[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Bine. Deci data trecută, am demonstrat teorema fundamentală a calculului. Și, în consecință, integrarea prin părți de formulă și modificarea variabilelor formula sau înlocuirea utilizării. Așa că permiteți-mi doar să-mi amintesc, pentru integrarea pe părți, a fost că, dacă am două funcții diferențiabile continuu , atunci pot schimba sarcina de a lua o derivată. F timpi primi g integrat este egal cu f din b, g din b, minus f din a, g din a, minus intervalul de la a la b din g prim f. Așa că pot muta această derivată de la f la g. Și aceasta este în afară de inegalitatea triunghiului, probabil una dintre cele mai utile teoreme care iese din calcul, altele decât teorema fundamentală a calculului. De fapt, pentru aceia dintre voi care ați luat mecanica cuantică, ceea ce vreau să spun, nu trebuie. Dar sau ați auzit de ceva numit principiul incertitudinii Heisenberg, care spune ceva de genul că nu puteți măsura poziția unei particule și impulsul acesteia într-un grad arbitrar de bun, ești obligat dacă poți măsura poziția unei particule. particule foarte bine, atunci măsurarea impulsului dvs. nu va fi atât de mare și invers. Și asta se bazează pe o inegalitate și cum demonstrezi acea inegalitate? Integrare pe părți. Așadar, integrarea pe părți este, de fapt, responsabilă pentru unul dintre marii zgârieturi de cap din mecanica cuantică. Așa că doar pentru a susține puțin afirmația mea. Acum, nu voi da asta ca aplicație. Voi da o aplicație diferită legată de seria Fourier. Deci seria Fourier, care sunt acestea? Deci să presupunem că avem o funcție. Și nu am de gând să spun ce tip. Să presupunem că f de la minus pi la pi la R este 2 pi periodic. Și așa, întrebarea care a apărut din cauza lui Fourier în studiul său despre transferul de căldură - deci acesta este Fourier, nu știu, ceva de genul cu 200 de ani în urmă. El a făcut următoarea afirmație, că funcția f a lui x poate fi extinsă în termeni de blocuri mai simple, în termeni de funcții mai simple. Deci nu am vorbit despre seria Taylor. Vom în doar un minut, sau serie de puteri, cu care ați intrat în contact, care este o modalitate, dacă doriți, de a extinde o funcție în termeni de polinoame. Și acum... sau monomii. Acum, Fourier a sugerat că f din x poate fi extins ca o suprapunere de funcții care sunt 2 pi periodice și un fel de cele mai de bază 2 pi funcții periodice. Acum, ce este atât de special la sinus x și cosinus x? Ei bine, acesta este puțin mai profund, faptul că ele satisfac anumite ecuații diferențiale de ordinul doi. Și toate sunt soluțiile ecuației diferențiale de ordinul doi care sunt 2 pi periodice. Așa că ar trebui să vă gândiți la acestea ca fiind niște blocuri de construcție. Un alt mod de a gândi la acest lucru este analog cu pentru dacă aveți un vector, deci acum aceasta nu este o partiție. Acesta este un vector, x1, x2, xn, apoi puteți extinde acest vector ca o sumă de coeficienți a sub n, a sub j, j este egal cu 1 la n. Știi ce? Permiteți-mi să facem acest M. Să facem acest N. Să facem acest M, deci arată puțin -- un sub n, e sub, unde acum, e sub n acesta este vectorul de bază dat de 0 1 0 unde acesta este în locul final. Deci, vă puteți gândi la această expansiune în termeni de sinusuri și cosinus ca fiind analogă cu extinderea unui vector în termeni de elemente de bază. Sau vă puteți gândi la asta ca la o modalitate diferită de a extinde o funcție, alta decât seria Taylor sau seria de putere. Dar aceste componente au apărut într-un mod natural dacă s-ar studia problema transferului de căldură, care este guvernată de ecuația dtu este egal cu dx pătratul u. Și apoi, împreună cu o condiție inițială, că u de 0x, deci la momentul 0, este egal cu f de x. Deci, acum, la fel ca în cazul în care extindem un vector în elemente de bază, există o formulă pentru calcularea acestor coeficienți. Deci ar trebui să fie un sub n ar trebui să fie x sub n aici. Dar care este o modalitate diferită de a obține acești coeficienți? Deci acesta este un vector în RM. Și așadar, cum obțineți coeficienții a sub n? Ei bine, dacă iau produsul interior al ambelor părți, produsul scalar, să zicem al e x dot, să spunem, e sub n prim, să spunem-- deci am folosit Mn, să spunem l. Aceasta este egală cu suma de la n egal cu 1 la M al unui sub n, e sub n dot e sub l. Acum, am scris acești vectori de bază în acest fel, pentru că aceasta este o alegere standard pentru RM. Și ceea