[SCRÂTÂND] [FOȘIT] [CLIC] PROFESORUL: OK, așa că vom continua cu discuția noastră despre spectrul unui operator, un operator liniar mărginit. Așadar, permiteți-mi să-mi amintesc din ultima oară definiția că, dacă A-- și în tot H este un spațiu Hilbert, dacă A este un operator liniar mărginit, atunci mulțimea rezolvă a lui A este mulțimea tuturor lambdelor și numerelor complexe astfel încât A minus lambda ori identitatea, pe care o scriu ca A minus lambda, este bijectivă, adică este de la 1 la 1 și pe, ceea ce implică, prin teorema de mapare deschisă, că are o inversă mărginită sau echivalează cu o inversă mărginită. Și spectrul lui A a fost complementul mulțimii rezolutive din mulțimea numerelor complexe. Și așa se presupune că spectrul este o generalizare a, în dimensiuni finite, a ceea ce s-au numit valori proprii. Și așa ne amintim că am numit lambda un element al spectrului, o valoare proprie dacă există un u care nu este egal cu 0, astfel încât A minus lambda aplicat lui u este 0. Cu alte cuvinte, A minus lambda nu este injectiv. Deci, motivul pentru care lambda se află în spectru este că, pentru ca un număr să fie numit valoare proprie este că acest operator, A minus lambda, are spațiu nul non-trivial. Cu alte cuvinte, are un u diferit de zero, astfel încât Au este egal cu lambda u. Și numim acest lucru un vector propriu. Și am văzut ultima dată exemple de operator care are infinit de valori proprii și vectori proprii și, de asemenea, un exemplu de operator liniar mărginit, care nu are valori proprii și vectori proprii, spre deosebire de cazul în dimensiuni finite, unde spectrul este exact mulțimea valorilor proprii ale un operator. Acum, și am demonstrat, de asemenea, la sfârșitul timpului trecut, așa că ceea ce am putea spune despre aceste două seturi sau ce am putea spune despre spectru este că este un set închis. Și este conținut în bila cu raza normei A în numerele complexe, ceea ce înseamnă că este un set compact. Și ceea ce am putea spune, luând complemente despre mulțimea rezolutivă, este că este o mulțime deschisă care conține exteriorul unei bile cu raza normă a lui A în numerele complexe. Și cam asta este tot ce putem spune despre spectru în general deocamdată. Dar putem spune destul de multe despre spectrul operatorilor auto-adăugați. Și apoi putem oferi o imagine destul de completă despre spectrul operatorilor compacti -- operatori compacti auto-adjuncți. Dar să ne uităm mai întâi la operatorii auto-adjuncți. Deci, la sfârșitul timpului trecut, am dovedit că, dacă am un autoadjunct - și asta nu are legătură cu spectrul. Dacă am un operator liniar mărginit autoadjunct pe un spațiu Hilbert, atunci pentru tot u, Au, u este un număr real. Și am putea scrie norma lui A deoarece această cantitate sup u este egală cu 1 din valoarea absolută a produsului interior Au u. În regulă, deci acum, avem următoarea teoremă despre spectrul pentru operatori liniari mărginiți autoadjuncți pe un spațiu Hilbert. Deci primul este că spectrul este conținut în linia numerică reală. Deci, spectrul lui A este conținut în linia numerelor reale - norma A - sau în acest interval, minus norma A la norma A, pe care o văd ca un subset al numerelor complexe, deci doar segmentul de linie de la minus norma A la norma A ca submulțime a numerelor complexe. Și al doilea este că unul dintre aceste două puncte finale trebuie să fie în spectru - poate ambele, dar cel puțin unul. Cel puțin una dintre normele plus sau minus A este în spectrul lui A. OK, deci pentru a stabili una, știm deja -- deoarece spectrul lui A este conținut în acele numere complexe cu modul mai mic sau egal cu norma lui A. , trebuie doar să arătăm că spectrul este conținut în linia numerică reală . Atunci trebuie să fie conținut în acest interval, deoarece este conținut aici. OK, așa că vom arăta că orice în afara liniei numerice reale se află în soluție. Așa vom proceda în acest sens. Așadar, vom arăta că dacă lambda este egal cu s plus acesta cu t nu este egal cu 0, atunci lambda este în mulțimea rezolutivă a lui A. Acum, să presupunem că lambda are această formă. Atunci A minus lambda este egal cu A minus s plus-- sau minus, scuze, it, pe care îl pot scrie ca A-tilde minus cu A-tilde, un operator liniar mărginit dat de A minus s, care este, de asemenea, egal cu adjunctul deoarece s este un număr real. Deci ar fi trebuit să spun că t nu este egal cu 0 și s, t, numere reale. Deci A minus lambda pot scrie ca A-tilde minus it, unde A-tilde este A minus s, din nou, un operator auto-adjunct, bine? Deci, dacă pot face un argument