[SCRÂȘIT] [FOȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Ultima dată, deci vorbim despre un set de numere reale. Și ultima dată, am afirmat următoarea teoremă despre existența și proprietățile lui R care îl fac special. Deci teorema este că există un câmp unic ordonat cu cea mai mică proprietate superioară care conține numerele raționale. Așa că nu uitați, un câmp era un set care avea operații plus și înmulțire. Un câmp ordonat, de asemenea, acest set are o comandă. Și această ordine interacționează cu operațiile de adunare și înmulțire în moduri naturale. Și cea mai mică proprietate superioară înseamnă că fiecare submulțime nevidă care este mărginită mai sus are un supremum în mulțime. Deci cea mai mică proprietate superioară, adică supremul aparține în R, nu neapărat în mulțimea nevidă, care este mărginită mai sus. Și am văzut data trecută că q, numerele raționale, nu are această proprietate. Privind acea mulțime, q rațional pozitiv q pătrat mai puțin decât 2. Acea mulțime a fost mărginită mai sus, dar nu avea un supremum în numerele raționale, deoarece rădăcina pătrată a lui 2 în esență nu este un număr rațional. Și rădăcina pătrată a lui 2 ar fi suprema. Așa că doar pe baza acestei teoreme care caracterizează și construiește R, mulțimea numerelor reale, acum vom demonstra fapte despre numerele reale și în curând ne vom întoarce la limite. Deci, așa cum am spus la început, limitele sunt sau sunt obiectul central de studiu în analiză. Asta este analiza, studiul limitelor. Partea de analiză reală , sau cea reală, și anume că facem asta în setarea numerelor reale. Așa că acum, permiteți-mi să subliniez ceva simplu despre numerele reale. Deci, un fapt extrem de simplu despre numerele reale este că nu este discret așa cum sunt numerele întregi. Deci, pentru numerele întregi, dacă iau un număr întreg și altul, nu este neapărat cazul că există un număr întreg strict între ele. Nu există un număr întreg între 0 și 1. Și însă R satisface această proprietate, în esență pentru că este un câmp. Deci și este un câmp ordonat. Deci, care este simplul fapt, dacă x, y sunt numere reale și x este mai mic decât y, atunci există un număr real r, un mic r, astfel încât x este mai mic decât r este mai mic decât y. Și vă pot da r în mod explicit. r este egal cu x plus y peste 2. Bine, nu este atât de surprinzător. Acum, această afirmație aici este adevărată și dacă înlocuiesc r cu numere raționale. Și anume dacă aș avea două numere raționale, cu 1 mai puțin decât celălalt, atunci există un număr rațional între x și y. Eu doar din nou, definesc r în acest fel. Acum, o întrebare firească este următoarea, este că dacă x și y sunt în R și x este mai mic decât y, atunci oare-- voi pune un semn de întrebare peste asta-- există un R în q astfel? că x este mai mic decât R este mai mic decât y? Nu pot defini neapărat R prin această formulă aici și am garantat că R va fi rațional. Deci, de exemplu, dacă x este egal cu rădăcina 2 și să presupunem că y este egal cu 2 rădăcină 2, atunci x plus y peste 2 este egal cu 3/2 rădăcină 2, care nu este un număr rațional. Pentru că dacă ar fi un număr rațional, atunci pot înmulți 2 cu 2/3 și pot spune că rădăcina pătrată a lui 2 este un număr rațional. Deci, toate acestea pentru a spune că, pur și simplu, făcând acest truc de a lua doar media, nu înseamnă neapărat că dacă iau două numere reale, cu 1 mai puțin decât celălalt, atunci există un rațional între ele. Asta nu este atât de clar de văzut. Dar acesta este unul dintre cele mai multe - acesta este unul dintre faptele de bază despre R, este că răspunsul la această întrebare este, da. Și că într-un anumit sens numerele raționale sunt dense în numerele reale. Pentru orice numere până la reale, pot găsi un rațional între ele. Este prima proprietate principală a numerelor reale pe care o vom demonstra. Și va fi o consecință a unei a doua proprietăți pe care o vom demonstra, care se numește proprietatea arhimediană. Deci această teoremă are două părți. Prima sa se numește proprietatea arhimediană a lui R. Și afirmația acesteia este, dacă x și y sunt în R și x este pozitiv, atunci există un număr natural N, astfel încât nx este mai mare decât y. Și apoi a doua parte a acestei teoreme este afirmația că rațiunile sunt dense. Că răspunsul la această întrebare este, da. Deci, aceasta se numește de obicei densitatea rațiunilor. Deci se afirmă că dacă x și y și în R și x este mai mic decât y, atunci există un număr rațional mic r, astfel încât x este mai mic decât r este mai mic decât y. Deci, să demonstrăm prima teoremă, prima parte a acestei teoreme, proprietatea arhimediană. Deci, ce trebuie să folosim pentru a demonstra această teoremă? Exact ceea ce știm despre numerele reale, faptul că este un câmp ordonat cu cea mai mică proprietate superioară. Și veți vedea cum această proprietate de cea mai mică limită superioară joacă un rol major în toate aceste lucruri elementare pe care le dovedim despre R. Așa că să reformulam ipoteza noastră. Deci, să presupunem că x și y sunt în r. Și x este mai mic decât-- și x este mai mare decât 0. Așa că dorim să arătăm-- așa că doar repetând această inegalitate aici, dorim să arătăm-- cuvântul arată, ar trebui să citiți ca sinonim cu dovedi-- că există