[SCRÂTÂT] [FOSȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK, deci haideți să continuăm discuția despre teoria spectrală pentru operatorii compacti auto-adjuncți. Așadar, permiteți-mi să amintesc doar pe scurt spectrul unui operator mărginit, care trebuia să fie o generalizare a valorilor proprii ale unei matrice. Așadar, am definit mulțimea rezolutivă a lui A ca fiind acele numere complexe astfel încât A minus lambda ori identitatea, pe care tocmai o scriu este A minus lambda, este un operator liniar inversabil, mărginit, adică este bijectiv și, prin maparea deschisă. teorema, vă spune că și inversul este continuu. Și spectrul lui A este pur și simplu acele lambda, astfel încât A minus lambda nu este inversabilă, deci complementul mulțimii rezolutive a lui A. Deci, din algebra liniară, aveți următoarea caracterizare a spectrului , că dacă H este CN și A este, prin urmare, matrice pe CN, sau RN dacă doriți, atunci spectrul este pur și simplu setul de valori proprii ale lui A. Și dacă ne limităm atenția la matricele hermitiene, care sunt denumite -- care sunt, de asemenea, denumite ca autoadjunct și în algebra liniară, sau simetric dacă ne uităm doar la spații vectoriale reale Rn, atunci valorile proprii sunt reale. Și puteți găsi o bază ortonormală a spațiului CN sau RN, în funcție de ceea ce căutați pentru această matrice simetrică, astfel încât în ​​acea bază, matricea să fie complet diagonalizată. și. Care sunt elementele diagonale acolo? Valorile proprii ale matricei. Și ceea ce vom ajunge să dovedim este că acea imagine, această imagine în care pentru o matrice auto-adjunctă pe CN, spectrul este dat de valorile proprii. Și puteți diagonaliza, în esență diagonaliza acest operator, ceea ce înseamnă că puteți găsi o bază ortonormală constând în întregime din vectori proprii ai operatorului este valabil și pentru operatorii compacti auto-adjuncți. Acest lucru nu ar trebui să fie o surpriză prea mare, ca o surpriză prea mare, deoarece operatorii compacti sunt limite ale rangului finit, adică matrici în spațiul operatorilor liniari mărginiți. Deci acolo ne îndreptăm. Acum, deci doar pentru a continua acest lucru și pentru o mică revizuire, deci în cazul cu dimensiuni finite, spectrul poate fi-- sau spectrul este întotdeauna doar valorile proprii ale matricei A-- nu așa în dimensionala infinită setarea, de exemplu, dacă ne uităm la micul l2. Și atunci A ori a este egal, să spunem, a1 peste 1, a2 peste 2 și așa mai departe, pentru a, o secvență din l2. Atunci ceea ce puteți dovedi este că 0 este în spectrul lui A. O modalitate de a vedea asta este că fiecare dintre vectorii de bază ai lui H dat, unde aveți doar 1 în al n-a slot și 0 în caz contrar, fiecare dintre aceștia este un vectorul propriu al acestui operator A cu valoarea proprie 1 peste n, unde n vă spune unde este 1 și 0 în caz contrar. Deci 1 peste n este o valoare proprie a acestui operator pentru fiecare n. Și 1 peste n convergență la 0. Și deoarece spectrul unui operator liniar mărginit este o mulțime compactă, în special închisă, 0, care este limita acelei secvențe, trebuie să fie și el în spectru. Și, de fapt, ceea ce vom arăta este că, în cazul nedegenerat, ceea ce vedem aici este ceea ce se întâmplă în general pentru operatorii auto-adjuncți compacti, că, dacă nu este un operator de rang finit, atunci are multe numărătoare- - sau număr infinit infinit -- acesta nu este un șir de cuvinte foarte bun -- valori proprii numărabile infinite care converg către 0. Și 0 poate fi o valoare proprie, poate să nu fie. Și mai mult, acesta va fi singurul care caracterizează complet spectrul. Deci, permiteți-mi doar să scriu aici pentru acest exemplu că, de fapt, spectrul lui A este egal cu punctul 0 uniunea 1 peste n într-un număr natural. Și acestea sunt... din nou pentru acest operator aici, acestea sunt valorile proprii. Și aceasta este doar... ei bine, 0 este 0. Dar 0 nu este o valoare proprie, OK. Acum, aceasta nu este imaginea generală, ceea ce înseamnă că pentru un operator auto-adjunct compact, veți avea infinite de valori proprii. Și atunci 0 nu va fi o valoare proprie. Ai putea avea și 0 în valoare proprie. Dar, în general, imaginea este că orice din spectru care nu este 0 trebuie să fie o valoare proprie. Și asta este în esență ceea ce va dovedi că primul nostru rezultat al acestei prelegeri este următorul. Deci aceasta este alternativa Fredholm. Deci, fie A un operator compact auto-adjunct și lambda un număr real diferit de zero. Apoi intervalul A minus lambda este închis. Deci aceasta este concluzia. Și astfel intervalul A minus lambda este egal cu complementul ortogonal al complementului ortogonal al lui însuși, care-- complementul ortogonal al intervalului A minus lambda este egal cu spațiul nul al adjunctului. Și deoarece A este autoadjunct și lambda este un număr real, adjunctul este doar A minus lambda. Deci, aceasta chiar aici este concluzia principală din care iei asta. Și, prin urmare, doar pentru a explica concluzia acestei egalități, se întâmplă oricare dintre cele două alternative . Deci, acesta este numele, alternativ-- fie A minus lambda este bijectiv, fie spațiul nul al lui A minus lambda, care este doar spațiul propriu al lui A minus lambda, fie ar trebui să spun că spațiul propriu corespunzător lambda este netrivial și finit dimensională. Mai mult, această egalitate de aici vă spune când puteți rezolva