[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK, deci personajul principal de astăzi, în această prelegere și în următoarea, sunt operatori compacti, pe care i-am prezentat la sfârșitul prelegerii trecute. Și îmi voi aminti peste tot, H este un spațiu Hilbert. Deci spunem un operator, să-l numim K, este un operator liniar mărginit, este un operator compact, dacă imaginea bilei unității, luând închiderea acesteia - deci acesta este doar un set de toate elementele K u cu u mai puțin sau egal cu 1 închidere este compact în H. Și cum a apărut acest set de operatori? La sfârșitul timpului trecut, ne-am ocupat de operatori de rang finit , care erau practic matrici. De fapt, le puteți scrie astfel încât să fie complet descrise în raport cu o anumită bază ca o matrice. Și întrebarea pe care am pus-o la sfârșitul ultimei prelegeri a fost, acești operatori de rang finit, ei formează un subspațiu al spațiului tuturor operatorilor liniari mărginiți. Este subspațiul închis? Și răspunsul este nu. Care este închiderea operatorilor de rang finit , pe care îi cunoaștem și îi iubim pentru că sunt doar matrici? Și ceea ce vom demonstra astăzi este că este exact spațiul operatorilor compacti. Dar permiteți-mi doar... ultima dată, v-am dat un exemplu de unul care este un operator compact K a egal cu, să spunem, a1 împărțit la a1 unu, a2 împărțit la 2, a3 împărțit la 3 și așa mai departe, definit pentru a în l2, mic l2. Apoi afirmația mea este că K este un operator compact. Și în sarcină, arătați practic o varietate de alți operatori care apar destul de des sunt operatori compacti. De exemplu, arătați, în esență, că, dacă K este o funcție continuă pe 0, 1, crucea 0, 1 și definim un operator liniar T f al lui x ca fiind integrala de la 0 la 1 a lui K x, y, f din y dy, acum f este în L2 mare de 0, 1. Atunci o parte a sarcinii este să utilizați și să vă amintiți unul dintre singurele -- unul dintre puținele -- rezultate de compactitate pe care le aveți, este să folosiți Teorema Arzela-Ascoli pentru a arăta că acesta este, de fapt, un operator compact. Deci, din sarcină, veți demonstra că T este operator compact pe L2. Acum, poate credeți că doar vin cu ceva care arată ca acesta pentru a veni cu exemple de operator compact, dar operatorul soluție pentru ecuații diferențiale ia această formă. Deci, de exemplu, cred că acesta ar fi un exemplu, ca parte a acestui exemplu, dacă iau K x, y ca să fie... să vedem dacă pot să înțeleg corect - x minus 1 ori y, x ori y minus 1, pentru 0 mai mic sau egal cu y mai mic sau egal cu x mai mic sau egal cu 1. Și apoi invers. Deci, să vedem. Da, cred că asta este. Atunci u este egal cu 0, 1 K din x, y. Chiar poți să calculezi. Rezolvă ecuația diferențiabilă u prim dublu egal cu f, u din 0 egal cu u din 1 este egal cu 0 pe 0, 1. Deci poate că acesta are un minus în față. Nu-mi amintesc exact... u din x. Deci operatorul soluție, adică dacă intrarea mea este f, atunci soluția acestei ecuații diferențiale este de fapt -- o pot scrie ca un operator compact care acționează asupra datelor, care este f. Deci acestea nu apar pur și simplu din senin. Ele apar destul de natural. Acum, acestea sunt o grămadă de exemple despre operatori compacti. Un non-exemplu -- este ușor să găsiți de fapt non-exemple de operatori compacti -- dar să spunem identitatea pe micul l2. Acesta nu este un operator compact. De ce? Deoarece condiția de a fi un operator compact este ca K a bilei unitare să fie o submulțime compactă de mic l2. Dar să lăsăm e sub n secvența-- secvența noastră preferată-- care este 0, cu excepția celui de-al n-lea loc, unde este 1. Atunci fiecare dintre acestea are norma 1. Și deci dacă mă uit la imagine, e n , acesta este I e m și calculez pătratul acestuia, puteți vedea destul de ușor că acesta este egal cu 2, deoarece acestea sunt ortonormale pentru toate n care nu sunt egale cu m. Și prin urmare, I e n nu are o subsecvență convergentă. Dacă eu, identitatea, eram un operator compact, atunci imaginea bilei unității închise în micul l2 ar trebui să fie un set compact, adică ce? Adică elementele acestei forme, am evaluat pe ceva care are o normă mai mică sau egală cu 1, ar trebui să formeze o mulțime compactă. Deci, dacă am o secvență de băieți în bilă unitară, bilă unitate închisă, atunci când o lovesc, ar trebui să pot găsi o subsecvență convergentă. Dar aici, dacă doar calculezi, atunci avem distanța dintre oricare dintre acești bărbați pentru n care nu este egal cu m este 2. Deci această secvență nu poate fi vreodată Cauchy și nici o subsecvență nu poate fi vreodată Cauchy. Și, prin urmare, aceasta nu are o subsecvență convergentă. Deci identitatea de pe micul l2 nu este un operator compact. Și prin acest argument, puteți, de fapt, să demonstrați că identitatea nu este un operator compact pe niciun spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite. Deci avem o modalitate de a arăta că un operator este un operator compact, și anume prin verificarea definiției. Și acum avem această teoremă, la care am făcut aluzie la început, care arată că mulțimea operatorilor compacti este închiderea operatorilor de rang finit. Deci fie H un spațiu Hilbert separabil. Atunci, un operator T, operator liniar mărginit T pe H, este operator compact dacă și numai dacă există o secvență T n de opțiuni de rang finit, care converg către T n norma operatorului. Deci, acest lucru demonstrează că setul de operatori compacti este închiderea setului de operatori de rang finit, pe care l-am notat cu-- deci aceasta arată că operatorii compacti este închiderea operatorilor de rang finit, pe