[SCRÂȘIT]
[FOSȘIT] [CLIC]
PROFESOR: Sfârșitul
secțiunii de fotogrammetrie.
Vom vorbi doar pe scurt despre
orientarea exterioară, care
este al patrulea dintre
subiectele fotogrametrice despre care
vorbim.
Deci despre ce este vorba?
Acest lucru este cel mai bine
ilustrat gândindu-ne
la o dronă care zboară deasupra
unor terenuri despre care
avem un model detaliat.
Deci știm unde sunt punctele într-
un sistem de coordonate global.
Și avem o
proiecție în perspectivă a camerei.
Primim imagini ale
acestor trei puncte.
Și întrebarea
este, unde suntem?
Deci p1, p2, p3 sunt cunoscute.  Să
presupunem că
centrul de proiecție este p0.
Asta vrem să găsim.
Și am dori, de asemenea,
să găsim atitudinea
unui avion în lume.
Deci este același lucru vechi,
rotație plus translație,
cu excepția cazului acesta, avem un
amestec de informații 2D și 3D.
Coordonatele punctelor
din lume sunt date în 3D.
Deci avem un model de teren.
Punctele corespunzătoare
din imagine sunt în 2D.
Deci, să vedem.
O întrebare
imediată este, de câte
corespondențe avem nevoie?
Deci știm că
căutăm șase grade de libertate.
Și așadar, o întrebare este, cât de
mult contribuie fiecare punct de imagine
?
Câtă constrângere
oferă?
Deci avem imagini cu...
deci iată imaginea noastră.
Avem trei puncte.
Și în mod naiv, putem
spune că de fiecare dată când
măsurăm unde
este ceva în imagine,
avem x și y, deci două
numere, două constrângeri.
Și astfel, cu trei dintre ele, ar
trebui să avem suficiente constrângeri
pentru a rezolva problema.
Deci avem nevoie de trei sau mai multe.
Și în acest caz, acel
argument naiv este de fapt corect.
Avem nevoie doar de trei.
Și această problemă,
cred, nu
știu dacă Biserica a fost
prima care a rezolvat-o.
Sau, în orice caz, a scris-o
într-un manual.
Nu știu, anii 1950.
Deci este o veche
problemă fotogramatică bine cunoscută.
Desigur, oamenii cu viziune artificială
nu au citit aceste lucruri.
Și au reinventat
toată fotogrammetria.
Și au făcut de fapt
o treabă proastă, au venit
cu ceva numit
geometrie proiectivă, de exemplu.
Deci, oricum, ne întoarcem la
rădăcini, care este fotogrammetrie.
OK, acum un lucru pe care l-ai
putea spune este să
presupunem că nu-mi pasă
de atitudine.
Atunci am doar trei
grade de libertate.
Pot rezolva problema asta?  Ei
bine, din păcate,
acestea sunt cuplate.
Deci nu puteți trișa
și doar rezolvați
pentru variabilele pe care le doriți.
OK, deci ce știm?  Ei
bine, să presupunem că
orientarea interioară este cunoscută.
Deci asta înseamnă că x0,
y0, f sunt cunoscute.
Și atunci când avem un
punct dat în imagine,
putem doar conecta
punctul de imagine la centrul de proiecție.
Și avem o rază în spațiu.
Și știm că obiectul
se află de-a lungul acelei raze în spațiu.
Și avem acea rază în
sistemul de coordonate al camerei,
nu?
Deci cu originea în
centrul proiecției și așa mai departe.
Bine, deci dacă avem
aceste trei raze,
este ca și cum am avea trei bastoane.
Și încerci să
aranjezi ca bastoanele
să treacă prin trei
puncte în lumea 3D.
Deci vă deplasați în jurul poziției
centrului de proiecție
până când se întâmplă asta.
Asta facem.
Deci, dacă avem razele,
putem calcula aceste unghiuri, deci
cele trei unghiuri.
OK, deci acestea sunt cunoscute.
Odată ce avem punctele noastre de imagine,
putem construi acele raze.
Și astfel putem doar să luăm
produsele punctate pentru a obține cosinusul.
Și putem lua
produsul transversal
și luăm mărimea
acestuia pentru a obține sinusul.
Și asta ne dă a--
8 și 2 ne vor permite
să calculăm unghiurile.
OK, așa că le știm.
Deci ce nu știm?  Ei
bine, ceea ce nu
știm este lungimea
acestor picioare ale trepiedului.
Deci, o modalitate prin care ne putem
gândi la asta
este că sarcina noastră aici
este să găsim r1, r2, r3.
Și nu am terminat
odată ce avem r1, r2, r3.  Dar cam am
terminat.
Pentru că atunci putem construi p0
prin intersectarea a trei sfere,
nu?
Deci, dacă știm r1,
știm că planul
se află pe o sferă cu raza
r1 în jurul punctului p1.
Știm r2.
Știm că este pe o sferă cu
raza r2 în jurul punctului p2.
Și două sfere
se intersectează într-un cerc.
Deci nu am terminat.
Nu prea am
rezolvat problema.
Așa că atunci îl luăm pe al treilea.
Există o sferă cu
raza r3 despre p3.
Intersectăm acel
cerc cu acea sferă.
Și obținem
de obicei două soluții.
Deci există o potențială ambiguitate.
Dar, practic,
atunci avem soluții.
Și dacă avem mai mult de
trei puncte,
putem rezolva ambiguitatea.
Puteți vedea, de asemenea, că va
exista o oarecare ambiguitate doar
gândindu-vă la, să presupunem că
avem lungimea acelor trei
trepiede.
Există o altă
poziție decât cea pe care
am arătat-o, unde acele lungimi
ar fi exact aceleași?
Deci gândește-te să muți acel
avion în altă parte.
Pretindem că,
cu trei,
avem o soluție, eventual,
totuși, mai mult de o soluție.
Deci lucrați cu planul B.
Și acele lungimi ar
fi în continuare aceleași ca și acolo.  Ei
bine, dacă îl mișc
puțin, nu va funcționa.
Pentru că atunci voi da peste
cap una
sau alta dintre aceste lungimi.
Dacă îl mut spre stânga,
măresc r3 și scad r1.
Dar imaginați-vă că
zburăm pe pământ.
Apoi putem avea o imagine în oglindă
a poziției avionului.
Și obținem exact aceleași
trei lungimi pentru trepied.
Deci, dacă desenăm planul care
conține p1, p2, p3 și ne gândim
la acesta ca la o oglindă, apoi ne
imaginăm în oglindă acel plan, atunci
acesta are aceeași lungime.
Acum, desigur, aceasta este o
modalitate de a dezambigua.
Pentru că de obicei, avioanele
nu zboară pe sol.
Așa că o putem rezolva așa.
De asemenea, există o problemă legată de
ordinea ciclică a imaginilor
care ar fi
diferită dacă am
privi-o de dedesubt.  E
ca și cum ai privi niște
scrisuri din partea greșită.
Este imagine în oglindă.
Și la fel și aici, dacă ne uităm
la ea din poziția imaginii în oglindă
a avionului în sus,
totul este o imagine în oglindă.
Așa că o putem rezolva așa.
Deci, dacă avem doar
două soluții,
atunci putem scăpa cu ușurință
de cea problematică
folosind un astfel de argument.
OK, deci cum
găsim r1, r2, r3?  Ei
bine, înainte existau
cărți pline de formule
de soluții triunghiulare.
Deci, dacă știi o latură
și două dintre unghiuri,
sau dacă știi două dintre
laturi și un unghi,
tot felul de combinații.
Și de ce s-a făcut asta?  Ei
bine, pentru că era
important pentru navigație.
Și a fost important
pentru sondaj.
Așa că oamenii obișnuiau să știe aceste
lucruri, dar nu atât de multe
acum.
Deci sunt în
anexa cărții.
Și anexa este pe Stellar.
De exemplu, există
o regulă a sinusurilor,
care este doar că a peste
sinus a este b peste sinus b.
Și există regula cosinusului.
Practic, acestea sunt
singurele două de care aveți nevoie.
Puteți rezolva toate aceste
probleme folosind aceste două reguli.
Uneori este convenabil să
aveți unele dintre celelalte reguli.
Pentru că fac
munca mai scurtă.
OK, deci problema noastră este că
avem acest unghi.
Noi stim aia.
Ce mai știm?  Ei
bine, dacă avem
modelul digital de teren,
atunci știm această distanță.
Putem calcula asta în mod similar
pentru acela și așa mai departe.
Deci, în acest triunghi,
știm acel unghi.
