[SCRÂTÂT] [FOUȘT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Așadar, la sfârșitul timpului trecut, permiteți-mi doar să reiterez teorema pe care am demonstrat-o, care a fost testul M Weierstrass, pe care îl voi declara pe scurt acum după cum urmează. . Să presupunem că fj sunt o secvență de funcții dintr-o submulțime S a lui R, astfel încât pentru tot j, există un număr nenegativ M sub j, astfel încât să fie valabile două lucruri. În primul rând, aceste M sub j domină pe f sub j. f sub j din x este mai mic sau egal cu M sub j. Și doi, aceste M sub j sunt sumabile. Atunci concluzia este, succesiunea sumelor parțiale. Deci converge uniform. Deci există o funcție f de la S la R, astfel încât sumele parțiale să convergă uniform. Deci aceasta este o secvență de funcții construită de fj-uri luând doar suma primului j este egală cu 1 la n dintre ele. Și așa, de exemplu, și am cam trecut prin asta ultima dată. De exemplu, dacă fj din x este egal cu cosinusul vechiului nostru prieten de 160jx peste 4 cu j, atunci - și să spunem pe R. Deci S este R. Și câteva lucruri. fj din x pentru tot x este mai mic sau egal cu 4 cu minus j. Pentru că cosinusul a ceea ce ai pus în el este întotdeauna mărginit de 1. Și din moment ce acesta converge, asta implică că această serie, pe care o scriu în acest fel, pe care ar trebui să o consideri ca o limită de funcții ale sumelor parțiale, care sunt funcții, converg uniform pe R. Nu numai că, această funcție definită de-- iau x, îl bag aici-- este continuă. Pentru că data trecută, am demonstrat că limita uniformă a funcțiilor continue este continuă. Această funcție este aici limita uniformă a sumelor parțiale, care este doar un număr finit de cosinusuri ale lucrurilor. Deci este continuu. Așadar, aceasta dă o altă dovadă a unuia dintre lucrurile pe care le-am făcut manual când am vorbit despre diferențiabilitate, și anume că această funcție pe care am considerat-o era continuă. Așa că să revenim la seria de putere, care a fost motivația noastră inițială. Așa că o să spun că o serie-- așa că permiteți-mi, din nou, să clarific acest lucru. Când spun, dacă vrei, fă din asta o definiție. Sau, într-adevăr, acesta este doar o... Am folosit această terminologie acolo sus în acea teoremă și când am vorbit despre acest exemplu după aceea. Dar când spun că o serie care implică funcții converge uniform, vreau să spun că sumele parțiale converg uniform. Deci înseamnă că există o funcție f astfel încât - și toate acestea sunt, de asemenea, de la S la R, astfel încât - doar pentru a nu exista ambiguitate. Deci, dacă am o secvență de funcții, f sub j, și le formez seria și spun că converge uniform, înseamnă că există o funcție f, astfel încât șirul sumelor parțiale - acestea sunt acum funcții - converge uniform la funcția f. Asta sunt seriale de putere. Sunt expresii care implică o variabilă liberă x. Și, prin urmare, vă puteți gândi la ele ca la o serie care implică funcții. Așa că permiteți-mi doar să enunț următoarea teoremă despre când avem o convergență uniformă. Deci, să presupunem că avem o serie de puteri cu raza de convergență rho, care îmi voi aminti este definită ca fiind limita pe măsură ce j merge la infinit, aj 1 peste j invers. Dacă această limită este 0, spunem că raza de convergență este infinită. Deci, dacă acesta este un număr finit, aceasta este o expresie semnificativă. Dacă acesta este 0, atunci aceasta este prescurtarea pentru a spune că raza de convergență este infinită. Deci, să presupunem că acesta este... atunci, atâta timp cât rămân strict în raza de convergență, am convergență uniformă. Aceasta este afirmația teoremei. Și pentru tot R din 0 rho, această serie de puteri, acum gândită ca o serie de funcții ale lui x, converge uniform pe x0 minus R, x0 plus R. Deci imaginea este că avem o rază de convergență, x0, x0 plus rho, x0 minus rho. Dacă luăm orice interval închis, practic, în interiorul acelui-- strict în interiorul acelui interval, atunci avem convergența uniformă a seriei de puteri. Deci vom demonstra acest lucru folosind testul M Weierstrass. Deci, să fie R în 0, rho. Și pentru toate j-- și OK, deci testul M Weierstrass este pentru j egali începând de la 1 și mergând la infinit. Dar nu trebuie, la fel ca pentru seriale, nu trebuie să începem de la 1. Poate începe de la 0. Deci pentru toate j uniunea 0, ce avem? Ce scriem? Și pentru toți x din acest interval în care dorim să arătăm convergența uniformă, avem că această funcție este sub j, x minus x0 la j în valoare absolută. De ce este delimitat asta? Aceasta este mărginită de valoarea absolută a lui aj și apoi j. Și pentru că x este în acest interval, distanța sa la x0 este mai mică sau egală cu R. Deci R la j. Deci acesta va fi Mj-ul meu pe care îl voi folosi pentru testul M