[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [DĂ CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK. Deci vom continua discuția despre... este 1M sau 2? Este 1. A integralei Riemann, care, amintiți-vă, din discuția de la sfârșitul ultimei prelegeri, este o teorie a ariei de sub graficul unei funcții. Deci care este acea teorie? Teoria este construită după cum urmează. Având în vedere o funcție continuă f-- deci aceasta este doar o reîmprospătare a definițiilor pe care le-am introdus data trecută-- o partiție este doar puncte între-- doar împărțirea intervalului de la a la b în puncte, în subintervale mici, cu norma de această partiție fiind lungimea celui mai lung subinterval [INAUDIBLE] la care ne referim ca etichetă. Este doar un set de puncte cu câte unul se află în fiecare dintre aceste subintervale -- așa că pentru mine, să le considerăm pe toate ca fiind punctul final corect al acestor intervale -- și apoi asociate unei partiții etichetate, care este o pereche, x și [ ? xe. ?] Am asociat o sumă Riemann, care este f evaluată în aceste puncte cu lungimea intervalului. Deci, dacă desenăm graficul unei funcții f și-- să zicem, în această imagine-- acest număr, această sumă Riemann ar fi atunci egală cu aria acestor trei casete de aici. BINE? Și astfel teoria noastră a integrării Riemann, sau teoria noastră a zonei de sub curbă, este construită pe următorul scop, care este să arate că, pe măsură ce aceste partiții devin din ce în ce mai fine, pe măsură ce norma acestor partiții ajunge la 0, aceste partiții Sumele Riemann ar trebui să convergă către un anumit număr. Și acel număr, pe care îl numim integrala Riemann a lui f, îl interpretăm ca aria de sub graficul lui f. Așadar, primul obiectiv-- scopul principal, într-adevăr, pentru a începe cu-- este să arătăm că acesta este un motiv rezonabil-- că acest lucru este de fapt adevărat că, aceste sume Riemann, de fapt, converg către un anumit număr pe măsură ce devin din ce în ce mai fin pentru o funcție continuă dată. Deci aceasta este teorema principală, care cred că va fi principalul lucru pe care îl demonstrăm astăzi. Deci teorema integralei Riemann, care este următoarea-- fie f o funcție continuă de la a b la r-- care, amintiți-vă, aceasta este notația pe care am folosit-o data trecută. Lasă-mă să-mi mută poza aici. Apoi, există un număr real unic, pe care îl notăm ca simbolul obișnuit, integrală a b f a lui x dx cu următoarea proprietate -- pentru fiecare secvență de partiții xr cr, astfel încât norma acestor partiții va ajunge la 0 pe măsură ce r merge la infinit-- deci aceste partiții devin din ce în ce mai fine dacă norma va ajunge la 0. Amintiți-vă, norma este lungimea celui mai lung subinterval pe care îl am. Deci, pentru toate secvența de partiții, cu norme convergente la 0, avem că limita sumelor Riemann există și este egală cu acest număr, la care ne referim ca integrala Riemann a lui f. BINE? Deci sunt multe de despachetat aici. În primul rând, care este acest număr, integral de la a b la f a lui x dx - această proprietate pe care o are, indiferent de secvența de partiții pe care o luați, atâta timp cât acestea devin din ce în ce mai fine, această limită există de fapt și este egal cu același număr. Este egal cu acest număr, integrala a b f a lui x dx. Așa că aș putea lua două secvențe diferite de partiții care devin din ce în ce mai fine, să uit la sumele Riemann și acele două secvențe de sume Riemann converg și ele converg către același număr - din nou, pe care îl notăm cu integrala a b f de x dx, integrala Riemann a lui f. Și deci este acest număr, pe care îl interpretăm ca aria de sub graficul lui f. BINE? În regulă, deci scopul nostru principal pentru astăzi este să demonstrăm această teoremă. Deci, în primul rând, există două părți ale declarației aici. Există un număr real unic, pe care l-am notat prin aceea cu această proprietate. Unicitatea este imediată. Dacă am două numere reale, astfel încât, pentru toate secvența de partiții cu norma care merge la 0, limita sumelor Riemann este egală cu acea limită, ei bine, limitele secvențelor sunt unice și, prin urmare, acele două numere trebuie să fie aceleași . Deci unicitatea este clară. Este de