ecuația A minus lambda u este egal cu f. Puteți rezolva un minus lambda u este egal cu f dacă și numai dacă f este în intervalul A minus lambda, care este dacă și numai dacă f este ortogonal la spațiul nul al lui A minus lambda. Așa că permiteți-mi să fac o mică remarcă aici. Deci, în primul rând, faptul că acest spațiu trebuie să fie dimensional finit am demonstrat data trecută. Am demonstrat la sfârșitul prelegerii, ultima prelegere, că pentru un operator auto-adjunct compact, spațiul nul, spațiul propriu corespunzător unei valori proprii non-nule date, este dimensional finit. Și apoi demonstrăm, de asemenea, că spațiile proprii corespunzătoare la două valori proprii diferite sunt ortogonale. Și demonstrăm, de asemenea, că valorile proprii care sunt diferite de zero, sau orice valoare proprie, trebuie să fie reale. Așa că acum permiteți-mi să fac câteva observații. Prima este doar o reformulare a ceea ce este în teoremă. Prin urmare, f este în intervalul A minus lambda, ceea ce înseamnă că puteți rezolva ecuația A minus lambda u este egal cu f dacă și numai dacă f este în spațiul nul al-- sau complementul ortogonal al lui A minus-- sau spațiul nul al Un minus lambda. Deci ceea ce spune aceasta este că puteți rezolva pentru f, având în vedere că f satisface un număr finit de condiții liniare, deoarece spațiul nul al lui A minus lambda este dimensional finit. Deci f fiind ortogonal cu aceasta înseamnă alegeți o bază finită, o bază ortonormală finită de A minus spațiu nul de A minus lambda. Atunci f în produsul nostru cu acei vectori finiți trebuie să fie 0. Deci aveți un număr finit de condiții pe f pentru a putea rezolva pentru f. Și nu numai atât, această soluție pe care o calculați este, de asemenea, unică până la un număr finit de condiții, deoarece, din nou, spațiul nul al lui A minus lambda este-- sau unică până la un subspațiu dimensional finit, din nou, deoarece spațiul nul al lui A minus lambda este dimensional finit. Și al doilea este că pentru un operator auto-adjunct, avem că spectrul este un submult al numerelor reale. Pentru un operator auto-adjunct , acesta este ceva ce am demonstrat ultima prelegere. Nu trebuie să fie compact, doar un operator auto-adjunct. Deci, deoarece spectrul este o submulțime a realelor, acest lucru demonstrează că pentru un operator auto-adjunct compact, spectrul lui A este egal cu mulțimea valorilor proprii ale lui A, sau ar trebui să spun valori proprii diferite de zero ale lui A. Să-l scriem astfel . Dacă mă uit la ceea ce este în spectru, altul decât 0, eventual, atunci numerele diferite de zero care sunt în spectru trebuie să fie valori proprii. Deci, pentru un operator auto-adjunct compact, și doar în cazul matricelor, spectrul, spectrul diferit de zero trebuie să fie -- nu sunt altceva decât valori proprii. Și ultima dată, amintiți-vă, am demonstrat că valorile proprii sunt infinite numărătoare, sau numărabile. Sunt fie finiți, fie infinit infinit. Și dacă sunt infinite numărabile, ele converg la 0. Deci, din nou, prin ultima prelegere, concluzionăm că spectrul lui A ia 0 este egal fie cu un număr finit de valori proprii, fie cu valori proprii numărabile infinite care converg către 0. Deci, din Fredholm alternativă obținem o mulțime de informații despre când putem rezolva ecuații. Dar ne spune, de asemenea, din acea capacitate de a spune când putem rezolva ecuațiile, putem caracteriza și spectrul diferit de zero al unui operator compact auto-adjunct . Așa că trebuie să demonstrăm că-- deci amintiți-vă că toate acestea au urmat din lucrurile pe care le-am demonstrat și principala concluzie a teoremei, care este că intervalul A minus lambda este închis. Deci trebuie să demonstrăm că intervalul A minus lambda este închis atunci când lambda este un număr real diferit de zero. Deci, să presupunem că aveți o secvență în interval, pe care o voi scrie ca A minus lambda ori un convergent către un element f din H. Deci, ceea ce am dori să putem arăta este că f este în interval. Deci vrem să arătăm că f este în intervalul H-- sau nu în intervalul H, intervalul A-- minus lambda, îmi pare rău. Sper că nu am făcut acea greșeală în altă parte... nu, doar... OK. Acum, presupunem doar că un minus lambda atunci când lovește u sub n converge către f. Nu presupunem a priori utilizarea convergenței lui n. De fapt, nu putem. Dar, în cele din urmă, am dori să venim cu o subsecvență sau o parte din u sub n până la o subsecvență care converge și apoi concluzionăm că f este în interval. Așa că mai întâi vreau să scap de partea inutilă a u sub n-urilor. Deci, să fie W... ei bine, nu trebuie să-i dau un nume. Serios, unde este radiera mea? Deci vn este proiecția pe complementul ortogonal a spațiului nul al lui A minus lambda al lui u sub n. Deci, acum, aceasta este doar o parte din -- deci fiecare u sub n este scris -- puteți scrie ca ceva în spațiul nul al lui A minus lambda. Deci, deoarece spațiul nul al lui A minus lambda este un subspațiu închis al lui H, are un complement ortogonal, astfel încât acesta și complementul său ortogonal oferă produsul direct -- sau când luați produsul lor direct, vă oferă H. Deci, de ce spun eu acea? Pentru că atunci dacă iau A minus lambda u sub n, acesta este egal cu A minus lambda aplicat la pi, deci proiecția pe spațiul nul al lui u sub n plus proiecția pe complementul ortogonal al spațiului nul, pe care l-am definit ca v sub n. Acum, acest