[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Bine, deci să terminăm dovada că am început la sfârșitul prelegerii data trecută. De obicei, nu termin cursurile în mijlocul unei dovezi. Dar din moment ce această prelegere și prelegerea de dinainte vor veni la tine în același timp, nu m-am simțit atât de rău. În regulă, deci am încercat să demonstrăm această teoremă că, dacă există un număr rațional astfel încât să fie egal cu supremamul mulțimii, atunci x este mai mare sau egal cu 1 și pătratul său îmi dă 2. Și până acum, ceea ce am Am arătat că, dacă am un element, un număr rațional, care este dat de supremum, atunci este mai mare sau egal cu 1 și x pătratul trebuie să fie mai mare sau egal cu 2. Și acum, am dori să arătați că, de fapt, x pătrat este egal cu 2. Acum, deoarece x pătrat este mai mare sau egal cu 2, este fie egal cu 2, fie mai mare decât 2. Și vrem să arătăm că a doua posibilitate nu este posibilă. Deci vom demonstra că a doua posibilitate nu este posibilă prin contradicție. Deci, să presupunem că lucrul despre care spunem că nu se poate întâmpla se întâmplă și vom obține o afirmație falsă. Deci definiți h. Acesta va fi x pătrat minus 2 peste 2x Și, deci, rețineți câteva lucruri că, deoarece x pătrat este mai mare decât 2, aceasta implică că h este mai mare decât 0, ceea ce înseamnă că x minus h este mai mic decât x. Deci care va fi contradicția? Se va întâmpla că acest element x minus h este, de fapt, o limită superioară pentru mulțimea E. Și acest lucru va contrazice faptul că x este supremul. Cu alte cuvinte, este cea mai mică limită superioară pentru mulțimea E. Nu există o limită superioară pentru E care poate fi mai mică decât x. Bine, deci acum demonstrăm că x minus h este o limită superioară pentru această mulțime E. Acum, să aruncăm o privire la x minus h pătrat. Atunci aceasta este egală cu x pătrat minus 2xh plus h pătrat. Acum, doar dat de dacă doar conectăm ceea ce este h, acesta este egal cu x pătrat minus x pătrat minus 2. Deci asta înseamnă să punem h. Și apoi 2x aici se anulează cu 2x acolo. Deci am doar x pătrat minus 2 plus h pătrat, ceea ce este egal cu 2 plus h pătrat. Acum amintiți-vă, h este un număr pozitiv. Deci 2 plus un număr pozitiv, acesta este mai mare decât 2. Deci x minus h pătrat este mai mare decât 2. Deci acum, vreau să arăt-- Voi folosi asta pentru a arăta că x minus h este o limită superioară pentru E Deci, fie q în E. q pătrat este mai mic decât 2. Atunci am q pătrat este mai mic decât 2, care este mai mic decât x minus h pătrat după ceea ce tocmai am demonstrat aici. Deci, permiteți-mi să scriu asta sau doar să rezumam că ceea ce am demonstrat aici a fost x minus h pătrat este mai mare decât 2. Deci avem q pătrat este mai mic decât 2 este mai mic decât x minus h pătrat. Deci, asta înseamnă că 0 este mai mare decât x minus h pătrat minus q pătrat. q pătrat este mai mic decât aceasta, așa că dacă doar o scad, obțin această inegalitate. Deci asta implică că 0 este mai mare decât... acum, aceasta este diferența dintre două pătrate. Deci pot scrie asta ca x minus h plus q minus q. Acum, dacă doar scriu ce este x minus h folosind definiția lui h, acesta este egal cu x pătrat plus 2 peste 2x plus q peste x minus h minus q. Acum, produsul acestor două numere este pozitiv. Acest număr este pozitiv deoarece q este pozitiv. Și asta înseamnă că suma lor este pozitivă. Deci am ceva pozitiv oricând asta. Așa că pot împărți prin acest lucru pozitiv și pot păstra inegalitatea. Deci asta implică că 0 este mai mic decât x minus h minus q, ceea ce implică că q este mai mic decât x minus h. În regulă, deci am început cu un element al lui E, un element arbitrar al lui E. Și am demonstrat că q este mai mic decât x minus h. Astfel, pentru tot q din E, q este mai mic decât x minus h, ceea ce implică că x minus h este o limită superioară pentru E. Așa că permiteți-mi să păstrez acea tablă pentru moment în timp ce scriu ultima propoziție sau cam așa ceva a acestei dovezi. Deci am afirmat că x minus h este o limită superioară pentru E, ceea ce implică, deoarece x este supremul lui E, ar trebui să fie mai mic sau egal cu toate limitele superioare, ceea ce implică că h este mai mic sau egal cu 0. Dar aceasta este o contradicție directă cu faptul că h este un număr pozitiv. Deci aceasta este afirmația falsă pe care o dovedim în cele din urmă. Dar ideea este că, dacă x pătrat este mai mare decât 2, puteți găsi o limită inferioară - mă refer la o limită superioară, care este strict mai mică decât x, ceea ce contrazice faptul că x este cea mai mare limită inferioară pentru E. Dar amintiți-vă , care a fost presupunerea noastră inițială pentru început în această linie de raționament? Asta a fost că x pătratul este mai mare decât 2. Și asta încheie demonstrația. Bine, deci aceasta a fost o afirmație despre doar dacă am un element care este un număr rațional și este egal cu supremul, atunci pătratul trebuie să fie 2. Acum, voi