[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [FĂCÂND] CASEY RODRIGUEZ: Așadar, iată-ne din nou. Așa că voi termina o demonstrație rapidă a unei teoreme pe care am afirmat-o data trecută datorită lui Cantor. Deci, permiteți-mi să-mi amintesc setarea. Așa că data trecută, terminam ceea ce aveam de spus despre cardinalitate, care nu uitați, este o noțiune de dimensiune a seturilor. Și la sfârșit, pentru o anumită mulțime A, am definit setul de puteri a lui A ca fiind mulțimea tuturor submulțimii lui A. Și ultima dată, de exemplu, am făcut câteva dintre ele sau ne-am uitat la câteva seturi de puteri diferite. Și cel mai simplu exemplu este că setul de putere al setului gol este setul care conține setul gol. În special, puterea are un element în plus decât setul gol. Setul gol nu are elemente. Setul de puteri al mulțimii goale are un singur element și anume setul gol. Și ne uităm la asta pentru a răspunde la o întrebare pe care am pus-o la sfârșitul clasei trecute, și anume, toate mulțimile pe care le-am văzut de la numere întregi la numere pare la numere raționale, care este în sarcină, toate au aceeași cardinalitate ca și numere naturale. Și asta numim infinitul numărabil. Și deci o întrebare ar fi, există vreo mulțime care are cardinalitate mai mare decât numerele naturale? Există vreun set care să fie de nenumărat? Și astfel această teoremă datorată lui Cantor răspunde la asta și mai mult. Și spune următoarele: dacă A este orice mulțime, deci dacă A este o mulțime, atunci cardinalitatea lui A este strict mai mică decât cardinalitatea mulțimii de puteri a lui A. Și, drept consecință, numerele naturale au dimensiuni mai mici. decât setul de putere al numerelor naturale, care are o dimensiune mai mică decât setul de putere al setului de puteri al numerelor naturale, care este mai mic ca dimensiune decât-- și așa mai departe. Deci există o infinitate de infinitate. Există o infinitate de dimensiuni infinite. Deci haideți să demonstrăm această teoremă și este extrem de inteligentă și puțin uluitoare. Deci, mai întâi, permiteți-mi să demonstrez că A are cardinalitatea mai mică sau egală cu cardinalitatea mulțimii de puteri a lui A. Așa că fie A o mulțime. În primul rând, putem arăta că cardinalitatea lui A este mai mică sau egală cu cardinalitatea setului de puteri a lui A. Deci trebuie să găsim o injecție, o hartă unu-la-unu de la A în setul de puteri a lui A. Și cel mai simplu de ales este cel care duce un element A la mulțimea care conține doar acel element. Deci definiți f din A în setul de puteri A prin funcția care ia x. Și aceasta ar trebui să scuipe un submulțime de A. Deci aceasta va fi submulțimea care constă numai din x. Și acesta este în mod clar unul la unu. Voi demonstra asta chiar acum. Atunci trebuie să demonstrăm că dacă f din x este egal cu f din y, atunci x este egal cu y, dar acest lucru este clar din definiție. Atunci, dacă f din x este egal cu f din y, aceasta înseamnă că mulțimea care conține x-- aceasta este prin definiția modului în care am definit micul f-- înseamnă că mulțimea care conține x este egală cu mulțimea care conține y. Dar asta înseamnă că x este egal cu y. Ambele conțin un singur element. Două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă o parte este un element al celeilalte. Asta înseamnă doar că x este egal cu y în mulțime. Astfel, f este unu la unu, ceea ce, din moment ce am găsit o hartă injectivă de la A la setul de puteri a lui A, aceasta înseamnă-- Deci acum dorim să arătăm că nu pot avea aceeași cardinalitate. Acum arătăm că A nu are aceeași cardinalitate ca și mulțimea de puteri a lui A. Și aceste două afirmații sunt ceea ce se înțelege atunci când notăm , amintim definiția, cardinalitatea lui A sau dimensiunea lui A fiind mai mică decât cardinalitatea lui A. setul de puteri a lui A. Deci vom face acest lucru printr-o demonstrație prin contradicție. Deci asta înseamnă că vom presupune că acest lucru nu este valabil și vom ajunge la o declarație falsă. Deci presupun că au aceeași cardinalitate. Deci aceasta este presupunerea noastră inițială. Vom obține o afirmație falsă din această presupunere. Și singura modalitate de a ajunge la o afirmație falsă dintr-o presupunere dată într-un mod logic consistent este că afirmația originală, și anume aceasta, este falsă. Cu alte cuvinte, lucrul pe care vrem să-l arătăm este adevărat. Deci, să presupunem că au aceeași cardinalitate. Ce înseamnă asta? Apoi, există o funcție bijectivă g care merge de la A la setul de puteri a lui A. Amintiți-vă, o funcție bijectivă înseamnă că G este unul la unu și pe. Unu la unu, ceea ce înseamnă că diferite lucruri ale lui A sunt mapate la diferite lucruri ale setului de putere. Onto înseamnă că totul din setul de putere este mapat de la A. Deci, într-adevăr, faptul că este surjectiv este singurul lucru pe care îl voi folosi. Și voi defini