[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [CLIC] PROFESORUL: OK, deci haideți să continuăm discuția despre spațiile normate și spațiile Banach. Deci data trecută, am introdus spațiul operatorilor liniari mărginiți dintr- un spațiu normat din altul. Și am văzut că atunci când ținta este un spațiu Banach, atunci acest spațiu de operatori liniari mărginiți este și un spațiu Banach. Deci, acum, ne vom uita la un alt exemplu de modalitate de a obține un spațiu normat dintr-un spațiu normat dat. Deci voi vorbi despre subspații și coeficienti, bine? Așa că permiteți-mi doar să-mi amintesc pe scurt ce este un subspațiu. Ar trebui să vă amintiți acest lucru din algebra liniară. V va fi întotdeauna cel puțin un spațiu vectorial, de obicei un spațiu normat. Deci spunem un subset-- și am folosit această notație. Nu înseamnă strict -- un subset strict. Sunt cam obișnuit să folosesc această notație de la 18.100A. Și manualul folosește această notație doar pentru a fi un subset, nu neapărat un subset strict. Așa că notă rapidă despre asta. Deci o submulțime a lui V este un subspațiu dacă pentru toate elementele, două elemente din domeniul scalarilor și elemente din W, combinația lor liniară este tot în W. Deci W este închis, întreprinzând combinații liniare. Și deci este destul de ușor să dovedești - și vă las asta pe seama dvs. - că subspațiul unui spațiu normat - al unui spațiu Banach, îmi pare rău, este el însuși un spațiu Banach, adică este complet în raport cu norma moștenește de la V. Este un spațiu Banach dacă și numai dacă este o submulțime închisă a lui V în raport cu această metrică pe care am indus-o de normă. Adică, poți să mă lași să vorbim foarte repede. Presupunând că W este un spațiu Banach, vrem să arătăm că W este și o submulțime închisă a lui V. Deci asta înseamnă că trebuie să arătați, de exemplu, că-- un mod echivalent de a arăta acest lucru este că fiecare secvență care converge-- fiecare secvență de elemente din W care converg converg către un element din W. Acum, luăm o secvență din W care converge către un element din V. Acum dorim să arătăm că acel element este în W. Atunci acea secvență converge în W-- sau este Cauchy în W. Și întrucât W este un spațiu Banach, trebuie să existe un element în W către care converge. Și, prin urmare, prin unicitatea limitelor, acea limită a acelei secvențe originale trebuie să se afle în W. Și acum, mergând în direcția opusă, presupunând că subspațiul este închis, vrem să arătăm că acum acest subspațiu este un spațiu Banach, adică este complet. Ei bine, să luăm o secvență Cauchy în W. Aceasta este și o secvență Cauchy în V. Prin urmare, are o limită. Această limită trebuie să fie în W, deoarece W este închis. Și, prin urmare, fiecare șir Cauchy din W are o limită în W. Și, prin urmare, W este un spațiu Banach. Bine, deci nu am scris ce... Nu am scris detaliile, dar am vorbit despre drumul nostru . Din moment ce facem o călătorie pe calea memoriei, tocmai mi-am amintit ce este un subspațiu. Acum, dat un subspațiu, putem obține un alt spațiu vectorial cu datele spațiului și ale subspațiului numit coeficient. Deci, permiteți-mi să-mi amintesc coeficientul. Deci, este vorba despre amintirea pe scurt care este coeficientul. Deci, să luăm un subspațiu al lui V. Definim o relație de echivalență pe V spunând că v este legat de v-prim dacă și numai dacă v minus v-prim este în W. Acum, ce înțeleg prin relație de echivalență? v este întotdeauna legat de v deoarece diferența lui v este egală cu 0, care este un element al lui W deoarece W este subspațiul și, prin urmare, un spațiu vectorial în sine. Dacă v este legat de v-prim, atunci acest lucru implică v-prim este legat de v, pur și simplu pentru că noi-- din nou, dacă acesta este în W, atunci este și minus în W. Și deci aceasta