceva pe care am vrut să spun și eu a fost de ce ne pasă de un astfel de tip, altfel decât arată frumos? Îți pasă de tipi ca aceștia, deoarece operatorii de această formă sunt în esență operatorii inversi ai operatorilor diferențiali. Adică, știi asta din teorema fundamentală a calculului. Operația inversă de a lua o derivată este luarea este integrarea. Deci nu ar trebui să fie o surpriză că operatorul invers, adică dacă iau f ca date pentru o ODE, poate fi scris astfel, ca acest tip de operator liniar. Asta nu ar trebui să fie o surpriză prea mare. Deci, de aceea ne pasă de ei, este că operatorii de această formă apar ca inversul luării operatorilor diferențiabili. OK, deci acum, cel puțin în această clasă, nu ne interesează doar orice operator liniar vechi. Vom fi interesați de o anumită clasă de operatori liniari, cei-- deci cei care sunt continui. Așa că permiteți-mi să vă amintesc un mod echivalent de a spune că o hartă este continuă. Deci, aceasta este orice hartă, orice funcție, nu neapărat un operator liniar este continuu pe V dacă-- și există două moduri de a spune asta-- pentru fiecare secvență vn care converge la V-- așa că permiteți-mi să o scriu astfel. Pentru toate v în E pentru toate secvențele care converg către V, obținem acea convergență T din v sub n către T din v. Și un mod echivalent de a afirma acest lucru în termenii a ceea ce s-ar numi noțiuni topologice este că imaginea inversă a lui deschis seturile sunt deschise. Deci, pentru toate u deschise în W, imaginea inversă a lui u, pe care o voi aminti pentru dvs., este mulțimea lui v în V majusculă, astfel încât T v este în u-- Nu spun că T este inversabilă. Asta e imaginea inversă. Setul este deschis în V. Amintiți-vă, noțiunea de set deschis este că pentru fiecare punct din acel set, există o minge mică care este conținută în întregime în setul centrat în acel punct. OK, acum, pentru hărțile liniare, există o modalitate foarte simplă sau o modalitate echivalentă de a găsi când este continuă pe un spațiu normal. Acum, pe spații cu dimensiuni finite, orice transformare liniară - fiecare transformare liniară este continuă. Ar trebui să spun asta. Deci, dacă luați orice operator liniar de la Rn la Rm Cn la Cm sau Rn la Cm, orice între două spații dimensionale finite , acesta va fi întotdeauna continuu dacă este liniar. Nu este întotdeauna cazul între două spații Banach. Acum, din nou, există o modalitate mai eficientă de a verifica când ceva este continuu? Sau care este un mod echivalent de a spune asta? Sau o modalitate mai utilă este următoarea caracterizare pe care o avem. Deci, un operator liniar T între două spații normative acum - deci între două spații normative este continuu dacă există un C pozitiv astfel încât pentru toate v în V capital, dacă iau T din v și iau norma lui în W, aceasta este mai mică decât sau egal cu o constantă ori mai mare decât norma lui v în V capitală. OK, acum, în acest caz, spunem-- în loc să spunem că T este un operator liniar continuu, spunem T este un operator liniar mărginit. Deci nu spunem cu adevărat operator liniar continuu. Spunem operator liniar mărginit. Acum, asta nu înseamnă că imaginea lui V este o mulțime mărginită în W. Nu asta înseamnă. Singurul operator liniar care preia mulțimea mărginită - care preia un spațiu vectorial într-o mulțime mărginită este operatorul zero. Deci nu spunem că duce tot V la un set mărginit. Dar ceea ce spune această inegalitate este că este nevoie de submulțimi mărginite ale lui V la submulțimi mărginite ale lui W. Deci, haideți să demonstrăm -- permiteți-mi să pun o stea după această condiție, așa că nu trebuie să o scriu atât de mult. OK, deci hai să mergem în această direcție. Deci să presupunem stea și să demonstrăm că acest operator liniar T este continuu. Și acest lucru nu este prea greu de făcut. Vom folosi aceasta mai întâi - vom folosi această primă caracterizare a continuității. Fie v în V. Și să presupunem că v sub n este o secvență în V care converge către v. Apoi, după stea, dacă mă uit la T sub v sub n minus T sub v