fapt partea existenței pe care trebuie să o dovedim, că există un număr real, astfel încât, indiferent de succesiunea de partiții pe care o luăm, sumele Riemann corespunzătoare converg către 0 - atâta timp cât devin -- partițiile devin mai fine și mai fină. BINE? BINE. Acum, nu vom demonstra această teoremă încă. Avem nevoie de câteva fapte care vor fi folosite în demonstrație, așa că vom amâna demonstrarea acestei teoreme pentru câteva minute și mai întâi vom demonstra câteva fapte necesare. Deci, permiteți-mi mai întâi să definesc o metrică sau un număr util asociat cu-- sau funcție asociată unei funcții continue numită modulul de continuitate. Deci, pentru f funcția continuă și eta pozitivă, definim modulul continuității omega f a eta-- aceasta este egală cu supremația lui f de x minus f a valorii absolute y [INAUDIBILĂ] , astfel încât valoarea absolută a lui x minus y este mai mic sau egal cu [? eta. ?] BINE? Deci, ce măsoară acest modul de continuitate? Măsoară, având în vedere-- dacă iau oricare două puncte mai mici sau egale cu eta la distanță și mă uit f de x minus f din y în valoare absolută și iau sup peste toate acestea, asta îmi dă modulul de continuitate . Acum, de exemplu, să facem cel mai simplu exemplu posibil, f din x este egal cu ax plus b. Atunci ce primim? f din x minus f din y-- aceasta este egală cu ori x minus y. Deci, dacă x minus y este mai mic sau egal cu eta, obținem că f din x minus f din y în valoare absolută este mai mic sau egal cu - ei bine, este egal cu o ori x minus y este mai mic sau egal cu a times eta. Dreapta? Și, prin urmare, valoarea absolută a unui ori eta este o limită superioară pentru această mulțime pentru această funcție. Și este, de asemenea, realizat. Dacă iau valoarea absolută a x minus y egală cu eta, atunci aceasta va fi egalitate. Deci ceea ce spun este că, pentru acest exemplu, pentru f este egal cu ax plus b, modulul de continuitate este egal cu o valoare absolută a unui ori eta. BINE. Acum, ceva de remarcat aici este că, pentru acest tip de aici, pe măsură ce eta merge la 0, modulul de continuitate merge și la 0. Și acest lucru nu este special pentru această funcție. De fapt, este valabil pentru toate funcțiile continue. Așa că permiteți-mi să enunț teorema și apoi să vă dau o interpretare a acesteia. Deci, permiteți-mi să numesc această teoremă 1. Deci, pentru tot f continuu pe intervalul închis și mărginit din a, b, limită pe măsură ce eta merge la 0 al omega f al lui eta este egal cu 0. OK. Așa că permiteți-mi să mai fac un comentariu aici. Poate că și asta va-- doar pentru a ne conecta la ceva ce am făcut mai devreme, ceea ce decurge imediat din definiția acestui tip, că pentru toate x și y, acest lucru este adevărat. BINE? Și, prin urmare, ar trebui să vă gândiți, încerc să fac acest lucru mic, atunci modulul de continuitate este ceva care controlează cât de aproape sunt f de x și f de y împreună. Deci, cumva, continuitatea este controlată de această funcție, modulul de continuitate. Deci, dacă acest lucru merge la 0, atunci - pe măsură ce acesta merge la 0, acesta merge la 0, atunci spun cumva f din x și f din y sunt foarte apropiate. Deci, din nou, modulul de continuitate este o modalitate de măsurare a continuității unei funcții. Acesta este un mod de a gândi. În regulă, deci să demonstrăm asta. Aceasta este o declarație limitată și ceea ce vom face este să dovedim că este de modă veche. Fie epsilonul să fie pozitiv. Ce știm despre funcțiile care sunt continue pe un interval închis și mărginit? În timp ce, ele sunt, de asemenea, uniform continue. Deci, deoarece f este continuă pe acest interval închis și mărginit, f este uniform continuă. Aceasta înseamnă că există delta 0 pozitiv, astfel încât, pentru toate x și y, x și y mai mici decât delta 0 implică faptul că f din x minus f din y este mai mic decât-- permiteți-mi să pun epsilon peste 2. Mă duc să-mi acord puțin spațiu aici. BINE? Așadar, pentru a ne aminti, ceea ce încercăm să facem aici în ceea ce privește definiția a ceea ce înseamnă asta-- încercăm să arătăm că, pentru toate epsilon pozitive, există delta pozitive, astfel încât, pentru toate eta-- eta este de fapt un număr pozitiv aici, deci-- implică