este reflexivitate. Și atunci avem, de asemenea, tranzitivitatea, că dacă v este legat de v-prim și v este legat - și v-prim este legat de v-prim dublu, atunci v este legat de v-prim dublu. Pur și simplu luați v minus v-prim dublu și adăugați și scădeți v-prim. Apoi obțineți suma a două elemente din W care trebuie să fie în W. Deci aceasta este o relație de echivalență. Și astfel definim clasa de echivalență a lui v. Aceasta este mulțimea tuturor v-primului din V astfel încât v-prim este legat de v. Și apoi definim o nouă mulțime, v-mod W, să fie mulțimea de toate clasele de echivalență. Și în loc să scriem clasa de echivalență a lui v, scriem de obicei v plus W în loc de clasa de echivalență a lui v. Deci, vă gândiți la clasa de echivalență a lui v ca fiind v plus toate elementele lui W. Sau două elemente sunt aceleași dacă ele diferă printr-un element al lui W. Deci aceasta este o mulțime. Dar devine un spațiu vectorial cu operațiile de adunare și multiplicare scalară definite într-un fel natural cu v1. Și înmulțirea scalară este doar clasa de echivalență dată de lambda times v. Acum, trebuie să luați o secundă și să vă asigurați că aceste operații sunt bine definite, ceea ce sunt sigur că ați făcut în algebra liniară. Ce vreau să spun prin bine definit? Ei bine, acestea sunt două clase echivalente. Deci, dacă iau alți doi reprezentanți-- să zicem v1-prim și v2-prim-- obțin aceeași clasă de echivalență ca și cu unprim, adică v1-prim plus v2-prim plus W aceeași clasă de echivalență ca v1 plus v2 plus W? Și acest lucru nu este prea greu de spus sau de văzut. Deci v-mod W, care este de obicei modul în care pronunțați acest v slash W-- v-mod W este un spațiu vectorial. Și așa rețineți, putem identifica W, deci doar mulțimea W, cu clasa de echivalență 0 plus W, care este, de asemenea, egală cu mic w plus capital W. OK, așa că atunci când am început să vorbim despre norme, am introdus și ceea ce era numit seminorm. Acum, o seminormă, reamintim, nu satisface toate cele trei proprietăți o normă. Ea satisface omogenitatea, adică modul în care savanții se retrag și, de asemenea, inegalitatea triunghiulară. Dar nu a satisfăcut definiția pozitivă, ceea ce înseamnă că seminorma ar putea fi 0 pentru anumiți vectori non-zero, OK? Cum ar putea să apară asta? Cum ar putea apărea un seminorm? Ei bine, gândiți-vă să luați maximul derivatei unei funcții ca fiind o normă sau ca fiind o normă potențială. Apoi satisface omogenitatea și inegalitatea triunghiului. Dar nu este o normă, deoarece derivata funcțiilor constante este 0. Dar funcțiile constante nu sunt identic 0, dacă le considerați elemente ale, de exemplu, spațiul funcțiilor continuu diferențiabile. Dar următoarea teoremă spune că dacă modificați elementele dintr-un spațiu vectorial pe care seminorma este 0, atunci obțineți în esență un spațiu normat în care norma este dată de seminorma. Deci, dacă modificați elementele cu 0 seminorm, obțineți un spațiu de normă real. Declarația este let-- să luăm un seminorm pe spațiul vectorial V. Atunci definim E ca fiind mulțimea tuturor v în V capitală astfel încât acest seminorm al acestor vectori să fie 0. Acesta este un subspațiu al lui V. Și dacă definesc următoarea funcție pe v-mod E-- deci ce este? Aceasta este pur și simplu norma reprezentantului v al acestei clase de echivalență. Deci, dacă definesc o funcție ca aceasta, atunci această funcție definește o normă pe spațiul v-mod E. Deci, pe scurt, dacă am un seminorm și o modific de toate elementele cu seminorm egal cu 0, atunci obțin un spațiu normat efectiv, unde această normă este în esență seminorma. OK, deci haideți să dovedim asta. Deci de ce este acesta un subspațiu? Ei bine, dacă iau două elemente în acest spațiu de elemente care au 0 seminorm și doi scalari, și dacă iau