[SCRÂTÂT]
[FOSȘIT]
[CLIC]
BERTHOLD HORN: Vorbim
despre reprezentări
pentru obiecte tridimensionale --
în special, cele
care nu pot
fi reprezentate convenabil ca poliedre.
Și o reprezentare este
imaginea Gaussiană extinsă
și, pentru asta, trebuia să
vorbim despre imaginea Gauss
și curbura Gauss.
Iar imaginea Gaussiană
este o corespondență
între suprafața unui obiect
și punctele sferei unității,
pur și simplu bazată pe
egalitatea normalelor de suprafață.
Și putem extinde asta
de la puncte la zone.
Și dacă o facem, atunci
putem vorbi despre curbură,
în sensul că, dacă suprafața
este foarte curbată,
atunci aria corespunzătoare
a sferei va fi mare.
Și dacă suprafața
nu este foarte curbată,
atunci lucrurile vor fi comprimate.
În cazul unei suprafețe plane,
totul ajunge într-un singur loc
și avem un impuls.
Deci
curbura Gauss este doar
raportul dintre aceste două zone.
Și am văzut că în cazul
unei sfere care devine evident
1 peste R pătrat deoarece
aria de pe obiect
este 4 pi R pătrat și aria
de pe sfera unității este 4 pi.
OK, ce facem cu asta.  Ei
bine, vom
folosi de fapt
inversul acelei
cantități și
o vom reprezenta în funcție de
poziție pe sferă.
Și asta, într-un
mod brut, poate fi gândit
ca definind cât de
mult din suprafață
are o normală care indică
în acea direcție.
Acum, desigur, pentru un obiect convex, curbat neted
,
va exista de obicei
un singur punct
care are exact acel normal.
Dar dacă luăm o
zonă mică în jurul acesteia,
putem extinde ideea
și facem ca aceasta să funcționeze.
Un lucru pe care îl putem face
cu această cantitate
este să-i luăm integrala fie peste
obiect, fie peste sferă.
Deci, de exemplu, putem
integra curbura gaussiană
peste un petic de pe obiect
și apoi putem schimba variabile.
Și obținem aria
patch-ului corespunzător
pe sferă.
Și aceasta se numește
curbură integrală.
Nicio surpriză acolo.
Și o caracteristică plăcută a
curburii integrale
este că se aplică
chiar și atunci când curbura
în sine nu poate fi calculată
într-un punct din cauza
discontinuităților în
orientarea suprafeței,
cum ar fi marginile și colțurile.
Dar înainte de a vorbi despre asta, să
mergem în cealaltă direcție.
În loc să ne integrăm
pe obiect, să
integrăm pe sferă.
1 peste K. Și schimbați variabilele.
Și ce obținem?
Este zona de pe obiect -
zona pe obiect - care
corespunde cu asta.
Și, de fapt, aceasta este o
cantitate
care ne
interesează și mai mult.
Deci, înseamnă că, dacă iau
această cantitate, pe care o vom
numi G, pentru Gauss,
și o integrăm
peste un patch de pe
sferă, ce  obținem
este aria
părții corespunzătoare a obiectului.
Deci, aceasta este generalizarea
ideii de...
este zona cu
acea suprafață normală.  Ei
bine, aici,
acceptăm faptul
că normala de suprafață
poate avea unele variații
și toate
punctele din acest patch
au normale la suprafață
care ajung în acel patch.
Și așa voi spune doar
ceva rapid
despre curbura integrală.
Deci să presupunem că am
colțul unui cub.
Care este curbura?  Ei
bine, este 0 acolo, 0
acolo, 0 acolo și infinit pe
margine, poate...
infinit la colț.
Deci, cum pot vorbi
despre curbură?  Ei
bine, un lucru pe care îl pot face este să
iau integrala curburii
unei astfel de zone și
asta surprinde schimbarea totală
a orientării în acel petic.
Și
asta calculează.
Și cum
arată asta pe sferă?  Ei
bine, avem aceste trei
normale de suprafață distincte
și ele corespund la
trei puncte de pe sferă.
Sunt la 90 de grade unul de celălalt
ca latitudine sau longitudine.
Și care este zona asta?  Ei
bine, pentru a înțelege
asta, ceea ce vrem să facem
este să ducem un fișier în acest cub
și să netezim marginile,
astfel încât, dacă luăm o
secțiune transversală printr-un colț,
să nu arate așa,
dar să arate așa.
Și apoi, dacă doriți,
puteți lua limita
pe măsură ce faceți raza acestui
colț din ce în ce mai mică.
Deci, în obiectul ideal
cu colțuri ascuțite,
avem doar aceste două
orientări ale suprafeței și atât.
Dar dacă ne gândim că este o
tranziție lină de un fel,
atunci obținem tot felul de
combinații liniare pozitive
ale acestor două orientări.
Deci, asta înseamnă că, dacă ne gândim
la această margine, de exemplu,
va exista un
cerc mare pe sferă care
corespunde
normalelor de suprafață care--
trecând foarte ușor de la
aceea la aceea.
Și, în mod similar, mă pot
gândi la această margine
ca fiind corespunzătoare acelui
arc circular mare și acea margine de aici
corespunzătoare acestuia.
Și atunci când mă uit la
colț, este mai greu de desenat,
dar voi avea, de asemenea,
direcții de tranziție,
și toate vor fi
combinații pozitive ale acestor trei.
Și așa, la
colț, de fapt mă
ocup de
orientările de suprafață
care sunt în acest patch.
Deci, asta înseamnă că
curbura integrală a acelui colț
este aria acestui petic.
Și asta este... este un
octant al unei sfere.
Deci întreaga sferă are o
zonă de 4 unități pi aici
și avem un octant.
Deci curbura integrală a
colțului unui cub este pi peste 2.
Și acum vă puteți imagina că acest lucru s-
ar putea aplica și altor lucruri,
cum ar fi, dacă este o
pipetă paralelă în loc de un cub,
veți obține un
rezultat înrudit, dar diferit.
Și îl putem aplica
altor obiecte,
cum ar fi cilindri și
conuri și așa mai departe.
Deci este un concept util.
Nu vom face mare lucru cu el.
În mare parte, mergem
cu această integrală.
Acesta este cel care ne
interesează.
Așa că vom ajunge
cu o distribuție
pe sferă--
vom numi G. Și va
depinde de orientare, pe care o
putem descrie în diferite
moduri, cum ar fi normalul de suprafață  ,
unitate normală.
O întrebare este, putem avea
vreun fel de distribuție
pe sferă sau
există anumite constrângeri?
Așa că am văzut mai devreme, când
vorbeam despre poliedre,
că ar putea
exista o constrângere.
Deci, cu poliedre,
am văzut că, dacă
creăm acești vectori care
au o lungime proporțională
cu aria în direcția
normalei suprafeței,
toți trebuie să se adună
pentru ca acesta să fie un obiect închis.
Ei bine, ceva
asemănător se întâmplă aici.
Deci ideea este că avem
un obiect aici - să
luăm mai întâi cazul discret.
Avem fațete.
Așadar, iată o fațetă cu
o suprafață normală
și ne imaginăm că totul
este o plasă de fațete ca aceasta.
Și apoi să presupunem că ne uităm la
asta de departe aici.
Apoi fațeta va
apărea prescurtată
dacă normala suprafeței
nu este îndreptată direct
către observator.
Deci, să presupunem că numim
această direcție v. Deci aceasta
este zona aparentă a... să
presupunem că acesta este patch-ul i.
Deci, aceasta este
zona reală a plasturelui.
Și asta este normalul de suprafață.
Și modul în care
ni se arată se bazează
pe cosinusul unghiului.
Și putem obține asta
doar folosind produsul.
OK, bine, acum voi vedea o
parte din acest obiect convex
și nu voi vedea alte părți.
Deci ce o să văd?  Ei
bine, doar cele în care
acel produs este pozitiv.
Deci aceasta este
secțiunea transversală totală pe
care o văd când mă uit la
obiectul din acea direcție.
Așa că parcurg toate
triunghiurile din această plasă,
sau orice formă au ele,
și le aleg pe cele unde
normala suprafeței se află la
90 de grade față de
direcția de vizualizare și
calculez acea sumă.
Şi ce dacă?  Ei
bine, acum, dacă mă uit la
asta din cealaltă parte,
voi obține o sumă similară, doar că
acum aceasta este inversul minus v.
