[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [CLIC] ROBERT TOWNSEND: Ei bine, salutări tuturor. În primul rând, în ceea ce privește lista de lectură, astăzi vom termina cele două, trei lucruri pe care în mod deliberat nu le-am făcut la sfârșitul prelegerii despre firme și seturi de producție, care a fost în mare parte Kreps, dar cu multe chestii adăugate. Ar trebui să spun că lucrurile adăugate anticipează în mare măsură o aplicație la care am ajuns la sfârșit, care este impactul tarifelor și așa mai departe, asupra bunăstării economice. Deci veți avea instrumentele în momentul în care ajungem acolo, deși vă vom oferi și câteva mementouri. Al doilea lucru este că, deși nu este marcat cu stea, există aceste lucruri despre -- alte lucruri pe lista de lectură, care nu sunt marcate cu stea în acest caz, despre marele cutremur japonez. Și asta e... O să vorbesc despre asta pentru moment, dar știu că toată lumea este destul de ocupată și sunt o mulțime de lucruri necesare de făcut. Dar dacă ai ocazia, sunt sigur că ți-ar face plăcere să arunci o privire la acel articol. Astăzi, principalul lucru asupra căruia vreau să vă atrag atenția este luarea deciziilor în condiții de incertitudine și, de asemenea, programe liniare. Și acel material provine în mare parte de la Nicholson și Schneider, deși are unele materiale care au fost mutate în raport cu anii anteriori. După cum veți vedea, acest Medville, care este prescurtarea pentru economia satului medieval, mai multe diapozitive de astăzi au material despre asta din acea carte, pe care, prin urmare, l-ați putea găsi util. În ceea ce privește ghidul de studiu, avem câteva întrebări aici. Și lasă-mă să încerc ceva puțin nou, dar totuși, lasă-mă să încerc. Armando, ai putea să te oprești la asta -- definești randamentele crescătoare, descrescătoare și constante la scară și producție? PUBLIC: Da, deci, mai întâi, revenirea constantă la scară înseamnă că dacă dublezi intrările, obții dublul ieșirilor. Creșterea înseamnă că eficiența crește pe măsură ce o creștem, așa că dacă dublezi intrările, obții mai mult decât dublul ieșirilor. Și în scădere este că dacă dublați intrările, veți obține mai puțin de dublu. ROBERT TOWNSEND: Da, e corect. Acesta este un răspuns destul de bun. Putem defini aceste lucruri în diferite moduri. Toate sunt echivalente între ele. Felul în care ai făcut-o este bine. Și în unele privințe, definițiile sunt inversul a ceea ce v- ați aștepta. Scăderea randamentelor la scară înseamnă că, dacă alegeți oricare -- dacă alegeți zero și orice alt punct din setul de posibilități de producție și apoi alegeți alfa între 0 și 1, acel punct se află și în setul de producție. Eu zic că este ciudat, pentru că în scădere... de fapt, te retragi, spre deosebire de dublare și de înaintare, dar este aceeași definiție pentru că obții acea curbură în setul de producție și, la fel, pentru randamente crescătoare. Deci mulțumesc, e bine. Bine, am marcat câteva dintre acestea. Nu trebuie să le facem pe toate. Cum ați demonstra că profiturile maximizate sunt omogene de gradul 1 în prețurile p? Caleb, dacă spun numele tău corect... Aulins? PUBLIC: Da, scuze, care a fost întrebarea? ROBERT TOWNSEND: Demonstrați că profiturile maximizate sunt omogene de gradul 1 și prețurile p. Cum ai proceda pentru a dovedi asta? PUBLIC: Nu sunt sigur. ROBERT TOWNSEND: Îți amintești ce înseamnă omogen de gradul 1 ? Public: Nu. ROBERT TOWNSEND: OK, atât de omogen de gradul 1 înseamnă că dacă mărești fiecare element al factorului preț cu o constantă care maximizează profiturile, crește cu aceeași constantă. PUBLIC: OK. ROBERT TOWNSEND: Vă simțiți confortabil să luați un crack la restul asta? PUBLIC: Nu sunt sigur care este răspunsul. ROBERT TOWNSEND: Bine, bine , e în regulă. Wang Ping... și corectează-mă dacă îți spun numele greșit. Sunt sigur că sunt. PUBLIC: În viitor, poți să-mi spui doar Andy. ROBERT TOWNSEND: Andy, bine. PUBLIC: Da. ROBERT TOWNSEND: Acesta este A din inițiala din mijloc. PUBLIC: Da. ROBERT TOWNSEND: OK, deci să vedem. Vrei să încerci aceeași întrebare? PUBLIC: Sigur, da, deci omogenitatea înseamnă practic, dacă dublăm prețurile, atunci dublam și profitul. ROBERT TOWNSEND: Corect. PUBLIC: Corect, deci cred că funcția de profit este egală cu - este p.z, unde z este vectorul de producție. ROBERT TOWNSEND: Da. PUBLIC: Și deci dacă dublăm prețul p, dacă dublăm... dacă dublăm producția, deci dacă menținem același vector de producție, z, atunci putem garanta că cel puțin dublam profiturile. Dar dacă am fi capabili să facem mai bine, atunci am putea înjumătăți din nou prețurile și am putea obține o producție mai bună, practic, o producție mai bună pentru nivelul de preț inițial. Și astfel, practic, profiturile optime la prețurile dublate trebuie să fie exact de două ori mai mari decât valoarea la prețurile obișnuite. ROBERT TOWNSEND: Corect, cred că acesta este răspunsul corect. Felul în care îmi place să mă gândesc la asta este dacă noi-- grafic, dacă am dubla prețul fiecărei componente a vectorului preț, p, atunci nu vom schimba panta acelor linii izoprofit. Și astfel, tangența cu frontiera posibilităților de producție ar fi același punct. Și de aceea z, ca în p.z, nu se mișcă. Super multumesc. Și hai