seminorma formei de combinație liniară, vreau să arăt că aceasta este egală cu 0. Și aceasta urmează în esență de omogenitate și inegalitatea triunghiulară. Aceasta este mai mică sau egală cu -- dacă aplic inegalitatea triunghiului și apoi scot scalarii, aceasta este mai mică sau egală cu plus -- și dacă ambele au seminorma egală cu 0, aceasta este egală cu 0. Și acum , amintiți-vă, un seminorm este întotdeauna non-negativ. Deci, dacă arăt că ceva este mai mic sau egal cu 0, este și -- atunci trebuie să fie egal cu 0. Deci, mai întâi, definim această funcție. Deci, acum, să arătăm că aceasta definește o normă pe v-mod E. Trebuie să arătăm mai întâi că este bine definită pentru că o definesc în termeni de reprezentant al acestei clase de echivalență, bine? Și ce înseamnă asta? adică dacă v plus-- dacă am două clase de echivalență cu-- sau dacă am aceeași clasă de echivalență cu doi reprezentanți diferiți, v și v-prim, atunci-- și ar trebui să scriu E, nu W. Atunci norma de v este egal cu norma v-prim. Și, prin urmare, această funcție este bine definită. Acum, cum facem asta? Din nou, va fi în esență inegalitatea triunghiulară. Deci, să presupunem că v plus e este egal cu v-prim plus em, ceea ce înseamnă că am doi reprezentanți pentru aceeași clasă de echivalență. Și asta înseamnă că există un mic e capital E astfel încât v este egal cu v-prim plus e. Atunci, dacă iau norma lui v, aceasta este egală cu norma v-prim plus e. Și prin inegalitatea triunghiului, aceasta este mai mică sau egală cu norma v-prim plus seminorma lui E. Și acum, deoarece E provine din această mulțime de toți vectori cu seminorma egală cu 0, aceasta este egală cu 0. Și, prin urmare , primesc seminorma v-prim. Deci am arătat că seminormul lui v este mai mic sau egal cu seminormul lui v-prim. Acum, nu a fost nimic -- acest argument este simetric în v și v-prim, bine? Dacă v este egal cu v-prim plus e pentru un element din E majusculă, la fel este v-prim. Deci, pot comuta, de asemenea, v-prim și v-prim, adică am arătat că v este mai mic sau egal cu v-prim și norma v-prim este mai mică sau egală cu v. Și prin urmare, cele două norme ale lor sunt de acord. Deci această funcție aici este bine definită. Așa că o să vă las acum să verificați că această funcție acum, care este bine definită pe v-mod E, este, de fapt--, de fapt, satisface toate proprietățile unui seminorm. Adică, nu este negativ. Deci, de la proprietatea de omogenitate și inegalitate triunghiulară a seminormului, urmează inegalitatea triunghiulară și omogenitatea acestei funcții. Și, în esență, am echivalat toate elementele cu seminorma egală cu 0 la 0. Deci, acesta este motivul pentru care este și definit pozitiv. Așa că o să îți las asta, bine? OK, acum, există o altă cale -- dacă ni se oferă -- așa că în acest proces, am început cu un seminorm pe spațiu, am identificat subspațiul tuturor elementelor de normă zero, dacă doriți, și am obținut un nou normat. spaţiu. Dar ați putea începe cu un spațiu normat, un subspațiu închis al acelui spațiu normat și să obțineți un nou spațiu normat pe v-mod W, dacă w este un spațiu închis, în mod similar, unde definesc această normă în acest fel. Și ei bine, norma pe acel spațiu nu va fi aceeași cu acesta. Dar asta va fi în exerciții, bine? BINE. Așa că este vorba despre-- este un fel de concluzie a secțiunii elementare a analizei funcționale, adică oasele goale ale spațiilor Banach și ale spațiilor normate. Și acum, cu restul acestei prelegeri și apoi următoarea prelegere, vom intra în rezultatele fundamentale ale analizei funcționale legate de spațiile Banach. Așadar, aceste teoreme pe care acum le voi afirma și dovedi în următoarele prelegeri au nume atașate. Deci ar trebui să știi cu siguranță ce sunt, ce afirmă, ce nu afirmă. Dar pentru a le dovedi, am