[SCRÂTÂND] [FOȘTIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: --diferențiabil de câte ori doriți. Și derivata la 0 este egală cu 0 pentru tot n. De ce aduc asta în discuție? Pentru că atunci polinomul Taylor pentru această funcție pe care l-am scris aici la 0-- deci acesta este polinomul Taylor la 0-- este doar egal, din nou, suma derivatelor evaluate la 0 ori x minus 0 la k. Dar toate derivatele sunt 0. Și astfel, funcția este, de fapt, egală cu termenul rămas aproape de 0. Deci, vedeți, termenul rămas poartă tot f, deci nu trebuie neapărat să fie mic. Și ceea ce încerc să spun este că, în general, nu poți să arunci restul termenului și să te aștepți ca acesta să fie chiar aproape de punctul x, un fel de reprezentare fidelă a funcției doar prin polinomul Taylor. Pentru că, după cum vedem pentru această funcție, polinomul Taylor este identic 0. Dacă arunc restul termenului, aș spune că f este 0, dar cu siguranță nu este aproape de x egal cu 0. Așa că acesta a fost punctul discuției. . Acum, să dăm dovada. Și după cum vedeți, vom aplica în mod repetat teorema valorii medii derivatelor superioare ale lui f, dar nu neapărat ale lui f, ci ale unei funcții pe care o pregătim din f. Să luăm două puncte, x0 și x, care nu sunt egale între ele. Desigur, dacă sunt egali unul cu celălalt, putem considera că C este orice vrem, pentru că atunci, f of-- pentru că atunci ceea ce luăm este f of x egal cu f of x în partea dreaptă. Deci putem considera doar cazul în care x0 nu este egal cu x. Și să fie M-- acesta este doar un număr care depinde de x și f0 peste x minus x0 la n plus 1. P sub n Acesta este, din nou, polinomul Taylor de gradul n. f de x minus P sub n de x peste x minus x sub 0. Deci acesta este doar un număr care depinde de x și x0. Apoi doar rescriind acest lucru, aceasta înseamnă că f din x este egal cu P sub n din x, polinomul Taylor al lui n la x, plus Mx ori -- Mx x0 ori x minus x sub 0 peste n la n plus 1. Acum , scopul este de a arăta că, de fapt, acest număr poate fi scris ca derivată n plus 1 evaluată la un moment dat peste n plus 1 factorial. Acum, scopul - arătați că există un C și un B astfel încât Mx să fie egal cu f n plus 1 peste C peste n plus 1 factorial. Acum, care este această caracteristică definitorie a acestui polinom Taylor la - acest polinom Taylor de ordinul n-lea ? Evaluați în raport cu x0. Ei bine, ideea este că acest polinom Taylor este de acord cu f la x0 până la ordinul n, până la n derivate. Cu alte cuvinte, dacă iau derivata k-a a lui f și o evaluez la 0, aceasta este același lucru cu a lua derivata k-a a polinomului Taylor și o evaluez la 0. Deci polinomul Taylor este de acord cu f până la n derivate în punctul x0. Din nou, acesta este punctul central al polinoamelor Taylor, este că ele, cel puțin la punctul, sunt de acord cu ordinul f până la n-a. Înseamnă că sunt de acord cu f, sau chiar sunt o reprezentare bună a lui f, departe de x0 așa cum tocmai am văzut? Dar cel puțin la x0, sunt de acord cu f. Acum, voi defini o nouă funcție, căreia voi începe să aplic teorema valorii medii și, sperăm, voi găsi acest C. Este g de s egal cu f de s minus P sub n de s minus acesta număr de la ori mai devreme s minus 0 la n plus 1. Și ceva de remarcat este că această funcție aici, toată această funcție, deci g-- în primul rând, f este n plus de 1 ori diferențiabilă. Acesta este un polinom, deci este n plus de 1 ori diferentiabil. Și acesta este doar un polinom, de asemenea. Și s. Deci este n plus de 1 ori diferentiabil. Fii. Lasă-mă să fac o poză. Avem x0 și x. Cel puțin în imagine, x este mai mare decât x0, dar asta nu prea contează. Ce știm despre g de x0? Ei bine, aceasta este egală cu f. Și acum, când țin x0 aici, primesc 0. Și acum f de x0 minus P n de x0, din nou, prin acest prim lucru aici pentru k este egal cu 0. Acesta este egal cu 0. Și acum, ce știu despre g evaluat la x? Aceasta este egală cu f din x minus P n din x. Amintiți-vă, variabila pe care o schimb -- sau cel puțin, variabila