un număr natural N, astfel încât n este mai mare decât y peste x. Asta înseamnă doar reafirmarea. Deci vom demonstra acest lucru prin contradicție. Deci dovada va merge prin contradicție. Deci aceasta este, din nou, aceasta este ipoteza noastră, pe care o vom presupune pe parcursul demonstrației. Lucrul pe care încercăm să-l dovedim este această afirmație aici, a doua propoziție. Deci acesta este lucrul pe care îl vom nega. Nu vom infirma ipoteza, negăm ceea ce vrem să dovedim până la urmă. Și apoi ajungând la o declarație falsă. Prin urmare, a arăta concluzia noastră este adevărată. Deci presupunem că a doua afirmație este falsă. Din nou, presupunem prima afirmație. Deci să presupunem că nu, adică pentru tot N un număr natural, n este mai mic sau egal cu y peste x. Aceasta este negația faptului că există un număr întreg care este mai mare decât y peste x. Deci, asta înseamnă că numerele naturale ca submulțime a numerelor reale sunt mărginite mai sus. Acum, mulțimea numerelor naturale este o submulțime nevidă a lui R, care este mărginită mai sus. Prin urmare, are un supremum. Deci, după cea mai mică proprietate superioară a lui R, N are un suprem, numiți-l a în R. Deci, deoarece a este supremul lui N, nimic mai mic decât a nu poate fi o limită superioară pentru numerele naturale. Pentru că nu uitați, a ar trebui să fie cea mai mică limită superioară. Orice mai mic decât asta nu poate fi o limită superioară pentru numerele naturale. Nu este o limită superioară pentru N. Dar ce înseamnă asta? Deci, dacă un minus 1 nu este o limită superioară pentru N, înseamnă că trebuie să existe un număr întreg în N care este strict mai mare decât un minus 1. Există un număr natural, îl voi numi m, astfel încât un minus 1 este mai mic decât m. Dar apoi, acest lucru implică faptul că a este mai mic decât m plus 1, ceea ce implică că a nu este o limită superioară pentru numerele naturale. Deoarece m plus 1-- m este un număr întreg, un număr natural. Deci m plus 1 este un număr natural. Și tocmai am găsit un număr natural mai mare decât a. Asta înseamnă că a nu poate fi o limită superioară pentru numerele naturale. Dar și prin urmare a nu este egal cu sup lui N. Și aceasta este o contradicție. Deoarece A este definit ca o sumă a lui N. Deci, din ipoteză, pentru a recapitula, doar din ipoteza că pentru toate numerele naturale N, N este mai mic sau egal cu y peste x. Am ajuns la concluzia că are un supremum care nu este supremul său. Deci este o afirmație falsă. Și, prin urmare, ipoteza noastră inițială că pentru toate numerele naturale N, N este mai mic sau egal cu y peste x, aceasta trebuie să fie falsă. Și, prin urmare, există un N, care este mai mare decât y peste x, ceea ce am vrut să demonstrăm. Deci, pentru demonstrarea celei de -a doua teoreme, densitatea numerelor raționale, vom face-- așa că avem trei cazuri de luat în considerare. Deci ambele x și y sunt numere reale. x este mai mic decât y. Există trei cazuri, numiți-o A, x este mai mic decât 0 este mai mic decât y. B, 0 este mai mare sau egal cu x este mai mic decât y. Și C, x este mai mic decât y este mai mic sau egal cu 0. Deci dorim să găsim un număr rațional între x și y. Deci, pentru acest caz, acest lucru este destul de simplu. Considerăm doar că R este 0. Deci nu voi spune nimic despre cazul A. Voi trece doar la cazul B. Deci cazul B. Deci, să presupunem că x este mai mare sau egal cu 0 și mai mic decât y. Apoi, prin AP, mă voi referi la... Deci asta va fi notație scurtă pentru proprietatea Arhimedean. Deci prima parte, ceea ce am dovedit deja este adevărată. Prin proprietatea arhimediană, există un număr natural N, astfel încât de N ori y minus x este mai mare decât 1. Acum, vom folosi din nou proprietatea arhimediană. Există un întreg l și un număr natural l, astfel încât l este mai mare de n ori x. Astfel, mulțimea tuturor numerelor întregi-- de numere naturale k, astfel încât k este mai mare decât nx este nevidă. Deci acesta este un submult al numerelor naturale. Deci are un element minim. După proprietatea de bine ordonată a numerelor naturale, S are cel mai mic element m. Acum ce înseamnă asta? Ce trebuie să satisfac? Ceea ce vom arăta este că m peste n este, de fapt, un număr rațional care se află între x și y. Deci, scopul este, cred că... permiteți-mi doar să fac un comentariu aici. Deci, odată ce am făcut-- odată ce am găsit acest număr natural, mic n, astfel încât de n ori y minus x este mai mare decât 1, ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că de n ori y este mai mare decât nx plus 1. Deci, scopul nostru este să găsim - deci aceste lucruri între paranteze, nu ar trebui să le considerați ca parte a dovezii. Acesta este eu încercând să vă explic unde de aici am dori să mergem pentru a concluziona dovada că există un număr rațional între y și x. Deci avem această inegalitate, proprietatea arhimediană ne spune că există un număr natural care satisface acest lucru. Deci, ceea ce am dori să facem este să găsim un alt număr natural. Și prevestesc ce va urma... un număr natural m... ei bine, să nu... Nu vreau să-ți dai speranțe false. Adică, nu sunt false. Se va întâmpla într-un minut. Dar să numim asta j. Deci două lucruri se întâmplă. de n ori x este mai mic decât j. Și j este mai