nevoie mai întâi de un rezultat din spații metrice, pe care chiar l-am predat semestrul trecut. Dar nu am acoperit această teoremă. Nu-mi amintesc dacă am acoperit-o când am predat 18.100B. Nu cred că am făcut-o. Așa că aici este vorba despre când poți scrie-- sau în ce fel-- OK, așa că permiteți-mi doar să le spun. Și apoi o voi interpreta pentru tine. Deci aceasta este teorema lui Baire. De asemenea, poartă numele de teorema categoriei Baire, deși nu are nimic de-a face cu teoria categoriilor așa cum cred că este folosită astăzi. Nu știu dacă teoria categoriei este folosită sau dacă este creată pentru sine. Dar teorema de categorie a lui Baire este singura teoremă de categorie pe care o cunosc. Deci ce afirmă? Dacă M-- așadar din nou, aceasta este o teoremă despre spații metrice, deci nu neapărat spații normate. Deci, dacă M este un spațiu metric complet și Cn este o colecție de submulțimi închise ale lui M, astfel încât M este uniunea lor - deci aceasta este a - deci am un N aici. Deci ar trebui să precizez că acesta este N ca număr natural - atunci cel puțin un Cn conține o bilă deschisă B x, r. Așadar, amintiți-vă că acesta este o mulțime de toate y în M astfel încât distanța de la x la y este mai mică decât r. Deci cel puțin un Cn conține o bilă deschisă ar putea fi afirmat mai succint, deoarece cel puțin un Cn are un punct interior. Deci, uneori, în aplicații, aceste Cn-uri nu sunt neapărat închise. Dar dacă M este egal cu uniunea acestor mulțimi, atunci este, de asemenea, egal cu uniunea închiderilor lor. Și așadar, ceea ce spune această teoremă este că, dacă poți scrie un spațiu metric ca o uniune de mulțimi, atunci închiderea uneia dintre acele mulțimi trebuie să conțină o bilă deschisă. Acum, să ne gândim puțin la ce înseamnă -- sau există o terminologie specifică pentru atunci când un set închis -- când închiderea unui set nu conține o minge deschisă, înseamnă că nu este dens nicăieri. Sau aceasta este expresia pe care o folosim de obicei pentru asta, este că nu este nicăieri dens. Deci, teorema lui Baire spune că dacă aveți M egal cu uniunea unei colecții de mulțimi, atunci închiderea uneia dintre acele mulțimi trebuie să fie densă undeva. Sau nu puteți scrie M, un spațiu metric complet, ca unirea unor submulțimi dense nicăieri. Și astfel această teoremă este destul de simplu de afirmat. Este destul de foarte util și, vreau să spun, destul de puternic în aplicații. De fapt, puteți folosi această teoremă pentru a oferi o dovadă alternativă la ceva ce sperăm că ați văzut în clasa dvs. de analiză , și anume că există o funcție continuă care nu este diferențiabilă nicăieri. Poate voi pune asta în exerciții. Poate o să-ți arăt undeva. Vom vedea. În regulă, deci dovada este prin contradicție. Cred că aceasta este prima dovadă de contradicție pe care am făcut-o în clasă. Deci, în 18.100A și B, vreau să spun, începi... totul este prin contradicție. Deci, să presupunem că nu, adică puteți găsi că există o colecție de submulțimi închise ale lui M astfel încât M este egal cu această uniune. Și ceea ce vom face este că vom găsi un punct care nu este în această uniune și, prin urmare, nu în M. Și asta va fi contradicția noastră. Vom folosi completitatea lui M pentru a obține acest punct, deoarece modul în care vom obține acest punct este ca o limită a unei anumite secvențe. Și pentru a putea spune că această limită există, vom arăta secvența ca Cauchy. Bine, așa că vom construi această secvență în mod inductiv. Și voi scrie această dovadă inductivă cu atenție de prima dată. Și apoi, în viitor, voi spune doar, OK, alegeți p1 în acest fel, alegeți p2 în acest fel. Continuând în acest mod, obținem o succesiune de puncte, bla, bla, bla. Dar, în această etapă, voi scrie cu atenție această dovadă inductivă . OK, deci să presupunem