liberă de acolo, este s. Deci, dacă rămân în x, obțin f de x minus P n de x minus M, această constantă de mai devreme, pe care am ales-o în funcție de x și x0. Dar folosind această relație aici, aceasta este 0. Am că -- funcția f la x0 și la x este 0. Prin teorema valorii medii, sau teorema lui Rolle - deci prin teorema valorii medii, există un punct x1 între x0 , x astfel încât g prim de x1 să fie egal cu 0. Da? Acum, amintiți-vă, la x0-- sau g prim de x1 este egal cu 0. Acum, la x0, avem că-- OK. Deci, la g prim de x1, la x1, g prim este 0. Dar, de asemenea, dacă mă uit la derivata lui g la x0, aceasta este egală cu f prim de x0 minus P n prim de x0 minus -- acum, aici, Lucrez în baza ipotezei, doar în scopuri ilustrative, presupun că n este, să zicem, mai mare sau egal cu 2, cel puțin din ceea ce scriu acum. Dar dacă iau derivata acestei și conectez x0, atunci voi obține și 0 aici. Deci am doar f prim de x0 minus P n prim de x0. Deci, acesta este egal cu 0. Deci am g prim de x1 este egal cu 0, g prim de x0 este egal cu 0 și, prin urmare, prin teorema valorii medii aplicată din nou, există un punct x2 între x și x0 astfel încât derivata a doua a lui g este evaluată la x2 este egal cu 0. Și acum, doar repet acest lucru. Pentru că încă știu, la x0, derivata a doua a lui g este, de asemenea, 0, atâta timp cât n este mai mare sau egal cu 2. Și apoi voi înțelege că există x1 aici -- permiteți-mi să scriu aici, în acest moment, noi știți că g este 0, g prim este 0 și așa mai departe. În acest moment, g prim este egal cu 0. Și apoi la x2-- atunci faptul că g prim dublu aici în acest punct este 0. Și aici, aplicăm din nou teorema valorii medii. Și obținem un punct, x3, între ele unde, acum, derivata a treia este egală cu 0. Și putem continua, până la un anumit punct. Și ce rost are? Atunci am luat n derivate de aici și tot ce mi-a rămas aici este s minus x0. Lasă-mă să rezum. Continuând în acest fel, vedem că există - vedem pentru toate k între 0 și n, există un x sub k între x0 și x astfel încât derivata k la x sub k este egală cu 0. În special, la k este egal cu n etapă, ce am? x0, x și acesta este x sub n. Tocmai acum o să repet acest argument pentru ultima dată și vom vedea unde ne duce asta. Deoarece g-- derivata a n-a a lui g evaluată la x sub 0 este egală cu 0-- din nou, aceasta provine din această relație aici. Lasă-mă, de fapt, să scriu asta din nou. Aceasta este egală cu f de x0 minus P n de x0. Și chiar voi scrie, acesta este egal cu Mx x0 n plus 1 factori ori x0 minus x0. Asta se întâmplă când iau n derivate ale lui ns, ale acestui monom aici. Acesta, desigur, este 0 egal cu 0. Deoarece avem asta și avem, este egal cu 0 în acest alt punct, există, prin teorema valorii medii, aplicată acum la g--a- a derivată a lui g. Când scriu aici teorema valorii medii, nu o aplic la funcția g. Îl aplic derivatului. Aici, l-am aplicat doar pentru g. Aici, am aplicat teorema valorii medii derivatei lui g. Și, aici acum aplic teorema valorii medii la derivata n-a a lui g. Permiteți- mi să vă spun perfect. Există un număr, C, între x și x0, astfel încât n plus 1-- derivata lui g, derivata derivatei de ordinul n a lui g, deci n plus derivata 1 a lui g-- a lui C este egal cu 0 Dar ce înseamnă asta? Acum, dacă iau n plus 1 derivate în raport cu s din aceasta aici, obțin f. Acum, dacă iau n plus 1 derivate ale unui polinom de gradul n , primesc 0. Dacă iau două derivate ale unui polinom de gradul 1, care este doar x, primesc 0. Dacă iau trei derivate de gradul 2 polinom, primesc 0. Deci primesc 0 pentru când diferențiez n plus 1 ori un polinom de gradul n minus această constantă din nou ori n plus 1 derivate ale acestui monom aici în s. Amintiți-vă, toate aceste derivate pe care le scriu aici, acestea sunt toate în termeni de s. Ori n plus 1 factorial. Și aceasta este egală cu 0. Acesta este doar acest lucru aici exprimat aici. Și ar trebui să fie C, îmi pare rău. Pentru că conectăm C. Dar asta înseamnă tocmai asta, ceea ce am vrut să arăt