omega de eta este mai mic decât epsilon. BINE? BINE. Bine, deci asta este ceea ce încercăm să dovedim. Știm că, pentru o funcție continuă, este uniform continuă și, prin urmare, există delta 0, astfel încât, atunci când x minus y este mai mic decât delta 0, f din x minus f din y este mai mic decât epsilon peste 2 pentru tot x , y în interval. BINE? Deci, practic, voi alege delta să fie acest delta 0, delta de care am nevoie pentru asta. Și acum permiteți-mi să arăt că funcționează. Să presupunem că eta este mai mic decât delta, care, rețineți, este delta 0. Atunci, dacă x minus y este mai mic decât eta-- care, din nou, este mai mic decât-- mai mic sau egal cu eta, care este mai mic decât delta 0- - Obțin că f de x minus f de y este mai mic decât epsilon peste 2. Practic, tocmai am rescris ceea ce aveam chiar acolo. Și, prin urmare, acest lucru implică faptul că epsilon peste 2 este o limită superioară pentru mulțimea f de x minus f de y, x minus y, care este mai mică decât eta, ceea ce implică că supremul acestei mulțimi - care este, prin definiție - - deci voi pune doar paranteze aici și sper că este clar că mă refer la acest set aici când îl pun aici -- că supremația acestui set trebuie să fie mai mică sau egală cu această limită superioară , care este mai mic decât epsilon. BINE? Deci am demonstrat că, dacă eta este mai mic decât delta, atunci modulul de continuitate al lui f-- al eta este mai mic decât epsilon. Și, prin urmare, asta am vrut să dovedim. BINE. În regulă, deci este un fapt de care am nevoie, că acest modul de continuitate - care, rețineți, este supremația diferenței f din x și f din y, atâta timp cât x și y sunt mărginite de eta - că aceasta converge la 0 deoarece eta converge la 0 pentru toate funcțiile continue. BINE? Și aceasta este cheia pentru a arăta că integrala Riemann există pentru funcții continue. Deci teorema doi este următoarea. Deci, aceasta ne va spune cum două sume Riemann sunt comparabile dacă o partiție este mai fină decât cealaltă. Deci, dacă am două partiții etichetate ale lui a, b, astfel încât x prim este un subset al lui x-- deci asta înseamnă că x prim-- deci aceasta este o partiție-- o despărțire a lui a, b-- care conține toate puncte de x și mai mult. BINE? Deci este o partiție mai fină. Și ne referim la x prim ca la o rafinare a partiției x. Bine, deci avem două partiții. Unul este mai fin decât celălalt și o funcție continuă f. Apoi putem estima diferența dintre sumele Riemann. Acesta este mai mic sau egal cu modulul de continuitate al lui f evaluat la norma partiției cursului înmulțit cu lungimea intervalului. BINE? OK, deci asta spune, atâta timp cât... o modalitate de a gândi la asta este, dacă partiția x este foarte bună și apoi iau o partiție mai fină , asta nu va schimba prea mult suma Riemann, pentru că nu uitați, asta converge la 0 ca normă a partiției - cât de bine este, sau vă puteți gândi cât de grosier este - va ajunge la 0. OK, deci ideea este foarte simplă. O să- mi ia puțin doar să scriu. După cum am spus, această partiție fiind conținută în cealaltă înseamnă că această partiție are toate punctele în x și apoi mai multe. Vom împărți aceste partiții în-- sau cel puțin pe aceasta în părți în care sunt puncte în x și apoi plus cea suplimentară. Deci, pentru k este egal cu 1 la n-- deci mai întâi să desenez o imagine și apoi voi defini conceptele pe care le am. Deci aici avem punctele de partiție ale lui x. BINE? Și mai sus o să scriu acum... Am scris [? xe, ?] dar voi scrie punctele de partiție corespunzătoare lui x prim. Deci, acesta ar trebui să fie x prim sub l pentru unele l, pentru că nu uitați, [INAUDIBIL] acesta este conținut în celălalt. Deci, acest punct de partiție va fi x prim sub l pentru unele l. Și apoi voi avea altele, și așa mai departe, până ajung la ultimul punct de partiție din x prim, care este conținut în acest subinterval din partiția x. BINE? Așa că las y cu un k superior - aceasta este egală cu partiția x sub k minus 1 este egal cu x prim l plus 1, până ajung la un punct de partiție x sub m, care este egal cu x sub k. BINE? Deci aceasta este doar o parte a partiției x prim, conținută în acest subinterval, unde acestea sunt puncte de partiție în