mic sau egal cu nx plus 1. Deci, dacă suntem capabili să găsim un astfel de număr întreg j care să satisfacă aceste două inegalități, atunci din această inegalitate vom obține că ny este mai mare decât-- sau acesta este mai mare decât nx plus 1, care este mai mare sau egal cu j, care este mai mare decât nx. i.e. lasă-mă să rescriu asta. nx este mai mic decât j, este mai mic de n ori y. Sau, cu alte cuvinte, x este mai mic decât j peste m este mai mic decât y. Și iată numărul nostru rațional pe care l-am alege. Deci, acesta este planul de joc, pe care poate ar fi trebuit să îl spun imediat după ce am venit cu acest mic n întreg. Poate vă întrebați de ce am venit cu acest număr întreg mic n. Ei bine, trebuie să începem de undeva. Iar proprietatea arhimediană ne dă asta. Și asta ne oferă cumva o scară la cel puțin o scară 1 peste n pentru a putea lucra. Dar oricum, deci revenind la dovadă. Deci, după proprietatea de ordonare bine a numerelor naturale, această mulțime S, care este o mulțime de toate numerele naturale, astfel încât k este mai mare decât nx are cel puțin element mic m. Acum m, deci S are cel puțin element m, înseamnă că m este în S. Deci, deoarece m este în S, aceasta înseamnă pur și simplu prin definiția a ceea ce este S, nx este mai mic decât m. Asta e foarte bine. Aceasta este una dintre proprietățile pe care le-am dorit-- Am scris-o ca j, dar am vrut să satisfacem un număr întreg. Deoarece m este cel mai mic element al lui S, m minus 1 nu este în S. Astfel, asta implică că m minus 1 nu în S înseamnă că m minus 1 este mai mic sau egal cu n ori x, adică n este mai mic sau egal cu n ori x plus 1. Acum, vom combina aceste două inegalități împreună cu prima care implică de n ori y minus x. Așa că, practic, rescriu ceea ce ți-am spus că scopul nostru este aici, în această paranteză. Atunci, de n ori x este mai mic decât m. Și aceasta este mai mică sau egală cu n ori x plus 1, care, după definiția noastră a lui n în prima inegalitate pe care o avem acolo, care implică y, este mai mică de n ori y. Deci avem nx este mai mic decât m, este mai mic decât y. Deci asta înseamnă că x este mai mic decât m peste n este mai mic decât y. Deci r este egal cu m peste n, care este o proporție a numerelor naturale, este alegerea noastră. Acesta este un mod ciudat de a termina o propoziție. Dar mintea mi-a rămas în gol. Oricum, așa că se ocupă de cazul B, că x este mai mare sau egal cu 0. Deci un lucru mic pe care eu-- doar un comentariu minor. Dacă ai toate astea și le înțelegi, e în regulă. Dar poate vă întrebați, deoarece nu am spus-o niciodată cu voce tare , unde am folosit faptul că x este mai mare sau egal cu 0? Deci, unde am folosit asta-- deci să presupunem că x este mai mare decât 0. Deci, unde am folosit este exact în acest loc aici. Deci nu vreau să petrec prea mult timp cu asta. Dar prin posibilitatea de a pretinde că m minus 1 nu este în S. Deci, cum rămâne cu cazul C? Deci, cazul C, vom reduce doar la cazul B. Să presupunem că x este mai mic decât y, care este mai mic sau egal cu 0. Atunci 0 este mai mare sau egal cu minus y, care este mai mare decât minus x. Deci, în cazul B, există un număr rațional, R tilde, astfel încât minus y este mai mic decât R tilde este mai mic decât minus x. Atunci acest lucru implică faptul că x este mai mic decât minus R tilde este mai mic decât y. Deci R egal cu minus R tilde face treaba. Deci asta demonstrează teorema. Așa că îl vom folosi în doar un minut pentru a demonstra o afirmație simplă despre sups și infs. Dar înainte să-l folosesc , lasă-mă să merg mai departe. Și ceea ce aș dori să fac este să precizez o modalitate diferită de a verifica dacă un număr este un sup al unui set sau inf al unui set. Așa că o voi spune doar pentru supe. Și există o declarație analogă pentru infs. Deci teorema este aceasta. Și asta va fi de fapt în sarcină. Deci presupunem că S este o submulțime a lui R este nevid și mărginit mai sus. Deci S are un supremum. Așa că am să vă spun ce satisface supremul. Și este o declarație dacă și numai dacă. Atunci un număr x este egal cu un sup de S dacă și numai dacă-- deci fie voi face o săgeată dublă, fie voi scrie dacă și numai dacă-- sunt îndeplinite două condiții. Prima este că x este o limită superioară pentru S. Și a doua, așa că la un moment dat, sau în viitorul foarte apropiat, vom vedea epsiloni și delte. Așa că o voi spune astfel. Deci ar trebui să începi să-i vezi acum. Pentru fiecare epsilon pozitiv, există un element y în S astfel încât x minus epsilon este mai mic decât y este mai mic sau egal cu x. Deci, de ce este asta... de ce ar trebui să fie așa? Ei bine, dacă S este peste tot aici la stânga lui x, atunci și dacă iau ceva mai mic, așa că de fapt vă ofer o dovadă imagine a unei singure direcții. Și așadar, dacă iau ceva mai mic, x minus epsilon, atunci aceasta nu poate fi o limită superioară pentru S. Prin urmare, trebuie să existe ceva y în S mai mare decât x minus epsilon. Și este mai mic sau egal cu x, deoarece x este o limită superioară pentru S. Deci, de fapt, această imagine este o dovadă a acestei direcții, și anume dacă x este supremația lui S, atunci aceste două condiții sunt îndeplinite. Și apoi, cu privire la sarcină, vă voi pune să demonstrați cealaltă