că există. În acest punct C, această constantă de mai devreme, care, amintiți-vă, a fost definită în acest fel, este de fapt egală cu derivata n plus 1 a lui f evaluată la un anumit C. Și, prin urmare, f din x este egal cu P n din x plus -- x C ori-- unde C este între x și x0. Din nou, teorema lui Taylor spune câteva lucruri, dar nu spune anumite lucruri. Teorema valorii medii, așa cum este scrisă, spune că există un punct între ele, astfel încât linia secantă de la f din b la f din a este egală cu derivata funcției, tangenta la grafic, la un punct între ele. Dar nu vă spune că funcția din apropierea unui punct poate în mod necesar... ce încerc să spun? Ceea ce spune teorema lui Taylor este că puteți repeta teorema valorii medii pentru derivate de ordin superior. Dar ceea ce nu spune este că acest polinom pe care îl obțineți aici, pe care îl interpretați oarecum ca o aproximare a funcției f lângă x0, nu spune că aproximarea este neapărat bună. Pentru că tocmai am văzut din acest exemplu că acel termen rămas poate ajunge să fie întreaga funcție. Dar totuși, asta nu îl face mai puțin util în aplicații. Să dăm o aplicare simplă a teoremei lui Taylor, pe care probabil că ai avut probleme la teme nesfârșite sau probleme de examen atunci când ai luat prima dată calculul și ai găsit puncte critice și ai încercat să le caracterizezi ca minime relative sau maxime relative. Avem testul derivatei a doua, care spune următoarele-- care afirmă că, să presupunem că am o funcție de la intervalul deschis a, b la R. Și să presupunem că aceasta are două derivate continue pe acest interval deschis a, b. Dacă, într-un punct din a, b, derivata este egală cu 0, iar derivata a doua a lui f, ați evaluat-o la 0, x sub 0 este pozitiv, atunci f are un min relativ la x0. Și ar trebui să spun că acesta este un minim relativ strict. Care este diferența dintre un minim relativ strict și doar un minim relativ? O relativă strictă min, vreau să spun că dacă mă aflu în orice alt punct decât x0 și sunt în apropiere, atunci f din x este mai mare decât f din x0. Lasă-mă să scriu asta aici. Asta înseamnă aproape x0-- OK. De fapt, să ne amintim pe scurt care este definiția minului relativ. Și acest lucru îmi va permite să afirm ce înseamnă a fi o relativă strictă min. Aceasta înseamnă că există o delta pozitivă astfel încât pentru toate x, n-- astfel încât pentru toate x, x minus x0 implică f din x este mai mare decât f din x0. Aceasta este definiția minului relativ strict. Un min relativ strict este un min relativ pentru că, singurul lucru care lipsește din definiția minului relativ este, ce se întâmplă dacă evaluez la x0? Și apoi la x0, obținem f de x0 este egal cu f de x0. deci un minim relativ strict este un min relativ, dar este puțin mai puternic. Pentru că spune că atâta timp cât x nu este egal cu x0, adică acest lucru este mai mare decât 0, f din x este mai mare decât f din x0, nu mai mare sau egal cu. Urăsc să fac asta, dar teorema este spusă acolo și acum trebuie să trecem prin cameră pentru a face dovada. f are două derivate continue pe a, b. Și, prin urmare, derivata a doua este continuă la 0. Deoarece derivata a doua este continuă, obținem că limita, pe măsură ce x merge la x0-- sau, permiteți-mi să pun-- în loc de x, să spunem C. Aceasta este egală cu f prim dublu de x0, care este pozitiv, prin presupunere. Asta presupunem. Și, prin urmare, printr-un exercițiu într-una dintre sarcini, deoarece această limită, aceasta implică că există o delta 0 pozitivă, astfel încât pentru toate 0 mai mari decât C, mai mari decât x0-- și de fapt, putem include-- permiteți-mi vedea. Există o delta 0 pozitivă astfel încât, pentru tot C, satisfăcător - obținem că f prim din C este pozitiv. Tot ce spun este că avem acest punct, x0. x0 plus delta 0. x0 minus delta 0. Și apoi pe acest interval, f prim dublu al lui C este pozitiv. Ai dovedit asta, de fapt, într-o misiune. Dacă limita unei funcții pe măsură ce mă apropii de un punct este egală cu l, care este pozitiv, atunci