x. Și apoi o să scriu eta k. Acestea vor fi etichetele care vin cu aceste puncte. BINE. Așadar, ceea ce vreau să atrag atenția este că partiția etichetată x, prim c prim-- aceasta este egală pentru a mă lăsa să scriu în acest fel. Deoarece acestea sunt seturi, ceea ce vreau să spun prin-- permiteți-mi să le scriu ca uniunea partițiilor etichetate. Și, de asemenea, această eta nu are nimic de-a face cu eta de înainte. În regulă? Folosesc asta doar ca notație. Deci partiția completă a partiției x prime și [INAUDIBLE] prime etichetate este egală cu unirea acestor partiții mai mici de xk minus 1 și xk, pe măsură ce k rulează de la 1 la k. BINE? Sper că este clar. În regulă. În regulă, deci acum să comparăm partea din acordul Riemann pentru x [? xe ?] pe acest interval. Așa că nu uitați, undeva aici este eticheta corespunzătoare etichetei k-a pentru acest tip. Să o comparăm cu partea sumei Riemann pentru x prim [? xe ?] prim provenind tot din acest interval. BINE. De fapt, permiteți-mi să mai fac o remarcă că, deoarece această partiție etichetată este egală cu uniunea acestor partiții etichetate, aceasta implică că suma Riemann corespunzătoare acestei partiții etichetate este egală cu suma sumelor Riemann corespunzătoare acestor partiții ale aceste intervale, xk minus 1 și xk. În regulă? Deci acestea nu sunt partiții ale lui a, b, ci sunt partiții ale lui xk minus 1 și xk. În regulă. Așa că sper că toate acestea sunt clare. Din nou, împart acest rezumat Riemann în părți în care acum mă uit la ce se întâmplă între fiecare dintre punctele de partiție x sub k minus 1 și x sub k care provin din partiția originală a cursei x. În regulă? Acum calculăm. Deci aceasta este o parte a sumei Riemann a lui x [? xe ?] din acest interval minus partea acordului some pentru x prim [? xe ?] prim provenind din acest interval. Acum, aceasta este egală cu f din [? xe ?] k. Și așa că permiteți-mi să rescriu această sumă aici. x sub k minus x sub k minus 1-- aceasta este egală cu suma din k este egal, să spunem, j este egal cu l plus 1 la m x prim sub j minus [? x din ?] [INAUDIBIL] minus 1. Deci, dintre cele mai mici care sunt acolo, aceasta este doar o sumă telescopică. Deci tot ce iau este x sub j prim sub m, care este x sub k, minus primul, care este x sub-- x prim sub l, care este x sub k minus 1, minus - și atunci acesta este , prin definiție, egal cu j este egal cu l plus 1 [INAUDIBIL] f de prim j, x prim j minus x minus 1-- și apoi un semn de valoare absolută în exterior. Și apoi combin aceste două, și-- aceasta este egală cu suma de la j egal cu l plus 1 la k de k minus j ori x prim j minus x prim j minus 1 -- valoare absolută. Acum, prin inegalitatea triunghiului, valoarea absolută a sumei este mai mică sau egală cu suma valorii absolute. Așa că scutește-mă să scriu... O să aduc valorile absolute înăuntru. BINE. Acum, [? xe ?] sub k și xe sub j-- ambele sunt în intervalul x sub k, x sub k minus 1. Și după ce am scris acolo, un alt mod de-- sau ceea ce decurge pur și simplu din definiția modulul de continuitate - acesta este mai mic sau egal cu omega f al lui x sub k [? x sub ?] k minus de 1 ori de x ori j minus x prim j minus 1. Și aceasta este egală-- acum, aceasta nu depinde de j, deci aceasta este, din nou, doar o sumă telescopică. Așa că doar adun ori x-- deci este pentru o bucată, iar acum le adun. Apoi mă uit la - și așa cum am spus, aceasta este egală cu suma acestor termeni care arată astfel de la k este egal cu 1 la n. Aceasta este egală cu suma unor astfel de termeni de la k este egal cu 1 la n. Asta am scris acolo. Și deci, dacă aplic inegalitatea triunghiului, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la k este egal cu 1 la n din f din [? xe ?] k ori xk minus xk minus 1 minus s [? sub ?] f eta, care-- Am această estimare chiar aici. Am estimat deja... așa că a început cu asta. Și am arătat că a fost mai mic sau egal cu asta. Așa că, acum, permiteți-mi să încadrez acea estimare aici - mai mică sau egală cu suma de la k este egală cu 1 la n omega f de xk minus xk minus de 1 ori xk minus xk minus 1. Deci, un alt lucru pe care ar trebui să îl observați despre modulul de continuitate este, dacă am ceva aici și apoi ceva mai