Și celălalt lucru
care s-a schimbat
este că acum
văd doar lucruri
care au un
produs pozitiv.  cu minus v.
Deci privim acest
obiect dintr-o parte.
Vedem o zonă.
Parcă o proiectam
la proiecția ortografică.
Și apoi ne uităm la ea din
cealaltă parte și, desigur,
va fi o imagine în oglindă
inversată - acel contur,
silueta.
Dar ar trebui să fie
aceeași zonă, nu?
Și deci acestea două
sunt la fel, nu?
Mă uit la asta din
partea asta.
Ceva pare prescurtat.
Le adun pe toate.
Și, probabil,
nu există nicio suprapunere în aceste sume.
Există cazul limită,
în care acesta este egal cu 0,
dar apoi acesta va
contribui cu 0 la sumă.
Deci nu ne pasă.  Ei
bine, se pare că acum am
enumerat toate fațetele
unui obiect convex.
Putem vedea toate fațetele
dintr-o parte sau cealaltă.
Deci fiecare fațetă va apărea fie
în această sumă, fie în acea sumă.
Și apoi aduc asta
pe cealaltă parte,
care răsturnează semnul, și
asta înseamnă că, de fapt, acum
suma tuturor fațetelor--
așa că o mut pe
cealaltă parte
și ajung cu 0 aici.
Deci suma tuturor fațetelor este
0 când iau acest produs punctual.
OK, acum acest lucru este valabil pentru toate
direcțiile de vizionare posibile.
Nu contează din ce
direcție de vizualizare mă uit la el.
Dacă îl privesc
din cealaltă parte,
nu am aceeași
zonă de secțiune transversală.
Și asta înseamnă
că această parte mai bine să
fie 0, pentru că, altfel,
dacă acesta nu ar fi 0,
aș putea alege doar
o direcție de vizualizare
în direcția acelui vector
și aș avea un rezultat diferit de zero.
Deci asta înseamnă că
sigma Aisi este 0.
Aceasta este o ecuație vectorială,
nu doar scalară.
Și asta înseamnă, într-adevăr, că
centroidul este la origine.
Deci, dacă mă gândesc la aceste zone
ca la mase pe sfera unității,
fiecare dintre aceste fațete este
mapată pe sfera unității
într-un punct care depinde
de această direcție.
Și am pus o masă
acolo jos, care este
proporțională cu această zonă.
Deci am această
distribuție pe sferă
și asta înseamnă
că centrul de masă
este la origine, în
centrul sferei.
Deci, aceste EGI sunt
distribuții pe sferă,
dar există o restricție.
Ele nu pot fi arbitrare.
Ei trebuie să aibă această
proprietate că centroidul este
la origine și
care corespunde
suprafeței care este închisă.
De exemplu, am avut
acel obiect geometric
cu părți conice și
cilindrice.
Și dacă pun asta
pe sferă,
am un cerc mic
și un cerc mare.
Și dacă mă opresc acolo, atunci
centroidul
nu este evident în
centrul sferei,
deoarece am acest
cerc mare - da, centroidul acestuia
este în centrul sferei.
Acesta... nu, este aici undeva de-a lungul
acestei axe,
și deci combinația
este decentrată.
Deci ce sa întâmplat?  Ei
bine, ce e greșit este
că am uitat placa
din spate care o
închide, ceea ce ar contribui
la o masă mare pe
cealaltă parte a sferei,
doar cât să contracareze
acel cerc mic de masă.
Și astfel
centroidul general este la origine.
Deci acesta este cazul discret.
Nu mă voi deranja să trec
peste același argument
în cazul continuu.
Dar dacă luăm integrala
masei pe sferă,
densitatea pe sferă
cu direcția punctului
pe sferă,
aceasta este, de asemenea, 0.
Deci, dacă mă gândesc la EGI
ca la o distribuție de masă
pe sferă, centroidul său  va
fi, de asemenea, la origine.
OK, acum, ne vom uita
la implementări discrete.
Avem niște
date de suprafață, poate
dintr-o metodă de viziune artificială,
cum ar fi stereo fotometric.
Și o vom
mapa pe sferă
într-un mod discret.
Dar este și util să ne
gândim la cazul continuu.
Și un motiv este că, dacă
aveți un model al unui obiect,
dacă este un obiect definit geometric,
precum lucrul de acolo sus,
puteți
calcula exact care este EGI-ul său, mai degrabă
decât să trebuiască să îl aproximați.
Și deci există un
avantaj să faci asta.
OK, exemple.
Acum, știm deja că, pentru o
sferă, EGI-ul este foarte simplu.
Este doar R pătrat
deoarece G este 1 peste K
și k este 1 din R pătrat.
Și am obținut asta din
raportul dintre ariile...
și acesta este simetric.
Deci, există o singură
valoare pe care o scriu.
Asta pentru că G este același
peste tot în jurul
sferei unității.
Deci devine mai interesant
când avem alte obiecte,
pentru că, atunci, trebuie să
avem un sistem de coordonate care să ne
referim la puncte
de pe sferă.
Deci, care este următorul obiect cel mai complex
de luat ca exemplu?  Ei
bine, să luăm
elipsoizi, deoarece
știm care
sunt acestea, deoarece am vorbit
despre ele în discuția noastră
despre suprafețele critice.
Și nu vom face
toată algebra, parțial
pentru că am făcut elipsa,
iar acest lucru devine și mai rău.
Deci iată elipsoidul nostru.
Și, desigur,
avem posibilitatea
de a-l scrie în această formă,
așa cum am văzut, unde A, B
și C sunt semiaxele.
Și astfel putem obține diferite
forme prin schimbarea
rapoartelor acelor axe.
Și, desigur, dacă A
este egal cu B este egal cu C,
atunci avem o sferă.
Și deci aceasta este o
ecuație implicită pentru suprafață.
Nu este de mare folos
dacă încerci să
spui, să generezi o
vizualizare a acelei forme
sau dacă încerci să
spui, să integrezi pe
suprafața ei sau ceva de genul.
Deci, există moduri alternative de a
descrie aceeași suprafață.
Și iată una dintre ele.
Și asta este o
descriere parametrică.
Și astfel am putut genera
puncte pe suprafață
foarte ușor doar prin eșantionarea
theta și phi și calculând
punctele de pe suprafață.
Și acestea ar corespunde
latitudinii și longitudinii
dacă ar fi o sferă.
Phi și theta sunt o modalitate
de a aborda punctele de
pe acel obiect.
OK, așa că pot
scrie oricând un vector
în orice punct de pe suprafață,
doar listând acele lucruri.
Și ce vreau?  Ei
bine, am nevoie de câteva lucruri.
Una dintre ele este normală la suprafață,
iar cealaltă este curbură.
Deci, să începem cu
suprafața normală.
Deci, cum pot obține
o suprafață normală?  Ei
bine, normala este
perpendiculară pe orice tangentă.
Deci, dacă aș avea două
tangente, aș putea doar să le
iau produsele încrucișate.
Cum obțin o tangentă?  Ei
bine, eu doar diferențiez acest lucru
în funcție de parametri.
Deci am două moduri
de a face asta
și asta îmi oferă două tangente.
Și să vedem.
Deci există unul.
Și mai este altul.
Și acum pot lua
produsul încrucișat
pentru a obține o suprafață normală.
Și după ceva algebră,
obținem acea expresie.
Aceasta nu este o unitate normală
și nu ne
pasă de
amploarea acestui lucru.  O să

o normalizăm oricum.
Deci putem scăpa de...
putem ignora asta.
Atunci, dacă facem asta,
atunci de fapt
arată similar cu R însuși.
Doar, am înlocuit A cu BC
și B cu AC și C cu AB.
Deci este o
înlocuire interesantă.
OK, deci asta ne dă
suprafața normală.
Deci, asta ne permite --
pentru orice punct de pe suprafața
definit de theta și phi,
putem calcula
punctul de pe sfera unității
care îi corespunde.
Și atunci avem nevoie de curbură.
Și asta e mai greu
pentru că trebuie
să ne diferențiem încă o dată.
Acum, trebuie să ne uităm la... pe măsură ce
te miști pe suprafață, cât de
repede se mișcă normala suprafeței
pe sferă?
Deci, oricum, este în ziar
și, nu voi trece prin el.
Este oarecum dureros.
Voi da doar rezultatul.
Așa că trebuie să definesc
alte două lucruri.
