[SCRÂTÂND] [FOȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Deci, să continuăm discuția noastră despre secvențele de funcții. Deci am avut două noțiuni diferite de convergență a secvențelor de funcții. Deci prima noțiune a fost convergența punctuală. Deci avem o succesiune de funcții, f n dintr-o mulțime S la R, o altă funcție, funcție fixă ​​f de la S la R. Și atunci spunem că f n converge către f punctual dacă pentru fiecare x din S, șirul numerelor reale converge către f din x. Deci, dacă pentru toate x și S, limita ca n merge la infinitul lui f n din x este egală cu f din x. Așa că scot un x din S, îl înfig în f n. Așa că acum primesc o succesiune de numere reale. Și ar trebui să obțin f din x pe măsură ce n merge la infinit. Și apoi am introdus noțiunea mai puternică de convergență a funcțiilor, care a fost următoarea - deci avem o secvență care merge de la S la R, funcție de la S la R, apoi am spus că f n converge către f uniform pe S dacă cumva, de-a lungul întregul set, f n se apropie de f. Deci, aici, această afirmație spune dacă pentru fiecare x fix, în cele din urmă, f n din x-- deci f n evaluat în acel punct-- este aproape de f din x, f evaluat în acel punct. Dar convergența uniformă spune că f n este aproape de f în întreaga mulțime. Deci, dacă pentru toți epsilonii pozitivi, există un număr natural M, astfel încât pentru toți n mai mari sau egali cu M, pentru tot x din S, f n de x minus f de x este mai mic decât epsilon. Acum, dacă scrieți ce înseamnă acest lucru în termeni de epsilon M-- amintiți-vă, aceasta este o limită, deci aceasta este o limită de secvențe, deci asta înseamnă ceva în termeni de epsiloni și M-- asta ar spune pentru toți x din S, pentru orice epsilon pozitiv, există un M, așa mai departe. Deci, x apare în partea din față a acestei definiții, în timp ce aici, pentru convergența uniformă, apare la sfârșit. Aceasta nu este doar un fel de diferență fără sens în modul în care scrieți definiția, ceea ce înseamnă că aceasta este o afirmație mai puternică decât dacă x-ul apare aici. Deci despre ce mă mai întâmplă? Deci, în primul rând, am dovedit data trecută că, dacă am o secvență de funcții, din nou de la o submulțime S la R, care converg către f uniform, atunci aceasta implică convergența f n către f punctual. Dar acum, ceea ce voi dovedi este că, de fapt, convergența uniformă este ceva mai puternic decât convergența punctuală. Cu alte cuvinte, aceasta este o stradă cu sens unic. Convergența punctuală nu implică convergență uniformă. Și aveam să ne uităm doar la un exemplu foarte specific, pe care urma să-l enunț ca o teoremă, care este următoarea - să fie f n din x x la n. Și acum ne uităm la intervalul unitar, 0, 1. Și fie f funcția care este 0 dacă x este în 0, 1, 1 dacă x este egal cu 1. Deci, mai întâi, lăsați- mă de data trecută-- sau dvs. poate chiar verifica doar uitându-se la forma lui f n-- că f n converge către f punctual. Dacă iau x în acest interval aici, deci nu este egal cu 1, atunci x este strict mai mic decât 1. Și dacă îl ridic la o putere suficient de mare din nou și din nou, aceasta converge la 0. Deci converge către f din x , 0. Acum, la 1, obțin doar 1 și acesta converge în mod clar către 1. Deci f n converge către f punctual. Și astfel afirmația este că pentru toate b între 0 și 1, f n converge către f. Și cred că aș putea include 0. Ar fi doar să privesc un punct și nu foarte interesant, dar f n converge către f uniform. Și al doilea este f n nu converge către f uniform pe întreg intervalul, totuși. Deci, poate că cel mai bine este să desenați din nou această imagine la care ar trebui să vă gândiți când vine vorba de convergența uniformă. Deci avem funcția de limitare, f. Și apoi desenăm un guler de dimensiunea unui epsilon în jurul funcției f. Și apoi convergența uniformă - deci aceasta este f - convergența uniformă spune că atâta timp cât merg suficient de departe, graficul lui f n ar trebui să fie în acest mic guler epsilon, astfel încât f n se apropie de f uniform pe întregul set . Deci, numărul 2 ne va oferi șansa de a anula această definiție a convergenței uniforme, care, așa cum am spus, ar trebui să-ți fie întotdeauna... așa că de fapt facem două lucruri aici. Dăm un exemplu de convergență uniformă și, de asemenea, o secvență de funcții care nu converge uniform către această funcție. Deci, facem atât un exemplu, cât și un non-exemplu, ceea ce este cel mai bun lucru de făcut pentru o nouă definiție. Deci, pentru demonstrarea lui 1, să demonstrăm convergența uniformă. Deci, să fie b în 0, 1. Atunci limita pe măsură ce n merge la infinit de b la n este 0, ceea ce implică -- așa că acum mă devansez. Nu scrie asta încă. Deci acum vrem să demonstrăm convergența uniformă a f n la f pe -- Nu am terminat această afirmație, f n la f uniform pe b. Deci am convergență uniformă pe orice interval mai mic, altul decât 0, 1. Îmi pare rău dacă arăta puțin ciudat. Deci, b n converge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Și acum vrem să demonstrăm că f n converge către f uniform pe acest interval 0, b. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Acum trebuie să găsim un M astfel încât f n să fie aproape de 0 deoarece f este 0 într-un astfel de interval. Acum, deoarece b la n converge la 0, există un număr natural M astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu M, b la n este mai mic decât epsilon. Apoi, pentru toate n mai mari sau egale cu M, obținem-- și, de asemenea, pentru toate x-- 0, b, obținem că f n de x minus f de x-- b este mai mic decât 1, așa că atunci când îl bag în f, obțin doar 0. Acesta este egal cu x la n minus 0 în valoare absolută este doar x la n deoarece ne uităm la x nenegativ. Și acum x este în acest interval 0, b, deci este mai mic sau egal cu b. Deci x la n va fi mai mic sau egal cu b la n, iar acesta este mai mic decât epsilon. Deci, la fel ca atunci când ne uităm la continuitatea uniformă a unei funcții, era o afirmație de genul, pentru orice epsilon, există o deltă care depinde, în principiu, de epsilon și funcție. Acum, pentru convergența uniformă, arată cam ca o convergență punctuală, cu excepția acum pentru fiecare epsilon, puteți găsi un M care nu depinde de punctul x. Deci, pentru fiecare epsilon, puteți găsi un M care depinde doar de epsilon și poate funcția f mic. Dar asta nu depinde de x. Acest n aici pe care l-am ales, M, depindea doar de b, nu de punctul x, pe care trebuie să-l încadrez aici. Deci, acum, să demonstrăm numărul 2. Deci, mai întâi, să negăm definiția, astfel încât să știm despre ce vorbim. Deci f n nu converge la f uniform pe o mulțime S dacă există un rău - deci fiecare „pentru toți” devine un „există. Deci, dacă există un epsilon rău 0 pozitiv, astfel încât pentru tot M, un număr natural, există n mai mare sau egal cu M și există un x în S, astfel încât f n din x minus f din x este mai mare sau egal cu epsilonul 0. Deci aceasta este negația. Dar de ce să nu fim surprinși că f n nu converge către f uniform pe 0, 1, dacă credeți această imagine? Deci, să ne uităm la ce se întâmplă aici. Așa că permiteți-mi să desenez, acum, graficul lui f. Și să presupunem că epsilonul este 1/4, Să zicem. Acum așa arată micul meu cartier epsilon de f sau tub epsilon, sau pentru epsilon este egal cu 1/4, să zicem. Este un tub în jurul valorii de 0 până la x este egal cu 1 și apoi este o mică zonă în jurul lui 1. Și acum dacă ar fi să am o convergență uniformă, atunci atâta timp cât n este foarte mare, f n trebuie să fie în această zonă pe care o am aici. Așa că, de fapt, permiteți-mi să o umbrez. Deci, pentru f n mare, trebuie să fie în această zonă. regiunea în care colorez. Dar acum, ce știm despre x la n? Ei bine, începe la 0 și se termină la 1 și arată cam așa, ceea ce înseamnă că aici, întotdeauna, lasă acest tub epsilon în jurul f, acest guler epsilon, cred. f n părăsește zona umbrită, care este locul unde ar trebui să rămână. Așa că sper că această explicație intuitivă este clară și de ce nu ar trebui să fie o surpriză prea mare că f n nu converge către f uniform pe 0, 1. Vom vedea un alt motiv în scurt timp pentru care este imposibil ca f n să converg către f uniform când vorbim despre schimbul de limite. Dar doar folosind definiția, putem demonstra că f n nu converge către f uniform. Deci negația este că există un epsilon 0 rău, astfel încât să avem toate acestea. Deci, ideea este să alegeți epsilon astfel încât acesta să nu se intersecteze niciodată cu această vecinătate epsilon a funcției de aici de jos, să nu se intersecteze niciodată cu această vecinătate epsilon doar punctul x este egal cu 1, y este egal cu 1. Deci, să alegem epsilonul 0 să fie 1/4 . Deci acum trebuie să dovedim pentru tot n, există un n. Deci, fie M un număr natural. Alegeți n ca să fie M. Și alegeți x să fie, să spunem, 1 peste 4 la 1 peste M. Acum, acesta este un număr mai mic decât 1. Deci rădăcina sa a n-a este mai mică decât 1 și, de asemenea, pozitivă. Atunci acest f din x este egal cu 0 și f sub M al acestui x, care este doar 1 peste 4 față de 1 peste M, acum ridicat la puterea M-a, 1 peste 4, ceea ce implică că f sub M din x minus f din x este egal cu 1/4, ceea ce este egal cu epsilon 0. Sau presupun că, dacă doriți, puteți scrie mai mare sau egal cu epsilonul 0. Deci, practic, dacă alegeți oricare - deci nu a fost nimic special în ceea ce privește epsilonul 0. 