pentru A-tilde și arăt că A-tilde minus este bijectiv, atunci pot concluziona că A minus s minus este bijectiv. De ce fac asta? Pentru că atunci mă pot concentra doar asupra cazului în care s este 0. A minus este bijectiv dacă și numai dacă A minus lambda este bijectiv. Deci trebuie doar să luăm în considerare... ca să pot lucra la chestia asta. Dar, în loc să scriu A-tilde din nou și din nou, voi trece înapoi la A. Așa că trebuie doar să iau în considerare cazul s egal cu 0. Deci, în loc să fac argumentul pentru A-tilde minus , sunt trebuie doar să setăm s egal cu 0 și să începem să argumentezi pentru A minus acesta. Bine, deci din moment ce prin ceea ce am dovedit, sau rezultatul de data trecută, așa că permiteți-mi doar să expun ce vom demonstra. Dacă A este autoadjunct, atunci A minus t minus este bijectiv pentru toate t care nu sunt egale cu 0. Deci, odată ce am demonstrat această afirmație, atunci am demonstrat că-- am demonstrat prima mea parte a teoremei . OK, acum, din moment ce Au aplicat la u este real, înțeleg că-- dacă iau partea imaginară a lui A minus aceasta aplicată la u, produsul interior u, acesta este egal cu-- Au, u, luând partea imaginară a care este doar 0. Deci, obțin minus t norma u pătrat, ceea ce implică că, deoarece t este diferit de zero - presupunem că t este diferit de zero - A minus ori de câte ori u este egal cu 0 dacă și numai dacă u este egal 0 deoarece dacă această cantitate aici este egală cu 0, atunci acest lucru aici este egal cu 0. Și, prin urmare, norma lui u trebuie să fie 0 deoarece t este diferit de zero. Deci spațiul nul al lui A minus este doar vectorul zero. Și, prin urmare, trebuie... este injectiv, nu? Este injectiv. Este 1 la 1. În regulă, acum, vrem doar să arătăm că este bijectiv-- sau surjectiv. OK, deci în mod similar, pot demonstra că adjunctul acestui operator, care este, de fapt, A plus acesta, este injectiv. Și prin urmare, obțin că complementul ortogonal la intervalul lui A minus acesta - așa că vreau să arăt că este egal cu H pentru a arăta că este surjectiv. Deci complementul ortogonal al aceluia, care este egal cu spațiul nul al adjunctului, care este -- egal -- deci, deoarece acesta este egal cu 0, concluzionez că intervalul lui A minus închiderea, care este egal cu domeniul lui A. minus acesta luând complementul ortogonal al complementului ortogonal. Așa că a făcut parte dintr-o sarcină că, dacă am un subspațiu al unui spațiu Hilbert și iau -- sau permiteți-mi să o spun aici -- și iau complementul ortogonal al complementului ortogonal, nu mă întorc la subspațiu. Obțin închiderea subspațiului. Deci, acesta este egal cu complementul ortogonal al vectorului zero, care este H. Așa că voi termina să arăt că A minus este surjectiv dacă pot arăta că intervalul este închis, deoarece atunci acesta va fi doar intervalul A minus este egal cu H. Deci trebuie doar să arătăm acum că intervalul A minus este închis. Deci, pentru a arăta că este închis, trebuie să arătăm că dacă luăm aici o secvență de elemente care converg către ceva, atunci acea limită este, de fapt, în mulțime. Deci, să presupunem că am o secvență de elemente un astfel încât A minus aplicat lui un converge către un element v. Deci scopul meu este să arăt că v este în intervalul A minus it. Deci vrem să arătăm v este în interval. Și apoi am arătat că intervalul este închis. Și am terminat cu prima parte. Așadar, folosind acest argument aici, vom arăta că unitățile, pe care a priori nu le cunoaștem converg, tot ce știm este că imaginile unității converg. Vom arăta că ONU de fapt converg. Și atunci asta va termina în esență dovada. Apoi avem că valoarea absolută a t u minus um norma la pătrat -- aceasta este, prin acest calcul pe care l-am făcut aici, egală cu valoarea absolută a imaginii de -- Adică, partea imaginară a lui A minus it un minus um un minus um. Luați valoarea tuturor acestor lucruri. Și acum, aceasta este mai mică sau egală cu-- deci valoarea absolută a părții imaginare a unui număr complex este mai mică sau egală cu valoarea absolută a acelui număr complex, care, prin Cauchy-Schwarz, pot spune că este mai mică decât sau egal cu A minus aplicat la un minus um. Dar o voi scrie ca A minus it ori norma de un minus um. Și am început cu t, care este diferit de zero, ori cu norma un minus um pătrat. Așa că obțin că un minus um-- că acesta este mai mic sau egal cu 1 peste valoarea absolută de t ori norma A minus aplicată la un minus A minus aplicată normei um. Acum, chestia asta din dreapta-- sau ar trebui să spun A minus s-a aplicat la un, aceasta este o