să mai încercăm una. Care este definiția unei izocuante? Deci Ke Qiu-- PUBLIC: Cred că definiția izocuantei este ca, a existat un set de limite de intrare care, având în vedere productivitatea, vor scoate același nivel de ieșire y - toate limitele de intrare care produc același nivel de ieșire . ROBERT TOWNSEND: Da, este corect. Super multumesc. OK, deci am fost prea ambițios și am marcat prea multe dintre acestea. După cum am spus, aleg la întâmplare. În acest caz, azi dimineață, am marcat doar câteva dintre ele. Aruncă o privire la celelalte. Ca întotdeauna, aceste întrebări de revizuire sunt în beneficiul dumneavoastră, pentru clasă. Îți fac apel doar acum, în loc să iau voluntari, pentru că îmi place participarea la cursuri și este doar un reamintire să încerci să ții pasul, mai degrabă decât să trebuiască să recuperezi terenul pierdut mai târziu, când studiezi pentru semestrul sau ceva de genul ăsta. Dacă ții pasul cu clasa, vei fi bine. OK, așa că permiteți-mi să merg la prelegerea 4 și să vorbesc puțin despre trei exemple de producție conexe pe care le-am prezentat în prelegere, exemplul comerțului. Dar iată și altele care se referă de fapt la ceea ce vom ajunge și la sfârșitul prelegerii 5 . În primul rând, vreau să vorbesc despre matricele de intrare-ieșire Leontief. Așadar, viziunea lui Leontief asupra posibilităților de producție ale economiei a fost interesantă, deși puțin simplă. Să presupunem că există trei sectoare, de exemplu, ca în această matrice. Aveți un sector care reprezintă materii prime, care ar putea fi agricultura sau minerit și așa mai departe, și un sector care reprezintă servicii, care ar fi comerțul cu amănuntul, publicitatea, transportul, avocații, agenții imobiliari și serviciile financiare -- ar putea continua și pe. Și producția, care cred că se explică de la sine -- toată această pagină de prelegere este menită să fie reprezentativă. Evident, puteți avea multe rânduri particulare, în funcție de dorința dvs. de a dezagrega din ce în ce mai mult în mai multe și mai detaliat. Deci această matrice, ceea ce spune este că motivația pentru aceasta este că aveți o cerere finală și cât de mult ar trebui să produceți pentru a satisface cererea finală? Ai putea avea cerere finală pentru servicii, dar problema este că aceasta este cererea finală, nu toate cererile intermediare. Serviciile sunt la rândul lor utilizate în alte sectoare. Și, de fapt, coloana de aici reprezintă faptul că pentru a produce servicii în valoare de 1 USD - serviciile sunt folosite în alte sectoare, ca în acest rând. Serviciile apar în producția de materii prime, serviciile apar în producția de servicii din cauza acestei probleme de agregare și se obișnuiesc în producție. De asemenea, dacă mergeți în jos pe coloană, pentru a produce servicii în valoare de 1 USD , aveți nevoie de materii prime în valoare de 0,04 USD, servicii în valoare de 0,03 USD și producție în valoare de 0,01 USD. Deci, puteți vedea, input-output-- acestea sunt ambele, într-un anumit sens, ieșiri directe, dar și intrări indirecte în alte sectoare. Aceasta este, de altfel, o versiune a întrebării care are legătură cu agregarea. Data trecută, am avut un slide care arăta două bunuri, x și y, cred... sau era Y1 și Y2. Și unul a folosit Y1 ca intrare și a folosit Y2, iar cealaltă industrie a folosit Y2 ca intrare pentru a produce Y1. Asta a fost randamente în scădere. Acestea sunt randamente constante liniare , deoarece totul aici este liniar, dar este aceeași idee de intrări și ieșiri. Așa că luăm aceste informații în matricea de intrare-ieșire și le rezumăm într-o matrice A și aici reproducem exact aceste elemente de coloană de rând. OK, deci problema este că avem cerințe finale, care sunt date, care este un vector coloană tridimensional. Și ne spune cât de mult vom avea nevoie pentru a ajunge să livrăm fie consumatorilor, fie pentru export, servicii de materii prime și produse manufacturate, în această ordine. Deci, dacă ne gândim la aceste ecuații aici, vrem să producem x. Și apoi vrem să ne dăm seama cât de mult să producem dacă vrem să îndeplinim cerințele finale de 400, 200 și 600. Dar, în plus, o parte din acea ieșire este folosită la rândul său ca intrări și nu este disponibilă pentru consumator. și cererile de export. Deci ecuația cheie aici ar fi, dacă trebuie să producem x, dar pierdem de câte ori x deoarece o parte din acea ieșire este folosită ca intrări, atunci trebuie să producem i minus un ori X. I este matricea de identitate aici. Deci, pur și simplu preia la fel - este 1 pe diagonală și 0 pe diagonală. Deci, de exemplu, ia ți-ar da x înapoi, ca și cum nu ar fi trebuit să folosești lucrurile ca intrări. Ax, prin care am trecut aici, vă oferă... dacă veți produce x, cât de mult din acel x se consumă în producția de servicii, materii prime și producție? Și ceea ce a mai rămas, I minus a ori x, ar trebui să fie egal cu cererea. Deci aceasta este o ecuație liniară în variabilele de control, și anume x. Și, de asemenea, se dau cereri. Deși pentru a anticipa puțin, ați putea crede că există un compromis în ceea ce privește cererile sau poate că o combinație liniară de cerințe este bună, nu doar anumite numere. Și atunci vă puteți imagina maximizarea cererii, dar în