Weierstrass. Lasă-mă să pun asta între paranteze, pentru că s-ar putea să nu folosesc acel Mj. Deci aceste funcții individuale, doar polinoame, sunt mărginite de acest număr pentru fiecare j. Și acum, vreau să văd dacă seria care implică aceste numere converge. Deci, permiteți-mi să aplic testul rădăcină. Avem că aceasta este egală cu -- acum, acest R la 1 peste j tocmai devine R. Și poate ieși din această limită. Și ridic a la 1 peste j. Și acesta este egal cu 1 peste rho de-- deci este egal cu, dacă doriți, pot pune R peste rho, atâta timp cât dacă rho este mai mic decât infinitul. Adică dacă raza de convergență este mai mică decât infinitul și 0. Și ce observăm? Acum, R este mai mic decât rho. R vine de la intervalul închis 0 până la rho, fără a include rho. Deci acest număr - deci acesta este întotdeauna mai mic decât 1. Dar și acest număr este întotdeauna mai mic decât 1 , atâta timp cât R este mai mic decât rho. Ceea ce implică faptul că suma seriei de la j este egală cu 0 la infinitul lui aj R către j converge. Deci acum avem șirul de funcții, polinoamele pe care le-am folosit pentru a construi seria noastră de puteri, fiecare dintre ele mărginită de aceste numere, un sub j, valoarea absolută ori R la j. Și aceste cifre sunt însumabile. Seria converge. Deci, prin testul M Weierstrass, aceasta implică faptul că seria de puteri converge uniform pe acest interval. Deci, atâta timp cât rămânem strict în interiorul razei de convergență, avem convergența uniformă a seriei de puteri. Și prin urmare, folosind teoremele pe care le-am demonstrat anterior, putem diferenția și integra termen cu termen seria de puteri. Deci, ceea ce decurge imediat din această teoremă anterioară și apoi ceea ce am demonstrat data trecută, pe care îl voi afirma acum. Seria de puteri cu raza de convergență rho pozitivă. Așa că lasă-mă să scriu așa. Și primul este pentru toate c din interiorul x0 minus R, x0 plus R, funcția dată de seria de puteri, pe care nu o voi numi asta f sau nimic. Am să mă refer direct la seria de puteri, aceasta este diferențiabilă la c. Și pentru a calcula derivata, o puteți face doar termen cu termen, adică pot lua derivata în interior. Prin dx din j este egal cu 0 până la infinit, un sub j, evaluat la x este egal cu c. Acest lucru este egal cu simpla diferențiere termen cu termen. Și numărul doi, pentru toate un mai puțin decât fi, ei bine, cu x0 minus rho mai puțin decât a, mai puțin decât b, mai puțin decât x0 plus rho-- așa că aici mă țin strict de interiorul razei de convergență. Există x0 plus rho, x0 minus rho. Și așa, acum o să mă integrez într- un interval în interior. Apoi pot integra termen cu termen. Integrala de la a la b, suma de la j este egală cu 0 la infinitul unui sub j, x minus x0 jdx este egală-- și o voi scrie doar în acest fel, suma de la j este egală cu 0 la infinitul de-- OK. Și, de fapt, permiteți-mi să subliniez cu adevărat că schimbăm limitele aici, permiteți-mi în schimb să scriu acest lucru echivalent ca suma de la j este egală cu 0 la infinitul sub j d prin dx al unui sub j, x minus x0, j evaluat la x este egal cu c. Deci, pentru seria de putere, pot schimba limitele. Limita fiind luând o derivată în sumă, pot face schimb. Și apoi, pot schimba și integrarea și suma atâta timp cât rămân în raza de convergență. Și această afirmație de aici este un punct înțelept. Deci, să vedem de ce unul este cazul. Două urmează imediat din ceea ce am demonstrat, și astfel, această teoremă anterioară și teorema pe care o avem despre integrare și convergență uniformă. Deci ce zici de unul? Deci, în primul rând, știm că avem o convergență uniformă a seriei strict în interiorul razei de convergență. Deci, ce zici, trebuie să verificăm dacă derivata formală are și o rază de convergență egală cu rho. Așa că susțin că raza de convergență a derivatelor care este egală cu-- o pot scrie în acest fel. Nu. Deci, derivata acestui tip este j ori sub j ori x minus x0 la j minus 1. Deci, doar deplasând indici, aceasta este egală cu ori j plus 1, ori x minus x0 la j. Deci afirmația noastră este că această serie de puteri aici are raza de convergență egală cu rho, raza de convergență inițială. Deci rho este raza de convergență a... de ce am venit aici? Mai aveam o tablă. Îmi pare rău pentru asta. Seria de putere originală are raza de convergență rho. Ceea ce trebuie să arătăm pentru a dovedi partea întâi este că raza de convergență a derivatelor de luare a derivatelor în interior are și raza de convergență rho. Pentru că atunci, acest lucru ar implica că această serie de puteri, care este derivata acesteia, converge uniform către aceeași mulțime. Deci avem convergența uniformă a seriei de puteri și convergența uniformă a derivatei seriei de puteri. Deci, prin teorema pe care am demonstrat-o în ultima