Deci, pe sfera unității,
modul de a dramatiza asta folosind
latitudinea și longitudinea... să
vedem.
Deci în ce fel vreau să o fac?
Deci, este aceeași metodă pe care am
folosit-o aici
pentru a parametriza pozițiile.
OK, deci aceasta este o unitate
normală pe sferă.
Și, evident, va
trebui să echivalez
versiunea normalizată a acestui
lucru cu termenii acesteia.
Și apoi, în acest proces,
este convenabil să avem
încă un vector, care este...
Și care
este semnificația acestuia nu este evidentă.
Este un pic ca atunci când
vorbim despre coordonatele
sferei, care ar putea
fi fie geocentrice, fie bazate
pe normala locală a suprafeței.
Și, dar răspunsul acum este--
și, prin urmare, lucrul care
ne interesează este--
Deci, în afară de calcularea
curburii,
care implică să vedem
cât de repede este normal--
o durere majoră a
acestui calcul este
că nu vrem  răspunsul
în coordonatele theta phi.
Acestea se referă la
puncte de pe obiect.
Le vrem în termeni de
coordonate pe sfera unității.
Și asta
am făcut, pentru că s
este definit în termeni de
coordonate pe sfera unității.
Și așa, dacă îmi dai
latitudinea și longitudinea,
le conectez
și primesc G.
OK, cum arată asta?
Deci, aceasta este o
distribuție pe sferă
și o vom folosi pentru
recunoaștere și găsirea
orientării.
Deci cum arată?  Ei
bine, primul lucru de observat
este că există ceva extrem...
nicio surpriză.
Ne-am aștepta ca, acolo unde aceste
semi-axele ating suprafața,
acelea ar putea fi
locuri interesante.
Și destul de sigur,
ajungem cu maxime și minime.
Deci, acestea sunt valorile extreme
și apar în locurile în care
semiaxele
intersectează obiectul.
Și apoi, dacă mă uit la
asta pe sferă,
asta înseamnă că voi
avea trei dintre aceste puncte.
Și unul dintre ele este un maxim,
iar unul dintre ele este un minim
și sunt la 90 de grade unul de celălalt.
Normalele suprafeței de
aici indică
trei direcții ortogonale.
Și să vedem.
Care este al treilea?  Ei
bine, nu poate fi un
maxim sau un minim.
Este un punct de șa.
Acum, când merg pe
cealaltă parte,
mă aștept ca lucrurile
să fie simetrice.
Deci curbura de aici este
aceeași cu curbura
de aici și așa mai departe.
Deci, imaginile în oglindă ale acestor
trei puncte de pe cealaltă parte
a sferei,
deci undeva în spate
aici este un alt minim.
Și aici jos, în
spate, este un alt maxim
și iată un alt punct de șa.
Și există câteva teoreme
care pot părea intuitiv
evidente care îți spun
că nu poți avea
maxim și minim
pe sferă
fără a avea un punct de șa.
Deci nu este prea surprinzător
că avem asta.
Deci, aceasta este
imaginea Gaussiană extinsă a unui elipsoid,
iar punctele minime și șa maxime

sunt aliniate cu axele sale.  Am
ales să aliniem axele
cu axa x, y și z,
dar asta va fi adevărat în general.
Dacă rotesc acest
obiect în spațiu,
ce se întâmplă cu
imaginea sferică?  Se
rotește
exact în același mod.
Și asta am vrut să spunem când am
spus că nu căutăm cu adevărat
invarianța rotațională.
Nu ne așteptăm ca lucrurile să
fie constante atunci când rotiți,
dar vrem să se transforme într-
un mod ușor de înțeles.
Și nu știu...
oamenii au o
terminologie pentru asta.
Mai degrabă decât invariantă,
ei spun echivarianți.
Nu există o terminologie de acord,
în ceea ce mă privește.
Dar este o
idee importantă că
vrem ca schimbarea să fie
ușor de înțeles,
spre deosebire de-- să spunem dacă am
luat
proiecția în perspectivă a obiectului.
Atunci când obiectul se rotește este
o transformare foarte complexă
a imaginii, în timp ce aici
este foarte simplă.
Și așa că acum putem folosi această
imagine cu date experimentale
atât pentru a testa dacă ne
uităm la un elipsoid,
cât și pentru a determina care este
atitudinea acestuia în spațiu,
luând
versiunea bibliotecii și încercând
să le aliniem pe acestea două
,
și vom vorbi  despre cum să
faci asta într-un timp scurt.
Deci sfera este foarte simplă.
Elipsoidul este
complicat deoarece are
o formă tridimensională completă.
Undeva la mijloc
sunt lucruri care sunt
puțin mai ușor de gestionat.
Și pentru anumite scopuri,
acestea sunt de interes.
Există anumite obiecte care se
află între ele în complexitate.
Și în special, dacă ne
uităm la solidele de revoluție,
descoperim că este mai ușor -
mult mai ușor - să
calculăm EGI.
Și solidele de revoluție,
desigur, includ cilindri
și conuri și sfere și
hiperboloizi dintr-o foaie,
hiperboloizi din două foi,
presupunând că parametrii
sunt aleși corespunzător.
OK, deci cum se calculează
EGI-ul unui solid de revoluție.
Deci, în cazul unei
revoluții, există un generator pe
care îl învârtim în jurul unor axe.
Și deci să presupunem
că acesta este un generator
și
îl rotim în jurul acestei axe
pentru a produce un obiect.
Și apoi vom mapa
acest obiect pe această sferă.
Deci, să definim
câteva lucruri.
Deci să presupunem că suntem
aici la obiect.
Atunci ne interesează foarte mult
raza, r.
Există și alte coordonate pe care
ar putea dori să le folosim.  Am
putea să ne gândim la
asta ca la înălțime.
Apoi am putea folosi
lungimea arcului de-a lungul generatorului.
Deci vom deriva formule
pentru mai multe cazuri,
deoarece unele sunt convenabile
în anumite situații,
mai convenabile decât altele.
OK, deci suprafață normală.
Iată normalul nostru de suprafață.
Și apoi unghiul cu ecuatorul.
Deci
punctul corespunzător de pe sferă
ar fi undeva
unde, dacă măsurați
acest unghi la ecuator,
ar fi același unghi.
Deci asta este latitudinea
pe sferă.
OK, deci așa
corespund punctele,
dar avem nevoie de curbură.
Deci cum facem asta?  Ei
bine, mergem pentru acea
definiție acolo sus
și ne uităm la un
element despre care ne putem da
seama cu ușurință de mapare.
Deci, mai degrabă decât să
luăm în considerare un punct, să
luăm în considerare toată această trupă.
Și să presupunem că
lățimea benzii
este delta s, modificarea
lungimii arcului de-a lungul generatorului.
Și apoi normalul suprafeței se

va schimba
puțin pe măsură ce mergem
la cealaltă margine a
benzii, astfel încât banda să se potrivească
în această bandă.
Deci, caracteristica plăcută a
solidului de revoluție
este că este simetric
atât în ​​obiect,
cât și în transformare,
în EGI.
Și astfel
îl reduce de la 3D la 2D.
Da.
Deci aceasta este cu adevărat longitudinea
pe sfera Gaussiană.
Deci, în această direcție,
avem acel unghi
și apoi, în această
direcție, avem eta.  Ei
bine, este unghiul care se
învârte în acest fel.
Și lucrul grozav despre
solidul revoluției
este că totul este
constant în acea direcție.
Așa că putem înșela și
uitam de asta.
Deci avem nevoie de
zona acestei trupe.
Deci aria
benzii obiectului este--
deci este de 2 pi ori r ori
lățimea benzii delta s.  S-ar
putea să nu fie evident.
Dar am putea lua această interdicție, să
o tăiem și să o așezăm în avion
și să o măsurăm, și
asta este ceea ce ai obține.
Și în mod corespunzător, apoi
aici, avem 2 pi.
Și ce e aici?
Ei bine, depinde de
latitudine, cu cât merg mai sus, cu atât
r este mai mic.
Și, de fapt, este
cosinusul lui eta.
Deci, dacă proiectez asta aici jos --
unghi drept -- și acesta este 1,
atunci acesta este cosinusul lui eta.
Deci aceasta este raza înmulțită de 2 pi.
Și apoi mai trebuie
să mă înmulțesc cu asta.
Deci asta îmi dă K is--
deci 2 pi se anulează și
am rămas cu asta.