mare, acest set devine mai mare și, prin urmare, acest sup devine mai mare. Deci, o altă proprietate a modulului de continuitate este că este în creștere. Acest lucru rezultă doar din analiza definiției. Sunt mai multe puncte de luat la o cină dacă chestia asta devine mai mare. Deci implică... OK? Deci toate aceste lungimi ale acestor subintervale, distanța dintre punctele de partiție, toate sunt delimitate de norma partiției, cea mai mare. Deci, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la k egal cu 1 la n omega f a normei de x ori xk minus xk minus 1. Și acum, acest lucru nu depinde de k, așa că doar preiau suma de la k este egal cu 1 la n din aceasta, care este o sumă telescopică. Tot ce înțeleg este x sub n minus x sub 0, care este doar b minus a, care este estimarea pe care am vrut să o dovedim. BINE? OK, așa că acum voi face ceva sacrileg, în ceea ce privește munca la consiliu. Și voi șterge această placă și voi demonstra următoarea teoremă pe ea, pentru că vreau să păstrez ceea ce demonstrez -- sau cel puțin o declarație a ceea ce dovedesc în jur pentru când am abordat în sfârșit demonstrarea existenței lui Riemann. integrală. Deci, acesta este în formă permanentă pe... în formă digitală și, de asemenea, în note. De asemenea, ar trebui să menționez, nu urmăm manualul acum. Deci, trebuie să citiți notele de curs sau să urmăriți prelegerea. Bine, deci această teoremă de aici, teorema doi, ne-a permis să comparăm două sume Riemann, atâta timp cât o partiție este mai fină decât cealaltă. Dar există un truc simplu pe care îl putem folosi acum pentru a demonstra cum să comparăm oricare două sume Riemann pentru oricare două partiții. Deci avem următoarea, teorema trei. Dacă xc și-- acum sunt partiții etichetate-- și f este o funcție continuă, atunci mă uit la suma Riemann a acestui tip și apoi o compar cu suma Riemann a celuilalt tip. Acesta este mai mic sau egal cu modulul de continuitate evaluat la prima partiție plus modulul de continuitate aplicat celei de-a doua partiții înmulțit cu lungimea intervalului. BINE? Ce spune asta? Aceasta spune că, dacă iau două partiții foarte fine, astfel încât normele sunt foarte mici și, prin urmare, modulul de continuitate evaluat la aceste norme este un mic -- reține, modulul de continuitate converge la 0 pe măsură ce argumentul merge la 0 Deci, dacă iau două partiții foarte fine, atunci sumele Riemann sunt foarte apropiate. Sumele Riemann abia se schimbă. Și așa că acum avem o oarecare speranță să vedem că secvențele sumei Riemann, de fapt, converg. OK, deci cum demonstrăm asta? Este un truc simplu folosind teorema anterioară pentru a găsi o a treia partiție care să fie rafinamentul comun al acestor două. Deci, luați această partiție și uniți-o cu a doua și luați un nou set de etichete pentru a fi unirea celor două etichete. Deci, toate punctele de partiție ale lui x și x prim-- le-am aruncat împreună pentru a obține o nouă partiție, x dublu prim-- și apoi și etichetele. Apoi x-- înapoi-- această nouă partiție este mai fină decât x. Este mai fin decât x prim. Și prin urmare, prin teorema a doua, avem această estimare pe care o putem folosi. Deci, dacă mă uit la diferența sumelor Riemann și adun și scad suma Riemann corespunzătoare lui x prim dublu și [? xe ?] prim dublu, și apoi folosesc inegalitatea triunghiului-- deci fac doi pași aici-- așa că adunăm și scădem suma Riemann corespunzătoare-- și apoi aplic inegalitatea triunghiului. Pentru ambele, acum pot insera această estimare aici din teorema a doua, unde-- la ce se evaluează modulul de continuitate? Este evaluat la partiția curserului. Deci x prim dublu este conținut în x, deci acesta este mai mic sau egal cu modulul de continuitate evaluat la x timpi primi b minus a. Și apoi, pentru acesta, x prim este mai grosier decât x prim dublu. Acesta este conținut în x prim - deci plus modulul de continuitate evaluat la x timpi primi b minus a. Și asta am vrut să dovedim. BINE. În regulă, deci acum suntem în măsură să demonstrăm această teoremă a integralei Riemann. Și, așadar, ceea ce vom face este să venim mai întâi cu un candidat pentru ceea ce ar putea fi integrala. Și apoi vom arăta că acesta este real-- că acel candidat