[SCRÂTÂND] [FOȘIT] [CLIC] Deci, să continuăm cu teoremele cu nume mari, sau cu teoremele cu nume mari, sau cu teoremele mari cu nume, care ultima era o teoremă a mărginirii uniforme , care a rezultat din teorema categoriei lui Baire, care mă lasă să-mi amintesc din nou pentru tine. Dacă M este un spațiu metric complet, C k este o colecție de mulțimi închise și M este egal cu uniunea acestor mulțimi închise, atunci cel puțin una dintre aceste mulțimi închise are un punct interior. Sau alt mod de a spune, cel puțin unul dintre aceste C k conține o minge deschisă. Deci, acum, ceea ce vom demonstra ca o consecință a teoremei categoriei Baire este așa-numita „ teoremă de cartografiere deschisă”, care spune că operatorii liniari liniari, mărginiți, trimit mulțimi deschise în mulțimi deschise. Este un fel de versiunea inversă a continuității. Deci, dacă B1, B2 sunt spații Banach și T este un operator liniar mărginit de la B1 la B2, care este surjectiv, adică pe, atunci T este ceea ce se numește o „hartă deschisă”. Sau ați spune doar „T este deschis”, ceea ce înseamnă pentru toate u deschise, pentru fiecare submulțime deschisă a lui B1, T de u este deschis în B2. Deci T duce seturi deschise la seturi deschise. Deci afirmația teoremei - dacă aveți un operator liniar mărginit între două spații Banach care este surjectiv, atunci T este o hartă deschisă. Deci, mai întâi ne vom specializa într-un tip de set deschis. Și vom demonstra o versiune specializată a ceea ce vrem să dovedim. Și apoi vom arăta folosind liniaritatea lui T, împreună cu scalarea și translația, că aceasta, atunci, implică că mulțimile deschise sunt mapate la mulțimi deschise. Deci, mai întâi, ceea ce vom demonstra este că-- permiteți-mi să-mi amintesc că acesta este setul tuturor B din B1 astfel încât-- deci aceasta este bila deschisă în B1-- atunci imaginea acestei bile deschise conține o minge deschisă. minge. Deci, acum, imaginea este în B2, o bilă deschisă în B2 centrată la 0. Deci T al bilei deschise ar putea fi un set ciudat și știm că hărțile liniare iau de la 0 la 0. Ceea ce spunem este că există există o minge deschisă conținută în imagine. Acum, așa cum am spus, odată ce dovedim acest lucru, vom folosi liniaritatea lui T pentru a putea muta aceste bile, deplasa și scala aceste bile astfel încât să dovedim rezultatul pentru fiecare u deschis. Dar acesta este inima. Deci, deoarece T este surjectiv, totul din B2 este mapat pe. Deci B2 este egal cu uniunea peste N număr natural al T din închiderea B. Deci, totul din B2 este mapat de ceva din B1. Totul în B1 se află într-o minge centrată la 0 în B1. Doar luați N mai mare decât norma de tip fix, iar apoi imaginea sa va fi conținută în aceasta. Și luăm închidere doar pentru a putea scrie B2 ca o uniune de mulțimi închise, astfel încât să putem aplica acum teorema lui Baire. Deci, aceasta implică de către Baire că există un număr natural n0 astfel încât imaginea acestei mingi conține un punct interior sau conține o minge deschisă. Acum, iată chestia-- T este liniar, așa că imaginea prin T a bilei cu raza n0 centrată la 0 este aceeași cu-- deci ceea ce spun este că folosesc o mică notație la îndemână pe care am nu am introdus încă, dar dacă am o submulțime a unui spațiu vectorial și am un număr în afara acestuia, ceea ce vreau să spun prin aceasta este mulțimea obținută luând această mulțime și înmulțind-o pe toate cu scalar, ceea ce este semnificativ pentru spațiu vectorial. Acum, prin scalare, puteți verifica dacă acest lucru de sub închidere este același cu de n0 ori T din imaginea bilei deschise centrată la 1. Și apoi închiderea este și în ceea ce privește scalarea. Deci, N0 ori închiderea imaginii lui B 0, 1 conține o minge deschisă, așa că permiteți-mi să desenez, din nou, o imagine pentru a vă convinge. Așa că acum am-- să-l desenăm așa-- acesta este n0. Acum, dacă iau acest set și acum îl înmulțesc cu 1 peste n0, obțin tipul redimensionat, care este, pentru a folosi un cuvânt fantezist, homeomorf de n0 ori imaginea mingii deschise. Deci aceasta este doar o imagine pentru a susține ceea ce urmează să spun în continuare, pe care o puteți verifica nu doar prin imagini, ci și prin definiții, ceea ce implică faptul că T B0 conține o bilă deschisă. Deci ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că există un punct B2 și