care i-am notat cu R. Acesta este R din H Deci, prima direcție este să arăt că, dacă am un operator compact, atunci este egal cu o limită de normă a operatorilor cu rang finit. Deci, deoarece H este separabil, are o bază ortonormală. Acum, deoarece T este un operator compact, amintiți-vă că aceasta înseamnă că imaginea T u cu toate acele elemente de normă mai mici sau egale cu 1 este conținută într-o mulțime compactă, și anume închiderea acestei mulțimi. Acum, din moment ce acest set este conținut într-un set compact, pot folosi-- de fapt, permiteți-mi să pun doar că este un set compact. Și astfel avem această caracterizare a submulților compacte ale unui spațiu Hilbert separabil prin faptul că sunt închise, mărginite și având cozi echimice. Deci, pentru fiecare epsilon pozitiv, există un număr natural N astfel încât, dacă mă uit la suma peste K mai mare decât N, K u e K pătrat, aceasta este mai mică decât epsilon pătrat pentru toate elementele cu norma mai mică sau egală cu 1. Deoarece K u-- acestea sunt în acest compact-- de ce folosesc K? Ar trebui să folosească T, îmi pare rău. T u-urile sunt toate în acest set compact. Deci avem această condiție de coadă echimică că pentru fiecare epsilon, putem găsi un N care nu depinde de elementele mulțimii compacte, astfel încât cozile coeficienților Fourier sunt mici. Deci, ceea ce spune acest lucru este că putem, practic, dacă luăm orice u cu o normă mai mică sau egală cu 1 și îl lovim cu T, atunci sfârșitul coeficienților Fourier nu contează cu adevărat. Și așa ar trebui să credem că putem aproxima T doar printr-un operator de rang finit care constă din coeficienți ca acesta ori e k pentru k între 1 și N. Și asta este, în principiu, ceea ce vom face. Deci, pentru n, definiți T n din u ca fiind suma de la k egal cu 1 la n din T u e k e k. Și acesta este pentru u în H. ​​Deci se poate verifica dacă acesta este un operator liniar mărginit și este, de asemenea, un rang finit. Deoarece intervalul este... deci este clar un operator liniar mărginit. Doar luați norma la pătrat. Aceasta este egală cu suma pătratelor coeficienților Fourier, care este mai mică sau egală cu norma lui 2 pătrat, care este mai mică sau egală cu norma lui T pătrat. Deci este clar un operator liniar mărginit. Și dacă mă uit la intervalul lui T n, acesta este un subset al intervalului de la e1 până la e n. Prin urmare, T n este un operator de rang finit pentru toți n. Așa că susțin că acesta este setul nostru de operatori de rang finit care converg către T pe măsură ce n merge la infinit. Deci, pentru a demonstra acest lucru, vom face doar argumentul standard epsilon N. Fie epsilonul să fie pozitiv. Atunci să fie N N care apare în această condiție stea aici sus, adică N majuscul este numerele naturale, garantând acest lucru. Așa că acum, susțin că pentru toate puțin n mai mare sau egal cu acest capital N, norma operatorului T n minus T este mai mică sau egală cu epsilon, ceea ce este încă suficient de bun. Atunci pentru toate-- atunci dacă norma lui u este egală cu 1, calculăm acel T n din u minus T u. Deci nu am folosit nimic despre acest e k încă, dar aici folosim că sunt în bază ortonormală, este că pot scrie T n din u. Ei bine, în primul rând, aceasta este doar din definiția că acesta este K este egal cu 1 la n-- și permiteți-mi să pun un pătrat aici -- de T u E k E k minus -- și acum extind acest element ca în această bază T u e k e k pătrat. Vedeți ce anulează sunt primele n dintre acestea. Și aceasta este egală cu norma pătratului lui k mai mare decât n din T u e k e k pătratului norma. Și aceasta este egală cu, deoarece acestea sunt ortogonale, k mai mari decât e-- ortonormale, adică -- k mai mari decât n T u j k pătrat. Și acum, n este mai mare sau egal cu capitalul N. Deci, acesta este mai mic sau egal cu k mai mare decât N T u e k pătrat, și aceasta este mai puțin decât epsilon pătrat. Deci ceea ce am arătat este că pentru toate u de norma 1, T N u minus T u pătrat este mai mic decât epsilon pătrat. Și prin urmare, dacă iau sup peste toți u care au norma 1, obțin că norma lui T n minus T, care este acea sup, este mai mică sau egală cu epsilon. Astfel, T n-urile converg la T în norma operatorului. Așa că acum, mergând în direcția opusă, vom folosi această a doua caracterizare pe care o avem a mulțimilor compacte pe care nu le-am dovedit, dar am spus că ar trebui să căutați în sus dacă doriți. Este, din nou, un argument de diagonalizare, dar care spune că submulțimile compacte pot fi aproximate prin dimensiuni finite -- sau sunt mulțimi care sunt compacte -- sau o mulțime este compactă dacă și numai dacă poate fi aproximată prin subspații cu dimensiuni finite. Deci acum, dovedim direcția opusă. Și să presupunem că T poate fi aproximat în norma operatorului printr-o succesiune de operatori de rang finit. Și vrem să arătăm că T este un operator compact. Deci, mai întâi, rețineți că dacă mă uit la norma T u mai mică sau egală cu 1 închidere-- deci acesta este setul pe care încerc să-l arăt este un set compact-- este evident închis pentru că este închiderea unui set. Închiderea unui set este întotdeauna cel mai mic set închis care conține acel set. Și este conținut deoarece T este un operator mărginit. Este întotdeauna conținută în mulțimea lui, să-l numim v în H, unde norma lui v este mai mică sau egală cu norma lui T. Deci, aceasta arată că mulțimea de aici este închisă și mărginită. Deci, pentru a concluziona că această mulțime este compactă, trebuie doar să arătăm că poate fi aproximată prin subspații cu dimensiuni finite, adică pentru fiecare epsilon, există