Acum, de fapt, sunt mai mult
interesat de 1 peste K.
Așa că lasă-mă să răsturn asta.
Da.
Deci care sunt aceste lucruri?
Deci aceasta este rata de schimbare a
direcției normalei suprafeței
pe măsură ce mă mișc de-a lungul arcului.
Deci asta este o curbură.
Aceasta este o rată de întoarcere
pe măsură ce mă mișc de-a lungul arcului.
Deci asta este de fapt
curbura 2D.
Este curbura
generatorului.
Deci e interesant.
Asta înseamnă că am
reușit să reduc lucrurile la... ei
bine, lasă-mă să rămân
cu acest formular...
de la 3D la 2D.
Deci am K este cosinus
eta peste r ori KG.
Și deci dacă pot obține
curbura generatorului,
atunci am terminat.
Lucrul important de văzut
este că am folosit aceeași idee
tot timpul, și anume că
curbura Gauss este
raportul dintre aceste două zone.
Trebuie doar să găsim
petice corespunzătoare
și să măsurăm zonele.
Acum, acesta este un mod de a-l
exprima dacă îl cunoaștem pe KG.
Dar, așa cum am menționat, această curbă
poate fi dată în diferite forme.  Îl
putem da într-
o formă implicită,
sau îl putem da ca
r în funcție de s
sau r în funcție de înălțimea z.
Deci, este convenabil să
aveți versiuni diferite
ale acelei formule.
Acesta este ds, deci
obiectul și sfera.
Deci, dacă aruncăm în aer
locul în care
banda îngustă lovește
solidul revoluției,
aici avem delta s.
Acesta este pasul
în lungimea arcului.
Și iată o delta z,
schimbarea înălțimii.
Și iată o modificare a razei,
care, pentru eta pozitivă,
este negativă.
Dacă eta este o
mărime pozitivă, atunci curba se
îndreaptă spre origine.
Deci modificarea
razei este negativă.
Și atunci unde este eta?
Ei bine, este aici, pentru că
normalul de suprafață este acolo
și acesta este eta.
Și așa mai bine să fie eta.
Și apoi pot citi
termenii trigonometrici
din diagrama respectivă.
De exemplu, pot obține
sine ADA este minus
dr peste ds, care este minus rs.
Indicele denotă acum
diferențiere.
Deci, dacă am r în funcție
de s, pot folosi această metodă
și pot diferenția doar
în raport cu aceasta.
Dar ceea ce am nevoie în
formulă este cosinusul eta.
Deci un lucru pe care îl pot face este să
diferențiez în ceea ce privește
s.
Și desigur,
sinusul devine cosinus.
Și aici avem
derivata a doua,
ceea ce nu ar trebui să fie o
surpriză pentru că ne
așteptăm ca curbura să aibă de-a
face cu o derivată a doua.
Și aici avem o
formulă foarte convenabilă
pentru curbura
unui solid de revoluție
dacă ni se dă r
în funcție de s.
Și așa, imediat,
putem face un exemplu.
În cazul
sferei, putem
scrie că această
rază mică, r mic aici, care
este la fel cu acest
lucru, este marele R ori
cosinusul acelui unghi.
Și acel unghi,
desigur, este doar
lungimea arcului împărțit la
rază, formula noastră obișnuită pentru
și definirea unghiurilor și radianilor.
OK, deci asta e r.
Celălalt lucru de care am nevoie
este diferențierea noastră de
două ori în raport
cu s Și, desigur,
dacă diferențiezi cosinusul de
două ori, obții cosinus minus
și apoi există un r pătrat.
Deci ar trebui să obținem 1
peste r minus sinus.
Și atunci, când
le punem cap la cap,
sperăm că vom obține asta.
Deci știm deja asta.
Dar este o modalitate bună
de a verifica rezultatul.
Deci asta dacă ni se
dă generatorul ca r
în funcție de lungimea arcului.  Ei
bine, este una dintre cele
mai comune 12 moduri
de a specifica o curbă, dar
nu se află în primele trei.
Deci hai să mergem
puțin mai departe.
Deci, celălalt lucru la care ne
putem uita este z.
Este mai probabil să ni se
dea r în funcție de z,
deoarece, dacă îl
întoarcem în lateral,
acesta ar fi
modul normal în care ați
specifica y ca funcție de x
atunci când definiți o curbă.
Deci, să vedem.  Și
acesta
iese destul de simplu.
Deci, dacă ne uităm din
nou la acea diagramă de aici,
putem lega z și s la
termenul trigonometric în eta,
deci avem 10 peste eta.
Deci putem obține 10 de eta din
r dat în funcție de z,
doar prin diferențierea
față de z
Și din nou, am nevoie de secanta
sau cosinus sau ceva de genul.
Deci pot diferenția
acest lucru în raport cu z.
Și voi obține
secantul pătrat eta d eta dz.
Oh, ds, scuze.
Și atunci acesta va
fi d ds de minus rz.
Și asta este minus--
formula lanțului ori dz ds.
Și apoi, din aceeași
diagramă, pot citi off--
așa că citesc toate
lucrurile trigonometrice posibile.
Deci cosinusul eta
este doar dz peste ds.  Ei
bine, nu.
BINE.
Punând totul cap la cap,
primesc rzz cosinus
la a patra din eta.
Și astfel K ajunge să fie...
această formulă este puțin mai
dezordonată decât cealaltă.
Am omis câțiva
pași acolo,
doar pentru a evita monotonia.
Un lucru de care veți avea nevoie
este secant pătrat
eta este 1 plus tan pătrat.
Și astfel, în cazul nostru,
acesta este 1 plus rz pătrat.
Și când le adunați pe
toate, obțineți acea formulă.
Deci, aceasta este o a doua modalitate de a
obține curbura gaussiană
a unui solid de revoluție.
Dacă generați o
curbă, aceasta este dată
ca r în funcție de z în loc
de r în funcție de s.
Și din nou, putem aplica
acest lucru la un exemplu doar
pentru a avea o verificare a stării de spirit.
Deci, în cazul
sferei, avem
r este rădăcina pătrată a lui r
pătrat minus z pătrat,
presupunând că z începe
de la 0 în acest punct.
Și astfel rz este minus
z al unei rădăcini pătrate
de r pătrat minus z pătrat.
Dar avem nevoie de
derivata a doua.
Așa că ne diferențiam din nou
și ajungem cu...
Și să vedem.
Celălalt lucru de care avem nevoie
este 1 plus rz pătrat.
Și dacă puneți
totul împreună,
obținem rezultatul corect.  OK,
deci acest lucru oferă mai multe metode
pentru generarea de
imagini gaussiene extinse ale solidelor
pe parcursul evoluției.
Unul dintre motivele pentru care am făcut
acest lucru este pentru că ne vom
uita la un anumit
solid al revoluției
și vom studia EGI-ul său și vom vorbi
despre cum l-ați folosi
în aliniere și recunoaștere.
Și asta e o gogoașă.
Deci iată o secțiune transversală.
Și, practic, luăm
un cerc ca generator
și îl rotim în
jurul acestei axe.
Deci generăm un tor.
Și în ceea ce privește specificarea
cât de mare este acest lucru,
avem nevoie de două lucruri.
Să numim asta rho.
Avem nevoie de raza mică,
apoi avem nevoie de raza mare.
Și cei doi definesc forma.  Deci
asta va avea sens?
Putem calcula o
imagine Gaussiană extinsă pentru asta?
Deci este un solid de
revoluție, așa că
ar trebui să putem folosi doar una
dintre aceste formule pe care le-am derivat
acolo.
Care ar putea fi o
problemă potențială?
PUBLIC: Nu este convex.
BERTHOLD HORN: Corect,
nu este convex.
Dreapta.
Deci, până acum, ne-am concentrat
pe obiectele convexe.
În cazul unui
obiect convex, imaginea gaussiană
este convertibilă, adică
poți trece de la obiect
la sferă și
există un loc unic unde
să te întorci pe
obiect, deoarece există
un singur punct care are
acea orientare la suprafață.  .
Și știm că există
unele proprietăți puternice
în acest caz, așa--
o vor îmbunătăți.
Dar este unic.
Adică, dacă aveți o
anumită imagine Gaussiană extinsă
, există
un singur obiect convex
care îi corespunde.
Și nu am menționat, dar
Alexandroff a dovedit asta.
Și din nou, este o
dovadă neconstruită,
dar înseamnă că
nu există confuzie.