ce le face standard este că au lungimea unitară. Și sunt ortogonali unul față de celălalt. Deci se formează pe bază ortonormală. Deci, când iau produsul lui e sub n cu e sub l, iau ceea ce se numește de obicei delta în l. Unde aici, delta în l, acesta este 1 dacă n este egal cu l și 0 dacă n nu este egal cu l. Și, prin urmare, acest lucru se reduce doar la un l. Deci vedem că un sub l este egal cu x dot e sub l. Și astfel, toată această discuție a fost în setarea unui vector de dimensiune finită în RM. Și extinderea în ceea ce privește baza standard aici. Dar nu trebuia să fie. Ar fi putut fi atâta timp cât este o bază ortonormală, atunci obțin această relație, că coeficientul care apare în fața acelui vector este egal cu ceea ce mă interesează punctat cu acel vector, care este scris aici. Deci, să presupunem că încercăm și facem același lucru acum cu f din x, cu excepția acum și spunem-- deci acestea sunt funcții. Deci, în loc să luăm produse punctiforme, care este o sumă de componente, să luăm o integrală. Deci, dacă iau f din x și, dacă doriți, punctați-l cu sinusul lui x în sumă, care este-- vă puteți gândi la cum am spus că integrala este, ar trebui să vă gândiți la o sumă continuă. Ce obținem presupunând că această expansiune este valabilă, aceasta este egală cu suma de la n este egală cu 0. Așa că permiteți-mi să fac acest l. Aceasta este suma de la n este egală cu 0 la infinit a unui sub n sinus n, de x ori sinus. Deci, permiteți-mi... uitând să scriu integralele aici. Sări peste un punct pe care vreau să-l subliniez și eu. Sumă și amintiți-vă că suma începe de la 0 la infinit. Nu vreau să continui să scriu. a n sinus n x sinus l x plus bn cosinus în x sinus n l x, sinus x. Și apoi, n este egal cu 0 până la infinit. O voi scrie doar. Nu mai fi leneș. Acum, presupunând că pot face ceea ce sunt pe cale să fac și asta va fi de fapt o mare parte din motivația pentru ceea ce vom discuta în ultimul capitol, presupunând că pot lua această sumă infinită și o pot schimba cu aceasta. integrală, aceasta este schimbarea a două limite. Suma este limita infinită. O integrare este o limită. Deci, presupunând că pot comuta aceste două procese de limitare, atunci iau un sub n minus pi la pi, sinus în x, sinus în lx, sinus lx, îmi pare rău, plus b sub n integral minus pi la pi, cosinus în x, sinus lx dx. Acum, puteți să vă așezați și să calculați acest lucru pe baza identităților trigonometrice. Și ceea ce obțineți este că acesta este întotdeauna egal cu 0. Și că acesta aici este egal cu pi ori delta în l. Deci aceasta este egală cu suma de la n este egală cu 0 la infinit a n pi delta în l, care este egală cu pi ori al. Deci obținem această cantitate aici presupunând că tot ceea ce am făcut este kosher egal cu pi ori sub l. Și apoi, pentru a ridica b sub l este același, cu excepția faptului că acum integrați împotriva cosinusului lui lx. Deci, în mod similar, pi ori b sub l este egală cu integrala de la minus pi la pi a lui f a lui x cosinus lx dx. Deci, b sub l și a sub l sunt denumite coeficienți Fourier ai funcției f. Deci, dacă f de la minus pi la pi la R este continuă și 2 pi periodice, numerele a sub n sunt egale cu 1 peste pi, integrale de la minus pi la pi ale lui f de x sine nx, dx, b sub n este egală cu 1 peste pi , integrală de la minus pi la pi, f a cosinusului x în x, dx sunt denumite coeficienți Fourier ai lui f. Și așa, folosind doar integrarea prin părți, deci care este prima întrebare pe care ar trebui să o punem dacă este chiar posibil, sau în ce sens f din x este egal cu această sumă infinită? Ei bine, nici măcar nu am intrat în asta. Dar o întrebare pe care o puteți pune este: acești coeficienți care vin în fața acestor blocuri de bază, sinus nx și cosinus nx, converg la 0? Adică, dacă ne așteptăm ca f din x să fie egal cu suma acestor părți de bază, atunci contribuțiile de la fiecare ar trebui să fie din ce în ce mai mici. Deci a n și bn tind spre 0 pe măsură ce n merge la infinit? Și acesta este conținutul a ceea ce se numește de obicei lema Riemann-Lebesque. Dar de obicei este spus într-un mod diferit. O să o afirm în acest fel chiar acum. Și care este următorul. Dacă f de la ab la R este diferențiabilă continuu, atunci limita pe măsură ce n merge la infinitul unui sub n este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui b sub n este egal cu 0. Acum, modul în care este de obicei formulată lema Riemann-Lebesque este , de fapt, nu am nevoie ca