1/4. Dacă alegeți ceva mai mic de 1, ar fi bine. Puteți verifica asta. Dacă aș alege 1/2 aici, aș putea alege acest punct x unde f M este departe de f de x să fie 1 peste 1/2, 1/2 la 1 peste M, atâta timp cât eu nu alegeți epsilonul 0 ca să fie egal cu 1. Deci avem acel exemplu. Și aveam o altă secvență de funcții pe care ne-am uitat ultima dată, care erau aceste funcții care arată ca niște corturi. Nu știu de ce măresc această axă când ar trebui să fie cealaltă. Deci există 1, 1 peste n, 1 peste 2n, apoi până aici 2n, deci în acest moment. Și apoi este liniar pe bucăți. Deci, este doar o linie dreaptă până aici. Nu voi scrie exact ecuația pentru fiecare piesă și apoi de la 0 la 1. Deci, acesta este f n. Și ultima dată, am demonstrat că f n converge către funcția 0 punctual. Dar nu converge uniform la 0. Din nou, ce rost are? Ideea aici este că, dacă ar fi să desenez un mic guler epsilon în jurul funcției 0, ar arăta cam așa. Și f n ar trebui să fie în această fâșie mică pentru toți n suficient de mari. Dar f n devine din ce în ce mai înalt, așa că lasă întotdeauna orice bandă pe care am pus-o în jurul funcției 0. Deci f n nu se transformă în 0 uniform. Totuși, putem face o dovadă din asta. Deci f n nu converge la 0 uniform pe-- așa că ar trebui să vă spun întotdeauna despre ce vorbesc. Și asta ar trebui... pe 0, 1. Deci de ce nu? Ei bine, putem lua orice epsilon 0, într-adevăr. Deci, să alegem ca epsilonul 0 să fie 1. Fie M un număr natural. Deci ar trebui să găsim un n și un x astfel încât această inegalitate să fie satisfăcută. Deci, să alegem ca n să fie M, x să fie 1 peste 2M, în acest punct în care am vârful. Atunci f din M din x minus f din x-- f aici este doar 0. Funcția de limitare este 0, deci să nu pun nici măcar f, să pun acest 0. Acesta este egal cu f M de 1 peste 2M, care este egal cu 2M . Și acesta este cu siguranță mai mare sau egal cu 1, care este epsilonul 0. Acum, peste puțin, vă voi da o mulțime de exemple - se pare că v-am dat doar un exemplu până în acest moment. -- de funcții care converg uniform către ceva. Dar într-un minut, vă voi oferi un test foarte util pentru a decide când o serie care implică funcții converge uniform. Dar înainte de a ajunge la asta, să revizuim aceste trei întrebări pe care le-am pus în ultima prelegere în contextul serii de putere, dar acum în acest cadru mai general al convergenței funcțiilor. Așa că acum despre ce vorbesc -- și asta este cu adevărat -- deși ceea ce voi spune poate suna puțin alarmant, că acum ne aflăm, în esență, în ultima săptămână de curs și chiar ajungem la prima parte reală a analizei. Așa că vorbeam o dată cu un profesor de la Duke și a făcut această observație amuzantă că, într-un fel, la matematică-- și cred că asta nu este doar matematică, ci este o mulțime de cursuri bazate pe știință-- sunt predate, dacă ar fi să-l traduc în studiul unei cărți, este ca și cum ai petrece un an studiind introducerea unei cărți, apoi petreci un an studiind părțile mijlocii ale cărților, iar apoi petreci încă un an studiind ultimele părți ale cărților. Așa că acum, aici, începem să intrăm în partea de mijloc a cărții de analiză, nu în manual. Suntem la sfârșitul asta, dar cel puțin în marea schemă a lucrurilor, care este schimbul de limite. Aveți două procese limitative pe care doriți să le schimbați. În analiză, mai întâi Dumnezeu a creat limita, iar apoi omul a întrebat: putem schimba limitele? Și ce vreau să spun cu asta? Acesta nu este întotdeauna un lucru pe care îl puteți face. Și asta se află în centrul analizei, când putem schimba limitele. Așa că permiteți-mi să vă dau cel mai simplu exemplu. Să presupunem că avem următoarea limită - deci iau limita pe măsură ce k merge la infinitul limitei pe măsură ce n merge la infinitul lui n peste k, n peste k plus 1. Deci, aceasta este doar o succesiune care depinde de n și k. Acum, pe măsură ce n merge la infinit, ce primesc? Acesta este doar egal cu... Pot înmulți partea de jos cu k pentru a scăpa de acesta. Deci, am doar n peste n plus k. Și amintiți-vă, k este fix. Și apoi iau limita pe măsură ce n merge la infinit. Deci primesc 1. Deci iau limita pe măsură ce k merge la infinitul acestei expresii. Acum, pentru fiecare k, când iau limita pe măsură ce n merge la infinit, primesc 1. Așa că am 1 acolo. Acum, ce se întâmplă dacă schimb limita și acum mă uit la limita, când n merge la infinitul limitei, când k merge la infinitul lui n peste k, n peste k plus 1? Ei bine, acum, pe măsură ce k merge la infinit pentru fiecare n -- așa că nu uitați, iau limita pe măsură ce n merge la infinitul acestei expresii, care este anterior această expresie cu limitele interschimbate - aceasta este egală cu 0 peste 0 plus 1 este egal cu 0. Și acești doi nu se egalează. Deci nu este întotdeauna cazul în care puteți schimba limitele. Acesta este simplul fapt al vieții. Și pentru a putea face anumite afirmații, a face anumite calcule, trebuie să poți face schimb de limite. Și ce fel de limite? Poate luând o sumă infinită și integrând, sau așa cum am spus la început, seriile de putere sunt, într-un fel, o anumită limită. Sunt o limită de sume parțiale de... sunt o limită de polinoame. Și apoi să spunem diferențierea - asta este o limită. Deci, o întrebare firească, așa cum am spus ultima dată este, este derivata acestei sume infinite suma infinită a derivatei? Acestea