direcție, practic, că aceste două condiții implică faptul că un număr real este supremul lui S. Deci, să folosim această teoremă și proprietatea arhimediană pentru a demonstra o afirmație simplă despre sup de un set simplu. Așa că ar trebui-- așa că lasă-mă să scriu și aici-- că nu o voi prezenta ca o teoremă. Dar voi doar-- aceasta este o remarcă care înseamnă că sunt puțin liber cu ceea ce scriu , dar este adevărat-- x este egal cu inf din S. Deci, pentru S, o submulțime nevidă care este mărginit mai jos, există o caracterizare analogă, deoarece x este o limită inferioară pentru s. Și pentru toate epsilonul pozitiv, există un y în S, astfel încât x este mai mic sau egal cu y este mai mic decât x plus epsilon. Deci aceasta este afirmația analogă pentru inf, pentru ca ceva să fie inf. Deci asta este, cred că l-ai putea numi o teoremă. Nu este o teoremă foarte spectaculoasă. Dar dacă mă uit la mulțimea 1 minus 1 peste N, într-un număr natural, și îi iau sup, acesta este egal cu 1. Așa că acest lucru nu ar trebui să te surprindă prea tare. Pentru că ce este acest set? Acesta este setul 0, 1/2, 2/3, 3/4 4/5 și așa mai departe. Deci vezi că 1 este întotdeauna mai mare sau egal cu tot ce este aici. Deci este cu siguranță o limită superioară. Și totul se apropie progresiv de 1. Deci ar trebui să satisfacă a doua proprietate. Și anume, dacă merg puțin la stânga lui 1, atunci voi putea găsi ceva mai mic sau egal cu 1 și mai mare decât acel lucru la stânga lui 1. Și așa vom demonstra această teoremă. . Deci, în primul rând, deoarece 1 minus 1 peste n este mai mic decât 1, pentru toți membrii naturali N, aceasta implică că 1 este o limită superioară pentru această mulțime. Acum vom verifica că se îndeplinește a doua proprietate a teoremei, că pentru fiecare epsilon pozitiv, pot găsi un număr natural mic n, astfel încât 1 minus 1 peste n este mai mare decât 1 minus epsilon. Și vom folosi proprietatea Arhimedeană pentru asta. Deci, dacă ar trebui să arăți vreodată ceva pentru fiecare epsilon pozitiv, atunci fiecare dovadă ar trebui să înceapă cu epsilon să fie pozitiv. De fapt, îți voi acorda câteva puncte la examen dacă există dovezi de epsilon delta m, ceea ce înseamnă că ar trebui să demonstrezi ceva pentru toate epsilon-- Îți voi acorda câteva puncte la examen dacă ești doar la cel mai mic stat fie epsilon să fie pozitiv. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Deci, există-- deci prin proprietatea arhimediană, există un număr natural N, astfel încât 1 peste epsilon este mai mic decât N. Aceasta este luând, de exemplu, în declarația proprietății arhimedeene, dacă doriți, este luând x 1 și y 1 peste epsilon. Apoi 1 minus 1 peste n-- așa că hai să o facem așa. Atunci 1 minus epsilon este-- deci, deoarece epsilon este mai mic decât-- 1 peste epsilon este mai mic decât n, acest lucru este echivalent cu a spune 1 peste n este mai mic decât epsilon. Și, prin urmare, minus epsilon este mai mic decât minus 1 peste n. Așadar, 1 minus epsilon este mai mic decât 1 minus 1 peste n, care este așa cum avem aici, este mai mic decât 1. Astfel, există un număr natural N, așa că-- așa că a mers cam repede. Deci ceea ce am făcut a fost că am găsit un număr natural N, care este mai mare decât 1 peste epsilon. Și de acum înainte, de obicei, nu o voi afirma așa, o voi spune mai mult așa. Ceea ce rezultă din aceasta. Deci, când fac o afirmație de genul, alegeți un număr natural, astfel încât 1 peste n să fie mai mic decât epsilon, care decurge din proprietatea arhimediană doar luând 1 peste această inegalitate. Și așa. De aici am ajuns la concluzia că 1 minus epsilon este mai mic decât 1 minus 1 peste n, care este tot mai mic decât 1. Și, prin urmare, am demonstrat proprietatea a doua-- numărul doi a lui 1. Și astfel, prin teoremă, 1 este egal cu supremul acestui set. Deci, să ne familiarizăm puțin cu utilizarea sups și infs, și în special cu utilizarea acelei teoreme, pe care am afirmat-o chiar acolo, despre această caracterizare a sup ca fiind o limită superioară și care satisface a doua proprietate pe care o puteți găsi pentru fiecare epsilon pozitiv. ceva în set care este mai mare decât x minus epsilon. Deci, pentru a face asta, să ne uităm la câteva seturi diferite - tipuri de submulțimi de numere reale. Deci, pentru x un număr real și o submulțime, definim două mulțimi, x plus a-- aceasta este doar o deplasare a lui a cu x. Deci, acesta este o mulțime de toate elementele de forma x plus mic a, unde mic a este capital A. x ori a, acesta este un set de toate elementele formei x ori a, unde a este cu capital A. Deci de acum înainte practic spre sfârșit, până aproape de sfârșitul cursului, lucrăm ca în submulțimi ale numerelor reale. Deci aceste lucruri au sens, plus și multiplicare. Deci avem următoarea teoremă. Așa că hai... permiteți-mi să expun ipotezele. Și atunci probabil vom ghici concluziile. Dacă x este un număr real și A este mărginit mai sus, atunci concluzia este x plus a este mărginit mai sus. Și supremul acestei mulțimi x plus A este egal cu x plus supremul lui A. Ar trebui să putem ghici acest lucru. Pentru că să presupunem că A este acest interval aici. Asta ar face ca sup A-- acesta, să spunem punctul final din dreapta al acestui interval, atunci când deplasez