un subspațiu cu dimensiuni finite, astfel încât distanța de la fiecare element din această mulțime la subspațiu W este mai mic decât epsilon. Deci vrem să arătăm acum, sau facem aceasta o afirmație, pentru orice epsilon pozitiv, există un subspațiu de dimensiuni finite W astfel încât pentru toate u mai mici sau egale cu 1, avem că distanța de la acest element T u la w este mai mic decât epsilon. Aceasta este ceea ce vreau să spun prin faptul că putem aproxima această mulțime prin subspații finite-dimensionale. Odată ce putem face asta, atunci am dovedit afirmația sau putem folosi acea caracterizare a mulțimilor compacte pentru a concluziona că această mulțime este compactă. Acum, care este ideea? Avem acel T, care din nou, acest set aici este doar imaginea bilei unității închise de către T care ia închiderea. Prin urmare, T poate fi aproximat de un operator de rang finit . Gama sa este dimensională finită. Deci această mulțime ar trebui să fie aproximată prin intervalul lui T n, care este dimensional finit și, prin urmare, ar trebui să ne ofere afirmația noastră. Și exact asta facem. Deci, din moment ce norma lui T n minus T merge la 0, există un număr natural N astfel încât eu am că pentru toate puținul n mai mare sau egal cu capitalul N, bla, bla, bla. Dar nu am nevoie de toate micile n. Am asta mai puțin de epsilon. Fie W domeniul lui T sub n, care este un subspațiu cu dimensiuni finite. Și acum, vreau să arăt că am această condiție aici - că pentru toți u cu norma mai mică sau egală cu 1, această distanță de la T u la capitalul W este mai mică decât - o putem face mai mică sau egală cu epsilon. Asta demonstrează tot ce vrem, trebuie doar să trecem și să schimbăm epsilonul în epsilon peste 2. Apoi, pentru toate elementele din H cu norma mai mică sau egală cu 1, dacă iau T u și scad T n u, care este un element din capital W, aceasta este mai mică sau egală cu T minus -- deci norma operatorului T minus T n ori norma lui u, care este mai mică sau egală cu T minus T n, care este mai mică decât epsilon. Pune mai puțin decât acolo... nu contează. Deci, acest lucru este valabil pentru un anumit element al lui W și, prin urmare, n-a, care este distanța de la T u la capitalul W, care este mai mică sau egală cu aceasta, trebuie să fie mai mică decât epsilon. Și, prin urmare, aceasta dovedește afirmația. Și faptul că această mulțime este compactă rezultă din acea caracterizare a mulțimilor compacte, pe care am demonstrat-- sau nu am demonstrat, dar cel puțin am afirmat cu câteva prelegeri în urmă. Adică, puteți folosi definiția pentru a verifica ceva ca operator compact. Ați putea folosi această caracterizare alternativă ca limită în norma operatorului a operatorilor de rang finit pentru a verifica ceva, să spunem operatorul compact. Este doar ceea ce este cel mai convenabil la momentul respectiv. Deci, ce zici de sfârșitul... când am vorbit despre operatori cu rang finit, am intrat puțin și în structura lor algebrică. Putem face același lucru pentru operatorii compacti. Deci din nou, fie H un spațiu Hilbert separabil. Atunci prima proprietate a operatorilor compacti este aceea că-- și să-i spunem un nume, K din H să fie mulțimea operatorilor compacti pe H. Și prima este K din H este un subspațiu închis al spațiului operatorilor liniari mărginiți pe Spațiul Hilbert. Deci faptul că este un subspațiu liniar nu este prea greu de demonstrat. Faptul că este închis rezultă imediat din ceea ce am făcut până acum când am arătat că operatorii compacti sunt închiderea setului de operatori de rang finit. Într-adevăr, mă refer la faptul că am arătat că le dovedește ambele, deoarece închiderea unui subspațiu este, din nou, un subspațiu. Dacă T este un operator compact, atunci adjunctul său este și un operator compact. Și pentru fiecare pereche de operatori liniari mărginiți și operator compact, dacă înmulțesc la stânga și la dreapta cu acești operatori liniari mărginiți, acesta rămâne un operator compact. Deci, un mod elegant de a combina 2 și 3 este că setul de operatori compacti este un ideal cu două fețe în stea închisă în operatorii liniari mărginiți de algebră. Dar voi doar să enumerez condițiile și nu voi da cuvinte de lux pentru ele. Deci 1 este clar. Nu am de gând să scriu dovada pentru asta. Vom face doar 2 și 3. Și, deși am putea face acest lucru direct din definiție, să folosim teorema pe care tocmai am muncit din greu pentru a o demonstra. Deci, dacă T este un operator compact, atunci asta implică că există o succesiune de operatori de rang finit astfel încât T n converge către T în norma operatorului. Și prin urmare, prin ceea ce am demonstrat data trecută, am arătat că, dacă avem un operator de rang finit, atunci adjunctul acestuia este și un operator de rang finit, ceea ce implică că dacă iau norma adjunctului acestui operator de rang finit și minus adjunct al operatorului compact -- țineți minte, avem această teoremă frumoasă care ne spune că norma adjunctului este egală cu norma operatorului original -- aceasta este egală cu T n minus T, care presupunem că merge la 0 Și, prin urmare, adjunctul este o limită de normă a operatorilor de rang finit. Și, prin urmare, trebuie să fie un operator compact. Și pentru a demonstra 3, vom folosi din nou această caracterizare. Deci, din nou, să presupunem că T este un operator compact, astfel încât să existe o succesiune de operatori T n și un rang finit care converg către T și norma operatorului. Deci T n operatori de rang finit , T n minus T converge la 0 implică, atunci -- acum, ultima dată, am arătat că mulțimea de operatori de rang finit