prelegere, am avea că derivata seriei de puteri este egală cu seria de puteri a derivatelor. Așa că mă voi concentra doar pe această afirmație. Și asta, din nou, rezultă din ceea ce știm despre limite. Și așa, calculăm că dacă luăm limita pe măsură ce j merge la infinit de-- acum, aceștia sunt coeficienții pentru noua serie de puteri. Deci aj plus 1, j plus 1 ridicat la 1 peste j, aceasta este egală cu limita j merge la infinitul unui sub j plus 1 acum ridicat la 1 peste j plus 1, j plus 1, 1 peste j plus 1. Acum toate au crescut j plus 1 peste j. Acum, aceasta a fost o limită specială la care ne-am uitat ultima dată. Aceasta, limita pe măsură ce j ajunge la -- nu ultima dată, dar când ne uitam la secvențe -- limita pe măsură ce j ajunge la infinit a acestui tip este 1. Deci aceasta de fapt este egală cu limita pe măsură ce j merge la infinit, acesta merge la 1, acesta merge la 1. Deci, puteți spune că acest lucru converge și la 1. Deci aceasta este egală cu j plus 1 peste j. Acum, strict vorbind, ar trebui să... deci și chestia asta converge spre... spre ce converge? Amintește-ți asta, este... deci unde îl avem? Mai avem aici sus? Deci raza... ei bine, este mult acolo. Deci, permiteți-mi să reamintesc că raza de convergență rho, permiteți-mi să pun aici o inversă, aceasta este egală cu limita deoarece permiteți-mi să pun un k merge la infinit, a unui sub k, 1 peste k. Deci, aceștia sunt exponenții care converg către 1. Acesta este din nou convergen către rho invers. Așadar, obțin rho invers față de 1. Prin urmare, aceasta ar trebui să fie raza-- 1 peste raza de convergență către seria de puteri diferențiate , ceea ce implică seria de putere diferențiată. j este 1 peste această limită, 1 peste acea limită, pe care am calculat-o trebuie să fie este 1 peste rho, care este raza inițială de convergență. Deci, toate acestea de spus este că raza de convergență a seriei de puteri diferențiate, seria de puteri diferențiate anterior , este aceeași cu raza de convergență a seriei de puteri inițiale. Și, prin urmare, aveți convergența uniformă a derivatelor oriunde aveți convergența uniformă a seriei de puteri originale. Și, prin urmare, prin teorema pe care am demonstrat-o data trecută, deoarece atât derivatele și-- deci, deoarece seria de puteri și derivata seriei de puteri converg uniform către aceeași mulțime, seria de puteri - suma infinită, deci acest tip este de fapt diferențiabile. Și derivata seriei de puteri este seria de puteri a derivatelor. Dar puteți repeta acest lucru, deoarece acum am această serie de puteri cu raza de convergență egală cu raza de convergență a originalului. Și apoi, pot lua o derivată a acesteia și pot arăta că are aceeași rază de convergență ca și originalul. Așa că permiteți-mi să las asta ca o remarcă și să nu o spun ca o teoremă. Iterarea poate demonstra că dacă vreau derivata k-a a seriei de puteri. Așa mai departe - deci permiteți-mi să spun, toate x de aici, derivata k-a a seriei de puteri este egală cu seria de putere a diferențierii termen cu termen. Deci, acest lucru este valabil pentru k este egal cu 1, 2 și așa mai departe. Și astfel, în special, dacă evaluez la x0, acest lucru îmi spune că k factorial, un sub k este egal cu derivata acestei funcții, care este ceea ce obții atunci când bagi x în această serie de puteri. Și puteți interpreta acest lucru, deși nu le-am numit niciodată seria Taylor, ca o afirmație că fiecare serie de puteri este seria Taylor a unei funcții. Cel puțin în acest decor la care ne uităm. Așa că am răspuns destul de definitiv, cel puțin pentru domeniul acestei clase, când putem schimba limitele, putem face asta atâta timp cât avem convergență uniformă a obiectelor care ne interesează, fie că este vorba de funcția, funcții continue, sau funcția și derivata ei. Dar există declarații mai puternice pe care le puteți face, mai ales când vine vorba de integrare. Acesta este motivul pentru care a fost creată o altă teorie a integrării sau un motiv pentru care. Dar sper că, dacă vă văd pe unii dintre voi în 18 102, ceea ce voi preda semestrul următor, vom intra în asta mai departe când vom discuta despre integrarea Lebesgue. Acest lucru a fost gândit pentru că cumva integrarea Riemann nu este completă în același mod în care numerele raționale nu sunt complete. Integrarea Riemann nu este completă, integrarea Lebesgue este completă într-un anumit sens. Sunt foarte vagă aici dintr-un motiv. Așa că îți spun doar unde poți merge cu asta. Următorul pas este cel puțin îmbunătățirea când puteți schimba două limite este într-adevăr un subiect care este fundamental pentru studiul... în studiul integrării Lebesgue. Și ai acolo teoreme mult mai puternice decât aici, ceea ce îți permite să dovedești rezultate interesante și mai ales despre seriile