un număr r pozitiv, astfel încât bila cu raza 4r-- deci 4 doar pentru că va fi utilă mai târziu cu aritmetica, deci doar alegând r mic-- este conținută în închiderea imaginea mingii deschise cu raza 1. Deci această minge este conținută în închidere și, prin urmare, aceasta este conținută în închidere. Și, prin urmare, există un punct v1 care este egal cu T din u1, care este în T. Deci v0 este în închidere, așa că pot găsi puncte din imaginea acestei mingi aproape de ea. Deci tocmai asta scriu aici. Deci, există un v1 care este imaginea unui tip u1 în mingea deschisă, astfel încât este aproape de v0. Și cât de aproape, ca să nu încurc asta? 2r. Deci de ce am făcut aritmetica aceea? Pur și simplu pentru că, dacă mă uit la bila cu raza 2r centrată pe v1, deci v1 se află la distanța 2r la v0, deci totul aici va fi la distanța 4r la v0. Și din moment ce bila cu raza 4r este conținută aici, obțin-- deci asta este ceea ce am spus acum un minut-- aceasta este conținută în bila din imaginea bilei cu raza 1, închiderea acesteia. Așa că acum, ceea ce voi arăta este că -- aproape că am ceea ce vreau să demonstrez -- voi arăta că închiderea conține o minge deschisă. Nu este ceea ce vreau să arăt pentru că nu uitați, vreau să arăt că imaginea bilei cu raza 1 conține o bilă deschisă. Dar ceea ce sunt pe cale să arăt este că închiderea acesteia conține o minge deschisă. Acum, dacă v este mai mic decât r, atunci dacă mă uit la acest element de 1/2 ori 2v plus v1, acesta este în ce? Acesta este în 1/2-- deci 2v plus v1, 2v are o normă mai mică de 2r. Deci acest element este în minge bila centrată la v1 cu raza 2r. Deci asta este inclus în închidere. Deci, înmulțind cu 1/2, obțin că aceasta este închiderea, care, după cum am spus, folosind liniaritatea lui T și omogenitatea normei îmi spune că acest element se află în închiderea bilei din imaginea bilei. de raza 1/2. Deci asta nu este o nebunie. Acesta este un element din acesta, deci 1/2 ar trebui să fie un element de 1/2 ori acest set. Și apoi 1/2 vine până la capăt, deoarece T este liniar și norma este omogenă, deci 1/2 poate trece. Dar pe măsură ce vezi asta, gândește-te încet. Deci asta implică faptul că v, pe care îl pot scrie ca minus T din u1 peste 2. u1 aici a fost definit ca un element al bilei cu raza 1, care mi-a dat v1, care era aproape de v0. Așa că permiteți-mi să țin acest șir de inegalități-- plus 1/2 ori 2v plus v1. Acum, acesta este un element de... nu confundați ceea ce voi scrie cu notația pe care am folosit-o când vorbeam despre coeficienti. Nu asta vreau să spun aici. Adică luați acest set și adăugați acest element fix la el. Deci acest set de aici este setul tuturor elementelor din forma ceva aici plus acest element fix. Și acum din nou, prin liniaritatea lui T, această mulțime de aici este exact aceeași cu T de minus u1 peste 2 plus bila cu raza 0 centrată la 1/2, cu închiderea peste toate acestea. Și închiderea respectă tot ceea ce facem aici. Acum, u1 are rază sau are o normă mai mică de 1. Și, prin urmare, u1 peste 2 are o normă mai mică de 1/2. Totul aici are o normă mai mică de 1/2. Deci ceva cu normă mai mică de 1/2 plus ceva cu normă mai mică de 1/2 este ceva cu normă mai mică de 1. Deci, aceasta este conținută în bila cu raza 1 centrată la 0 și apoi închidere și luați imaginea lui T Deci, aici, folosesc că aceasta este conținută în bila cu raza 1. Așa că este aproape ceea ce am vrut să arătăm. Ceea ce am arătat este că bila cu raza r este conținută în închiderea bilei cu raza 1, închiderea imaginii bilei cu raza 1. Acum, din nou, prin scalarea asta, permiteți-mi doar... acum, bila cu raza r este... așa că permiteți-mi doar să notez ceea ce voi scrie. Atunci o să explic. Și, prin urmare, bila cu raza 2 până la minus n ori r, care este egală cu setul de elemente de forma 2 până la minus n ori mingea cu raza -- elementele din mingea cu raza r sunt conținute în 2 la minus n, care este egal. Deci tot ce am făcut aici a fost să spun, din nou, prin omogenitatea normei, bila cu raza r sau bila cu raza 2 la minus n ori r este aceeași cu 2 la minus n ori toate elementele bilei de raza r. Și asta este cuprins în ceea ce am demonstrat deja. Deci aceasta este conținută în mulțimea tuturor elementelor de forma 2 până la minus n ori lucrurile din această mulțime. Și din nou, prin omogenitate, 