secvență convergentă. În special, este o secvență Cauchy. Deci dat epsilon, pot găsi capital N astfel încât norma acestei părți din dreapta să fie mai mică de epsilon ori mărimea lui t. Și, prin urmare, pentru tot capitalul N mai mare sau egal cu-- sau pentru toți puțin n m mai mare sau egal cu acel capital N, acest lucru în normă va fi mai mic decât epsilon. Deoarece acesta este Cauchy deoarece este convergent, estimarea anterioară implică faptul că secvența un este Cauchy. Și din moment ce ne aflăm într-un spațiu Hilbert, ceea ce înseamnă că este complet, putem găsi o limită a acestui un. Există un u în H astfel încât un converge către u. Și atunci am terminat. Apoi, deoarece A este un operator liniar mărginit, A minus it u-- sau A minus aplicat la u, aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui A minus aplicat lui un. Dar amintiți-vă, am presupus că acesta converge către un element v. Și, prin urmare, v este egal cu ceva din imagine sau din intervalul lui A minus acesta. v este în interval. Și astfel, intervalul A minus este închis. Și prin aceasta aici, concluzionăm că intervalul A minus t este egal cu H. Deci A minus este bijectiv. Și asta încheie dovada primei proprietăți pe care am vrut să o facem. OK, deci pentru al doilea lucru pe care am vrut să-l arătăm, am vrut să arătăm că cel puțin una dintre norma plus sau minus a lui A este în spectrul lui A. Acum, deoarece norma lui A este egală cu norma sup over a lui u este egal cu 1 din valoarea absolută a lui Au, u-- deci un supremum este întotdeauna caracterizat de a fi o limită superioară și, de asemenea, există o secvență în setul de lucruri pe care o luați supremul de convergere către acel suprem. Deci asta implică faptul că există o succesiune de vectori unitari, astfel încât produsul interior Au u în valoare absolută trebuie să convergă către norma lui a. Deci, în special, Au aplicat la u trebuie să convergă către norma lui A sau norma minus a lui A pe măsură ce n merge la infinit. Și nu există niciun n aici. Bine, atunci ce înseamnă asta? Apoi, acest lucru implică faptul că, pentru cel puțin una dintre aceste alegeri, atunci O normă plus sau minus a lui A aplicată unui produs interior un converge către 0 pe măsură ce n merge la infinit, unde aici se alege plus sau minus în funcție de dacă acesta merge la plus sau minus norma lui A. Deci acest semn de aici ar fi opusul oricărui semn la care merge această secvență. Acum susțin că această proprietate aici implică faptul că, indiferent de semnul pentru care avem, că acest operator care apare aici nu poate fi inversabil. Și, prin urmare, oricare semn a apărut aici sau semnul opus, așa că, de fapt, lăsați-mă să rămân, așa că minusul corespunde semnului plus. Semnul plus corespunde semnului minus dacă avem unul dintre acestea. Așa că susțin că această proprietate aici implică faptul că acest operator nu este inversabil. Și, prin urmare, unul dintre acestea este în spectru. Deci, să presupunem că A minus plus norma a, oricare ar fi apărut, este inversabilă. Deci, oricare dintre ele satisface acest lucru este inversabil. Atunci unurile au toate norma 1. Deci 1 este egal cu norma un. Și pot scrie asta ca norma A minus plus norma A inversă aplicată la A minus plus norma A, pentru că asta este doar identitatea, aplicată la un. Și aceasta este mai mică sau egală cu norma inversului cu norma acestei cantități. Și deci acesta este un număr fix. Și acest lucru converge către 0. Deci partea dreaptă converge către zero. Dar asta e 1, nu? Am 1 este mai mic sau egal cu 0. Deci este o contradicție. Astfel, A minus sau plus norma lui A-- din nou, minus sau plus corespunde semnului din norma lui A la care converge acea secvență-- nu este inversabilă, ceea ce implică că plus sau minus cel puțin unul dintre acestea este în spectrul lui A. OK, acum, putem, de fapt, să facem ceva mai bine atunci -- pe baza acestui argument, putem face un pic mai bine în delimitarea spectrului unui operator auto-adjunct decât doar legat pe care îl avem provenind din teoria generală. Deci, ce vreau să spun cu asta? Deci, dacă A este un operator mărginit autoadjunct și a-minus este egal cu infimumul peste tot u egal cu 1 Au aplicat la u, a-plus este egal cu sup Au aplicat lui u, atunci spectrul lui A este conținut. Deci, mai întâi, câteva lucruri, două lucruri -- apoi ambele numere sunt în spectrul lui A. Și spectrul este conținut în acest segment de linie. Deci aceasta este o limită mai strânsă, deoarece a-minus este întotdeauna mai mare sau egal cu minus norma lui A doar prin faptul că aceasta este