Fourier. De fapt, dacă aș avea mai mult timp, am aplica, de fapt, unele dintre lucrurile pe care le-am făcut aici, le-am putea aplica studiului seriei Fourier. Dar poate o vom face în 18 102. Așa că vreau să demonstrez acum ultima teoremă a clasei, care se datorează și nașului. Deci, când aveam aceste serii de puteri, acestea sunt funcții definitorii, tipuri foarte speciale de funcții, ceea ce se numește analitice. Ele sunt prin definiție în esență limita polinoamelor. Ele sunt limita acestor sume finite ale unui sub j x minus x0 ridicate la puterea j. Acesta este un polinom. Deci, pentru funcțiile analitice, care sunt aceste funcții egale cu seriile de puteri, ele sunt limitele polinoamelor. Dar aceasta este o clasă destul de mică de funcții, funcții analitice. Dar Weierstrass a dovedit acest rezultat foarte interesant că de fapt ceva de genul acesta este adevărat pentru toate funcțiile continue. Așadar, în linii mari, Weierstrass a demonstrat că, practic, fiecare funcție continuă este într-un anumit sens aproape un polinom. Așa cum rezolvăm aceste funcții analitice, adică definite prin serii de puteri, ele sunt foarte aproape de a fi, cel puțin în raza lor de convergență, un polinom. De fapt, acest lucru este valabil pentru toate funcțiile continue, care nu sunt neapărat egale cu o serie de puteri, dar fiecare funcție continuă este aproape un polinom. Și în ce sens vreau să spun asta? Deci aceasta este teorema de aproximare a lui Weierstrass, care afirmă următoarele. Dacă f este în funcție continuă și pe intervalul unitar, să zicem, îl puteți face a, b, doar prin rescalarea variabilelor. Dar o voi spune doar pentru funcțiile continue pe intervalul de unitate. Atunci există o secvență de polinoame p sub n a lui x, astfel încât p sub n converge către f uniform pe 0, 1. Și astfel, în acest sens, fiecare funcție continuă este bine aproximată prin polinoame. Deci fiecare funcție continuă este aproape de a fi un polinom. Așa că trebuie să demonstrez mai întâi câteva lucruri care vor fi necesare. Așa că, mai întâi, mă voi uita doar la... așa că permiteți-mi să fac câteva remarci înainte de a trece la dovezi. Așa că punem dovada în așteptare acum. Așa că permiteți-mi doar să fac o remarcă. Nu trebuie neapărat să demonstrez această afirmație pentru fiecare f, doar pentru un anumit f. Și apoi pentru fiecare f va urma din această clasă specială. Deci trebuie doar să luăm în considerare -- vom lua în considerare doar cazul, f de 0 este egal cu 0 și f de 1 este egal cu 0. Deci f este 0 la punctele finale. De ce facem acest lucru este astfel încât să putem extinde f la o funcție continuă în afara intervalului unității, doar setând-o egal cu 0. Și așa, să presupunem că am demonstrat acest caz special și ne uităm la cazul general. Atunci, dacă iau acum orice funcție continuă, ce știm că există o secvență de polinoame, p sub n, astfel încât aceste polinoame, p sub n converg uniform către o mică modificare a lui f care rezultă în - deci această funcție aici, dacă mă uit la ea, este o funcție continuă pe 0, 1, pentru că o modific doar prin constante și apoi cu x. Și apoi la f de 1, obțin f de 1 minus f de 0 minus f de 1 minus f de 0. Deci obțin 0. Și la 0, obțin f de 0 minus 0. f de 0 este 0. Minus 0 ori ceva, nu-mi pasă, este egal cu 0. Deci există polinoame care converg la această funcție acum. Dacă am reușit să demonstrăm cazul doar pentru f de 0 este egal cu 0 și f de 1 este egal cu 0. Deci uniform și, prin urmare, polinoamele date de p sub n de x plus acum x ori f de 1 minus f de 0 plus-- deci acesta este încă, dacă acesta a fost un polinom, la fel este și adăugarea acestuia. Acesta este încă un polinom, converge către f tilde a lui x uniform. Și acesta, din nou, acesta este încă un polinom. Deci, scopul acestei remarci este că trebuie să luăm în considerare doar cazul f de 0 egal cu 0 și f de 1 egal cu 0. Și vom face asta doar pentru a putea extinde f la o funcție continuă în afara intervalului. . Acum, modul în care vom construi aceste polinoame care converg către f este prin ceea ce se numește o aproximare a identității. Într-adevăr, cred că ai putea să te gândești la asta ca la o aproximare a funcției delta. Și o să explic asta într-un minut. Deci, pentru tot n număr natural definit c sub n, aceasta va fi integrala de la minus 1 la 1 a 1 minus x pătrat ridicat la n, dx, 1 peste. Și apoi, q sub n din x, acesta va fi egal cu c sub n ori 1 minus x pătrat ridicat la n. Apoi, câteva consecințe simple sunt, deci în primul rând, aceasta este integrala unei funcții care nu este negativă, dar este pozitivă în multe locuri între minus 1 și 1. Și ați demonstrat în temei că aceasta înseamnă că integrala are a fi pozitiv. Atunci primul este, pentru tot N număr natural, pentru tot x în 0, 1. Deci primele