E numai unul.
Deci vom
pierde o parte din asta.
Vom vedea că putem
lua imaginea Gaussiană extinsă a
acestui lucru.
Dar unele dintre
proprietățile frumoase despre care am vorbit
nu se vor aplica aici.
Deci... ei bine, vom
aștepta până ajungem acolo.
Deci imediat, în ceea ce privește
problema inversării mapării,
vedem că, în
acest caz, în loc să
existe un
punct unic pe obiect care
are o anumită
orientare la suprafață,
există două locuri.
Deci asta înseamnă că
maparea nu este inevitabilă.
Și acele două locuri
diferă într-un mod important, și
anume că
aici obiectul este convex.
Dacă ne mișcăm în
direcția tablei,
puteți vedea că se
curbe în acest fel.
Și dacă ne deplasăm din
direcția tablei,
se curbe într-un mod similar.
Și astfel acea parte este
convexă, în timp ce, aici, din
nou, în
direcția tablei
avem această
formă convexă, cercul.
Dar atunci când
ieșim de pe tablă, se
curbe în acest fel.
Deci acesta este de fapt
un punct de șa
și curbura
aici va fi negativă.
Deci va trebui să ne ocupăm de asta.
Și asta este, din nou,
doar o reflectare
a faptului că
nu este un obiect convex.
Dacă ar fi un
obiect convex, curbura
ar fi peste tot
nenegativă și, în majoritatea
cazurilor, pur și simplu pozitivă.
Bine, deci, ținând
cont de toate acestea,
să aplicăm orbește
formulele noastre pentru a calcula
imaginea lui Gaussiană extinsă.
Deci, ceea ce vom avea
nevoie este raza,
raza mică, r.
Deci aceasta este cantitatea asta.
Și atât de mic r este mare R
plus rho ori cosinus eta.
Pentru a aplica formula avem nevoie de r fie în
funcție de s, fie de z.
Deci, să o facem în termeni de
stho, pentru că acesta este s,
și astfel acest unghi
este împărțit la rho.
Cosinusul este împărțit la rho.
Și apoi iau
derivata a doua și, bineînțeles,
marea cotă dispare.
Și voi primi un
semn negativ din cauza cosinusului care se
transformă într-un cosinus minus.
Și trebuie să
împart la r pătrat.
OK, deci aceasta este
derivata mea a doua.
Și astfel, apropo, o serie de
lucruri devin evidente, că--
deci aceasta este curbura
generatorului--
că, pe măsură ce merg de la
această orientare în
sus,
aceasta coboară
tot timpul, deoarece
cosinusul de la 0 la  pi peste 2
coboară până ajunge la 0.
Deci ceva interesant
se întâmplă acolo sus.
Și apoi, dacă merg mai departe,
va deveni negativ.
Și aceasta este zona despre care
vorbim aici, unde
curbura suprafeței
este de fapt negativă,
în timp ce este pozitivă aici.
Deci, asta împarte torul
în două părți într-un fel -
una care este în interiorul acestui
cilindru, unde totul
este curbură negativă, și
cealaltă parte, care este în exterior.
OK, deci combinând cei care folosesc
formula pe care am avut-o acolo
pentru cazul în care r este dat
în funcție de lungimea arcului,
asta este ceea ce obținem
și este pentru această parte.
Deci acum, ce se întâmplă
pe cealaltă parte?
Ei bine, putem face
același calcul acolo.
Și acum r r minus
rho cosinus eta.
Și astfel r este r minus
rho cosinus s peste rho.
Și astfel a doua
derivată va fi...
și astfel obținem o contribuție.
Minus, minus.
Deci contribuția acolo
este un semn diferit și, de asemenea,
o amploare diferită.
Deci ce facem?  Ei
bine, avem două
opțiuni evidente.
Una dintre ele este
doar să le adunăm.
Deci, dacă avem un
obiect neconvex, un lucru pe care l-am putea face
este doar să calculăm
curbura gaussiană
în toate punctele care au
aceeași orientare a suprafeței
și apoi să le adunăm, și
pare un lucru rezonabil
de făcut.
Și de fapt, desigur, ne
interesează invers.  Ne
interesează G. Așa că dacă ne
gândim la acestea ca K plus și K
minus, se dovedește că este
frumos, deoarece lucrurile se anulează
și pur și simplu obținem asta.
Deci nu este foarte
satisfăcător, pentru că
spune că, dacă definim imaginea
Gaussiană extinsă în
acest fel, atunci obținem
o constantă pentru gogoașă, care
este ceea ce obțineți pentru o sferă.
Deci aceasta este ca o sferă
cu raza rădăcină pătrată
de 2 ori rho.
Și nu are orientare.
Este constantă pe tot
parcursul,
așa că nu
ne va ajuta să stabilim
atitudinea unui obiect.
Deci nu, nu vrem să facem asta.
Un alt mod de a ne gândi
la acest lucru este că, atunci când
facem acest lucru în practică,
pur și simplu proiectăm normalele de
oriunde
provin, fără a ține
cont de curbura locală.
Așa că am putea, de
exemplu, să împărțim asta
în o mulțime de fațete mici.
Și pentru fiecare fațetă, calculăm
aria de pe normala suprafeței
și apoi punem o masă egală
cu aria de pe
sfera unității în
locul corespunzător.
Și nu se ia în considerare
dacă suprafața se îndoaie
sau nu.
Și deci nu vrem să facem asta.
De fapt, vrem să facem acest lucru
pentru ca al doilea termen, care
este negativ, să aibă o
contribuție pozitivă.
Deci, dacă facem asta, obținem asta.
Și deci acesta va
fi EGI-ul nostru pentru tor.
Și să ne uităm la asta.
Deci e destul de interesant.
Deci nu este constantă.  Asta e
bine.
Și de fapt, are o
singularitate la pol.
Deci, când aveam de-a face
cu acel obiect din
colțul din dreapta sus,
pe EGI, în spate,
există concentrația de masă,
care, în limită,
este un impuls.
Deci aceasta este cu siguranță o
formă de singularitate.
Aceasta are și o singularitate,
dar nu este un impuls.  Doar
că, pe măsură ce
te apropii de pol,
asta continuă să urce, iar
la pol este infinit.
Și, de fapt, dacă doriți
să știți cum variază,
este destul de ușor pentru că...
imaginați-vă că ne încorporam
sfera unitară într-un cilindru unitar.
Să vedem.
Cosinusul este opusul adiacentului,
deci secanta este inversă.
Și astfel înălțimea acestui
lucru ne dă secanta.
Începem de la ecuator
cu o valoare diferită de zero,
dar apoi
crește monoton
până când, când eta se apropie de 90 de
grade, ajungem la infinit.
Deci, acesta este un mod de a
vizualiza cum variază.
Este simetric în
această direcție,
ceea ce este potrivit
pentru solid de revoluție.
Și vă puteți imagina acum că am
putea folosi acest lucru pentru aliniere,
pentru că, dacă avem un
model al acestui obiect
și avem date
din viziunea mașinii,
atunci avem aceste două sfere
cu distribuția, care
este diferită de zero peste tot,
virând lin.  ,
dar are această
creștere rapidă spre poli.
Așa că le putem aduce
împreună pentru a alinia
acele singularități sau,
în practică, doar
valori foarte, foarte mari.
Observați că asta
nu ne oferă,
complet, atitudinea,
deoarece încă putem
roti aceasta în jurul acestei axe
fără să se schimbe nimic.
Și asta este și potrivit
pentru că avem de-a face
cu un solid al revoluției.
Deci, desigur, este
ambiguu ce unghi se
rotește în jurul axei sale.
Da.
Am menționat pe scurt
acest lucru ultima dată
și cineva mi-a trimis un e-mail
despre cum să urmăresc asta.
Deci, în primul rând, dovezile
sunt neconstructive.
Atât dovada lui Minkowski pentru cazul
discret -- cazul poliedric,
cât și cea a lui Alexandroff pentru
cazul neted, suprafața curbată netedă
.
Dovada nu
include reconstrucția
de la acesta și
celălalt, și sunt la fel.  Nu așa

funcționează dovada.
Și astfel oamenii au
încercat să găsească o modalitate
de a reconstrui iterativ.
Iar pentru cazul discret,
există două soluții foarte lente.
Deci imaginați-vă că
avem un poliedru
și cunoaștem orientarea
fiecăreia dintre fețele sale
și cunoaștem zona.