un set ciudat. Și ne vom uita la acest set. Deci definiți o mulțime B. Și aceasta este o submulțime a lui A. B este o mulțime a tuturor x-urilor din A astfel încât x nu este în f de x. Acesta ar trebui să fie g. Așa că nu uitați, g hărți de la A la setul de putere. Deci, pentru orice x dat din A, g din x este o submulțime a lui A. Deci condiția de a fi în B este ca acest element x să nu fie în imaginea lui însuși de către G. Și B ar putea fi gol. Nu ar putea exista niciun x în A care să satisfacă acest lucru. Dar este doar un subset al lui A, pur și simplu prin definiție. Ne uităm doar la elementele din A care satisfac o anumită condiție. Deci, deoarece este un submult al lui A, aceasta înseamnă că este un element al setului de puteri al lui A. Așa este definit setul de puteri. Amintiți-vă, sunt toate submulțimile lui A Deci B este un element al setului de puteri a lui A. Prin urmare, ceva este mapat la B sub această hartă. Deci, deoarece g este surjectiv, există b în capitalul A astfel încât g de mic b este egal cu capitalul B. Deci, acest lucru decurge doar din faptul că g este o suprajecție, ceea ce înseamnă că totul aici trebuie să fie mapat de un element din A. Dar acum, să aruncăm o privire la acest tip B. Există două cazuri - fie b este în g din b, fie b nu este în g din b. Deci b este în g din b. Dacă b este în g din b, amintiți-vă că aceasta este egală cu capitalul B, prin definiție. Și a fi în B majusculă înseamnă că x nu este în g din x. Așa că lasă-mă să scriu asta din nou. Aceasta înseamnă că b este în B, ceea ce înseamnă că b nu este în g din b. Am început cu b și g din b și am terminat cu b nu este în g din b. Așa că ajungem la o declarație falsă în acest caz. Apoi mai există un alt caz - b nu este în g din b. Atunci, dacă b nu este în g din b, aceasta implică imediat, prin definiția lui mic b, ceea ce înseamnă că g din b este în B majusculă. Așa că permiteți-mi să scriu astfel. Deci, dacă b nu este în g din b, atunci din definiția capitalului B, aceasta implică faptul că b este în capitalul B. Asta este doar din definiția capitalului B. Dar acum capitalul B este egal cu g al micului b, care este o alta contradictie. Pentru că am început cu asta și am terminat cu asta. Deci, ceea ce am dovedit cu adevărat este - deci să ignorăm acest semn de contradicție aici - astfel, am arătat că b în g din b implică b nu în g din b. b nu în g din b implică că b este în g din b. Deci am demonstrat afirmația că b este în g din b dacă și numai dacă b nu este în g din b. Și aceasta este o afirmație foarte falsă - nu poate avea un obiect în set dacă și numai dacă nu este în set. Așa că am ajuns la o declarație falsă. Prin urmare, presupunerea noastră inițială care ne-a condus acolo, și anume că cardinalitatea mulțimii A are aceeași cardinalitate ca și mulțimea de puteri a lui A, trebuie să fi fost falsă. Așa că se simte aproape ca și cum ai fi păcălit puțin cu această dovadă. Dar pentru a vă oferi un fel de agățare sau conexiune înapoi la realitate, ceea ce stă la baza acestui argument sau care este un mod de a înțelege acest argument este să vă gândiți la -- așa că, într-un anumit sens, ceea ce face acest argument este să vă face să vorbiți despre a fi în B în timp ce trebuind să facă referire și la B însuși. Și poate că acest lucru pare puțin sălbatic, deoarece acesta este un curs de matematică, dar puteți face declarația doar în limba engleză. Dacă trebuie să vă spun că sunt un mincinos, atunci dacă acea afirmație este adevărată, atunci ceea ce tocmai am spus, și anume că sunt un mincinos, este fals, ceea ce înseamnă că nu sunt un mincinos. Prin urmare, „Sunt un mincinos” înseamnă că nu sunt un mincinos. Și invers, dacă spun: „Sunt un mincinos”, și acea afirmație este falsă, adică nu sunt un mincinos, atunci acea afirmație este adevărată, ceea ce implică că sunt un mincinos. Deci, desigur, nu te-aș minți. V-aș oferi doar fapte alternative. Dar această afirmație este un fel de ceea ce stă la baza acestui argument. Așa că voi pune asta acolo, adevărat sau fals. Aceasta este legătura cu aceste două lucruri, în mod liber, sau cel puțin logica este conținută în încercarea de a verifica această afirmație. Deci asta e tot ce voi spune despre cardinalitate. Vom trece la numerele reale acum. Și așa cum am spus în prelegerea anterioară, primul nostru obiectiv real al clasei este de a descrie R. și anume, ce este exact mulțimea numerelor reale? Ce caracterizează mulțimea numerelor reale? Și așadar, permiteți-mi să afirm asta ca o teoremă cu totul înainte de timp, astfel încât să fie acolo pentru noi. Și acesta este scopul nostru, deși nu vom dovedi. Scopul nostru este doar să înțelegem ce spune această teoremă. Deci aceasta este o descriere completă a ceea ce este R. Există un câmp ordonat unic care conține Q cu cea mai mică proprietate superioară, pe care o notăm cu R, în