2 la minus n vine de aici și apoi de aici pentru toți n în numere naturale. Deci, lasă-mă să pun... ceea ce am dovedit este asta și asta. Așa că asta am vrut să demonstrez chiar aici, doar că vreau să pot renunța la închidere. Și acum ceea ce voi dovedi este că pot renunța la închidere dacă iau bila cu raza r peste 2. Deci acum, vom demonstra că bila cu raza r peste 2 este, de fapt, conținută în imaginea bilei unitare de către T. Acum, nu o avem imediat deoarece avem bila cu raza 1/2 r este conținută în închiderea imaginii lui T a acesteia. Nu există nimic care să nu spună că închiderea imaginii acestui lucru ar putea ajunge să fie... nu există nimic care să spună că asta trebuie să fie conținut strict în această minge. Deci haideți să arătăm asta. Fie v are normă mai mică decât r peste 2, deci este în această minge. Apoi, așa cum am demonstrat aici, v este în imaginea de prin T a bilei cu raza 1/2. Și, prin urmare, există un b1 în bila de 0, rază 1/2, astfel încât norma lui v minus T a lui b1 este mai mică decât, să spunem, r peste 4. Și acum vom repeta acest lucru. Deci, acum, gândiți-vă la acest element ca fiind situat în bila cu raza r peste 4. Și, prin urmare, acum iau n este 2 aici. Astfel, v minus T b1 se află în închiderea imaginii mingii cu raza de 1/4, ceea ce implică că există un v2 în bila cu raza 4 astfel încât v minus T b1 minus T b2 norma este mai mică de jumătate din ce aveam înainte, deci r peste 8. Dar acum vezi jocul pe care îl jucăm. Aceasta este acum în bila cu raza r peste 8, ceea ce înseamnă că aceasta este conținută în închiderea imaginii mingii centrate la 0 din raza 1 peste 8. Și, prin urmare, pot găsi un b3 în mingea cu raza 1. peste 8, astfel încât v minus T b1 minus T b2 minus T b3 este mai mic decât r peste 16. Și apoi, continuăm doar inductiv. Așa că am spus că voi face argumentul de inducție adecvat o dată și l-am făcut ultima dată. Deci nu o voi mai face niciodată. Continuând, am obținut o succesiune b k de elemente din B1 astfel încât norma lui b k este mai mică de 2 față de minus k. Și așa este asta. Și dacă mă uit la v minus suma de la k este egală cu 1 la n T din b k, aceasta este mai mică de 2 la minus n minus 1 ori r. Lasă-mă să mă asigur că... da. Acum, am folosit faptul că B2 este complet. Nu am folosit încă faptul că B1 este complet. Deci ar trebui să-l folosim la un moment dat. O vom folosi acum arătând că v trebuie să fie, de fapt, în interiorul imaginii razei bilei cu raza 1. Deci aceste b k formează o secvență Cauchy -- sau nu ar trebui să spun că formează o secvență Cauchy, dar suma lor formează o secvență Cauchy. Lasă-mă să scriu așa. Seria este absolut însumabilă deoarece norma este mărginită de 2 la minus k, care este însumabil. Și deoarece B1 este un spațiu Banach, seria trebuie să fie însumabilă, ceea ce implică că există un B și B1 astfel încât B este egal cu suma k este egală cu 1 la infinitul lui b k. Mai mult decât atât, norma lui b, care este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul normei lui n k este egală cu 1 b k, aceasta este, prin inegalitatea triunghiului, mai mică sau egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de -- este egal cu 1 la n b k, care este mai mic decât -- ei bine, este egal cu -- suma de la k este egală cu 1 la infinitul normei lui b k. Și fiecare dintre acestea este mai mică de 2 la minus k. Deci k este egal cu 1 până la infinit de 2 cu minus k. Și acea sumă este doar 1. Deci norma lui b este mai mică decât 1 folosind prima proprietate a acestei secvențe. A doua proprietate a acestei secvențe arată apoi că v este egal cu imaginea lui b de către T. În plus, deoarece T este continuu, T b, care este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui t aplicat lui k este egal cu 1 la n b k , care este egală, prin liniaritate, limită pe măsură ce n merge la infinit de sumă de la k este egal cu 1 la n T din b k. Prin a doua proprietate, limita pe măsură ce n merge la infinitul lui T a lui b sub k este egală cu v. Și, prin urmare, B este în imaginea bilei cu raza 1 de către T. Și astfel, bila cu raza r peste 2 este conținut în imaginea mingii cu raza 1. Deci, acesta este cazul special pe care am vrut să-l demonstrez în ceea ce privește seturile deschise. Deci ceea ce am arătat este că, dacă doriți, punctul interior 0 rămâne un punct