Ce facem?  Ei
bine, un lucru pe care îl putem face
este să construim un avion.
Deci, dacă cunoaștem un normal,
putem construi avionul.
Și o bucată din
acel avion va
face parte din acel obiect.
Și apoi putem muta
acel avion înăuntru și afară.
Și pe măsură ce intersectează alte
planuri, aria sa se va schimba.
Și astfel putem stabili o
mare problemă de căutare sau optimizare
în care
butoanele pe care le putem roti
sunt distanțele tuturor
avioanelor de la origine.
Și obiectivul este să se potrivească
cât mai aproape de zonele
despre care cineva ne-a spus că
fiecare dintre fațete este.
Și este o problemă urâtă, deoarece
calcularea acelor intersecții
este multă muncă și este posibil ca unele
dintre acele fețe să nu existe.
Poate că
l-ați împins atât de departe
încât nu se mai intersectează
cu restul obiectului.
Și în multe cazuri, dacă
te gândești bine,
ai un
obiect complicat cu multe fețe
și apoi împingi
o față în afară.
Este probabil ca suprafața sa va
scădea
deoarece se mută.
Deci iată lucrul pe care l-am
reconstruit.
Iată suprafața
cu care ne jucăm.
Dacă îl mutăm afară,
aria lui va crește.  Ei
bine, din păcate, pentru unele
obiecte, nu este cazul.  De
fapt, merge
invers.
Deci, dacă aveți o
schemă iterativă de feedback negativ,
va fi brusc
feedback pozitiv și va exploda.
Așa că s-a făcut, și Katsuya
Akiyoshi a început acel joc
și cred că Jim Little
este o altă referință.
Deci răspuns scurt, nu.
Dar o poți aproxima
dacă ești
dispus să faci
mult calcul.
Deci, acum, ceea ce este important
pentru noi, totuși,
este că nu avem nevoie de asta
pentru că ceea ce facem
este că lucrăm în
întregime în acest spațiu.
Nu ne întoarcem la
spațiul obiect.
Deci facem recunoașterea
comparând distribuțiile
pe sferă și
facem alinierea
încercând să rotim o
sferă față de cealaltă
până când obținem o potrivire bună.
Este
foarte intrigant din punct de vedere intelectual.
De ce nu poți doar să
calculezi obiectul?
Dar de fapt este
ceva, din fericire,
nu trebuie să facem... din
fericire, din moment ce
nu se face ușor.
Este o
distribuție interesantă pe sferă.
Și există un alt
mod de înțelegere
care este destul de util, care
este același argument pe care l-am făcut
despre benzile de la suprafață
și benzile de pe sferă,
cu excepția, de data aceasta, într-
o direcție diferită.
Deci iată o gogoașă.
Și acum imaginați-vă că
îl împărțim în benzi.  Îl
tăiem
pe baza unei axe
și avem un plan care
trece prin axă.
Și o rotim ușor
pentru a genera această bandă,
apoi te uiți la
sferă și ne
uităm la banda corespunzătoare.
Acum aceasta trece printr-
o rotație completă,
așa că vom avea o
rotație completă pe sferă.
Dar același avion despre care
vorbeam
că obișnuiam să feliam asta
când tăiam sfera--
obținem o formă de semilună, ca
o felie de lămâie, nu atât de rău.
Acum, această bandă nu este de fapt la fel de
largă pe această parte
ca pe acea parte.
Dar dacă raza
gogoșii este suficient de mare,
diferența va fi
mică, în timp ce, în aceasta,
este evident o funcție de
latitudine, iar lățimea ei
merge ca cosinusul lui eta.
Deci aria de pe sferă
este cosinus de eta.
Și astfel curbura
merge ca cosinus al lui eta
și așa G devine secanta lui eta.
Vezi asta?
Deci,
ca de obicei, luăm
raportul dintre suprafața
de aici și zona de acolo.
Și ceea ce s-a întâmplat este că
acest lucru a fost strivit
lângă poli și astfel avem
acel cosinus al dependenței de eta.
Acum, ați putea spune, dar această
bandă este în lățime constantă.
Este puțin mai îngust
pe cealaltă parte.  Ei
bine, combină-l
cu cealaltă bandă
care are aceleași orientări.
Deci, atunci când îl tăiem cu
un avion, în acest caz,
obiectul este de fapt
tăiat în două locuri.
Și deci trebuie să
adăugăm contribuții
de la ambele,
iar aceasta se întâmplă
să fie asimetrică
exact în sens invers
ca aceea.
Deci rezultatul final este... dar
între cei doi
sunt perfect
egali dacă le adunăm, în
timp ce acesta este
perfect cosinus de eta.
Deci ce urmeaza?
Care este aria unui tor?
Are cineva asta
de pe cap?
OK, asta este.
4 pi pătrat.  De
ce, mă rog?  Ei
bine, o modalitate prin care ne
putem gândi la asta
este că luăm un cerc
de circumferință 2 pi rho.
Deci, aceasta este circumferința
cercului.
Apoi îl învârtim cu o
axă în jurul acelui cerc,
care are o lungime de 2 pi r.
Iar produsul ne
oferă zona.
Deci avem acel generator pe care îl
măturam de-a lungul unei axe,
și acesta este un
argument care flutură mâna,
dar poate fi riguros.
În orice caz, zona
torusului este aceea.
Acum, dacă ne uităm la
ecuație, la formula
de aici pentru imaginea Gaussiană,
vedeți că r și rho
nu apar separat.
Apare doar produsul.
Și ce înseamnă asta?  Ei
bine, înseamnă că două
gogoși de forme diferite,
dar aceeași zonă
au același EGI.
Deci, acesta este prețul pe care îl
plătim pentru a
permite obiectele neconvexe.
Ne-am pierdut unicitatea.
Și așa, înainte, exista
un singur obiect convex care
corespundea unui EGI valid.
Acum avem o grămadă de ei.
Și așadar, dacă, de exemplu,
dacă ai avea o
anvelopă de bicicletă cu un R mare
și un rho mic, s-
ar putea să ai același
EGI ca o anvelopă de scuter
cu un rho mare
și un R mic mare,
dacă produsul se întâmplă
să fie același  .
Deci, acesta este un neajuns
al acestei reprezentări
și poate conta sau nu
într-o aplicație.
Dacă aveți de-a face
cu un atelier de reparații auto
și aveți camioane
și scutere care vin,
atunci aceasta ar putea fi o problemă.  S-
ar putea să fie nevoie să utilizați o altă
metodă pentru a le distinge.
Dacă te afli în lumea în
care aceste gogoși se află
cu alte obiecte, cum ar fi
sfere și cuburi și cărămizi
și blaturi și așa mai departe Și
acesta este singurul tor cu care vei
întâlni, atunci
nu are nicio diferență.
Dar arată că,
atunci când extindem acest lucru
la obiecte neconvexe,
lucrurile nu sunt chiar la fel de frumoase.
Și mai sunt și alte
probleme cu asta.
De exemplu, dacă
imaginăm această gogoașă -
dacă imaginăm un
obiect convex din părți opuse,
obținem întreaga suprafață.
Nu este nimic ascuns.
Aici, există
bucăți mici care
lipsesc pentru că
sunt ascunse de...
Deci, în mod normal, veți
vedea toate elementele de suprafață
unde normala suprafeței
nu este la mai mult de 90 de grade distanță
de direcția dvs. de vizualizare.
Dacă este la mai mult de 90 de grade
față de direcția dvs. de vizionare,
este în spate.
Este auto-umbrită.
Oricum nu o vei vedea.
Dar aici, părțile mici
ale suprafeței ascunse înapoi
aici, unde
normala suprafeței
este îndreptată spre tine,
așa că ar trebui să fie luate în considerare
la construirea EGI--
și sunt în
versiunea matematică.
Dar dacă iau asta din, să
zicem, date stereo fotometrice,
va fi introdusă o mică
eroare deoarece îmi
lipsește o parte din suprafață.
Și din nou, asta pentru că
obiectul nu este convex.
Bine, hai să
vorbim despre cum am
face asta folosind
date numerice mai degrabă
decât
forme frumoase, definite matematic.
Așadar, acesta este un pic ca
în discuția noastră despre brevete,
în care
aplicația finală este în cazul în care
aveți o
imagine reală - imaginea de antrenament,
și vă potriviți marginile și
faceți toate acele lucruri.