norma în W, aceasta este mai mică sau egală cu o constantă ori mai mare decât norma v sub n minus-- ei bine, în primul rând, am cam folosit-- permiteți-mi să adaug un mic pas. Folosesc că este un operator liniar, adică pot scrie asta ca T din v minus v sub n. Și, prin urmare, aceasta este mai mică sau egală cu o constantă ori v sub n minus v în capitalul V. Și astfel norma lui T din v sub n minus T din v este mai mică sau egală cu o constantă fixă ​​care depinde numai de T ori v sub n minus v. Aceasta merge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Și, prin urmare, după teorema strângerii, acest lucru din stânga trebuie să meargă la 0. Este întotdeauna trivial mai mare sau egal cu 0, după teorema strângerii. Și, prin urmare, T din v sub n converge către T din v. Deci are grijă de o direcție. OK, deci am arătat că această proprietate de mărginire a lui T implică că T este continuu, că operatorul liniar T este continuu. Acum, să arătăm că continuitatea implică această proprietate de mărginire. Și așa, pentru tipul de continuitate-- deci presupun că T este continuu-- voi folosi aici a doua caracterizare a continuității . Deci, imaginea inversă a fiecărui set deschis din W este o mulțime deschisă în V. Deci imaginea inversă a bilei centrată pe vectorul zero în W cu raza 1 -- așa că permiteți-mi să-mi amintesc doar că acesta este un set de v în V astfel încât T v este în minge. Aceasta este o mulțime deschisă în V, deoarece bila cu raza 1-- deci aceasta este bila elementelor din W, astfel încât distanța lor la 0 este mai mică decât 1. Aceasta trebuie să fie o mulțime deschisă în W. Și, prin urmare, inversul său imaginea trebuie să fie un set deschis și V. Deci avem aici 0, 1, totul în interior. Nu includeți granița. Acesta trebuie să fie un set deschis în V. Și T duce unul la celălalt. Acum, ce știu? 0 este aici. Și fiecare transformare liniară ia 0 la 0. Deci 0 trebuie să fie în imaginea inversă pentru că orice hartă liniară ia 0 la 0. Deci 0 trebuie să fie în imaginea inversă. Și, prin urmare, din moment ce acest set este deschis, deci acesta este 0. Deoarece setul este deschis, pot găsi o bilă mică cu raza r centrată la 0, care rămâne în interiorul setului V. Și, prin urmare, este trimisă către altcineva. set, care este un subset al lui W. Deci aceasta este imaginea. Lasă-mă să notez matematica care vine cu ea. Deoarece T de 0 este egal cu 0, ceea ce implică 0 este în T inversul -- ceea ce implică, deoarece acesta este deschis, există un r pozitiv astfel încât bila din V centrată la 0 de raza r este conținută în T inversa -- imagine inversă a mingii cu raza 1 centrată la 0 în W. Uită-te la imaginea de aici. Fie v în V. Și să nu ne uităm la 0 pentru că v este egal cu 0 va satisface această inegalitate indiferent de ce C aveți. Deci trebuie doar să ne uităm la v nu este egal cu 0. Eu susțin că pot lua constanta ca 2 peste R, bine? Bine, atunci dacă iau v și îl redimensionez - ei bine, să nu- l scriu ca împărțire a v. Lasă-mă să-l scriu astfel, r peste 2 lungime v v v ori v. Deci acesta este un vector în V majusculă. Ce este lungimea lui? Lungimea sa este r/2. Deci, dacă iau lungimea în v, aceasta este egală cu r/2 este mai mică decât r, ceea ce implică că r peste 2 peste v v este în bila cu raza r în V centrată la 0. Și, prin urmare, trebuie să fie în acest disc albastru. Și, prin urmare, este mapat la ceva din acest tip albastru de aici, care este conținut înăuntru... amintiți-vă, acest lucru mare galben a fost bila cu raza 1 centrată la 0-- din raza 1 în W. Și, prin urmare, lungimea lui T r peste 2 v v v W trebuie să fie mai mic decât 1. Și acum, scalarii ies din transformarea liniară. Deci asta iese. Și apoi iese din normă prin omogenitatea normei. Și așa pot împărți prin-- înmulți prin 2 norma v peste r. Și obțin că T din v norma W este mai mică decât 2 peste r norma V. Și, prin urmare, steaua se ține cu C dat de 2 peste r. OK, deci operatori liniari continui între spațiile de norme, îi numim operatori liniari mărginiți pentru că ei satisfac această proprietate