îndeplinește și aceste două condiții. Acesta tocmai l-am folosit aici, dar îl satisface și pe acesta - că, dacă iau un operator de rang finit și îl înmulțesc pe fiecare parte cu un operator liniar mărginit, mai am un operator de rang finit. Deci, pentru toți n, am și A ori T n B este, de asemenea, un operator de rang finit prin ceea ce am făcut ultima dată. Și dacă iau norma A T n B minus A T B, aceasta este egală cu norma A T n minus T B. Și acum, norma păstrează acest tip de structură algebrică a operatorilor liniari mărginiți -- nu ar trebui să spun „conservă ”, dar o „respectă”, adică norma unui produs este mai mică sau egală cu produsul normei. Deci, aceasta este mai mică sau egală cu-- aceasta rezultă doar din definiție-- T n minus T B. Și astfel această normă este fixă. Această normă este fixă. Acest lucru va ajunge la 0. Deci am mărginit deasupra acestei mărimi nenegative de ceva care converge la 0. Și, prin urmare, acest lucru converge la 0. Deci, A ori T ori B este limita normală a unei secvențe de operatori de rang finit. Deci este și compact. Acum, revenind la... o secundă. Hidratarea este cheia. Acum, unul dintre cele mai importante seturi de numere pe care le puteți asocia unei matrice este setul valorilor proprii ale acesteia și nu doar -- așa că aceste valori proprii reprezintă de obicei modurile de vibrație ale unui șir. Sau dacă luați mecanica cuantică, caz în care nu aveți neapărat de-a face cu matrici, în funcție de modul în care vi se învață, aceste valori proprii sunt nivelurile de energie pentru stările legate. Deci, poate, deoarece operatorii compacti sunt inversii operatorilor diferențiali, care apar cu siguranță în mecanica cuantică, dar și în alte aplicații, ar fi bine să se dezvolte un fel de teorie a valorilor proprii și a vectorilor proprii pentru operatori liniari mărginiți mai generali și apoi să se specifice la operatori compacti. Dar despre ce mă mai întâmplă? Deci, acum, vom discuta despre spectrul unui operator liniar mărginit , care este o generalizare a valorilor proprii și vectorilor proprii pe care le-ați întâlnit în algebra liniară. În algebra liniară, spectrul va fi, dacă consider că H este doar un spațiu finit-dimensional al R n C n, atunci spectrul, așa cum îl vom introduce acum, constă în întregime din valorile proprii ale acelei matrice. Nu chiar dacă trecem la operatori liniari mărginiți acum, ceea ce îl face destul de interesant, este că există mai multe lucruri care sunt asociate cu faptul că lucrați în dimensiuni infinite. Și, mai degrabă, decât să vorbim despre asta, să mergem. Să ne aruncăm și să începem să discutăm despre spectru. În primul rând, vreau să aduc în discuție câteva fapte pe care le-ați dovedit, cred că a fost prima, prima sau a doua temă a cursului. Deci peste tot, din nou, H este un spațiu Hilbert. Voi spune că poate la un moment dat este separabil, dar peste tot, H este întotdeauna un spațiu Hilbert. Deci avem următoarea teoremă, care vă spune cum să inversați anumiți operatori prin ceea ce se numește seria Neumann. Fie T un operator liniar mărginit pe un spațiu Hilbert. Dacă norma lui T este mai mică decât 1, atunci operatorul I minus T este inversabil. Și dacă vreau să calculez inversul, îl pot calcula exact așa cum aș face dacă minus T ar fi 1 minus x. Și vorbim despre împărțirea la funcția 1 minus x. Aveți o serie de puteri - nu o serie de puteri, dar o puteți scrie ca o serie geometrică - suma de la n este egală cu 0 la infinitul T la n. Și această serie de aici este absolut convergentă. De ce? Deoarece norma fiecărui termen-- norma lui T la n este mai mică sau egală cu norma lui T ridicată la n. Și norma lui t este mai mică decât 1. Deci acest lucru este absolut sumabil. Și îl folosești atunci când ai demonstrat de fapt această teoremă în sarcină. Așa că nu am de gând să dau dovada din nou. Nu am dat-o o dată înainte, tu ai făcut-o, dar nu am de gând să dovedesc. Vom merge mai departe. Și, deci, un alt fapt pe care l-ați demonstrat folosind acest lucru este că mulțimea GL h, care este mulțimea de operatori liniari mărginiți care sunt inversibili, adică este bijectiv-- prin teorema de mapare deschisă , știm că dacă un operator este bijectiv, atunci are automat o inversă mărginită, așa că voi spune bijectiv-- că acesta este un set deschis, este un subset deschis de ce? Din spațiul operatorilor liniari mărginiți. Deci demonstrația este destul de rapidă folosind această teoremă anterioară. Deci, să fie T0 un element al operatorilor inversibili de pe H, GL H. Deci, aceasta înseamnă că trebuie să găsim un epsilon, astfel încât bila centrată la T0 de raza epsilon să fie conținută în GL H, ceea ce înseamnă că totul în acea bilă este inversabil. Deci, să presupunem că am un operator T și distanța lui în norma operatorului la T0 este mai mică decât 1 peste norma operatorului inversului lui T0. Eu susțin că atunci T trebuie să fie inversabil. Atunci, dacă mă uit la T0 ori T minus T0 invers - deci t0 inversă ori T minus T0, în norma operatorului, aceasta este mai mică sau egală cu T norma lui T inversă ori norma lui T minus T0 și normă, și aceasta este mai mică decât 1. Deci prin teorema anterioară obțin că I minus T invers T0 sau T0 invers aplicat lui T minus T0 este inversabil deoarece acest lucru aici are o normă mai mică decât 1, ceea ce implică că T, care este egal cu produsul a doi operatori inversibili , și anume T0 și I minus T0 minus 1, T minus T0, este un operator liniar mărginit bijectiv sau un operator liniar mărginit cu invers mărginit. Așa că permiteți-mi să rezumam. Adică, bila cu raza 1 peste norma inversului