acesta să fie diferențiat continuu. Am nevoie doar să fie continuu. Acest lucru este încă adevărat. Dar nu am făcut-- sau nu vom face în această clasă teoreme de aproximare pentru funcții continue. Care spune că dacă puteți face acest lucru pentru funcții diferențiabile continuu, atunci, practic, puteți face acest lucru pentru funcții continue. Dar asta va fi suficient. Deci ceea ce spune aceasta este că contribuțiile care vin din aceste blocuri de construcție devin mai mici, cel puțin în sensul că coeficienții devin mai mici. Dar nu spune nimic despre dacă suma respectivă acolo cu a n și bn definite în acest fel converge de fapt către f. Vreau să subliniez că, de fapt, încercarea de a îndrepta această întrebare, în ce sens converge această serie la f este cu adevărat motivația pentru multe analize dezvoltate în trecut în prima parte a secolului trecut și în ultima parte a secolului trecut. secol înainte de aceasta și formează baza a ceea ce se numește analiză armonică. Care este un subiect cu adevărat frumos și încă o zonă activă de cercetare în curs. Deci, cum demonstrăm asta? Ei bine, am afirmat mai devreme formula de integrare prin părți. Deci, de fapt, va urma destul de ușor din asta. Să demonstrăm că limita ca n merge la infinit de b sub n este egală cu 0. Cea pentru un sub n este similară. Există doar o bucată în plus. Dar o să fiu puțin leneș și o voi face pe cea mai ușoară. Vom arăta... deci să ne uităm la b sub n. Aceasta este egală cu integrala de la minus pi la pi a lui f a lui x. Și de fapt, permiteți-mi să scriu cosinus nx ori f pentru x, dx, dx. De ce scriu dx, dx? Și acum ceea ce fac este, cosinus nx, pot scrie ca derivată a ceva. 1 peste n ori sine nx. Dacă iau derivata lui în raport cu x, obțin cosinus nx. De fapt, nu am dovedit asta. Dar poți să te uiți înapoi în manualele tale de calcul. Am dovedit suficient pentru a putea face acest lucru precis. Deci, prin integrare pe părți, acum pot să transfer vina sau să transfer sarcina acestui derivat pe f. Dar uite ce am câștigat. Am câștigat 1 peste n aici. Deci, acum, acesta este egal cu 1 peste n sinus n plăcintă, f de pi minus sinus de n minus pi ori f de pi-- minus pi, scuze-- minus 1 peste n sinus nx minus pi la pi, f prim de x , dx. Și într-adevăr, ceea ce arată această competiție este -- ilustrând natura oscilativă a ceea ce se întâmplă. Cosinusul lui nx oscilează pe măsură ce n devine foarte mare între minus 1 și 1 și egal. Deci, în medie, obțineți aceeași cantitate de f pozitiv ca minus - ca f negativ. Deci sau ponderați f în așa fel încât să fie atât pozitiv, cât și negativ în cantități egale. Acum, sinusul lui n pi, indiferent de ce n este, primesc 0. Sinusul lui n din minus pi, primesc 0. Deci această primă parte scade. Deci, acesta este egal cu minus 1 peste n, minus pi, pi, sinus în x, ori f prim de x, dx. Și, prin urmare, dacă iau valoarea absolută a lui b sub n, aceasta este mai mică sau egală cu 1 peste n minus pi peste pi, sinus în x f prim de x, dx. Dacă aduc valoarea absolută înăuntru, astfel încât să pot aduce valoarea absolută înăuntru și totuși să primesc asta. Deci, de fapt, înainte de când aveam valoarea absolută afară, era egalitatea. Dar acum este o mai mică sau egalitate... Adică, o inegalitate. Deci, acum, semnul lui nx este întotdeauna mărginit de 1. Deci acesta este mai mic sau egal cu integrala lui f prim a lui x, dx. Deci aceasta este egală cu 1 peste n integrală a, b, f. Acum, acesta este doar f prim. Acesta este doar un număr fix ori 1 peste n. Deci aceasta converge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Și b sub n, o valoare absolută, desigur, este întotdeauna mai mare sau egală cu 0. Și este delimitată de ceva care converge la 0 când n merge la infinit. Deci, prin teorema de strângere, concluzionăm că b sub n converge la 0. Și aceasta este dovada. Dovada pentru sub n-urile a este similară, cu excepția faptului că acum nu puteți arunca neapărat punctele finale. Dar încă nu este o problemă foarte mare. Și, de fapt, dacă avem timp, vă voi arăta cât de mult-- deci, de fapt, se poate dovedi-- și acest lucru se dovedește în cursurile la-- cursuri de analiză armonică, că de fapt, pentru o funcție care este diferențiabilă continuu, acest-- și 2 pi periodic-- această serie de fapt converge uniform către f pe acest interval. Și nici nu am spus ce înseamnă convergența uniformă. Dar de fapt converge către funcția f a lui x. Deci, acesta este cazul funcțiilor