orice caz supus acestei constrângeri. Aici, e mai simplu. Ni se oferă doar cerințele și trebuie să producem x astfel încât să satisfacem cererea. Deci acesta este un sistem liniar de ecuații liniare. Și dacă vă amintiți o mică algebră matriceală, tot ce trebuie să facem este să inversăm această matrice, în minus a, care o elimină pe ambele părți - pe partea stângă și o pune pe partea dreaptă. Deci soluția x pe care o dorim este i minus a ori dx. Așa că voi spune în acest caz, puteți merge înapoi și vă dați seama că acesta a fost 0,2, deci i-- 1 minus 0,2 este 0,98 și așa mai departe. Nimic nu se scade pe diagonala off, deoarece i este 0 acolo. Deci, atâta timp cât aceasta este ceea ce am numi o matrice nesingulară, că rândurile și coloanele sunt independente unele de altele, unul nu este un factor multiplicator al niciunuia dintre celelalte două, atunci acest invers există și putem rezolva problema. Și puteți vedea, deși ar trebui să fie intuitiv până acum, că trebuie să producă mai mult de 400 de materii prime. Ei trebuie să producă 449. De fapt, acestea au fost notate în miliarde și, de asemenea, cât mai mult din fiecare față de cererea dată în mod exogen depinde de fapt într-un mod destul de complicat de acea matrice A, în sensul următor. Pentru a produce o unitate de servicii, trebuie să luăm în considerare intrările de producție și materiile prime. Dar pentru a produce produse de producție și materii prime, trebuie să țineți cont de faptul că și ei folosesc servicii și așa mai departe. Și de fapt, poți să continui să te întorci în matrice. O altă modalitate de a scrie sistemul de ecuații, de fapt, pentru a obține inversul, este să conectați succesiv prima aproximare, a doua aproximare, a treia aproximare pe măsură ce luați în considerare din ce în ce mai multe straturi ale interacțiunii. Deci ai putea avea un sector care nu contribuie foarte mult la cererea finală, dar este crucial ca aport în celelalte două sectoare. Deci sectorul respectiv ar putea avea o importanță ridicată, deși nu satisface direct cererea în sine. Așa că ajungem la Google și în special la algoritmul lor. Când introduceți un cuvânt cheie, se afișează într-o ordine de clasare cele mai probabile lucruri care au legătură cu ceea ce tocmai ați căutat. Acesta a fost inventat de Sergey Brin și Larry Page. Uneori mă întreb dacă numele de familie ale oamenilor nu sunt predictori ai carierei lor în cele din urmă, Larry Page fiind unul dintre părinții PageRank, dar oricum, acel algoritm se bazează într-adevăr pe aceleași idei care stau la baza clasamentului industriilor lui Leontief , adică tu Google ai ceva , și s-ar putea să existe un articol despre care s-ar putea să nu fi considerat cel mai important, deoarece s-ar putea să pară să nu răspundă direct la întrebare. Dar, de fapt, este articolul cheie care a început totul, care a fost citat și folosit de alte lucruri care sunt mai direct legate de articolul Google pe care îl căutați. Și această afișare nu este pe sectoare ale industriilor, ci doar printr-o diagramă de rețea. Puteți vedea aceste lucruri direct legate prin căi către lucrurile din centru, aceste valori aberante sau clustere. Și apoi devine foarte subțire, dar ar putea ajunge să fie importante pentru că sunt legate de lucruri din interior. Aceste lucruri sunt clasificate în funcție de distanță, de fapt, reordonate pentru ca diagrama să afișeze gradul de apropiere. Și ei... Page și tipii ăia au citat de fapt despre Leontief și matricea de rezultate. Și apoi, ca exemplu final, Marele cutremur din Japonia de Est - ca să vă reamintesc, a fost un cutremur, unul mare, și apoi un val de maree ulterior. Și, de fapt, linia de coastă cred că s-a redus cu un metru, sau o sumă revoltătoare. Și așa a venit valul, făcând multe pagube. Și asta evidențiază structurile deteriorate. Și aceasta evidențiază sediile firmelor a căror locație a sediului a fost distrusă imediat după cutremur și tsunami. Apropo, centrala nucleară de la Fukushima era chiar acolo, adăugând amestecului. Deci ne mutam aici. Aceasta este toată insula principală a Japoniei. Și aceasta este zona care este evidențiată, zona mică de aici. Și apoi întrebăm, ca un sens de intrare-ieșire, care industrii au furnizat sediului central, care nu este în sine doar acolo unde se află toată conducerea, ci ca unitatea de producție primară. Aveți intrări furnizate către General Motors, de exemplu, în Detroit. Aveți producători de anvelope care au legătură... aceasta este Japonia. Deci avem furnizori de input legați de sediul central sau intermediari. Și, de asemenea, în principiu, nu este vorba doar de intrări din amonte, ci de ieșiri din aval. Întreruperea de aici înseamnă că nu puteți produce ceva care este, la rândul său, furnizat în aval, citați fără citat, altora. Deci prima conexiune de ordin, ca în PageRank, sunt aceste zone în roșu. Și acum, am acoperit toată Japonia, deoarece există fie un furnizor imediat de intrări, fie un cumpărător de ieșiri deteriorat indirect în sensul de gradul întâi, din nou, aceasta este zona principală de daune. Aceasta este daune de gradul doi , A legat de B, care a fost lovit cu C și așa mai departe. Așa că, în cele din urmă, pe măsură ce treceți în acest caz la ordinul al cincilea, cea