întotdeauna mărginită dedesubt de norma lui A. Și a-plus este întotdeauna mărginită deasupra de norma lui A. , deoarece aceasta este întotdeauna mărginită deasupra de norma lui A. Deci sup va fi mărginită mai sus de aceea. Deci, aceasta este o estimare mai strictă decât doar estimarea obișnuită care spune că spectrul este conținut în intervalul de la minus norma A la norma A. Și, de fapt, obțineți mai multe informații, în care nu trebuie să fie doar unul dintre punctele finale , dar ambele aceste puncte finale sunt în spectru. Deci, dovada acestui lucru este doar un fel de truc de a folosi ceea ce am făcut deja. Deci, mai întâi, rețineți că - din nou, deoarece valoarea absolută a produsului interior Au este întotdeauna mai mică sau egală cu norma lui A, pentru toți vectorii unitari, aceasta implică că această cantitate aici este întotdeauna mărginită mai jos de norma lui A și mărginită. de mai sus prin norma lui A. Și, prin urmare, infimumul acesteia este întotdeauna mărginit de-- deci aceasta este o limită inferioară pentru această cantitate aici. Deci, acest infimum este mai mare decât el, deoarece este cea mai mare limită inferioară. Și cea mai mică limită superioară a acestor cantități este întotdeauna mai mică sau egală cu norma lui A. Deci acestea sunt numere reale pentru unu. OK, acum, prin definiția a-plus sau minus, există secvențe de vectori unitari un-plus sau minus astfel încât A aplicat la un-plus sau minus produsul interior un-plus sau minus converge către a-plus sau minus. Acum, prin argumentul pe care tocmai l-am dat cu a-plus sau minus fiind norma lui A-- dar acum, avem această proprietate, adică un minus a-plus sau minus aplicat la un-plus sau minus, un-plus sau minus converge la 0. Deoarece am această proprietate prin argumentul anterior pe care l-am dat, acest lucru implică faptul că atât a-plus, cât și a-minus sunt în spectrul lui A, deoarece avem pentru fiecare alegere de plus sau minus o secvență de vectori unitari, astfel încât că această cantitate aici merge la 0. Cu un minut în urmă, am putea afirma doar că a existat o secvență de vectori unitari. Deci, pentru cel puțin o alegere de plus sau minus norma lui A, am avut acest lucru care merge la 0. Dar pentru aceste două numere, pentru că este inf și pentru că acesta este sup, putem găsi întotdeauna vectori unitari astfel încât această cantitate converge spre sup, care este a-plus; această cantitate converge către inf, care este a-minus. Deci, prin argumentul anterior, obținem că atât a-plus, cât și minus sunt în spectrul lui A. Din nou, vreau doar să subliniez. Înainte, am putea spune doar că una dintre normele lui A sau plus sau-- cel puțin o alegere dintre plus sau minus norma lui A este în spectru. Aici, spunem că ambele numere sunt în spectru. Deci, acum, ceea ce rămâne este să arătăm că spectrul este, de fapt, cuprins în acest interval de la a-minus la a-plus. Bine, deci să fie b punctul lor de mijloc. Și B este egal cu A minus b ori I. Acum, B este un număr real, deoarece acestea sunt două numere reale. Deci capitalul B este diferența dintre A și-- este A minus un număr real ori identitatea. Deci B este autoadjunct și un operator liniar mărginit pe H. Deci, prin teorema anterioară, obținem că spectrul lui B, ei bine, este conținut în norma lui B-- deci minus norma lui B, norma lui B. Și nu ar trebui să fie nevoie de multă gândire pentru a realiza că, dacă spectrul lui B, care este o deplasare a lui a cu puțin b, este conținut în acest interval, atunci spec. lui A este conținută în minus norma lui B plus mic b, normal B plus b. Deci, acum, ce rămâne este să calculăm norma B, bine? Dar acest lucru nu este prea dificil. Avem că norma lui B-- aceasta este egală cu sup lui u egal cu 1 Bu aplicat la u. Și acum, iau sup peste tot u egal cu 1. Și lasă-mă să introduc ce este A și B este. Și acesta este Au, u minus a-plus minus-- sau a-plus minus a-minus peste 2. Acum, iată imaginea. Iată un minus. Iată un plus. a-plus este sup peste toate aceste expresii unde u are lungimea unitară. a-minus este inf peste toate aceste expresii, unde u are lungimea unitară. a-plus plus a-minus este punctul chiar în mijlocul lor. Deci, care este cel mai mare asta-- sau care este supremul diferenței dintre aceste numere și punctul de mijloc? Ei bine, este distanța dată de distanța de la a-plus la punctul de mijloc, care este egală cu distanța de la a-minus la punctul de mijloc, care este a-plus minus a-minus peste 2. Și deoarece aceasta este norma pentru B , când conectăm asta la ceea ce aveam acum un minut, ajungem la concluzia