Și știm această distanță.
Și întrebarea este,
ce este r1 și r2?  Ei
bine, acestea nu sunt
suficiente informații
pentru a le rezolva folosind
regula sinusului sau cosinusului.
Dar putem scrie o
ecuație care implică
necunoscutele, r1 și r2, și
toate aceste mărimi cunoscute.
Și nu o voi face.
Pentru că s-ar putea să
apară în test.
Deci rezultatul va
fi că
avem trei dintre aceste triunghiuri.
Obținem câte o ecuație
din fiecare dintre ele.
Deci vom
avea trei
ecuații neliniare în cele trei
necunoscute, r1, r2, r3.
Și apoi putem
vorbi despre rezolvare.  S-
ar putea să nu fie ușor să
găsești o soluție în formă închisă.
Dar măcar putem vorbi
despre câte soluții ar
putea exista.
Și numeric putem
rezolva întotdeauna această problemă.
Bine, acesta este r1, r2, r3.
Și apoi, așa cum am
spus, mai trebuie
să intersectăm acele sfere, deci
puțină algebră acolo.
Și apoi avem
poziția avionului.
Dacă avem mai multe vederi,
mai multe corespondențe,
este întotdeauna mai bine.
Apoi putem formula
problema celor mai mici pătrate.
Și dacă ne îngrijorează valorile
aberante, putem folosi sachetul.  Să
presupunem că avem 10
corespondențe.
Apoi am putea alege
trei corespondențe
pentru a obține o soluție, să
luăm un set diferit
de trei corespondențe pentru a
obține o soluție și așa mai departe.
Și așa am făcut toate
acestea în alte contexte.
Așa că nu vreau să fac asta.
Deci ce a mai ramas?  Ei
bine, ceea ce a mai rămas este
găsirea atitudinii.
Ce este atitudinea?  Ei
bine, înseamnă că este
orientarea în
raport cu
sistemul de coordonate de la sol.
Deci
trebuie să găsim o rotație.  Ei
bine, treaba este că odată ce
știm unde este planul,
centrul
proiecției p0, atunci
putem construi
acești vectori în 3D
în sistemul de coordonate de la sol.
Doar scădeți p0 minus
p1 sau p1 minus p0
și p2 minus p0 și p3 minus p0.
Deci putem construi
trei vectori.
De exemplu, am putea spune...
Și asta scapă
de traducere.  Pe
noi ne interesează doar
direcțiile.
Dar știm și acești
vectori în
sistemul de coordonate al camerei.
Deci, pe baza
pozițiilor imaginii de aici,
le conectăm
până la centrul
de proiecție,
care este originea
în cazul camerei.
Și obținem trei vectori
în acel sistem de coordonate.
Deci ei corespund -- trei
vectori din
sistemul de coordonate al camerei cu cei trei
vectori din sistemul de coordonate mondial
.
Deci este o
constrângere destul de grea.
Asta înseamnă că ar
trebui să fim capabili să relaționăm
cele două sisteme de coordonate.
Și știm că am
scos traducerea.
Deci tot ce a mai rămas
este o rotație.
Și așadar, în funcție
de drumul pe care îl mergem,
suntem interesați de o
transformare de la
sistemul de coordonate al camerei în
sistemul de coordonate mondial
sau de la sistemul de coordonate mondial
la
sistemul de coordonate al camerei?
Dar vom ajunge
cu așa ceva.
Acum, desigur, acești vectori
pot avea lungimi diferite,
dacă facem doar
aceste scăderi.
Ne interesează doar
direcția, deci vectori unitari.
Și așa... ne așteptăm la asta.
Și așa cum am spus, ar putea merge
invers de la
sistemul de coordonate mondial
la cel al camerei.
Deci avem trei
ecuații ca aceasta.
Și ceea ce căutăm este r.
Și să o reprezentăm ca o
matrice ortonală, în acest caz.  Ei
bine, putem lipi aceste
trei ecuații împreună
într-o ecuație matriceală, nu?
Deci avem... acum, toate
aceste lucruri sunt acum cunoscute.
Avem
orientarea interioară a camerei.
Și așa știm cum să
construim cei trei
vectori de la
centrul de proiecție
la cele trei poziții ale imaginii.
Și am calculat
unde este p0.
Deci avem cei
trei vectori.
Și ce este asta?  Ei
bine, aceasta este o
matrice de trei câte trei.
Și aceasta este o matrice de trei câte trei
, a cărei prima coloană
este vectorul A1.  A
doua coloană este A2.  A
treia coloană este A3.
Deci avem un produs și
toate matricele trei câte trei.
Și putem rezolva doar pentru
r inversând unul dintre ele,
deci foarte simplu.
Întrebarea interesantă este,
este și rezultatul normal?
Așa că o voi lăsa o
întrebare fără răspuns.
OK, da.  Se
află în
sistemul de coordonate al camerei.
Deci este p1 prim, p2
prim și P3 prim.
Deci A1 este p1 prim.
Pentru că în acest
sistem de coordonate,
cealaltă parte este
proiecția centrală a acestei origini, 000.
Scădere prim.
Deci aceasta este raza până la acel punct
din mediu așa cum se vede
în sistemul de coordonate al camerei.
Și așa cum am spus, știți,
acesta este cazul minim.
Avem doar trei
corespondențe.
În practică, ne-am dori să
avem mai mult, să obținem o precizie mai bună.
Și apoi folosim cele mai mici pătrate.
Și nu mai există
o soluție în formă închisă.
Dar putem folosi asta
pentru a începe.
Alegeți doar trei dintre răspunsuri,
trei dintre corespondențe,
pentru a obține o
estimare inițială, apoi
aveți o iterație care
minimizează erorile celor mai mici pătrate
.
Doar asigurați-vă că ceea ce
minimizați este în planul imaginii.
Pentru că aici se
află eroarea de măsurare,
nu o altă arbitrară.
Deci există asta.
Acum, să presupunem că vreau să spun, acesta
nu trebuie să fie un avion.  Ar
putea fi vreo
cameră turistică în...
nu știu... vreo
piață faimoasă undeva în lume.
Și poate mai e un
turist cu o cameră.
Și deci există o
problemă legată.
Deci, aici este o poziție a camerei.
Și iată o
sculptură faimoasă, o catedrală, orice altceva.
Și iată o altă
poziție a camerei.
Iată o altă cameră.
Și ar putea fi
sute de acestea.
Și poate că ați văzut
rezultatele acestui lucru.
Și în acest caz,
facem ceva
numit o ajustare a pachetului.
Și din nou, aceasta este o veche
problemă de fotogrammetrie, pe
care oamenii de viziune artificială
au redescoperit-o și din care au făcut-o
.
Dar în cele din urmă au înțeles
bine.
Și deci care este problema?  Ei
bine, este o
optimizare neliniară.
Și metoda pe care am
propus-o, despre care am vorbit,
Levenberg-Marquardt,
este una bună
pentru a rezolva
probleme de optimizare neliniară.
Deci care sunt necunoscutele?  Ei
bine, necunoscutele
sunt un set de puncte
din mediul înconjurător al cărora s-
ar putea să aveți mai multe vederi.
Și nu știm de unde
să înceapă.
Și așadar, o parte a
problemei este găsirea
locului în care se află într-un
sistem de coordonate mondial.
Ce altceva este necunoscut?  Ei
bine, un alt
lucru care este necunoscut
este că nu știm
unde sunt camerele.
Deci trebuie să permitem
camerelor să se miște.
Acestea sunt necunoscute.
Și apoi, ei bine, camerele
au o atitudine în spațiu.
Deci există o rotație.  O să
scriu doar așa.
Așa că modificăm lucrurile pentru a face
erorile cât mai mici posibil.
Și din nou, erorile sunt
erorile din imagine,
nu din 3D.
Si ce altceva?
Ei bine, în cele mai multe
cazuri, nu știm
care sunt proprietățile camerei.
Așa că trebuie să facem și
orientarea interioară
și poate, dacă
doriți să fiți precis,
o anumită toleranță pentru
distorsiunea radială.
Deci, presupunând că avem
o presupunere inițială,
atunci este doar o
chestiune de a o pompa
în această
cutie neagră, care minimizează
eroarea prin modificarea tuturor
acestor parametri, o mulțime
de parametri.
Dar, probabil, ai o
mulțime de constrângeri, o
mulțime de imagini.
Și astfel oamenii au făcut
reconstrucții incredibile
ale tot felul de lucruri
și nu neapărat
din mai multe camere,
ci de exemplu,
o cameră care zboară pe o dronă.