două dintre aceste observații sunt foarte clare. qn din x este mai mare decât-- deci minus 1 la 1. qn din x este mai mare sau egal cu 0. Deci este doar c sub n, care este un număr pozitiv ori 1 minus x pătrat. x pătrat, deci x este între minus 1 și 1. Și, prin urmare, 1 minus x pătrat este întotdeauna nenegativ. A doua este, și acest lucru este destul de clar. Integrala de la minus 1 la 1 a lui q sub n a lui x, dx este egală cu 1. Acum, de ce este clar acest lucru? Deoarece aceasta este egală cu integrala lui 1 minus x pătrat ridicată la n, ori c la n, sau c sub n. Dar c sub n este inversul acelei integrale. Deci, ar trebui să luăm doar 1. Acum, al treilea lucru și mai puțin trivial , care este important, este că pentru toate delta din 0, 1, această funcție q sub n, adică, acesta este doar un polinom, converge la 0 uniform. pe setul delta este mai mică decât-- deci x astfel încât delta este mai mare sau egală cu valoarea absolută a lui x. Nu, delta este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui x este mai mică sau egală cu 1. Deci, cu alte cuvinte, iată minus 1, 1, 0, delta, minus delta. Dacă mă uit în aceste regiuni, deci, dacă doriți, în unirea acelor două intervale, atunci q sub n, acest polinom, converge la 0 uniform pe măsură ce n merge la infinit pe unirea acestor două intervale. Deci, care este imaginea a ceea ce se întâmplă? Cum arată aceste q sub n-uri? Deci iată minus 1. Iată 1. Deci primul arată ca niște constante ori 1 minus x pătrat. Deci este primul. Și apoi, pe măsură ce n continuă să devină din ce în ce mai mare, acesta este 0 la un ordin din ce în ce mai mare la 1 și minus 1 și devine destul de mic aproape de aici. Și, de fapt, conform trei, dacă iau orice interval în jurul lui 0 și mă uit în afara lui, pe măsură ce n merge la infinit, q sub n in va merge la 0 uniform. Deci, cum ar trebui să arate este, poate că următorul, este așa. Și apoi mai departe, așa. Astfel că, dacă mă uit înăuntru, aici sau aici, q sub n va ajunge la 0 uniform. Deci, la ce ar trebui să vă gândiți este că q sub n-urile pe măsură ce n merge la infinit este ceva ca o funcție delta directă , care nu este tocmai o funcție. Deci, din nou, permiteți-mi să subliniez din nou că - și asta este între ghilimele-- ar trebui să vă gândiți la q sub n acționează ca și cum funcția delta centrată pe x este egală cu 0. Deci asta este între ghilimele, pentru că nu are sens. Dar unii dintre voi care ați studiat fizica știu care sunt proprietățile unei funcții delta. Și integrala este 1, este cumva 0 peste tot, cu excepția originii. Și acolo este infinit. Dar cumva, este integrala 1. Deci aceste q sub n vor arăta o formă, o aproximare a identităţii într-un anumit sens. Dar lasă-mă... hai să dovedim acestea. Să demonstrăm singurul non-trivial, care este trei. Numărul unu și doi sunt clare în funcție de modul în care sunt definite. Deci, să estimăm mai întâi cât de mare este aceasta. Deci, această constantă c sub n, nu știm cu adevărat ce este în mod explicit. Dar să calculăm cel puțin o dimensiune aproximativă a acesteia. Deci și apoi, vom folosi asta pentru a demonstra a treia parte. Deci avem pentru tot N și numărul natural, următoarea inegalitate în xn minus 1, 1, 1 minus x pătrat ridicat la n, aceasta este mai mare sau egală cu 1 minus nx pătrat. Acum, asta, dacă nu este... deci nu ar trebui să fie ca... te lovește în față clar de ce este adevărat. Dar o modalitate prin care puteți demonstra este că dacă vă uitați la funcția g a lui x este egală cu 1 minus x pătratul n. Deci, în primul rând, această inegalitate este pară în x. Nu contează dacă x este negativ sau pozitiv. Deci, să ne uităm la această funcție. Pe 0, 1, atunci ce rost are? Mă uit la g de 0, acesta este 0. Și dacă calculez g prim de x, acesta este egal cu n ori de 2x ori ce? Ori 1 minus 1 minus x pătrat la n minus 1. Și acesta este întotdeauna mai mic sau egal cu 1, acest lucru în paranteze. Deci acest lucru este întotdeauna mai mare sau egal cu 0 pe 0, 1. Deci, pe 0, 1, această funcție este în creștere. Și valoarea sa la 0 este 0. Deci obținem asta, care este exact ceea ce am vrut să demonstrăm. Deci acum calculăm dimensiunea lui c sub n. Deci, pentru a face asta, permiteți-mi să mă uit la 1 peste c sub n. Dacă vreau o limită superioară pe c sub n, trebuie să demonstrez o limită inferioară pe 1 peste c sub n. Deci, să luăm 1 peste c sub n și să găsim o limită inferioară pentru acesta. Aceasta este integrala de la minus 1 la 1. Deci 1 minus x pătrat ridicat la n, dx. Acum, nu-mi amintesc dacă am făcut din asta o problemă de teme sau nu. Dar pentru funcțiile par care se integrează pe un interval chiar și în raport cu originea. Este doar de două ori... Adică, sunt sigur că îți amintești asta din calcul. Nu este greu de demonstrat, cu ceea