că spectrul este conținut în a-minus, a-plus. Deci, ca un simplu corolar al ceea ce am făcut, avem această mică afirmație drăguță despre când exact un operator liniar mărginit auto-adjunct este nenegativ. Deci, fie A un operator liniar mărginit auto-adjunct pe un spațiu Hilbert. Atunci pentru tot u, produsul interior Au u este mai mare sau egal cu 0 dacă și numai dacă spectrul lui A este conținut în numerele nenegative. Deci nici nu am de gând să scriu dovada. Am de gând să-mi spun drumul. Deci, să presupunem că produsul interior Au u este nenegativ. Atunci acest număr a-minus este nenegativ. Și, prin urmare, spectrul este conținut în a-minus, a-plus, care este submulțimea numerelor reale nenegative. Pe de altă parte, să presupunem că spectrul lui A este conținut aici. Atunci a-minus, care se află în spectru, trebuie să fie în mulțimea numerelor reale nenegative. Și, prin urmare, produsul interior Au u trebuie să fie întotdeauna nenegativ, deoarece a-minus este inf peste toate acestea. Așa că acum, vom trece la teoria spectrală nu doar pentru operatori auto-adjuncți, ci și pentru operatori auto-adjuncți care sunt și compacti. Din nou, un exemplu natural este dat de inversul luării derivatei a doua împreună cu necesitatea 0 la punctele finale, acest operator pe care l-am dat data trecută. Acesta este un auto-adjunct mărginit-- sau un operator auto-adjunct compact. Deci se aplică toată teoria spectrală pe care am dezvoltat-o ​​pentru asta. Și spectrul pentru acel operator ajunge să fie 1 peste valorile proprii corespunzătoare u-duble prim este egal cu lambda-- este egal, să zicem, mu ori u cu 0 la punctul final. Și veți vedea asta în sarcină. Sau poate o voi face ca exemplu. Așadar, acum, trecem la teoria spectrală pentru operatori auto-adjuncți compacti, care este unul dintre cele mai complete lucruri -- sau clasă de operatori despre care putem spune cel mai mult când vine vorba de spectru. Și voi continua și vă voi oferi o previzualizare a ceea ce putem spune despre spectrul acestor operatori, că acesta nu constă în esență din nimic altceva decât valori proprii, cu posibila excepție a faptului că 0 este un punct de acumulare al valorilor proprii. Deci ceea ce vom demonstra este că spectrul unui operator auto-adjunct compact constă din valorile proprii ale acestui operator împreună cu posibil 0. Și 0 poate fi sau nu o valoare proprie. Dacă nu este o valoare proprie, atunci este limita valorilor proprii. Și, de fapt, implicit în această afirmație este că spectrul este, de fapt, numărabil pentru un operator auto-adjunct compact. Deci de ce să ne așteptăm la asta? Sau de ce să ne așteptăm la o imagine atât de completă? În cele din urmă, vom demonstra, de asemenea, că puteți găsi o bază pentru H constând în întregime din vectori proprii ai operatorului A, care este, din nou, o generalizare la dimensiuni infinite a ceea ce sperăm că ați văzut în dimensiuni finite. Dar dacă nu ați făcut-o, dovada noastră se va aplica în continuare dimensiunilor finite. Așadar, de ce ar trebui să se aplice operatorii auto-adjuncți compacti dacă crezi asta pentru dimensiuni finite? Ei bine, pentru că, din nou, operatorii auto-adjuncți compacti sunt limita normală a operatorilor cu rang finit, bine? Și operatori de rang finit, din nou, aceștia corespund practic matricilor. Știm cum să calculăm valorile proprii ale matricelor. Pentru operatorii cu rang finit , aceștia ar putea avea un spațiu nul foarte mare, ceea ce înseamnă că valoarea proprie 0 ar putea avea un spațiu propriu foarte mare. Dar acesta este motivul pentru care vă așteptați ca lucrurile să se transfere la setarea operatorilor auto-adjuncți compacti din ceea ce cunoașteți în dimensiuni finite. OK, deci aceasta nu este atât o definiție, cât doar o notație. Dacă A este un operator liniar mărginit, voi desemna E lambda ca fiind spațiul nul al lui A minus lambda-- cu alte cuvinte, mulțimea de-- sau subspațiul vectorilor proprii cu valoare proprie lambda, care, din nou, este mulțimea de u în H astfel încât A minus lambda u este egal cu 0. Așadar, mai întâi, înainte de a trece la clasificarea spectrale-- sau spectrul unui operator auto-adjunct compact ca fiind practic constând din valori proprii împreună cu 0, vom da mai întâi câteva fel de proprietăți generale ale valorilor proprii în general pentru un operator auto-adjunct compact. Deci avem următoarea teoremă care presupune că A-stea în A este un operator auto-adjunct compact. Atunci câteva lucruri -- dacă lambda nu este egală cu 0 este o valoare proprie a lui A, atunci dimensiunea lui E