că nu. Deoarece M conține cu siguranță o bilă deschisă și C1 nu poate conține o bilă deschisă, aceasta implică că M nu este egal cu primul set închis. În caz contrar, primul set închis ar conține o minge deschisă. Astfel, există un element p1 în M ia C1. Acum, C1 este închis. Aceasta înseamnă că complementul său este deschis. Și, prin urmare, pot găsi un mic epsilon 1 astfel încât bila centrată pe p1 cu raza epsilon 1 intersectează C1 să fie egală cu setul gol. Acum, voi alege C2. Acum bila centrată pe p1 cu raza epsilon 1 peste 3, aceasta nu este conținută în C2 deoarece, din nou, aceasta este prin contradicție. Deci presupunem că M este scris ca o uniune de mulțimi închise și niciuna dintre aceste mulțimi închise nu conține o bilă deschisă. Deci această minge deschisă nu poate fi conținută în C2. Și, prin urmare, există un punct p2 în această bilă deschisă centrat pe p1 cu raza epsilon 1 peste 3, astfel încât p2 nu este în C2. Acum, din nou, C2-închis implică faptul că există un epsilon cu 2 mai mic decât epsilon peste 3-- deci îl putem face foarte mic dacă dorim-- astfel încât bila centrată pe p2 a razei epsilonului 2 intersectează C2 să fie egală cu setul gol . Deci, acum, am ales p2-- p1 și p2. Acum, în acest moment, aș spune de obicei, continuând în acest mod, obținem o succesiune de puncte. Dar permiteți-mi să scriu argumentul cu atenție. Să presupunem că există k puncte-- p1, pk și epsilon pozitiv 1, epsilon k astfel încât să apară două lucruri . Deci epsilon k este mai mic decât epsilon k minus 1 peste 3 și-- care este mai mic decât epsilon k minus 2 peste 3 și așa mai departe până la epsilon 1 peste 3 k minus 1. Deci, dacă doriți, k aici este mai mare decât sau egal cu 2. Și pj satisface-- pj este în bila centrată la pj minus 1 din raza epsilon j minus 1 peste 3. Și bila centrată la pj epsilon j intersectează Cj este egal cu setul gol. Așa că permiteți-mi să stea acele două proprietăți chiar acolo. Vom obține un alt punct care să satisfacă aceste două proprietăți. Și nu știu de ce sunt un ticălos. Chiar nu contează. Dar permiteți-mi să pun un 2 pentru că nu este neapărat satisfăcut pentru p1. Dar OK, acum, vreau să arăt că există -- Pot obține un k plus primul punct care să satisfacă aceste două proprietăți. Din nou, acest lucru înseamnă doar oficial că, odată ce am ales p2, atunci pot alege un p3 făcând acest argument din nou. Și va satisface tot ceea ce p2 este satisfăcut cu epsilon 1, cu excepția acum cu epsilon 2. Dar acum, o fac doar mai formală. Deci, acum, din nou, M este uniunea tuturor acestor seturi închise, dintre care niciunul nu conține o minge deschisă. Deci, deoarece bila cu raza pk epsilon k peste 3 nu este conținută în Ck plus 1, există un element pk plus 1 care nu este în Ck plus 1. Sau ar trebui să spun -- peste 3 -- astfel încât pk plus 1 să nu fie în Ck plus 1. Deci, permiteți-mă... există pk epsilon k peste 3, Ck plus 1. Deci poate că nu sunt disjunși. Poate că există o suprapunere. Dar atunci pot găsi un punct pk plus 1 acolo care nu este în Ck plus 1. Deci, atunci există un epsilon k plus 1, pe care îl pot alege foarte mic, să zicem mai mic decât epsilon k peste 3, astfel încât -- din nou, deoarece Ck plus 1 este închis, pk plus 1 nu este în Ck plus 1. Așa că pot găsi o minge mică în jurul pk plus 1 disjuns din Ck plus 1 -- o bilă -- am spus că Ck este egal cu setul gol. Deci, având în vedere k puncte, pot alege apoi un k plus primul punct care să satisfacă aceste două puncte de aici, bine? Deci, prin inducție, am găsit o succesiune de puncte, pk, în M astfel încât-- și epsilon k. Deci, dacă doriți, k începe de la 2. Epsilon k și 0 epsilon 1, astfel încât pentru toate k, acele două puncte de marcatori sunt valabile, astfel încât-- pe care l- am notat-- pe care am pus o stea mică, stea [? tine. ?] Deci vorbesc despre aceste două puncte. Deci, când spun stea, mă refer la aceste două afirmații aici, bine? OK, acum, să arătăm că secvența este Cauchy. Deci acum, pretind... cum facem asta? Urmează. Deci nu voi scrie argumentul M epsilon complet. Dar voi scrie doar estimarea crucială care dovedește acest lucru. Acest lucru decurge din faptul că pentru tot k pentru tot l, dacă mă uit la distanța dintre pk și pk plus l pentru că în cele din urmă, când mă uit la -- dacă vreau să arăt ceva Cauchy, trebuie să iau diferența de două-- sau distanța dintre două puncte. Unul pe care îl pot alege ca punct care apare mai devreme în secvență și apoi unul care apare mai târziu. Oricum, prin inegalitatea triunghiului repetată, pot scrie că aceasta este mai mică sau egală cu distanța de la pk pk plus 1 plus distanța de la pk plus 1 pk plus l. Și acum, aș putea face din nou inegalitatea triunghiului. Și așa am înțeles că aceasta este mai mică sau egală cu distanța de la pk la pk plus 1 plus distanța de la pk plus 1 la pk plus 2 și așa mai departe până ajung la distanța dintre pk plus l minus 1 și pk plus l . Acum, după stea, ceea ce este în galben, pk plus 1 este în epsilon k peste 3 minge centrate pe pk. Deci, acesta este mai puțin decât epsilon k peste 3. Și același lucru aici, mai puțin decât epsilon k plus 1 peste 3 plus epsilon k plus l minus 1 peste 3. Și acum, toate acestea sunt mai puțin decât... dacă mergi la primul, este mai puțin de epsilon 1 peste 3 k minus 1. Deci, acesta este mai puțin decât epsilon 1 peste 3 k plus epsilon 1 peste 3 k plus l, da. Și acum, chiar pot rezuma asta. Acesta este strict mai mic decât epsilonul 1. Și dacă însumez acum de la l este k la infinit de 1 peste 3 k, acesta este egal cu 1 peste epsilon 1 3 k 1 peste 1 minus 1/3, ceea ce este egal cu epsilon 1 peste 2 3 la minus k plus 1. Deci distanța dintre un punct pk și pk plus l este mai mică decât niște ori constantă 3 la minus k plus 1. Deci, dacă k este foarte mare, aceasta este foarte mică independent de l. Deci nu ar fi trebuit să mă folosesc aici. Și acesta este M, M. Deci asta arată că secvența este Cauchy. Deci, deoarece M este complet, există un p în M astfel încât aceste elemente pk converg către p. Și acum, vom arăta că acest punct p nu se află în niciunul dintre CJ. Și o vom face arătând că este în esență în toate aceste bile, pj epsilon j. În regulă, și este un calcul similar cu ceea ce tocmai am făcut. Așadar, acum, pentru tot k număr natural, dacă te uiți la distanța dintre pk plus 1, pk plus 1 plus l-- din nou, așa că dacă mă întorc la acest calcul chiar aici, am demonstrat că acesta a fost mai mic decât epsilon. k plus 1 ori 1 peste 3 k plus 1 plus-- sau de fapt, 1 peste 3 plus 1 peste 3 la pătrat plus 1 peste 3 k plus 1-- k plus l. Sau îmi pare rău, cred că sunt doar eu. Și acum, acest lucru este mai puțin decât dacă l-aș înlocui cu suma infinită. Deci, acesta este mai mic decât epsilon k plus 1 ori suma infinită din nou, m este egal cu 0 până la infinit 3 la minus m, care este egal cu ce? Deci, acesta este, din nou, egal cu epsilon k plus 1 ori 3/2. OK, așa că am demonstrat că distanța dintre pk plus 1 pk plus 1 plus l este mai mică decât epsilon k plus 1 ori 3 peste 2. Permiteți-mi să iau limita pe măsură ce l merge la infinit. pk plus 1 plus l converg spre punctul p. Așadar, obțin că distanța dintre pk plus 1 și punctul p este mai mică sau egală cu 3/2 epsilon k plus 1. Și amintiți-vă, epsilon k plus 1 este mai mic decât un al treilea epsilon k. Deci, acesta este mai puțin de 1/2 epsilon k, bine? Și din moment ce pk plus 1-- amintiți-vă, aceasta este în bila cu raza de 13 epsilon k. Deci, obțin că distanța dintre pk și p este mai mică sau egală cu distanța dintre pk și pk plus 1 plus 1 și p. Obținem că aceasta