CASEY RODRIGUEZ: Vom continua discuția despre integrala Riemann. Așa că permiteți-mi să amintesc doar câteva fragmente de notație de data trecută și apoi, de asemenea, rezultatul principal pe care l-am dovedit la sfârșitul cursului trecut. Deci am avut partiții, care sunt doar seturi finite. Deci aici, a este mai mic decât b și ne uităm la un interval ab. Partiții, sunt doar seturi finite de ab. Și apoi am avut și etichete, care erau și mulțimi finite cu c unul între x0 și x1, care este mai mic sau egal cu xi 2, care este mai mic sau egal cu x2 și așa mai departe. Și noi numim aceste partiții de etichete. Și am avut și norma unei partiții. Acesta este maximul de-- așa că ne gândim la partiții ca fiind-- ca ruperea intervalului ab în subintervale mai mici, x0 până la x1. Trebuie să iau o altă bucată de cretă. Acesta devine psihedelic asupra mea. Și apoi cele xi sunt doar puncte alese în aceste subintervale mai mici . Norma unei partiții este lungimea celui mai mare subinterval. Și apoi am avut suma Riemann asociată unei partiții, eticheta partiției xi, care este suma de la j este egală cu 1 la n, f xi j xj minus xj minus 1. OK? Aceasta doar o notație de data trecută. Și atunci ce am dovedit? Am demonstrat următoarea teoremă, care este existența pentru integrala Riemann, care urmează că pentru toate funcțiile continue pe ab, ele există un număr unic, pe care îl notăm integral abf cu proprietatea care-- cu următoarea proprietate. Asta, dacă iau orice secvență de partiții de etichete cu norma care merge la 0 - deci aceasta este că partițiile devin din ce în ce mai fine. Toate sunt o secvență de partiții de etichete cu norme care merg la zero, avem sumele Riemann asociate, această secvență converge. Deci aceasta este acum o secvență de numere reale și este egală cu acest număr, integral abf. Indiferent de secvența de partiții de etichete pe care o iau cu norme care converg la 0, sumele Riemann converg către acest număr, pe care îl numim integrala Riemann a lui f. Net, cred că ultimul lucru pe care l-am demonstrat a fost că integrala Riemann este liniară. Integrala sumei este suma integralelor. Și dacă înmulțesc o funcție continuă cu un scalar, atunci scalarul iese. BINE? Deci acum vom discuta câteva proprietăți ale integralei Riemann. Deci următorul este că, într-un anumit sens, aria uniunii, dacă doriți, este suma ariilor dacă ne gândim la integrală ca fiind aria de sub curbă. Deci următoarea proprietate este aditivitatea integralei Riemann, care afirmă următoarele: dacă f este în cab și iau un punct între c și b, atunci integrala de la a la b a lui f este egală cu integrala din a la c din f plus integrala de la c la b din f. Deci, pentru a dovedi, din nou, tot ce știm despre aceste numere este că ele satisfac această proprietate. Deci, ceea ce vom face este să luăm o secvență de partiții etichete de ac care converg la această integrală într-o secvență de partiții etichete de la c la b care converg la această integrală atunci când le lipesc în sumele Riemann. Dar atunci când iau unirea acelor partiții de etichete, obțin o partiție a lui ab, care se va apropia de integrala lui ab. Aceasta este intuiția de bază. Și bineînțeles, ce spuneam acum un minut despre suprafața uniunii fiind suma zonelor? Ei bine, din nou, așa cum am spus, dacă ne gândim la integrala Riemann ca fiind aria de sub curbă, atunci aceasta spune că aria de la a la b de sub curbă este egală cu aria de sub curbă de la a la c, plus aria de sub curba de la c la b. Bine, deci să luăm... cineva trebuie să scrie notație aici. Să luăm două partiții. Să fie o secvență de partiții - deci o secvență de partiții de etichete, ar trebui să spun -- de ac, astfel încât norma acestei partiții ajunge la 0. Deci aceasta este acum o partiție a ac. Și apoi vom lua o altă secvență de partiții de etichete ale cb. Pentru cei care se uită acasă și se întrebă ce sunt aceste litere , aceasta este eta greacă. Asta e zeta grecească. Deci avem o succesiune de partiții ale ac. Acestea sunt y și eta. Și apoi avem, de asemenea, o secvență de partiții ale lui cb, astfel încât norma acestor tipi merge la 0, precum și r merge la infinit. Deci acum, dacă am o partiție de ac și o partiție de cb, dacă iau unirea lor, atunci voi obține o partiție de ab. Aceasta va fi uniunea acestor tipi. Deci, este ușor de observat că aceasta este acum o secvență de partiții de etichete ale lui ab. Și mai mult, deci care este norma acestei noi partiții de etichete? Care este lungimea maximă a subintervalelor? Ei bine, va fi doar