Deci există niște vulcani
în zona riftului african
care sunt foarte rar vizitați.
Și cineva a zburat cu o
dronă peste unul dintre ele
și a făcut o reconstrucție 3D completă foarte detaliată

a formei actuale a
calderei de pe acel vulcan.
Și aceasta este metoda.
Așa că atunci când
zbori cu drona,
nu știi exact
unde ești.
Dar știi aproximativ.
Și asta ajută la
pornirea soluției.
Deci, de fiecare dată când aveți această
optimizare neliniară,
doriți să fiți aproape de
soluție sau s-
ar putea să fiți absorbit de
minime locale care
nu sunt soluția globală.
OK, există un lucru

despre care nu am vorbit prea mult, și
anume cum
găsești aceste puncte interesante?
Am vorbit în
detaliu despre cum să găsim marginile.
Nu am spus prea multe
despre punctele interesante.
Dacă doriți, există o
resursă online pe Stellar
care descrie una dintre
câteva metode care fac asta.
Și este de Lowe,
care a fost tipul care
a brevetat metoda originală.
Și de atunci, au existat o
mulțime de metode alternative
care nu încalcă brevetul
și sunt mai rapide și poate nu la fel de
precise, sau
poate mai precise.
Există o întreagă
industrie care vine
cu identificarea zonelor
care ar putea fi
ușor de găsit din nou
într-o altă imagine
și descriind acele zone.
Ca să poți face o
potrivire bună și să le regăsești
într-o altă imagine.
OK, deci este
ajustarea pachetului pentru scurt timp.
Adică, există o
întreagă industrie în asta.
Dar avem toate elementele de bază.
Trecând prin toate
celelalte probleme de fotogrammetrie,
am dezvoltat toate instrumentele de care
aveți nevoie pentru a implementa
așa ceva.
OK, schimbă subiectul.
Așa că ne-am făcut drumul la
chestii de nivel scăzut, filtrare,
aliasing, subeșantionare,
detectarea marginilor și așa mai departe.
Și apoi am făcut
fotogrammetria.
Am lucrat și
în 2D cu privire la recunoașterea
și determinarea
poziției și atitudinii.
Deci, hai să încercăm să facem asta în 3D.
Și, evident, nu
va fi la fel de bun.
Dacă aveți Robot Vision,
acesta este capitolul 16.
Dar nu aveți nevoie de Robot Vision.
Pentru că există o
resursă online special
pe acest subiect numită
Extended Gaussian Images.
Deci ce încerci să faci?  Ei
bine, încercăm să
descriem obiecte 3D.
Dacă obiectul 3D este poliedric,
nu este atât de greu,
multe
reprezentări interesante.
Putem obține coordonatele
vârfurilor
și apoi construi
un grafic care arată
care vârfuri sunt
conectate la ce,
și apoi poate vorbim
despre fețe.
Și fiecare față este
conectată la vârfurile
de pe acea față din grafic
și la marginile feței.
Și fiecare muchie este legată
de cele două vârfuri
și de cele două fețe
care se unesc.
Așa că vă puteți imagina o soluție drăguță,
tipică, informatică care
implică o
structură de date conectată.
Deci poliedrele nu sunt
atât de dificile.
Deci nu vom spune
prea multe despre ei.
Și într-un
mod derogatoriu, au fost
numite blocuri probleme ale lumii,
precum blocurile pentru copii.
Deci de acolo am
început în anii ’60.
Și sperăm că am
progresat departe de asta.
Deci ce alte
reprezentări putem avea?  Ei
bine, ne uităm la grafică.
Și de obicei
vor folosi măsuri,
care sunt perfecte
pentru acea aplicație.
Deci putem aproxima orice curbă.
Așa că ne interesează
suprafețele curbe,
acum că am renunțat să mai
vorbim despre lumea blocurilor.
Și putem reprezenta orice
suprafață curbă cu orice precizie
dorim, aproximând-o printr-
o suprafață poliedrică cu multe
fațete.
Și asta funcționează
grozav pentru randare.
Deoarece pentru fiecare
dintre aceste fațete,
putem determina cu
ușurință suprafața normală
luând doar un
produs încrucișat a două dintre margini.
Și putem obține muchiile
scăzând vârfurile.
Deci este un
calcul foarte simplu.
Și apoi folosim o
hartă de reflectanță, sau ceva de genul acesta,
pentru a ne da seama cât de strălucitor
să picteze acea fațetă mică
și așa mai departe.
Deci este foarte convenabil
pentru ieșirea de imagini.
Dar ce zici de
lucrurile pe care vrem să le facem?
Deci ce vrem să facem?  Ei
bine, câteva lucruri.  Am
dori să aflăm
unde sunt lucrurile
și cum s-au rotit în spațiu.
Și bănuiesc că noi numim asta.
Deci asta e poziția
și orientarea.
Și celălalt lucru pe care ne-am putea
dori este să facem o oarecare recunoaștere.
Și deci să vedem cât de bine
funcționează această reprezentare.  Ei
bine, am putea încerca să facem
alinierea luând două ochiuri
și încercând să le
aliniem, ceea ce ar
însemna că ar trebui să
sortăm alocarea unui vârf într-o
aliniere într-unul dintre
obiectele cu un vârf
și celălalt,
și poate  minimizați
pătratul
distanței dintre ele.
Dar nu prea are sens.
Pentru că aceste vârfuri nu
au nicio semnificație anume.
Nu este ca și cum ar avea
pe ele o etichetă care să aibă sens.
Și dacă digitalizezi din
nou suprafața,
care sunt șansele de a
obține acea plasă anume?
Zero, sau aproape de zero.
Și deci pentru aliniere, acest lucru
nu este deosebit de util.
Adică, poți face ceva.
Puteți spune, OK, voi
face un lucru iterativ,
în care am
alinierea aproximativă.
Și astfel, pentru fiecare vârf,
pot găsi care este cel
mai apropiat vârf în prezent și să încerc
să reduc acea distanță
și să sper că va
converge, acel proces.
Dar nu e grozav.
Și pentru recunoaștere, nici
măcar nu poți
spune, OK, asta are 320 de fațete.
Iar celălalt
are 360 ​​de fațete.
Deci probabil că este
același obiect.
Nu este.
Deci trebuie să faci mai mult.
Și există modalități
de a progresa
de la acea reprezentare
și de a ajuta la tratarea
alinierii și recunoașterii.
Dar ne vom uita la o
metodă mai elegantă,
care are unele limitări.
Deci aceasta nu este o problemă
care a fost rezolvată curat
pentru toate situațiile posibile.
Deci, ce
căutăm într-o reprezentare?
Deci, un lucru este că
este ca fizica.  Am
dori să înțelegem
invarianța și simetriile.
Deci ce fel de invarianță?  Ei
bine, ceea ce mi-aș dori este ca dacă
obiectul se mișcă translația,
atunci reprezentarea să
nu se schimbe, ei bine,
într-un mod semnificativ.
De exemplu, dacă înseamnă că
toate coordonatele x sunt
incrementate cu
un număr fix,
atunci aceasta nu este invarianță.
Dar înseamnă că
păstrez o reprezentare care
este schimbată într-un
mod foarte simplu, de înțeles.
Deci asta e traducere.
Și o modalitate prin care pot
face față cu asta este
să spunem, ei bine, doar
referiți totul
la centroidul obiectului.
Și asta scapă de
componenta de traducere.
Și am rezolvat
problema invarianței.
Apoi rotire, ok?
Deci ceea ce mi-aș dori este că...
acum, desigur, dacă mă rotesc,
este probabil că reprezentarea se
va schimba.
Dar aș vrea să se schimbe
într-un mod ușor de înțeles,
sistematic și simplu.
Dacă mă gândesc, de exemplu, la
imaginile de proiecție în perspectivă,
acestea nu se schimbă într-un
mod simplu, de înțeles.
După cum știm, dacă
luăm un obiect 3D
și îl rotim în
fața unei camere,
obținem imagini care
nu sunt simple modificări
față de o imagine anterioară.

Proiecția în perspectivă induce
o transformare complexă, dezordonată.
Deci, dacă vreau să
recunosc obiectul
sau vreau să-l aliniez, aceasta
nu este o reprezentare bună.
Pentru că transformarea
este foarte complexă.
Deci nu pot avea
invarianță rotațională.
Sau, mai degrabă, de fapt,
nu vreau.
Pentru că o să încerc
să recuperez rotația.