diferențiabile continuu . Voi da o dovadă mai târziu că, de fapt, această serie converge dacă f este de două ori diferențiabilă continuu. De fapt, putem face asta folosind elementul fundamental - integrarea pe părți din nou, în esență. Dar așa, dar există câteva lucruri aici care sunt în spatele scenei care sunt oarecum măturate. În primul rând, când am calculat aceste formule -- formule, cred -- am schimbat însumarea, însumarea infinită a funcțiilor cu integrarea. Când putem face asta? În ce sens dacă această serie Fourier converge, în ce sens converge către f? Pentru convergența numerelor reale, a existat doar un sens al convergenței numerelor reale. Acum, când avem o secvență de funcții, care este acum la care ne vom întoarce, vom avea noțiuni diferite de convergență către o altă funcție. Și în funcție de sensul în care are loc acea conversie, acea convergență , unele dintre aceste operațiuni de limitare s- ar putea să nu se schimbe. Deci, acum, vom trece la capitolul final al acestei clase. Și știu că se pare că ne atingem de multe lucruri diferite acum, spre sfârșitul orei. Și am luat-o încet în prima parte a orei. Dar asta e, așa cum am spus, asta e... Cred că chiar am spus asta la începutul orei. Nu prea aveam de ce să plecăm. Am construit lucruri de la zero. Și cu cât ai mai multă tehnologie, cu atât poți dovedi mai multe lucruri, cu atât mai multe întrebări interesante poți pune. Deci, acum, vom trece la secvențe de funcții. Și ai putea pune și secvențe și serii. Pentru că o serie este doar un tip special de secvență de funcții. Așa că am motivat puțin de ce ne-ar interesa funcțiile care converg către alte funcții sau secvențe de funcții care converg către o funcție. Dar am putea privi ceva mult mai elementar. Deci haideți să facem un pas înapoi și să ne uităm la seriile de putere. Și aceasta ar trebui considerată o motivație pentru ceea ce urmează, la fel ca discuția noastră despre seria Fourier. Și din nou, nu voi pune întrebări despre seria Fourier la teme sau la examen. Deci multe dintre acestea sunt doar... această discuție a fost pentru a motiva această teoremă aici. Dar acum, o să fac un fel de motivație mai precisă, cred, pentru ceea ce urmează. Deci, deși am avut seriale pentru totdeauna, nu am adus niciodată în discuție seriale de putere. Și este pentru un motiv. Pentru că nu credeam că aparțin nicăieri până când am ajuns la secvențe de funcții. Deci, o serie de puteri despre un punct x0 este o serie de forma sumei de la j este egală cu 0 la infinitul unui sub j, x minus x0 la j. Deci x0 este dat. Iar lucrurile care s-ar putea schimba sunt coeficienții sau acest număr x aici. Deci teorema, care urmează imediat din testul rădăcinii. Să presupunem că acest număr R, care este limita pe măsură ce j merge la infinitul unui sub j, 1 peste j există. Deci este un număr finit, pozitiv, nu negativ. Și definiți rho ca fiind 1 peste R dacă R este mai mare decât 0 și infinit dacă R este egal cu 0. Atunci avem următoarea concluzie, că această serie de puteri a sub j converge absolut dacă x minus x0 este mai mic decât rho și diverge dacă x minus x0 în valoare absolută este mai mare decât rho. Și acest număr rho, ne referim ca rază de convergență. Deci, din nou, demonstrația urmează imediat din testul rădăcinii, deoarece dacă luăm o limită pe măsură ce j merge la infinitul unui sub j, valoarea absolută x minus x0 j, 1 peste j, aceasta este egală cu x minus x0. Acest lucru îl ucide pe j. Acesta este doar un număr fix. Deci asta iese din limită. Și această limită există. Deci, aceasta este egală cu x minus x0 ori R. Și avem două lucruri care se întâmplă. Acesta este mai mic decât 1 dacă x minus x0 este mai mic decât rho, mai mare decât 1 dacă x minus x0 este mai mare decât rho-- acest număr aici. Și, prin urmare, prin testul rădăcinii, teorema este valabilă. Deci vedem că această serie, în care, dacă doriți, ceea ce este dat sunt coeficienții a sub j și x0, iar ceea ce s-ar putea schimba este x, că această serie converge atâta timp cât x minus x0 este mai mic decât rho. Deci, atâta timp cât stăm... scuză-mă. Atâta timp cât rămânem în acel interval, un interval simetric despre x0, atunci această serie converge, absolut. Deci putem defini o funcție în care dacă iau x în acest interval, îl bag în această serie, scot un număr. Deci definiți funcția f mergând acum din acest interval. Deci x0 minus rho, x0 plus rho la R prin f de x este egal cu numărul care este scuipat de