maximul dintre normele lui y și z. Și rețineți că norma lui x sub r, aceasta este egală cu maximul normei lui yr și norma zr. Și din moment ce ambele converg către zero, maximul dintre ele converge și la zero. Așa că acum punem totul împreună. Deci, prin această teoremă, ce știm? Știm că suma Riemann asociată acesteia converge către integrala ab a lui f. Suma Riemann asociată acestei secvențe de partiții de tag converge către acf. Și apoi, această secvență de sume Riemann asociate acestor partiții de etichete converg către cbf. BINE? Și acum folosim doar faptul că luarea unei sume Riemann este aditivă, nu? Deoarece suma Riemann asociată acestei partiții, care este doar o unire a acestor partiții, este egală cu -- aceasta implică luarea limitei pe măsură ce r merge la infinit. Partea stângă, așa cum am scris aici, converge către abf. Și apoi în partea dreaptă, limita sumei este suma limitelor. Deci aceasta converge la acf. Și apoi lucrul potrivit aici converge către - al doilea lucru aici converge către integrala de la c la b a lui f. Si asta e. Deci, într-adevăr, faptul că integrala este aditivă decurge din simplul fapt că sumele Riemann sunt aditive, iar faptul că limitele respectă operațiile algebrice. Limita sumei este suma limitelor. În regulă, deci integrala Riemann este aditivă și, de asemenea, liniară. Vedem deci că integrala Riemann este ceva care respectă operațiile algebrice cu privire la numerele reale și anume, adunarea și înmulțirea scalară. Și respectă, cred, ceea ce ați putea spune considerente topologice. Sau, nu chiar topologic, dar această proprietate aditivă este o proprietate foarte naturală. La ce ajung aici? Deci acum ne-am putea întreba cum interacționează integrala cu inegalitatea? Deci, acesta este ceva ce ne întrebăm despre toate limitele, nu? Sau cel puțin limitele secvențelor pe care le-am văzut. Dacă o secvență se află sub alta, luarea limitelor respectă asta. Desigur, acest lucru nu este valabil pentru derivat. Pot avea două funcții, una mai mare decât cealaltă, iar derivata celei mai mici să fie mai mare decât derivata primei. Dar, pentru a putea pune întrebarea, să presupunem că am două funcții, una mai mică decât cealaltă. Care este... care este relația dintre integrale? BINE. Deci, să presupunem că f și g sunt acum două funcții continue pe ab. Deci, prima parte a acestei teoreme este că, dacă pentru toate x și ab f din x este mai mică sau egală cu g din x, atunci integrala din ab din f este mai mică sau egală cu integrala din ab din g. În regulă? Și acest lucru este oarecum de înțeles. Adică din nou, dacă ne gândim la integrală ca fiind o teorie a zonei de sub curbă. Dacă am o funcție deasupra altei funcție, atunci aria ar trebui să fie mai mare decât aria celei mai mici de sub curbă, care se află sub prima. Și acum integrala Riemann este o limită de sume într-un anumit sens și o limită a anumitor sume care implică f. Si ce? Deci avem această relație care implică sume și valori absolute cu inegalitatea triunghiului, care spune că valoarea absolută a sumei este mai mică sau egală cu suma valorilor absolute. Și dacă te gândești la integrală ca fiind în esență într-o limită de sume sau, dacă vrei, o sumă continuă, atunci ar trebui să te aștepți ca valoarea absolută a integralei să fie mai mică sau egală cu integrala valorii absolute. Și asta este într-adevăr ceea ce avem. În al doilea rând, valoarea absolută a integralei din ab a lui f este mai mică sau egală cu integrala din ab a valorii absolute a lui f. Ca aceasta este inegalitatea triunghiului pentru integrale. În regulă, deci vom demonstra una, folosind din nou, principala proprietate pe care o avem despre integralele Riemann că ele satisfac această proprietate. Și apoi vom deduce două direct din numărul unu. Deci, să luăm o secvență de partiții de etichete cu norme care converg la zero. Atunci pentru tot r, dacă luăm suma Riemann în raport cu f a acestei partiții de etichetă, aceasta este egală cu j egal cu 1 până la n. Aceasta este doar definiția. r aici este doar indexarea secvenței partițiilor de etichete. Și ar trebui să spun că acest lucru nu trebuie să se termine la un singur număr -- de fapt, nu se poate -- în comun cu toate aceste partiții de etichete. Deci aici n din r este doar numărul de puncte de partiție pe care le avem în partiția noastră x superscript r. Și deoarece presupunem că f din x este mai mic sau egal cu g din x pentru toate x și ab, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la j este egală cu 1 la n din r, g din cj