totul cu x, atunci acest punct sup A se deplasează la x plus sup A, care ar trebui să fie supremul lui x plus capital A. Deci acest lucru nu este prea surprinzător. Există teoreme surprinzătoare în analiză. Am văzut deja unul, cel puțin, mi s-a părut surprinzător. Sper că v-a părut surprinzător, despre cardinalitatea setului de putere în comparație cu cardinalitatea setului original. Ai venit cu acest aspect ciudat-- sau dovada asta, amintește-ți, ai venit cu acest set cu aspect ciudat pe care a trebuit să-l-- care, în cele din urmă, sa referit la sine în definiția sa, ceea ce a condus la concluzia că dorit. Dar acesta nu este atât de înfricoșător. Pe aceasta ar trebui să o poți putea... această teoremă pe care ar trebui să o poți crede și poate chiar să o demonstrezi fără ca eu să-ți spun cum. Dacă nu, e bine și asta. Cealaltă afirmație este că dacă x este pozitiv și A este mărginit deasupra, atunci x plus A sau x ori A, îmi pare rău, este mărginit mai sus. Și sup de x ori A este egal de x ori sup de A. Și din nou, deci dacă ar fi să desenez o imagine și să spunem că A este un fel de simetric față de 0. Deci există sup de A și o înmulțesc cu X. Apoi, acest lucru fie îngrașă intervalul, fie îl micșorează. Deci, să presupunem că l-am făcut mai mic. Acum la x ori A, apoi de x ori sup lui A ar fi supremamul acestei mulțimi. De ce x pozitiv? Ei bine, motivul este că, dacă înmulțesc cu x negativ, acest lucru nu numai că o micșorează, dar schimbă lucrurile. Deci, de fapt, există o afirmație în carte despre dacă x este negativ, atunci aici ar trebui să presupunem că A este mărginit mai jos. Deci afirmația corespunzătoare pentru x negativ este, dacă x este mai mic decât 0 și A este mărginit mai jos, atunci de x ori A este mărginit deasupra. Pentru că înmulțirea cu ceva negativ întoarce inegalitățile. Și sup de x ori A este egal cu minus x ori inf lui A. Sau nu există minus. Aceasta ar trebui să fie sup de x ori A este egal cu x ori inf lui A. În regulă. Deci, haideți să demonstrăm aceste două teoreme folosind această teoremă anterioară pe care am afirmat-o fără dovezi, dar veți demonstra în sarcină cum să caracterizați sumele de mulțimi ca limite superioare și cum să satisfaceți această proprietate epsilon. Așa că permiteți-mi doar să reiterez presupunerile noastre. Deci, să presupunem că x este în R și A este mărginit mai sus. Atunci numărul sup A există în R, deoarece R are cea mai mică proprietate superioară. A este un submult nevid. Așa că ar fi trebuit să spun asta, deci toate acestea sunt pentru un subset nevid al lui A, așa că vorbesc despre ceva. Deci am o submulțime nevidă, care este mărginită mai sus de proprietatea cea mai mică limită superioară. Supremul lui A există în R. Deci acum voi arăta că de x ori sup a lui A satisface că este o limită superioară pentru x ori A. Atunci, pentru tot mic a din A, deoarece sup este o limită superioară pentru capital A, a mic este mai mic sau egal cu sup A, ceea ce implică că pentru tot a din A majusculă, dacă înmulțesc prin x, adică dacă adun x de ambele părți, x plus mic a este mai mic sau egal. la x plus sup lui A. Ceea ce implică că x plus sup lui A este o limită superioară pentru mulțimea x plus A. Deci aceasta este prima proprietate pe care am vrut să o dovedim pentru x plus sup A. Acum, vom demonstra a doua proprietate , această proprietate epsilon. Fie epsilonul să fie pozitiv. Apoi, după teorema anterioară, există un y în A, astfel încât sup minus A este mai mic decât epsilon este mai mic decât y este mai mic sau egal cu sup A. Acest lucru se datorează doar faptului că supremul lui A satisface acele două condiții acolo sus . Acum doar adun x prin toate aceste inegalități, ceea ce implică că există un y în A, astfel încât x plus sup A minus epsilon este mai mic decât x plus y, care este mai mic sau egal cu x plus sup din A. Și asta demonstrează a doua proprietate. Pentru că ce am făcut? Am descoperit că pentru fiecare epsilon pozitiv, un element al mulțimii x plus A -- deci voi chiar -- Voi reformula acest lucru -- ceea ce implică că există un element z în mulțimea x plus capital A, și anume x plus y. Deci, x plus sup A minus epsilon este mai mic decât z este mai mic sau egal cu x plus sup A. Și aceasta este a doua proprietate pe care am vrut să o demonstrăm, această proprietate epsilon. Acum am demonstrat-o pentru x plus sup A, pentru mulțimea x plus A. Astfel, sup de x plus A este egal cu x plus sup A. Deci am demonstrat că x plus sup A este supremul lui x plus A arătându-l a fost o limită superioară și a satisfăcut această proprietate epsilon. Adică, este în esență aceeași dovadă pentru x ori capitalul A. Înlocuiești plusurile cu înmulțirea. Cât timp avem? Deci, de fapt, am puțin timp. Cred că se mișcă puțin azi. Așa că nu voi trece prin a scrie efectiv dovada celei de- a doua părți, pur și simplu pentru că funcționează aceeași logică. Abia acum, înlocuiesc totul cu înmulțirea cu x în loc de adunare cu x. Ei bine aproape. Bine de ce nu. Să trecem prin dovezi foarte repede. Pur și simplu nu voi petrece atât de mult timp explicând lucruri. Deci acum vrem să facem-- vrem să arătăm de x ori sup A este un suprem de x ori A. Deci să presupunem că x este pozitiv și A este mărginit mai sus. Atunci sup A, din