demonstra că practic nu există un astfel de element și prin urmare, că numerele raționale nu au cea mai mică proprietate superioară, care a fost discuția de deasupra celor două linii din acel cerc de pe tabla de acolo sus. Deci, care este teorema pe care o vom demonstra? Setul E ca înainte. Deci acesta este un număr rațional astfel încât q este mai mare decât 0. q pătratul este mai mic decât 2. Este mărginit mai sus și nu are supremul în Q. Deci nu spun doar că -- așa că această mulțime E se află în interiorul ordonatului meu set, care este universul meu Q. Nu spun că nu are un supremum în E. Spun că nu are un supremum în universul în care se află. Prin urmare, numerele raționale nu au cea mai mică proprietate superioară, deoarece această mulțime este o mulțime care este mărginită mai sus și nu are supremul în q. Deci primul lucru pe care vreau să-l arăt este că această mulțime E este mărginită mai sus. Fie q în E. Atunci q pătrat este mai mic decât 2, care este mai mic decât 4. Deci asta îmi spune că 4 minus q pătrat este pozitiv, ceea ce îmi spune că 2 minus q ori 2 plus q este pozitiv. Acum, deoarece 2 este pozitiv și q este pozitiv, 2 plus q este pozitiv. Așa că pot împărți ambele părți ale acestei inegalități cu acest, 2 plus q, fără a schimba inegalitatea, ceea ce implică -- voi doar să răsturn această inegalitate. Astfel, pentru toți q din E, q este mai mic decât 2. Deci 2 este o limită superioară pentru mulțimea E. OK, așa că demonstrează că mulțimea E este mărginită mai sus. Așa că acum, voi demonstra că nu există supremum mom folosind teorema anterioară, care spune că dacă am un supremum, atunci pătratul lui trebuie să fie 2. OK, deci acum, arătăm că supa lui E nu există . Și facem asta prin contradicție. Acum, știu că se pare că multe dintre dovezile pe care le facem sunt prin contradicție. Acest lucru nu ar trebui să vă dea impresia că toate dovezile ar trebui făcute prin contradicție. Multe dovezi pe care le vei face la teme se pot face direct, adică nu prin contradicție. De exemplu, această primă mică dovadă că E este mărginit mai sus, aceasta este o dovadă directă, adică demonstrez direct că este mărginit mai sus. Nu presupun că nu este delimitat mai sus și ajung la o contradicție. Dar dovada prin contradicție este foarte tentantă pentru că măcar te face să mergi undeva. Dacă poți presupune că nu, atunci treci la pasul următor, care presupune altceva. Și să sperăm că poți continua până când ajungi la ceva fals. Dar multe teoreme pe care vrei să le demonstrezi pot fi făcute direct. Bine, dar nu acesta. Acum, arătăm că supremamul setului nu există. Deci, prin contradicție, vom presupune că un astfel de supremum există. Deci, să presupunem că supremul există și numiți-l x. În regulă, deci x este brațul suprem al setului. Bine, deci după teorema anterioară, deoarece x este un element al numerelor raționale, al căror pătrat îmi dă-- care este supremul mulțimii, atunci x este mai mare sau egal cu 1 și pătratul său este 2. Prin precedentul teorema, x este mai mare sau egal cu 1 și x pătrat este egal cu 2. De fapt, x trebuie să fie mai mare decât 1. Nu poate fi egal cu 1 pentru că pătratul mi-ar da 1, nu 2. În regulă, așa că pot face această afirmație că x este, de fapt, mai mare decât 1, nu doar mai mare decât sau egal cu. OK, așadar, deoarece x este un rațional, există m în numere naturale astfel încât m este mai mare decât n și x este egal cu m peste n. Deci doar-- asta înseamnă ca x să fie un număr rațional și să fie mai mare decât 1. Astfel, există un n astfel încât de n ori x este un număr natural. În regulă, doar înmulțind prin n, asta înseamnă că de n ori x este egal cu m, care este un număr natural. Deci, să fie S mulțimea numerelor naturale, astfel încât atunci când înmulțesc x cu k să obțin un număr natural. Și așadar, ceea ce am arătat, doar pe baza presupunerii noastre, este că S este nevid, deoarece n este în S. Acum, acesta este un submult de numere naturale. Deci, prin proprietatea de bine ordonată a lui N, această mulțime S are cel puțin element, pe care îl vom numi k0 în S. Deci ceea ce voi arăta este că, de fapt, acest mic tip k0 nu este, de fapt , cel mai mic element din această mulțime S, care ar contrazice exact modul în care este definit. Deci definiți k1 ca fiind k0 x minus k0. Și rețineți că acesta este un număr întreg. De ce? Deoarece k0 ori x-- deci k0 este în mulțimea S, adică k0 ori x este un număr natural. Deci este un număr întreg. k0 este un număr natural. Deci diferența a două numere întregi este, din nou, un număr întreg. Deci k0 este un număr natural. k0 ori x este un număr natural. Deci diferența dintre două numere naturale îmi dă un număr întreg. Dar, de fapt, este un număr natural. Deci este un număr natural. Deci hai să mergem aici. Până acum, avem că k1 este un număr natural. Și voi demonstra că k1 este de fapt mai mic decât k0. Deci, din moment ce x pătrat este egal cu 2-- ar trebui să spun-- OK, așa că hai să-l scriem astfel. Deoarece x pătrat este egal cu 2, aceasta înseamnă că 4 minus x pătrat este pozitiv. Adică, tocmai am notat 2. 