Dar ce mi-aș dori este ca
atunci când rotiți ceva,
reprezentarea se schimbă într-un
mod foarte ușor de înțeles, pe
care îl pot exploata atât pentru a
gestiona recunoașterea,
cât și pentru a gestiona
problema de aliniere.
OK, deci acum
există o mulțime de încercări
de a face acest lucru, de a găsi
o reprezentare care
să îndeplinească aceste criterii.  Să ne
uităm doar la unul.
Deci este vorba despre
cilindri generalizați.
Deci un cilindru, când
cineva spune cilindru,
ai tendința să te gândești la un
cilindru circular drept.
Acesta este unul care are o
secțiune transversală circulară.
Și se obține prin
măturarea unui generator
de-a lungul unei linii drepte.
Deci, în acest caz, ne putem
gândi la acest obiect
ca fiind creat luând un cerc
și deplasându-l de-a lungul unei linii.
Și poate, și mai
restrâns, acel cerc
este perpendicular pe linie.
Și așa generăm
acel cilindru.
Deci, aceasta este cea mai strictă
definiție a unui cilindru.
Și o putem generaliza
puțin schimbând
forma generatorului nostru.
Și acum putem genera
forme mai complicate.
Dar au încă proprietatea
că secțiunea transversală oriunde
este aceeași, dacă o tai
perpendicular pe axa
oriunde pe lungime.
și presupun că
definiția matematică a unui cilindru
permite acea versiune.
Acum pot să introduc alte
câteva lucruri.
Una dintre ele este că pot înclina
generatorul în raport cu axa.
Ei bine, asta nu
face mare lucru.
Este doar o
transformare pentru scurtarea.
Dar să presupunem că permit
mărimea generatorului
să varieze pe măsură ce merg.  Ei
bine, atunci pot genera
conuri, de exemplu.
Deci, din nou,
măturăm de-a lungul unei linii.
Și acum permitem
modificarea dimensiunii.
Apoi putem permite ca linia de-a lungul
căreia măturăm să fie curbată.
Până acum, am avut
o linie dreaptă.
Deci s-ar putea să am o
curbă ca asta.
Și apoi să luăm o
secțiune transversală circulară,
dar cu rază variabilă.
Așa că pot genera
o formă ca asta.
Și le putem combina.
Și am putea chiar să
permitem generatorului
să se schimbe pe măsură ce merge de-a
lungul formei.
Dar acum
scapă de sub control.
Atunci poți face orice.
Și nu mai este unic.
Deci aceasta a fost o idee care a
fost urmărită o vreme
ca reprezentare
pentru obiecte, astfel
încât să putem determina
alinierea și să le recunoaștem.
Și a fost oarecum interesant
când oamenii încercau
să reprezinte corpurile umane.
Așa că vă puteți imagina că puteți
reprezenta brațele, părți ale membrelor,
ca cilindri generalizați și
apoi să le legați cinematic
împreună și să construiți
un model 3D care
să fie un fel de
marionetă din lemn a unui artist
care ar avea părți care ar fi
fiecare cilindru generalizat individual
.
Există unele
probleme cu asta.
Deci unul este că, pentru a
face recunoaștere,
ați dori ca
reprezentarea să fie unică.
Va fi mai
greu dacă există
un număr infinit de
moduri diferite de a descrie
același obiect.
Și iată un exemplu.
Iată o sferă.
Și l-aș putea reprezenta
ca un cilindru generalizat
având acea axă și apoi
cercuri care cresc
și se micșorează în dimensiune, o
reprezentare perfectă
a unei sfere.
Din păcate, există un
număr infinit de acestea.
Pentru că ar putea fi această
axă și acele cercuri.
Deci, sfera este un
caz dificil în special, din
cauza simetriilor.
Dar aceeași problemă apare
în altă parte și în special
atunci când permitem
inexactități în date.
Uneori este greu să faci
diferența dintre obiectele care
au o reprezentare unică generalizată a
cilindrului
și obiectele care nu au.
Deci asta a fost folosit puțin.
Nu a avut prea mult succes din
cauza motivelor pe care le-am
descris.
Și a existat o tensiune
între a permite mai multă libertate
în generarea acestor
cilindri generalizați
și a asigura că există
o anumită aparență de singularitate,
unicitate.
Pentru a putea rezolva problemele pentru care

este proiectat totul.
OK, așa că, în schimb, ne vom
uita la această reprezentare.
Și din nou,
rețineți că aceasta
este o zonă activă de
cercetare, spre deosebire de unele
dintre problemele 2D, despre care oamenii sunt
cam de acord cu privire la soluții.
Aici, fiecare soluție propusă
are câteva limitări.
Și așa ne vom uita și
la limitările
acestei reprezentări.
OK, deci să ne întoarcem pentru
un moment la poliedre.
Am spus că nu
vrem să facem poliedre
ca un bun punct de plecare.
Așadar, așa cum am menționat, o modalitate
de a descrie poliedrul
este de a da vârfurile și apoi
coordonatele graficului în 3D.
Adică, celelalte moduri.
Dar într-un mod ai putea avea
o listă de vârfuri cu
coordonate 3D și apoi
o structură grafică
care să îți spună care
vârf este conectat
la ce vârf, care
față are ce muchii și așa mai
departe, acea structură grafică.
Dar un alt mod este
să priviți fețele
și să desenați vectori unitari
perpendiculari pe ele,
apoi să
le înmulțiți cu zonele.
Și apoi aruncați
întreaga structură a graficului
și amintiți-vă doar
acele cantități.
Deci am avea un vector
n1, care este acela,
și apoi un vector
n2, care este acesta.
Și aceasta este,
destul de interesant,
în anumite circumstanțe
este o reprezentare unică
a acelui obiect în
sensul că
va exista un singur obiect care
are acea reprezentare.
Și asta e ceva ce ne dorim.
Pentru că atunci când facem recunoaștere, ne-am
dori unicitatea.  Ne-am
dori să nu se
potrivească cu alt obiect.
Și este oarecum surprinzător.
Pentru că am aruncat
o mulțime de informații.
Am aruncat la gunoi
relația dintre fețe.  Am
aruncat
coordonatele reale, colțurile și alte lucruri.
Și totuși, iată
o reprezentare.
Și Minkowski are o
dovadă neconstructivă cu
mult timp în urmă, că aceasta este unică
pentru poliedre convexe.
Știi, este interesant
că de multe ori o teoremă
va fi atribuită unei persoane
care variază în funcție de geografie.
Ei merg în altă țară.
Și oh, aceasta este teorema lui Green
sau, de fapt, nu, este Stokes,
sau este... ei
bine, în acest
caz, Minkowski trebuie să
aibă numele său
pe această teoremă.
Pentru că nu a existat o
teoremă competitivă
inventată de cineva din
lumea vorbitoare de engleză.
Așa că de fapt a ajuns să fie tipul
cu numele de pe teoremă.
Acum, destul de interesant,
dovada nu este constructivă.
Adică, dacă îmi dai
aceste trei cantități,
pot să-ți spun că există
un singur poliedru convex
care corespunde acestora.
Dar nu am un algoritm
care să construiască acel lucru.
Și așa a fost un efort pentru
o vreme în lumea viziunii artificiale
pentru a veni
cu un algoritm.
Și cred că Katsu
Ikeuchi a venit
cu un algoritm iterativ
care ar rezolva problema
într-un mod foarte lent.
Dar cred că oamenii și-au dat seama destul de
repede cui îi pasă?
Pentru că care este treaba noastră?
Meseria noastră este recunoașterea
și alinierea.
Nu este reconstrucție.
Deci, dacă descriem obiectul
folosind aceste cantități,
vrem să le comparăm
cu biblioteca de modele
și să le potrivim
și să ne dăm seama
cum trebuie să rotim acest
obiect pe care îl vedem astfel încât să se
alinieze cu
modelul din  biblioteca noastră?
Nu suntem în
treaba să spunem:
OK, trebuie să
reconstruim asta în 3D.
Adică, poate că am
făcut deja asta.
Dar faptul că este
o dovadă neconstructivă
nu este un factor de descurajare.
Nu este important,
nu este relevant.
OK, deci cum folosesc asta
într-un caz mai interesant?
Deci aceasta este doar o poliedră.
A, și apropo,
nu este prea greu să demonstrezi că...
când stivuiești acești
vectori coadă în coadă,
ei formează o buclă închisă.
Aceasta este suma acestor
vectori, n1, n2, n3, este zero.
Și vom demonstra ceva
similar într-o clipă.
Deci aceasta este o constrângere a
ceea ce ar constitui
o reprezentare validă.