Dar există o anumită
utilitate pentru a
putea trata și
datele CAD, unde
aveți o
descriere analitică a unui obiect
și acum nu aveți nevoie de
una perfect realizată,
deoarece aveți lucrul perfect
acolo în CAD.
Deci, în mod similar, aici,
în practică, ne vom
uita la obiecte reale
care sunt imperfecte.
Dar dacă este posibil să puneți
ceva în bibliotecă
pe baza formei adevărate pe care
ar trebui să o aibă acest lucru,
este valoros.
Greu de făcut numeric.
Și, de exemplu, dacă avem
date stereo fotometrice
sau dacă avem un model de plasă
așa cum îl folosesc oamenii în grafică.
Deci avem
petice la suprafață.
Și în cazul
stereo fotometric,
acele patch-uri vor corespunde de obicei
pixelilor.
Așa că există un mic
petic patrulater
pe suprafață care se
mapează într-un pixel
și îi știm orientarea.
Dar orice ar fi,
avem aceeași treabă.
Cunoaștem acea fațetă
după, să zicem, colțurile ei.  Să
spunem că este triunghiulară.
Și avem nevoie de două lucruri.
Unul este normalul de suprafață.
Și apoi
celălalt este zona.
Deci, să începem cu
suprafața normală.  Ei
bine, este ușor de obținut, deoarece
putem lua oricare două margini
și luăm produsul încrucișat --
de exemplu, asta.
Și asta pare
asimetric pentru că
avem b care apare de două ori.
De ce ar trebui să apară b de două ori
și celălalt o singură dată?
Dar putem arăta cu ușurință
că este de fapt
asta, care este simetric.
OK, deci este ușor să
calculezi normalul suprafeței.
Și apoi celălalt lucru
este că avem nevoie de zonă.
Și deci acolo, aria
triunghiului este 1/2 - de
unde vine asta.  Ei
bine, produsul scalar este
proporțional cu lungimea
celor doi vectori înmulțit cu
cosinusul unghiului
dintre ei.
Și exact de asta
avem nevoie pentru zonă.
Deci, dacă avem un paralelogram,
aria acestuia
este produsul
acelor doi vectori.
Și nu avem
paralelogram.
Avem doar jumătate
de paralelogram.
Așa că înțelegem asta.
Și din nou, acest lucru este
asimetric, așa că nu este...
pare ciudat.
Și, desigur, puteți
face acest lucru în trei moduri.
Puteți avea fie două
copii ale lui A în formulă,
fie două copii ale lui B și așa mai departe.
Și dacă le aduni pe
toate doar pentru distracție...
acolo, asta e simetric.
Cum voi potrivi asta?
Oh, nu, există, pentru că
am adăugat trei dintre ele
și fiecare dintre ele este jumătate.  Deci
, oricum, ușor de calculat.
Deci, acest lucru este normal și zona.
Și acum ce facem?  Ei
bine, punem o masă pe
sferă în punct.
Pe baza
normalei suprafeței, masa
va fi proporțională
cu această zonă.
Și apoi repetăm ​​acest lucru pentru
celelalte fațete ale obiectului
și astfel obținem o
distribuție de masă pe sferă.
Și densitatea
acesteia este G-ul nostru.
Deci, acesta este un alt
mod de a înțelege
de ce, atunci când adăugăm cele două
contribuții de pe cele două
părți ale gogoșii, vrem
să le adăugăm așa cum o facem.
Nu vrem să scădem
lucruri și să le anulăm,
pentru că, aici, nu
ținem cont de nimic
direct despre curbură.
Este interesant că
acesta este efectul pe care îl obținem,
că dacă curbura este mare,
acești tipi vor fi toți
împrăștiați, dar nu contează
dacă curbura este
pozitivă sau negativă.  Vor fi
răspândite.
Deci, cum să reprezinte asta?
Deci, practic, ceea ce
construim
este histograma direcției.
Așa că vă puteți imagina că am
împărți cumva sfera
în cutii, la fel cum facem când
calculăm histograme.
Și apoi
numărăm tot ce
cade în fiecare dintre acele celule.
Și histogramele de direcție
sunt folosite în alte contexte.
Sunt destul de interesante.
Deci, de exemplu, dacă te
uiți la structura fină
a, de exemplu, mușchii, vei descoperi
că majoritatea fibrelor
sunt paralele.
Și cum exprimă asta... în
ce direcție merg ei
și câți nu sunt
în acea categorie?
Ei bine,
le trasezi pe sferă
și construiești această
histogramă de orientare,
iar apoi va deveni
evident că există
o concentrare puternică, un
anumit punct pe sferă
care corespunde
axei longitudinale
a acestor fibre și
nu atât în ​​altă parte,
ci acolo  vor fi unele.
Și aceasta are o aplicație
, de exemplu, în neuroimagistică.
Așadar, ca și în cazul RMN, puteți
afla direcțiile de curgere a apei
în creier și, prin urmare, puteți
determina direcțiile dominante ale axonului
și
apoi puteți reprezenta
aceste cabluri de legătură care
merg dintr-o parte în alta.
Și le puteți studia prin
această metodă de a trasa
aceste histograme de direcții.
Ei fac același lucru
cu vasele de sânge.
Așadar, o metodă pentru a încerca
să distingem tumora
de alte țesuturi este de a
observa faptul
că tumora are nevoie de
alimentare cu sânge pentru a crește.
Deci, scoate lucruri care
atrage vasele de sânge.
Dar este dezorganizat.
Nu este construit
așa cum este atunci când
creșteți de la o celulă mică
la multe celule.
Și deci este o mizerie.
Are scurgeri.
Dar, mai important,
din punctul nostru de vedere,
vasele de sânge merg în
toate direcțiile.
Deci, dacă imaginezi o tumoare și
trasezi histograma de orientare,
vei obține o
distribuție uniformă în jurul sferei.
Asta e rău.
Dacă imaginezi țesut real,
vei descoperi că, da,
există vase care merg în
toate direcțiile, dar există
de obicei o
direcție dominantă sau mai multe
direcții dominante.
Și când trasați direcțiile
pe o histogramă de orientare,
acestea vor fi
bloburi puternice, în timp ce,
în acest țesut dezorganizat,
totul va fi răspândit.
Deci histogramele de orientare
nu sunt cu adevărat un lucru nou.
Majoritatea oamenilor nu
știu despre ei.
Dar sunt folosite
în alte domenii...
criomicroscopia
și ce ai tu.
Acum, histogramele obișnuite
sunt destul de simple.
În 1D,
împărțiți lucrurile
și numărați doar câte
lucruri ajung în fiecare slot.
Și apoi poate, pe
baza asta,
creați o estimare a unei
distribuții de probabilitate.
Este puțin mai
dificil în 2D.  Ei
bine, bine, așa că ne-am
împărțit în celule.
Și același lucru... numărăm.
Pătrate?
Nu asa de bine.  Ei
bine, un motiv este
că nu sunt rotunde
dacă am putea cumva să umplem
avionul cu discuri,
ar fi mai bine, dar
nu putem fără să ne suprapunem sau să lăsăm
goluri.
De ce este rău?  Ei
bine, luați un caz mai extrem.  Să
presupunem că teselația dvs.
este triunghiuri.  Cu
siguranță am putea folosi și
acest mod de a împărți
avionul.
Dar vezi că, în
cazul unui triunghi,
combini mereu
lucruri ușor diferite.
Dar, în cazul unui triunghi,
combini lucruri care
sunt destul de departe de
centru în comparație --
pentru aceeași zonă triunghi --
decât dacă ai avea un
pătrat sau, chiar mai bine,
dacă ai avea o formă mai rotunjită.
ca un hexagon.
Deci, în cazul
hexagonului, raportul
dintre cea mai mare rază și cea
mai mică rază este foarte mic.
În cazul acestui
triunghi, este destul de mare.
Iar pătratul este intermediar.
Deci, în cazul 2D,
în funcție de aplicația dvs.,
asta este ceea ce oamenii
folosesc în general, deoarece este banal.
Separă
problema confruntării
cu x de a face cu y
Acest lucru pe care nu doriți să îl utilizați
și ar fi mai bine.
Dar este o muncă suplimentară, așa că
oamenii de obicei nu o fac.
Și îmbunătățirea nu este uriașă.
Nu e ca și cum ar fi de
două ori mai bun decât pătratul.