această serie de puteri. [INAUDIBIL] j acolo. Deci, de exemplu, ce este f din x? Să presupunem că toți coeficienții sunt -- să spunem, x0 este 0 și toți coeficienții sunt 1. Deci, să presupunem că mă uit la suma lui x sub j. Apoi f din x, deci am calculat deja pentru o serie geometrică. Acesta este egal cu 1 peste 1 minus x pentru x în minus 1, 1. Deci, în setarea simplă, 1 peste 1 minus x este egal cu x cu j. Un alt exemplu este că, dacă iau un sub j este egal cu 1 peste j factorial, x0 este egal cu 0, atunci ați făcut acest lucru într-un exercițiu, că această serie aici converge absolut pentru tot x. Și sensul rho este egal cu infinitul. Și așa definim funcția exponențială. Funcție exponențială, exponențială a lui x să fie ceea ce iese din această serie. Și apoi, pur și simplu din această definiție, puteți arăta lucruri pe care o funcție exponențială ar trebui să le satisfacă, x e la n este egal cu n e la e de 1 la a n-a putere și așa mai departe, și așa mai departe. Pentru ca acest lucru să se supună cu adevărat a ceea ce credeți că ar trebui să arate o funcție exponențială. Și, de asemenea, crește mai repede decât orice putere a lui x pe măsură ce x merge la infinit, merge la 0, acele tipuri de lucruri. Dar așa este definită funcția exponențială. Deci avem această funcție care este definită de orice ar fi această serie de puteri, pentru x în acest interval de convergență. Deci, aș putea scrie f din x ca limită pe măsură ce n merge la infinitul unei secvențe de funcții. Pentru că așa este definit, unde fn din x este suma parțială. Este doar un polinom. Deci, pentru seria de puteri, funcția de limitare, o puteți scrie ca limită a sumelor parțiale, care sunt doar polinoame. Și așa, ar trebui să spun, pentru toți x din acest interval, avem asta. Așa că acum apar câteva întrebări. Deci, cu ce este egală această funcție , limita acestor funcții poate mai simple. Aceste funcții mai simple sunt doar polinoame pentru cazul serii de puteri. Deci, așa cum am spus, 1 peste 1 minus x este egal cu limita acestor polinoame. Ar trebui să apară câteva întrebări. Adică, analiza este despre limite. Poți să te gândești la asta ca la jumătatea poveștii. În primul rând, care este limita? Care sunt procesele limitative importante pe care le considerăm? A doua întrebare este cum interacționează diferitele limite? Deci, să punem asta ca o întrebare acum pentru o întrebare în trei părți pentru seria de putere. Și asta va motiva... și asta, din nou, motivează tot ceea ce vom face acum. Deci, funcția pe care o obțin ca această limită de polinoame este ieșirea dintr-o serie de puteri, este continuă? Piesele individuale pe care le iau o limită pentru a obține f din x, aceste polinoame sau sumele parțiale sunt cu siguranță continue. Sunt doar polinoame. Deci lucrul limitativ este continuu? Acum, dacă da, este f diferențiabilă? Și în special, din moment ce f este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui fn, este f prim egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul primului fn? Deci derivata este un proces limitativ. Deci iau derivata limitei. Așa că întreb, pot să iau acea derivată în limita? Pot schimba cele două procese? Și la fel și cu integrarea. Dacă una, integrala lui f limită egală cu n merge la infinitul integralelor lui fn? Deci, din nou, acesta este un proces limitativ pe care ne cerem să îl inversăm, deoarece f este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui fn. Și ceea ce întreb este, pot lua această integrală în interiorul acelei limite? Acum, puteți pune aceste întrebări nu doar pentru seriile de putere, ci într-un cadru mai general , la care ne vom întoarce acum. Dar asta ar trebui să fie în mintea ta ca motivație pentru ceea ce facem. Și, în afară de faptul că este doar o întrebare academică, îți oferă, cumva, informații despre dacă manipulările formale pe care le faci cu seria Fourier, care modelează într-un fel un fenomen fizic, sunt aceste manipulări formale chiar semnificative? Deci acestea sunt cele trei întrebări care motivează ceea ce vom face în continuare. Dar nu trebuie să rămânem doar la setarea de a fi în serie de putere. Acesta ar trebui să fie un exemplu foarte important de secvență de funcții care converg către o funcție, o funcție limitatoare. Și apoi, putem pune aceste întrebări. Dar nu trebuie să rămânem doar la seriale de putere. Așa că permiteți-mi să trec la un cadru mai general în care vom răspunde la aceste trei