4 minus x pătrat este doar 2. Deci asta îmi spune, luând diferența, 2 minus x ori 2 plus x este pozitiv. 2 și x sunt pozitive. Deci pot împărți această inegalitate prin acest termen și pot menține inegalitatea, ceea ce implică 2 minus x este pozitiv. Și, prin urmare, x este mai mic decât 2. Deci x este mai mic decât 2. Atunci k1, care ne amintim că este k0 ori x minus 1, este mai mic decât k0. Deci k0 este un număr natural. Este pozitiv. x minus 1 este mărginit de 2 minus 1 este egal cu k0. Deci ceea ce am arătat până acum este că acest număr, k1, este un număr natural. Și este mai mic de k0. Deci, cred că nu trebuie să scriu această parte pozitivă. Acum, să ne amintim ce trebuia să fie k0. k0 ar trebui să fie cel mai mic element al acestei mulțimi S. Este cel mai mic număr natural, astfel încât atunci când îl înmulțesc cu x, obțin un alt număr natural. Și din acest k0, am construit un nou număr natural numit k1, care este mai mic decât k0 și este un număr natural. Dar aici vine partea distractivă. Dacă calculăm cât este x ori k1, acesta este, prin definiție, x ori x ori k0 minus k0. Acesta este egal cu x pătrat k0 minus x ori k0, care este egal cu 2 k0 minus x ori k0 deoarece x pătrat este egal cu 2. Și această ultimă parte, aceasta este egală cu k0 plus k0 minus x k0, care este egal cu k1. Acum, acesta este un număr natural. Acesta este un număr natural. Acest număr natural este mai mare decât acest număr natural. Prin urmare, diferența lor este, din nou, un număr natural. Deci asta spune că x ori k1 este un număr natural. Astfel, k1 este în S și k1 este mai mic decât k0, ceea ce implică că k0 nu este cel mai mic element din S, ceea ce este o contradicție cu faptul că este cel mai mic element din S. Deci ceea ce am arătat este să presupunem că acest lucru mulţimea E are un supremum în numerele raţionale, atunci ajungem la o contradicţie. Deci presupunerea noastră inițială trebuie să fie falsă. Astfel, sup E nu există. Bine, deci această dovadă este poate puțin diferită de... dacă ați văzut o dovadă a faptului că rădăcina pătrată a lui 2 nu este un număr rațional, există o altă dovadă care poate este puțin mai simplă. Dar acesta folosește comanda pentru a dovedi, ceea ce mi s-a părut destul de mișto. Și inițial se datorează lui Dedekind. OK, deci am discutat despre un aspect al numerelor reale care era în acea teoremă pe care am afirmat-o mai devreme, pe care îl voi repeta într-un minut, și anume că este o mulțime care are cea mai mică proprietate superioară. Așa că am afirmat asta ca o teoremă. Nu voi demonstra acea teoremă. Vrem doar să înțelegem exact ce diferențiază numerele reale. Și un aspect din asta... au fost două lucruri. Una este că este un câmp ordonat. Și doi este că are cea mai mică proprietate superioară. Deci am discutat acum ce înseamnă proprietatea cea mai mică limită superioară . Deci trebuie doar să completăm o altă parte despre numerele reale, adică faptul că este un câmp ordonat. Și așa cum am spus mai înainte, Q este, de asemenea, un câmp ordonat. R nu este special în acest sens. Dar, așa cum a afirmat teorema la mijlocul ultimei prelegeri, că R este, de fapt, câmpul unic ordonat cu cea mai mică proprietate superioară. Amintiți-vă, tocmai am demonstrat că Q nu are cea mai mică proprietate superioară. Deci, într-un anumit sens, lui Q îi lipsesc lucruri. Lipsesc lucruri. Lipsesc rădăcini pătrate ale lui 2, ceea ce este un fel de lucru algebric, și anume nu pot rezolva ecuația x pătrat minus 2 este egal cu 0 în numerele raționale. Iar faptul că lipsește, că ai acest tip de defect algebric se manifestă prin faptul că Q îi lipsesc și lucruri în ceea ce privește o comandă. Deci Q, pe scurt, eu spun că are găuri și R nu. Adică, aceasta este probabil cea mai simplă afirmație pe care o poți face despre R. Și poate că ai auzit în calcul de liceu și auziți repetate acum, dar pe scurt, vreau să spun, Q are găuri și R nu. Dar asta înseamnă ceva foarte specific că R are cea mai mică proprietate superioară și Q nu. Bine, așa că permiteți-mi să vorbesc despre ce sunt câmpurile ordonate. Deci, mai întâi, trebuie să definesc ce este un câmp. Deci un set F este un câmp dacă are două operații-- plus-- și voi pune un punct aici la mijloc-- practic, astfel încât să aveți o listă de proprietăți care sunt valabile în ceea ce privește aceste operații . Primul este cu privire la... deci acesta este un plus, acesta este ori. Aceasta este adunarea, înmulțirea. Deci prima condiție este ca mulțimea să fie închisă în ceea ce privește luarea de sume. Deci, dacă x y este în F, atunci x plus y este în F. Această operație de adunări ar trebui să fie comutativă. Comutativitate, sper că așa se scrie. Aceasta înseamnă că pentru toate x y din F, x plus y este egal cu y plus x. Asociativitatea, deci aceasta este o condiție ca pentru