Dacă obțineți o grămadă de vectori
care nu se adună până la zero,
atunci știți că nu este
un obiect convex închis.
Și asta se poate întâmpla
dacă, de exemplu, ați
omis una dintre fațete.
Atunci da,
nu vor ajunge la zero.
Dar, în afară de asta, orice
combinație de vectori
reprezintă un
poliedru convex,
atâta timp cât satisface
această constrângere.
Bine, deci să luăm un
obiect mai complex, cum ar fi...
nu știu... un
vehicul de reintrare ICBM.
Oarecum simplificat.
Există o parte cilindrică.
Și poate că există
o parte conică.
Și cred că există o
parte plată pe care nu o vedem aici,
care este pe spate.
Deci, ceea ce pot face este să aproximez
acest lucru folosind reprezentarea poliedrică a plasei
.
De exemplu,
îl pot tăia în felii,
astfel încât normalul pentru toate
punctele de pe aceste felii, ei bine,
nu sunt exact la fel.
Dar au foarte
puține variații.
Și cu o
secțiune conică, pot face asta.
OK, deci ideea este, adică
pot face o plasă mult mai fină.
Dar de fapt
combin lucruri care
au normale de suprafață similare.
Și atunci ce să fac?  Ei
bine, atunci calculez toate
aceste mărimi, aria
ij înmulțită cu vectorul unitar nij.
Și le păstrez.
Acum, desigur,
trebuie să fiu atent.
Pentru că tocmai am spus că
reprezentarea rețelei nu este bună.
Pentru că s-ar putea să desenez
o plasă diferită.
Așa că acum, trec la sfera unității.
Și am trasat acești vectori.
Deci fiecare dintre ele are
o direcție în spațiu
care corespunde apoi
unui punct de pe sferă.
Și am pus jos o masă în
acel punct corespunzătoare
zonei acelui plasture.
De exemplu, dacă aș împărți
plasturii mai fin,
aș fi avut două
zone de jumătate din dimensiune.
Dar ambele contribuie
la același punct al sferei.
De aceea aș putea merge
cu ei așa.
Așa că l-aș putea tăia
în bucăți mici.
Nu contează.
Important este cât de multă
masă ajunge aici pe sferă
.
OK, acum lasă-mă să fac asta pentru
toată suprafața cilindrică.  Ei
bine, normalele de suprafață
pentru această suprafață cilindrică
continuă să se rotească.
Dar toate sunt
într-un plan care este
perpendicular pe
axa cilindrului.
Atunci imaginați-vă că tăiați
acea sferă cu acel plan.
Voi obține un cerc grozav.
Așa că voi doborî mase pe
tot parcursul acestui mare cerc.
Și aceasta este partea
reprezentării care corespunde
suprafeței cilindrice.
Deci, de exemplu,
aici, există
un vector unitar care
indică așa.
Asta va fi pe
sferă undeva aici.
Și am pus jos o masă.
Și în acest caz, așa cum am
tăiat-o, toate aceste mase
sunt la fel.
OK, ce zici de partea conică?
Ei bine, același lucru.
Construiesc un vector unitar.
iau in calcul zona.  Să
numim asta bi și...
nu știu... mi,
doar pentru varietate.
Și asta ajunge pe
unitatea de aici, undeva.
Și am pus jos o masă acolo.
Și acum, dacă iau în considerare toate
fațetele de pe con,
suprafața normală se va schimba.
Și nu sunt într-un avion.
Dar dacă te gândești la
normalele de suprafață,
ele formează ele însele un con
cu unghiul complementar
al conului.
Așa că apoi am tăiat
sfera cu acel con.
Și voi
obține un cerc mic.
Deci, dacă vă gândiți la toate
fațetele acestui con,
toate vor
contribui la punctele
sferei din
acel cerc mic.
Bine, și apoi, ei bine,
lipsește o piesă.
Dacă vreau să descriu
întreaga suprafață a acestui obiect,
care este placa de la capăt.
Și farfuria de la capăt
va ajunge în urmă.
Dar undeva pe
sferă,
trebuie să existe o masă mare care să
corespundă acelei zone.
De ce este mare?  Ei
bine, pentru că totul în
acea zonă arată la fel.
Astfel că întreaga zonă mare a plăcii din spate
contribuie la masă
într-un singur punct.
Deci este ca un impuls.
Și aici este reprezentarea mea
pentru un obiect non-poliedric.
Și puteți vedea acum cum am
putea folosi acest lucru în diferite moduri
pentru sarcina pe care ne-am
propus-o,
alinierea și recunoașterea.
Deci am putea avea o
bibliotecă de obiecte.
Și pentru fiecare dintre
ele precalculăm
această reprezentare.
Și apoi putem face o comparație.
Acum, comparația nu este cel
mai puțin pătrate în plan.
Este pe sferă.
Deci, va necesita
un pic de gândire
despre cum să implementăm asta.
Dar, practic, vrem
să-i aliniem,
astfel încât acolo unde
acesta are multă masă,
celălalt să aibă multă masă.
Și așa vă puteți
imagina că inventați
o măsură a
modului în care se corelează,
cât de bine se potrivesc.
Și apoi poate
fi folosit în două moduri.
Cea este orientarea.
Așa că ar trebui să iau una
dintre cele două reprezentări
și să rotesc sfera
până când lucrurile se aliniază
cât mai bine.
Și pentru recunoaștere,
fac apoi scăderea
pentru a vedea cât de bine se potrivesc.
Și astfel, această reprezentare
oferă cele două sarcini pe
care le-am descris, o mulțime
de detalii de completat.
Apoi am spus că ne
dorim anumite proprietăți.
Unul dintre ele a fost
citatul „invarianță”
sau
transformări simple rezultate
din translație și rotație.  Ei
bine, mai întâi, traducerea
nu intră în ea.
Pentru că ne uităm doar
la normalurile de suprafață.
Deci, dacă luați acest
obiect și apoi îl mutați,
obținem exact
aceeași reprezentare.
Deci este invariabil
la traducere.
Rotire, ce zici de rotație?  Ei
bine, rotația are un efect foarte simplu
asupra acestei reprezentări.
Dacă rotesc acest obiect
și rotesc doar
vectorii normali,
asta înseamnă
că mă rotesc acolo unde
ajung ei pe sfera unității.
Deci este ca și cum ați roti
sfera unității într-un
mod echivalent.
Deci modificarea
reprezentării rezultată
din rotație este foarte
simplă, foarte intuitivă, ușor
de înțeles,
ușor de implementat.
Și astfel satisface
această constrângere.
Deci, în general,
cu ce vom avea de-a face
este un fel de densitate.
Deci grosolan vorbind, dacă
am o anumită masă aici,
înseamnă că există o zonă pe
obiect egală cu masa
care are acea orientare.
Deci este ca și cum
masa din orice punct
de aici îmi spune zona
care are acea orientare.
În cazul
fațetelor discrete, în cazul în
care iau
o limită și iau
o suprafață curbată continuu
, ceea ce am de-a face
este densitatea.
Deci densitatea
punctelor de pe suprafață
îmi spune ceva
despre curbură.
Deci, dacă obiectul
este foarte curbat, normalele
suprafeței învecinate
vor fi îndreptate
în direcții foarte diferite.
Și asta înseamnă că vor
fi răspândite pe sferă.
Și obținem o densitate scăzută.
Deci, densitatea scăzută corespunde
curburii mari.
Și invers, densitatea mare
corespunde curburii scăzute.
Și putem vedea asta
chiar aici, unde
lucrul cu cea
mai mică curbură
este placa, placa de capăt.
Și oferă o
contribuție uriașă sferei.
Pentru că are o
curbură foarte scăzută.
OK, și bineînțeles, va trebui să
spunem ce înțelegem prin curbură.
Pentru că acesta este 3D.
Deci este puțin diferit.
Acum, o modalitate de a
începe acest lucru
este să priviți
mai întâi o versiune 2D a acesteia.
Și, în primul rând, care este
ideea Gaussianului extins?
Care este imaginea Gaussiană?  Ei
bine,
lucrul important de reținut
este relația dintre
punctele de pe obiect
și punctele de pe sferă.
Ce au in comun?
Este suprafața normală.
Deci, dacă vreau să găsesc partea
sferei care corespunde
acestui
petic special al suprafeței,
găsesc doar punctul
de pe sferă care
are aceeași normală de suprafață.
Așa că reveniți la 3D pentru un moment.  Să
presupunem că avem un Pământ
care nu este o sferă.
Și am dori să desenăm o hartă
care se bazează pe sfere.  Ei
bine, atunci avem o modalitate
de a mapa între ei.