este conținută în mulțimea operatorilor liniari mărginiți inversați. Și asta dovedește că acesta este un set deschis. Deci, un alt mod de a te gândi la-- deci, dacă te întorci la ceea ce au fost valorile proprii, vectorii proprii, este mai ales curat dacă ai ceea ce au fost-- în funcție de dacă ai făcut lucruri cu matrice de valori complexe sau nu, dar să spunem că sunt simetrice , și aveți de-a face cu matrici cu valori reale, deci matrice cu intrări reale, atunci o teoremă a algebrei liniare este că puteți diagonaliza acea matrice, adică puteți găsi o bază ortonormală a lui R n, astfel încât în ​​acea bază, matricea este pur și simplu diagonală, iar numerele care apar pe diagonală sunt valorile proprii ale operatorului respectiv. Acum, un alt mod de a gândi la asta este acela pentru care lambda, să zicem, pot inversa matricea A minus lambda? De fapt, exact așa sunt definite valorile proprii. Dacă doriți să găsiți un vector propriu, atunci acesta ar trebui să fie în spațiul nul al lui A minus lambda. Deci calculezi determinantul acestuia și obții un polinom pe care l-ai văzut pentru lambda. Și apoi ajungi să rezolvi vectorii proprii, care este un sistem de ecuații liniare odată ce cunoști lambda. Dar gândindu-ne înapoi, acele valori proprii sunt impedimente în a putea rezolva ecuația A minus lambda u este egal cu f. Și, având în vedere asta, așa vom defini spectrul unui operator liniar mărginit. Deci, mai întâi, voi defini complementul spectrului. Deci, fie A un operator liniar mărginit. Setul rezolvat al lui A-- deci acesta este noul bit-- este un set Res A. Acesta constă din toate numerele complexe lambda, cu proprietatea că A minus lambda I este un operator inversabil. Acum, sunt puțin leneș, așa că în loc să scriu A minus lambda I, cel mai adesea voi scrie A minus lambda, cu înțelegerea că aici ar trebui să existe o identitate. Deci, mulțimea rezolvată este o mulțime de numere complexe lambda, astfel încât A minus lambda este inversabilă. Cu alte cuvinte, că puteți rezolva întotdeauna ecuația A minus lambda u este egală cu f pentru f arbitrar. Și o poți rezolva în mod unic, unic fiind cheia. Spectrul lui A-- deci aceasta este o nouă terminologie-- este pur și simplu complementul. Deci, de obicei, scriem că Spec A este egală cu C, eliminăm setul de rezoluție al lui A. Deci acesta este exemplul pe care îl spuneam acum un minut. Să presupunem că am doar o matrice, transformarea liniară a lui C2 în C2, iar A este dat de lambda 1, 0, 0, lambda 2, pentru două numere lambda 1 și lambda 2. Așa că vă dau cel mai simplu exemplu posibil. Atunci A minus lambda este egal cu lambda 1 minus lambda 0, 0, lambda 2 minus lambda. Și când este această matrice inversabilă? Tocmai atunci când lambda nu este egal cu lambda 1 sau lambda 2. Deci, un minus lambda este inversabil dacă și numai dacă lambda nu este egal cu lambda 1 sau lambda 2. Și când lambda este egal cu lambda 2 sau lambda 1, această matrice aici are o matrice non-trivială nucleu. Și acesta este cu adevărat singurul obstacol pentru a fi inversabil. Dar în dimensiuni infinite, când avem operatori pe dimensiuni infinite, există o încrețitură suplimentară care s-ar putea întâmpla. Deci, permiteți-mi să termin cu acest exemplu. Prin urmare, setul rezidual de A sau setul rezidual de rezoluție A este egal cu C ia lambda 1, lambda 2. Și spectrul unui set de C este egal cu lambda 1, lambda 2. Deci avem un nume special pentru dacă apare ceva în spectru, în același mod pe care îl avem pentru matricele obișnuite. Deci, definiția -- dacă A este un operator liniar mărginit și A minus lambda -- deci lambda este un număr complex -- nu este injectivă -- deci avem nevoie de două condiții pentru ca A minus lambda, sau pentru ca lambda să fie în mulțimea rezolvată, avem nevoie de A minus lambda pentru a fi atât injectiv cât și surjectiv, unu la unu și pe. Apoi, acest lucru implică faptul că are un nucleu non-trivial. Și există un u în H, luați 0, astfel încât A u este egal cu lambda u. Numim apoi această lambda, care se află în spectrul lui A-- este în spectru deoarece A minus lambda nu este inversabilă-- o valoare proprie a lui A, iar u un vector propriu. Deci, cel mai bun mod de a învăța despre spectru este să faci o mulțime de exemple. Și așa că am doar o perioadă limitată de timp în clasă pentru a vă învăța lucruri noi, așa că nu pot face prea multe exemple. Dar să luăm, de exemplu, operatorul de mai devreme, T a este egal cu a1 peste 1, a2 peste 2, a3 peste 3 și așa mai departe, pentru un element de l2 mic, deci o secvență în L2 mic. Și deci acesta a fost, de fapt, un operator compact. Care ar fi unele valori proprii ale acestui lucru? Ei bine, rețineți că, dacă aplic T unuia dintre elementele bazei ortonormale - deci să-l numim e n, unde e n este secvența constând din 1 în locul n-a și 0 în caz contrar. Eu ce obțin? Primesc 0, 0, cu excepția locului n-a, 1 peste n, 0 și așa mai departe, care este 1 peste n ori e n. Deci asta demonstrează că T minus 1 peste n are un nucleu non-trivial și, prin urmare, 1 peste n este o valoare proprie și, prin urmare, în spectru. Deci asta a fost pentru toți n. Acestea sunt valori proprii ale lui T. Deci spectrul conține cel puțin această secvență de numere. Deci, spre deosebire de cazul cu dimensiuni finite, puteți avea infinite de valori proprii. Deci este, de asemenea, posibil să nu aveți valori proprii. Permiteți-mi să aduc în discuție un mic punct aici. Să ne uităm la 0. Este 0 în spectru sau în rezultantă? Cu alte cuvinte, Deci T minus 0, acesta este doar T. Deci mă întreb dacă T însuși este injectiv și