toate x, y, z din F, dacă adun x și y și apoi adaug , aceasta este egală cu adăugarea x la suma lui y și z. Al patrulea este că avem ceea ce se numește un element de identitate, un element de identitate aditiv. Există un element pe care îl voi eticheta 0 în mulțimea F astfel încât pentru tot x din F, 0 plus x este egal cu 0. Și avem, de asemenea, inverse aditive, și anume pentru tot x din F există un element pe care îl numesc -- pe care le numesc minus x în F astfel încât x plus minus x este egal cu 0. Deci acestea sunt condițiile de adunare care ar trebui îndeplinite pentru un câmp. Deci este vorba despre adaos. Deci condițiile de înmulțire sunt similare. Și anume, trebuie să fie închis în ceea ce privește înmulțirea. Deci, dacă x y este în F, atunci de x ori y este în F. Înmulțirea ar trebui să fie, de asemenea, comutativă. Așa că voi prescurta acel comutativ ca comm. Pentru toate x y din F, x ori y este egal cu y ori x Avem și asociativitate. Să nu o scurtăm cu asta. Pentru toate x, y, z din F, dacă înmulțesc x ori y și apoi îl înmulțesc cu z, este același lucru cu a lua x și a-l înmulți cu y ori z. A patra proprietate este existența identității multiplicative. Există un element pe care îl etichetez ca 1 în mulțimea F astfel încât pentru tot x din F, de 1 ori x este egal cu x. Și apoi am și inverse multiplicative pentru elemente diferite de zero. Pentru toți x din F, luați 0-- deci pentru tot ce este în câmp care nu este zero-- există un element pe care îl numesc x la minus 1 în F astfel încât x ori cu minus 1 să fie egal cu 1. Acum , acestea sunt afirmații despre cele două operațiuni. Există o ultimă presupunere în definiție care leagă cele două. Și aceasta este legea distributivă, și anume că pentru toate x, y, z din F, dacă iau x plus y ori z, acesta este x ori z plus y ori z. Deci toate aceste condiții-- deci un câmp este un set cu două operații, plus și punct, adică înmulțire. Și aceste două operațiuni trebuie să îndeplinească toate aceste condiții pentru ca setul meu să fie numit câmp. Deci cel mai clar exemplu sunt, desigur, numerele raționale cu plus și minus obișnuite, mă refer la plus și înmulțire definite așa cum ați învățat în copilărie. Acum, ce este un non-exemplu? Numerele întregi. Deci numerele întregi vin cu plus și înmulțire. Totuși, nu satisface existența inverselor, a inverselor multiplicative în 5, dar satisface orice altceva. Și de obicei, s- ar numi z ceea ce se numește un inel comutativ, comutativ, deoarece înmulțirea este, de asemenea, comutativă. Dar un inel în general nu trebuie neapărat să satisfacă înmulțirea. Fiind comutativ, de exemplu, mulțimea de matrice 2 cu 2 formează un inel. Care este un exemplu de altul? Care este un alt exemplu de domeniu? Ei bine, avem-- poate ar fi trebuit să-l dau pe acesta mai întâi-- Z2, care este cel mai simplu câmp care există. Este doar elementul doi-- este doar un set de două elemente, 0 și 1, unde trebuie să definesc ce este 1 plus 1 , 1 plus 1 definit ca fiind 0. Și 1 plus 1 este 0. Și da, asta este aceasta. Adică, 0 ori 0 ar fi 0. 0 ori 1 ar fi 0. 0 plus 0 ar fi 0. Și asta vă oferă toate regulile pe care trebuie să le cunoașteți pentru a putea defini înmulțirea și adunarea pe acest set de aceste două elemente. Acesta este un câmp deoarece care este inversul lui 1? Ei bine, este doar 1. Și puteți verifica că dacă definesc adunarea prin această regulă împreună cu celelalte reguli, care-- și împreună cu-- că aceste definiții plus și înmulțire în acest fel satisfac toate condițiile de a fi un câmp. Un exemplu mai netrivial ar fi, să zicem, Z3. Acesta este un set 0, 1, 2. Numai acum, aritmetica, așa că nu am folosit un cuvânt atât de elegant aici. Dar aritmetica se face aici cu modul 3. Aici, a fost modul 2, adică dacă vreau să adaug două elemente, le adaug și apoi iau restul acelei sume după ce împart la 3. Deci aici, adăugarea este definită mod 3. Deci, dacă ceva este un multiplu de 3, apoi îl echivalez cu 0. Deci, de exemplu, 1 plus 2, care îmi dă 3, este un multiplu de 3. Acesta este definit a fi 0. De 2 ori 2, care este egal cu 4, care este egal cu 3 plus 1, multipli din 3 sunt 0. Deci asta îmi dă 1. În special, acest lucru îmi spune că în acest domeniu, de 2 ori 2 este egal cu 1. Deci inversul multiplicativ al lui 2 este dat de la sine, 2, bine? Și a ori b este egal, să spunem, d mod 3, bine? OK, deci acesta este un alt exemplu de câmp. De fapt, dacă luați mod p unde p este prim, obțineți un alt câmp. Obțineți un câmp finit. Deci acestea sunt exemple de ceea ce se numesc câmpuri finite pentru că exact asta-- sunt câmpuri și au un număr finit de elemente. Acum, OK, doar pe baza acestor ipoteze pe care presupuneți că câmpul dvs. trebuie să le satisfacă... Adică, pentru ca acesta să fie un câmp, puteți demonstra toate afirmațiile de algebră simple pe care le-ați cunoscut vreodată pur și simplu din aceste axiome de câmpuri. Așa că, de exemplu, permiteți- mi să vă dau cel mai stupid