loc de numere reale. Așa că, în timp ce stai acolo și asculți asta, nu ar trebui să... poate că ai, dar chiar nu ar trebui să te aștepți să ai idee despre ce spune această teoremă, ce înseamnă toate aceste cuvinte. Deci scopul nostru pentru această prelegere este să dăm sens acestor cuvinte. Deci restul ar trebui sa intelegi. Așadar, scopul nostru pentru această prelegere este să dăm sens acestor cuvinte, „câmp ordonat”, „ proprietate cu limita superioară”. Pentru că acestea sunt cele două caracteristici definitorii ale lui R. Și nu voi demonstra această teoremă. O vom lua doar ca un dat. Am putea demonstra această teoremă, dar durează destul de mult. Și mai degrabă aș începe să studiez proprietățile lui R decât să construim R. Acest lucru nu este atât de neobișnuit în matematică, încât nu este interesat în mod special de demonstrarea faptului de ce există anumite lucruri, dar cu siguranță suntem interesați de proprietățile acelui lucru o dată. stim ca exista. Deci, să începem să înțelegem ceea ce spune această teoremă. Să începem cu lucrurile comandate. Acesta are câmp ordonat, proprietatea limită superioară minimă. Să începem cu ce vreau să spun prin ordin. Am văzut asta doar puțin când am vorbit despre numerele naturale și despre această proprietate bine ordonată a numerelor naturale. Dar foloseam doar cuvinte pentru a eticheta o anumită proprietate a numerelor naturale. Nu am spus că au vrut să spună ceva anume. A fost doar o etichetă pentru asta. Dar când spun „comandă” acum, asta va însemna cu siguranță ceva. Deci definiție de setări și câmpuri ordonate -- o mulțime ordonată este o mulțime S cu o relație, pe care o etichetăm cu acest simbol mai puțin decât . Și această relație satisface două proprietăți. Una este că puteți verifica întotdeauna dacă două elemente sunt mai mari unul decât celălalt sau egale. Deci, pentru tot x, y din S, fie x este egal cu y, x este mai mic decât y, sau asta este doar reformulare, y este mai mic decât x. Și dacă x este mai mic decât y și y este mai mic decât z, atunci x este mai mic decât z. Deci o mulțime ordonată este doar o mulțime cu o relație care are două proprietăți, și anume că pentru oricare două elemente din mulțime, le pot compara pe cele două. Practic asta spune asta. Și am această proprietate tranzitivă că dacă x este mai mic decât y și y este mai mic decât z, atunci x este mai mic decât z. Și așa cum am spus mai înainte, ori de câte ori aveți un fel de definiție ușor interesantă, ar trebui să încercați cu siguranță să veniți cu exemple și non-exemple. Deci, care este cel mai simplu exemplu de set ordonat? Ei bine, numerele naturale, despre care am discutat mai devreme, dar și numerele întregi, unde trebuie să definesc ce înseamnă această relație. Spunem că m este mai mic decât n, acest m este mai mic decât n, dacă n minus m este un număr natural. Deci, așa ne definim ordinea. Deci n este mai mare decât m dacă n minus m este un număr natural. Și puteți verifica că aceasta este doar ordinea obișnuită pe z. Și asta satisface aceste două proprietăți. Ordinea standard pe Q, și anume că vom spune că q este mai mic decât r dacă există numere naturale, m, n, astfel încât r minus q este egal cu m peste n. Deci acestea sunt doar ordinele obișnuite de ordonare a numerelor întregi și raționale cu care sunteți obișnuit și pe care le cunoașteți. Doar scriu exact cum s-ar defini această ordine. Și puteți verifica doar folosind această definiție a acestor ordine că aceste ordine satisfac 1 și 2. Acum, un simplu non-exemplu, pe care cred că l-ați putea numi o relație care satisface 2, dar nu 1, este următorul - deci haideți luați setul nostru S ca fiind-- și creați setul de putere al numerelor naturale. Și definim o relație A mai mică decât B prin A este mai mică decât B dacă A este o submulțime a lui B. Deci doar definesc o relație pe mulțimea de puteri - A mai mică decât B dacă A este o submulțime a lui B. Și poate nici nu ar trebui sa folosesc mai putin de, pentru ca asta te face sa crezi ca este automat o comanda. Așa că, să-l facem un scenariu mai puțin decât. Această relație nu este însă o ordine. Tot spun „comandă”, așa că de obicei ne referim la această relație ca la o comandă. Deci e clar că satisface 2. De ce? Deoarece A este o submulțime a lui B. B este o submulțime a lui C. Atunci A este o submulțime a lui C, adică A este mai mică decât C. Rezultă doar din definiția a ceea ce înseamnă a fi o submulțime a celuilalt. Dacă A este o submulțime a lui B, înseamnă că fiecare element al lui A este un element al lui B. Dacă B este un element al lui C, înseamnă că fiecare element al lui B este un element al lui C. Și, prin urmare, fiecare element al lui A este un element al C. Deci această relație satisface a doua proprietate tranzitivă, dar nu o satisface pe prima. Nu pot măsura întotdeauna dacă un lucru este mai mare decât