element de aici se află în spațiul nul al lui A minus lambda. Deci, când A minus lambda îl lovește, primesc 0. Așa că primesc A minus lambda aplicat la v sub n, bine. Atunci un minus lambda v sub n este egal cu A minus lambda u sub n, care converge spre f. Deci, practic, am îndepărtat ceva zgomot, bine, partea că atunci când lovește A minus lambda, primesc 0. Așa că acum am doar aceste v sub n care se află în complementul ortogonal al spațiului nul al lui A. minus lambda. Deci afirmația mea este, în primul rând, că secvența v sub n este mărginită. Practic, odată ce pot arăta acest lucru, atunci am terminat pentru că dacă pot arăta că v sub n este mărginit, atunci deoarece A este un operator compact, atunci când A lovește v sub n până la o subsecvență, acesta converge. Acum, toată această expresie converge și, prin urmare, ori lambda v sub n converge. Lambda este diferită de zero, deci atunci v sub n converge până la o subsecvență la ceva. Și, prin urmare, A minus lambda v sub n converge apoi la A minus lambda v pentru unele v, ceea ce arată că f este în intervalul A minus lambda. Deci acesta este într-adevăr întregul joc cu mingea. Și vom folosi aici în mod crucial și că am aruncat părți inutile din u sub n, inutile cel puțin pentru acest argument. Așa că susțin că acest lucru este limitat, așa că presupunem că nu. Atunci există subsecvența v sub n sub j astfel încât v sub n sub j merge la infinit așa cum j merge la infinit. În regulă, acum, dacă mă uit la A minus lambda aplicat la v sub n sub j peste norma v sub n sub j, aceasta converge -- deci mai întâi, deoarece este un operator liniar, acesta este egal cu 1 peste norma v n sub j ori A minus lambda aplicat la v sub n sub j. Și astfel acest scalar, 1 peste norma v n sub j converge la 0. Acesta converge la f. Deci primesc vectorul 0 în H. Deci acest lucru converge la 0 în spațiul Hilbert H. Acum, de ce este rău? Pentru că, în esență, ceea ce va spune aceasta este că există un element, sau că această secvență converge cel puțin până la o subsecvență la un element v cu norma 1, deoarece toți au norma 1, astfel încât A minus lambda v este egal cu 0. Dar toate dintre acestea sunt în spațiul nul al lui A minus lambda și obținem o contradicție. Deci avem acel A minus lambda... deci avem acea parte. Deoarece este A este un operator compact, există o subsecvență, deci o altă subsecvență -- o voi numi doar n sub k în loc de n sub j sub k -- v sub n sub k din v sub n sub j astfel încât secvența a sub v sub n sub k converge. Dar apoi obțin că v sub n sub k-- sau ar trebui să spun v sub n sub k peste norma de v sub n sub k. Deci toate acestea au norma 1. Și A aplicat la ceva care are lungimea unității - sau imaginea de către A a bilei unității închise este o precompactă - sau închiderea acesteia este compactă. Și, prin urmare, fiecare șir are o subsecvență convergentă. Atunci v sub n sub k peste norma de v sub n sub K, , acesta este egal cu 1 peste lambda ori A aplicat la v sub n sub k peste norma de v sub n sub k minus A minus lambda aplicat la v sub n sub k. Acum această secvență de elemente converge la 0. Asta este, de fapt, ceea ce tocmai am demonstrat. Și acest lucru converge cu modul în care am luat această subsecvență deoarece A este un operator compact. Deci am această secvență de vectori este egală cu - și aici putem împărți la lambda deoarece lambda este diferit de zero. Este egal cu o combinație liniară a două secvențe care converg. Și prin urmare obținem că v sub n sub k peste norma lui v sub n sub k, k converge către un element v. Și acum spațiul nul sau complementul ortogonal al spațiului nul al lui A minus lambda, fiecare dintre acestea este in- - amintiți-vă complementul ortogonal al spațiului nul. Și deoarece converge către un element și acesta este închis, acest element trebuie să fie în același set. Deci, din nou, acest lucru decurge din-- faptul că v este aici se datorează faptului că această mulțime este închisă. Complementul ortogonal al oricărei submulțimi a unui spațiu Hilbert este închis. Apoi, prin continuitatea normei, practic, norma lui v trebuie să fie egală până la limită, deoarece k merge la infinitul normei elementelor care converg către ea, care toate sunt egale cu 1. Și dacă calculez A minus lambda aplicat la v, aceasta este egală cu -- deoarece v sub n sub k peste norma v sub n sub k converg către v A minus lambda aplicat la v sub n sub k peste norma v sub n sub k. Și, amintiți-vă, aceasta este o subsecvență a v sub n sub j. Și când A minus lambda atinge asta, ele converg la 0, deci-- toate acestea bazate pe presupunerea că norma v sub n sub k converge la infinit sau că șirul este nemărginit. Deci avem acest element în spațiul nul care are-- sau complementul ortogonal al spațiului nul care are norma 1, dar vă oferă și 0. Și, prin urmare, obținem că v este în spațiul nul al lui A minus lambda din acest calcul și este complement ortogonal. Dar singurul vector posibil care se află într-un spațiu și complementul său ortogonal este vectorul 0, sau singurul vector dintr-un subspațiu și complementul său ortogonal este vectorul zero. Și, prin urmare, v este egal cu 0, ceea ce este o contradicție cu faptul că norma lui v este egală cu 1. Așa că am început cu secvența v sub n. Presupunând că sunt nemărginite, v sub n peste normă v sub n este o secvență de în esență-- da. Deci poate te-ai pierdut în subsecvențe. Dar să