mai mare parte a Japoniei a fost acoperită. Și, de fapt, acest cutremur japonez a provocat o scădere a PIB-ului la nivel național de aproximativ 1,5%. Este, totuși, doar o altă ilustrare a aceleiași matematici. Așa că acum, cu o oarecare trepidare, permiteți- mi să merg la prelegerea 5 și să verific dacă puteți vedea asta pe ecranele voastre în timp ce mă deplasez prin ea. Da, poți să vezi corect? Deci, aceasta este luarea deciziilor în condiții de incertitudine și apoi vom reveni la unele dintre tehnicile noastre, în special programarea, programarea liniară. Deci, să presupunem că avem o loterie și că există mici n premii distincte, posibil zero, posibil negative dacă ia bani. Deci, aceste X sunt valoarea câștigurilor sau a pierderilor, dacă asta chiar apare la loterie. Există n lucruri posibile care se pot întâmpla și se întâmplă cu aceste probabilități pi, pi1 fiind probabilitatea ca câștigurile sau pierderile să fie de ordinul x1, pi2 pentru x2 și așa mai departe. Pentru că este o loterie, probabilitățile în sine nu sunt negative. Sunt 0 sau pozitive. Și este o loterie cuprinzătoare, alegând peste acest vector de rezultate posibile, deci probabilitățile se adună la 1. Cu alte cuvinte, loteria este o variabilă aleatorie bine definită, cu aceste n realizări distincte. Și putem numi așteptarea loteriei, rezultatul așteptat al loteriei cu capitalul variabil aleator X, doar pentru a fi media ponderată a rezultatelor în care ponderile sunt aceste probabilități. Deci, o parte din asta-- aceste câteva diapozitive au de-a face cu ideile de loterie peste articole discrete. O parte din următoarele câteva diapozitive sunt recenzii rapide ale unor idei și statistici de bază. Iată o idee de bază din statistici. Dacă avem o variabilă aleatoare, capital X, atunci când vrem să vorbim despre variabilitatea ei sau despre varianța ei, notată cu sigma pătrat X, adică doar dispersia lui X în jurul mediei, mu X. Mu X a fost definit aici în precedentul alunecă ca medie pătrată. Așa că punem la înălțime diferențele. Dacă X ar fi egal cu media sa, acesta ar fi 0. Cu cât este mai departe , cu atât valoarea pătratului ar fi mai mare. Așteptările înseamnă din nou că luăm doar medii ponderate, ponderile fiind aceste probabilități pi I. Deci aceasta ar fi expresia formală. Varianta este proxy pentru risc. Rădăcina pătrată a varianței se numește abatere standard. Și dacă vrem să o normalizăm astfel încât să putem interpreta unitățile acesteia fără a cunoaște mărimile variabilei de bază, împărțim la media ei. Deci abaterea standard împărțită la medie se numește coeficient de variație. Ceea ce vreau să spun prin normalizare nu este doar că împărțim, ci și motivul împărțirii - vă puteți imagina foarte bine dacă avem două variabile aleatoare și una este de două ori cealaltă , atunci toate valorile sunt dublate și măsura a dispersiei va crește și el. Deci, dacă dorim să măsurăm variabilitatea, aceasta este oarecum independentă de scara variabilei aleatoare subiacente în sine. Încă un diapozitiv despre statistici - deci să presupunem că premiul are două dimensiuni, X și Y, nu doar câștigurile și pierderile de dolari, ci poate două mărfuri diferite. Deci, o anumită realizare sau rezultat ar fi o specificare atât a valorii lui X, cât și a valorii lui Y Xi, Yi pentru realizarea i. Realizarea i se întâmplă cu probabilitatea pi i, care este aceeași ca înainte. Acum, totuși, putem defini covarianța dintre două variabile aleatoare, x și y, să fie așteptarea ca produsul să scadă din medii. Deci X plus media sa uX, ori Y minus media sa uY. Și nu l-am scris, dar ați putea să o rezumați pe același pi în loc să scrieți operatorul de așteptare. Vă spune dacă variabilele x și y se mișcă împreună sau se mișcă în direcții opuse. Deci, de exemplu, atunci când o valoare mare a lui X corespunde cu o valoare mare a lui Y, gândindu-ne colectiv la aceste realizări Xi sau Yi, atunci această covarianță este pozitivă. Și, de asemenea, dacă un x mare înseamnă un y scăzut, covarianța ar fi negativă. Ați putea să vă gândiți să reprezentați variabilele Xi, Yi ca într-un nor și să încercați să vă dați seama dacă norul rulează pe linia de 45 de grade sau merge în direcția inversă, de la nord-vest la sud-est. Din nou, este util să normalizăm, așa că luăm acea covarianță și o împărțim doar la produsul varianței, numită corelație. Și, prin construcție, corelațiile vor fi între minus 1 și 1. Deci, din nou, 0 înseamnă nicio corelație, 1 înseamnă corelație perfectă, direcție pozitivă, n minus 1, înseamnă corelație negativă. Deci, acestea sunt cele trei slide-uri de revizuire statistică și vom reveni la ele pentru moment. Toate sunt definite pentru variabile aleatoare, dar am definit o variabilă aleatoare gândindu-ne mai întâi la o loterie. Deci, să revenim la loterie. Aici, de fapt, ingredientele de bază sunt x1 și x2, dar ele pot lua doar un număr finit de valori. Aceste puncte reprezintă un punct discret, iar acest spațiu de marfă aici, valorile lui x1 și x2, care sunt fezabile, acesta nu este un spațiu convex, deoarece puteți găsi cu ușurință linii între oricare dintre aceste puncte. Iar punctele intermediare de pe linie, altele decât punctul final, nu sunt în acest set de consum. Deci aceasta este