în apropierea punctului, funcția trebuie să fie pozitivă. Acum, trebuie să verific că... ce încerc să fac? Încerc să verific că am un minim relativ strict, astfel încât să existe o delta-- Am această delta 0, care asigură că derivata a doua este pozitivă pe acest interval. Așa că spun că alegeți delta să fie acest delta 0. Și acum, trebuie să arăt că această delta funcționează, adică pentru toate x care satisfac acea inegalitate, am f de x este mai mare decât f de x0. Deci, luați un x între delta-- Adică, în distanța delta până la x0. Iată x, să zicem. Apoi, după teorema lui Taylor, există un C între x și x0 - deci iată x. Există acest punct C între x și x0, pe care îl pot alege întotdeauna strict între ele, astfel încât f de x este egal cu f de x0 plus f prim de x0 ori C minus x0 plus - nu, ar trebui să fie x, scuze-- plus f dublu prim de C peste 2 ori x minus m 0 pătrat. Acum, la x0, derivata se presupune a fi 0. Presupunem că derivata dispare la x0 și a doua derivată este pozitivă acolo. Deci, aceasta este egală cu f de x0 plus f prim de C de 2 ori x minus x0 pătrat. Acum, pe tot acest interval, care este locul în care mă uit, f prim dublu al lui C este pozitiv. Deci chestia asta de aici este pozitivă. Și atâta timp cât x minus x0 nu este 0-- atâta timp cât x nu este egal cu x0-- acest lucru este pozitiv. Acesta este un pătrat. Deci, acesta este strict mai mare decât f de x0, ceea ce am vrut să demonstrez. Deci am demonstrat că f din x este mai mare decât f din x0 pe acest interval aici. Desigur, imaginea care merge împreună cu aceasta este ceva de genul, să spunem, punctul x0, 0, cel puțin în apropierea acestui punct, derivata este 0. A doua derivată este pozitivă. Deci așa ar trebui să arate funcția. CASEY RODRIGUEZ: Deci asta încheie ceea ce vom spune despre diferențiere. Am pus în sarcină cea mai utilă versiune a regulii lui L'Hopital, care este cam singurul lucru principal care ne lipsește acum din teoria diferențierii. Dar amintiți-vă, diferențierea este un pic un miracol, așa cum am spus mai înainte, pentru că există funcții continue care nu au niciodată o derivată. Integrarea, care este ceea ce trecem acum, nu este chiar un miracol. Pentru că, așa cum vom arăta, fiecare funcție continuă are o integrală Riemann, care este un proces limitator diferit. Deci, toate aceste lucruri despre care vorbim, toate aceste noțiuni-- continuitatea este o noțiune care implică limite. Diferențierea este un proces care implică limite, iar integrarea este un proces care implică limite. Dar cumva, integrarea nu este un proces la fel de dur precum diferențierea. Trecem, acum, la Riemann-- Ar trebui să spun integrala Riemann, dar voi spune integrarea Riemann. Ce este integrarea Riemann? Este... ți s-a spus asta în calcul, dar poate într-un mod nu atât de atent. Aceasta este o teorie a ceea ce înseamnă -- sau acesta este un număr pe care îl asociem unei funcții pe care o interpretați ca aria de sub curbă. Nu este, așa cum poate ți se spune, într-un fel magic egal cu zona de sub curbă. Nu există noțiune de zonă sub curbă. Integrala Riemann este un număr pe care îl interpretați ca aria de sub curbă, deoarece este de acord cu ceea ce credeți că ar trebui să fie aria de sub curbă pentru exemple simple. De exemplu, un semicerc sau doar o cutie. Aceste două noțiuni sunt de acord. Și, prin urmare, interpretați integrala Riemann, care este un număr obținut printr-un proces limitativ, ca aria de sub curbă. Nu există cumva, în univers, această noțiune de zonă de sub curbă, iar integrala Riemann coincide magic cu acea noțiune. Nu. Este o teorie, dacă doriți, a atribuirii unui număr pe care îl interpretăm ca aria de sub curbă. Și este bun pentru-- foarte bun pentru, mai ales odată ce ajungem la adevăratul miracol al calculului, teorema fundamentală a calculului, care leagă derivata de integrare-- este fantastic în a putea, în ușurința sa de a calcula. Sperăm că, la un moment dat, veți continua să aflați despre integrarea Lebesgue, care este o