lambda, spațiul propriu, subspațiul liniar al tuturor vectorilor care sunt vectori proprii ai lui A, aceasta este finită. Deci, pentru o valoare proprie dată, dimensiunea spațiului propriu este finită. Al doilea este că dacă iau două valori proprii diferite, spațiile proprii corespunzătoare sunt perpendiculare între ele. Lambda 1 nu este egală cu lambda 2. Pentru valorile proprii ale lui A, atunci E lambda 1, E lambda 2 sunt ortogonale sau perpendiculare. Fiecare element din E lambda 1 este ortogonal cu fiecare element din E lambda 2 și invers. Și în sfârșit, mulțimea de valori proprii diferite de zero ale lui A este fie finită, fie numărabilă. Dacă este numărabil, adică este dat de o secvență lambda n, atunci acestea-- sau dacă este numărabil infinit, ar trebui să spun-- și ar fi trebuit să spun aici numărabil infinit. Dacă este infinit infinit, atunci valorile proprii converg către 0. În special, acest lucru implică faptul că, dacă am un operator auto-adjunct compact cu infinit de valori proprii, atunci 0 este în spectrul acestui operator deoarece spectrul este o mulțime închisă. Deci limitele de întreprindere sunt închise. Și din moment ce acestea sunt în spectru, limita trebuie să fie în spectru. În regulă, deci dovada lui 1 - să presupunem că am o valoare proprie diferită de zero. Și spre contradicție, E lambda nu este dimensional finit. Apoi, ceea ce pot face -- prin procesul Gram-Schmidt , atunci există o secvență sau o colecție numărabilă un, elemente ortonormale în E lambda. Deci fiecare element din secvență are lungimea unitară. Și este ortogonal cu orice alt element din secvență. Acum, deoarece A este un operator compact și toate acestea au lungimea unitară, rezultă că A aplicat la un este conținut - aceasta este o secvență într-o mulțime compactă, nu? Deci are o subsecvență convergentă-- Au nj, j. Atunci Au nj este Cauchy. Dar să ne uităm de fapt la care este diferența dintre două dintre acestea în normă. Să-l facem pătrat. Acest lucru este egal cu norma de, deoarece acestea sunt valori proprii, lambda un j minus lambda un k pătrat, care este egal cu-- pătrat, care este egal cu 2 lambda pătrat, care este un număr fix care este pozitiv deoarece lambda nu este egal cu 0. Oh, Am lăsat o parte din... OK, deci ce înseamnă asta? Acest lucru implică faptul că distanța dintre orice-- deci aceasta este-- dacă iau oricare două elemente din această subsecvență, distanța lor este o constantă egală cu de 2 ori lambda pătrat. Și, prin urmare, acesta nu este Cauchy, ceea ce este o contradicție. Ceea ce am uitat să spun-- reformularea teoremei-- iartă-mă, este sfârșitul unei zile lungi-- este că valorile proprii trebuie să fie reale pentru operatorii compacti auto-adjuncți sau chiar pentru operatorii auto-adjuncți. Așa că l-aș fi putut include mai devreme. Deci valorile proprii ale unui operator auto-adjunct trebuie să fie reale. De ce este asta? Deoarece dacă am ceva cu norma 1-- deci dacă lambda este o valoare proprie, vine cu un vector propriu u cu lungimea 1, astfel încât Au să fie egal cu lambda u. Desigur, trebuie doar să fie un u diferit de zero. Dar îl pot normaliza împărțind la lungimea sa. Și, prin urmare, obțin acel lambda, care este egal cu lambda u produsul interior u-- aceasta este norma pentru u pătrat, care este 1 lambda u, u. Și acest lucru este egal cu conjugatul complex - sau să nu facem asta. Acesta este egal cu Au, u care este egal cu -- iau A și devine A-stea u. Dar steaua A este egală cu A, așa că primesc u, Au, deoarece A este autoadjunctă. Și aceasta este egală cu u, lambda u. Și amintiți-vă, produsele interioare sunt conjugate liniare în a doua intrare. Deci această lambda iese, dar acum conjugată complexă. Deci lambda-- așa că am arătat că conjugatul complex este egal cu numărul original. Deci lambda trebuie să fie un număr real. Toate, în regulă, demonstrează partea 1 că valorile proprii ale unui operator auto-adjunct trebuie să fie reale. Și spațiile proprii, care este ceea ce tocmai am început să numesc E lambda, spațiul propriu, trebuie să aibă dimensiuni finite pentru un operator auto-adjunct compact . OK, deci acum, haideți să arătăm că spațiile proprii distincte trebuie să fie ortogonale între ele. Să presupunem că lambda 1 nu este egal cu lambda 2. u1 este în E lambda 1. u2 este în E lambda 2. Deci, acum, ceea ce aș dori să arăt este că produsul interior al lui u1 cu u2 este egal cu 0. Și merge să fie un truc, cam așa cum tocmai am făcut aici. Lambda 1 ori u1, u2, aceasta este egală cu lambda 1 u1, u2. Acesta este egal cu A aplicat la u1, u2. Și