o mulțime neconvexă. Întorcându-ne la interpretarea loteriei, să numim, să zicem, Cs o anumită realizare sau stare sau punct din spațiul mărfurilor - iar capitalul C. S denotă setul tuturor stărilor posibile. Numărează doar numărul de puncte pe care le vezi pe această imagine. Deci, de exemplu, dacă există puncte sau stări S majuscule, fiecare stare corespunde unui anumit pachet de consum în R2 și putem numi pi S probabilitatea de a fi în starea S. Deci am putea avea o loterie în acest spațiu. Dacă definim acele loterie, o anumită loterie ar pune o probabilitate nenegativă, poate 0, pentru orice stare anume. Și suma probabilităților pentru toate statele ar trebui să se adună la 1. Deci, aceasta este o loterie specială. Setul tuturor loteriei posibile este setul tuturor probabilităților pi care satisfac aceste două caractere numite, numiți capital Pi. Se mai numește și simplex. Prin definiție, un simplex este o mulțime în care fiecare element este nenegativ, iar toate elementele însumează 1. Deci, o loterie satisface definiția unui simplex. Alte lucruri fac, de asemenea. OK, deci acesta devine noul spațiu de mărfuri, nu setul de puncte de bază, ci setul de loterie pe acele puncte. Și, de asemenea, acum putem defini preferințele cu această inegalitate de script ondulată față de setul de posibile loterie. Și ceea ce vom folosi este utilitatea așteptată de von Neumann Morgenstern , ceea ce este destul de natural. Și se spune, luați un anumit punct Cs în acel spațiu, luați utilitatea de bază a acestuia - pe care am folosit-o înainte. Luați probabilitatea acelei stări și apoi însumați-o peste toate stările posibile și definiți această utilitate așteptată. Deci, acestea sunt numerele reale subiacente ale utilității deterministe. Acest obiect de aici din stânga este utilitatea așteptată pentru o anumită loterie pi. Și ideea acum este că toate loteriile posibile pot fi clasate după acest criteriu de utilitate așteptat. Să remarcăm doar în trecere că acest criteriu de utilitate așteptat este liniar în obiectele de alegere, care sunt loteriile. Aceste lucruri u de Cs devin coeficienți, numere reale. Dar nu variam punctele de bază ale mărfurilor. Deci acestea devin numere fixe. Și lucrul pe care ne interesează să variem ar fi probabilitățile care constituie loteria. Deci funcția obiectiv este liniară în probabilități. Există câteva criterii pe care trebuie să le îndeplinim pentru a ne clasifica folosind utilitatea așteptată. Ceea ce vrem să obținem la sfârșitul zilei este că o loterie pi este strict preferată unui pi prim de loterie, dacă utilitatea așteptată sub pi este strict mai mare decât utilitatea așteptată sub pi prim. Pentru a face asta, avem nevoie de trei axiome, acestea trei. Prima combină două-- un pic de înșelăciune. Completitudinea spune că toate loteriile pot fi clasate și ne pot oferi un număr. Și tranzitivitatea, cred că puteți vedea, va fi satisfăcută, deoarece dacă A este preferat lui B, loteria pi este preferată loteriei pi prim, iar pi prim este preferată pi dublu prim. În cadrul ordonării preferințelor, putem mapa acele ordini de preferințe în aceste obiecte utilitare așteptate, care sunt doar numere reale care satisfac tranzitivitatea. Deci, acestea sunt proprietăți intuitive, completitudine și tranzitivitate. Iată ceva numit independență. Luați două loterie de focalizare, notate pi și pi prim și spuneți că pi este slab preferat în conformitate cu ordinea de utilitate așteptată la pi prim. Atunci trebuie să fie adevărat că o loterie ponderată alfa... aceasta este o loterie, pi este o loterie. Și pi prime este o loterie. Și pi triple prime este, de asemenea, o loterie. Deci acum luăm probabilități compuse, dacă doriți, când luăm suma ponderată alfa a loteriei pi și pi prim. Dacă alfa ar fi, să zicem, egal cu 1, atunci ni s-a dat deja că pi este slab preferat pi prim, iar aceasta ar fi o declarație echivalentă în partea dreaptă. Dacă alfa este mai mică de 1, totuși, atunci punem o oarecare pondere pe această a treia loterie străină, pi dublu prim, iar noțiunea de independență înseamnă că, indiferent de aspectul acestei alte loterie, nu contează pentru alfa fix când este vine la ponderarea pi și pi dublă-- ponderarea loteriei compuse. Deoarece fiecare dintre acestea, al doilea termen din fiecare dintre aceste expresii este 1 minus alfa ori pi dublu prim, care este același în partea stângă ca și în partea dreaptă. Deci clasamentul este independent de oricare ar fi acel termen. Se pare că ar trebui să fie adevărat, dar este de fapt o axiomă. Continuitatea este similară, deși nu identică. Se spune că dacă avem trei loterie pi, pi prim, pi triplu prim și sunt ordonate în ordine-- pi, preferă pi prim, preferă pi prim dublu, atunci există numere alfa și beta astfel încât această sumă ponderată a pi și pi dublu prim, ponderat cu alfa, este strict preferat față de pi prim, care este strict preferat de suma ponderată beta a pi și pi dublu prim. Acum, modul de a vedea acest lucru este că nu este necesar să fie adevărat pentru toate alfa și beta, este necesar să fie valabil doar pentru unele dintre ele. Deci, dacă ni s-ar permite să setăm alpha egal cu 1, am avea alpha pi în partea stângă, iar pi prim ar fi aici. Am fi preferat ca pi să