interior. Acum să arătăm că asta implică afirmația completă a ceea ce vreau să demonstrez pentru teorema de mapare deschisă, că fiecare mulțime deschisă este mapată la o mulțime deschisă în B2. Vom folosi doar traducerea. Deci, la scalarea din nou, să presupunem că u submulțimea lui B1 este deschisă și B2 este imaginea a ceva din u, deci aceasta este în T din u. Apoi există un epsilon pozitiv astfel încât B1-- deci rețineți, u este deschis-- deci B1 plus toate elementele bilei centrate la 0 de raza epsilon și aceasta, care este egală cu bila centrată la B1 de raza epsilon este conținută în tine de când era deschis. Acum, deoarece există o delta pozitivă, astfel încât bila cu raza delta să fie conținută în bila cu raza 0, 1, aceasta implică că bila cu raza - din nou, prin omogenitate, bila cu raza epsilon ori delta este conținută în imaginea mingii cu raza epsilon, din nou, deoarece T este liniar și norma este omogenă. Așa că să ne întoarcem la cum l-am scris. Deci b2 plus-- deci acesta este epsilon ori delta. Mi-am luat delta și epsilonii înapoi. Oricum, aceasta este egală cu b2 plus epsilon ori bila cu raza delta. Deci, acesta este de fapt egal cu b2 plus bila cu raza 0 centrată la 0 din raza epsilon ori delta. Epsilonul pe care îl pot scoate. Acum, acesta este conținut în b2 plus epsilon ori bila cu raza 0, 1. Da, nu știu de ce am notat asta. Nu cred că aveam nevoie. Oricum, OK. Și aceasta este egală cu T din b1 plus epsilon T din B 0, 1. Și din nou, prin liniaritate și omogenitate, aceasta este egală cu imaginea lui b1 plus bila epsilon cu raza 1, despre care pot spune că este b1 plus bila cu rază. epsilon. Acum, acest epsilon, amintiți-vă, a fost ales astfel încât această minge să fie conținută în voi. Și, prin urmare, aceasta este conținută în u și imaginea este, prin urmare, conținută în imaginea lui u. Da, deci nu sunt sigur de ce m-am hotărât să scriu asta. Acesta este ceea ce m-a aruncat în buclă. Dar oricum, deci acesta este punctul - că putem doar să luăm cazul special și să schimbăm lucrurile pentru a obține declarația generală pentru seturile deschise care sunt mapate la seturi deschise. Deci, din teorema de cartografiere deschisă-- nu știu, pare aproape topologică-- dar obținem ceea ce se numește teorema grafului închis, care vă oferă condiții suficiente pentru a putea verifica dacă ceva este continuu. Este un pic mai convenabil. Și vă voi explica de ce într-o secundă. Deci aceasta este teorema grafului închis. Dar, mai întâi, trebuie să enunț doar o teoremă simplă înainte de a afirma de fapt teorema grafului închis. Dacă B1 și B2 sunt spații Banach, atunci produsul lor cartezian, pe care îl pot da o structură naturală a spațiului vectorial din B1 și B2, doar suma unei perechi ordonate de elemente este doar suma intrare cu intrare. Dar pot pune și o normă pe ea provenind din aceste două, cu norm-- deci pentru o pereche ordonată b1 și b2, norma acesteia este doar definită ca fiind suma normelor din spațiile respective. Deci acesta este un spațiu normal. În plus, dacă ambele sunt spații Banach, acesta este un spațiu Banach. Deci nu este greu de demonstrat doar pe baza definiției. Nu am de gând să scriu dovada. Îți las pe tine, dovada. Din nou, nu este greu. Pur și simplu din modul în care am definit norma o secvență Cauchy în B1 încrucișarea B2, prima intrare va forma o secvență Cauchy din cauza acestei definiții a normei, iar a doua intrare a secvenței va forma o secvență Cauchy în B2. Ambele au limite. Deci, puteți demonstra că succesiunea constând din perechi ordonate are o limită. Este același mod în care puteți demonstra că R2 este complet presupunând că R1 este complet. Bine, deci acum, pot afirma teorema grafului închis, care este următoarea -- dacă B1, B2 sunt spații Banach și aveți un operator liniar de la B1 la B2 -- deci tot ce știți este că este liniar, nu știți că este mărginit - atunci există o condiție echivalentă pe care o puteți verifica pentru a vedea dacă este, de fapt, un operator liniar mărginit. Atunci T este un operator liniar mărginit de la B1 la B2 dacă și numai dacă graficul lui T care este definit a fi mulțimea-- să vedem, ce notație folosesc-- u, v astfel încât v este egal cu T u-- fie Eu o scriu în felul acesta - care este un subset de B1 cruce B2, este închis. Deci un operator liniar este un operator