surjectiv? Este bijectiv? Deci, în primul rând, ar trebui să fie clar că acest operator de aici este injectiv. Dacă T a este egal cu 0, atunci fiecare dintre aceste numere este 0 și, prin urmare, a trebuie să fie 0. Deci T este clar injectiv. Dar încercați să vă convingeți că T nu poate fi surjectiv, pentru că dacă ar fi surjectiv, inversul ar trebui să fie un operator liniar mărginit. Care ar trebui să fie inversul? Ar trebui să iau elementele șirului meu din l2 și a1 este înmulțit cu 1, a2 este înmulțit cu 2, a3 este înmulțit cu 3 și așa mai departe. Și acesta nu ar fi un operator liniar mărginit pe micul l2. Deci acel argument vă spune că nu poate fi surjectiv. Dar ceea ce se poate arăta este că intervalul este dens, totuși, în puțin l2. Deci poți avea asta... ceva poate fi în spectru, ceva care este complet diferit de ceea ce se întâmplă în dimensiuni finite. Puteți avea intervalul de T sau T minus lambda, să zicem... ați putea avea intervalul dens în H, dar nu închis. Și, prin urmare, operatorul nu este surjectiv. Această diferență subtilă între ceea ce se întâmplă în dimensiuni infinite și dimensiuni finite - asta nu se întâmplă în dimensiuni finite, deoarece intervalul va fi un subspațiu al lui H, iar în dimensiuni finite, intervalul este un subspațiu cu dimensiuni finite și deci e mereu inchis. În dimensiuni infinite, gama nu trebuie să fie închisă. Deci, această mică diferență, totuși, poate avea ca rezultat ceva în spectru. Nu este întotdeauna doar ceva în spectru dacă și numai dacă este o valoare proprie. Nu este cazul. Și așa, de exemplu, și probabil că voi pune asta în sarcină, dar ceea ce puteți verifica este că să presupunem că definesc acum un operator T de la L2 de 0, 1 la L2 0, 1 prin T f de x este egal de x ori f din x. Atunci T nu are, nici una, valori proprii. Deci, probabil că voi pune acest exemplu fie la teme, fie la examen, dar nu are valori proprii. Și puteți calcula că spectrul, mulțimea tuturor lambda, astfel încât T minus lambda să nu fie inversabil, este egal cu 0, 1. De ce 0, 1? Nu pentru că domeniul este 0, 1, ci pentru că acesta este, în esență, intervalul de x, funcția x ca x variază de la 0 la 1. Deci, atunci când treceți la dimensiuni infinite, spectrul nu trebuie neapărat să fie doar valorile proprii. al operatorului dvs. De fapt, este posibil să nu existe valori proprii. Poate fi ceva mult mai subtil, care apare atunci când intervalul nu este un submult închis, nu este a-- intervalul poate fi dens în H, dar nu apropiat și, prin urmare, nu este egal cu tot H. Deci, operatorul nu este surjectiv. Deci, să demonstrăm câteva proprietăți generale ale spectrului și mulțimilor de soluții. Deci, fie A un operator liniar mărginit. Atunci spectrul lui A este un submulțime închisă a lui C. Și, de fapt, este conținut în mulțimea de lambda din C cu modul mai mic sau egal cu norma lui A. Deci, în special, acest lucru implică faptul că spectrul este un submult compact de numerele complexe. Deci, în special, deoarece 1 peste n este în spectrul acestui operator pe care îl avem aici, iar 0 este limita pe măsură ce n merge la infinit de 1 peste n, acest lucru în mod automat, din acest rezultat, implică că 0 este în spectrul acestui operator. Acum, desigur, puteți formula acest lucru, deoarece spectrul lui A este complementul mulțimii rezolutive a lui A, ați fi putut formula această teoremă în termeni de rezoluție, care este că mulțimea rezolutivă a lui A este deschisă, iar mulțimea rezolutivă. a lui A conține complementul acestei mulțimi. De fapt, așa vom demonstra această teoremă. Vom arăta-- este deschis și că acest lucru, complementul acestei mulțimi, este conținut în rezoluția lui A, iar un set de lambda cu modul mai mare decât norma lui A este conținut în mulțimea rezolvă a lui A. Deci, de ce solutia este deschisa? Ei bine, rezultă din faptul că GL H, spațiul operatorilor liniari mărginiți care sunt inversați, este o mulțime deschisă. Deci ia ceva în soluționare. Trebuie să arătăm că există o bilă mică în jurul acestui număr complex, astfel încât acea bilă mică să fie conținută în soluție, adică A minus lambda este inversabilă. Deoarece GL H este deschis, aceasta implică că există un epsilon mic, astfel încât dacă T este un operator care este aproape de A minus lambda 0, o normă de operator, aceasta implică că T este și inversabil. Apoi, dacă lambda minus lambda 0 este mai mică decât epsilon, obținem că norma A minus lambda minus A0 minus lambda 0, A se anulează și obțin doar norma operatorului lambda minus lambda 0-- și aici, ar trebui să fiu păstrate în jurul identităților-- care este doar egal cu lambda minus lambda 0, care presupunem că este mai mic decât epsilon. Deci, acest operator de aici se află în epsilonul acestui operator convertibil de aici, ceea ce garantează, prin modul în care am ales epsilonul, că A minus lambda este inversabil și, prin urmare, lambda este în setul rezolv al lui A. Așa că am început cu ceva la distanța epsilonului. la lambda 0, unde epsilonul provine din această condiție aici, și a arătat că lambda este în soluție, adică bilă lambda minus lambda 0 mai mică decât epsilon este conținută în setul de rezoluție al lui A. Deci, asta demonstrează că setul de soluție este deschis. Deci, acum, să arătăm această condiție - că dacă valoarea absolută a lambda este mai mare decât norma lui A, atunci A minus lambda este inversabilă. Deci, să presupunem că lambda este mai mare decât, strict mai mare decât norma lui A. Deci, în special, este diferit de zero. Atunci norma 1 peste lambda ori A este mai mică decât 1, iar acest lucru implică