din r. OK, și care este acest ultim lucru? Acest ultim lucru este doar egal cu suma Riemann a lui g, în raport cu această partiție de etichetă x și xi. Așa că am început cu suma Riemann asociată cu f și am arătat că este mai mică sau egală cu... doar un rezumat aici. Că această sumă Riemann este mai mică sau egală cu această sumă Riemann. Deci, acum, dacă iau limita pe măsură ce r merge la infinit, aceasta din partea stângă se apropie de integrala din ab. Și din moment ce limitele respectă inegalitățile, înțeleg asta, ceea ce am vrut să demonstrăm. Bine, și de la numărul doi... Adică, pentru numărul doi, obținem de la numărul unu... Adică, obținem numărul doi de la numărul unu, în esență destul de repede. Deci, deoarece plus sau minus f este mai mic sau egal cu valoarea absolută a lui f, obținem acel plus sau minus - deci integrala de plus sau minus f este mai mică sau egală cu integrala din ab a valorii absolute. Acum, înmulțirea scalară pe care am demonstrat-o data trecută se extrage. Deci, asta înseamnă plus sau minus integrala lui f este mai mică sau egală cu integrala valorii absolute a lui f, care este aceeași cu -- deci pentru semnul minus, acest lucru îmi spune această inegalitate. Și pentru semnul plus, primesc acea inegalitate. Dar asta e echivalent cu a spune că valoarea absolută a integralei lui f este mai mică sau egală cu integrala valorii absolute. Și aceasta este dovada teoremei. Permiteți-mi să fac o mică remarcă aici - și acesta va fi un exercițiu privind temele pentru a demonstra acest lucru -- este următorul. Știm că luarea de limite respectă inegalitățile, dar nu neapărat inegalitățile stricte. Deci pot avea două secvențe, una strict mai mică decât cealaltă pentru toate n. Și apoi, pe măsură ce n merge la infinit, limitele lor ar putea de fapt să se egaleze între ele. Deci, de exemplu, dacă iau prima secvență ca fiind 0, a doua secvență ca fiind 1 peste n, 1 peste n este întotdeauna mai mare decât zero. Cu toate acestea, ambele converg spre 0. Deci, luarea de limite nu respectă inegalitatea strictă. Cu toate acestea, în această setare, care este foarte drăguță-- vreau să spun, este de fapt o proprietate extrem de importantă a integralei este că acest proces de limitare pe care îl facem pentru a lua integralele de fapt face-- nu este doar un proces de limitare vechi. De fapt, respectă inegalitatea strictă. Deci ce spun? Este că putem dovedi ceva un pic mai puternic. Și asta-- pe care o voi spune aici într-o formă redusă . Dacă iau o funcție continuă și este pozitivă, atunci știm deja că integrala lui f va fi nenegativă prin ceea ce tocmai am demonstrat. Dar, de fapt, integrala lui f este pozitivă. Și din nou, acest lucru este, de asemenea, destul de important din punct de vedere psihologic. Dacă ne gândim la integrală ca fiind o teorie a ariei de sub curbă. Deci, ceea ce afirmă asta este că... și din nou, nu voi dovedi asta. Aceasta va fi în sarcină. Din nou, acest lucru coincide cu intuiția noastră a ceea ce ar trebui să fie o teorie a zonei de sub curbă. Deci, aceasta spune că dacă o funcție continuă este pozitivă - ca în imaginea pe care v-am desenat -- atunci integrala, pe care o interpretăm din nou, ca aria de sub curbă, este pozitivă. Deci se potrivește cu ceea ce ar trebui să fie dorința noastră ca aceasta să fie o teorie a zonei de sub curbă. În regulă? Și așa avem - dacă doriți -- Vreau să spun, am putea aproba acest lucru din considerente de bază în ceea ce este definiția integralei. Dar avem următoarea teoremă că pentru toate alfa și r-- sau aș putea spune doar următoarele. Ei bine, poate nu a fost declarat în acest fel. Am plecat puțin din scenariu aici, dar e în regulă. Deci, de fapt, nu am calculat încă o singură integrală. Într-adevăr, este greu să cu această definiție. Într-un minut, vom demonstra teorema fundamentală a calculului și o vom putea face foarte ușor. Dar mai întâi să demonstrez cel puțin integrala cea mai elementară. Deci integrala din ab a funcției 1 este egală cu b minus a. Deci care este dovada? Luați o secvență de partiții cu normele convergente la 0. Și ne uităm doar la suma Riemann. Și pentru unul, acest lucru va fi destul de ușor de calculat care sunt sumele Riemann. Deci aceasta este o secvență de partiții cu norma convergentă la 0. Atunci, dacă mă uit la sumele Riemann asociate, aceasta este egală cu j egal cu 1 la n din r. Indiferent de ce I-- indiferent de ce este xi, primesc doar 1 și apoi de ori lungimea intervalului, subintervalul. Acum, aceasta este o sumă telescopică. Înseamnă