exemplu de afirmație pe care o puteți demonstra folosind aceste elemente -- Adică, aceste axiome. Puteți demonstra afirmația că pentru toate x din F-- deci F este un câmp aici. Deci F va fi -- dacă x este un câmp, atunci pentru tot x din F, de 0 ori x este 0. Tot ce știm despre 0 este că, atunci când îl adăugați la x, obțineți x înapoi. De fapt, asta ar fi trebuit să fie... da, da, este greșit. Acesta ar fi trebuit să fie x. Lasă-mă să mă asigur că nu există alte erori. Nu cred că există. Acesta este un alt pericol legat de a nu putea ține prelegeri în persoană, este că erorile de pe tablă persistă. OK, așa că puteți demonstra această teoremă de succes folosind aceste axiome. Deci haideți să facem o dovadă rapidă în acest sens. Dacă x este în F, atunci 0 este egal cu 0 ori x plus inversul aditiv de 0 ori x, deoarece aceasta este doar definiția inversului aditiv. Fiecare element are un invers aditiv. Și acum, 0 este egal cu 0 plus 0 ori x plus, din nou, inversul aditiv al lui x. Și acum, folosesc legea distributivă. Aceasta este de 0 ori x plus 0 ori x plus inversul aditiv de 0 ori x. Și asta se anulează cu asta. Și primesc de 0 ori x. Așa că am început cu 0 și am ajuns la că este egal cu 0 ori x, bine? Și puteți demonstra și alte afirmații algebrice simple folosind aceste axiome. Cred că o voi pune în sarcină. Și voi spune doar că puteți demonstra și lucruri precum: dacă vreau să mă uit la minus x, atunci acesta este egal cu inversul aditiv de 1 ori x. Adică, asta e ca... nu este foarte interesant la început. Există în esență câteva teoreme foarte profunde în algebră pe care le înveți într-un alt moment al vieții tale, dar care nu vor fi în această clasă. De fapt, astăzi este probabil tot ce vom vorbi despre câmpuri, care sunt lucruri algebrice. Lucrurile algebrice sunt, pentru mine, drăguțe pentru că cumva te ocupi mereu de egalitate. Deci, cât de greu ar putea fi să demonstrezi că două lucruri sunt egale unul cu celălalt? Cu toate acestea, analiza se ocupă mult de inegalitatea, care este cumva mult mai subtilă. Dar asta e doar puțin părtinitor. OK, deci acesta este un câmp. Un câmp este doar, din nou, un set care are aceste două operații. Ce este un câmp ordonat? Deci, este un câmp, în primul rând, și care este, de asemenea, un set ordonat-- dar nu poate doar-- nu puteți avea două structuri diferite pe câmpul dvs. și ele să nu interacționeze pentru ca asta să fie interesant-- așa că structura algebrică și ordinea pe câmp coabitează frumos, ceea ce înseamnă că aveți două condiții pentru toate x, y, z din F. Dacă x este mai mic decât y, atunci x plus z este mai mic decât y plus z. Și încă o condiție -- x este pozitiv. Sau dacă x este mai mare decât 0 și y este mai mare decât 0, atunci de x ori y este mai mare decât 0. Și oricum folosesc terminologia asta chiar acum. Dar pentru un câmp ordonat F, dacă un element este mai mare decât 0, atunci îl numim pozitiv. Sau dacă este mai mare sau egal cu 0, spunem că x este pozitiv și, respectiv, nenegativ. Deci nenegativ dacă x este mai mare sau egal cu 0, x pozitiv este mai mare decât 0 și apoi la fel cu negativ și nepozitiv. Și astfel cel mai de bază exemplu, din nou, este Q. Q este un câmp ordonat cu ordinea obișnuită și cu structura algebrică obișnuită pe Q. Ceea ce nu este un exemplu este unul dintre cele două câmpuri pe care le-am notat cu doar un minut în urmă. Deci, un non-exemplu este acest câmp aici, 0, 1. Deci, dacă pun o ordine pe acesta, fie 0 este mai mic decât 1, fie 1 este mai mic decât 0. Așa că nu uitați, ordinea nu trebuie să corespundă neapărat faptului că 0 te conectezi la 0 în numerele întregi și acel 1 te conectezi la 1 în numerele întregi. Adică, acestea sunt doar două elemente ale unui set. Și o comandă ar spune fie că acel element este mai mic decât acel element, fie că acel element este mai mic decât acel element. Deci, să luăm în considerare oricare dintre cazuri și să presupunem că avem această ordine pe acest set și să arătăm că nu transformă acest set într-un câmp ordonat. Deci, atunci fie 0 este mai mic decât 1, fie 1 este mai mic decât 0. Deci, să facem primul caz, 0 este mai mic decât 1. Dacă 0 este mai mic decât 1, atunci ce se întâmplă dacă adaug 1 pe fiecare parte? Deci 1 plus 0 mi-ar da 1. 