celălalt. De ce asta? De exemplu, mulțimea care conține 0 nu este egală cu mulțimea care conține 1. Dar niciunul dintre aceste lucruri nu este valabil. Deci, pentru ca ceva să fie o comandă sau un set să fie un set ordonat, trebuie să aibă această proprietate ca să pot compara întotdeauna două elemente ale mulțimii. Și pentru această relație, care pare că ar putea fi un ordin -- satisface a doua proprietate -- nu satisface prima proprietate, deoarece nu pot compara întotdeauna două submulțimi ale numerelor naturale spunând că una este o submulțime a celeilalte. Așa că tocmai am văzut asta. Avem două seturi care nu sunt egale, dar unul nu este mai mare decât celălalt. Și așadar încă un exemplu, pe care din nou, vă voi lăsa să verificați dacă îndeplinește condițiile 1 și 2 doar pe baza modului în care este definit. De exemplu, aceasta este ordonarea în dicționar a produsului Q cartezian Q. Cred că am notat asta. Adică, ar trebui să știi care este produsul cartezian din două lucruri. Dar să-mi amintesc doar că am două seturi. Produsul cartezian al lui A și B, acesta este mulțimea tuturor perechilor ordonate de elemente din acele mulțimi. Deci, ce este ordonarea în dicționar a lui Q? Așa că trebuie să definesc această relație despre care susțin că este o comandă. Deci vom spune că a, b este mai mic decât q, r dacă se întâmplă unul din două lucruri . Dacă fie a este mai mic decât q sau a este egal cu q, iar b este mai mic decât r -- deci ordonarea dicționarului sau ordonarea alfabetică a Q. Puteți doar să verificați și să vedeți care este mai mic primul. Dacă ambele sunt egale, atunci verificați următoarea literă și vedeți care este mai mică acolo. Deci, această relație pe care am definit-o aici este în ordine pe Q crucea Q, făcând-o un set ordonat. Deci asta este un set comandat. Vom ajunge la un câmp ordonat în doar o secundă. Dar acum, permiteți-mi să definesc ce vreau să spun prin această proprietate minimă. Și asta este cu adevărat ceea ce îl deosebește pe R de Q. Deci vom vedea într-un minut că atât R, cât și Q sunt câmpuri ordonate, deci nu asta separă R de Q, numerele raționale. Dar ceea ce separă R de Q este a doua proprietate, cea mai mică proprietate superioară. Deci, dacă aș elimina acea proprietate și doar aș spune că există un câmp ordonat unic care conține Q, acesta ar fi doar Q. Nu trebuie să adăugăm nimic la el. Dar este a doua proprietate, cea mai mică proprietate superioară, care separă cu adevărat R de Q. Deci, pentru a defini aceasta, trebuie să definesc ce este o limită superioară minimă. Și toate acestea în cadrul unui set ordonat. Fie S o mulțime ordonată, iar E o submulțime a lui S. Așa că voi face o serie de definiții aici. În primul rând, dacă există un element al lui S-- deci nu neapărat mulțimea la care mă uit, submulțimea la care mă uit-- astfel încât pentru tot x din E, x este mai mic sau egal cu b. Deci aici, am această comandă mai puțin de. Mai puțin sau egal cu înseamnă exact ceea ce înseamnă în engleză, fie x este mai mic decât b, fie x este egal cu b și același lucru cu mai mare sau egal cu și așa mai departe. Dar rețineți că acest set ordonat este un set general ordonat. Ați putea să vă gândiți la ea ca ordonarea dicționarului pe Q crucea Q. Deci, dacă există un b astfel încât pentru tot x din E, x este mai mic sau egal cu b, atunci spunem că E este mărginit mai sus. Și acest element al lui b este o limită superioară pentru E. Deci, dacă pot găsi un element din setul meu mai mare decât tot ce este în acest set E, spun că E este mărginit mai sus și va fi o limită superioară. Am și limite inferioare. Dacă există b în S astfel încât pentru tot x din E, b este mai mic sau egal cu tot în E, deci b este mai mic sau egal cu x, atunci spunem că E este mărginit mai jos și b este o limită inferioară pentru E. Deci b se află sub tot ce este în E. Acum, numim un element din S cea mai mică limită superioară pentru E dacă îndeplinește două condiții. Una este că, dacă există o limită superioară minimă, ar trebui să existe cel puțin o limită superioară. b este o limită superioară pentru E și ar trebui să fie, într-un anumit sens, cea mai mică dintre toate limitele superioare. Deci, dacă iau orice altă limită superioară, b sub 0 ar trebui să stea sub aceea. Deci un element este cea mai mică limită superioară pentru o mulțime E dacă este o limită superioară și este cea mai mică dintre toate celelalte limite superioare. Se află sub orice altă limită superioară. Și în acest caz, spunem, de asemenea, că b0 este supremația lui E. Și scriem b0 este egal cu sup E. Acum, aceasta trebuia să se ocupe de limitele superioare. Ne putem ocupa și de limite inferioare sau avem și o definiție corespunzătoare limitelor inferioare pentru ceea ce ar fi cea mai mare limită inferioară. Așadar, numim un element din S cea mai mare limită inferioară pentru E dacă sunt valabile două