că acest lucru este egal cu x1 minus x0, plus x2, minus x1, plus până la xn minus xn minus 1. Deci tot ce înțeleg este-- nu x1-- ci x0 și xn. Deci, acesta este egal cu xj din r xn, scuze, din r minus x0 din r. Și acesta este ultimul punct al partiției. Acesta este primul punct din partiție. Și ca întotdeauna pentru partiții, ultimul punct este b. Primul punct este a. Deci aceasta este egală cu b minus a. Acum acest lucru din partea stângă este egal cu b minus a. Deci asta îmi spune că integrala, care este egală cu această limită a sumelor Riemann este egală cu b minus a. În regulă, și apoi sarcina pentru asta... sau cred că, când vezi asta săptămâna trecută, a fost, în esență, să calculezi integrala pentru... integrala din ab a lui x, dx. Și astfel obținem din această teoremă și această teoremă următoare legată pentru zonă. Așa că permiteți-mi să fac o imagine, astfel încât acest lucru să nu fie atât de surprinzător. Să presupunem că am o funcție de la a b. Există funcția f. Deci asta trebuia să treacă prin acest punct. Deci hai să facem asta puțin... Presupun că nu am nevoie de aceste piese. Să presupunem că am-- până acum o funcție continuă, atinge întotdeauna un minim și un maxim. Și cel puțin pentru această poză, minimul apare aici. Maximul apare aici. Acum, care este comparația cu zonele din această imagine? Ei bine, aria de sub curba lui f va fi mai mare sau egală cu aria de sub curba funcției constante egală cu mica m sub f. Și asta este doar de b ori de ori m sub f, din nou, prin intuiție. Dar acest lucru se vede și din teorema pe care tocmai am demonstrat-o împreună cu liniaritatea integralei Riemann, pe care am demonstrat-o deja. Și integrala lui f, aria de sub această curbă este, de asemenea, mai mică sau egală cu aria de sub curba în care f atinge un maxim. Este a 12-a săptămână de curs și încă nu am adus cretă colorată, așa că sper că a fost suficient de clar fără ca eu să fiu nevoit să colorez lucrurile. Deci teorema este următoarea. Dacă f-- din nou, lucrăm cu funcții continue pentru că asta este tot ce putem integra sau vom integra în această secțiune-- și am aceste două numere, inf-ul fx, despre care știm că este, de fapt, un min. , adică există un punct aici-- deci, de fapt, voi scrie „min”. știm că prin teorema min, max că pentru fiecare funcție continuă își atinge minimul-- și max. Apoi, așa cum spuneam acum un minut, aria de sub curba little m sub f, care este acest pătrat mai mic, este mai mică sau egală cu aria de sub curba lui f. Deci mic m sub f ori b minus a, aria de sub minim, este mai mică sau egală cu aria de sub curba lui f, care este mai mică sau egală cu aria de sub curba liniei mai înalte, M sub majusculă f. Cum demonstrăm asta? Ei bine, folosim doar aceste două teoreme anterioare, nu? Deoarece mic m sub f este mai mic sau egal cu capitalul M sub f - deci din moment ce mic m sub f este mai mic sau egal cu f din x, care este mai mic sau egal cu capitalul M sub f, pentru toate x și ab putem aplica acea teoremă acolo sus pentru a obține că integrala micului m sub f-- din nou, acesta este doar un număr fix-- este mai mică sau egală cu integrala din ab a lui f. Și acum, din nou, acestea sunt doar numere fixe. Deci, prin ceea ce am demonstrat aici, că integrala de la a la b a lui 1 este b minus a, faptul că scalatorii scot-- deci acest număr de aici poate ieși-- și acesta este doar m sub f ori integrala din ab de unu. Deci, acesta este mic m sub f ori b minus a. Aici, acesta este M majuscule sub f ori b minus a. Și asta e dovada. Așa că acum permiteți-mi să fac câteva comentarii despre unele convenții, într-adevăr. Deci am vorbit despre... sau cel puțin, am vorbit despre, tu nu ești aici. Deci nu am vorbit deloc. Așa că am vorbit despre integrala de la ab la f când a este mai mică decât b, dar voi folosi-- voi stabili doar o convenție, sau ați putea spune că aceasta este cu adevărat notație. Când am asta-- când notez acest simbol, integrala a la a din f, acesta este de fapt doar un alt mod de a scrie 0. Și o alta este că, dacă, de fapt, b este mai mică decât a, atunci integrala din ab la f-- deci amintiți-vă, am vorbit despre integralele din-- peste intervale-- sau unde numărul de jos este mai mic decât numărul de sus, așa că ori de câte ori scriu acest simbol cu ​​numărul mai mare pe de jos și numărul mai mic de sus, ar trebui să citiți acest lucru ca minus integrala lui, aceasta fiind în locul potrivit, ceea ce înseamnă că acest număr de aici este mai mic decât acest număr de aici. OK și din nou, acestea