că I minus 1 peste lambda A este inversabilă. Pentru că atunci aceasta are normă mai mică decât 1. Deci putem inversa întotdeauna ceva care este I minus acel lucru care are normă mai mică decât 1, ceea ce îmi spune că A minus lambda este produsul a doi operatori inversați, și anume înmulțirea cu minus lambda și I minus 1 peste lambda A. Să vedem. Să ne asigurăm că totul se anulează. BINE. Deci, înmulțirea cu lambda, care este un număr complex pozitiv sau diferit de zero , este un operator inversabil. Acesta este un operator inversabil. Produsul a doi operatori inversibili este inversabil, astfel încât acel lucru este în GL H. Deci este inversabil, ceea ce implică că lambda, pur și simplu prin definiție, este în mulțimea rezolutivă a lui A. Deci am presupus că avem ceva aici și am arătat că este aici. , ceea ce am vrut să facem. Deci spectrul este o submulțime închisă, de fapt, o submulțime compactă, a unui set de numere complexe. Cel puțin pentru această clasă, este cam atât cât putem spune pentru operatorii liniari mărginiți generali despre spectrul lor. Permiteți-mi să fac un mic comentariu, de asemenea, că, dacă cunoașteți o analiză puțin complexă, dovada anterioară vă permite, de fapt, să... așa că voi declara acest lucru ca un fapt. S-ar putea întreba, ar putea spectrul să fie vreodată gol? Deci, acesta este cu siguranță un subset compact de numere complexe. Și răspunsul este nu. Dar această clasă nu presupune o analiză complexă, așa că nu pot să scriu cu adevărat o dovadă în acest sens și să mă aștept să o urmați complet. Dar aici este gândirea -- așa că dacă nu cunoașteți analiza complexă, săriți înainte câteva secunde, dar gândirea este aceasta - să presupunem că spectrul este gol. Apoi A minus lambda aplicat-- deci să presupunem că spectrul este gol și luăm u și v care sunt în spațiul Hilbert, aplicăm A minus lambda la u sau A minus lambda invers, aplicat la u. Un produs interior ar fi. Deci, acest lucru este bine definit deoarece A invers lambda minus există întotdeauna deoarece spectrul este gol. Și asta vă oferă o funcție continuă în lambda pe plan complex. Și acum ce se întâmplă? Deci, dovada, sau cel puțin una dintre estimările pe care le-am dat mai înainte, spune că, pe măsură ce mărimea lambda devine mare, norma operatorului A minus lambda este mărginită de o constantă împărțită la magnitudinea lambda, care merge la 0. Deci norma operatorului inversului lui A minus lambda merge la 0 pe măsură ce mărimea lui lambda merge la infinit. Dar puteți arăta puțin mai multe despre această funcție pe care am definit-o acum un minut, care implică doi vectori -- că practic, prin acest calcul al seriei Neumann, de fapt, aceasta este o funcție diferențiabilă complexă în lambda. Și astfel, aveți această funcție diferențiabilă complexă definită pe întregul plan care merge la 0 pe măsură ce lambda merge la infinit. Și, după teorema lui Liouville, nu Louisville, Louisville este un tip de liliac, o liliac cu care lovești lucruri, nu liliacul care îți dă COVID-- atunci O inversă lambda minus aplicată produsului tău interior v trebuie să fie identic 0 pentru că asta este o funcție diferențiabilă complexă în lambda, care merge la 0 pe măsură ce lambda merge la infinit. Și deoarece acest lucru se aplică pentru toate u și v, aceasta implică faptul că operatorul A minus lambda inversă este identic 0. Aceasta este o contradicție. Deci spectrul nu poate fi gol. Așa că va fi foarte util să existe o altă caracterizare. Așa că acum, ne vom specializa nu doar să ne uităm la spectrul de operatori mărginiți arbitrari, ci acum, ne vom concentra asupra operatorilor auto-adjuncți. Și mai întâi, avem nevoie de o mică teoremă, că dacă am un operator auto-adjunct, adică A este egal cu A stea, atunci două lucruri sunt adevărate -- pentru tot u din H, produsul interior A u aplicat lui u este a numar real. Și doi, pot oferi o caracterizare alternativă a normei lui A, că norma lui A este, de fapt, egală cu norma sup over a lui u egală cu 1 din valoarea absolută a lui A u aplicată lui u. Deci asta nu are nicio legătură cu spectrul. Acesta este doar un fapt de care voi avea nevoie când vom începe să studiem spectrul operatorilor auto-adjuncți. Și asta va fi în următoarea prelegere. Deci, cu restul acestei prelegeri, vom demonstra această teoremă. Deci dovada - deci 1 este destul de ușor. Dacă u este în H și mă uit la A u aplicat la u și iau conjugatul său complex, ceva este real dacă și numai dacă conjugatul său complex este din nou egal cu numărul. Deci vreau să arăt că conjugatul complex al lui A u aplicat la u este egal cu A u aplicat la u. Deci aceasta este egală cu, prin proprietățile produsului interior, u aplicat lui A u. Acum, A este egal cu propriul său adjunct, deci acesta este egal cu u aplicat la-- sau u produsul interior A stea u. Și după definiția adjunctului, acest lucru se mută aici. Și acesta este sfârșitul. Acum, tot aduc în discuție mecanica cuantică, dar sunt cercetător în mecanică cuantică, dar nu sunt. Dar în mecanica cuantică, observabilele - adică lucrurile pe care cineva le-ar măsura de fapt, cum ar fi poziția, impulsul, centrul de masă, aceste tipuri de lucruri - sunt modelate de operatori auto-adjuncți. Aceștia nu sunt operatori liniari mărginiți. Sunt nemărginite, ceea ce nu vom acoperi în această clasă, dar sunt autoadjuncți. Și, prin urmare, prin această primă proprietate, această cantitate aici, care este așteptarea acelei măsurători - deci ceea ce vă spune acest număr 1 este că așteptarea acestei măsurători este întotdeauna un număr real. Este întotdeauna ceva ce poți măsura în