întrebări. Și două moduri de convergență pentru limite de funcții sau secvențe de funcții. Deci prima definiție, aceasta este, de fapt, ceea ce am arătat sau despre ce vorbeam înainte pentru N număr natural, fie fn o funcție de la S la R. S este o submulțime nevidă a numerelor reale. Și fie f de la S la R. Spunem, fn-- deci șirul de funcții fn converge punctual către funcția f dacă pentru tot x din S, prin lipirea x în S, deci pentru fiecare x fix în S, dacă bag asta în fn de x, primesc o limită. Și această limită este f de x. Deci, de exemplu, revenind la seria de putere, dacă am definit f din x-- așa că permiteți-mi doar să rescriu acel exemplu pe care l-am avut acolo. Dacă definesc f din x este egal cu 1 peste 1 minus x, fn din x pentru a fi în sumă din j este egal cu 0 n capătul xj, atunci pentru toate xn minus 1 la 1, limita pe măsură ce n merge la infinit de fn din x este egal cu f de x. i.e. aceasta, secvența de sume parțiale corespunzătoare acestei serii de puteri, converge la 1 peste 1 minus x punctual pe minus 1, 1. Așa că am spus, de fiecare dată când dai peste o definiție, ar trebui să o anulezi. Dar negația acestei definiții nu este prea dificilă. O secvență de funcții nu converg la o altă funcție punctual dacă există un punct, astfel încât atunci când le lip în fn din x, fn din x nu converg la f din x. Deci, să ne uităm la un alt exemplu, care nu este o serie de putere. Să presupunem că fn din x este x la n, unde x este în intervalul închis 0, 1. Deci, ce se întâmplă aici, pe măsură ce n devine foarte mare, există 1, 1, există, nu știu, f 5 din x. Și apoi, pe măsură ce n devine foarte mare, acești tipi coboară și mai mult. Și ce este... luăm ceva în limită? Ei bine, să ne uităm. Ei bine, dacă x este egal cu 1 și este destul de clar că limita ca n merge la infinitul lui fn de 1, aceasta este egală cu 1. Dacă rămân în 1 aici, primesc 1 pentru tot n. Și, prin urmare, limita pe măsură ce n merge la infinitul lui fn1 este 1. Acum, dacă x este în 0, 1, atunci, vreau să spun, am făcut această limită înainte. Limita pe măsură ce n merge la infinitul lui fn al lui x, aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui x la n. Acum, x este mai mic decât 1. Deci x este ridicat la o putere din ce în ce mai mare. Aceasta este egală cu 0. Astfel, ce concluzionăm? Pentru toate x din 0, 1, această secvență de funcții x la n converge punctual către funcția f a lui x, care este egală cu 0 dacă x este în 0, 1 și 1 dacă x este egal cu 1. Deci, desenez o altă imagine aici despre cum arată limita. Și puteți începe să vedeți asta, pe măsură ce m devine mare, din nou, acesta devine din ce în ce mai vertical acolo. Dar apoi trec la 0. Deci, pentru orice n fix, converge către această imagine din dreapta. Așadar, putem deja să luăm ceva, sau cel puțin să răspundem la una dintre aceste întrebări, dacă le luăm ca pe o întrebare despre convergență sau funcții în sens punctual. Deci am fi putut pune această întrebare acum. După această definiție, să presupunem că fn-urile sunt convergente continue punctual către o funcție f. Funcția f este continuă? Și ceea ce arată acest exemplu este că, nu, nu este cazul. x la n este întotdeauna continuu. Cu toate acestea, limita pe măsură ce n merge la infinit, limita punctual este dată de această funcție, care este 0 de la 0 la 1, iar 1 la x este egal cu 1, care nu este o funcție continuă. Deci, deja, vedem acea convergență punctuală, care este primul cel mai slab mod de convergență pe care de acum îl putem spune despre seriile de putere și nu este suficient de bun pentru a ne asigura că limita este chiar continuă. Deoarece acest exemplu arată că avem o secvență de funcții continue a căror limită punctuală nu este continuă. Așa că, ca un alt exemplu, ar trebui întotdeauna... Îmi place acest tip de ultim capitol, pentru că poți desena o mulțime de imagini. Așa că o să fac poze cu fn. Deci este liniar pe bucăți. Așa că pot scrie care este funcția, dar nu vreau. O să fac doar o imagine. Deci fn de x de la 0, 1 la R. Așa arată. Deci sunt 1, 1. Și ceea ce fac este că merg la subiect, 1 peste n. Și funcția fn a lui x este 0 până atunci. Și apoi, este o funcție liniară care conectează 1 peste n la 2n aici. Și apoi conectează acest punct la n0, deci sau ar trebui să spun, 1 peste 2n, 2n, conectează asta la origine. Deci este f sub n din x. Este doar liniar pe bucăți. Deci, de exemplu, dacă vreau să desenez f1, f1 ar arăta ca și cum ar fi 1, 0, 2, 1/2. Și