sunt într-adevăr doar notații, că dacă scriu asta, acesta este un mod elegant de a scrie 0. Când scriu asta, asta înseamnă minus integrala cu numerele potrivite de sus și de jos, adică numerele mai mici de pe în partea de jos, numerele mai mari în partea de sus. Așa că poate întrebați-- deci asta este-- de ce definesc asta ca fiind 0. Ei bine, dacă doriți, 1 este în concordanță cu faptul că pentru toate funcțiile continue, dacă iau integrala de la a la b cu b mai mare decât a și iau limita pe măsură ce b merge la a, aceasta este egală cu 0. Și doi este apoi în concordanță cu numărul unu și apoi cu aditivitatea. Cu aditivitatea în numărul unu, pentru că atunci prin numărul unu, obțin că... deci aditivitatea îmi va spune că integrala de la a la a a lui f este egală cu integrala de la ab la f, plus integrala din baf, presupunând aici b este mai mic decât a. Deci, dacă cu 1 acesta este 0, atunci pentru a fi consecvent cu aditivitatea, aceasta ar forța integrala de la ab la f să fie minus integrala de la ba a lui f. Deci ambele convenții, dacă doriți, sunt în concordanță cu proprietățile integralei Riemann, și anume că limita ca b merge la a zonei de sub această curbă, pe măsură ce baza devine din ce în ce mai mică este 0. Și apoi de la- - dacă presupun asta, atunci aditivitatea îmi spune că integrala de la ab trebuie să fie minus integrala de la b la a din f. Bine, așa că acum am calculat cu succes o integrală. Desigur, când ai luat calcul, asta nu era tot ce puteai face. Calculul este ceea ce este datorită eroului poveștii, care este Teorema fundamentală a calculului, care este ceea ce vom demonstra acum. Teorema fundamentală a calculului, care afirmă următoarele. Dacă am o funcție F mare, deci mai întâi, să fiți f mic să fie o funcție continuă. Deci, prima declarație este, practic, cum se calculează integralele. Dacă integrala F capitală de la ab la r este diferențiabilă peste tot pe ab și f prim este egal cu f mic, atunci integrala din ab a lui f este egală cu f din b minus f din a. Un alt mod de a spune acest lucru este că integrala din ab a lui F prim capital este egală cu f din b minus f din a. Și apoi a doua parte - deci prima parte este despre calculul integralelor. A doua parte este despre rezolvarea ecuațiilor diferențiale, practic. Deci funcția g a lui x este egală cu integrala de la a la x a lui f. Deci, pentru fiecare x și ab, îl încadrez ca limită superioară a acestei integrale. Această funcție este diferențiabilă pe ab. Și satisface cea mai simplă ecuație diferențială, care este g prim egal f, iar g al lui a este egal cu 0. Deci aceasta este teorema fundamentală a calculului, prima parte fiind despre cum se calculează integralele, a doua, cum se calculează soluțiile la o ecuație diferențială. Și anume, cum găsesc soluția la problema g prim este egal cu mic f. Atât de puțin f este dat. Vreau să găsesc o funcție g care să satisfacă g prim este mic f cu capitalul de condiție inițială G a este egal cu 0. Aceasta este dată de această funcție aici, unde iau puțin stânga și o integrez de la a la x. Așa interpretez Teorema fundamentală a calculului, prima despre rezolvarea integralelor, a doua despre rezolvarea ecuațiilor diferențiale. În regulă, acesta este eroul calculului, Batmanul poveștii. Și am spus la un moment dat că Teorema valorii medii este Alfredul acestei povești. Și, prin urmare, ar trebui să joace un rol decisiv în demonstrarea acestei teoreme. În regulă. Deci vom conecta aceste două lucruri. Deci, pentru a ajunge chiar la acest tip, trebuie să luăm o partiție, o secvență de partiții care converg cu norma convergând la 0. Deci și apoi să vedem ce obținem. Deci aceasta este prima parte a dovezii. Deci, să luăm o secvență de partiții de etichete -- tot uit să scriu etichetă și să spun cuvântul etichetă, dar ar trebui să auzi asta, deși nu o spun -- cu normă. De fapt, nici măcar nu vom... acest lucru este corect. De fapt, voi veni cu etichetele într-un minut. Deci, să luăm mai întâi o secvență de partiție. Deci acest lucru este de fapt complet corect. Deci încă nicio etichetă, nici un punct ales între ele, cu Norma convergând la 0. Și apoi voi alege o etichetă specială pentru fiecare r, astfel încât în ​​limită să obțin această egalitate între integrala lui f și capitalul F a lui b minus f, F majuscul lui a. Așa că aici vine Alfred după Teorema valorii medii. Deci avem acest subinterval x de j minus 1 și x sub j. Deci, după teorema valorii medii , există -- pentru fiecare j există un punct între acești doi tipi, astfel