primească, dar asta a fost dat de la început , deci nu există informații noi. Aceasta înseamnă că dacă alfa este în mod arbitrar aproape de 1, atunci ar trebui să fie adevărat și, prin urmare, noțiunea de continuitate. La fel, în partea dreaptă, dacă beta ar fi zero, ceea ce nu este permis să fie, atunci am obține doar pi dublu prim aici. Și ni s-a dat deja că pi prim este preferat pi dublu prim. Conținutul acestuia este dacă beta nu este 0, ci foarte aproape de 0, atunci ar trebui să păstrăm ordinea de rang. Acestea sunt proprietăți intuitive. Ei sunt aici doar pentru a spune că utilitatea așteptată poate să nu fie, citați fără ghilimele, la fel de generală pe cât ați putea crede atunci când vă confruntați cu probleme de alegere în condiții de incertitudine, deși este foarte natural. Și aceste proprietăți sunt similare în unele privințe cu ceea ce făceam înainte cu ordinele de preferințe obișnuite. Și în ceea ce privește ceea ce am făcut înainte, a existat deja o întrebare de la unul dintre voi despre asta, cum rămâne cu alegerea în condiții de incertitudine? Acum, măsura noastră de utilitate devine cardinală, nu doar ordinală. Ne va păsa cu adevărat de gradul de curbură din această linie portocalie, care mapează rezultatul util așteptat pe măsură ce variam intrarea x. Deci, ce se întâmplă în această configurație aici? Avem venit, să zicem, în mișcare, și are o valoare medie așteptată de x și are câteva puncte finale - cea mai mică valoare x0, cea mai mare valoare x1. Să spunem, pentru simplitate, că asta este tot ce se întâmplă, că loteria care creează variabila aleatoare nu este altceva decât o medie ponderată a x0 și x1. Și acele greutăți sunt astfel încât să producă exact această valoare așteptată. Și asta este ceea ce se desenează cu această linie, și anume așteptarea lui x este o combinație ponderată de x0 și x1. Având în vedere așteptările lui x, ne-am putea întreba care ar fi utilitatea pentru acea valoare deterministă și ar fi-- ar trebui să mergem aici, dacă l-ar obține cu siguranță, și aici, și să avem utilitatea așteptarea lui x. Acesta poate fi un loc amuzant pentru a începe, pentru că aici există o loterie autentică și nu poți obține cu siguranță media. Trebuie să te angajezi la loterie și să suferi aleatoriu în jurul valorii medii. Deci, care este utilitatea reală a loteriei? Ei bine, acest lucru poate fi realizat în această diagramă luând o medie ponderată a utilității punctelor extreme. Iată utilitatea pe care l-ați obține pentru valoarea mare, x1. Iată utilitatea pe care o obțineți pentru valoarea scăzută, x0. Dacă luați o medie ponderată, vă veți deplasa pe această linie. De fapt, veți lua aici această medie ponderată care determină și media și veți merge aici și veți reprezenta utilitatea rezultatului. Deci aceasta este utilitatea așteptată în cadrul loteriei propriu-zise și este doar media ponderată corespunzător a utilităților celor două extreme. Ești cu mine până acum? Deci, după cum puteți vedea, dacă în loc să suferiți la loterie, ați da acestui decident o valoare deterministă cu același nivel de utilitate pe care îl are utilitatea la loterie, care ar fi acea valoare? Asta ar fi chiar aici. Dacă ați începe cu această valoare de x cu siguranță și ați urca la linia portocalie, ați obține utilitatea acolo. Dar acea valoare a lui x este evident mult mai mică decât media. Aceasta se numește valoarea echivalentă de certitudine a loteriei. Lasă-mă să o pun puțin diferit. Dacă ați spus gospodăriei să aleagă între loterie și o valoare deterministă cu o medie mai mică decât media loteriei, ar putea alege valoarea deterministă atâta timp cât acea valoare nu este mai mică decât prima de risc. Orice aici, ei ar alege. Orice aici, nu ar fi făcut-o. Chiar aici, ar fi indiferenți. Acum, așa cum cred că vă puteți imagina, dacă creșteți curbura acestei funcții, veți reduce de fapt utilitatea așteptată a loteriei, deoarece există mai mult risc asociat cu aceasta, în sensul că vă pasă mai mult de varianță deoarece utilitatea dvs. este mai curbă. Și asta va schimba și suma echivalentă cu certitudine. Deci, de acum înainte, pentru o mare parte a clasei, vom lua în considerare utilitatea cardinală mai degrabă decât cea ordinală . Care sunt măsurile standard ale aversiunii la risc? Există ceva numit aversiunea absolută la risc și un alt lucru numit aversiunea relativă la risc. Aversiunea absolută la risc are de-a face cu modul în care utilitatea ta marginală se schimbă pe măsură ce schimbi recompensa, consumul. Iar aversiunea relativă la risc are de-a face cu cât de multă utilitate se schimbă pe măsură ce schimbi procentul de avere pe care îl ai. Vă voi scuti de derivatele din toate acestea, dar vă voi arăta câteva exemple de funcții utilitare care afișează fie o constantă a aversiunii la risc absolut, fie aversiune relativă la risc în diapozitivul următor. Deci, aversiunea absolută la risc este disponibilitatea sau nu de a accepta jocuri de noroc, cum ar fi, începând cu 100 USD, adăugați plus sau minus 10. Loteria este de la 110 la 90. Aversiunea relativă la risc are de-a face cu pariurile proporționale. Începi cu, să zicem, 100 și apoi ai 10% câștiguri sau pierderi. Ar fi la fel, dar ai putea începe cu 1.000 și ai avea 10% câștiguri și