Și există o mulțime
de moduri imaginabile.
Ei bine, Gauss a venit cu unul,
care în esență înseamnă că
voi mapa acest punct la
punctul de pe sferă care
are aceeași direcție
a normalului.
Și acesta este cel pe care îl
folosim de fapt.  Pentru că
dacă
spui că suntem aici la MIT
la 42 de grade și jumătate
latitudine, acesta
nu este acest unghi față de
centrul Pământului, pe care îl
spunem uneori în mod greșit.
Ce este, este acest unghi.
Și atunci când avem de-a face
cu un cerc, toate acestea
sunt la fel.
Dar când avem
o altă formă,
trebuie să fim clari despre ce
direcții vorbim.
Și în acest caz,
descoperim că cel care...
de ce îl folosim?  Ei
bine, pentru că este
ușor de determinat.
Ai gravitația îndreptată
perpendicular pe suprafață.
Și apoi aveți rotație
în jurul sferei cerești.
Deci puteți determina
polul nord ceresc.
Sau puteți privi unde
este soarele și ce perioadă a anului
este.
Și acesta este unghiul pe care îl vei
măsura.
Acum, există subtilități acolo,
cum ar fi forța centrifugă,
distribuția neuniformă a
maselor pe Pământ și așa mai departe.
OK, deci Gauss
a spus, practic, că o modalitate de mapare
între
obiectul convex de formă arbitrară
și sfera unității este
să identifice doar punctele
care au aceeași orientare.
Și asta e punct la punct.
Ei bine, putem generaliza
asta la forme.
Deci, să presupunem că
avem Africa aici,
apoi o putem mapa
pe sferă.
Și de ce este convenabil?  Ei
bine, pentru că există o
mulțime de metode inteligente
pentru a mapa sferele pe
suprafețe plane pentru realizarea hărților.
Dar primul pas este că
trebuie să îl convertiți
din elipsoid într-o sferă.
OK, deci cum o facem?  Ei
bine, pentru fiecare punct de aici, ne
uităm la normala suprafeței
și găsim
punctul de aici care
are aceeași normală de suprafață.
Deci aceasta este
ideea de bază a cartografierii.
Facem corespondențe
între puncte care
au aceeași normală la suprafață.
Și puteți vedea că această
mapare este de fapt inversabilă.
Deci, dacă sunt pe
sferă și vreau
să știu ce punct îi corespunde
această parte a Madagascarului
aici,
doar găsesc punctul
care are aceeași
orientare la suprafață
pe această altă formă convexă,
atâta timp cât este convexă.
Acum există o problemă când
avem forme neconvexe.
Pentru că ar putea
exista mai multe
puncte care au aceeași
orientare la suprafață.
Și aceasta este
limitarea acestei metode,
că are proprietăți foarte frumoase
pentru obiectele convexe,
are unele probleme cu
obiectele neconvexe.
Dar pentru moment, să ne
concentrăm asupra obiectelor convexe.
Deci, în cazul
obiectelor convexe,
această mapare este reversibilă.
OK, înapoi la 2D.
Deci, ideea este că, din nou, trecem
acum de la o formă la un cerc
și poate ar trebui să fac
această formă mai puțin asemănătoare unui cerc,
având în vedere că cercurile mele
oricum nu sunt atât de grozave.
OK, deci iată un obiect convex.
Și acum ceea ce
vrem să facem este să luăm
un patch, ei bine, în acest
caz, un scurt segment de linie,
pe acea suprafață și să-
l mapăm pe sferă.
Și cum facem asta?
Ei bine, ne uităm la
normalele de suprafață.
Deci există o suprafață
normală la început.
Și asta va corespunde cu
o suprafață normală aici.
Și există o suprafață
normală la sfârșit.
Și pentru că este convex, se
schimbă monoton
între ele.
Deci întregul interval
de normale de suprafață
între hărți în întregul
interval de normale de suprafață de aici.
Și vom parametriza
acel cerc unitar în plan
după unghiul, eta.
OK, și ce
vrem să facem?  Ei
bine, vrem să reducem o
densitate, care este invers
proporțională cu curbura.
Deci masa, delta s, care este
proporțională cu delta s,
va sfârși prin a fi
răspândită peste această parte a
cercului unitar.
Deci, dacă avem o curbură mare, se
va întoarce rapid.
Și oricare ar fi masa este
răspândită într-un unghi mare.
Și invers, dacă
suntem în partea plană,
suprafața normală
să se întoarcă foarte încet.
Și toate acestea
vor ajunge
într-un segment foarte mic
aici.
Și astfel densitatea va fi mare.
Și așa vom ajunge
cu o cantitate continuă
din acel unghi.
Și acesta este lucrul care
ne interesează.
Deci, mai întâi, să alegem
un punct arbitrar.
Deci s este lungimea arcului de-a lungul
curbei de aici până acolo.
Și din nou, aceste
valori normale sunt paralele.
Deci, acesta trebuie să fie înclinat eta.
Și deci ceea ce ne
interesează este curbura.  Să
începem cu asta.
Este rata de cotitură, nu?
Deci, de exemplu, dacă
nu vă întoarceți, atunci k este zero.
Deci este rata de
schimbare a direcției.
Sau este inversul
unu peste raza curbei.
OK, și atunci
densitatea va
fi inversul acesteia.
Deci densitatea... și atât.
Deci aceasta este reprezentarea noastră
pentru o curbă convexă închisă în 2D.
Mapăm pe un cerc unitar
inversul curburii.
Și această reprezentare
este unică.
Nu există niciun alt
obiect convex închis
care să aibă
aceeași distribuție.
Acum, în cazul 2D, este
de fapt inversabil.
Acum, puteți vedea
cum ați putea face o
tranziție de la un
caz discret la un caz continuu.
Puteți împărți acest lucru
în o mulțime de fațete mici
care sunt linii drepte.
Și fiecare dintre aceste fațete
va contribui la masa punctuală
pe cerc.
Și apoi, pe măsură ce produceți
dimensiunea fațetelor,
acestea devin din ce în ce mai mici
și din ce în ce mai apropiate.
Și tot ce contează
este densitatea.
Câtă masă
există pe unitate de suprafață?
OK, numim acest
lucru G pentru Gauss.
OK, acum voi arăta
inversarea, deși vom
descoperi că, așa cum a descoperit Minkowski, nu
există nicio inversare în 3D.
Dar doar pentru a ilustra unele
dintre aceste idei mai mult.
OK, deci suntem într-un unghi eta.
Și delta va
fi perpendiculară pe asta.
Și atunci când facem
o mică modificare,
obținem delta s este
minus sine eta.
Delta s și delta y sunt egale cu
cosinus eta delta s, nu?
Pentru că ne vom
întoarce cu o sumă, delta x.
Dacă arunc în aer asta...
OK, aceasta este eta cu
ceva care este
proporțional cu sine eta.
Și apoi treceți în 1.
Și deci tot ce trebuie să fac este să
integrez acea ecuație.
Pentru că îmi spune pe măsură ce mă
deplasez cât de departe mă mișc.
Acum, s-ar putea să nu știu delta s.
Probabil mă integrez în eta.
Deci, să vedem.
Putem spune că x este x0 plus--
și apoi schimbăm variabilele.
[INAUDIBIL] Și,
desigur, aceasta este...
Și, în mod similar, va
exista o ecuație pentru y.
Pune-l acolo sub.
Deci y este [INAUDIBIL].
Deci, în cazul 2D,
îl pot inversa.  De
fapt, pot obține
obiectul convex care corespunde
acelei imagini circulare.
Am menționat că
nu este cazul în 3D.
În timp ce suntem acolo, am fost
puțin neglijent în privința limitelor.
Nu le-am pus.
Dar putem face asta.
Și o
întrebare interesantă este, ce este asta?
Deci acestea sunt cantitățile
care apar acolo.
Am inceput x0.
Și am desenat această integrare.
Și construiesc tot acest obiect
convex presupus închis
.
Și deci ar trebui să revin
la același punct, nu?
Prin urmare, acea
integrală mai bine
să fie 0 atunci când ocolesc
bucla.
Deci, din nou, pentru că am început de la
x0, integrez pe
întreaga curbă, ar
trebui să mă întorc
presupunând că este o curbă închisă.
Deci presupunem că
este o curbă convexă închisă.
Atunci acele integrale
mai bine să fie zero.
Și asta înseamnă
că centroidul
acelei distribuții de masă--
mă tot întorc
să mă gândesc la el
ca la o distribuție de masă.