de mărginire, și anume că duc mulțimi mărginite la mulțimi mărginite. Acum, va deveni destul de plictisitor pentru mine să continui să scriu normă sub W, normă sub V și așa mai departe. Așa că am de gând să încetez să mai folosesc indicele. Dar ar trebui să fie destul de clar din contextul în care este norma. Dacă am un operator liniar T de la V la W, T de V-- deci dacă am un operator liniar mărginit sau un operator liniar de la V la W și mă vezi că scriu norma T v, ar trebui să echivalezi asta cu norma de T v în W. Sau dacă vedeți v, ar trebui să echivalați acest lucru-- și v ca un element al V majusculă, atunci ar trebui să interpretați acest lucru ca norma pentru v în V majuscul. a scrie prea mult. Și apoi va deveni în curând plictisitor. OK, deci definiția - de fapt, înainte de a face asta, să aruncăm o privire la acest operator liniar pe care l-am scris acolo acum un minut. Putem vedea că acesta este un operator liniar mărginit pe spațiul funcțiilor continue? Deci dat de - unde k este o funcție continuă - acesta este un operator liniar mărginit. Deci este clar - destul de clar să vezi că este liniar în f, nu? Scalarii se trag și așa mai departe. Să verificăm dacă este mărginit. Deci, amintiți-vă că norma pe C 0, 1 este norma infinitului. Deci, fie f o funcție continuă. Amintiți-vă că norma pe acest spațiu este norma infinitului dată de sup lui x în 0, 1, f din x, care este, de fapt, un maxim. Este atins la o anumită valoare. Dar oricum voi scrie sup. Și acum, vrem să estimăm norma lui T a lui f a lui x în termenii normei lui f. Aceasta este proprietatea de limitare. Atunci pentru tot x din 0, 1, aceasta este egală cu integrala lui k xy f a lui y dy. Acum, valoarea absolută a integralei este mai mică sau egală cu integrala valorii absolute. Deci aceasta este de ori valoarea absolută a lui k xy ori f de y dy. Acum, f din y pentru tot y în 0, 1 este mai mic sau egal cu norma infinitului lui f. Deci asta nu face decât să mărească integrala. Și același lucru pentru k, nu? k este o funcție continuă pe 0, 1 cruce 0, 1. Și, prin urmare, este mărginită de -- atinge un maxim pe această mulțime, fiind o funcție continuă. Așa că îl pot înlocui și cu norma sa infinită. Și aici, ar trebui să interpretați acest lucru ca fiind norma infinită pentru funcțiile continue din acest set. Deci, această normă infinită este sup de k a lui xy pentru x și y în 0, 1 cruce 0, 1. Și, prin urmare, aceasta este egală - acestea sunt doar două numere. Și asta a ținut-- este valabil pentru toate x. Prin urmare, supremul său este mărginit și de acest număr , deci Tf-- deci acesta este un operator liniar mărginit cu constantă dată de norma infinitului lui k. Acest k este de obicei denumit nucleu. Deci, dacă am mai spus asta și nu am explicat de unde provine sau de ce folosesc acel cuvânt, acesta este de obicei denumit nucleul acestui operator liniar. Deci există un exemplu pentru tine. Am folosit deja ambele plăci? Da, mi-a lipsit camera mare care avea trei dintre acestea. Acum, având în vedere două spații normative, V și W, putem lua în considerare mulțimea tuturor operatorilor liniari mărginiți de la V la W, pe care îi notăm cu B V, W-- cu scripty B-- set de T. T este un operator liniar mărginit. . Deci nu este greu să vezi, din nou, că-- sau să vezi că acesta este un spațiu vectorial. Deci, permiteți-mi să pun asta într-o remarcă, că este clar că acesta este un spațiu vectorial. Suma a două transformări liniare este o transformare liniară-- sau operator liniar. Multiplu scalar al unui operator liniar este un operator liniar. Și apoi acele două operațiuni păstrează continuitatea. Deci acesta este în mod clar un spațiu vectorial. Acum, putem pune o normă pe acest spațiu. Definim aici norma operatorului unui element. Acesta este definit ca fiind supremul peste toți vectorii de lungime unitară v ai T din v. Deci vreau să reamintesc că această normă este luată în W deoarece T din v este un element în W. Această normă aici este luată în V deoarece v mic este un element în V. Deci poate nu este clar la