liniar mărginit dacă și numai dacă graficul acestui operator liniar dat de u, T u este închis. Acum, de ce este un pic mai ușor sau spun convenabil decât să verificăm dacă ceva este un operator liniar mărginit? Ei bine, poate este dificil să dovedim proprietatea de mărginire pe care o avem și care este echivalentă cu continuitatea. Deci un operator liniar mărginit este un operator liniar care este continuu. Așa că poate e greu să dovedești legătura. Așa că trebuie să te întorci și să încerci să dovedești -- doar pentru un operator dat de Dumnezeu sau de un instructor -- apoi încerci să te întorci și să dovedești continuitatea. Și continuitatea spune, ei bine, luați o secvență u n care converge către u. Apoi trebuie să demonstrați că T din u n converge către T din u. Dar există un fel de două afirmații acolo. Trebuie să demonstrați că T din u N converge și că limita este egală cu T u. Ce face teorema grafului închis elimină unul dintre acești pași. Pentru că pentru a demonstra că... să ne gândim la asta, că graficul este închis în B1 cruce B2. Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că trebuie să verificați dacă este închis sub limitele de secvențe. Deci trebuie să arătați că având în vedere o secvență u n care tinde spre u și T a lui u n convergând spre v, că v este egal cu T u. Deci ajungeți să presupuneți deja că T din u n converge. Tocmai acum trebuie să verificați dacă lucrul la care converge este de fapt egal cu imaginea limitei unităților. Sper că are sens și explică de ce am spus că acest lucru este de fapt puțin mai convenabil decât continuitatea, sau cel puțin util. Deci aceasta este o stradă cu două sensuri. Există întotdeauna, de obicei, o parte a străzii care este arătă. Deci, să facem această direcție, presupunând că T este un operator liniar mărginit și să arătăm că graficul este închis. Deci, dacă T este un operator liniar mărginit - permiteți-mi să scriu „să presupunem” și apoi să încep o nouă propoziție. Deci, să fie u n T de u n o secvență în graficul lui T astfel încât u n converge către u și T din u n converge către v. Pentru a arăta că graficul este închis, trebuie să arătăm că perechea u, v este în grafic , că v este egal cu T din u. Dar aceasta decurge din continuitate. Atunci v este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui T din u n. Și deoarece T este continuu, acesta este egal cu [INAUDIBLE] u n, care este egal cu T u. Astfel, perechea ordonată u, v este în grafic. Deci haideți acum să demonstrăm direcția opusă. Încă nu este atât de greu. Deci ceea ce voi face mai întâi este să desenez o diagramă. Aceasta poate fi singura diagramă pe care am desenat vreodată în aceasta -- o diagramă de navetă -- poate singura pe care o desenez în această clasă. Vom vedea. Deci T duce de la B1 la B2. Am graficul lui T. Și acum, voi defini două hărți care merg de la grafic la B1 și de la grafic la B2. Graficul se află ca un subset al B1 cruce B2. Deci, această primă hartă care merge din grafic va fi doar proiecția pe prima intrare. Și pi 1 și apoi pi 2 vor fi proiecția pe pi 2. Acum, pentru a termina acest grafic, trebuie să am o săgeată care să meargă de la B1 până la gamma de T. Așa că vreau doar să notez - de fapt, înainte de a nota asta, o să merg înainte și să trag săgeata. Și apoi îți voi spune ce este S. Deci pi 1 în raport cu graficul lui T-- aceasta este o hartă surjectivă. Deci, permiteți-mi să definesc aceste lucruri. Un grafic de la T la B1 prin pi 1 al unui element de forma u, T u este egal cu u, iar apoi pi 2 din graficul de la T la B2 este doar să ia al doilea element, u T u este egal cu T u. Deci punctul meu de vedere aici - deci prima notă - gama lui T este un spațiu Banach. De ce? Gama lui t este un subspațiu al B1 cruce B2 deoarece T este liniar și este închis. Deci un subspațiu închis al unui spațiu Banach este, din nou, un spațiu Banach, deoarece este un subspațiu închis al spațiului Banach B1 cruce B2 cu această normă pe care am definit-o în teorema anterioară. Acum, pi 1 și pi 2 -- ambele sunt continue, văzute acum ca hărți din spațiul Banach al graficului la B1 și B2. Pi 1 este un operator liniar mărginit din graficul T, B1. Și pi 2 este un operator liniar mărginit la B2. De ce asta? Adică, acest lucru este destul de clar. Deci graficul normei lucrurilor de aici sunt doar-- deci