nou, există în R, deoarece A este mărginit deasupra. Și deoarece sup A este o limită superioară pentru capitalul A, atunci pentru tot a din capitalul A, a este mai mic sau egal cu sup A, ceea ce implică că pentru tot a din capitalul A, de x ori puțin a este mai mic sau egal cu x ori sup A. Ceea ce implică că de x ori sup A este o limită superioară pentru x ori A. Deci am demonstrat că de x ori sup A este o limită superioară pentru mulțimea de x ori A. Acum dorim să verificăm această proprietate epsilon pentru x ori sup A față de mulțimea x ori A. Fie deci epsilon pozitiv. Și o să pun între paranteze, din nou, ce vrem să facem, ce vrem să definim. Vrem să arătăm că există z în x ori A, astfel încât de x ori sup A minus epsilon este mai mic decât z. z este întotdeauna mai mic sau egal cu x ori sup A, deoarece am demonstrat că x timp sup A este o limită superioară pentru această mulțime. Deci nu voi continua să scriu a doua inegalitate. Deci asta este ceea ce vrem să dovedim. Nu am demonstrat încă. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Atunci, așa cum am făcut în cazul plus, atunci există un element y în A astfel încât sup A minus -- acum aici, vom alege y nu tocmai pentru epsilon aici. Amintiți-vă, afirmația pentru numărul doi este valabilă pentru sup A pentru fiecare epsilon. În special, pot alege orice vreau aici și pot găsi un y între sup A minus orice vreau aici, ceea ce este pozitiv în sup A. Deci, în loc să pun epsilon aici, așa cum am făcut înainte, voi pune epsilon peste x . Ceea ce pot face, deoarece x este pozitiv, ceea ce înseamnă epsilon peste x este un număr pozitiv. Acum, de ce am ales epsilon peste x? Pentru că magia se întâmplă. Atunci asta înseamnă că există un y în A, astfel încât, dacă înmulțesc prin x, obțin de x ori sup. Un epsilon minus este mai mic de x ori y, este mai mic de... așa că voi opri să scriu această inegalitate. Pentru că acest lucru este întotdeauna adevărat, deoarece x ori sup A este mai mare sau egal cu x ori y. Ceea ce implică că există un z în x ori A. Și anume, z este egal cu x ori y, unde y este de aici, astfel încât de x ori sup A minus epsilon este mai mic decât z. Prin urmare, de x ori sup A satisface a doua proprietate epsilon față de S dată de x ori A. Și acesta este sfârșitul. Deci vezi că mi-am dorit asta până la urmă. Așa că am ales y să-mi dea acest lucru ușor diferit pentru epsilon peste x. Pentru că până la urmă, aș înmulți prin x. Și am vrut asta. Când facem dovezi pentru limite, veți vedea că încercăm mereu să facem ceva mai mic decât epsilon. Așa că, destul de des, va trebui să alegem ceva care să fie mai mic de epsilon peste 5, sau epsilon peste un anumit număr pentru ca totul să se rezolve până la urmă, la fel cum am făcut aici. Deci asta este un fel de previzualizare a lucrurilor care vor urma. Și o ultimă teoremă simplă despre sups și infs. Acest lucru chiar nu folosește acea teoremă, ci doar care este definiția sups și infs. Și anume că, dacă A și B sunt submulțimi ale lui R, și pentru toate, să spunem, cu A mărginit deasupra, B mărginit dedesubt și pentru tot x, y, pentru tot x din A și pentru tot y din B, x este mai mic decât sau egal cu y. Atunci sup lui A este mai mic sau egal cu inf lui B. Deci, din punct de vedere al imaginii, iată A. Totul aici se află sub tot ce este în B. Deci B trebuie să fie aici. Prin urmare, sup-ul lui A, care este acolo, trebuie să fie mai mic sau egal cu INF-ul lui B, care este acolo. Aceasta este imaginea care merge împreună cu asta. Dar cum demonstrăm de fapt acest lucru? Adică, trebuie să folosim definițiile. Pozele nu sunt suficiente. Deși ne informează , nu sunt suficiente. Deci acest lucru este destul de simplu. Deci nu am de gând să rescriu ipotezele acum, pentru că ar dura puțin. Dar deci, dacă pentru toți x in-- lasă-mă-- practic , ceea ce vom face este să luăm un sup și apoi un inf. Deci, să fie y în B. Atunci, pentru tot x din A, x este mai mic sau egal cu y, ceea ce implică că y este o limită superioară pentru A. Și, prin urmare, supremul lui A, care este cea mai mică limită superioară, trebuie să fie mai mic sau egal cu y. Astfel, am demonstrat că pentru tot y din B, sup A este mai mic sau egal cu y. Ceea ce implică că sup A este o limită inferioară pentru B. Și după aceeași logică în urmă cu un minut, deci amintiți-vă că infemul lui B este cea mai mare limită inferioară. Deci, dacă iau orice limită inferioară a lui B, aceasta trebuie să fie mai mică sau egală cu inf a lui B. Deci, ceea ce implică că sup A este mai mică sau egală cu inf B. Așa că începem să închidem aici discuția noastră despre -- sau cel puțin discuția noastră despre proprietățile elementare ale numerelor reale. Deci, permiteți-mi să spun doar câteva lucruri despre valoarea absolută. Și permiteți-mi să-mi amintesc cum este definit acest lucru. Cel puțin, așa ar fi trebuit definit din clasa ta de calcul. Dacă x este în R, definim valoarea absolută a lui x. Acesta este fie x dacă x este mai mare sau egal cu 0, fie minus x dacă x este mai mic sau egal cu 0. Rețineți că aceste două lucruri sunt de acord când x este 0. Astfel că nu definesc valoarea absolută a lui x să fie două lucruri diferite atunci când x este egal cu 0. Deci, și ce este aceasta menită să fie cu