pierderi, caz în care te-ai confrunta cu o loterie care te mută de la 1.100 la 900. În condiții de aversiune relativă constantă la risc , tot ce îți pasă sunt acelea. diferențe procentuale față de averea ta inițială. În cazul aversiunii absolute la risc , de fapt nu-ți place noua-- dacă ai început cu 1.000 de dolari, spre deosebire de 100 de dolari, aversiunea ta absolută la risc ar fi de fapt în scădere. Datorită utilității curbe, te- ai gândi la o loterie în jurul unui punct care are mai puțină curbură. Atitudinile față de risc depind de aceste funcții. Deci iată exemplele. Aceasta este o aversiune absolută constantă la risc. Și este o funcție exponențială - pare cam ciudat la început din cauza tuturor acestor semne negative. Spune, ei bine, exponențialul este pozitiv -- da, deci, pe măsură ce C crește, utilitatea scade. Ce naiba se întâmplă aici? Dar punem un semn negativ în fața tuturor acestor lucruri pentru a corecta asta. Deci, puteți lua derivata și a doua derivată și puteți verifica că această funcție are o aversiune absolută constantă la risc și ordinul de mărime este de fapt a. Sau, dacă ați începe de aici, am avea o aversiune relativă constantă la risc și puteți verifica dacă ați făcut calculul -- u prim u dublu ori primul prim C că veți obține un număr R. Deci R este nivelul constant al relativului aversiunea la risc în cadrul acestei funcții. Și le folosim adesea în scopuri diferite. Vor apărea într-o aplicație despre care vom ajunge, cred că aproximativ patru prelegeri. Să mai vorbim despre loterie și incertitudine. De fapt, acum vom introduce nu doar incertitudinea ca în stările lumii S, ci și timpul. Deci timpul evoluează de la ziua 1 la ziua 2 până la ziua 3. Deci, din perspectiva punctului tău de plecare inițial, i0, ai putea experimenta o stare scăzută sau ridicată la data unu. Și dacă ești la prima întâlnire, te confrunți în continuare cu riscuri, așa că ai putea să mergi jos sau mai sus de acolo. Dacă ai trecut la mediu, atunci ai putea să te întorci din nou de la scăzut, mediu, la mare. Aceste ramuri ale copacilor cu noduri reflectă fiecare realizare posibilă și calea pentru a ajunge acolo. Din punctul de vedere al utilității așteptate, am începe aici, ex ante, înainte de a se întâmpla ceva, și am urmări probabilitățile la data unu. Obțineți asta sau asta sau asta cu anumite probabilități, pi s1, dat s0. Dar ai lua în considerare și ziua a doua, așa că iei așteptarea de a fi aici sau aici, sau oricare dintre aceste ramuri intermediare. Și, în sfârșit, ar trebui să adăugați în ziua a treia, unde s-ar putea întâmpla toate aceste evenimente de la cele mai subțiri ramuri ale copacului . Dacă există ceva contraintuitiv în această diagramă, este că atunci când unele lucruri se întâmplă, altele nu se întâmplă. Așa că, când sunteți aici și vă mutați la stânga, ați eliminat celelalte două ramuri ale copacului. Dacă ați lua utilitatea așteptată din prima zi, ați lua în considerare doar ceea ce a mai rămas, care s-ar putea întâmpla la întâmplare. Dar acest criteriu de aici de jos își ia utilitatea așteptată ca și cum nimic nu s-ar fi întâmplat încă deloc. Așadar, luând în considerare toate evenimentele posibile din ziua 1, ziua 2 și ziua 3. Așa că putem ajunge imediat la un bloc care este esențial pentru a înțelege finanțele și piețele financiare, și aceasta este noțiunea de mărfuri contingente de stat. Am făcut-o deja. Mărfurile contingente de stat cu o singură dată ar fi probabilitatea de a obține o anumită bogăție sau o anumită combinație xy de bunuri și așa mai departe. Deci ceea ce obțineți depinde de stat, pachetul de mărfuri pe care îl obțineți depinde de stat. Îi spunem contingent de stat. Primești grâu mâine dacă plouă, dar nimic altfel. Și ne imaginăm că puteți cumpăra de fapt aceste tipuri de titluri de valoare contingente pe piețele financiare. Cu toate acestea, o modalitate mult mai bună de a spune că orice garanție financiară este o medie ponderată, medie ponderată probabilistică pentru toate evenimentele posibile. De exemplu, ești un investitor și ai cumpărat... cineva îți împrumută. Și să ne imaginăm că nu vor reveni niciodată. Atunci, cu siguranță vei primi acei bani înapoi, caz în care, nu mai este riscant, dar asta doar pentru că evenimentul este același. Sau ați putea avea ceva de genul unei opțiuni pe acțiuni, astfel încât să nu intre în joc decât dacă prețurile acțiunilor sunt deosebit de mari și executați opțiunea. Deci, toate titlurile posibile pot fi reprezentate ca combinații liniare ale acestor titluri primitive Arrow-Debreu - primitive în sensul că ele, blocuri de construcție, plătesc numai în cazul unui eveniment bine delimitat și 0 în caz contrar. Așadar, când ajungem la piețe competitive și la cum să gestionăm incertitudinea, vom reveni la aceste mărfuri contingente de stat. OK, deci să trecem la o aplicație a diverselor lucruri, una loterie, două, variabile aleatoare, trei, diversificarea portofoliilor. Cu excepția cazului acesta, ei nu vor tranzacționa active financiare, vor deține loturi de teren. Așa că următoarea hartă pe care o voi arăta este un sat Elford din Stratfordshire, Anglia, în 1719, înainte de incinte. Și umbrite în negru sunt exploatațiile domnului Darlaston. Deci iată satul