condiții, ceea ce este oarecum similar cu condițiile pe care le-am avut pentru cel puțin limita superioară. Cu excepția acum pentru limitele inferioare, b0 este o limită inferioară pentru E și este cea mai mare dintre toate limitele inferioare. Dacă b este orice limită inferioară pentru E, atunci b este mai mic sau egal cu b0. Și deci există un nume latin atașat la limita superioară cea mai mică, deci există un nume latin atașat la limita inferioară cea mai mare, pe care o numim infimum. De asemenea, numim b0 infimumul lui E. Și scriem b0 este egal cu inf E. Deci avem această definiție ușor interesantă și complexă , ceea ce înseamnă că ar trebui să ne uităm la câteva exemple pentru a ne înțelege. Așadar, să ne uităm la câteva exemple simple. Deci, să considerăm că setul nostru mare ordonat este Z. Și să luăm setul nostru E ca fiind minus 1, 0 și 2. Și ce zici de tipul ăsta? Ce este supremul? Care este infimul? Deci, într-adevăr, dacă voi dovedi sau dacă voi face o afirmație, ceva este egal cu supremul sau ceva este egal cu infimumul, ar trebui să dau de fapt o dovadă în acest sens, adică dacă spun că ceva este un infimum sau ceva este un supremum, atunci trebuie să demonstrez că îndeplinește aceste două condiții și aceste două condiții. Dar trec doar peste exemple, așa că nu voi da o dovadă completă în acest sens. Acest lucru este doar pentru a declanșa puțină intuiție. Deci, în primul rând, care ar fi limita superioară pentru E? Ei bine, 3, 4, 5-- 2 este o limită superioară, deoarece 2 este mai mare sau egal cu tot ce se află în set. Deci 2, 3, 4, 5-- toate acestea sunt limite superioare pentru această mulțime E. Dar care este supremul, adică cea mai mică limită superioară? Asta ar fi 2. Dacă iau ceva mai puțin de 2, nu este o limită superioară pentru că există ceva în set mai mare decât atât. Și dacă iau ceva mai mare decât atât, atunci acesta va fi mai mare decât 2, dar 2 este totuși o limită superioară. Deci 2 este cea mai mică limită superioară. Acum ce zici de limitele inferioare? O limită inferioară ar fi minus 1, deoarece minus 1 este mai mic sau egal cu tot ce se află în set. Dar atunci ar fi minus 2, minus 3 și așa mai departe. Dar cea mai mare limită inferioară ar fi minus 1. Acum să facem un alt exemplu. Să ne uităm acum la S, numerele raționale, și să considerăm că E o mulțime de numere raționale, astfel încât 0 este mai mare sau egal cu -- Q este între 0 și 1 inclusiv. Atunci care sunt unele limite superioare? Totul în E este mai mic sau egal cu 1. Deci 1 este, de asemenea, o limită superioară perfect bună, 3/2, 5/4, 6/5, 7/6. Orice lucru mai mare sau egal cu 1 este, de asemenea, o limită superioară pentru acest set. Și cea mai mică limită superioară ar fi 1. Deci, dacă ar fi să încerc să desenez Q pentru acest set -- să nu facem asta -- de obicei desenez această linie este pentru linia numerică reală, dar să ne imaginăm că este Q. Deci totul mai mare decât sau egal cu 1 se află deasupra tuturor lucrurilor din E. Deci tot ceea ce este mai mare sau egal cu 1 este o limită superioară, iar cea mai mică limită superioară este 1. Care sunt unele limite inferioare? Totul din mulțimea E este mai mare sau egal cu 0. Deci 0 este o limită inferioară. La fel este minus 1/2, minus 1/3, minus 1/4, minus 1/5 și așa mai departe. Dar orice este mai mic sau egal cu 0 este o limită inferioară. Nimic mai mare decât 0 nu poate fi o limită inferioară pentru că întotdeauna pot găsi unele - deci aceasta nu este o dovadă, dar aceasta este o explicație. Poate că ar fi trebuit să spun asta și pentru declarația de limita superioară, dar orice lucru mai mare decât 0 nu este o limită inferioară. Pentru că dacă iau un număr, îl numesc r, mai mare decât 0 și mai mic de 1, atunci r nu poate fi o limită inferioară pentru că pot găsi ceva în E mai mic decât r, și anume r peste 2. Deci, așadar-- și noi Vom face niște dovezi în care trebuie de fapt să ne murdărim mâinile și să dovedim că ceva este infimum sau supremum. Așa că veți vedea cum funcționează, dar deocamdată, să plecăm de la intuiție. Infimumul acestei mulțimi este 0. Acum, ambele exemple de până acum au această proprietate că atât sup, cât și inf aparțin mulțimii E la care mă uit. Dar acest lucru nu este neapărat întotdeauna cazul. Așa că aș putea schimba puțin acest lucru, astfel încât universul nostru, mulțimea ordonată în care căutăm, să fie în continuare Q, iar submulțimea E este acum, să zicem, q este mai mare decât 0 și mai mică decât 1. Apoi sup de E încă merge. să fie 1, dar acesta nu este un element al acestei mulțimi E. Desigur, este un element al lui S, acest univers în care ne aflăm, dar nu este un element al mulțimii E. Și, la fel, infimumul este încă 0, dar nu este un element al lui E. Deci sunt situații în care aveți o mulțime, o submulțime a unei mulțimi ordonate, care are un infimum și un supremum care nu