să presupunem că am vrut să desenez f 100. Cum arată asta? Deci poate ar trebui să-l fac pe acesta puțin mai mare. Există 1, 1 peste 100, iar apoi ar trebui să fie 1 peste 200. Și apoi, dacă merg până la 200, este această funcție liniară pe bucăți, care devine -- este 0 de la 1 până la 1 peste 100. Deci este 0 de cele mai multe ori. Și este 0 la origine. Dar între ele, este foarte înalt și foarte subțire. Și așadar, afirmația mea este că pentru tot x din 0, 1, limita pe măsură ce n merge la infinit de fn de x este egal cu 0. Deci această secvență de funcții converge punctual la 0. Deci, de ce este aceasta? Ei bine, hai să dăm o dovadă completă a acestui lucru, în loc să spun eu. Adică, voi vorbi despre asta și voi da o dovadă completă. Deci, să ne uităm mai întâi la cel mai ușor loc. Și nici nu am nevoie de formula pentru tipii ăștia. Trebuie doar să știu că au această caracteristică de bază că liniarul lor punctual , adică sunt liniari pe bucăți, conectând 0 la 1 peste 2n și 2n aici, și apoi până la 1 peste n 0. Și apoi , există 0 între acesta și 1. Deci, mai întâi, dacă x este egal cu 0, atunci toate aceste funcții sunt 0 la origine. Deci, ele sunt egale cu 0. Deci, sunt egale cu 0. Deci e bine. Deci acum să presupunem că x este în 0, 1. Și deci, ce vrem să arătăm? Vreau să arăt limita pe măsură ce n merge la infinit de fn lui x este egal cu 0. Și aici, deci care este rostul aici? Acum, există 1, există x. Așa că trebuie să dau un-- ei bine, nici măcar nu voi face un argument epsilon delta epsilon M. O să-ți arăt doar ce se întâmplă. Deci există x între 0 și 1. Acum, să alegem un număr întreg foarte mare, astfel încât 1 peste M să fie mai mic decât x. Deci iată 1 peste M la strict la stânga lui x. Acum, cum arată graficul lui fn lui x pentru n mai mare sau egal cu M? Este 0 de la x egal cu 1 la x egal cu 1 peste M, apoi se ridică și apoi coboară înapoi aici la 0. Dar aici este ideea. Este 0 tot de la 1 la 1 peste M. Deci, în special, la x, fn de x este 0. Deci, dacă mă uit la această secvență, fn de x, despre care încerc să arăt că converge la 0, este 0-- nu, este un f1 de x, f2 de x, până la fn minus 1 de x. Și apoi, la fM de x, deci la -- acum, deci acesta este fM de x spot, este 0. Și acest punct merge doar spre stânga. Deci, pentru toți n mai mari sau egali cu M, acum acesta va fi 1 peste n va fi la stânga lui x. Prin urmare, fn lui x va fi 0. Deci acesta este 0, 0, 0, 0 și așa mai departe. Deci, am secvența este în cele din urmă 0 pentru toate n mai mari sau egale cu M majuscul. Deci și, prin urmare, limita, vreau să spun, este destul de ușor să luăm o limită a unei secvențe constante. Și care demonstrează că această secvență de funcții converge punctual către 0. Acum, nu am venit cu acest exemplu fantezist din orice motiv vechi. Va reveni într- un minut când vom începe să răspundem la unele dintre aceste întrebări sau să le punem, din nou, în contextul acestor două convergențe - moduri de convergență. Deci, până acum, v-am dat doar o singură definiție a convergenței -- convergența punctual a unei secvențe de funcții. Și acum, voi da o definiție ușor-- voi da o definiție mai puternică-- nu este puțin, este mult mai puternică-- definiția convergenței unei secvențe de funcții. Deci avem o secvență de funcții și o funcție dată de la S la R. S este o submulțime nevidă a lui R. Apoi spunem că șirul fn converge punctual sau uniform la 0-- uniform la 0-- uniform la- - este sfârșitul zilei. Dacă încep să amestec unele dintre cuvintele mele, o să le corectez mereu. Dar primul cuvânt din gura mea poate să nu fie cel corect -- converge uniform către f din x la f dacă -- acum avem un epsilon în declarație. Pentru toți epsiloni pozitivi, există un număr natural M astfel încât pentru toți n mai mari sau egali cu M, pentru tot x din S, fn de x minus f de x este mai mic decât epsilon. Acum, vreau să fac un scurt comentariu. Aceasta arată în mod suspect de convergență punctual, dacă doar ați notat ce înseamnă pentru limită, când n merge la infinit de fn de x merge la f de x. Numai că există un punct foarte subtil și important. Și adică, unde apar pentru toate x și S? Pentru convergența punctuală, puteți afirma convergența punctuală ca aceasta fiind la începutul dreptei, pentru tot x din S, pentru toate epsilonul pozitiv, bla, bla, bla. Aici, apare la sfârșitul liniei cuantificatorilor. Și aceasta face o diferență foarte importantă între convergența punctuală și convergența