noțiune mult mai versatilă de zonă de sub curbă. Și puțin mai robust. Avem teoreme mai bune pe care apoi le poți folosi și demonstra -- demonstrează, apoi folosește, desigur. Dar integrarea Riemann este un loc de început. Și de fapt, în unele tratamente ale integrării Lebesgue, imigrația Lebesgue este tratată ca finalizarea integrării Riemann, la fel cum numerele reale sunt completarea, într-un anumit sens, a numerelor raționale. Să stabilim câteva definiții și noțiuni de care vom avea nevoie. Voi vorbi doar despre integrarea Riemann a funcțiilor continue. Acesta este cel mai simplu mod de a merge. De ce nu pentru unele funcții generale sau așa ceva? Pentru că, în general, o funcție nu are o integrală Riemann. Deci ați putea încerca să întrebați, puteți caracteriza ce funcții au o integrală Riemann? Și răspunsul la aceasta este funcțiile care sunt continue, într-un sens, aproape peste tot. Aproape peste tot, totuși, nu avem mașinăria pentru a descrie asta. Acesta este un curs de teorie a măsurii. Pentru că nu puteți-- sau cel puțin, pentru că nu avem mașina pentru a spune pe deplin ce înseamnă, o afirmație precisă „dacă și numai dacă” despre când o funcție este integrală Riemann, voi face doar panglica într-o regulă pentru funcții continue, ceea ce este destul de drăguț și simplu - și încă frumos. Permiteți-mi să vă prezint, mai întâi, o notație pe care o voi folosi foarte mult. C din a, b. Aceasta va fi mulțimea tuturor funcțiilor continue de la a, b la R. Deci f de la a, b la R. f este continuă. Acum, după cum am spus, vom asocia un interval și o funcție -- un număr -- pe care mai târziu le vom interpreta ca o noțiune de zonă de sub curbă. Acest proces este un proces limitativ în care vom lua domeniul și îl vom tăia în bucăți din ce în ce mai mici și, cumva, să scriem un număr care credem că aproximează aria, este o zonă aproximativă bună de sub curbă. Voi atribui câteva cuvinte acestui proces de defalcare. Împărțirea intervalului a, b. Aceasta este doar o mulțime finită x subliniere, pe care o voi scrie în acest fel. Este o mulțime finită, pe care o scriu x0, x1, x2, până la xn, cu proprietatea că x0 este egal cu a este mai mic decât x1, mai mic decât x2. Norma unei partiții, pe care o notez cu aceste două linii verticale de fiecare parte a sublinierii x, este, prin definiție, maximul diferențelor dintre aceste puncte de partiție. Mă refer la aceste puncte care sunt în partiție ca puncte de partiție. Acesta este x1 minus x0 și așa mai departe, xn minus xn minus 1. O etichetă pentru partiția x bar este o mulțime finită xi. Obișnuiește-te cu câteva litere grecești în viața ta. Xi este egal cu C1 până la Cn. Ca și înainte, în partiție, am început cu un 0 aici. Am început cu 1. Astfel încât fiecare dintre aceste xi se află între punctele de partiție. Cu alte cuvinte, x0 este mai mic decât xi 1 este mai mic decât x1. Și perechea este denumită o partiție etichetată. Deși poate pare puțin elegant, nu este. O partiție este, îți iei intervalul a, b și îl tăiați în bucăți, primul punct fiind întotdeauna a și ultimul punct fiind întotdeauna b. Deci x1, x2 și pentru că nu pot trage n puncte, voi trage patru puncte. x3, x4. Există o partiție a a, b, în... gândiți-vă la aceste puncte ca fiind punctele finale ale intervalelor mici în care am împărțit intervalul mai mare . Iar xis sunt doar puncte în fiecare dintre aceste mici intervale. C1 trebuie să aterizeze acolo. xi 2 ar putea ateriza în următorul. Ar putea fi de fapt punctul final, dacă ne place. xi 3. Să presupunem că este punctul de mijloc. Vom spune și xi 4 acolo. Punctele etichetate se află doar în aceste intervale mai mici. Și cel puțin în această imagine, cea mai mare separare între punctele de partiție ar fi ceva de genul x3 minus x2 aici. Norma unei partiții este lungimea celui mai mare subinterval. Am desenat ceva abstract aici. Să facem asta mai concret. Să presupunem că mă uit la -- doar pentru a scrie câteva exemple, să presupunem că intervalul meu este 1, 3, iar apoi partiția mea sunt punctele 1, 3/2, 2, 3. Și apoi setul meu de etichete sunt 5/4-- doar un punct de mijloc-- 7/4, 5/2. Deci partiția mea este 1. Există 2. 