este mai mică sau egală cu 1/3 epsilon k plus 1/2 epsilon k. Și acesta este mai mic decât epsilon k, ceea ce înseamnă că p este în bila cu raza pk a epsilonului cu raza k, care, prin a doua proprietate de sus în stea -- faptul că toate aceste bile sunt disjunse de -- fiecare dintre bile este disjuns din Ck înseamnă că p nu este în Ck. Acum, k a fost arbitrar aici. Deci tragem concluzia că p nu este în această uniune, care este egală cu M. Și aceasta este o contradicție. Adică, am spus strategia în partea de sus a dovezii, argumentul tehnic poate a încurcat ceea ce se întâmplă. Dar din nou, ideea este că puteți construi -- dacă această concluzie nu este valabilă, puteți construi o secvență care are această proprietate disjunctură din această colecție de mulțimi deschise, astfel încât secvența să fie Cauchy. Și pentru că M este un spațiu metric complet, apoi puteți extrage o limită p. Această limită p va avea toate proprietățile pe care le-au avut aceste pk, și anume că nu se află în niciunul dintre Ck. Și, prin urmare, acest punct p nu se află în spațiul metric, ceea ce este un nonsens. Așa că am ajuns la contradicția noastră. Prin urmare, teorema categoriei lui Baire este demonstrată. OK, deci asta e teorema categoriilor Baire. Să folosim acum acest lucru pentru a demonstra unele rezultate fundamentale ale analizei funcționale. Așadar, primul rezultat pe care îl vom demonstra este ceea ce se numește teorema mărginirii uniforme , care spune că dacă aveți o succesiune de operatori liniari mărginiți pe un spațiu Banach, atunci mărginirea punctuală implică o gândire uniformă sau o mărginire uniformă în norma operatorului. Deci, fie B un spațiu Banach. Și să fie Tn o succesiune de operatori liniari mărginiți, pe care i-am notat data trecută prin acest script B, la un alt spațiu normat, V. Deci nu am scris asta, dar V este un spațiu normat. Dacă pentru toți b din capitalul B, sup n din Tn v-norma este mai mică decât infinitul - deci dacă presupun că această secvență este mărginită punctual - mărginită punctual, atunci pot concluziona că sunt mărginite uniform, și anume sup a normelor operatorului sunt mărginite. Deci vom folosi teorema categoriei Baire. Deci vom scrie spațiul Banach B ca o uniune de submulțimi închise. Care vor fi aceste subseturi închise? Amintiți-vă, încercăm să găsim o limită uniformă pe Tn. Deci, doar jucându-vă, deci să definim submulțimea de la B la Ck. Acesta este o mulțime de toate elementele b din B astfel încât norma lui B este mai mică sau egală cu 1 și sup n Tn din B este mai mică sau egală cu k. Bine, așa că, în primul rând, acestea sunt închise. Deci ar trebui să spun, ce este k? k aici este un număr natural. Ck este închis. De ce asta? Ei bine, trebuie să arătăm că o secvență care converge - o secvență de elemente din Ck care converge converge către un element al lui Ck. Deci, dacă Bn-- aceasta este o succesiune de elemente în Ck-- și Bn converge către B, atunci norma lui b este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul normei lui bn. Și fiecare dintre acestea este mai mică sau egală cu 1. Deci limita trebuie să fie mai mică sau egală cu 1. Și deci nu ar trebui -- poate voi folosi AI a-- Am Tn-urile. Am Bn's. Deci, permiteți-mi să folosesc M. Și pentru tot M în număr natural, Tm aplicat să fie și normat, aceasta este egală cu limita pe măsură ce m merge la infinitul lui Tm Bn în normă, deoarece aceștia sunt operatori liniari mărginiți și, prin urmare, continui. OK, deci Tm al lui B este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui Tm al lui Bn. Și acum, norma Tm a lui Bn este întotdeauna-- ei bine, aceasta este întotdeauna mai mică sau egală cu k, deoarece Bn-urile sunt în Ck și sup din toți acești tipi este mai mică sau egală cu k. Deci, acesta este, de asemenea, mai mic