sunt două procese limitative pe care le cerem să le putem schimba. Deci cele trei întrebări, din nou, pe care le-am pus în ceea ce privește seriile de putere, acum le voi încadra din nou în acest cadru general. Deci, dacă f n, S la R, f de la S la R și f n converge către f - poate punctual sau uniform, deci să lăsăm acest lucru deschis pentru moment, deoarece acestea sunt singurele două noțiuni pe care le avem despre convergență - și permiteți-mi make-- deci să presupunem că f n este de la S la R, f este S la R și f n converge către f punctual sau uniform, iar această propoziție nu este scrisă foarte bine și f n este continuă pentru tot n, atunci f este continuă? Deci, să presupunem că avem o secvență de funcții continue care converg către o altă funcție f, fie punctual, fie uniform. Funcția de limitare este continuă? Și o să explic într-un minut de ce aceasta este o limitare, un fel de întrebare dacă putem schimba două limite. A doua întrebare este să presupunem că f n de la a, b la R este diferențiabilă pentru toate n, f de la a, b la R și avem că f n converge către f - fie punctual, fie uniform, lăsăm acest lucru deschis pentru moment - - și derivatele converg, să zicem la o funcție g, atunci f este diferențiabilă? Și limita derivatelor este egală cu derivata limitei? Și apoi ultima întrebare - deci acesta este al treilea proces limitator principal pe care l-am văzut în această clasă, care este integrarea - să presupunem că f n este o secvență de funcții continue, f este o funcție continuă și f n converge la f -- din nou, poate fie punctual, fie uniform, lăsăm acest lucru deschis pentru moment. Limita integralelor este egală cu integrala limitei? Acum, din nou, vreau să... cred că este mai clar aici faptul că întrebăm despre schimbarea a două limite. Deci, aici, avem că această integrare este doar un simbol pentru a lua acest proces de limitare, în care luați o secvență de partiții ale lui a, b cu norma convergând la 0, apoi integrala de la a la b a lui f n-- aceasta este definită la fie această limită a sumelor Riemann. Deci, acesta este un proces limitativ aici, deși îl scriu cu această notație simplă. Așa că o întreb, pot lua această limită pe măsură ce n merge la infinit? Și îl pot schimba cu acest proces de limitare? Acum, pentru continuitate, poate că este puțin mai ascuns în ceea ce este schimbul de limite la care te uiți cu adevărat. Deci arată mai mult așa. Deci, amintiți-vă, pentru 1, întrebăm să presupunem că x este în mulțimea S, x n este o secvență convergentă către x, atunci, practic, putem face asta? Acum aș dori să arăt că f din x este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui f din x sub n. Deci, permiteți-mi să fac asta un m și să folosesc două diferite - să folosim un k. Deci, dacă calculez limita pe măsură ce k merge la infinitul lui f din x sub k, aș dori să arăt că este egal cu f din x dacă încerc să arăt că limita este continuă, presupunând că funcțiile care converg către f sunt continue. Dacă mă uit la limită în timp ce k merge la infinit, atunci sunt tentat să fac următoarele - că aceasta este egală cu limita pe măsură ce k merge la infinitul limitei pe măsură ce n merge la infinitul lui f n din x, presupunând fie convergență punctuală sau convergență uniformă, x k. Și acum, dacă sunt doar puțin neglijent, schimb limitele și scriu asta ca limită pe măsură ce n merge la infinitul limitei pe măsură ce k merge la infinit. Așadar, aici întreb, pot schimba limitele? Din nou, aceasta nu este o dovadă, aceasta este o discuție despre care este schimbul de limite pe care îl privesc pentru întrebarea numărul 1. Întrebarea numărul 3 este mai clară. Și apoi pentru asta, odată ce am făcut asta, diferențiabilitatea va fi puțin mai clară cu privire la care este schimbul de limite la care mă uit. Așa că să spunem că făceam orice îmi place și treceam prin asta. Atunci aș schimba aceste limite. Și deoarece fiecare dintre aceste f n-uri sunt continue, atunci limita pe măsură ce k merge la infinitul de f n a x sub k și x sub k converge către x, acest lucru îmi dă doar f n din x. Și astfel, deoarece f n, din nou, converge către f într-un anumit sens, acest lucru ar trebui să-mi dea f din x. Deci, ceea ce întreb este, toate acestea au fost în regulă? Pentru că la un moment dat, în special în acest moment, a trebuit să schimb o limită. Și tocmai am văzut că nu putem face asta întotdeauna. Nu putem schimba întotdeauna limitele și obținem același lucru. Aici, avem 1. Când am schimbat limita, am primit 0. Deci nu este întotdeauna cazul în care pot schimba limite. Această egalitate între această limită și limita interschimbată este marele semn de întrebare. Deci, aceasta este întreaga bază pentru întrebarea numărul 1. Așa că sper că acea discuție a fost suficient de clară. Acum, răspunsul la aceste trei întrebări este, de fapt, da, dar numai pentru o convergență uniformă. Dacă convergența-- și