presupunem că vorbesc despre întreaga secvență. Atunci v sub n peste norma v sub n, când a. Minus lambda îl lovește, converge la 0. Deoarece A este un operator compact, putem arăta în esență că A aplicat la v sub n peste norma v sub n, deoarece acele lucruri au lungimea unitară, converge către ceva. Și deoarece lambda este diferit de zero, putem concluziona că acei vectori converg, de fapt, către ceva, nu doar imaginile lor prin A sau imaginile lor cu A minus lambda, din nou, deoarece lambda este diferit de zero. Și deoarece toate au lungimea unitară, limita lor trebuie să aibă lungimea unitară. Și din moment ce atunci când un minus lambda îi lovește pe acești tipi, ei merg la 0, limita trebuie să fie egală, atunci când A minus lambda îl lovește, să fie egală cu 0. Și asta ne dă contradicția noastră deoarece această limită v trebuia să fie în complementul ortogonal al spațiului nul. , dar apoi și în spațiul nul și au lungimea unitară. Aceste trei lucruri se pot întâmpla deodată. Deci secvența v sub n este mărginită. Deci, amintiți-vă, cu ce au fost v sub n-urile pentru a începe? Ele au fost astfel încât A minus lambda v sub n au convergit la acest element f. Și am vrut să arătăm că f este în interval. Așa că ne întoarcem aici. Am avut aceste v sub n astfel încât A minus lambda v sub n converge către f. Și vrem să arătăm că f este în interval pentru a concluziona că intervalul A minus lambda este închis. Dar acum, din moment ce este mărginit și am făcut deja acest argument, acesta este în esență întregul joc cu mingea. Deoarece subsecvența v sub n este mărginită și A este un operator compact, concluzionăm că există o subsecvență v sub n sub j astfel încât -- deci acest lucru nu are nimic de-a face cu argumentul anterior acum, dar pur și simplu nu am simți că folosești litere diferite - astfel încât un aplicat la v sub n sub j converge. Deci, amintiți-vă, este un operator compact, pe care l-am declarat în termeni de închidere a imaginii bilei unității închise fiind compactă. În mod echivalent, prin scalarea bilei unității, înseamnă că A duce orice succesiune mărginită la o secvență care are o subsecvență convergentă. Deci am arătat că v sub n este mărginit. Și, prin urmare, deoarece A este un operator compact, putem găsi o subsecvență astfel încât atunci când A îl lovește, să avem o secvență de convergență. Și prin același truc pe care l-am folosit acum un minut, concluzionăm că v sub n sub j, care este -- și putem face acest lucru deoarece lambda este diferit de zero. Ne putem împărți după el. Deci A v sub n sub j minus A minus lambda V sub n sub j-- acum, din nou, aici converge la ceva. Acest lucru aici converge spre f. Deci această combinație liniară de secvențe convergente este convergentă-- converge către și elementul v. Și, prin urmare, obțin acel f care este limita pe măsură ce n merge la infinitul v sub n-urilor. Dar convergența este încă valabilă dacă mă uit la o subsecvență, A minus lambda v sub n sub j este egală-- și deoarece A-- deci A este un operator liniar mărginit. Lambda ori identitatea este un operator liniar mărginit. Acesta este egal cu A minus lambda v. Și, prin urmare, f este în intervalul A minus lambda. OK, deci alternativa Fredholm vă spune că intervalul A minus lambda pentru un operator auto-adjunct compact este închis. Deci, unde am folosit cu adevărat faptul că era auto-adjunct? Nicăieri în acest argument. Deci acest fapt că intervalul A minus lambda este aproape este încă adevărat dacă A este doar un operator compact și lambda este doar un număr complex diferit de zero. Dar în cazul în care folosim că este autoadjunct, cred că în restul concluziei, intervalul A minus lambda este, prin urmare, egal cu spațiul nul al lui A minus lambda. Și, prin urmare, fie A minus lambda este bijectiv, fie spațiul nul al lui A minus lambda este netrivial și dimensional finit prin ceea ce am făcut în prelegerea anterioară. OK, acum, din nou, aceasta este o teoremă foarte puternică. Și, din nou, ceea ce spune acest lucru este că, dacă mă uit la spectrul diferit de zero al unui operator auto-adjunct compact , atunci acesta constă în întregime din valori proprii ale lui A. Acum, mai devreme, am demonstrat că plus sau minus norma lui A trebuie să fie în spectrul unui operator auto-adjunct. Și, prin urmare, ceea ce putem concluziona este că, dacă avem un operator compact autoadjunct non-trivial, atunci acesta are cel puțin o valoare proprie. Și putem caracteriza această valoare proprie. Deci aceasta are următoarea teoremă. Fie A un operator auto-adjunct compact non-trivial, A este egal cu A stea. Apoi are o valoare proprie lambda 1 non-trivială. Și putem caracteriza lambda 1-- sau cel puțin valoarea absolută a lambda 1-- ca supremul peste norma u egal cu 1 Au, u egal -- și acest supremum este de fapt atins acolo unde u1 este un vector propriu normalizat corespunzător lambda 1. Deci, de ce avem-- sau ar trebui să spun, permiteți-mă să mă asigur că am totul aici. OK, de ce este asta? Deci, în primul rând, am arătat că plus sau minus norma lui A este, de fapt, în spectrul lui A. pentru orice operator liniar mărginit auto-adjunct , nu neapărat compact, acel plus sau minus -- nu neapărat ambele ele, dar plus sau minus, unul dintre acestea, cel puțin unul dintre plus sau minus, deoarece a este auto adjunct, adică O stea este egală cu A. Atunci lambda 1-- atunci voi spune plus sau minus, adică nu