ce știm despre formula de modificare a variabilelor și așa mai departe, că aceasta este egală cu de două ori integrala de la 0 la 1 a 1 minus x pătrat crescut la n. Acum, acesta este mai mare sau egal cu 2 ori dacă integrez până la un anumit punct. Acest punct anume este ales astfel încât să obțin un rezultat în cele din urmă care este, în esență, drăguț. Acum, aici îl înlocuiesc cu un lucru mai mic, care este ușor de integrat. Deci aceasta este mai mare sau egală cu 2, integrală 0 1 peste rădăcina n, 1 minus nx pătrat dx. Și vă las pe voi să verificați că cu această alegere a punctului final ceea ce obțin este 4 peste 3 rădăcină n, 1 peste rădăcină n. Și prin urmare, deci și acesta este mai mare decât 1 peste rădăcina n. Așa că am început cu 1 peste c sub n. Și am arătat că era mai mare decât 1 peste rădăcina n. Și, prin urmare, c sub n este mai mic decât 1 peste - este c sub n este mai mic decât rădăcina pătrată a lui n. Acum, vom folosi asta pentru a calcula ceea ce dorim. De fapt, vreau să spun, chiar trebuia să arătăm că c sub n este mărginit de un polinom în n. Dar asta va fi suficient. Deci acum vrem să arătăm... așa că lasă delta să fie pozitivă. Acum dorim să arătăm că Q7 q sub n converge uniform către 0 pe acea mulțime în care valoarea absolută a lui x este mai mică sau egală cu 1 este mai mare sau egală cu delta. Acum, observăm că următoarea secvență converge către 0, acea rădăcină pătrată de n ori 1 minus delta pătrat ridicată la n. Deci ar trebui să punem și delte în 0, 1. Deci această secvență aici converge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Acum intuitiv, de ce este asta? Acest lucru se datorează faptului că acesta este un număr mai mic decât 1 ridicat la puterea a n-a. Exponențialul bate întotdeauna doar un polinom sau o putere a lui n. Dacă doriți să vedeți exact de ce se întâmplă acest lucru, am putea calcula limita pe măsură ce n merge la infinit a acestei secvențe ridicate la 1 peste n putere. Atunci aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui n la 1 peste n 1/2, 1 minus delta pătrat. Și aceasta converge la 1. Am demonstrat că. Și astfel, acesta este egal cu 1 minus delta pătrat, care este mai mic decât 1. Și avem această teoremă din secțiunea noastră despre secvențe care spune, dacă această limită este mai mică de 1, atunci lucrul de aici converge la 0. Sau ați putea interpreta asta ca spunând că seria cu aceasta ca termeni individuali converge. Și, prin urmare, termenii individuali trebuie să convergă la 0. Deci, ceea ce implică limita pe măsură ce n merge la infinit este egal cu 0. Deci, acum avem asta. Și odată ce vom avea asta, vom avea ceea ce ne dorim. Deci vrem să demonstrăm convergența uniformă pe acea mulțime. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Apoi, deoarece această secvență converge la 0, există în M un număr natural, astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu M, rădăcina pătrată de n ori 1 minus delta pătrat ridicată la n este mai mică decât epsilon. Și pentru toți n mai mari sau egali cu M, pentru toți x, astfel încât delta să fie între mai puțin de 1, obținem acel q sub n, deci este nenegativ minus 0 în valoare absolută. Acesta este doar q sub n al lui x ridicat la n. Aceasta este mai mică sau egală cu rădăcina pătrată a lui n. Asta e pentru acest tip. 1 minus x pătrat, acesta devine mai mic pe măsură ce mă apropii de 1. Deci, este cel mai mare la delta. Și cum am ales M, acesta este mai puțin decât epsilon. Deci, acum, suntem pregătiți pentru demonstrarea teoremei de aproximare Weierstrass. Deci, să presupunem că f este o funcție continuă pe 0, 1. f de 0 este egal cu 0, f de 1 este egal cu 0. Deci, acest polinom aici este foarte concentrat la 0. Așa că bine, mai întâi, să presupunem că f-- și este continuu aici. Deci, puteți verifica că dacă este 0 acolo și îl extind pentru a fi 0 în afara lui 0, 1, aceasta este încă o funcție continuă. O definesc în acest fel pentru că vreau să scriu anumite simboluri într-un pic fără a specifica exact unde sunt limitele integrării . Deci extindem f cu 0 în afara lui 0, 1. Și această funcție f este funcție continuă pe dreapta numerelor reale. Deci definim-- acum vom defini acest polinom, succesiune de polinoame, p sub n. Aceasta va fi egală cu integrala de la 0 la 1 f de t ori q sub n din t minus x, dt. Și doar pentru a vă aminti, aceasta este egală cu integrala de la 0 la 1, a lui f de t ori c sub n, 1 minus x minus t pătrat ridicat la n, dt. Deci, acesta este doar c sub de n ori acest lucru. Dacă extindeți totul , este doar a-- folosind teorema binomială, aceasta este egală cu j egal-- voi pune doar o sumă aici, adică o sumă finită, a unor numere sub j, n ori x la j, ori t la-- ei bine, doar câteva numere finite a jk, ori x j, t la k. Tot ce spun este, dacă