acesta este modul de convergență trebuie să avem, astfel încât răspunsul la toate aceste trei întrebări, pe care le vom afirma și demonstra ca teoreme, să fie corect. Acum întrebarea firească este, ce se întâmplă dacă avem o ipoteză mai slabă? Și anume, ce se întâmplă dacă presupunem doar convergență punctuală? Răspunsul la oricare dintre aceste întrebări este da? Și, ei bine, nu. Deci răspunsul la toate aceste trei întrebări este nu dacă presupunem doar convergență punctuală. Deci, să trecem printr- un exemplu care arată că fiecare dintre aceste trei întrebări este nu dacă presupunem doar convergență punctuală. Deci, să ne uităm la un exemplu care arată că 1 este nu dacă presupunem doar convergență punctuală. Și practic îl avem deja pe tablă. Luați f n din x ca fiind x la n pe 0, 1, x este în-- atunci fiecare dintre aceste funcții și pentru toate n, f n este o funcție continuă pe 0, 1, f n converge către f punctual. Dar f în sine nu este o funcție continuă. Deci, acesta oferă un exemplu de secvență de funcții care converge punctual către o funcție care nu este continuă. Din nou, ceea ce spuneam acolo în răspuns este că dacă am o secvență de funcții care converge uniform către o funcție f, atunci acea funcție este continuă. Aici, dacă presupunem doar convergență punctuală, este posibil să nu obținem o funcție continuă în final. Și asta arată acest exemplu: f n din x este egal cu x cu n. Toate acestea sunt funcții continue. Ele converg către o funcție care nu este continuă punctual. O să spun altceva într-un minut. Deci, să ne uităm la exemplul 2 acum. Practic, luăm exemplul anterior și îl integrăm pentru a obține un exemplu de secvență de funcții care converge, iar derivata sa converge punctual. 2, luați f n din x să fie x la n peste n pe 0, 1. Apoi câteva lucruri - f n converge la 0. f n prim converge la funcția f, care este aceeași funcție de aici. Deci, permiteți-mi să fac acest g. Și acestea sunt punctual, așa că am o secvență de funcții diferențiabile care converg punctual către ceva. Și derivatele converg, de asemenea, punctual către ceva. Să numim f egal cu 0, dar g nu este egal cu f prim. Derivata lui f, funcția constantă 0, care este 0. g este egală cu această funcție, care este 0 dacă x este în 0, 1 și 1 dacă x este egal cu 1. Deci aici, vedem că derivata lui limita nu este limita derivatelor, dacă presupunem doar convergența punctuală a funcțiilor. Acum, ultimul exemplu care arată că 3 nu este valabil dacă presupunem doar că convergența punctuală este, de asemenea, pe tablă. Este rostul asta acolo sus. Deci, să trecem la următoarea tablă. Deci aici, f n de la 0 la 1 la R este această funcție de cort, 1 peste n, 1 peste 2n, 2n. Este doar liniar pe bucăți. Deci este 0 de la 1 peste n la 1 și urcă la 1 peste 2n, 2n și apoi înapoi la origine. Și așa știm că f n converge la 0 punctual. Acum, integrala lui 0 este doar 0. Să ne uităm la integrala lui f n de la 0 la 1. Integrala lui 0, 1 a lui f n-- acum, dacă am fi cu toții împreună, acesta ar fi punctul în care mă opresc și întreb dacă cineva își poate aminti aria unui triunghi, chiar dacă suntem în această clasă de analiză avansată. Dar nu pot să te întreb asta. Ajung doar să mă întreb asta și știu răspunsul pentru că m-am pregătit și doar din cauza asta. Aceasta este de 1/2 bază ori înălțimea. Așa că nu uitați, integrala este o zonă. Și aș putea să notez formula a ceea ce este această funcție și să o integrez de fapt folosind teorema fundamentală a calculului, dar doar să merg cu mine despre asta - că integrala lui f n este doar aria acestui triunghi care are bază începând de la 0 și mergând la 1 peste n și atinge vârful la 2n. Deci baza este 1 peste n. Înălțimea este de 2n. Deci acesta este egal cu 1 pentru toate n. Vezi, de aceea am făcut apogeul. Deci integrala de la 0 la 1, care este doar 1 pentru tot n, nu converge către integrala limitei. Deci, în acest caz, limita integralelor nu este integrala limitei. Și care este motivul? Pentru că avem doar convergență punctuală. După cum am spus în urmă cu un minut, răspunsul este da la toate aceste trei întrebări dacă convergența este uniformă. Și ceea ce ar trebui să vă arate aceste trei exemple este că răspunsul este nu dacă presupun doar convergență punctuală, noțiunea mai slabă de convergență. Deci haideți acum să demonstrăm câteva teoreme. Deci, această primă teoremă abordează întrebarea 1. Să presupunem că f n de la S la R, f de la S la R, f n este continuă, adică este continuă în fiecare punct din S pentru tot n și f n convergență la f uniform pe S. Atunci concluzia este că f este continuă. Deci, dovada-- am făcut mai multe dovezi ca aceasta înainte, dar din anumite motive, cel puțin văd în manuale pentru această dovadă, se referă întotdeauna la ea ca un argument epsilon peste 3. Și apoi este ultima dată când o numesc un argument epsilon peste 3. Deci trebuie să arătăm că f este continuă în fiecare punct din S. Deci, să fie c un punct în S. Fie epsilonul pozitiv. Trebuie să găsim delta astfel încât pentru tot x minus c mai mic decât delta în valoare absolută, f din x minus f din c este mai mic decât epsilon. Și ceea ce vom face este că, practic, vom înlocui f cu niște f m pentru m suficient de mare. Și faptul că avem convergență uniformă este ceea ce ne permite să facem asta. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deoarece f n converg către f uniform, există un număr natural M, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M, pentru toate y în S, f M din y minus f din y este mai mică decât epsilon peste 3. Acum , acest f sub capital M-- O să repar asta, așa că ar trebui să fie n. Dar acum, aceasta este pentru toate n mai mari sau egale cu capitalul M. Chiar am nevoie doar de unul, așa că să ne uităm la f sub capital M. Aceasta este o funcție continuă. Deoarece f sub capital M este continuu, există o delta pozitivă, astfel încât pentru toate x minus, dacă x se află la distanța delta la c, atunci obțin că f sub M din x minus f sub M din c este mai mică decât epsilon peste 3 Deci, atunci această delta aici-- așa că am încetat să mai fac ceva ce făceam în toate prelegerile anterioare, când aș spune că există delta 0. Alegeți delta pentru a fi această delta 0. Există M0. Alegeți M pentru a fi acest M0. Acum am renunțat la asta și am încetat să mai fac asta pentru că ar trebui să fie clar din context acum ceea ce aleg să fie delta. Deci, pentru toate x minus c mai puțin decât delta-- așa că spun că acum aleg această deltă care a venit de aici, care a venit din f sub capital M. Capital M a venit din asta, ceea ce aveam nevoie aici. Deci acum, dacă mă uit f din x minus f din c, ceea ce vreau să arăt este mai mic decât epsilon, acum dacă adun și scad f sub M din x și f sub M din c și folosesc inegalitatea triunghiului, aceasta este mai mică decât sau egal cu f de x minus f sub M de x plus f sub M de x minus f sub M de c plus f sub M de c minus f de c. Așa că am adăugat și scăzut f sub M din x și f din M din c și apoi am folosit inegalitatea triunghiului. Acum, după această estimare aici, deoarece mă uit la un anumit n practic egal cu M, am că acesta este mai mic decât epsilon peste 3, indiferent de ce y este în acest set. Deci, cu siguranță, pentru x, voi avea că acesta este mai mic decât epsilon peste 3. Cum am ales delta, amintiți-vă, a fost să vă garantez că acesta va fi mai mic decât epsilon peste 3 atâta timp cât x minus c este mai mic decât delta. Și apoi, desigur, acesta este mai mic decât epsilon peste 3 din nou din cauza acestei apropieri uniforme a f M la f. Și, prin urmare, pentru toată valoarea absolută a x minus c mai mică decât delta, am f de x minus f de c este mai mică decât epsilon. Și asta termină dovada. Deci, dacă avem convergență uniformă, atunci -- o teoremă bună ar trebui să poată fi enunțată într-o singură propoziție, sau cel puțin un mod simplu și ușor de a o aminti. Ceea ce spune aceasta este că limita uniformă a funcțiilor continue este continuă. Deci limita uniformă a funcțiilor continue este continuă. În continuare, vom arăta, într-un sens, limita uniformă a funcțiilor diferențiabile este continuă. Vom face cea mai simplă afirmație, deși se pot face afirmații mai puternice. Dar, în practică, acesta este suficient, într-adevăr, cel puțin acolo unde apare mai târziu în viață. Dar înainte de a ajunge la acesta, să facem 3, care este... să vedem, care ar fi modul scurt de a spune asta? Integrala limitei uniforme este limita integralelor, cam așa. Acesta ar fi modul scurt și dulce de a afirma următoarea teoremă, care este... deci acesta este un răspuns la 3. Așa că am sărit peste 2 pentru un minut. Să presupunem că f n este o secvență de funcții continue pe a, b, pentru că vom vorbi despre integrale și am vorbit doar despre integrale pentru funcții continue - să presupunem că f n este o funcție continuă pe a, b, f din a , b către R și f n converge către F uniform. Rețineți că, prin ceea ce tocmai am demonstrat teorema anterioară, aceasta garantează automat că f este o funcție continuă. Deci ne putem întreba despre relația dintre integrala lui f și limita integralelor lui f n. Atunci limita pe măsură ce n merge la infinit, integrala de la a la b a lui f n este egală cu integrala de la a, b la f. Deci integrala limitei uniforme este limita integralelor. Deci aceasta este doar o secvență de numere și vrem să arătăm că aici converge către acest număr. Deci haideți să facem asta în mod demodat. Fie epsilonul să fie pozitiv. Deoarece f n converge către f uniform, există un număr natural M astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M, pentru toate x din a, b, f n din x minus f din x este mai mică decât epsilon. Acum, practic, ceea ce vom face este să integrăm această inegalitate. Și amintiți-vă, spre deosebire de diferențiere, integrarea respectă inegalitățile. Și