ambele , de fapt cel puțin una dintre acestea, este o valoare proprie a lui A după alternativa Fredholm. Alternativa Fredholm și faptul că-- deci lambda unu va fi fie norma plus a lui A, fie norma minus a lui A, în funcție de care dintre ele se află în spectru. Să spunem plus dacă este în spectru, minus dacă plus nu este. Și faptul că o putem identifica ca această cantitate aici se datorează faptului că pentru operatorii auto-adjuncți, norma A, care este valoarea absolută a unuia dintre acele plus sau minusuri care sunt în spectru, este egală cu... aici este -- deci acest lucru este egal cu sup u egal cu 1, Au este egal cu u. Deci, acesta este sfârșitul dovezii. Și acum ceea ce vom face este să continuăm. Deci rezultatul final va fi că putem determina toate valorile proprii printr-un anumit principiu maxim și putem construi o secvență de vectori proprii, vectori proprii normalizați, care sunt ortogonali pe perechi pur și simplu pentru că provin din modul în care sunt construiți. Dar vom vedea. Si ce? Și apoi vom arăta că în esență acel set de vectori proprii pe care îl obținem, împreună cu un set de-- sau o bază ortonormală aleasă pentru spațiul nul al lui A, formează o bază ortonormală pentru un spațiu Hilbert separabil H. 'mergem. Dar putem să luăm această teoremă și să o aplicăm în continuare. Deci avem următorul principiu maxim. Dacă vă place, acesta este primul pas într-un principiu maxim. Aceasta spune că dacă doriți să găsiți cea mai mare valoare proprie, lambda 1 -- ar trebui să spun -- pot spune chiar și cea mai mare valoare proprie, cea mai mare în sensul valorii absolute. De ce? Pentru că nu uitați că spectrul este conținut în intervalul minus norma A plus norma lui A. Deci orice din spectru trebuie să aibă o valoare absolută mai mică sau egală cu norma lui A. Și dacă este valoare proprie sau dacă este a-- orice altceva decât 0 trebuie să fie o valoare proprie, așa că obținem asta. Deci care este acest principiu maxim? Și de ce spuneam toate astea? Oh, deci aceasta vă oferă o modalitate de a-- dacă doriți să încercați să găsiți sau cel puțin să aproximați prima valoare proprie a unui operator liniar mărginit, aceasta este o problemă de maximizare cu o constrângere. Deci ați putea folosi metoda multiplicatorilor Lagrange. Poate că nu are sens pentru tine să poți face pe un spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite. Dar să presupunem că alegi o bază mare a spațiului tău Hilbert. Și vă limitați doar să priviți acea dimensiune mare, dar finită, sau o bază finită, sau intervalul acelei baze finite și să încercați să rezolvați problema aproximativă, atunci ar trebui să vă apropiați de valoarea proprie și să obțineți un vector propriu aproximativ pentru că așa cum am spus, vectorul propriu va fi atins-- sau ar trebui să spun că vectorul propriu atinge acest maxim aici, sau supremul. Deci principiul maxim este următorul. Deci, să fie A-- din nou, ne uităm doar la operatori auto-adjuncți compacti , operator compact-- atunci valorile proprii diferite de zero ale lui A pot fi ordonate. Acum, această parte o știm deja. Ele pot fi comandate lambda 1 mai mică sau egală cu lambda 2, mai mică sau egală cu lambda 3, numărate cu semnificația multiplicității dacă lambda 1 are un spațiu propriu bidimensional, atunci lambda 2-- sau valoarea absolută a -- sau lambda 2 va fi lambda 1. Așa că o vom repeta în funcție de multiplicitate. Deci știm că există un număr limitat de valori proprii distincte. Asta era partea pe care o spuneam. Știm că le putem comanda, dar poate nu este clar că le puteți comanda cu multiplicitate cu funcțiile proprii ortonormale corespunzătoare uk. Deci u1 este o funcție proprie normalizată pentru lambda 1. u2 va fi o funcție normalizată pentru lambda 2, care este ortogonală cu u1. Deci acestea sunt perechi ortonormale. Și cum obținem valorile proprii în această ordine și aceste funcții proprii prin următorul proces, astfel încât lambda j să fie egal cu supremul peste toți vectorii unitari care sunt ortogonali cu primul j minus 1? Și acest lucru este egal cu... acest lucru se va realiza pe u sub j. Deci avem primul, dacă vrei. Am construit lambda 1, u1. și. Acum, ceea ce spune această teoremă de principiu maxim este că putem repeta acest lucru, este că, dacă ne uităm acum la această cantitate aici, supremul peste toți vectorii norma 1 care sunt ortogonali cu u1, atunci vom alege următorul cel mai mare. valoarea proprie este numărată cu multiplicitate, ceea ce înseamnă că va fi valoarea absolută a lambda 2, care va fi mai mică decât lambda 1 dacă lambda 1 are doar un spațiu propriu unidimensional. Sau va fi lambda-- sau valoarea absolută a lambda 2 va fi din nou valoarea absolută a lambda 1 dacă lambda 1 are, să spunem, un spațiu propriu bidimensional. Și dacă ar avea un spațiu propriu tridimensional, am obține valoarea absolută a lambda 1 pentru - ar fi egal cu acest număr și acest număr, de asemenea. Deci, din nou, aceste valori proprii diferite de zero pot fi ordonate în acest fel. Oh, și am lăsat unul. Și lambda j va ajunge la 0. OK, deci avem primul, valoarea absolută a lambda 1 și primul vector propriu u1. și. Acum, practic, vom repeta sau vom aplica teorema anterioară unei modificări a lui A. Acum ar trebui să spun că acest lucru nu este în întregime adevărat, deoarece ar putea fi doar o mulțime finită. Deci, într-adevăr, aceasta ar trebui să fie o remarcă, dacă