satisface concluzia-- sau această proprietate pe care, indiferent de partiția pe care o iau, cu norme care converg la 0, sumele Riemann converg către acest număr. BINE? Așa că mai întâi trebuie să găsim un număr de candidat. În regulă. Deci, mai întâi, luați orice... deci să reparăm o partiție a... pentru pasionații de litere grecești de acolo, acesta este zeta. Fie aceasta o partiție a lui a, b cu norma care se convertește la 0 pe măsură ce r merge la infinit. Puteți oricând să veniți cu o partiție. Deci, acest [INAUDIBLE] etichetat. Puteți oricând să veniți cu una, cel puțin o partiție -- sau o secvență de partiții. Deci asta este [? fie o secvență?] de partiții etichetate. OK, acum este corect în sfârșit. Deci, puteți oricând să veniți cu o secvență de partiții etichetate ale lui a, b cu normele convergând la 0. Luați în considerare că prima este doar întregul interval - deci doar punctul final din stânga, punctul final din dreapta. Următorul adaugă... punctul de mijloc. Acum sunt trei puncte de partiție. Acum adăugați punctul de mijloc al celor două intervale anterioare pe care le-ați avut. Acum adăugați punctul de mijloc al intervalelor pe care le-ați avut înainte și așa mai departe, și asta va construi o secvență de partiții cu norma convergentă la 0. Deci am această secvență fixă ​​de partiții de etichete și susțin că sumele Riemann converg pentru acest băiat. În regulă? Așa că susține una-- succesiunea de sume-- aceasta este o succesiune de numere acum-- OK. Deci converge către un anumit număr. Vom demonstra asta arătându-i Cauchy. Amintiți-vă, secvențele Cauchy de numere reale converg întotdeauna. Aceasta este proprietatea de completitudine a numerelor reale. BINE. Deci nu există altă modalitate de a face asta. Apoi, folosind definiția-- epsilonul [? m ?] definiție - deci să fie epsilon pozitiv. Deci, prin teorema unu, există un delta pozitiv, astfel încât dacă eta este mai mic decât delta-- ar trebui să spun-- deci știm că modulul de continuitate pentru f converge la 0 pe măsură ce eta merge la 0. Deci, pentru toate eta mai puțin decât delta, omega f de eta este mai mic decât epsilon de peste 2 ori B minus a. BINE? Lasă-mă să pun o stea de tipul ăsta. Acum, deoarece normele acestor partiții este-- converg către 0, există un număr natural m0 astfel încât, pentru toți r mai mari sau egali cu m0, norma este mai mică decât delta. BINE. Și astfel, pentru toți r mai mari sau egali cu m0, dacă mă uit la modulul de continuitate evaluat la această normă a acestei partiții - deci norma acestei partiții este mai mică decât delta. Și dacă bag asta în modulul de continuitate, orice încadrez în modulul de continuitate care este mai mic decât delta -- care este -- ar trebui să fie mai mic de epsilon de 2 ori b minus a. Deci, într-adevăr, acesta este cel pe care vreau să îl interpretez, poate nu acesta. Îl folosesc pe acesta pentru a-l obține, dar acesta este punctul cheie aici. BINE. Deci aici folosim doar faptul că modulul de continuitate converge la 0 pe măsură ce argumentul converge la 0 și că normele converg la 0. OK? BINE. Asa de [? a arăta ceva?] Cauchy, acum trebuie să alegem m. O să aleg m să fie m0. [INAUDIBIL] r, r prim mai mare sau egal cu m-- pe care, amintiți-vă, l-am ales pentru m0. Avem că valoarea absolută a lui s a lui f xr-- r, minus suma Riemann, acum cu r prim-- valoare absolută. Aceasta este prin teorema trei, pe care am demonstrat-o acolo -- este mărginită de suma modulului continuităților evaluate la normele ori b minus a. Și acum r și r prim sunt mai mari sau egale cu m0, și deci prin stea-- deci această linie aici. Aceasta este prin teorema trei. Dar acum, după stea, după alegerea noastră de m0, acesta este mai mic decât epsilon peste 2 ori b minus a plus epsilon peste 2 b minus a ori b minus a. Aceasta este acum după stea, ceea ce este egal cu epsilon. Și, prin urmare, această secvență de sume Riemann în raport cu această secvență converge. BINE? Și așa am dovedit afirmația. Permiteți-mi să numesc așa ceva limita acestei secvențe. Îi voi numi L. De fapt, să-i spunem I pentru integrală. Lasă-mă să fiu limită pe măsură ce r ajunge la infinit de... oh, mi-am stricat notația mai devreme. Îmi pare rău pentru