pentru toate n mai mari sau egale cu M, adică îmi aleg M ca tipul ăsta pentru a demonstra această limită, dacă mă uit la integrala de la a, b a lui f n minus integrala a, b la f, aceasta este , prin liniaritatea integralei, integrala lui f n minus f, valoare absolută. Prin inegalitatea triunghiului pentru integrale, pe care am demonstrat-o, aceasta este mai mică sau egală cu integrala din a, b a lui f n minus f. Și ce știm pentru toți n mai mari sau egali cu M? Această funcție aici, f n de x minus f de x în valoare absolută, este mărginită de epsilon. Și, prin urmare, integrala acestei laturi va fi mai mică decât integrala laturii drepte. Așa că am făcut asta greșit. Să punem un b minus a peste asta. Deci aceasta este mai mică decât integrala a, b epsilon peste b minus a. Și apoi, pur și simplu ridic acest număr de ori lungimea intervalului, care este egal cu epsilon. Deci pentru toate n mai mari sau egale cu M, valoarea absolută a acestei integrale a lui f sub n minus integrala lui f este mai mică decât epsilon. Deci integrala limitei uniforme este limita integralelor. Așa că acum vom folosi asta pentru a face ultima teoremă de schimb de limite pe care am avut-o în minte, deci numărul 2. Și din nou, aceasta este un fel de cea mai simplă afirmație, și poate cel mai ușor de demonstrat, pe care o poate face. Se pot face afirmații mai puternice și se pot dovedi, dar în cele mai multe cazuri, acest lucru este suficient. Deci, să presupunem că f în a, b la R. Deci aceasta este diferențiabilă continuu pentru toate n, f și g-- acestea sunt două funcții de la a, b la R-- și f n converge către f uniform pe a, b și derivatele converg uniform către această funcție g. Și de fapt, nici nu am nevoie de asta. Spunem doar punctual. Deci am nevoie doar de convergența uniformă a derivatelor dacă presupun că totul este diferențiabil continuu, dacă presupun că secvențele sunt diferențiabile continuu. Atunci f este diferențiabilă, de fapt, diferențiabilă continuu, adică derivata este continuă. Și derivata lui f este egală cu g, adică limita uniformă a derivatelor converge către derivata lui f. Deci, din nou, ceea ce spune aceasta este limita uniformă a -- sau cel puțin în esență și spirit, nu este exact ceea ce spune -- dar spune că limita uniformă a funcțiilor diferențiabile continuu este diferențiabilă și că derivata limitei uniforme este limita de-- derivata limitei uniforme este limita uniformă a derivatelor. Deci, pentru a demonstra acest lucru, folosim teorema fundamentală a calculului. Deci, fie x un punct în a, b. Apoi, după teorema fundamentală a calculului, dacă iau f n din x minus f n din a, aceasta este egală cu integrala de la a la x a lui f n prim. Integrala derivatei îmi dă înapoi funcția evaluată la punctele finale. Și, prin urmare, din moment ce eu convergență punctual, aceste două numere converg punctual către f al lui x și, respectiv, f al lui a. Deci f din x minus f al lui a este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui f n al lui x minus f n al lui a. Și aceasta este egală cu, doar prin expresia anterioară, limita pe măsură ce n merge la infinitul integralei de la a la x a lui f n prim. Acum, aceste f n prime converg către g, această funcție g, uniform. Și, prin urmare, integralele converg. asta tocmai am demonstrat. Deci aceasta este egală cu integrala limitei. Și, prin urmare, am început cu f de x minus f de a și am arătat că este egală cu integrala de la a la x a lui g. Deci f din x este egal cu f din a plus integrala de la a la x din g. Dar nu, din nou prin teorema fundamentală a calculului, aceasta implică că f este diferențiabilă. Și derivata lui f a lui x, derivata lui f, este egală cu derivata - deci rețineți, f din a, aceasta este doar o constantă - este egală cu derivata acestei funcții, care este g. Cred că avem suficient timp pentru a demonstra încă o teoremă destul de bună. Destul de bine... este foarte bine. Și apoi îl vom folosi în următoarea noastră prelegere pentru a discuta, sau cel puțin a încheia, câteva răspunsuri pe care le-am întrebat inițial despre seriile de putere. Deci această teoremă se datorează nașului, Weierstrass. Nu știu, m-am referit la el ca naș sau Riemann ca naș? Oricum, cred că a fost Weierstrass la care mă refer ca naș. El a demonstrat următoarea teoremă: când poți garanta convergența uniformă pentru cel puțin o serie de funcții, care sunt limite ale sumelor parțiale, deci limite ale funcțiilor? Și a dovedit asta practic, astfel încât să poată veni cu o serie întreagă de exemple de funcții continue care nu sunt diferențiate nicăieri. Am dat o dovadă a acestei teoreme când ne-am uitat la acel exemplu, când vorbeam despre diferențiabilitate, dar nu am formulat- o ca o teoremă acolo. Deci, să luăm o secvență de funcții f j de la S la R și să presupunem că există o secvență M j astfel încât să fie valabile două lucruri. Deci acestea sunt o succesiune de numere