secvența descrescătoare nu se termină, atunci valoarea absolută a j lambda merge la 0. Acum, deci, care este noul bit de informații aici? Știm că putem-- pentru fiecare, să spunem, capital N, numărul de valori proprii în afara-- sau cu valoare absolută mai mare de 1 peste N trebuie să fie finit. Deci faptul că le putem comanda nu este chiar atât de multă informație nouă. Și faptul că ei să meargă la 0 dacă această secvență este infinită, nu este nici o informație nouă. Adică, am demonstrat că într-o prelegere anterioară că, dacă ai... deci acolo am demonstrat- o pentru o secvență de valori proprii distincte. Dar pentru că acum știm că fiecare dintre acestea are un spațiu propriu dimensional finit, dacă te uiți înapoi la aceeași dovadă sau la acea dovadă, poți face o mică ajustare pentru a putea spune că dacă numări valorile proprii cu multiplicitate, atunci, de asemenea, secvența trebuie să meargă la 0, nu doar secvența constând din valorile proprii distincte. Așa că permiteți-mi să fac această mică remarcă. Ceea ce este noua este că putem calcula valorile proprii în acest fel și putem alege vectorii proprii în acest fel. Este o. Piesă nouă și asta vom folosi, în cele din urmă, pentru a putea arăta că H poate fi-- sau că A poate fi practic diagonalizat, sau că puteți găsi o bază ortonormală a unui spațiu Hilbert, spațiu Hilbert separabil constând în întregime din vectori proprii ai lui A. Deci construcția se desfășoară inductiv. Așa că la un moment dat am spus, dacă poți să o faci pentru unul, atunci o poți face pentru următorul. Și atunci nu voi fi atât de formal de fiecare dată când voi face o construcție inductivă. Dar în acest caz merită să fii atent. Deci, vom construi secvența de lambda j și uk în acest fel printr- un argument inductiv. Deci, venind cu k este egal cu 1, aceasta a fost teorema anterioară. Deci anterior-- sau ar trebui să spun j este egal cu 1, aceasta este teorema anterioară. Am găsit cea mai mare valoare proprie sau valoarea proprie cu -- o valoare proprie cu cea mai mare valoare absolută prin această teoremă. Și apoi am obținut un vector propriu în acest fel, practic ca o consecință a alternativei Fredholm. Și apoi că știm că plus sau minus norma lui A trebuie să fie în spectru. | faptul că putem găsi prima valoare proprie a lambda 1, care decurge din teorema anterioară. Deci acum vrem să facem pasul inductiv, adică vrem să presupunem că am găsit lambda 1 până la lambda-- să spunem, ce am folosit aici? Lambda n, deci j este egal cu n și cu vectori proprii ortonormali u1 până la un, satisfacând acest principal maxim. Deci j pornind de la-- începând de la 1 până la n, am construit sau am găsit un lambda 2, lambda 3, până la lambda n, iar u a urcat până la un, satisfăcând această proprietate maximă. Deci, sunt două cazuri. Deci, în cazul în care 1 este faptul că A minus-- A este egal cu suma de la k este egală cu 1 la n de lambda k, u produs interior uk, uk. Și, prin urmare, ceea ce arată acest lucru este că am găsit toate valorile proprii și procesul se termină. Deci, acesta este un fel de cazul degenerat în care A este un operator de rang finit. Deci aș fi putut începe toată această teoremă cu să presupunem că A nu este un operator de rang finit și, prin urmare, nu ar trebui să ne ocupăm de acest caz. Dar am spus-o doar pentru un A arbitrar. Deci există posibilitatea ca acea secvență să se fi oprit. Am găsit toate valorile proprii cu multiplicitate în acest proces. Și apoi teorema-- sau construcția este făcută în acest caz. Și cazul 2 este că nu este un operator de rang finit, deci nu este egal cu k este egal cu 1 la n. Acum trebuie să arătăm cum putem găsi lambda sub n plus 1 și vectorul propriu u sub n plus 1. Fie a Sub n operatorul A minus k este egal cu 1 la n lambda k produs interior u. Deci ar trebui să spun Au minus u sub k, bine. Acum. Rețineți, deoarece ne aflăm în cazul 2, acest operator este diferit de zero. Deci, practic, vom aplica teorema anterioară acum acestui operator. Dar mai întâi să fac câteva observații. Atunci A este A sub n este a-- acesta este ceva ce puteți verifica. Este un operator compact auto-adjunct . Deci de ce este autoadjunct? Practic pentru că A este autoadjunct și aceste k lambda sunt numere reale, deoarece valorile proprii trebuie să fie reale, deoarece A este autoadjunct și acestea sunt ortonormale. Deci, de aceea sunt auto-adjuncți. De ce este un operator compact? Ei bine, aici este suma unui operator compact A și a unui operator de rang finit . Deci este și un operator compact. Și este unul netrivial pentru că nu este identic egal cu 0. Deci nu ar trebui să spun că nu este egal cu 0, dar care nu este identic operatorul zero. Deci, iată câteva fapte că, dacă u este în intervalul de la u1 până la un, atunci obțin că A sub n aplicat la u este vectorul zero. De ce este asta? Așa că este suficient să verific dacă acest lucru îmi dă-- această formulă îmi dă 0 atunci când u este unul dintre cei din Marea Britanie. Acum, dacă u este unul dintre uk, atunci acesta va fi 1 numai atunci când-- sau să spunem că este unul dintre uj. Am nevoie de o altă scrisoare. Deci, dacă u este unul dintre aceste uj, atunci acest lucru îmi va da 1 numai când j este egal cu k și iau lambda j ori uj. Și apoi am A care te lovește sub j. Și asta scuipă lambda j ori u sub j pentru că u sub j este un vector propriu al lui A. Așa că atunci obțin același lucru