uniformă. Convergența punctuală înseamnă că iau un punct x, îl bag în fn din x. Asta îmi oferă o succesiune de numere. Iar convergența punctuală spune că șirul de numere converge către f din x. Pentru fiecare x, obțin o succesiune de numere, care converge către f din x. Acum, convergența uniformă spune de fapt ceva mai puternic. Și o să spun asta. Așa că, de fapt, permiteți-mi să desenez o imagine care să se potrivească cu această definiție. Să facem ca S să fie un interval. Să presupunem că funcția mea de limitare este f este dată de acest grafic. Și așa, ceea ce voi face este practic să schimb graficul în sus și în jos cu epsilon, ceea ce înseamnă că această lungime este epsilon, la fel și această lungime, pe tot parcursul. Așa că lasă-mă să umbrez asta și să re-contur... oh. Așa că am această mică zonă umbrită, dacă doriți, din jurul funcției mele f. Deci acesta este f, f din x. Acesta este graficul. Și partea umbrită, aceasta este mulțimea tuturor x și y, astfel încât f de x minus y este mai mică decât epsilon. Așa că primesc un mic tub șerpuind cu f. Acum, ceea ce spune convergența uniformă este că pentru toți n mai mari sau egali cu un M, deci dat epsilon, pentru toți n mai mari sau egali cu M, dacă ar fi să desenez graficul lui fn lui x, ar fi mai bine să se încadreze în interior. acest tub peste tot a, b. Vezi, acest tub este definit pentru toate x între a, b. Deci face o afirmație despre cât de aproape este fn lui x de f din x în întregul set. Convergența punctuală spune doar, dacă pun un x în fn din x, atunci în cele din urmă acele numere se apropie de f din x. Convergența uniformă este o proprietate globală. Se spune că, în întreaga mulțime, pe măsură ce n devine mare, graficul acestui fn devine foarte aproape de graficul lui f lui x. Nu doar dacă fixez un x, fn-ul lui x în acel punct converg către f-ul lui x. Așa că am spus de câteva ori că convergența uniformă este mai puternică decât convergența punctuală. Lasă-mă să demonstrez asta acum. Deci, permiteți-mi să demonstrez următoarea teoremă. Deci, dacă am o secvență de funcții de la S la R și fn, mai degrabă decât să scriu converge către f punctual sau uniform, voi pune o săgeată. Și apoi, cu descrierea după aceea, uniform pe S. Și atunci acest lucru implică fn converge către f punctual pe S. Deci este foarte simplu. Din nou, imaginea care se întâmplă pentru convergența uniformă este că fn se apropie de f în întregul set pe care îl privim. Deci, cu siguranță, la un moment dat, care este tot ce aveți nevoie pentru convergența punctuală. Fiecare punct fix ar trebui să ne apropiem. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deci, mai întâi, să fixăm un număr din mulțimea S. Deci acum vrem să demonstrăm că limita ca n merge la infinitul lui fn din c este egală cu f din c. Fie epsilonul să fie pozitiv. Deoarece fn converge către f uniform, există un număr natural M0 astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu M0, pentru tot x din S, fn de x minus f de x este mai mic decât epsilon. Deci alegeți M pentru a fi acest M0, M care este pentru acest epsilon. Atunci, pentru toate n mai mari sau egale cu M, să numim această ecuație stea, stea cu un singur punct x este egal cu c, implică fn din c minus f din c este mai mică decât epsilon. Și astfel, limita ca n merge la infinitul lui f din c, fn din c este egal cu f din c. Așa că nu cred că am suficient timp să fac exemplul pe care vreau să-l fac. Așa că o să te las pe marginea scaunului tău enunțând următoarea teoremă. Asta de fapt, deci aceasta este o stradă cu sens unic. Înțelesul convergenței punctuale nu implică convergență uniformă. Așa că tocmai am demonstrat că uniformă implică punctual. Dar inversul nu ține. Și ceea ce vom demonstra data viitoare este pentru stabilirea acestui exemplu simplu de x la n. Deci... și așa, ceea ce vom demonstra data viitoare este următorul. Dacă iau orice b între 0 și 1, atunci fn convergență la f uniform pe mulțimea 0, b. Deci aceste funcții sunt definite pe 0, 1. Deci sunt definite cu siguranță pe 0, b pentru b mai mic decât 1. Dar totuși, această secvență de funcții nu converge uniform către f pe 0,1. Așadar, aici, această a doua parte, deoarece fn-ul converg spre punctual pe 0, 1, a doua parte spune că aceasta este o stradă cu sens unic. Aceasta nu este o stradă cu două sensuri. Aceste două moduri de convergență - convergența uniformă și punctual nu sunt echivalente. În regulă. Cred că ne vom opri aici.