1 plus unu ar fi 0. Și, prin urmare, nu este atât de mai mic decât 1 plus 1. Deci nu satisface prima proprietate. Deci, dacă am o comandă pe Z2, două posibilități - fie 0 este mai mic decât 1, fie 1 este mai mic decât 0. Dacă 0 este mai mic decât 1, atunci, după definiția adunării pe această mulțime, dacă adaug 1 la 0 , primesc 1. Dacă adun 1 la 1, primesc 0. Și, prin urmare, dacă aș adăuga 1 la ambele părți, nu aș obține o inegalitate adevărată, deoarece presupun că 0 este mai mic decât 1. Deci această condiție , numărul 1, nu este valabil pentru această comandă. Și nici nu este valabil pentru a alege că 1 este mai mic decât 0. După aceeași logică, atunci 1-- deci 1 plus 1 nu este mai mic decât-- deci acest set nu este-- acest câmp nu poate fi transformat într-un câmp ordonat. Și, în esență, același lucru pe care l-am făcut aici arată că nu puteți avea niciun câmp ordonat finit. Deci, în general, nu există câmpuri ordonate finite. Acum, la fel cum am dovedit afirmația blockbuster că de 0 ori orice în câmp este egal cu 0, putem, de asemenea, să dovedim toate manipulările inegalităților pe care le folosiți fără teamă pur și simplu din, din nou, aceste axiome despre un câmp ordonat fiind un câmp și, de asemenea, satisfacerea acestor două inegalități-- Adică, aceste două condiții aici pentru ca acesta să fie un câmp ordonat. Deci, de exemplu, dacă F este un câmp ordonat, atunci dacă x este un element al lui f și x este pozitiv, aceasta înseamnă că inversul său aditiv este negativ și invers. Dacă x este mai mic decât 0, atunci minus x este pozitiv. Așa că știu că este tentant să mă gândesc, ei bine, da, doar înmulțiți această inegalitate cu minus 1 pentru a obține această inegalitate. Dar amintiți-vă, aceasta este într-adevăr o afirmație despre inversul aditiv al lui x. Deci dovada nu este grea. Dacă x este pozitiv, atunci... ei bine, l-aș putea scrie așa. Pot scrie ca 0 este mai mic decât x. Apoi, prin proprietatea numărul 1, pot adăuga orice la ambele părți și pot obține aceeași inegalitate - și păstrează inegalitatea. Prin urmare, minus x plus 0 este mai mic decât inversul aditiv al lui x plus x. Acum, prin faptul că 0 este identitatea aditivă, a4, partea stângă, va fi minus x. Și după definiția inversului aditiv al lui x, partea dreaptă va fi 0. Și asta este tot. Deci ceea ce se întâmplă aici este că acesta este prin a4 și a5. Și această declarație anterioară este de 1 în această definiție înainte. Și nu voi dovedi nici această afirmație. Este practic aceeași dovadă. Adaug minus x pe ambele părți, ceea ce pot face cu 1. Și apoi folosesc a4 și a5 pentru a concluziona că x este -- că minus x este pozitiv. Permiteți-mi să spun doar Vezi Propoziția 1.1.8 din manual pentru celălalt - să spunem pentru celelalte dovezi ale manipulărilor standard ale inegalității . Deci Q este un câmp ordonat. Și așa cum am spus mai înainte despre R, R va, de asemenea, R este, de asemenea, un câmp ordonat. Dar are o proprietate minimă de limita superioară. Deci, poate vă întrebați, ce zici de un fel de proprietate cu cea mai mare limită inferioară? Cea mai mică proprietate superioară este despre sups. Putem face o proprietate similară despre infs? Există mulțimi care au cea mai mică proprietate de limită superioară care nu au, să zicem, o mare proprietate inferioară, adică există ceva care are cea mai mare proprietate inferioară dacă fiecare mulțime nevidă care este mărginită mai jos are un infimum? La asta mă refer, deși nu l-am notat. OK, la ce duce asta? În setarea câmpurilor ordonate, nu există într-adevăr nicio diferență între o proprietate de limita superioară și o proprietate de limita inferioară cea mai mare. Dacă am un câmp ordonat care satisface cea mai mică proprietate a limitei superioare, atunci el satisface și cea mai mare proprietate a limitei inferioare, pe care o voi afirma ca o teoremă și apoi vom demonstra. Fie F un câmp ordonat cu cea mai mică proprietate superioară. Acum, am să demonstrez că are, dacă doriți, cea mai mare proprietate inferioară. Atunci, dacă A este o submulțime a lui F, care este nevid și mărginit mai jos, atunci inf A există în F, adică A are un infim în mulțimea F. OK, deci dovada acestui lucru este, în esență, într-un anumit sens, am făcut ceva asemănător când am demonstrat că o mulțime dată de minus 1, minus 2, minus 3 are cea mai mare proprietate superioară sau cea mai mică proprietate superioară luând minusul său și apoi folosind, într-un anumit sens, cea mai mare limită inferioară proprietatea numerelor naturale, acest principiu de bine ordonare, pentru a concluziona că acea mulțime are cea mai mică proprietate superioară. Și asta vom face aici, este să luăm un set care este mărginit dedesubt, luați-i minusul, dacă doriți, care este acum mărginit deasupra, luați supa acelui set, ceea ce putem face , și arătați că acesta este infimumul acelui set. Așa că lasă-mă să scriu aici. Aceasta nu ar trebui să facă parte din dovadă, ci o anumită intuiție. Și o voi desena ca și cum F ar fi o dreaptă numerică reală, ceea ce se datorează faptului că o parte a afirmației despre numerele reale este că este câmpul ordonat unic cu cea mai mică proprietate superioară. Dar nu-ți face griji pentru asta deocamdată. Să ne imaginăm că avem un set A. Și, deocamdată, îl voi desena ca și cum ar fi un interval, care este mărginit mai jos. Deci se oprește după un moment dat. Și nu e nimic acolo. Deci este mărginit mai jos, atunci dacă mă uit la minus A-- deci aici, desenez 0. Dacă mă uit la minus A, care este mulțimea de elemente-- mulțimea inverselor aditive ale lui A, acum am o mulțime care este mărginită mai sus. Deci, dacă aceasta este o limită