acum, îl mut pe A aici pentru că A este auto-adjunct. Și A aplicat la u2 - deci u2 este în al doilea spațiu propriu. Deci, acesta este egal cu u1 lambda 2 u2. Și pentru că lambda 1 și lambda 2 trebuie să fie numere reale -- ceea ce am făcut din prima parte -- acest lambda 2 iese până la capăt și rămâne el însuși, fără un conjugat complex, deoarece este egal cu conjugatul său complex. Și așa am început cu lambda de 1 ori produsul intern al u1, u2. Și am ajuns să am un produs interior lambda 2 u1 cu u2. Prin urmare, lambda 1 minus lambda de 2 ori produsul interior al lui u1 minus-- sau produsul interior al lui u1 cu u2 este egal cu 0. Și lambda 1 -- amintiți-vă, presupunem că lambda 1 și lambda 2 sunt diferite de zero-- sau nu egali. Deci această cantitate de aici este diferită de zero. Așa că am obținut că u1, u2 este egal cu 0. Și asta e... nu, nu este sfârșitul. Acesta este sfârșitul numărului 2, dar nu sfârșitul demonstrației acestei teoreme. În regulă, deci vom demonstra ultimul lucru, că mulțimea de valori proprii diferite de zero este fie finită, fie numărabilă și că, dacă le aranjez într-o secvență, atunci șirul converge la 0. OK, deci doar pentru a au o notație care rulează -- capital lambda, permiteți- mi să desemneze acele valori proprii diferite de zero. În regulă, ceea ce aș dori să pretind -- sau ceea ce voi arăta este că dacă lambda n este o secvență de elemente distincte - sau valori proprii distincte, valori proprii diferite de zero ale lui A, atunci acestea converg la 0 Deci asta ne dă... desigur, deci setul de valori proprii diferite de zero poate fi finit. Amenda. Să presupunem că nu este, bine? Acum, suntem doar în situația în care A are infinite de valori proprii. Dacă pot dovedi această afirmație, atunci am dovedit două lucruri deodată. Am demonstrat atât că mulțimea de valori proprii diferite de zero este infinită numărabil, presupunând că este infinit, și ele converg către zero. Deci, de ce asta-- Deci, în primul rând, dacă putem arăta că această lambda capitală este numărabilă, atunci această afirmație implică apoi că-- sau infinit numărabil, atunci această afirmație îmi spune că valorile proprii converg către 0, care este ultimul lucru Vreau. Deci tot ce trebuie să arăt este că acest lucru este numărabil folosind această afirmație. Acum, de ce arată asta că lambda capitală este numărabilă? De atunci, dacă definesc sub capitalul lambda N ca fiind mulțimea de valori proprii diferite de zero, care sunt, să spunem, chiar mai mari sau egale cu 1 peste N, aceasta trebuie să fie o mulțime finită, nu? Dacă ar fi infinit, atunci aș putea găsi o secvență de elemente distincte aici și să obțin-- sau ar trebui să spun, atunci pot găsi o subsecvență-- sau să aștept. Lasă-mă să mă opresc un minut. Deci afirmația mea este că aceasta este finită pentru tot N, ceea ce implică faptul că lambda, care este uniunea dintre-- este numărabilă. OK, deci presupunând această afirmație sau presupunând ce am scris aici, că acest lucru este finit pentru tot N, asta implică că este numărabil, este clar. Deci, de ce primesc acest lucru ca fiind finit, acest set este finit presupunând această afirmație? Ei bine, dacă acest set este infinit, atunci pot alege o secvență de elemente distincte în lambda sub N care converge. Aș putea să iau orice șir și apoi să iau o subsecvență convergentă pentru că acea secvență trebuie să fie mărginită între 1 peste N și norma lui A. Dar, deoarece toate sunt mai mari sau egale cu 1 peste N, acea secvență trebuie să convergă. la ceva care este diferit de zero. Dar asta ar contrazice afirmația - din nou, presupunând că afirmația este adevărată. Nu am demonstrat încă, bine? Deci, din nou, din această afirmație, putem concluziona că fiecare dintre aceste mulțimi este finită pentru toate N. Și, prin urmare, mulțimea de valori proprii diferite de zero este numărabilă. Și dacă este infinit infinit, atunci, din nou, din această afirmație, tragem concluzia că valorile proprii trebuie să convergă la 0 atunci când le aliniez într-o secvență. Deci întreaga dovadă se reduce doar la demonstrarea acestei afirmații. OK, deci pentru a dovedi afirmația, să fie un vectori proprii asociați. Deci acestea au unități de lungime. Și pentru toate n, A un este egal cu lambda n un, nu? Avem valori proprii. Deci putem găsi vectori proprii cu lungimea unitară. Acum, atunci lambda n, care este egal cu-- sau valoarea absolută a lui lambda n este egală cu valoarea absolută a lambda n-- sau norma lambda n aplicată la-- sau ori un, care este egală cu norma de A aplicat la un. Deci, ceea ce