există în acest set mai mic la care vă uitați. Dacă supremul sau infimumul poate exista sau nu în universul pe care îl privești în setul mai mare este o problemă cu totul diferită. De fapt, acesta este următorul subiect despre care vom vorbi. Așa că permiteți-mi să reiterez ceea ce am văzut acum un minut. Deci putem fi într-o mulțime ordonată Z sau Q, iar mulțimea mai mică, în care luăm inf sau sup, ar putea aparține mulțimii mai mici - de exemplu, în acest caz, 1 și 0 au fost în mulțime E-- sau nu. Există acest caz în care niciunul dintre ei nu era în E. Și desigur, dacă aș pune mai puțin sau egal cu aici, atunci aș avea inf în E și sup nu în E și apoi invers. Deci inf-urile și sup-urile acestor seturi nu trebuie neapărat să aparțină acelui set la care te uiți. Dar ele au existat cel puțin în mulțimea mare Q. Acum, mulțimi mari, ordonate - deci această mulțime ordonată care are această proprietate că inf și sup ale mulțimilor mărginite deasupra și dedesubt există întotdeauna în mulțimea mai mare - este ceea ce o numim un set ordonat cu cea mai mică proprietate superioară. Deci, definiția - mulțimea ordonată S are cea mai mică proprietate dacă fiecare submulțime a lui S care este nevidă și mărginită mai sus are un supremum în S. Deci o mulțime are cea mai mică proprietate de limita superioară dacă fiecare mulțime mărginită nevidă are un supremum . Și astfel am putea veni cu exemple simple de mulțimi care au cea mai mică proprietate superioară. De exemplu, să luăm S ca fiind-- Adică, acesta este un fel de cel mai simplu-- S cu un singur element, să spunem 0. Aici nu există nicio ordine pentru a-l pune. Fiecare element de aici este egal cu el însuși. Și, prin urmare, fiecare submulțime nevidă a lui S este doar întreaga mulțime, iar supremul ar fi atunci acel element. Așa că acesta este un fel de cel mai prostesc pe care l-ai putea face. Să presupunem că ai putea avea două elemente. Și atunci, dacă E este un submult al lui S, E este unul dintre cei patru tipi. Dacă E este o submulțime nevidă a lui S aici, ordinea este 1, 0 este mai mic decât 1. Dacă E este egal cu 0, atunci sup este egal cu 0. Dacă E este egal cu 1, sup E este egal cu 1. Și dacă E este egal cu 0. este egal cu 0, 1, aceasta implică sup E egal cu 1. Deci, acesta este în S, acesta este în S, acesta este în S. Deci fiecare submulțime a lui S care este nevid are un supremum în S. Deci acestea nu sunt cele mai interesante exemple de mulțimi cu această proprietate de cea mai mică limită superioară. Deci, de exemplu, poate unul mai interesant ar fi dacă aș lua S ca, să zicem, cu punctele de aici, minus 3, minus 2, minus 1. Așa că permiteți-mi să scriu așa - minus 1, minus 2 , minus 3, minus 4 și așa mai departe, cu ordinea obișnuită venind din numerele întregi. Deci minus 2 este mai mic decât minus 1, minus 3 este mai mic decât minus 2 și așa mai departe. Afirm că aceasta are cea mai mică proprietate superioară. De ce? Pentru că dacă E este o submulțime a lui S, E nu este gol. De fapt, ambele... acestea au fost întotdeauna mărginite mai sus pentru că sunt doar două elemente. Și îl puteți alege pe cel mai mare, 1. Fiecare submulțime de S este, de asemenea, mărginită deasupra de minus 1. Deci fiecare submulțime de S este mărginită automat deasupra. Așa că trebuie doar să verific dacă fiecare set nevid are un supremum în S. Dacă E este un submult al lui S și este nevid, atunci permiteți-mi să mă uit la mulțimea minus E. Aceasta este o etichetă. Acest lucru nu este menit să însemne nimic întotdeauna. Aceasta este o etichetă, care este setul de elemente minus x. Deci iau toate elementele mele în E, care este un submult al numerelor întregi negative. le iau minusurile. Acesta este acum un subset al numerelor naturale. Și deoarece, prin proprietatea de bine ordonată a numerelor naturale, există un element în minus E, astfel încât să se afle sub tot ce este în minus E pentru tot x din E, ceea ce înseamnă că pentru tot x din E, x este mai mic sau egal. la minus m. Și vă las să vă gândiți la asta doar pentru un minut. Dar deci m este în minus E, prin urmare minus m este în E. Și m mai mic sau egal cu minus x pentru tot x din E implică faptul că pentru tot x din capitală E este mai mic sau egal cu minus m. Și, prin urmare, am găsit un element de fapt în setul E majuscule, care este mai mare sau egal cu tot ce este din set. Puteți să vă convingeți sau să scrieți o dovadă formală, dacă doriți, că aceasta implică că minus m este prin urmare supremul. Și astfel, folosind această șmecherie de a trece de la o mulțime care este mărginită mai sus la o altă mulțime, un subset al numerelor naturale, puteți, de asemenea, să arătați, de exemplu, că Z are cea mai mică proprietate superioară, pe care o voi scurta acum deoarece astea sunt multe lucruri de scris. LUBP, cea mai mică proprietate superioară -- numerele întregi au și această