inferioară pentru A, atunci minus B va fi o limită superioară pentru minus A. Și, prin urmare, minus A are o limită superioară minimă care, în această imagine pe care o desenez, arată ca x. Și atunci scopul meu este să arăt că... deci aici, să revenim la B. Iată A. Și iată acum minus x pentru a arăta că minus x este o infinită a lui A. Deci, aceasta este intuiția de bază despre motivul pentru care este valabil acest lucru. Folosim proprietatea câmpului ordonat pentru a putea lua minusuri. Aici intervine proprietatea câmpului. Și minusurile -- deși nu am dovedit acest lucru, este unul dintre acestea -- în esență, am demonstrat asta, că dacă am ceva pozitiv și îl înmulțesc cu minus 1 folosind și asta, atunci asta inversează inegalitatea. Dar, din nou, acestea sunt scurte - cu excepția cazului în care vă spun să dovediți o anumită inegalitate, o declarație simplă de inegalitate ca de acest tip, doar folosiți în mod liber faptele inegalității pe care le amintiți de la liceu. Și să știți că acestea persistă pentru câmpurile ordonate cu cele mai puține -- sau câmpuri ordonate în general. OK, deci să transformăm această intuiție într-o dovadă. Să presupunem că A-- deci nu o spun aici, dar F este un câmp ordonat cu cea mai mică proprietate superioară. Voi merge înainte și voi spune. F este un câmp ordonat cu cea mai mică proprietate superioară. Fie A submulțimea lui F, A nu este egală cu o mulțime goală, A mărginită mai jos. Atunci asta înseamnă că există un element b în F astfel încât b este mai mic sau egal cu a astfel încât, pentru tot a din A cu majuscule, b este mai mic sau egal cu a. Adică, dovada este în esență acolo și trebuie doar să o transformi în engleză pentru că suntem în Massachusetts. Dacă ai fi într-o altă țară, te- ai transforma în limba care se vorbește acolo. Trebuie doar să- l transformi în cuvânt scris. Deci, există o limită inferioară pentru A. Permiteți-mi doar să notez un alt set numit minus -- pe care îl voi eticheta minus A. Acesta este mulțimea tuturor elementelor din F sub forma minus inversele aditive ale lui A, așa cum a este în capital A. Deci este inversul aditiv al tuturor elementelor din capitalul A. Atunci faptul că am pentru tot a din A b este mai mic sau egal cu a implică pentru tot a din A, minus a este mai mic sau egal cu minus b deoarece înmulțirea prin minus 1 inversează inegalitatea. Asta implică -- deci minus b este mai mare sau egal cu fiecare element din minus A Deci, înseamnă că b este o limită superioară pentru mulțimea minus A. Deci minus A este o submulțime nevidă a lui F, care este mărginită mai sus. Prin urmare, are un supremum. Astfel, există un x în F astfel încât x este egal cu sup al mulțimii minus A. Și asta pentru că presupunem cea mai mică proprietate superioară, că fiecare mulțime nevidă care este mărginită mai sus are un supremum. Voi arăta acestui tip x este, de fapt, infimumul mulțimii A, sau minus x este infimumul lui A. Deci faptul că x este supremul lui minus A implică faptul că pentru toate a în A cu majuscule, minus a este mai mic sau egal cu x deoarece se presupune că x este cea mai mică limită superioară. Deci este, de fapt, o limită superioară. Deci, asta înseamnă că pentru tot a din A-- din nou, doar răsturnând inegalitățile-- minus x este mai mic sau egal cu A, ceea ce implică minus x este o limită inferioară pentru capital A. Acum trebuie să arătăm că minus x este cea mai mare limită inferioară a lui A. Dacă iau orice altă limită inferioară a lui A, atunci minus x este mai mare sau egal cu acea limită inferioară. Acum arată că dacă - să-i spunem altceva -- y este limita inferioară pentru A, atunci y este mai mic sau egal cu minus x. Și apoi asta încheie demonstrația care arată că minus x este, de fapt, infimul lui A. Și, prin urmare, A are un infinit. De fapt, am identificat ce este infinitul. Este sup de minus A. OK, deci să fie y o limită inferioară pentru A. Atunci exact cum am arătat pentru această limită inferioară unică pe care o aveam pentru A, puteți verifica acest lucru din nou. Doar parcurgeți argumentul și înlocuiți b cu y. Atunci minus y este o limită superioară-- priviți imaginea, înlocuiți b cu y-- pentru minus A, ceea ce înseamnă că x este supremul lui A-- deci, deoarece x este supremul minus A, este cel mai mic superior legat. Deci trebuie să fie mai mic sau egal cu minus y. Și întoarcerea inegalității din nou înseamnă că y este mai mic sau egal cu minus x, ceea ce am vrut să demonstrăm. Astfel, inf-ul lui A există. Și, de fapt, am arătat că este egală cu sup lui minus A. Deci, într-un câmp ordonat cu cea mai mică proprietate a limitei superioare, nu numai că fiecare mulțime care este mărginită deasupra are un supremum, fiecare mulțime care este mărginită mai jos. are un infim. Deci, acum, trecem mai departe și nu vorbim despre generalități, ci ne vom concentra doar pe R, mulțimea numerelor reale. Și voi spune, din nou, această teoremă despre existența lui R și proprietățile