asta. Y, și, x și [? xe's ?] ar fi trebuit să fie y's and zetas. Deci ar fi trebuit să fie y, zeta, y, zeta și apoi y aici, y aici. BINE? Acum este corect. Deci eu sunt definit a fi limita acestor tipi. Deci acum trebuie să facem un ultim lucru pentru a demonstra teorema. Am acest număr I și susțin acum că satisfac proprietățile teoremei - și anume că dacă iau orice succesiune de sume Riemann - sau orice succesiune de partiții etichetate și iau sumele Riemann, aceasta converge către I. Tocmai am arătat că există unul care converge către. Așa sunt definit eu. Am luat o partiție-- secvență de partiții etichetate și am arătat că sumele Riemann converg către un număr I. Deci acest număr I depinde de partiția, pe care am ales-o la început. Acum vrem să arătăm că acest eu, de fapt, are acea proprietate, că indiferent de partiția -- secvența de partiții iau sumele Riemann converg către I. Deci, acesta este al doilea și ultimul lucru pe care trebuie să-l fac pentru a demonstra această teoremă. . Așadar, susține-- fie x acum orice succesiune de partiții etichetate, care devin din ce în ce mai fine-- deci cu norma convergând la 0. Atunci vreau să arăt această limită pe măsură ce r merge la infinitul sumelor Riemann corespunzătoare acestei secvențe de sume parțiale-- [INAUDIBIL] sume parțiale-- această secvență de partiții există și este egală cu acest număr I, pe care l-am obținut din această secvență de partiții. Așa că, odată ce am dovedit acest lucru [INAUDIBIL], odată ce am demonstrat asta, atunci am terminat. BINE? Prin urmare, acest număr I este -- satisface acea proprietate conform căreia, indiferent de succesiunea de partiții pe care o iau, succesiunea sumelor Riemann în raport cu aceste partiții converge către acel număr. Desigur, aici îl numesc I, dar am notat cu integrala din a, b din f a lui x dx. Deci, să dovedești acest lucru nu este prea dificil folosind ceea ce avem pe tablă. Deci, amintiți-vă, I este limita în ceea ce privește această secvență de partiții, iar acum avem o secvență arbitrară de partiții, pe care vrem să arătăm că sumele Riemann converg și către acest număr. Deci, cu y sub r-- sau yr și zeta r, partițiile de înainte, avem-- prin inegalitatea triunghiului, dacă mă uit la suma Riemann cu privire la această partiție arbitrară acum-- scădem I-- vreau să arătați această convergență la 0, așa că voi lega aceasta de ceva care converge la 0. Și apoi, prin argumentul obișnuit cu teorema de strângere, asta implică că acest lucru converge la 0. Deci, adunând și scăzând suma Riemann asociată la partiția y și zetas-- aceasta este mai mică sau egală cu inegalitatea triunghiului, minus sf de [INAUDIBLE] plus acum-- minus I. Și așa am ajuns aproape. Chestia asta acum... folosesc teorema trei. Deci, acesta este mai mic sau egal cu-- ori b minus un plus-- s sub f din i sub r minus I. OK? Norma x sub r-- aceasta converge la 0. Deci aceasta converge la-- deoarece modulul de continuitate merge la 0 pe măsură ce argumentul merge la 0, acesta merge la 0, plus-- amintiți-vă, același lucru pentru acest tip-- acesta converge și la 0, plus-- cum am definit eu? A fost definită ca limita sumelor Riemann corespunzătoare acestei prime partiții fixe. Și, prin urmare, acest lucru în valoare absolută converge la 0, deoarece convergența r este la infinit. În regulă, deci valoarea absolută a acestui lucru, această sumă Riemann, minus I este mărginită de ceva care converge la 0 pe măsură ce r merge la infinit. Prin urmare, prin teorema strângerii, concluzionăm că limita ca r merge la infinitul lui s-- cu alte cuvinte, indiferent de succesiunea de partiții pe care o luăm, cu norme care converg la 0, sumele Riemann converg către același număr. I. Și acesta este sfârșitul dovezii. BINE. A fost nevoie de multă muncă pentru a face asta. Aceasta este opera lui Raymond, deci... care a fost unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor. Weierstrass a fost cu siguranță unul dintre cei mai mari analiști ai tuturor timpurilor. Riemann, la fel ca un matematician în general, a fost unul dintre cei mai mari din toate timpurile. Nu numai că a făcut analiză, ci a aplicat analiza teoriei numerelor. Acesta este conținutul celebrei ipoteze