început. Dar să mergem mai departe și să demonstrăm că, de fapt, norma operatorului este, de fapt, o normă reală, astfel încât aceasta să devină un spațiu de normă. Deci norma operatorului este o normă reală. Nu este doar o normă pentru că am spus că este. Deci haideți să demonstrăm asta. Nu este... din nou, așa că nu este prea greu de văzut. Deci, să demonstrăm certitudinea, și anume norma lui T este 0 dacă și numai dacă T este 0. Deci, dacă T este un operator zero, atunci în mod clar norma sa este 0. Să presupunem că T din v este egal cu 0. Deci această sumă este 0 dacă și numai dacă T din v este 0 pentru toate unitățile de lungime v. Deci, să presupunem că T este un operator. Deci, T din v este egal cu 0 pentru toată lungimea unității v. Atunci asta implică că T din - că 0 este egal cu T din v este egal cu T. Tot ce spun este că redimensionați acum, OK? 0. Deci implică pentru tot v din V să se ia 0 că 0 este egal cu T. Deci t este operatorul zero dacă norma sa este 0. 2. Omogenitatea rezultă din omogenitatea normei pe W. Deci lambda T, aceasta este egală to-- deci norma lambda ori T, aceasta este egală cu sup lui v egal 1 a lambda T v. Și aceasta este egală cu sup equals 1 ori lambda ori Tv. Și dacă iau un set și îl înmulțesc cu un număr nenegativ, atunci acel număr nenegativ iese din sup. Să sperăm că a fost unul dintre primele exerciții pe care le- ați dat vreodată pe supes. Și, prin urmare, aceasta este egală - și acum, astfel încât asta dovedește omogenitatea normei. Și acum, inegalitatea triunghiului decurge din nou din inegalitatea triunghiului pentru norma de pe W. Deci iau doi operatori și doi operatori liniari mărginiți. Și iau un element de V cu normă egală cu 1. Atunci S plus T aplicat la v norma, aceasta este egal cu Sv plus Tv. Și după inegalitatea triunghiului pentru norma de pe W, aceasta este mai mică sau egală cu S ori v plus T ori v. Și acum, S ori v-- deci din nou, v este un vector de lungime unitară-- este mai mic sau egal cu sup peste toate acele norme, care este, din nou, doar norma operatorului lui S și apoi norma operatorului lui T. Deci am demonstrat că pentru toate unitățile de lungime v, S plus T aplicat lui v în normă este mai mic decât sau egal cu acest număr aici. Și, prin urmare, supremația peste toate numerele precum v intervale vectori de lungime unitară totală, care este cea mai mică limită superioară a acelui set, trebuie să fie-- să stea sub acest număr aici, ceea ce implică că-- OK? Și, prin urmare, norma operatorului este o normă atât în ​​nume, cât și în actualitate. Deci, dacă vă place, ceea ce am făcut acum un minut aici este că am arătat că -- deci revenind aici pentru acest operator liniar mărginit de la funcții continue la funcții continue, ce vă spune asta -- deci mai întâi, dacă f are unitate lungime, atunci am arătat că Tf în forma L infinit este mai mică sau egală cu norma L infinitate a lui K. Și, prin urmare, am arătat că norma operatorului lui T, unde T este definit acolo, este mai mică decât sau egal cu norma operatorului pentru K. Suntem de fapt un pic risipitori acolo. Asta nu este egalitate, de fapt. Dar te voi lăsa să te gândești la asta când ai timp liber. OK, așa că am vorbit despre operatori liniari mărginiți de la un spațiu de normă la altul. Ce mai putem spune despre acest nou spațiu pe care l-am format din două spații normative? Când este complet acest spațiu , de exemplu? Care sunt condițiile suficiente? Și astfel teorema - dacă W este un spațiu Banach - din nou, V și W sunt spații normate. Dacă presupun că W este un spațiu Banach, atunci spațiul operatorilor liniari mărginiți de la V la W este un spațiu Banach, indiferent dacă v este un spațiu Banach sau nu. Bine, deci ceea ce vom face este să folosim acea caracterizare pe care am avut-o mai devreme, când un spațiu normă este un spațiu Banach în termeni de sumabilitate însumabilitate absolută. Deci, să presupunem că Tn este o secvență de elemente de operatori liniari mărginiți astfel încât această constantă C, care este suma acestor norme, există ca număr