sale, așa că doar pentru a aduce toate acestea înapoi la scopul nostru de a descrie exact ce este R sau ce îl separă de Q este că... există un câmp unic ordonat cu cea mai mică proprietate superioară care conține Q. Și acest câmp îl notăm cu R. Așa că Q face -- doar pentru a aduce acest lucru înapoi, așa că am început în timpurile străvechi cu numerele naturale. Am trecut la numerele întregi pentru a putea lua inverse aditive, deși ei nu le-au numit așa. Și am vrut 0. Și apoi ne-am mutat la numerele raționale pentru că nu aveam modalități de a rezolva ecuația 2x plus 1 este egal cu 0. Și așa am trecut de la Q la R în esență pentru că nu putem rezolva ecuația x pătrat minus 2 este egal cu 0. Și această incapacitate de a rezolva x pătrat minus 2 este egal cu 0, deși un fapt algebric, înseamnă de fapt că Q este incomplet ca mulțime ordonată. Nu are această proprietate limită superioară. Și ceea ce caracterizează numerele reale este că este un câmp ordonat care conține Q. Și este cel unic cu cea mai mică proprietate superioară. Acest unic ar trebui să fie într-un fel între ghilimele, deoarece unic până la ceea ce se numește izomorfism. Izomorfismul este un mod elegant de a spune ceea ce voi numiți mere pe care eu îl numesc manzanas, în esență. OK, deci asta este R. Este un câmp ordonat unic cu cea mai mică proprietate superioară care conține Q. Deci nu voi demonstra această teoremă. În felul în care demonstrați de obicei această teoremă, construiți R fie ca ceea ce se numește tăieturi Dedekind, fie ca clase de echivalență ale secvențelor Cauchy. Vom vorbi despre secvențele Cauchy în curând. Dar sunt mai interesat să demonstrez proprietățile despre R și apoi să trec la funcții pe R, limitele, care este ceea ce este analiza, este studiul limitelor, mai degrabă decât să mă blochez în fapte cu adevărat non-analitice, fapte algebrice care încearcă pentru a construi acest R, câmpul real. Așa că vom lua asta ca pe un dat. Și acum, vom merge de aici și vom începe să dovedim fapte despre numerele reale. Acolo unde Q a eșuat, R reușește. Așadar, primul fapt este că există un element unic în R, astfel încât r este pozitiv și r pătrat este egal cu 2. Așa că am văzut înainte că dacă îl înlocuiesc cu Q, ta număr rațional, este fals. Nu există un număr rațional al cărui pătrat este 2. Dar în numerele reale există. Și chiar acum, poate că ești tentat să spui doar, da, ai setat R egal cu rădăcina pătrată a lui 2. Ei bine, ce este rădăcina pătrată a lui 2? Adică, cum ai venit cu tipul ăla? Deci trebuie să venim cu un element din R al cărui pătrat este 2. Acum, practic, am făcut asta acum un minut în numerele raționale. Și cam aceeași dovadă funcționează aici. Deci, să fie E mulțimea tuturor x-urilor din R astfel încât x este pozitiv și x pătrat este mai mic decât 2. Deci, mai devreme în prelegere și la sfârșitul ultimei prelegeri, am avut q aici, nu? Ei bine, aceeași dovadă, practic Și ceea ce am făcut mai devreme-- atunci E este mărginit mai sus de 2. Deci R, care I-- deci sup E tilde există în R. Deci am această mulțime. Este mărginit deasupra de 2. Adică, am făcut dovada mai devreme. Deci, după cea mai mică proprietate superioară a lui R, supremul există. Numiți acest element mic r. Atunci aceeași dovadă... Nu o voi face din nou pentru că am făcut-o deja. Și tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți q cu r-- arată că r este mai mare sau egal cu 1. De fapt, este mai mare decât 1. Și r pătrat este egal cu 2. Deci există un element al lui r care este pozitiv și al cărui pătratul este 2. Acum, voi demonstra că este unic. Deci acum, vreau să demonstrez că r este unic. Asta înseamnă că dacă iau -- dacă există un alt element în capitalul R care satisface aceste două inegalități, atunci trebuie să fie egal cu r-ul meu original. Deci, să presupunem că r tilde este în R. r tilde este mai mare decât 0. Și r tilde pătrat este egal cu 2. Atunci, deoarece pătratul lor este același număr, și anume 2, 0 este egal cu r tilde minus r pătrat, care este egal cu r tilde plus r , r tilde minus r. Acum, ambele tilde r și r sunt pozitive. Deci r plus r tilde este pozitiv. În special, este diferit de zero. Deci, deoarece este un câmp, pot împărți sau înmulți ambele părți cu inversul aditiv al acestui lucru și să ajung la 0 este egal cu r tilde minus r sau r este egal cu r tilde. Deci, există un singur element în numerele reale care este pozitiv și al cărui pătrat este 2. Și îl voi pune în sarcină, și anume că-- deci asta arată ce? Rădăcina pătrată a lui 2 există. Dar apoi puteți arăta că o rădăcină cubă de 2 există în R. Și nu vom demonstra acest lucru. Dar puteți arăta, în general, că dacă x este în R, atunci x la 1 peste n-- adică x-- este pozitiv pentru toate numerele naturale. Deci, acolo unde Q a eșuat, R reușește. Și face asta-- sau faptul că reușește nu provine dintr-o proprietate algebrică a lui R. Vine din această proprietate despre ordinea ei. Bine, ne oprim aici.