3/2. Acestea sunt punctele mele de partiție. Și între timp, etichetele mele sunt punctul de mijloc. Și atunci norma acestei partiții este maximul lungimii acestor subintervale mai mici aici - nu cele care folosesc C, ci cea cu punctele de partiție. Deci max de 3/2 minus 1, 2 minus 3/2, 3 minus 2 și este 1-- lungimea acestui subinterval. Acum, având în vedere o partiție etichetată, vom asocia un număr acestei partiții etichetate, pe care o interpretăm ca o zonă aproximativă. Fie f o funcție continuă, xi, o partiție etichetată suma Riemann asociată cu-- ar trebui să spun, a lui f-- asociată partiției tag-- xi este numărul s sub f al barei x-- Adică, x subliniază, xi subliniază, care este suma de la k este egal cu 0 la k este egal cu 1 la n din f de xi k ori xk minus xk minus 1. Din nou, cum interpretăm acest număr - cum interpretăm acest număr? Îl interpretăm ca cumva-- dăm sens acestui număr ca o zonă aproximativă. Dacă acesta este a, b și există o funcție f și să presupunem că acestea sunt punctele de partiție. Deci x1, x2, x3, x4, x0. Și să presupunem că etichetele sunt doar punctele finale potrivite pentru fiecare dintre aceste intervale mai mici. Atunci care este acest număr, cel puțin din punct de vedere al acestei imagini? E puțin cam îndepărtat, dar oricum. Ceea ce am umbrit , această zonă, aceasta este egală cu această sumă Riemann de f asociată acestei etichete aici. Și permiteți-mi să trec din nou peste graficul lui f. Acest număr aici pe care l-am găsit îl interpretăm ca fiind cumva o zonă aproximativă. Din nou, nu-mi place să spun zonă de sub curbă, pentru că asta presupune că există o noțiune de zonă de sub curbă independentă de ceea ce facem aici. Dar nu este cazul. De fapt, oferim o teorie - o teorie matematică - a ariei de sub curbă. Noi prescriem un număr pe care îl interpretăm ca aria de sub curbă. Aceste sume Riemann le interpretăm ca fiind zone aproximative. Ceea ce am dori să facem este să luăm cumva o limită, pe măsură ce lungimile acestor subintervale devin din ce în ce mai mici, pe măsură ce norma partițiilor ajunge la 0. Și ceea ce am dori să spunem este că aceste zone aproximative - acestea sunt doar numere. -- converge către un număr limitator -- a, să zicem. Acest număr la care ne referim ca integrala Riemann a lui f și îl interpretăm ca aria de sub graficul lui f. Acum, pentru ca acest lucru să funcționeze, trebuie să arătăm că, pe măsură ce luăm partiții cu o normă din ce în ce mai mică, unde intervalele devin din ce în ce mai mici, aceste zone aproximative converg de fapt către un anumit număr. Și acesta va fi conținutul următoarei prelegeri, în care vom demonstra existența integralei Riemann și vom face câteva proprietăți despre. Deci, punctul de plecare este, din nou, că nu există o definiție a zonei de sub curbă independent de ceea ce facem. Nu e ca și cum, acolo în univers, există o noțiune a zonei de sub curbă, iar când calculăm integrala Riemann, magic, acele două lucruri - acele două numere - coincid. Nu. Dăm... construim o teorie a ariei de sub curbă, care, de exemplu, pentru un semicerc, un pătrat sau o elipsă, de fapt, coincid cu lucruri pe care le cunoașteți din geometria obișnuită. Și, prin urmare, oferă o teorie bună a ariei de sub curbă. Dar pentru ca noi să construim acea teorie, sau modul în care construim acea teorie, este pentru o funcție continuă, definim un număr asociat unei partiții, pe care îl interpretăm ca zone aproximative. Am dori să spunem că aceste zone aproximative converg către un anumit număr pe măsură ce partițiile devin din ce în ce mai fine sau pe măsură ce norma devine din ce în ce mai mică. Și acel număr limită îl interpretăm ca aria de sub curbă. Asta va fi ceea ce vom face data viitoare, este de fapt să arătăm existența acestui număr limitator, care este integrala Riemann a lui f. Și ne vom opri acolo.