sau egal cu k. Astfel, B este în Ck, ceea ce implică că Ck este închis. Acum, bila închisă-- sau nu ar trebui să spun-- nu este închiderea mingii deschise, ci bila închisă, b în B majusculă, astfel încât b este mai mic sau egal cu 1. Aceasta este egală cu unire peste toate k de Ck. De ce? Deci, în primul rând, fiecare dintre acestea este conținut în această minge închisă. Dar presupun după stea că indiferent de ce b este în spațiul Banach, sup peste n dintre acestea este mai mic decât infinit. Deci, există întotdeauna un număr întreg k dat un b - deci având în vedere un anumit b în această mulțime, pot găsi întotdeauna un întreg suficient de mare astfel încât acesta să fie mai mic decât acel număr întreg. Deci trebuie să-- fiecare element de aici trebuie să se afle într-una dintre aceste mulțimi C sub k Deci aceasta este egală cu uniunea. Deci acesta este un spațiu metric complet deoarece este o submulțime închisă a lui M. Deci acesta este un spațiu metric complet scris ca uniunea a-- o uniune a submulțimii închise. Deci, după teorema lui Baire , există una dintre aceste mulțimi care conține o bilă deschisă de forma B, B0, delta 0. Deci una dintre aceste Ck conține o bilă deschisă. Acum, vom arăta - vom folosi acest k pentru a obține o limită uniformă. Deci, dacă b este în B și-- să vedem. Deci haideți să scriem așa. Dacă b este în bilă deschisă cu raza delta 0 centrată la 0, deci aceasta înseamnă că norma lui b este mai mică decât delta 0. Atunci b0 plus b se află în această bilă deschisă centrată pe B0. Prin urmare, sup n din Tn de b0 plus norma b este mai mică sau egală cu k. Deci această minge este conținută în Ck. Și prin urmare, dacă iau sup peste n din T sub n aplicat acestui lucru, acesta este mai mic sau egal cu k. Dar apoi concluzionez că sup peste n din Tn aplicat lui B, care este mai mic sau egal cu sup n-- așa că voi adăuga și scădea B0. Deci, permiteți-mi să scriu de fapt acest lucru ca sup de Tn B0 plus Tn B0 plus B. Acesta este mai mic sau egal cu inegalitatea triunghiului. Și apoi transportând sup, aceasta este mai mică sau egală cu sup n Tn B0 plus sup n Tn B0 plus B. Și astfel B0 este cu siguranță în această minge, care este conținută în Ck. Deci aceasta este mai mică sau egală cu k. Și aceasta este încă în acea bilă cu raza delta 0 centrată pe B0. Deci se află în CK. Și, prin urmare, acest sup este, de asemenea, mai mic sau egal cu k este egal cu 2k. Așa că am arătat că dacă iau orice element din bila deschisă cu raza delta 0, atunci sup peste n din Tn lui B este mai mică sau egală cu 2k, bine? Și acum, este doar un simplu argument de redimensionare pentru a arăta că supa normelor este acum mărginită. Deci, să presupunem că norma lui B este egală cu 1. Atunci norma lui Tn a delta 0 peste 2 aplicată lui B este mai mică sau egală cu -- deci pentru toți n cu siguranță mai mici sau egale cu sup peste n a tuturor acestora, care este mai mic sau egal cu 2k, deoarece acesta este un element cu norma delta 0 peste 2, care este mai mic decât delta 0. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 2k, ceea ce implică-- deci, din nou Tn este liniar. Deci ar fi trebuit să inversez acest lucru. Fie M un număr natural. Fie B egal cu 1. Da, OK. Deci, Tn aplicat lui B este mai mic sau egal cu 4k peste delta 0. Acum, acest lucru este valabil pentru toți B cu lungime egală cu 1. Și, prin urmare, norma operatorului, care este sup peste tot B, ar fi în mod normal egală cu 1 , este mai mic sau egal cu 4k peste delta 0. Acest lucru este valabil pentru toate n. Și, prin urmare, sup peste n a normei operatorului este mai mică sau egală cu 4k peste delta 0 și, prin urmare, ne oferă limita uniformă. Am timp pentru asta? OK, nu cred că am timp pentru toată dovada a ceea ce urmează. Deci cred că ne vom opri aici deocamdată.