proprietate. Dar numerele întregi nu sunt chiar atât de interesante, din nou, pentru că nu pot să împart cu un întreg și să rămân în mulțime. Pentru ceea ce vrem să facem, vrem să putem să adunăm, să înmulțim, să scădem și să împărțim. Și nu putem face asta în numere întregi. Putem face asta în numerele raționale. Cu toate acestea, Q nu are această proprietate. Și vom demonstra asta. Deci asta este ceea ce vom demonstra în câteva teoreme aici, dar permiteți-mi să pun asta în față. Q nu are cea mai mică proprietate superioară. Și de unde vine asta? Acest lucru vine de la simplul fapt că, dacă credeți că dvs. nu vreau să-i spun mitologie greacă, dar poate că este mitologia greacă strict vorbind, că un tânăr a descoperit că rădăcina pătrată a lui 2 nu este un număr rațional și apoi a fost aruncat de pe o stâncă. Acesta este cui trebuie să-i mulțumim pentru că ne-a arătat că Q nu este perfect, că are această proprietate algebrică la care tocmai am făcut referire -- faptul că puteți adăuga, scădea, înmulți și împărți și rămâneți în mulțime. Dar nu are rădăcini pătrate ale numerelor prime, ci rădăcină pătrată a lui 2. Și acest lucru se manifestă apoi în această proprietate cel mai puțin superioară, dând un exemplu de mulțime care este mărginită deasupra și care nu are un supremum în mulțimea Q. Deci, în principiu, dacă E este mulțimea numerelor raționale - nu am afirmat încă o teoremă , dar vă spun doar ce urmează să facem -- dacă E este submulțimea numerelor raționale în care pozitiv și q pătrat este mai mic decât 2, atunci sup E nu există în numerele raționale. Prin urmare, am fi găsit o mulțime care este mărginită deasupra și care nu are un supremum în numerele raționale. Prin urmare, numerele raționale nu au cea mai mică proprietate superioară. Deci asta vom face. Și voi demonstra... enunț câteva teoreme care explică toate acestea. Deci, mai întâi, voi demonstra o teoremă despre ceea ce ar trebui să satisfacă supremul unei astfel de mulțimi. Deci, dacă x este în Q-- aceasta este o afirmație a unei teoreme-- dacă x este în Q și dacă x este egal cu supremamul mulțimii, atunci x este mai mare sau egal cu 1 și x pătrat este egal cu 2. Deci noi doar spunem-- nu încercați să considerați acest lucru ca fiind neapărat în contradicție cu ceea ce am scris acolo, deoarece nu era încă o declarație a unei teoreme . Susțin această teoremă că, dacă am un astfel de supremum în Q al mulțimii, atunci ar trebui să pătratească și să-mi dea 2. Nu spun că un astfel de element există. Spun doar că dacă există vreun element al lui Q care este supremul acestei mulțimi, atunci trebuie să fie mai mare sau egal cu 1 și pătratează 2. Deci, să dăm o dovadă în acest sens. Și pentru că nu vreau să scriu din nou setul, așa că voi folosi notația pe care am folosit-o în comentarii. Fie E mulțimea care mă interesează. Deci aceasta ar trebui să fie... și să presupunem că avem un element al lui Q care este supremul lui E. Deci, mai întâi, care ar fi un element al lui E? Care este un număr rațional al cărui pătrat este mai mic de 2? 1. Deci, deoarece 1 este în E, pătratul este mai mic decât 2 și x este supremația lui E, adică este o limită superioară pentru E, trebuie să fie mai mare sau egal cu tot ce este un E, în special pentru 1. Aceasta implică x este mai mare sau egal cu 1. Deci aceasta este prima parte a teoremei pe care vreau să o demonstrez. Deci acum vom demonstra două inegalități pentru a arăta că x pătratul este de fapt egal cu 2. Vom demonstra - deci acesta este un truc comun în analiză, că dacă am două lucruri pe care aș dori să le arăt egale între ele, uneori o modalitate de a arăta că este arătând că unul este mai mic sau egal cu acesta. Și aceasta este mai mică sau egală cu aceasta. Deci o parte este mai mică sau egală cu cealaltă parte și invers, ceea ce implică imediat că trebuie să se egaleze. Deci asta vom face. Și acum vom demonstra că x pătrat este mai mare sau egal cu 2. Apoi vom demonstra că x pătrat este mai mic sau egal cu 2 și, prin urmare, x pătrat este egal cu 2. Deci, pentru a face acest lucru, vom" Voi face asta prin contradicție. Deci, să presupunem -- tot ce am făcut până acum este încă adevărat, dar acum vrem să dovedim această afirmație. Deci vom presupune că această afirmație este falsă. Presupun că x pătratul este mai mic decât 2. Deci vom defini un anumit număr rațional, h, care este mai mic dintre două numere raționale. Va fi cel mai mic dintre 1/2 și 2 minus x pătrat peste 2 peste 2x plus 1. Și permiteți-mi doar să repet că acesta este mai mic decât 1, deoarece este cel mai mic dintre 1/2 și acest număr. Acum, când scrieți o dovadă, după cum veți vedea, va fi magic faptul că cumva acest h face ceva magic. Nu tocmai așa vii cu dovezi. Cum apare este că iei o inegalitate cu care vrei să te încurci, te joci cu ea și vezi că dacă h este dat de ceva, atunci rupe