extindeți acest lucru folosind teorema binomului, obțineți această teoremă, acest polinom și x sub j, t sub k. Și apoi, acest lucru devine integrat împotriva f din t dt. Și așa, acesta este de fapt un polinom. Și îți voi da... așa că hai să scriem asta și să fim precisi, doar ca să fii convins că este un polinom. Aceasta este egală cu integrala de la 0 la 1 a f de t ori c sub n. Acum folosim teorema binomială. Acesta este egal cu j 0 la n și alegeți j. Și apoi, minus x minus t pătrat ridicat la n minus j. Sau aș putea pune j, 2j. Și apoi, det. Nu sunt sigur dacă asta mă ajută sau ceva. Dar doar pentru a vedea că acesta este de fapt un polinom. f din t, c sub n, suma de la j este egală de la 0 la n. Și acum, suma de la k este egală cu 0 la 2j, n alegeți j minus 1 la j. Acum, 2j alege k minus t la k ori x la j minus k. Și apoi, dt. Deci am toate aceste nedorite integrate dt, iar apoi acesta este x la 2j minus k. Deci asta iese. Deci acesta este un polinom. Adică, acesta este un polinom. Dar atunci, când se integrează față de f din t, acest x la 2j minus k iese din integrală. Și am înțeles că ori tot -- aceasta devine o sumă de termeni cu x la 2j minus k în afara acestei integrale, ori f din t, ori integrat față de minus 2 la k. Cred că am spus mai mult decât trebuia acolo, dar deci punctul este p sub n al lui x este un polinom. Acum, putem scrie asta ușor diferit. Deci piesa sub n din x, aceasta este egală cu exact cum a fost înainte. Acum, aceasta, schimbăm variabilele și este egal cu -- așa că facem o înlocuire u acum, unde u este egal cu x minus t. Și apoi o să schimb dt-ul. Deci ceea ce am făcut aici a fost o schimbare de variabile. Prin stabilirea u este egal cu x minus t. Sau presupun, dacă doriți, t minus x. Și apoi, tocmai mi-am amintit... și apoi am sunat din nou. Deci, în cele din urmă, mă uit la aceste polinoame doar în intervalul 0, 1. Așa arată așa. Dar acum, acest f de x plus t, pentru t între minus x și 1 minus x, este de fapt 0 în afara acestuia. Deci, pot extinde integrarea la minus 1 și 1. Din nou, înțelegând că am extins f pentru a fi 0 în afara lui 0, 1. Deci, deoarece fy este egal cu 0-- sau permiteți-mi să-l scriu astfel. Deoarece f din x plus t este egal cu 0 pentru t nu n minus x și 1 minus x. Deci asta a fost o mulțime de explicații pentru unele lucruri. Dar aici, lasă-mă să ajung la subiect. Ce este de fapt p sub n? Deci, de ce ar trebui să vă așteptați ca aceasta să converge la f? Deci, aceasta este o mică discuție. Așa că am spus că-- și asta este pentru cei care au înțeles comentariul meu despre funcțiile delta. În q sub n este foarte concentrat la 0, la t este egal cu 0. Deci, ar trebui să vă gândiți ca fiind aproximativ ca o funcție delta la t. Dacă nu știți ce este funcția delta sau nu ați auzit niciodată de ea, atunci uitați restul acestei remarci. Dar apoi voi spune ceva. Deci q sub n arata ca o functie delta. Prin urmare, minus 1 din x plus t qn din t dt ar trebui să arate din ce în ce mai mult ca f din x plus t delta lui t dt. Și ceea ce știm despre funcțiile delta directe este că atunci când le integrezi cu o funcție, pur și simplu ridici funcția evaluată la 0, care este -- OK. Deci de aceea te aștepți. Adică, dacă te uiți înapoi la această imagine a cum arată qn-urile, ele se concentrează din ce în ce mai mult la 0. Deci, toată contribuția la această integrală aici, care definește aceste polinoame, are loc la t este 0. La t este egal cu 0, doar iau f din x. Deci, de aceea, ar trebui să vă așteptați ca aceste polinoame să converge înapoi la funcție. Așa că cred că pot termina pe această tablă. Așadar, aceasta este o imagine pe care ar fi trebuit să o fi pătruns în minte. Așa arată q sub n, că își concentrează toată masa chiar la origine. Și, prin urmare, ar trebui să ridic f la punctul x. deoarece aceasta se concentrează la origine, t este egal cu 0, ar trebui doar să iau f din x plus t la t este egal cu 0, care este f din x. Și de ce f din x plus t, nu niște constante ori f ale lui x plus t, asta pentru că integrala lui q sub n este 1. Deci acum, să demonstrăm că pn converg către f uniform. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deoarece f este o funcție continuă pe un interval închis și mărginit , știm că este uniform continuă. Și, prin urmare, există delta pozitive astfel încât... cum scriu asta aici? Astfel încât dacă-- să-l scriem astfel-- pentru tot y, astfel încât z minus y mai mic decât delta, obținem că f din z minus f din y este-- de fapt, nu avem nevoie de-- OK. Adică, nu avem nevoie de atât de mult despre f. Dar vom merge cu asta oricum. Chiar știm... OK, nu contează. Mă voi opri. Deci știm că f este uniform continuu, deci există o deltă, așa că am asta. Da, deci mai puțin de epsilon peste 2. Deci z și y sunt în deltă unul față de celălalt. Atunci f din z și f din y, indiferent ce sunt z și y, sunt în epsilon peste 2 unul de celălalt. Acum, deoarece f este continuă, are un maxim pe acest interval. Ei bine, ar trebui să spun, deoarece f este o funcție continuă, are atât un max, cât și un min pe acest interval. Și m există un număr c astfel încât f din x este mărginit de c pentru tot x în 0, 1. Deci acum am această deltă care vine din continuitatea uniformă a lui f. Am acest c provenind din faptul că este mărginit pe acest interval. Și acum, voi alege M-ul meu pentru convergența uniformă a polinoamelor doar în funcție de aceste elemente de intrare. Apoi, așa cum am arătat, deoarece rădăcina pătrată a lui n 1 minus delta pătrat și converge către 0, aceasta implică că există un M număr natural, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M, obțin acea rădăcină pătrată a n 1 minus delta pătrat ridicat la n este mai mic de epsilon peste 8c. Eu susțin că acest M funcționează. Că pentru toți n mai mari sau egali cu M, pentru toți x din 0, 1, pn minus f este mai mic decât epsilon. Și pentru toate n mai mari sau egale cu M, pentru toate x în 0, 1, dacă ne uităm la p sub n de x minus f de x, vom folosi că acest lucru este o aproximare a identității, adică este, în esență, că satisface acele trei proprietăți pe care le-am scris acum un minut. Deci aceasta este egală cu integrala de la minus 1 la 1 din f de x plus t ori qn de t dt minus f de x. Care este integrala de la minus 1 la 1 a qn sub t? Este egal cu 1. Deci f din x este uneori - deci aceasta este -- toată analiza scrie 1 sau 0 într-un anumit fel. Nu toate, dar-- deci pot scrie asta ca f de x plus t acum minus f de x ori qn de t, dt. Din nou, pentru că integrala lui q sub n din t este egală cu 1. Deci, din nou, dacă doar extindeți acest lucru, acesta este f din x. Mă integrez cu privire la t. Așa că am luat doar ceea ce aveam înainte. Acum, prin inegalitatea triunghiului pentru integrale, aceasta este mai mică sau egală cu integrala pentru minus 1 la 1 din f de x plus t minus f de x ori valoarea absolută a lui q sub n a lui t. Dar deoarece q sub n din t nu este negativ, acesta este doar q sub n din t. Și acum, voi împărți această integrală în două părți. Aceasta este egală cu o parte în care t este mai mic sau egal cu -- așa că ar trebui minus delta, delta f de x plus t, minus f de x, q sub n de t dt. Și apoi plus cealaltă parte, pe care o pot scrie ca-- deci este o unire a celor două intervale aflate acum departe de delta la 1. Deci, este suma integralei pe aceste două intervale, pe care o voi scrie ca integrala peste delta mai mică sau egală cu t este mai mică sau egală cu 1. Și ori qn din t. Acum, t este între minus delta și delta. Prin urmare, x plus t minus x în valoare absolută este mai mic decât delta. Deci, în această integrală aici, vreau să observ că, dacă t este în acest interval aici, x plus t minus x este egal cu t este mai mic decât delta în acest interval. Deci, deoarece acest tip minus acest tip este mai mic decât delta în valoare absolută, pot folosi această parte de continuitate uniformă pentru a spune că aceasta este mai mică decât epsilon peste 2qn de t dt. Plus acum, valoarea absolută a acestui tip este mai mică decât-- prin inegalitatea triunghiului-- este mai mică sau egală cu suma valorilor absolute, care este mai mică sau egală cu c-- 2c. Deci 1 și apoi 2c. Pentru că este mărginit de c, este mărginit de c. Deci valoarea absolută a diferenței este mai mică sau egală cu suma valorilor absolute, care este mărginită de fiecare dintre cele mărginite de c. Acum, aceasta este mai puțin de epsilon peste 2 integrală din, dacă doar integrez totul, de la minus 1 la 1, asta îmi dă doar 1. Plus de 2c ori qn de t. Pe acest interval este, din nou, așa că nu ar trebui să pun o deltă acolo. 2c, c sub n, 1 minus delta pătrat ridicat la n, dt. Și deci nu există aici. Deci, acesta este egal cu epsilon peste 2, deoarece această integrală este 1 plus aceasta-- c sub n, amintiți-vă, este mai mică decât rădăcina pătrată de n ori 1 minus delta pătrat și ori integrala peste această regiune dt, ceea ce o pot face mai mare trecând de la minus 1 la 1. Îmi dă 2. Și acesta este egal cu epsilon peste 2 plus 4c rădăcină pătrată a lui n, 1 minus delta pătrat n. Și acesta este mai puțin decât epsilon peste 2, plus epsilon peste 2, este egal cu epsilon. Cred că mai am un minut de liber. Așa că a fost o experiență de predare într-o cameră goală. Sper că ai obținut ceva din această clasă. Din păcate, nu am putut să vă întâlnesc pe mulți dintre voi. Și aceasta este una dintre cele mai bune părți despre predare și posibilitatea de a vă vedea înțelegând în timp real despre ce vorbesc. Așa că sperăm că acest coșmar se va încheia în curând și ne vom putea vedea în viitor.