acest lucru se datorează faptului că dacă iau norma pi din-- permiteți-mi să o scriu u, v acum, unde v reprezintă T u-- aceasta este egală cu v, care este mai mic sau egal cu-- deci acesta este pi 2 din acesta-- care este mai mic sau egal cu, și apoi același lucru cu pi 1. Deci pi 1 și pi 2 mergând de la grafic la B1 și B2-- aceștia sunt operatori liniari mărginiți. Și pi 1, când este limitat la grafic, este, de fapt, bijectiv. Este unul la unu și mai departe. Așa că am folosit din nou „în plus”. Așa că lasă-mă să scriu mai mult. Pi one merge de la grafic la B1 este unu la unu și pe, bijectiv. Totul din B1 este mapat cu pi 1 din grafic. Dacă aveți ceva u1 aici, atunci imaginea sa este u1 T din u1. Acesta este un element unic în grafic, deoarece T este o funcție. Există un singur element în grafic care corespunde unui u dat. Și deci haideți să punem o pauză aici, deoarece am uitat să scriu un corolar după teorema de mapare deschisă. De fapt, haideți să spunem aici. Deci acesta a fost sfârșitul demonstrației teoremei de mapare deschisă. Așa că este loc pentru corolarul, pe care am vrut să-l scriu aici. Este următorul: dacă B1 B2 sunt spații Banach, T este un operator liniar mărginit de la B1 la B2, care este bijectiv, adică unu la unu și pe, deci are un invers, atunci T invers este un operator liniar mărginit din B2 la B1. Deci, dacă am un operator liniar mărginit de la un spațiu Banach la altul și este bijectiv, inversul său este automat continuu. Și dovada acestui lucru rezultă din teorema de cartografiere deschisă . Așa că am de gând să o scriu într-un rând pentru că asta este tot spațiul pe care mi -l voi acorda. T inversul este continuu dacă și numai dacă, pentru toate u care este deschisă, pentru toate seturile deschise u și v1 care se află în imagine, imaginea inversă a lui T inversă-- sau ar trebui să spun imaginea inversă a lui u prin T inversă, care poți doar să verifici este egal cu T din u-- este deschis. Și asta este adevărat prin teorema de mapare deschisă, deoarece o hartă bijectivă este surjectivă. Deci, fiecare operator liniar mărginit bijectiv are automat o inversă mărginită. De asemenea, este liniară. Adică, nu am spus asta, dar dacă am un operator liniar care este bijectiv, atunci și inversul său este liniar. Revenind acum la această demonstrație a teoremei grafului închis. Deci avem graficul, care este un spațiu Banach în sine ca o submulțime a B1 cruce B2, ca o submulțime închisă a B1 cruce B2. Am pi 1 și pi 2, care sunt operatori liniari mărginiți între B1 și B2. Nu am spus că sunt liniare, dar asta ar trebui să fie clar. Și pi 1, când este limitat la grafic, este unul la unu și pe. Pi 1 aici ia doar primul element din ceea ce este în grafic și scuipă -- lasă- mă, în loc să am T u acolo, lasă-mă să am v așa. Știm doar că v este egal cu T u. Și deci acesta este unul la unu și mai departe. Este bijectiv. Astfel, are un invers care este un operator liniar mărginit, după corolarul pe care l-am afirmat acolo. Este un operator liniar mărginit , ceea ce implică faptul că T, pe care îl pot scrie ca-- Nu ar trebui să am S invers, definit ca fiind inversul. Și prin urmare, T, care este egal cu S din pi 1 care merge de la B1 la B2 este acum produsul a doi operatori liniari mărginiți, pi 1 restricționat de la B1 de la B1 până la grafic. Și apoi S-- nu, nu, nu. Încurc toate astea. Stai... S pi 2. OK, acum asta are sens. Deci S, care este inversul lui pi 1, este un operator liniar mărginit. Pi 2 este un operator liniar mărginit. Și, prin urmare, compoziția lor este, de asemenea, un operator liniar mărginit, ceea ce implică că T este un operator liniar mărginit. Așa că am făcut un fel de mizerie din cauza faptului că trebuie să merg înainte și înapoi, dar dovada este destul de simplă. Sunt sigur că profesorul Melrose tocmai ar fi desenat imaginea, dar am decis să fac o mizerie. Deci, acestea sunt câteva teoreme destul de importante care decurg din teorema categoriei Baire. Așa că am primit delimitare uniformă din categoria Baire. Avem cartografiere deschisă din categoria Baire. Avem un grafic închis din maparea deschisă. Dacă ești un iubitor de logică, gândește-te puțin la asta: maparea deschisă implică un grafic închis, dar poți de asemenea să arăți că graficul închis implică maparea deschisă. Deci, ca declarații logice, sunt