real. Deci, să presupunem că avem o serie absolut însumabilă de operatori liniari. Și pentru a arăta că acesta este un spațiu Banach, vrem să arătăm-- vrem să arătăm că această serie este însumabilă. Apoi, după acea teoremă pe care o avem mai devreme, că dacă aveți un spațiu de normă astfel încât fiecare serie absolut însumabilă este însumabilă, atunci este un spațiu Banach. Încheiem demonstrația teoremei. Și modul în care vom arăta că acest lucru este sumabil este, din nou, cam aceeași strategie pe care am folosit-o pentru a demonstra că spațiul de funcții continue mărginite pe un spațiu metric este un spațiu Banach. Vom găsi un candidat pentru aceasta, vom arăta că este de fapt un operator liniar mărginit și apoi că convergența este uniformă -- sau nu uniformă, dar convergența este în spațiul din norma operatorului. OK, deci lasă-mă să fac doar o... Lasă- mă să notez ceva foarte rapid, pe care am vrut să-l scriu. Știi ce? Să-l scriem acolo, pentru că acolo este locul. Dar nu am notat-o. Așa că permiteți-mi doar să fac o remarcă aici. Norma operatorului este definită pentru toată lungimea unității v. Dar automat ne oferă o limită. Și mă mișc puțin repede pentru că... poate mai repede decât ar fi trebuit, dar... OK, ce aveam de gând să spun? În primul rând, un lucru pe care ar fi trebuit să-l spun este că acesta este un număr finit real dacă am un operator liniar mărginit, deoarece, amintiți-vă, T, un operator liniar mărginit , implică că există o constantă astfel încât pentru toate v din V, norma a lui Tv este mai mică sau egală cu o constantă ori mai mare decât norma lui V. Deci, atunci când v are lungimea unitară, această limită constantă -- care satisface această inegalitate limitează aceste numere pentru toate v cu lungimea unitară. Și de fapt, acest supremum este cel mai mic astfel de C pe care îl pot pune aici. Deci acesta este singurul comentariu pe care am vrut să-l spun, că acesta este un lucru real, bine definit. Bine, așa că am vrut să spun asta. Și apoi, de asemenea, acum din rescalare, obținem o limită pentru toate v în termeni de norma operator. Apoi, dacă iau v peste lungimea sa și iau operatorul său -- sau iau norma -- deci acesta este un vector de lungime unitară în V. I-am aplicat T. Deci, acesta este întotdeauna mai mic sau egal cu sup peste toată norma de T ori ceva, unde acel ceva are lungimea unitară. Dar acesta este un operator liniar, astfel încât acest scalar iese aici și apoi iese din nou din normă prin omogenitate. Și prin urmare, înțeleg că televizorul este asta. Așadar, pe scurt, scopul acestei remarci a fost să spun că-- acesta nu este chiar cel mai bun mod de a o spune. Dar dacă mă gândesc la T care acționează asupra lui v ca produs al lui T și v, atunci aceasta spune că norma produsului dintre T și v este mai mică sau egală cu produsul dintre normele lui T și v. Îmi pare rău dacă am mers un putin repede acolo. Poate te-ai oprit și te-ai întrebat, de ce este chiar un lucru real... de ce este chiar un lucru real? De ce este un număr real? Despre ce mă mai întâmplă? Poate că sunt puțin prea entuziasmat de predarea analizei funcționale, deoarece acesta este un fel de primul tău curs de analiză pentru adulți, voi spune. OK, deci revenind la dovezile disponibile, avem această serie de operatori liniari mărginiți absolut sumabili. Deci suma normelor este convergentă, adică această sumă în serie este finită. Și vrem să arătăm că această serie de T sub n este însumabilă astfel încât aceasta are o limită în spațiul operatorilor liniari mărginiți. Deci vom veni cu un candidat. Fie v în V. Dacă mă uit la suma normelor lui T sub n din v-- deci T sub n aplicat la v, aceasta este mărginită de-- Adică, o scriu așa. Dar să fiu puțin mai atent. Fie m un număr natural. Apoi, suma de la n este egală cu 1 la m din T sub n din norma v, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la n este egală cu 1 până la m din T sub n ori norma lui v. Și deci v, acesta este doar un număr. Iese în afara sumei. Și suma de la n este egală cu 1 la m este mărginită de suma de la