încât dacă iau f din x sub j r minus f -- deci capital F, amintiți-vă, este această funcție care este diferențială și a cărei derivatul îmi dă puțin f-- acesta este egal cu capitalul F prim al lui xi j de r ori xj minus xj minus 1. Și, prin presupunere, derivata capitalului F este egală cu mic f, nu? Deci, voi înlocui acest f prim cu f mic. Așa că acum aceste xi-uri le voi lua drept etichetă, secvența mea de etichete. Pune o stea prin această relație aici. Ce concluzionăm? Dacă mă uit la suma Riemann pentru f asociată acum această secvență de etichete, unde acum xi sunt exact aceste xi care satisfac această relație. Aceasta este egală cu ca înainte, suma de la j este egală cu 1 la nr f din xg xi sub j. Acum, după cum au fost aleși aceste xi-- amintiți-vă, ele au fost alese pentru a satisface această relație aici, stele de Teorema valorii medii. Deci aceasta este egală cu suma din j este egală cu 1 doi n sub r, f din x sub j minus f din x sub j minus 1. Și din nou, aceasta este o sumă telescopică. Și tot ceea ce înțeleg este când j este egal cu n din r, ultimul punct. Și când j este egal cu 0, deci acesta este egal cu f din ultimul punct minus f din primul punct. Acum, pentru partiție, acesta este întotdeauna b. Și acesta este întotdeauna un. Deci acesta este f din b minus f din a. Deci, fiecare dintre aceste sume Riemann pentru această secvență de partiții de etichete îmi dă f din b minus f din a. Deci atunci ajung să iau limita și obțin integrala. Și, prin urmare, integrală de la ab la f, care este limitată pe măsură ce r merge la infinit de s din f egal - și tocmai am calculat că aceasta este întotdeauna egală cu f din b minus f din a. Am luat o secvență de -- doar o recapitulare -- am luat o secvență de partiții cu norme care converg la 0. Și am ales etichete speciale folosind Teorema Valoarei Medie. Deci, după teorema valorii medii , pe fiecare dintre aceste subintervale capitalul F evaluat la punctul final din dreapta minus f evaluat la punctul final din stânga este egal cu f, care este derivata capitalului F evaluat la un moment dat între ori lungimea interval. Deci, acum, dacă luăm suma Riemann asociată acestei secvențe de partiții de etichete în care aceste xi sunt definite de această condiție, atunci putem calcula de fapt această sumă Riemann și îmi dă f din b minus f din a indiferent ce este r . Deci atunci când iau limita pe măsură ce r merge la infinit, partea stângă merge la integrală, dar este întotdeauna egală cu F majuscul lui b minus f din a. Deci asta dovedește numărul unu. Deci, pentru numărul doi, ce vrem să arătăm? Vrem să arătăm această funcție. Deci, în primul rând, este prin convenția g a lui a, care este integrala de la a la a a lui f, aceasta este zero. Deci nu trebuie să verific a doua condiție. Trebuie doar să verific dacă această funcție este diferențiabilă, iar derivata acelei funcție este mică f. Fie c în ab. Deci, ce vrem să arătăm? Vrem să arătăm că derivata capitalului G este egală cu mica f. Deci am dori să arătăm că limita ca x merge la c a integralei de la a la x a lui f minus integrala de la a la c a lui f, peste x minus c, care este doar g de x minus g de c, este egal cu f din c. așa că vom face asta după cărți... după carte, cred. Când spun... deci e un joc de cuvinte prost, cred. Nu știu. Dar adică, o dovadă epsilon delta pentru această limită. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Delta pe care o alegem în cele din urmă depinde de-- și vom folosi în mod crucial faptul că f este continuă la c. Deci, deoarece f este continuă la c, există o delta 0 pozitivă astfel încât ce? t minus c mai mic decât delta 0 implică faptul că f din t minus f din c este mai mic decât epsilon-- să ne acordăm puțin spațiu-- peste 2. Alegeți delta pentru a fi acest delta 0. Amintiți-vă, trebuie să arătăm pentru fiecare epsilon , există o delta, astfel încât dacă x minus c este mai mic decât delta, atunci acest minus aceasta în valoare absolută este mai mică decât epsilon. Spun acum, alegeți delta pentru a fi acest delta 0 unde acest delta 0 asigură acest lucru chiar aici. OK atâta timp cât t minus C este mai mic decât delta 0. Acum, din cauza convențiilor semnelor, vom face două cazuri. Deci nu chiar, voi face doar un caz. Deci, să presupunem că x este între c și c plus delta. Deci, vrem să arătăm, de asemenea, va trebui să fim capabili să facem cazul în care x este între c minus delta și c. Aceasta ar acoperi întregul interval al valorii absolute a x minus c este mai mică decât delta, dar mai mare decât