ici și colo și scăzându-le îmi dă 0. Acum, dacă u este ortogonal la intervalul u1 sus la un, atunci primesc A n din u egal cu Au. Deci doar vezi asta. Dacă u este ortogonală cu acestea, atunci întregul termen este 0. Nu pot să iau că An u este egal cu Au. Pentru toate u din H, în intervalul de la u1 până la un, dacă calculez A și u produsul interior v, acesta este egal cu u și v, deoarece a n este autoadjunct. Și din moment ce v este în intervalul de la u1 până la un, prin prima proprietate care va fi 0. Deci aceasta este egală cu 0 și, prin urmare, ce am arătat? Am arătat că A și u produsul interior v este 0 indiferent de ce u este în H. Și, prin urmare, asta înseamnă că v trebuie să fie în complementul ortogonal al intervalului. Așa că am spus asta invers. Oricum, aici ești reparat. v este un lucru care se schimbă. Deci ce spune asta? tu ca fix. A și u produsul interior v atunci când v este în interval trebuie să fie 0. Acest lucru este valabil pentru toate v din interval. Și, prin urmare, A n u trebuie să fie în complementul ortogonal al intervalului acestor tipi. Deci, acest lucru demonstrează că domeniul lui A n este o submulțime a complementului tău ortogonal de la u1 până la un. Și deci din această proprietate anterioară obținem o ultimă proprietate, că dacă un n u este egal cu lambda u este nezero, adică avem o valoare proprie diferită de zero a lui A sub n, atunci asta implică că u-- deci u este egal cu 1 peste lambda A sub n aplicat la tine. Cu alte cuvinte, u este egal cu A sub n aplicat la u peste lambda. Deci asta implică că u este în intervalul A sub n, care din nou este conținut în complementul ortogonal de la u1 până la u sub n. Și din moment ce este în complementul ortogonal, asta înseamnă că A sub nu este egal cu Au. Deci orice valoare proprie diferită de zero a lui A sub n trebuie să fie o valoare proprie diferită de zero a lui A. Acum aplicăm teorema anterioară lui A sub n la următoarea valoare proprie lambda sub n plus 1 și vectorul propriu u sub n plus 1. Prin teorema anterioară, un sub n ca o valoare proprie diferită de zero, pe care o voi numi lambda n plus 1, cu vectorul propriu unitar u sub n plus 1, astfel încât lambda n plus 1 să fie egal cu sup peste toate normele - ah, OK, sup peste toate normele sau vectori lungime unitară de valoare absolută a lui A sub n aplicați la u, produs interior u. Acum, acest sup este același sup peste tot 1, astfel încât A sub n u este diferit de zero. Deci asta include în special... OK. Deci, dacă u se află în intervalul de la u1 până la un, atunci A și u sunt egale cu 0. Deci, supremul pentru toată lungimea unității este același cu u-- supremul peste tot în complementul ortogonal al acestor tipi, deoarece acești tipi, atunci când lipiți-le în A și îmi dă 0. Deci este același supremum. Dar acum, de asemenea, când u este în complementul ortogonal al acestor u1 până la un, acesta este egal cu sup al lui u pe complementul ortogonal al u1 până la un. A n u, amintiți-vă, este egal cu Au. Deci asta ne dă faptul că pot găsi asta de la acest supremum. Și de ce acest vector propriu trebuie să fie în complementul ortogonal de la u1 până la un? este. Pentru că o pot alege așa, deoarece atunci când A sub n lovește orice aici, primesc 0. Așa că ar trebui să spun că acest lucru este, de asemenea, egal cu A n se aplică la un plus 1. Dar este același lucru cu A aplicat la un plus 1- - un plus 1. Și aceasta este mai mică sau egală cu sup peste norma u egal cu 1 u în span u1 până la un minus 1, complement ortogonal Au aplicat lui u, care este egal cu valoarea absolută a valorii proprii a n-a numărată cu multiplicitate. Deci am găsit următoarea valoare proprie în această secvență de multiplicitate numărabilă de valori proprii. Deci, acum, putem concluziona următoarea teoremă spectrală pentru operatori auto-adjuncți compacti. Fie A un operator compact auto-adjunct pe un spațiu Hilbert separabil H. Fie lambda 1 mai mare sau egal cu lambda 2 să fie valori proprii corespunzătoare, fie valorile proprii-- sau ar trebui să spun valori proprii diferite de zero-- ale lui A numărate din nou cu multiplicitatea, deci numărată cu multiplicitatea, așa cum am construit-o în această teoremă pe care am numit-o principiul maximului, cu vectori proprii ortonormali corespunzători uk. Deci avem acești vectori proprii care provin din acest proces. Și concluzia este că acest subset de vectori proprii, sau vectorii proprii ortonormali este o bază ortonormală pentru închidere-- sau pentru intervalul de A. De fapt, putem actualiza că Regatul Unit este, de fapt, o bază ortonormală pentru intervalul de O închidere. Și există o bază ortonormală, numiți-o f sub j, a spațiului nul al lui A dacă este diferit de zero, astfel încât uk k fj. Deci, în primul rând, unirea acestor două seturi de vectori ortonormali va fi apoi din nou un subset de vectori ortonormali, deoarece toate fj-urile ar corespunde valorii proprii 0. Și aceste uk-uri ar corespunde valorilor proprii care sunt diferite de zero. Și prin ceea ce am demonstrat data trecută, orice vector propriu pentru două valori proprii distincte ar trebui să fie ortonormal. Deci acest subset este ortonormal din acest subset. Dar, în plus, este ortonormală, așa cum am spus, dar și o bază ortonormală pentru H. Deci, cu alte cuvinte, pot găsi o bază ortonormală pentru H constând în întregime din vectori proprii ai acestui operator compact