n este egală cu 1 la infinitul acestor numere nenegative. Deci aceasta este mai mică sau egală cu norma de v ori T sub n este egal cu Cv. Deci, pentru tot m, am arătat că acest lucru este mărginit de C ori norma lui v. Și, prin urmare, sumele parțiale corespunzătoare acestei serii de numere reale nenegative sunt mărginite. Și, prin urmare, acea serie converge. Deci această succesiune de sume parțiale de numere reale nenegative este mărginită, ceea ce implică că converge, ceea ce voi scrie Tn v converge. Acum, gândiți-vă la T sub n din v ca-- deci T sub n din v, acesta este un element în W pentru fiecare n. Deci am arătat că seria T sub n din v, aceasta este absolut însumabilă în W. Acestea sunt elemente ale lui W. Și normele lor sunt o serie absolut convergentă de numere reale. Acum, deoarece W este un spațiu Banach, fiecare serie absolut însumabilă este însumabilă, deci însumabilă. Prin urmare definim o hartă de la V la W prin T sub v-- sau T de v este definită a fi limita pe măsură ce m merge la infinit suma de la n este egală cu 1 la m din T sub n aplicată la V, pe care am arătat-o. pentru fiecare v este o serie convergentă în W. Acesta a fost scopul a tot ceea ce a venit înainte. Pentru fiecare v, aceasta este o serie însumabilă. Și definim limita sa, care depinde de v, ca această hartă T care merge de la V la W. Deci acesta este candidatul nostru, pe care îl vom arăta că este un operator liniar mărginit. Deci, să arătăm că este liniară. Deci T este liniar. De ce? Pentru toate lambda 1, lambda 2 în spațiul scalarilor, RC, v1, v2, în V, avem acel T de lambda 1 v1 plus lambda 2 v2 -- aceasta este, prin definiție, egală cu limita pe măsură ce m merge la infinit a sumei T sub n lambda 1 v1 plus lambda 2 v2. Și acum, fiecare T sub n este un operator liniar. Așa că pot scrie asta ca limită pe măsură ce m merge la infinit de lambda 1 Tv sub 1 plus lambda 2 Tv sub 2. Și acum, acest lucru aici converge la T din v pe măsură ce m merge la infinit. Acest lucru aici converge la T de v2 pe măsură ce m merge la infinit. Și, prin urmare, limita sumei este suma limitelor. Deci, din punct de vedere tehnic, nu am demonstrat că într-un spațiu de normă, dacă am două secvențe care converg către v1 și v2, atunci suma acelei secvențe converge către v1 plus v2. Dar este exact aceeași dovadă ca în R, bine? Doar înlocuiți valorile absolute cu norme. Deci asta ar trebui să fie credibil. Și prin urmare, T este un operator liniar. Acum, să demonstrăm că este un operator liniar mărginit. OK, deci acum, vom arăta că T este un operator liniar mărginit. Fie v în norma V egal cu 1. Atunci Tv, Aceasta este egală cu norma limitei pe măsură ce m merge la infinitul lui n este egal cu 1 la m T sub n din norma v. Și normele limitelor egale cu limita normelor, la fel ca în cazul lui R, deci aceasta este egală cu limită pe măsură ce m merge la infinit de-- OK? Acum, aceasta este mai mică sau egală cu -- prin inegalitatea triunghiulară -- inegalitatea triunghiulară pentru două lucruri, aceasta implică o inegalitate triunghiulară pentru m lucruri prin inducție, care este mai mică sau egală cu norma T sub n ori- - Nici n-ar trebui să spun v. Este doar mai mică sau egală cu norma T sub n. Și aceasta este exact egală cu suma normelor, pe care am numit-o C, această constantă C, despre care știm că este finită - pe care am presupus că este finită, nu? Deci am presupus că este o serie absolut însumabilă de operatori liniari mărginiți. Prin urmare, am înțeles că Tv este mai mic sau egal cu C pentru toată lungimea unității v. Și, prin urmare, din nou, prin scalarea argumentelor, aceasta a fost pentru toate v egal cu 1, ceea ce implică scalarea argumentelor T pentru toate v. Cred că nu trebuia să încep cu norm of v equals 1 dacă asta ar fi adus o normă de v aici. Și atunci ar fi doar C ori norma lui v în loc să facem această parte separată. Așa că schimbă asta în notele tale. Dar sunt împotriva cronometrului aici, așa că nu voi face asta pe tablă. OK, deci T este un operator liniar mărginit real. Acum, să arătăm că suma