zero. O să fac doar acest caz. Deci acum vrem să arătăm că dacă x este aici, atunci acest lucru minus acest lucru în valoare absolută este mai mic decât epsilon. Deci, mai întâi, aș dori să observ că, dacă t este în acest interval de la c la x, atunci asta îmi spune că valoarea absolută a lui t minus c, care este egală doar t minus c, aceasta este mai mică sau egală cu x minus c, care este mai mică decât delta. Și țineți minte, aceasta este egală cu delta 0, bine? Deci, atâta timp cât sunt în acest interval aici, valoarea absolută a t minus c este mai mică decât delta 0. Așa că permiteți-mi să fac o imagine, astfel încât aceasta să fie destul de clară. Această lungime este delta. Dacă iau orice t între, atunci această distanță de la t la c va fi, de asemenea, mai mică decât delta. Deci asta e tot ce am scris. Astfel, până acum calculați coeficientul diferențelor minus limita propusă. Deci, privind 1 peste x minus c ori integrala minus integrala din ac din f minus f din c. Acesta este lucrul pe care vreau să-l arăt este mai puțin de epsilon. Acum, prin aditivitate, integrala de la a la x, deoarece x este -- ei bine, integrala de la a la x a lui f este egală cu integrala de la a la c plus integrala de la c la x. Deci aceasta este egală cu 1 peste x minus c integrală de la c la x din f minus fc. Acum, acesta este doar un număr fix. Și, prin urmare, o să fac un mic truc. Minus integrala de la... deci, de fapt, lasă-mă să fac asta. Permiteți-mi să introduc câteva variabile de integrare, astfel încât acest lucru să devină mai clar. Deci aceasta este f din t, dt minus integrala lui f din t, dt. Am folosit notația în care pur și simplu nu notez variabila de integrare, dar lasă-mă să fac asta aici. F din t, dt minus f din c. Acum, aceasta este egală cu minus f de c peste x minus c integrală de la c la x de 1 dt. Deoarece integrala de la c la x a constantei 1 îmi dă x minus c. Asta se anulează cu tipul ăsta. Acum f din c este doar un număr. Este doar un număr fix. Așa că pot aduce asta în integrală. Și apoi folosiți liniaritatea integralei pentru a rescrie, de fapt, toate acestea ca 1 peste valoarea absolută a x minus c integrală de la c la x din f din t minus f din c, dt în valoare absolută. Acum 1 peste x minus c, acest lucru este pozitiv deoarece x este mai mare decât c. Așa că pot scoate asta chiar așa. Și acum ce știu? Pentru t între acest c și x, valoarea absolută a lui t minus c este mai mică decât delta 0, nu? Deci, după ceea ce am aici, atâta timp cât sunt în acest interval cx, voi avea această inegalitate. Deci, înainte de a face asta, permiteți- mi să aplic mai întâi inegalitatea triunghiului pentru integrale. Aceasta este mai mică sau egală cu integrala de la c la x a lui f a lui t minus f a lui c. Deci, după al doilea lucru pe care l-am subliniat, pentru t în acest interval de la c la x, acest lucru aici este întotdeauna mai mic decât epsilon peste 2. Deci, după ceea ce știm despre integrale care respectă inegalitățile, aceasta va fi mai mică sau egală. la 1 peste integrala x minus c, integrala c la x, epsilon peste 2 dt. Și acum acesta este doar egal cu... deci acesta este un număr. Iese. Deci primesc 1 integrală de la c la x de 1. Deci primesc x minus c ori integrala lui 1. Deci x minus c, iar asta se anulează, mai puțin de epsilon. Și asta a fost pentru x între c și c plus delta. Argumentul pentru c între c și c minus delta este în esență același, doar cu modificări minore de semn. Deci, în mod similar, c minus delta mai mic decât c implică faptul că integrala de la a la x a lui f minus integrala a la c a lui f peste x minus c minus f a lui c este mai mică decât epsilon. Deci am făcut x între c minus delta și c, x între c și c plus delta, ceea ce implică că dacă... atunci, ceea ce am vrut să demonstrăm. OK, așa că am încheiat dovada Batman-ului poveștii. Și acest lucru ne oferă nu numai o modalitate de a calcula integralele, ci și o modalitate utilă, dacă doriți, de a schimba sarcina sau de a schimba vina ori de câte ori calculăm integralele anumitor produse. Deci despre care vorbesc este integrarea pe părți, despre care nu-mi amintesc dacă am spus că a fost prima sau a doua. Cred că a fost al doilea. Primul lucru cel mai util din analiză este inegalitatea triunghiului, al doilea fiind integrarea pe părți. Și o treime apropiată este inegalitatea Cauchy-Schwartz, care, împreună cu integrarea pe părți, este destul de o-- majoritatea lucrărilor de cercetare actuale se bazează pe aceste două lucruri și le folosesc într- un mod foarte