Există o densitate pe cerc,
sau sfera, care este la origine.
Pentru că acestea sunt într-adevăr--
integrala lui x,
g, bla, bla, bla.
Și scuze, da, x.
Și acesta ar fi y.
Deci integrala lui x ponderată
de acest lucru este zero.
Și integrala lui y ponderată
de acel lucru este zero.
Și acestea sunt momentele,
primele momente, pe care le
folosiți la calcularea
centroidulului.
Deci, asta înseamnă că, OK, această
distribuție de masă pe cerc
trebuie să aibă o
proprietate specială, și anume
că pot fi mai mult aici sau
mai puțin în altă parte și așa mai departe.
Toate acestea sunt în regulă.
Dar mai bine are
proprietatea că centroidul
este la origine.
Deci, aceasta este o limitare, care
este exact aceeași cu ceea ce
am avut în cazul poliedric,
că unii dintre acești vectori
au fost zero.
Este chiar aceeași afirmație.
Deci, aceasta este o limitare a
distribuțiilor legitime.
Dar asta e tot.
În afară de asta, vă
puteți
aranja masele cum doriți.
OK, deci să ne uităm la un exemplu.
Totul este foarte bine în teorie.
Să ne gândim la un
cerc cu raza r.
Întotdeauna bine să începi cu
ceva cu adevărat simplu.
Ei bine, în acest caz,
curbura,
care este curbura?
Deci curbura este
k este d theta peste ds.
Deci, cum aflu?  Ei
bine, un mod în care mă
pot gândi
este să relaționez
direcția normală a suprafeței
cu lungimea arcului de-a lungul
circumferinței cercului.
Deci pot spune că s este
teta noastră, presupunând că theta
este măsurată în radiani.
OK, deci este foarte
simplu pentru un cerc.
Și apoi am nevoie de a la s.  Ei
bine, pot aduce a la
s, atunci 1 peste r.
Deoarece eta este 1 peste r ori s.
OK, deci asta înseamnă că
curbura este doar
inversul razei
de curbură pentru un cerc.
Acum, într-un caz mai general
, mai putem
vorbi despre
raza de curbură.  Să
presupunem că curba
nu este un cerc.  Să
presupunem că acea
formă eliptică sau ceva.
Putem vorbi încă despre
raza de curbură.
Deoarece putem potrivi
un cerc local
în acea parte a curbei
și punem întrebarea
care este raza cercului cel mai
potrivit în acea poziție?
OK, deci cercul este foarte ușor.
Și nu este
deosebit de interesant.
Pentru că este la fel de jur
împrejur.
Are același --
g este constant.
Deci g de eta este 1 peste k.
Și asta este r.
Și așa este constantă pe tot
parcursul.
Și apropo,
acest lucru arată că
avem această interpretare nu foarte corectă
, și anume
că valoarea pentru
un anumit unghi eta
este cât de mult din
suprafața obiectului o
are ca normală a suprafeței?
Deci aceasta înseamnă că, în primul rând
, în cazul unui cerc,
acea cantitate este constantă.
Nu contează în ce
direcție ne uităm.
Și apoi, de asemenea, asta
crește ca rază.
Pentru că pe măsură ce facem
cercul mai mare,
acesta devine din ce în ce mai plat.
Deci tot mai multe dintre
ele au aproximativ
aceeași orientare.
Deci, acesta este un mod util
de a gândi la asta.
OK, deci nu vom
putea folosi acest lucru
pentru a determina orientarea.
Pentru că orientarea
este ambiguă
cu atâta simetrie.
Așa că trebuie să venim
cu un exemplu mai bun, mai
complicat.
Și fac asta în 2D acum.
Pentru că pentru 3D, o să
notez rezultatul.
E prea plictisitor să te descurci.
Așa că, torturându-te
cu o versiune 2D,
te scutesc de durerea de a
te uita la versiunea 3D.
Deci, să ne uităm la o elipsă.
Și o vom alinia frumos, astfel încât
ecuațiile să iasă ușor.
Centrul
elipsei este la origine.
Și axele principale sunt
aliniate cu axele x și y.
Și, desigur, știm
că într-un fel putem--
și aceasta este o așa-numită
formă implicită
a ecuației pentru o elipsă.
Există o carte minunată care s-a
epuizat de multe ori
și apoi a fost retipărită, care
vorbește despre diferite moduri
de a reprezenta curbele.
Și crezi că, ei bine, există
unul și poate mai este altul.
Nu, există o duzină care sunt
utilizate în mod obișnuit și încă o duzină
care sunt mai puțin utilizate,
deci o mulțime de reprezentări.
Și nu învățăm prea multe
despre ei în zilele noastre.
Dar iată un altul, care este
mai util pentru scopurile noastre.
OK, deci ce este asta?
Ei bine, ne putem gândi la
asta ca la un cerc zdrobit.
Deci, practic, am înmulțit--
imaginați-vă cercul
cu raza a și am
strivit
dimensiunea verticală cu acest factor.
Și înțelegem asta.
Și că theta este unghiul
din cercul original.
Deci a existat un
cerc original.
Și l-am strivit cumva
pentru a produce asta.
Deci, theta nu este un
unghi în acea diagramă.
Este un unghi din diagrama
versiunii nestropite.
Bine, dar puteți vedea că dacă
luați x peste un pătrat
și y peste b pătrat,
veți obține 1.
Și asta este, în multe
privințe, o reprezentare mai convenabilă
.
Pentru că l-ai putea folosi
pentru a genera cercul.
Acesta aici, cum
generezi cercul?  Ei
bine, cred că ai putea
încerca toate x și y posibile.
Și unii dintre ei vor produce 1.
Și alții nu.
Și poți
lăsa un punct acolo.
Dar dacă vrei să-l desenezi,
acest lucru este mult mai convenabil.
Pentru că doar
parcurgeți theta
și calculați o
aproximare poliedrică a oricât de
fin detaliu doriți.
OK, deci
reprezentarea parametrică este grozavă.
Și asta se referă
și la Pământ.
Pământul poate fi
considerat ca o sferă care este
strivită în
direcția verticală.
Și amintiți-vă că acele
unghiuri nu sunt aceleași, așa
cum am vorbit despre
asta, nu este latitudinea.
Și nu este
nici latitudinea geocentrică.
A, și apropo, dacă aveam nevoie de
zonă, sunt pi ori ab.
Și puteți verifica că funcționează
pentru cazul limitativ, în care
avem de-a face cu un cerc.
Deci, ce trebuie să știm?  Ei
bine, trebuie să-l mapăm la un
cerc pe baza
normalelor suprafeței sau, în acest caz,
normala curbei.
Deci trebuie să calculăm
normala curbei.
Ei bine, putem începe prin a
calcula o tangentă.
Deci cum facem asta?
Ei bine, facem diferența doar
cu parametrul.
Și asta ne oferă un vector
care merge de-a lungul curbei.
Așa că vom
căuta așa ceva
prin diferențierea asta
în raport cu theta.
Și astfel obținem minus a
sinus theta b cosinus theta.
Apoi definiți mai întâi acest
vector r, care este acest lucru.
Deci, aceștia sunt acum doi vectori.
Pentru că suntem în 2D.
OK, deci asta e tangenta.
Și normalul, desigur, este
doar perpendicular pe asta.
Și deci cum fac asta?  Ei
bine, răsturn x și y
și schimb sinusul.
Și acesta nu este un vector unitar.
Dar este un vector
în direcția
perpendiculară pe curbă.
Și asta îmi spune unde
sunt pe sferă.
Acum, pe sferă, pe
cerc, am asta.
Și astfel aceste direcții
trebuie să se potrivească.
Deci direcția,
nu este un vector unitar.
Dar dacă o normalizez, atunci
ar trebui să se potrivească cu asta.
Dacă le potrivesc, primesc... să
vedem.  a sine theta.
unde n este lungimea
acelui vector.
Deci, să presupunem că n
pătrat este b pătrat
cos pătrat theta plus un
pătrat sinus pătrat theta.
OK, bine, lasă-mă să
definesc un alt vector.
În analogie cu
vectorul pe care îl avem acolo.
Și apoi aflăm că...
Și detaliile acestui lucru
nu sunt îngrozitor de importante,
doar algebră.
Important este că
asta ajungem.
Și cantitatea care ne
interesează
este doar inversul
acesteia, G este 1 peste k.
Deci aceasta este curbura.
Iar cantitatea pe care o dorim este
inversul curburii.
Deci un lucru care este
interesant este să vă întrebați
care sunt extremele acestui lucru?