echivalente. Acum, vom trece la teorema Hahn Banach. Așa că nu am făcut multe exemple aici care să intre în acest gen de teorie generală, dar nu vă faceți griji. Vor exista o mulțime de exemple în sarcinile de utilizare a acestor teoreme și așa mai departe. Deci, teorema Hahn Banach, aceste teoreme de dinainte au răspuns la o întrebare. Poate că nu am spus întrebările la fel de clar. Graficul închis este un fel de-- ei bine, nu răspunde atât la întrebare, ci ne oferă o alternativă pentru a demonstra continuitatea. Maparea deschisă la care te poți gândi ca încercând să răspund la această întrebare - dacă am un operator liniar mărginit bijectiv, inversul său este un operator liniar mărginit? Și mărginirea uniformă este răspunsul la întrebare pentru cel puțin o secvență de operatori liniari mărginiți, implică convergența punctuală sau mărginirea punctual implică mărginirea uniformă? Acum, întrebarea la care încearcă să răspundă teorema Hahn Banach este următoarea: având în vedere spațiul normat general non-trivial V, spațiul dual este dat pur și simplu de vectorul zero? Deci, la sfârșitul cursului trecut, am definit spațiul dual. Amintiți-vă, acesta este egal cu operatorii liniari mărginiți din spațiul normal V la câmpul scalarilor, care este un spațiu Banach, deoarece este un spațiu de operatori liniari mărginiți dintr- un spațiu normal la un spațiu Banach, deci este un spațiu Banach. Și de obicei ne referim la elementele dualului ca-- Nu sunt sigur dacă am spus asta ultima dată, dar nu ne referim la ele ca operatori liniari mărginiți din spațiul vectorial la câmpul scalarilor, ci ca funcționali. Deoarece spațiul clasic este locul în care spațiile funcționale - spațiile clasice Banach erau spații ale funcției. Deci lucrurile care le mâncau și scuipau un număr au fost numite funcționale, deci evoluând din funcție de funcții și funcții de linii. Deci întrebarea este, dacă am doar spațiul normal, spațiul dual este un fel de netrivial în general? Deci, data trecută, am sugerat că pentru anumite spații, puteți nota în mod explicit spațiul dual. Puteți identifica cel puțin spațiul dual într-un mod explicit. Am sugerat data trecută că dualul micului l p prim este, de fapt, egal cu l p prim, unde p prim este definit ca exponent dual. Deci 1 peste p plus 1 peste p prim este egal cu 1. Și aceasta este pentru p mai mare sau egal cu 1 și mai mic decât infinit, dar nu pentru p este infinit. Și dacă vă amintiți data trecută, C0, care este un set de secvențe care se transformă în 0-- Nu-mi amintesc dacă am notat asta la sfârșitul ultimei clase, dar puteți identifica și spațiul său dual cu puțin l1. Așadar, doar pentru a vă oferi câteva exemple de spații care au spațiu dual netrivial - exemple de spații normative care au spațiu dual netrivial sunt date de micile l p spații. Dar acum întrebarea este, în general, pentru un spațiu de normă, este spațiul funcționalelor, este spațiul dual netrivial? Și aceasta este o afirmație a teoremei Hahn Banach că există, de fapt, o mulțime de elemente în spațiul dual. Acum, nu vom ajunge la afirmația sau dovada acestui lucru în această prelegere. Pentru că mai întâi trebuie să trecem cel puțin peste, sau să spunem, sau puteți spune rezultat, axioma din teoria mulțimilor de care vom avea nevoie. Deci, mai întâi, așa cum am spus, avem nevoie de o axiomă sau să ne amintim o axiomă, o anumită lemă, din teoria mulțimilor. Deci, mai întâi, permiteți-mi să stabilesc terminologia adecvată. Deci, ordinea parțială pe o mulțime E este o relație, adică doar o submulțime de E cruce E, notat cu aceasta -- dar de obicei nu o identificăm ca un subset de E cruce E - astfel încât să apară trei lucruri. Așa că te gândești la asta ca fiind mai mică sau egală cu. Pentru tot E din E, E este înrudit cu E. Voi spune mai puțin decât sau egal cu, chiar dacă acest lucru nu are nicio legătură cu mai puțin decât sau egal cu. Pentru toate e și f din capitalul E, E mai mică sau egală cu f și f mai mică sau egală cu e, aceste două ipoteze implică faptul că e este același element cu f. Și tranzitivitatea - deci aceasta este reflexivitate. Nu sunt sigur cum ai numi asta. Nu-mi amintesc exact. Pentru toate e, f, g din E, cele două ipoteze E mai mică sau egală cu f și f mai mică sau egală cu g implică e mai mică sau egală cu g. Deci aceasta este definiția unei ordine