Riemann, despre care poate ați auzit, care valorează un milion de dolari, spune ceva despre zerourile unei anumite funcții, care vă oferă apoi informații despre numerele prime. Și a avut, de asemenea, contribuții profunde la fundamentele geometriei - sau ar trebui să spun bazele geometriei diferențiale - dar într-adevăr se întâmplă niște chestii profunde. În regulă, deci acum avem această noțiune de „integrală remandabilă. Este această no integrală f a lui x, care are această proprietate. Indiferent de succesiunea de partiții pe care o iau, cu norme care converg la 0, sumele parțiale converg către acest număr. Deci, deseori, voi desemna-- deci, dacă doriți, aceasta este o notație alternativă pe care o voi folosi. În loc să scriu f din x dx, pot scrie integral a, b, f. Deci această definiție a Integrala Riemann arată terifiant dacă vrei să încerci efectiv să o calculezi. Și este. Deci, acesta este miracolul teoremei fundamentale a calculului este că ne oferă o modalitate de a o calcula. Și de aceea nu fac niciun exemplu de calculându-l chiar acum. Dar încă putem afla despre unele proprietăți ale integralei Riemann fără ca asta să începem. Așa că acum trecem la unele proprietăți ale integralei. Și primul este că acesta-- deci acesta este un proces limitativ , dar acest proces de limitare este liniar în f. Dacă mă uit la sumele Riemann ale, să spunem, f plus g, aceasta este egală cu suma Riemann a lui f plus suma Riemann a lui g. Și prin urmare, deoarece integrarea este o limită a acestei sume Riemann, atunci integrarea ar trebui să fie și ea liniară. Și aceasta este prima teoremă este liniaritatea sumei Riemann, integrarea Riemann - f și g sunt a, b. Și alfa este în R. Deci, în primul rând, alfa f plus g-- asta va fi-- așa că nu ar trebui să fie în a, b. Ar trebui să fie un continuu... este sfârșitul unei zile lungi, bine? Îmi pare rău dacă îmi pierd puțin abur aici spre final. Oricum, alfa f plus g, dacă f și g sunt continue - aceasta este și o funcție continuă, deci integrala sa este semnificativă. Iar integrala sa este egală cu alfa ori integrala f plus integrala lui g. BINE? Deci care este dovada? Dovada este practic ceea ce am spus chiar înainte de a afirma teorema, că sumele Riemann sunt liniare în funcție. Și atunci luăm doar o limită. Să luăm o secvență de partiții etichetate cu norme care se convertesc la 0 pe măsură ce r merge la infinit. Apoi, dacă mă uit la suma Riemann asociată cu alfa f plus g, este ușor de văzut din definiție, nu? Aceasta este o sumă de la k este egală cu 1 la [? in-- ?] deci este ușor de văzut că acesta este egal cu alfa ori Riemann unele asociate cu f plus acel tip. Și acum iau doar o limită - deci luați limita pe măsură ce r merge la infinit. Partea stângă converge către integrala Riemann a alfa f plus g. Limita pe măsură ce r merge la infinit converge către - pentru că știm că limitele respectă operațiile liniare, limita din partea dreaptă va fi alfa înmulțită cu limita plus limita. Și, prin urmare, aceasta este egală cu alfa cu integrala a, b, f plus integrala a, b, g. BINE. Deci, ca și diferențierea, este și ceea ce s-ar numi un operator liniar. Ia o funcție și scuipă ceva, dar o face într-un mod liniar. Deci, pentru noi, este nevoie de o funcție continuă și scuipă un număr real într-un mod liniar. Integrala lui alfa f plus g este egală cu alfa ori f plus g. La fel ca diferențierea, derivata lui alfa f plus g dacă totul este diferențiabil, este egală cu alfa înmulțită cu derivata lui f plus derivata lui g. Dar integrarea Riemann, integrala Riemann, sau integrarea în general, este într-un anumit sens... Nu vreau să spun că nu este miraculoasă. Este încă un miracol că există pentru toate funcțiile continue, dar nu este un operator la fel de distructiv precum luarea derivatei, dacă luați drept bază funcțiile continue. Ultima prelegere am construit o funcție continuă care nu este diferențiabilă nicăieri. Deci, cu diferențiere, puteți lua o funcție continuă și nu puteți lua derivata ei nicăieri. Ei bine, cu integrare, dacă începeți cu o funcție continuă, puteți oricând să o luați integrală. Deci, cumva, integrarea este un proces mult mai lin decât diferențierea. Bine, deci cred că ne vom opri aici.