Deci, aceasta este o problemă,
cum să alegeți celulele.
Apoi mai este unul, care
se întâmplă chiar aici sus, care este... să
presupunem că
ceva cade acolo
și, cu puțin zgomot,
ar fi căzut acolo.
Și atunci când te uiți
la histogramă,
trebuie să ții
cont de asta,
că există un fel de
aleatorie care se întâmplă aici
și că atunci când
compari două histograme,
vrei să fii atent să
ții cont de asta.
Și atunci cum faci asta?  Ei
bine, o modalitate este să ai
o a doua histogramă care să fie
deplasată.
Și așa, în aceea, acestea
cad în aceeași celulă.
Problema rezolvata.
Numai că acum trebuie să
comparați o
histogramă deplasată și una nedeplasată.
Ei bine, în 2D, desigur,
puteți face același lucru.
Dar trebuie să fii atent.  În cele din urmă, trebuie

să o faci de patru ori.
Și astfel, pe măsură ce creșteți în
dimensiuni, această, citat,
„soluție” devine din ce în ce mai
scumpă.
Trebuie să-l mutați la
jumătate de x, jumătate de y
și apoi mutați atât x, cât și y.
Și apoi, împreună cu
grila originală,
aveți patru grile.
Deci, aceasta este o soluție comună
pentru problema binning-ului 2D.
Există o altă modalitate, adică
,
atunci când îmi depun
contribuția aici,
o pun o parte acolo
și o parte acolo.
Practic, vă
combinați distribuția
cu o
funcție de răspândire și, în funcție
de implementare, acest lucru
poate fi mai ieftin de făcut decât atât.
În cazul 2D, va trebui să
îl puneți în patru locuri.
Și din nou, acest lucru este ca și cum ați
face acest lucru în momentul în care
introduceți datele, comparativ cu a face acest lucru
în momentul în care le citiți.
Deci sunt acele probleme.
Dar avem de fapt
o problemă mai gravă.
Avem o sferă.
Și cum
împărțim sfera?
Și am vorbit deja despre
longitudine, latitudinea nefiind
o modalitate grozavă de a o împărți.
Deci haideți, înainte de a
o face, să rezumam
care dintre proprietățile dorite ne
dorim pentru o teselație.
Și în cazul planar, oamenii
nici nu se gândesc la asta.
Este doar evident.
Dar când avem o
suprafață curbată, este mai complicat.
Ne-am dori ca celulele
să aibă toate aceeași zonă.
Și din nou, aici, este
banal să aranjezi
asta, greu de
făcut pe sferă.
Atunci am putea dori ca acestea
să aibă forme egale.
Și din nou, toate acestea au
aceeași formă.
Nici o problemă.
Și apoi am putea dori
ca formele să fie rotunjite.
Și asta se referă
la discuția pe care am
avut-o despre
grile triunghiulare și grile hexagonale.
Și din nou, pe
sferă, este foarte ușor
să construiești grile triunghiulare, dar
nu sunt deosebit de bune.
Vrem ceva
mai rotunjit,
cum ar fi hexagoane, pentagoane,
dodecagoane și așa mai departe.
OK, ce mai vrem?
Arie egală, forme egale.  Ne-ar
plăcea să avem
un model obișnuit.
Vrem să fie ușor
de făcut binning.
Deci aici, cum
facem colectarea?  Ei
bine, facem doar
o împărțire între întregi
și aruncăm fracția.
Sau rotunjim la un întreg --
atât în ​​x, cât și în y, dacă este necesar.
Dar nu este atât de
evident de făcut aici,
mai ales dacă avem un
model interesant cu o mulțime
de hexagoane și pentagoane.
Deci, dacă am un
vector unitar, unde merge?
Acum, aici,
chiar te gândești la asta.
Este atât de banal.
Doar împărțiți la interval
și există o parte întreagă
și asta este ceea ce utilizați.
Dacă aveți o grămadă de
fațete pe sferă
și aveți un vector normal unitar
, ce faceți?  Ei
bine, poți face
ceva cu forța brută.
Puteți lua pur și simplu
produsul punctual al acelui vector unitar
cu vectorul unitar
al fiecăreia dintre celule
și apoi alegeți
celula care are cea mai mare
valoare, deoarece este cosinusul
unghiului și cea mai mare valoare
înseamnă cel mai mic unghi.
Dar, evident,
asta nu este practic,
deoarece asta înseamnă că, de fiecare
dată când accesezi
histograma de orientare, trebuie să treci
prin toate celulele.
OK, ușor de coșat.  Să
vedem, unu, doi,
trei, patru, cinci.
Credeam că am opt.
Să vedem ce mai avem nevoie.
Vrem să avem
alinierea la rotație.
Deci despre ce este vorba?  Ei
bine, atunci când facem
potrivirea acestor margini,
va trebui să aliniem un obiect
cu celălalt.
Și din nou, în
cazul planar, este doar traducere.
Doar schimbi lucrurile.
Este foarte simplu.
Și, în special,
îl puteți muta
prin incremente discrete
egale cu dimensiunea celulei
și, de fiecare dată, puteți testa
în acea potrivire completă.
Și nu există nicio pierdere de
calitate pentru că doar
luați numerele așa cum sunt.  Ei
bine, asta nu va fi atât de
ușor în cazul rotației.
Deci, să ne gândim
cum ar putea funcționa.
Deci să presupunem că am
împărțit sfera în...
Nu știu.  Să-l
facem un dodecaedru.
Dodecaedru.
Bine, deci iată sfera noastră.
Am luat dodecaedrul
și l-am proiectat central
pe suprafață.
Deci avem aceste pentagoane.
Ei bine, au
margini curbate, dar sunt rezultatul
proiectării unui pentagon în sus.
Și deci aceasta este una dintre celule.
Și mai este unul.
Și sunt 12, nu?
Dodecaedru.
Și care este
reprezentarea mea de date?  Ei
bine, sunt doar 12 numere.
Acum, desigur, acesta
nu este chiar un exemplu bun
pentru că sunt prea puțini, dar
doar pentru a ilustra ideea.
Deci histograma mea de orientare
este de 12 numere.
Acum, dacă rotesc
sfera astfel încât
să readuc fațetele
dodecaedrului
la alinierea cu sine,
ce se întâmplă cu aceste numere?  Ei
bine, o fațetă merge
la o altă fațetă.
Deci poate că A1 merge aici și
A7 se întoarce aici și A9, A3.
Deci, tot ceea ce se întâmplă este
că sunt permutate
și nu există nicio pierdere de calitate
și este ușor de calculat.
Deci asta se
întâmplă aici.
Dacă schimb toată chestia asta,
intrările în date
sunt permutate, dar nici măcar
nu îmi fac griji
pentru asta, pentru că
am doar o matrice
și îmi imaginez că
matricea începe în altă parte.
Deci acesta este avantajul
alinierii la rotație.
Deci asta înseamnă că,
aici, pentru orice rotație
în grupul de rotații
al pentagonului,
datele mele se modifică într-un
mod foarte sistematic care nu
implică nicio pierdere de calitate.  Despre
ce vorbesc...
pierderea calității?
Ei bine, să presupunem că, după
rotație, aceste celule
nu s-au aliniat, ci s-au
suprapus într-un fel.
Să presupunem că, după rotația mea,
arată așa.  Ei
bine, asta înseamnă că atunci va trebui să
redistribui
orice greutate a fost
aici, un pic acolo,
și acest globul roșu ar prelua
o parte din greutate de acolo,
o parte din greutate de acolo.
Așa că aș face o operație de
convoluție de interpolare
, iar
rezultatul ar putea fi util.
Dar atunci poate că va
trebui să o fac din nou.
Și apoi voi fi în
Xerox-ul Xerox-ului Xerox-ului
problemei Xerox, unde la fiecare pas,
pierd puțin din calitate
și, după un timp,
nu mai este cu adevărat util.
Deci, să vedem.
Model obișnuit, formă regulată.
Deci, întrebarea este,
ce tipare putem folosi?
Și deci motivul pentru care am vorbit
despre solidele platonice și arhimediene
este pentru că
acestea sunt
punctele de plecare pentru aceste
histograme de orientare.
Și, din păcate, am
rămas fără timp.
Deci despre
asta vom vorbi data viitoare.
Deci există un test.
Și cred că am
acoperit tot
ce aveți nevoie pentru a face testul.
În caz contrar,
terminăm marțea viitoare.