Și așa v-ați
imagina că extremele
vor fi la
capetele semi-axelor.
Și așa ne-am aștepta ca
extrema să apară pentru theta este
egal cu 0 și eta este
egal cu pi peste 2.
Ei bine, 0 și pi sunt
același lucru.
Și pi peste 2 și 3 pi peste 2.
Și în acest caz,
ajungem cu ab
peste a cub, care este b peste
a pătrat și ab peste b cub,
care este a peste b pătrat.
Așa că voi desena acea elipsa din nou.
Să vedem.
a este cea mare.
OK, deci detaliile nu sunt
atât de importante.
Dar ceea ce am făcut
este că am calculat imaginea
circulară extinsă
pentru o elipsă.
Și este o
funcție continuă a eta,
unghiul pe cercul unitar.
Și variază,
spre deosebire de cerc.
Și are un maxim
și un minim
și un maxim și un
minim, pe măsură ce ocoliți.
Și depind
de semiaxele.
Și după cum vă puteți imagina,
a este cea mai mare
dintre cele două semi-axe.
Deci aici vedem că
curbura este destul de mare.
Și b este axele mai scurte.
Și curbura este mică.
Și astfel există o
distribuție continuă
pe cerc, pe
care o putem folosi acum
pentru a determina orientarea
unei elipse care nu este aliniată
cu un sistem de coordonate.
Pentru că vom avea aceeași
distribuție a acestui unghi.
Dar va fi rotit.
Și așa că, pentru a
obține meciul,
trebuie să luăm unul dintre cei
doi și să îl rotim până când este
o potrivire bună cu celălalt.
Și, în mod similar, odată ce am
făcut asta,
putem verifica cât de
bună este.
Și dacă se potrivește bine, atunci
avem, de fapt, o elipsă.
Dacă nu, atunci
obiectul nu este o elipsă.
Și deci, dacă avem o bibliotecă
de obiecte, ceea ce am face
este să facem acest calcul pentru
fiecare obiect din bibliotecă
și să găsim pe cel care
se potrivește cel mai bine.
Cunosc toate aceste
unghiuri diferite, la fel
ca imaginea Pământului de acolo.
Deci theta este un parametru.  De
fapt, nu
apare în această diagramă.  De
unde vine este
theta din cerc,
înainte ca cercul să fie strivit.
Și așa a fost odinioară theta.
Dar acum a scăzut.
În timp ce, eta este
poziția pe sferă.
Așa că mapam din acest spațiu pe
sfera unității de direcții.
Deci există o relație
între cei doi, care să
vedem, este ceva de genul b10--
Am pe undeva.
Deci tan theta este legat de tan
eta prin ceva de genul acesta.
Și aceasta este, dacă am înțeles
bine,
aceasta este o
formulă importantă folosită în geodezică.
Deoarece raportează
unghiul geocentric, unghiul pe care îl
facem în
centrul Pământului
cu unghiul de
latitudine pe care îl
folosim pentru a calcula latitudinea.
Și în cazul
Pământului, diferența
nu este foarte mare.
Aplatizarea este
doar 1 peste 292.
Deci acele unghiuri
sunt destul de apropiate.
Dar este important să
le păstrăm separate.
Da, am înțeles bine.
OK, deci este o versiune 2D.
Și de fapt, există
aplicații ale acestui lucru în 2D.
Și puteți face
lucruri mai interesante și în 2D.
De exemplu, puteți face
câteva operațiuni de filtrare.
Deci, puteți face convoluția
pe cerc,
care este diferită de
convoluția de-a lungul liniei.
Pentru că lucrurile se înfășoară.
Și acesta este un cu totul
alt subiect.
Există o lucrare
despre asta și pe Stellar
, în caz că
te-ar interesa.
Să revenim la 3D.
Aceasta este problema care ne
interesează cu adevărat.
Și așa că începem cu
maparea Gauss, care practic
conectează punctele de pe o suprafață cu
punctele unei sfere unitare pe baza
orientării normale a suprafeței.
Și acestea sunt patru puncte.
Și apoi extindem
asta la forme.
Deci am putea avea
un obiect aici.
Și există o formă acolo.
Și apoi există o
formă corespunzătoare aici.
Sunt legate prin
faptul că fiecare punct de aici
are o normală de suprafață.
Și asta îmi dă un
punct în acel patch.
Deci, permiteți-mi să numesc asta obiectul.
Și aceasta este zona
delta o pentru obiect.
Și aceasta este sfera.
Și aceasta este o zonă deltă s.
Și curbura este doar
definită ca, sau limita de...
Deci, din nou, acea intuiție că
dacă avem o zonă foarte plată,
atunci aproape toată
acea zonă va
ajunge foarte aproape de
același loc pe sferă.
Deci raportul va
fi foarte mic, ceea ce înseamnă că
curbura este foarte scăzută.
Dacă, pe de altă parte,
mă uit la ceva de
genul acesta, unde este
foarte curbat, ei
bine, acele normale ale suprafeței
vor fi într-adevăr răspândite
peste tot [INAUDIBIL].
Ele vor corespunde
unei suprafețe mari pe sferă.
Și, prin urmare,
acest raport va
fi mare, curbură mare.
Deci aceasta este curbura Gauss.
Acum curbura în 3D este mai
complicată decât în ​​2D.
Deci aceasta nu este toată
povestea despre curbură.
Aceasta este doar o
singură mărime scalară convenabilă
care măsoară curbura.
Apropo, dacă ocolesc
circumferința acestei zone
într-o anumită direcție, voi
ocoli circumferința aici
în aceeași direcție, atâta timp
cât aceasta este convexă.
Acum, cum rămâne cu
suprafețele neconvexe?  Ei
bine, dacă te gândești
ce este o suprafață neconvexă?  Ei
bine, ca un punct de șa
sau unul dintre hiperboloizii noștri
dintr-o foaie.
Deci punct de șa, gândiți-vă
la un cip Pringle.
Deci iată o suprafață
cu curbură negativă.
Și dacă urmărim
normalele suprafeței
din exterior și le
trasăm pe cele de pe sferă,
ele vor călători de fapt
în direcția opusă.
Deci, pentru obiectul neconvex -
și în acest caz, considerăm
curbura negativă.
Deci formula aia de sus
ar trebui să țină cont de
sinusul zonei, ca să
spunem așa, care este direcția.
Deci, dacă cele două direcții
se potrivesc, atunci este pozitiv.
Și dacă acesta
merge în cealaltă direcție,
este negativ.
Dar asta nu se va
întâmpla pentru obiectele convexe.
Și mai ales vom
vorbi despre obiecte convexe.
Deci, luați un exemplu foarte simplu.
Luăm o sferă cu raza r.
Și k este 1 peste r pătrat.
Și, prin urmare, g este r pătrat.
Deci, aceasta este o analogie
cu cazul nostru 2D,
unde k a fost unul
dintre r și g a fost r.
Deci ce înseamnă asta?
Și de unde vine asta?
Ei bine, este destul de simplu.
Este raportul dintre
aceste două zone.
Și în cazul unei
sfere, pot să
iau totul.
Deci aceasta este o sferă unitară.
Deci aria sa va fi de 4 pi.
Aceasta este o sferă cu raza r.
Deci are suprafețele 4 pi r pătrat.
Și deci dacă iau raportul lor,
suprafața delta s peste delta o,
obțin unul peste r pătrat.
Și din nou, asta este
consistent, că dacă
ai o sferă mică,
are o curbură mare.
Și invers,
pentru o sferă mare,
vrei să ai o curbură mare.
OK, deci aceasta este un fel
de cheie pentru noi.
Și invers, g este
delta o peste delta h.
Și prin asta mă refer la limită,
deoarece facem acele cantități din ce în ce mai
mici.
OK, deci ceea ce facem
este strâns legat
de curbura gaussiană.
Pentru că este doar inversul
curburii gaussiene.
Oh, cred că nu avem timp.
Dar unul dintre
lucrurile interesante pe care le putem face acum
este să vorbim despre
curbura integrală,
care se aplică suprafețelor
care nu sunt netede.
Deci să presupunem că ne
uităm la o cărămidă.
Are un colt dreptunghiular.
Nu putem vorbi cu adevărat
despre curbura sa.
Pentru că este zero pe fețe
și infinit pe margini.
Dar putem vorbi de fapt
despre o integrală de curbură
peste o parte a cărămizii.
Deci vom face asta data viitoare.
Și vom vorbi despre
cum să folosim acest lucru
în recunoaștere și aliniere.
Și va fi un
test joi.