adevărat? Ar trebui să fie... ar trebui să măsoare distanța de la... sau ar trebui să reprezinte... Nu ar trebui să spun, este distanța, pentru că nu ți-am spus ce înseamnă distanță. Dar ce ar trebui să reprezinte? Ar trebui să reprezinte distanța de la x la 0, motiv pentru care este întotdeauna nenegativ. Adică, dacă am x a fost aici. Și această distanță este menită să fie valoarea absolută a lui x [INAUDIBILĂ] că y. Deci, de fapt, acesta este primul lucru pe care [INAUDIBIL].. Voi demonstra doar câteva proprietăți foarte simple ale valorii absolute. Adică, din nou, aceste proprietăți nu ar trebui să fie surprinzătoare pentru tine. Ar trebui să le cunoști pe toate. Dar încercăm să ne familiarizăm -- acesta este un cuvânt greu de spus -- familiarități sau familiaritate cu dovezile. Așa că voi face multe dovezi cât pot pentru tine. Deci prima afirmație este, pentru tot x din R, valoarea absolută a lui x este mai mare decât 0 - mai mare sau egală cu 0. Și valoarea absolută este egală cu 0 dacă și numai dacă x este egal cu 0. A doua proprietate este aceea că pentru toate x în R, valoarea absolută a lui x este egală cu valoarea absolută a lui minus x. Pentru toate xy din R, dacă iau valoarea absolută a produsului, aceasta este egală cu produsul valorilor absolute. Pentru tot x din R, valoarea absolută a lui x pătrat este egală cu valoarea absolută a lui x pătrat. A cincea proprietate este, dacă x și y sunt în R, atunci x este mai mic sau egal cu y dacă și numai dacă minus y este mai mic sau egal cu x este mai mic sau egal cu y. Și a șasea proprietate pe care o vom demonstra este că pentru tot x din R, x este mai mic sau egal cu valoarea sa absolută. Deci, din nou, acestea nu sunt prea surprinzătoare. Dar vom trece prin dovezi, pentru că acesta este scopul acestei clase. Mai târziu, în viață, veți întâlni câteva teoreme mai interesante decât cu siguranță aceasta. Deci, dacă... deci vom demonstra această primă afirmație, că dacă x este în R, valoarea absolută a lui x este mai mare sau egală cu 0. Deci, dacă x este mai mare sau egal cu 0, atunci valoarea absolută lui x este, prin definiție, egal cu x, care este mai mare sau egal cu 0. Dacă x este mai mic sau egal cu 0, atunci absolutul -- atunci minus x este mai mare sau egal cu 0. Și prin definiția lui x este egal cu x, care este mai mare sau egal cu 0. valoare absolută, valoarea absolută a lui x este egală cu minus x, care este mai mare sau egală cu 0. Deci asta este dovedit că valoarea absolută a lui x este întotdeauna mai mare sau egală cu 0. Deci, acum, să demonstrăm această afirmație. Valoarea absolută a lui x este egală cu 0 dacă și numai dacă x este egal cu 0. Deci, când vedeți un dacă și numai dacă, sau două săgeți aici, înseamnă că trebuie să demonstrați două afirmații, că acest lucru implică acest lucru și asta implică acest lucru. Deci, să începem cu această direcție. De obicei, în dacă și numai dacă, există o direcție ușoară. Dacă x este egal cu 0, atunci acest lucru este clar din definiție. Atunci valoarea absolută a lui x este egală cu x este egală cu 0. Să mergem cu cealaltă direcție. Deci, să presupunem că valoarea absolută a lui x este egală cu 0. Și dacă x este mai mare sau egal cu 0, obținem că x este egal cu valoarea sa absolută a lui x este egală cu 0. Dacă x este mai mic sau egal cu 0, atunci minus x este egal cu valoarea sa absolută a lui x, care este egală cu 0, sau x este egal cu 0. Deci, presupunând că valoarea absolută a lui x este 0, am demonstrat că x este egal cu 0 în ambele cazuri. Deci asta dovedește prima proprietate. Așa că acum, suntem pe punctul de a demonstra numărul doi. Deci numărul doi, pentru tot x din R, valoarea absolută a lui x este egală cu minus x. Așa că vom face asta prin, din nou, trebuie să luăm în considerare două cazuri. x este nenegativ sau x este nepozitiv. Deci, dacă x este mai mare sau egal cu 0, atunci minus x este mai mic sau egal cu 0, ceea ce implică faptul că valoarea absolută a minus x este egală cu minus minus x, care este egal cu x, care este egal cu valoarea absolută a lui x, deoarece noi' re în cazul în care x este nenegativ. Dacă x este mai mic sau egal cu 0, n minus x este mai mare sau egal cu 0, ceea ce implică faptul că valoarea absolută a minus x este egală cu minus x, adică, deoarece x este mai mic sau egal cu 0 și prin definiția valorii absolute, egală cu valoarea absolută a lui x. Deci se dovedește și asta. Deci, pentru orice număr real xy, valoarea absolută a lui x ori y este egală cu valoarea absolută a x ori valoarea absolută a lui y. Deci trebuie să luăm în considerare două cazuri. Una dintre ele este... ambele sunt nenegative, ambele sunt nepozitive. Și amândoi sunt-- sau unul dintre ei este pozitiv, unul dintre ei este nenegativ, sau unul dintre ei este nenegativ, unul dintre ei este nepozitiv. Deci, dacă x este mai mare sau egal cu 0 și y este mai mare sau egal cu 0, atunci x ori y este mai mare sau egal cu 0, ceea ce implică x, valoarea absolută a x ori y este egală cu x ori y . Și deoarece x este nenegativ, aceasta este egală cu valoarea sa absolută. Deoarece y este nenegativ, aceasta este egală cu valoarea sa absolută. Dacă x este mai mare sau egal cu 0 și y este mai mic sau egal cu 0, atunci minus x ori y este mai mare sau egal