auto-adjunct , OK. Deci voi avea o bucată din această bază care provine din spațiul nul și cealaltă parte corespunzătoare unor valori proprii diferite de zero. Deci, într-adevăr, de la 1 urmează 2. Nu știu sigur de ce am decis să le enun separat, dar iată-ne. Deci, dovada lui 2 va arăta că uk este în bază ortonormală pentru intervalul lui A. Așa că, mai întâi, rețineți, așa cum am făcut în dovada anterioară, că procesul de obținere a lambda 1 pentru valorile proprii și vectorii proprii sau vectorii proprii ortonormali se termină dacă și numai dacă A ar fi rang finit. Cu alte cuvinte, lor există un n, astfel încât Au este acest operator de patinoar finit u într-un produs uk, uk. În acest caz, dacă este un operator de rang finit, atunci intervalul este conținut în uk, uk, ceea ce am vrut să demonstrăm pentru acest caz, că A este acest operator de rang finit. Deci, să presupunem altfel, cu alte cuvinte, procesul nu se termină, astfel încât avem infinite numărătoare de valori proprii diferite de zero numărate cu multiplicitate și vectori proprii ortonormali corespunzători u sub k. Deci, acesta este mai interesant - deci valorile proprii sunt infinite numărătoare. OK, deci acum vrem să arătăm-- așa că, ca în observația pe care am făcut-o ulterior, știți că aceste lambda k trebuie să meargă la 0. Acum, vrem să demonstrăm că uk-urile sunt o bază ortonormală pentru intervalul A . Ce înseamnă asta? Prin definiție, asta înseamnă că se află în subsetul ortonormal maxim al intervalului de. A Deci trebuie să arătăm că, dacă ceva se află în interval și este ortogonal cu fiecare dintre acești vectori proprii, atunci acel lucru trebuie să fie 0. Deci afirmația dacă f este în intervalul lui A și pentru toate k f produsul interior uk este egal 0, atunci f este un vector 0. Deci aceasta este afirmația pe care vrem să o dovedim. Deci să presupunem că avem ceva în gamă. Asta înseamnă că îl putem scrie ca A ori u și f produsul interior uk este egal cu 0 pentru toate k. Apoi, pentru toate k, dacă mă uit la produsul intern lambda ku uk, acesta este egal cu-- lambda k este un număr real, așa că îl pot aduce până la capăt , obține lambda k, uk. Și aceasta este egală cu u A se aplică pentru uk. Acum, a este autoadjunct, așa că pot muta acest a aici la u. Și acesta este egal cu f produsul interior uk este egal cu 0 pentru toate k. Deci, prin acest principiu maxim pe care l-am dovedit cu doar un minut în urmă, concluzionăm că norma lui f, care este egală cu norma lui Au, care este egală cu norma lui A minus suma de la k este egală cu 1 la n lambda k u, uk , uk aplicat la u, deoarece fiecare dintre aceste numere este 0, așa că nu am scăzut nimic. Deci pot scrie acest lucru în termenii acestui A sub n aplicat la u, unde A sub n a fost acest lucru-- sau A sub n este acest lucru, care, prin demonstrarea maximizării -- sau principiul maxim este mai mic decât sau egal cu lambda plus 1 n plus 1 din u, pentru că, din nou, amintiți-vă că acest lucru aici este supremul peste toate u-urile de lungime unității ale A sub n aplicate lui u. Deci lambda n plus 1 este mai mic decât-- sau această cantitate aici împărțită la norma u, astfel încât tu, ca unitate de lungime, este întotdeauna mai mică sau egală cu această cantitate aici. Dar acum lambda-- deci asta-- am avut un lucru fix aici, norma f. Și am arătat că este mai mic sau egal cu lambda n plus de 1 ori norma u. Acesta este un lucru fix. Și n-urile lambda converg către 0. Și astfel am început cu ceva nenegativ, mai mic sau egal cu ceva care converge către 0. Și, prin urmare, acel lucru trebuia să fie 0. Prin urmare, f este 0. Deci, acest lucru demonstrează, 1, că acești vectori proprii sunt o submulțime ortonormală maximă a intervalului lui A. Și pentru 2 pur și simplu observăm că la 1, avem că intervalul de închidere A, aceasta deoarece vectorii proprii sunt în bază ortonormală pentru intervalul de A, închiderea este conținută în-- închiderea intervalelor din Marea Britanie, aici aceasta este o durată finită, care, rețineți, aceasta este printr-un exercițiu de atribuire, aceasta este egală cu k ck, uk astfel încât-- și, prin urmare, aceasta implică că este o bază ortonormală pentru intervalul de închidere A. Și aceasta este egală cu domeniul A complement ortogonal, complement ortogonal, care este egal cu spațiul nul al-- sau complementul ortogonal al spațiului nul al unei stele. O stea este egală cu A, așa că obținem asta. Deci, uk's-- vectorii proprii formează o bază ortonormală pentru complementul ortogonal al spațiului nul al lui A. Deci, odată ce am ales baza ortonormală pentru spațiul nul al lui A, asta este tot. Deoarece H este separabil și spațiul nul al lui A este un subspațiu închis al lui H, spațiul nul al lui A este inseparabil. Și am demonstrat că fiecare spațiu Hilbert separabil , sau chiar doar un-- deci acesta este unul apropiat, deci este oricum un spațiu Hilbert. Dar fiecare spațiu Hilbert separabil are o bază ortonormală de-- și, prin urmare, din nou, deci din moment ce aceste două-- numesc acest lucru fj-- aceasta este o bază ortonormală pentru spațiul nul al unui produs direct spațiu nul al unui complement ortogonal. Asta e egal cu H. Și tocmai la momentul potrivit am terminat. Deci data viitoare unde mergem de aici? Vom vedea unele dintre acestea aplicate într-un cadru concret de ecuații diferențiabile și, de asemenea, vom discuta despre calculul funcțional.