parțiale. Deci, pentru a merge cu aceasta, spunem că o limită superioară a unei mulțimi D conținută în E este un element e în E astfel încât pentru tot d în D capital, d este mai mic sau egal cu e. Și un element maxim al mulțimii E este un element e în E, care nu este mai mare decât el, în esență. Nimic nu o maximizează sau o majorează, astfel încât dacă f este în E și e este mai mic sau egal cu f, atunci e este egal cu f. Și o definiție similară pentru un element minimal. Deci aceasta a fost definiția unui element maxim. Și aceasta este definiția pentru un element minimal. Acum, rețineți că elementul maxim s-ar putea să nu se afle deasupra tuturor lucrurilor în E în mod necesar. S- ar putea să fie oarecum în afara tuturor lucrurilor din E. Pentru că acest lucru nu afirmă că puteți verifica întotdeauna dacă între două elemente, dacă unul este mai mare decât celălalt. Acesta este ceva puțin mai restrictiv, care este următorul - dacă E și mai mic sau egal cu este o mulțime parțial ordonată, adică o mulțime cu o ordine parțială, un lanț în E - deci poate o modalitate mai bună de a spune aceasta este o mulțime C este un lanț dacă, dar un lanț din E este o mulțime C astfel încât pentru toate e, f în C, fie e este mai mic sau egal cu f, fie f este mai mic sau egal cu e. Deci, un lanț este ceva astfel încât să puteți, pentru oricare două elemente din set, să comparați dacă unul este mai mare decât celălalt. Așa este un lanț. Dar pentru o comandă parțială generală , nu trebuie neapărat să fie cazul să puteți verifica întotdeauna pentru a vedea dacă unul este mai mare decât celălalt. De exemplu, comanda dumneavoastră parțială ar putea fi pe setul de putere al unui set. Și ordinea parțială este includerea, indiferent dacă un subset este conținut în altul. Apoi satisface aceste trei proprietăți, dar există seturi care nu pot fi comparate între ele. Deci, permiteți-mi să scriu asta ca lemă datorată lui Zorn. Nu vom demonstra asta. Chiar dacă scriu „lemă”, luați-o ca pe o axiomă, o axiomă a teoriei mulțimilor Fraenkel care este însoțită de ea, care este următoarea - că dacă fiecare lanț este nevid - desigur, luăm în considerare chestii netriviale, deci într-o mulțime nevidă-- parțial ordonată, E are o limită superioară, apoi E are un element maxim. Deci, dacă puteți verifica că fiecare lanț are o limită superioară, atunci ajungeți la concluzia că mulțimea parțial ordonată are un element maxim. Acum, vom oferi o aplicare simplă a acestui lucru la începutul următoarei prelegeri. Dar mai întâi, lasă-mă să-ți pun asta în creier pentru a-l marina. Deci vom folosi lema lui Zorn pentru a demonstra teorema Hahn Banach . Și voi discuta de ce este data viitoare. Dar poți folosi Lema lui Zorn pentru a dovedi alte lucruri și este folosită pentru a dovedi alte lucruri. Și, mai întâi, din Lema lui Zorn puteți, de fapt, să demonstrați axioma alegerii, care spune că, având în vedere orice colecție de mulțimi, puteți alege în esență un element din fiecare mulțime enunțată într-un mod foarte precis. O altă modalitate, pe care o vom folosi la începutul datei viitoare, este să dovedim următoarele -- dar mai întâi permiteți-mi să fac o definiție. O bază Hamel, H care este o submulțime - nu un subspațiu, ci o submulțime - a lui V, un spațiu vectorial, este o mulțime liniar independentă, astfel încât fiecare element al lui v este o combinație liniară finită de elemente ale lui H. Deci, din algebră liniară, pentru dimensiuni finite, acesta este într-un anumit sens modul în care se poate defini dimensiunea dacă găsiți o bază și atunci cardinalitatea acelei baze este întotdeauna aceeași. Deci, o bază Hamel pentru R n este doar vectorii cu 1 într-una dintre intrări și 0 în caz contrar. Deci, pentru R 2, este doar 1, 0 și 0, 1. O bază Hamel pentru, să spunem, micul l1 ar fi unul în primul, urmat de 0, 1 în al doilea, 0 în altă parte, 1 în al treilea, 0 altundeva-- setul acestor elemente. Acum, întrebarea este, fiecare spațiu vectorial are o bază Hamel? Și folosind, data viitoare , Lema lui Zorn, vom arăta că, într-adevăr, fiecare spațiu vectorial are o bază Hamel. Și de fapt, acea bază Hamel poate fi destul de mare. Dar aceasta va fi o aplicație simplă pe care o vom face data viitoare, este că prin Zorn, puteți arăta că fiecare spațiu vectorial are o bază Hamel. Ne oprim acolo.