inteligent. Deci integrarea prin părți presupune că f și g sunt diferențiabile continuu, ceea ce înseamnă că derivatele există pe ab și sunt, de asemenea, continue. Deci, dacă mă auzi spunând diferențiabil continuu în viitor, înseamnă că funcția are o derivată care este continuă. Apoi integrala din ab a f timpi primi g-- deci cea cu povara, pentru că nu uitați, diferențiabilitatea este un fel de miracol. Deci minunile vin întotdeauna cu un fel de povară. Aceasta este egală cu f de b ori g de b minus f de ori g de a minus integrala de la a la b. Și acum schimbăm această povară la g ori g prim. Așa că lasă-mă să pun o paranteză în jurul asta, ca să poți... Eu nu... hai să o facem așa, g prim f. Bine, așa că pot lua acel derivat și îl pot pune pe g. Și care este dovada? Dovada este doar teorema fundamentală a calculului și regula produsului. Deoarece derivata lui f ori g este egală cu f ori primă g plus g ori primă f, obținem prin teorema fundamentală a calculului integrala din ab a lui, să spunem partea dreaptă, deci aceasta este f prim g plus g prim f este egală cu integrala de la a la b de f ori g prim, deci prin teorema fundamentală de calcul. Și acum integrala derivatei este funcția evaluată la punctul final. Deci este f de b ori g de b minus f de a ori g de a. Deci, aceasta este integrarea pe părți, care este o consecință a regulii produsului. regula coeficientului este ceva-- este doar regula produsului deghizată. Deci nu primim nimic nou de acolo. Dar ne amintim, de asemenea, să avem regula lanțului, care apoi are ca rezultat modificarea formulei variabilelor. Deci teoremă-- fie b de la ab la cd să fie continuu diferențiabil. Deci, aceasta înseamnă că funcția este continuă, iar derivata ei este, de asemenea, continuă. Cu proprietatea că derivata este pozitivă pe ab. b din a este egal cu c. b din b este egal cu d. Este greu de văzut că a. Deci, vă puteți gândi la phi ca fiind o schimbare de variabile de la cd la ab. Atunci integrala de la c la d a lui f a lui u, du este egală cu integrala de la a la b a lui f a lui phi a lui x, phi prim a lui x, dx. Deci, poate în loc de schimbarea variabilelor - deci aceasta este schimbarea variabilelor, a.k.a. substituția u, unde ați spus u egal cu phi al lui x, atunci du este egal cu phi prim al lui x dx. Și din nou, dovada acestui lucru decurge doar din Teorema fundamentală a calculului și din regula lanțului pe care o cunoaștem. Așadar, să fie f o funcție de la ab la r astfel încât f prim să fie egal cu mic f. Putem găsi întotdeauna unul în partea a doua a teoremei fundamentale a calculului. Putem rezolva întotdeauna această ecuație diferențială până la o constantă. Atunci, dacă mă uit la funcția f a lui phi a lui x și iau derivata ei în raport cu x după regula lanțului, aceasta este egală cu f prim pentru phi de x ori phi prim pentru x, care este egal cu f pentru phi pentru x , phi prim al lui x. Atunci când integrez acea integrală din ab, phi a lui x-- f a lui phi a x phi primă a x dx, aceasta este egală cu integrala din ab a f a lui phi a x prim dx. Acum, după prima parte a Teoremei fundamentale a calculului, aceasta este egală cu - integrala derivatei este acest lucru evaluat la punctul final. Deci f din phi al lui b minus f din phi al lui a. Aceasta este egală cu f din d minus f din c deoarece phi al lui b este egal cu d, phi al lui a este egal cu c și phi al lui b este egal cu d. Dar din nou, prin teorema fundamentală a calculului, deoarece capitalul F este -- când diferențiezi, îmi dă puțin f, aceasta este egală cu integrala de la c la d a lui f prim a lui u du, care este egală cu f a u du . Din nou, deci tocmai am aplicat teorema fundamentală a calculului de trei ori, bine? Mai întâi pentru a găsi o funcție a cărei derivată este mică f. Apoi am folosit regula lanțului pentru a concluziona că derivata capitalului F a lui phi este egală cu acest lucru, care este lucrul pe care îl integrăm în partea dreaptă. Atunci când integrăm asta, aceasta este egală cu integrala unei derivate. Și, prin urmare, doar ridicăm punctele finale, f din d minus f din c. Dar pentru că capitalul F este egal cu-- este o anti-derivată a mic f, adică derivata este mic f, acest număr de aici este, de asemenea, egal cu această integrală aici, care este acest tip. Și apoi obținem formula de schimbare a variabilelor. Așa că cred că ne vom opri aici. Și data viitoare, vom face o aplicare rapidă a celui de-al doilea lucru cel mai util de pe Pământ, care este integrarea pe părți. Și apoi vom trece la secvențe de funcții.