inegalitatea sau satisface inegalitatea, oricare ar fi fost. incerc sa fac. Deci, deoarece x pătratul este mai mic decât 2, h este pozitiv. Este minimul de 1/2 și acest număr. Deci, dacă este 1/2, este pozitiv. Dacă este acesta, atunci este încă pozitiv. Și ceea ce voi dovedi acum este că x plus h este în E. Pătratul său este mai mic decât 2. Acest lucru ne va da contradicția, deoarece se presupune că x este o limită superioară pentru E și, prin urmare, se presupune că x este să fie mai mare sau egal cu x plus h. Dar acesta este x plus un număr pozitiv. x plus un număr pozitiv este mai mare decât x. Deci, cum facem asta? Trebuie să calculăm pătratul acestuia și să arătăm că este mai mic de 2. Și de aici vine alegerea noastră pentru h. Calculăm că x plus h pătrat -- acesta este x pătrat plus 2xh plus h pătrat -- acum este mai mic decât x pătrat plus 2xh plus h. De ce? Pentru că h ori h este mai mic decât h, deoarece h este mai mic decât 1. Deci, acesta este motivul pentru care am ales h să fie mai mic decât 1, astfel încât să pot scăpa de acest pătrat și, cumva, să am doar un singur h care plutește în jurul valorii de care am poate folosi apoi pentru a arăta x plus h este în E. Deci, când scriu șirul de inegalități, acest lucru ar trebui să fie egal cu următorul lucru. Acest lucru nu înseamnă că x plus h pătrat este egal cu ceea ce sunt pe cale să scriu acum. Deci, acesta este egal cu x pătrat plus 2x plus 1 ori h. Acum, h este minimul acestor două numere. Deci h va fi mai mic sau egal cu acest lucru. Și deci acesta este 2 minus x pătrat peste 2. Scrieți-l astfel, așa că am avut ce aveam înainte. Și apoi ori 2 minus x pătrat peste 2, 2x plus 1. Deci acum se întâmplă ceva magie. Acest lucru se anulează cu asta. Și am 2 minus x pătrat peste 2, care este mai puțin de 2 minus x pătrat, deci mai puțin de x pătrat plus 2 minus x pătrat, pentru că am luat 1/2 din el, este egal cu 2. Așadar, rezumând, am început cu x plus h pătrat și am arătat că este mai mic de 2. Și, prin urmare, x plus h este în E. Dar dacă am un element din E-- să vedem unde suntem în spațiu. Dar am un element E care este mai mare decât x. Deci asta implică că x nu este egal cu supremamul mulțimii. Amintiți-vă, prin definiție, ceva este supremul dacă este o limită superioară pentru set. Ceva nu este o limită superioară dacă puteți găsi ceva în set mai mare decât b0. Și acesta este, de asemenea, un exercițiu bun de făcut atunci când întâlniți o nouă definiție, este să încercați să o anulați pentru a o înțelege puțin mai bine. Deci, permiteți-mi să scriu aici, lângă b este o limită superioară pentru E-- permiteți-mi să scriu ce înseamnă asta, de fapt, aici. Lasă-mă să scriu asta aici. b0 nu este - deci care este negația de a fi o limită superioară - deci nu o limită superioară pentru E dacă există un x în E astfel încât x este mai mare decât b0. Așadar, am găsit un element - așa că revenind la demonstrația noastră, am găsit un element din mulțimea noastră E care este mai mare decât x, ceea ce înseamnă că x nu este supremația lui E, ceea ce este o contradicție cu presupunerea noastră. Acestea sunt ipoteze pentru teoremă. Așa că întotdeauna presupunem asta. Deci aceasta este o contradicție. Astfel, ipoteza noastră că x pătrat este mai mare sau egal cu 2 -- vreau să spun mai puțin de 2, ceea ce este diferit de ipotezele noastre ale teoremei, este falsă. Deci acum, vrem să demonstrăm că x pătrat este egal cu 2. Deci acum arătăm x pătrat este egal cu 2. Deoarece x pătrat -- deci aceasta nu este tocmai dovada. O să- l rescriu puțin diferit, așa că poate este clar că, în loc să arătăm și x pătrat este mai mic sau egal cu 2, ceea ce știm că mai puțin decât nu se poate întâmpla, hai să arătăm doar că x pătrat nu poate fi mai mare de 2 Deoarece x pătrat este mai mare sau egal cu 2, aceasta înseamnă fie x pătrat este egal cu 2, ceea ce vrem să arătăm, fie x pătrat este mai mare decât 2. Deci, să excludem acest caz. Acum arătăm că cazul x pătrat mai mare decât 2 nu poate fi valabil. Deci, să presupunem altfel. Vom face asta... asta va fi și o dovadă prin contradicție. Bănuiesc că atunci când spun că x pătrat mai mare decât 2 nu poate ține, spun, de asemenea, că x pătrat trebuie să fie mai mic sau egal cu 2. Dar oricum, să arătăm că acest lucru nu poate ține. Deci vom face asta și prin contradicție. Deci încercăm să arătăm că acest lucru nu poate rezista. Deci, să presupunem că ține. Deci, aceasta este negația a ceea ce vrem să arătăm, care este această afirmație, că x pătrat mai mare decât 2 nu este valabil. Deci, presupunem că x pătrat este mai mare decât 2. Deci ceea ce vom face este să găsim o limită superioară pentru mulțimea E care este strict mai mică decât x. Și trebuie să facem asta data viitoare pentru că cred că voi rămâne fără timp. Deci urăsc să opresc dovezile aici, dar vom termina asta în următoarea prelegere.