cu 0, ceea ce implică că valoarea absolută a x ori y este egală cu -- deci I ar trebui să spun, hai să scriem așa. Acesta este egal cu minus xy, care este egal cu x ori minus y. Și deoarece y este negativ, minus y este egal cu valoarea sa absolută. Și deoarece x este nenegativ, x este egal cu valoarea sa absolută. Deci asta este egal cu asta. O altă bucată de cretă. Acum, în cazul în care... deci s-ar putea să vă gândiți ce zici de x negativ și y nenegativ, deci y mai mare sau egal cu 0, x mai mic sau egal cu 0. Este aceeași dovadă, doar schimbă x și y. Deci nu voi face cazul ăsta. Și dacă x este mai mic sau egal cu 0, y este mai mic sau egal cu 0. Atunci acest lucru implică faptul că minus x este mai mare sau egal cu 0. Și minus y este mai mare sau egal cu 0. Care prin acest prim caz , ceea ce am demonstrat, aplicat acum la minus x și minus y, obțin că valoarea absolută a minus x ori minus y, care este egală cu x ori y, deci minus x ori minus y este egală cu x ori y. Aceasta este egală cu valoarea absolută a minus x ori valoarea absolută a minus y. Și prin numărul doi, ceea ce am demonstrat deja, și anume că valoarea absolută a minusului numărului este din nou egală cu valoarea absolută a numărului, obținem asta. Deci sunt trei. Și pentru patru, acesta este doar un caz special de trei. Luați y este egal cu x în trei. Acum, pentru numărul cinci, este un dacă și numai dacă. Deci trebuie să demonstrăm două direcții. Și anume, vom presupune acest lucru, apoi vom demonstra acest lucru, apoi vom presupune acest lucru și apoi vom demonstra asta. Deci, să presupunem - deci aceasta este această direcție, adică să presupunem - presupunerea noastră va fi, să presupunem că valoarea absolută a lui x este mai mică sau egală cu y. Deci, x este mai mare sau egal cu 0. Atunci asta înseamnă că-- deci, dacă valoarea absolută a lui x este mai mică sau egală cu y, asta vă spune automat că y este nenegativ. Prin urmare, minus y este mai mic sau egal cu 0, care este mai mic sau egal cu x, care este egal cu valoarea absolută a lui x, care este mai mic sau egal cu y. i.e. minus y este mai mic sau egal cu x este mai mic sau egal cu y. Deci, în celălalt caz, că x este mai mic sau egal cu 0, pot aplica practic această parte pe care am demonstrat-o deja. n minus x este mai mare sau egal cu 0. Și valoarea absolută a lui minus x, care este egală cu valoarea absolută a lui x, este mai mică sau egală cu y, ceea ce implică, prin acest prim caz pe care l-am dovedit aplicat acum, minus x aici, acel minus y este mai mic sau egal cu minus x este mai mic sau egal cu y. Și înmulțirea cu minus 1 răsturnează toate inegalitățile și, de asemenea, răsturnează semnul, ceea ce înseamnă practic că lasă această inegalitate neschimbată dacă o înlocuiesc cu x. Deci, înmulțirea cu minus 1 întoarce inegalitățile și demonstrează ce vrem să facem. Deci, în ambele cazuri - deci pentru primul caz, am notat de fapt o dovadă și am redus al doilea caz, x negativ, la primul caz pe care l-am demonstrat deja. Deci am demonstrat că această inegalitate, valoarea absolută a lui x mai mică sau egală cu y, implică faptul că aceasta. Deci, acum, trebuie să demonstrăm direcția inversă. Deci direcția inversă. Deci, să presupunem că minus y este mai mic sau egal cu x este mai mic sau egal cu y. Și vreau să demonstrez că valoarea absolută a lui x este mai mică sau egală cu y. Deci, dacă x este mai mare sau egal cu 0, atunci valoarea absolută a lui x este egală cu x, care prin această inegalitate este mai mică sau egală cu y. Dacă x este mai mic sau egal cu 0, atunci minus y este mai mic sau egal cu x, înseamnă că minus x este mai mic sau egal cu y. Și pentru că x este negativ, minus x este egal cu valoarea sa absolută. Și, prin urmare, am demonstrat că valoarea absolută a lui x este mai mică sau egală cu y. Deci am dovedit numărul cinci. Și numărul șase, deci pentru numărul șase, ce facem? Doar luăm y este egal cu valoarea absolută a lui x din cinci, pentru a concluziona că x este mai mic sau egal cu valoarea absolută a lui x și mai mare sau egal cu minus valoarea absolută a lui x. Și asta e dovada. Acum, voi demonstra o ultimă teoremă. Deci acesta este de fapt foarte important, despre valoarea absolută. Probabil este... deci această inegalitate este unul dintre cele mai importante instrumente în toate analizele. Și o poți vedea chiar aici, la prima ta oră de analiză. Există două -- practic alte două lucruri pe care le vom demonstra la un moment dat -- la un moment dat , ceea ce nu știu, sunt celelalte două lucruri cele mai importante în analiză. Aceasta este inegalitatea triunghiului. Iar celelalte două sunt integrarea pe părți și schimbarea variabilelor. Aceste trei lucruri alimentează mașina de analiză. Deci această teoremă, deci aceasta este inegalitatea triunghiului. Și afirmă pentru toate xy din R, valoarea absolută a lui x plus y este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui x plus valoarea absolută a lui y. De ce se numește inegalitate triunghiulară? Ei bine, să încercăm să gândim, deci, deși x și y sunt elemente ale dreptei numerice reale , să încercăm să ne gândim la acestea ca doi vectori. Deci iată vectorul x. Și apoi, să zicem... deci, de fapt, am rămas fără timp. Așa că cred că ne vom opri aici.