natură. Adică, din câte știu eu, lucrurile pe care cineva le măsoară în natură, nu le folosește neapărat pentru a modela natura, nu sunt numere complexe. Deci numărul 2, să verificăm că pot, pentru un operator auto-adjunct, să scriu norma în acest fel. Asa ca lasa putin sa fie chestia asta. Primul lucru de remarcat este, de fapt, acesta este un număr finit și este mărginit mai sus de norma lui A. Rețineți că pentru toți vectorii de lungime unitară, valoarea absolută a produsului interior al lui A u cu u prin Cauchy-Schwarz este mai mică decât sau egal cu norma, produsul normelor lui A u si u. u are norma 1, deci aceasta este mai mică sau egală cu norma lui A u. Și după definiția normei operatorului lui A, aceasta este mai mică sau egală cu norma operatorului lui A. Deci, aceasta demonstrează două lucruri. Acest lucru din partea dreaptă este un număr finit și este mărginit mai sus de norma lui A. Așa că mic a, sup, este mai mic sau egal cu norma lui A. Și ceea ce vom face este să demonstrăm inegalitatea opusă . Și pentru a face asta, vom folosi această primă proprietate, că pentru tot u, A u aplicat la u este real. Deci vreau să estimez cumva norma operatorului lui A, ceea ce înseamnă că trebuie să estimez norma lui A u, unde norma lui u este egală cu 1. Deci să luăm ceva în H cu norma 1. Și deoarece norma operatorului A- - Deci, permiteți-mi doar... acum ceea ce vrem să arătăm este că norma lui A este mai mică sau egală cu acest număr, mic a. Deci să luăm ceva cu norma 1. Și astfel încât când îl lovesc cu A, să nu obțin 0, pentru că norma operatorului lui A se calculează luând sup de norme ale lui A u, unde u are lungimea unitară. Și trebuie doar să estimez acele A u care sunt diferite de zero. Fie v vectorul A u peste norma lui A u. Atunci chestia asta are lungimea unitară. Și deci acum, dacă calculez norma lui A u, care este lucrul pe care vreau să-l estimez mai sus cu a, acesta este egal cu A u aplicat la v sau A u produsul interior v, pentru că atunci aș obține A u interior produsul A u, care îmi dă norma lui A u pătrat împărțit la norma lui A u. Așa că am primit doar A u. Acum, acesta este un număr real pentru că este egal cu această normă. Așa că pot arunca o parte reală și nu am probleme. Și acum, am o... să vedem, cum aș numi asta... identitate de polarizare. Acesta este numele, nu legea paralelogramului. Dar am un tip de identitate de polarizare pentru această expresie, pe care o poți verifica doar în liniștea propriei locuințe că acest lucru chiar aici, pot scrie ca 1/4 A u plus v, u plus v, minus A u minus v, u minus v plus i ori A u plus i v, u plus i v minus A u minus i v v minus i v. Acum, deci A u v-- acest produs interior aici este egal cu acest lucru, această expresie pe care o am aici. Partea reală este încă acolo. Acum iau partea reală a acestui număr. Acum, acest număr de aici este real. Acest număr de aici este real prin numărul 1. Și, prin urmare, de i ori acest număr este pur imaginar. Așa că, când iau rolul adevărat, dispare. Deci aceasta este egală cu 1/4 ori A u plus v minus A u minus v, u minus v. Îmi lipsește ceva acolo. Acum, acesta este A aplicat unui produs interior vectorial cu același vector. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 1/4 - deoarece a mic este un suprem al valorilor absolute ale acestor expresii unde, atâta timp cât aceste lucruri au lungimea unitară, aceasta este mai mică sau egală cu o normă de timp a u plus v. pătrat, această primă expresie. Pentru că aceasta este mai mică sau egală cu valoarea absolută a acestui lucru. Și împărțind la u plus v pătrat, asta, obțin că este mai mic sau egal cu a. Dar încă mai am acest u plus v pătrat. Și apoi același lucru cu acest u minus v, deci plus un u minus v pătrat. Și acum, folosesc legea paralelogramului. Aceasta este egală cu un peste 4, u plus v la pătrat, plus u minus v la pătrat. Aceasta este egală cu 2 norma u pătrat plus 2 norma v pătrat ori a peste 4. u și v au lungimea unitară. Deci acesta este 1, acesta este 1. Deci primesc 2 plus 2 este 4. Și obțin un Deci, astfel, pentru toți vectorii de normă 1, am demonstrat că norma lui A u este mai mică sau egală cu a. Am făcut-o doar pentru cei, astfel încât A u este diferit de zero, dar încă am această inegalitate a lui A u egală cu 0. Așa că am înțeles că norma lui A este mai mică sau egală cu a, ceea ce am vrut să fac . Deci data viitoare, vom intra puțin mai mult în unele proprietăți ale spectrului operatorilor auto-adjuncți , în special, tipul de submulțime de numere complexe care trebuie să fie. De fapt, vom afla că spectrul unui operator auto-adjunct trebuie să fie conținut în linia reală - deci nu puteți avea nimic cu o parte imaginară diferită de zero - care este conținut în anumite limite legate de acest tip. de expresie, A u aplicat la u. Și acest lucru ne oferă, de asemenea, o modalitate interesantă de a verifica dacă spectrul este conținut în două numere reale. În special, ne va spune ceva despre când un operator auto-adjunct este nenegativ, adică A u produsul interior u este întotdeauna nenegativ. Și de acolo, vom începe să vorbim despre teoria spectrală pentru operatori auto-adjuncți compacti. Deci acesta este cel mai complet lucru pe care îl putem spune despre spectrul unei anumite clase de operatori. Și ceea ce putem spune despre operatorii compacti auto-adjuncți este că este destul de aproape de cazul cu dimensiuni finite - și anume, că spectrul este că acești operatori pot fi în esență diagonalizați. Puteți găsi o bază ortonormală constând în întregime din vectori proprii pentru operator. Și ne vom opri acolo.