voi arăta este că A aplicat la un converge către 0. Deci, dacă doriți, aceasta este afirmația finală pe care trebuie să o fac. Demonstrați că aceasta este revendicarea 1. Revendicarea 1 va decurge din revendicarea 2 în acest mic calcul chiar aici, unde revendicarea 2 este că norma lui A aplicată la un-- din nou, un sunt vectori proprii cu lungimea unității corespunzătoare convergenței lambda n la 0. Deci faptul că A aplicat acestor vectori unitari converge către 0 nu este specific doar vectorilor proprii cu valori proprii distincte. Este doar o proprietate a compactității lui A și a faptului că unitățile sunt în succesiune ortonormală. Toate au lungimea unitară. Și orice element din secvență este ortogonal cu un alt element din secvență. Deci să presupunem că nu. Să presupunem că revendicarea 2 nu este valabilă. Apoi, negați definiția convergenței, există un epsilon pozitiv. Și putem găsi o subsecvență A unj astfel încât pentru tot j, lungimea lui A unj este mai mare sau egală cu epsilonul 0. Dacă vă uitați la definiția lui-- sau la definiția convergenței la 0 și apoi o anulați, puteți trageți concluzia că puteți găsi o subsecvență, astfel încât să am asta. Deci există un epsilon 0 rău, astfel încât să am asta. În regulă, deoarece A este un operator compact, există o altă subsecvență. Și permiteți-mi să-l numesc e sub k, care este un sub j sub k-- unj-- astfel încât-- deci amintiți-vă, A aplicat la un sub j-- deci un sub j este un vector de lungime unitară. Și, prin urmare, A aplicat acestuia este conținut într-o mulțime compactă, presupunând că A este un operator compact. Deci, aceasta trebuie să aibă o subsecvență convergentă astfel încât A aplicată la ek converge în H. Și rețineți că Aek, deoarece aceasta este doar o subsecvență a acestei secvențe, este mai mare sau egal cu epsilon 0 pentru toate k. Acum, deoarece ek-urile sunt o subsecvență a unei secvențe ortonormale, este încă o secvență ortonormală. Așadar, rețineți, pentru toate k nu sunt egale cu l produsul interior ek el, care este unk până când este egal cu 0. Și ceea ce folosesc aici - deci, desigur, aceștia sunt toți vectori unitari. De ce sunt ortogonale? Se datorează faptului că ele corespund unor valori proprii distincte, valori proprii diferite de zero. Și am dovedit că... acesta era numărul 2, că... era numărul 2? Da, că vectorii proprii pentru valori proprii distincte sunt ortogonali unul față de celălalt. Deci, presupunând negația revendicării 2, care ar demonstra revendicarea 1 și ar termina demonstrația întregii teoreme, concluzionez că există o succesiune de vectori proprii, vectori proprii ortonormali ai lui A, astfel încât Aek este întotdeauna mărginit mai jos în normă de epsilon 0. Și această secvență converge. Deci, să fie f limita pe măsură ce k merge la infinitul lui Aek. Atunci norma lui f, prin continuitatea normei, este egală cu limita normelor ek-urilor. Și toate acestea sunt mai sus-- mai mari sau egale cu epsilonul 0. Deci f este diferit de zero, nu? De fapt, putem spune puțin mai mult. Atunci de fapt... să vedem. Deci acestea sunt un fel de informații inutile pe care am omis. Nu am scris ce am vrut. Dar atunci... ei bine, nu, încă am nevoie de asta. Nu, lasă-mă să nu scap de asta. Deci asta ar trebui să fie încă acolo. Deci norma lui f este mai mare sau egală cu epsilonul 0. Deci norma lui f pătrat este mai mare sau egală cu epsilonul 0 pătrat. Deci f produsul interior f-- și prin continuitatea produsului interior, acesta este egal cu-- deoarece Aek-ul se convertește la f, voi obține f aici. Și folosind faptul că A este autoadjunct, acesta este egal cu ek, Af. Deci am că această limită aici nu este negativă. Adică, este un număr real. Și este mai mare sau egal cu epsilon 0 pătrat. Acum, aici este problema. Am aici o secvență de vectori ortonormali, nu? Și știu că suma pătratelor acestor coeficienți Fourier, care sunt coeficienți Fourier pentru A aplicați la f, sunt -- suma pătratelor este finită. Și, prin urmare, aceasta trebuie să meargă la 0. Și aceasta este contradicția cu epsilonul 0 pătrat. Deci, prin Bessel, inegalitatea lui Bessel, obținem acea sumă peste k norma ek, Af pătrat, aceasta este mai mică sau egală cu norma Af pătrat, care este finită. Și deoarece aceasta este o serie convergentă, termenii individuali trebuie să convergă la 0. Și, prin urmare, acesta este egal cu 0. Dar aceasta și aceasta sunt o contradicție. OK, deci termină demonstrația acestei teoreme despre valorile proprii și spațiile proprii pentru un operator auto-adjunct compact. Bine, deci cred că ne vom opri aici.