acestor operatori converge către T în norma operatorului. Așa că acum, pretindem că T este egal cu... oh, e groaznic. Tn converge la T pe măsură ce m merge la infinit în spațiul operatorilor liniari mărginiți, adică în norma operatorului. Deci cred că, pentru aceasta, acesta este motivul pentru care poate am scris accidental norma lui v egal cu 1 acolo. Deci, să fie v în V cu norma lui v egală cu 1. Atunci T din v minus T suma de la n este egală cu 1 la m din T sub n din v în normă. Acum, T este egal cu întreaga sumă n egal cu 1 până la infinit. Deci voi scrie asta deoarece poate limita m-prim merge la infinit de sumă de la n este egală cu 1 la m-prim Tn V minus suma de la n este egală cu 1 la m Tn v. Și aceasta este egală cu limita m-prim merge la infinit de suma din n este egală cu m plus 1 m-prim T sub n v normă. Și acum, aceasta este mai mică sau egală cu limita, deoarece m-prim merge la infinit de-- deci norma-- deci aceasta este, de fapt, egală cu limita normei. Și apoi folosesc inegalitatea triunghiulară pentru a aduce norma înăuntru. Aceasta este mai mică sau egală cu suma egală cu m plus 1 m-prim T sub n din v. Și acum, aceasta este mai mică sau egală cu limita m-prim merge la infinit de n egal cu m plus 1 la m-prim T sub norma n deoarece v are lungimea unitară. Deci T sub n aplicat lui v în normă este mărginit de norma operator a lui T sub n. Și aceasta este egală cu suma de la n este egal cu m plus 1 la infinitul lui T sub n. Acum, ceea ce știm... deci aceasta este doar o serie care implică numere reale. Și știm că dacă seria converge, atunci cozile trebuie să meargă la 0. Deci, acesta merge la 0 pe măsură ce m merge la infinit, nu? Sau nu ar trebui să fac acel pas încă. Îmi pare rău, fac greșeli. Sunt împotriva cronometrului pe care îl văd în spate. Așa că am început cu această cantitate aici și am ajuns să o delimitez uniform de acest lucru în V. Deci asta implică că norma operatorului T minus suma de la n este egală cu 1 la m din T sub n este mai mică sau egală cu suma din n este egal cu m plus 1 norma operator a lui T sub n. Și acest ultim lucru merge la 0 pe măsură ce m merge la infinit, deoarece este coada unei serii convergente de termeni nenegativi. Și, prin urmare, norma operatorului lui T minus această sumă parțială merge la 0 pe măsură ce m merge la infinit și, prin urmare, converge către T. Deci vezi, vreau să spun, avea același format de bază ca și ultimul argument. Ai găsit un candidat. Ai arătat că e în spațiu. Și apoi ai arătat convergența spațiului. Deci, permiteți-mi să termin cu o definiție. Dacă V este un spațiu de normă, atunci notăm v-prim ca spațiu al operatorilor liniari mărginiți de la V la spațiul scalarilor. Acesta este denumit spațiul dual al lui V. Și, deoarece spațiul savanților este întotdeauna R sau C, ambele fiind complete -- vreau să spun , sunt cele mai simple exemple de spații Banach -- prin teorema pe care tocmai am demonstrat-o. , deoarece câmpul scalarilor este întotdeauna complet, spațiul dual este întotdeauna un spațiu Banach. Și permiteți-mi doar să scriu aici un exemplu simplu, care va fi în exerciții, că, într-un sens, pentru toate p între 1 și strict mai mici decât infinit, pot identifica spațiul dual al mic lp ca mic lp-prim, unde p-prim-- acesta este acum doar un număr mai mare decât 1, unde p-prim și p satisfac această relație. Deci, în special, dualul lui l1 este l infinit. Dualul lui l2 este l2. Acest lucru este foarte special despre l2. Dar dacă iau dualul lui l infinit, p este egal cu infinitul. Aș obține p-prim egal cu 1. Acest lucru, de fapt, nu este egal cu puțin l1. Aceasta este o durere de cap care se manifestă și pentru spațiile mari Lp. Și viața ar fi mult mai ușoară dacă ar fi așa , că dualul lui l infinit ar fi l1. Dar, din păcate, nu este. Și asta provoacă o durere de cap. Și l2, mic l2, acesta este singurul lp care are această proprietate, că dualul său este dat de mic l2. Bine, iar în exerciții, voi discuta exact în ce fel poți identifica duelul cu acest mic lp-prime în acest fel. Bine, ne oprim aici.