pozitive. Nu știu de ce tocmai am șters asta, dar... deci avem o succesiune de funcții de la S la R și o succesiune de numere pozitive, astfel încât aceste numere să domine fj-urile. Și 2, sunt însumabile, deci suma de la j este egală cu 1 la infinit, care este convergent. Apoi concluzia - și din moment ce am folosit cifre pentru concluzii și litere pentru ipoteze, să revenim la asta - atunci avem două concluzii. Prima este destul de evidentă. Pentru toți x din S, această serie în care doar iau x și îl bag în f sub j, aceasta converge absolut. Și a doua este dacă definesc, acum, funcția să fie suma acestor serii, atunci sumele parțiale converg către f uniform -- converg către f uniform pe măsură ce n merge la infinit pe S. Deci, dacă am o succesiune de funcții , fiecare mărginit de un număr de M sub j, număr pozitiv -- sau număr nu negativ , cel puțin -- și seria care implică M sub j este convergentă, apoi seria f sub j converge uniform. Asta e concluzia. Deci, în exemplul nostru de acele funcții continue, diferențiabile nicăieri, fiecare dintre aceste f sub j au fost cosinus de 160j x peste 4 la j. Deci, înainte de a demonstra această teoremă, putem combina tot ceea ce am făcut până acum pentru a afirma următoarele: funcția f a lui x este egală cu suma de la j este egală cu 1 la infinit și aș putea face altceva, dar să spunem Sinusul de 40k peste 2 la k x este continuu pe, să spunem, 0, 1 pentru moment. Aș putea spune pe R. De ce? Fiecare dintre aceste f sub-- chiar măcelesc asta încercând să meargă repede. Acesta este 2 la j, nu 2. Fiecare dintre aceste funcții este delimitată de 1 peste 2 la j, iar 1 peste 2 la j este însumabilă. Deci, prin această teoremă, această convergență, deci această funcție aici, este limita uniformă a sumelor parțiale. Sumele parțiale sunt doar o sumă finită care implică sinus, deci sunt funcții continue. Deci f este limita uniformă a funcțiilor continue și, prin urmare, este continuă. Deci am fi putut folosi această teoremă pentru a demonstra că funcția pe care ne-am uitat înapoi în diferențiere era continuă, dar nu aveam convergență uniformă și toate astea atunci. Așa că am dovedit-o cu mâna. Dar folosind aceasta, această teoremă vă oferă o clasă mare de secvențe de funcții care converg uniform către o anumită funcție. Deci haideți să dovedim acest lucru rapid. Deci se deduce din ipoteza a, b și testul de comparație. Dacă iau un x în S f sub j al lui x este mărginit de M sub j, iar M sub j este însumabil, această serie converge. Deci, prin testul de comparație, suma, cu valori absolute aici pentru fiecare x fix, converge. Și asta este convergența absolută. Acum, să arătăm că sumele parțiale converg către limită în mod uniform. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deoarece această sumă converge, există un M, un număr natural, așa că acesta-- amintiți-vă, avem acest criteriu Cauchy pentru-- ei bine, cred că nu trebuie să avem-- astfel încât suma de la n este egală cu M plus 1 la infinitate de M sub j, deci j, care este egal cu... Am ales o literă săracă. Deci acest M de aici nu ar trebui... haideți să îl schimbăm cu un N. Deci acesta este mai puțin decât epsilon. Deci ideea este că coada este mică. Suma de la j este egală cu n plus 1 la infinitul lui M sub j este mai mică decât epsilon. Și pentru toate n mai mari sau egale cu acest capital N, pentru toți x din S, dacă mă uit la limita, care este f de x, aceasta este suma seriei minus suma de la j este egală cu 1 la n, aceasta este egală. la-- acum, f din x este egală cu întreaga sumă, deci minus această primă parte, aceasta este egală cu suma de la j este egal cu n plus 1 la infinitul lui f din j din x. Și prin inegalitatea triunghiului, care este valabilă pentru o serie convergentă, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la j egal cu n plus 1 la infinitul lui f sub j din x. Și prin ipoteza a, aceasta este mai mică sau egală cu suma de la j egal cu n plus 1 la infinitul lui M sub j. Și deoarece n este mai mare sau egal cu capitalul N, am că acesta este mai mic sau egal cu suma de la j este egal cu capitalul N plus 1 până la infinitul lui M sub j. Și chestia asta, am ales N majuscul, astfel încât să fie mai puțin decât epsilon. Și acesta este sfârșitul. Deci, din nou, acest n a fost ales în funcție doar de serie. Nu depindea de niciun x, nicidecum, nu depindea de punctul x din S. Așa că a trebuit să trec prin așa ceva rapid, pentru că mă confrunt cu criza de timp. Dar ideea este că, pentru această teoremă, este că, dacă am o succesiune de funcții care sunt mărginite de aceste numere M sub j -- mergeam atât de repede încât nici măcar nu am etichetat-o ​​corect -- asta se numește Weierstrass M test, M pentru că vedeți M aici -- dacă am o secvență de funcții mărginită de unele numere M sub j și acele M sub j sunt sumabile, atunci ceea ce spune este că seria funcțiilor converge uniform. Deci ne oprim aici.