acela, Elford, Stratfordshire. Și trebuie să te uiți puțin îndeaproape, dar vezi aceste zone mai întunecate , sunt umbrite și reprezintă proprietățile domnului Darlaston. Domnul Darlaston are aceste fâșii lungi și înguste de pământ în tot satul, în toate cele trei câmpuri. Și ai putea să te gândești la asta ca la un portofoliu de terenuri și, în unele privințe, un portofoliu de titluri în care, în acest caz, deținerea de pământ aduce un dividend, care este recolta. Și ați putea foarte bine să presupuneți că există un anumit risc aici, sau sunt oameni ciudați, pentru că altfel ar face așa ceva? Iată o altă vedere a satului Laxton. Ar trebui măcar să vă spun ce sunt incinte. Având în vedere modul în care acest teren a fost întins, nu era practic să se ridice garduri care să marcheze împărțirea limitei tuturor acestor diferite fâșii. Ar fi fost foarte costisitor să ridicați gardurile și foarte greu de arat. Vezi plugurile mici de aici? În cele din urmă, incinte au însemnat că au pus... au împărțit-o. Au scăpat de zonă și au împărțit terenul într-un mod diferit, doar au pus garduri în jurul bucăților de pământ consolidate. Dar nu au făcut asta timp de sute de ani. Au păstrat asta, fâșiile împrăștiate, destul de mult timp. OK, deci să trecem la date. Datele pe care le avem din această perioadă sunt de la episcopul de Winchester. Biserica era bogată și țineau evidențe. Deci aceasta este ceea ce supraviețuiește, exploatațiile Episcopului de Winchester, toate domeniile, culturile fiind grâul, orzul și ovăzul, diverse tipuri de cereale. Și aceste obiecte denotă, să zicem, coeficientul de variație, despre care v-am alertat este varianța împărțită la medie, abaterea standard împărțită la medie. Deci acest număr, să zicem 0,35, se află în mijlocul celorlalte două. De fapt, este puțin la capătul inferior. Chiar și la 0,35, coeficientul de variație de acea magnitudine este foarte riscant. Deci, să ne uităm la imagine. Dacă avem acele diagrame împrăștiate, acele benzi, am putea reprezenta întreaga distribuție a rezultatelor cu probabilitățile lor. Am putea desemna media, Noi, pentru parcele împrăștiate. Și apoi avem evenimente dezastruoase, deci d reprezintă un consum minim, de subzistență. Și dacă aveți aceste diagrame împrăștiate cu acel coeficient de variație de 0,35, atunci aproximativ unul la fiecare 12 ani obțineți un randament foarte scăzut, de mai puțin de 2 ori -- 2 abateri standard sub medie și asta înseamnă foame. Și mureau de foame, știm asta, periodic, la fiecare 12 ani și ceva. Nu ca un ceas, dar în medie la fiecare 12 ani. Acum, ar fi putut face ceva diferit? Ar fi putut consolida terenul și asta ar fi scăpat de anumite costuri și probleme. Asta s-ar fi mutat în sus, dar ai fi rămas cu mai multă masă în cozi și, prin urmare, o probabilitate mai mare de a avea un randament care a fost dezastruos. Deci, motivul pentru care împrăștie terenul așa, în ciuda costurilor, are de-a face cu încercarea de a crește utilitatea așteptată, punând mai puțină masă în cozi. De asemenea, din moșiile episcopului de Winchester, pe care cu greu le poți vedea aici, asta, crezi sau nu, este sudul Angliei. Aceasta este apa aici jos. Și fiecare dintre aceste puncte reprezintă o moșie ecleziastică. Și avem datele recoltelor, recoltelor. În acest caz, covariata, corelația-- conceptul statistic despre care discutam mai devreme-- este ceea ce este reprezentat aici pentru satele care sunt relativ aproape unele de altele și satele care sunt relativ îndepărtate. Deci D înseamnă aproape... îmi pare rău, este greu de citit legenda. Deci, luați două sate în pereche, uitați-vă la corelația dintre cele două sate. Este 0,68 în medie, alegând satele care sunt aproape. Și dacă aveți sate care sunt departe unul de celălalt, acea corelație scade la ceva mai scăzut, astfel încât randamentele nu se mișcă la fel de mult împreună. Deci, din nou, dacă ați fi episcopul de Winchester, poate ați ales locația moșiilor voastre pentru a încerca să vă asigurați că aveți cereale oarecum regulate pentru recoltare, pentru mâncare și pentru a hrăni caii și așa mai departe. Apropo, caii sunt serioși. Asta e cavaleria. Aceasta este principala apărare, așa că au nevoie de ea pentru a-i ține în viață. OK, atunci ajungem la o tehnică pe care am folosit-o deja, dar haideți să o facem de la zero. Și asta se numește programare liniară. Deci aceasta este o problemă de programare liniară. X este variabila de control, un vector. Acesta-- să zicem, vector coloană-- aceste constante, coeficientul C, reprezintă un vector rând, deci acestea sunt greutăți pentru diferitele valori x. Acesta este un set de constrângeri, care este această matrice a ori x, mai mică sau egală cu b. Iar x-urile nu sunt negative. Deci aceasta este notația pentru un program liniar standard, și anume funcția obiectiv. Și seturile de constrângeri reprezintă doar combinații liniare ale variabilelor de control x. Aveam asta în fundul capului când vorbeam despre matricea de intrare-ieșire Leontief. Și am spus în cuvinte, în loc să luăm cererea finală D ca dată, poate că este o medie ponderată a cererilor pe care încercați să o maximizați și, de fapt, aveți de ales între diferite moduri de producție pentru a maximiza acea medie ponderată. Deci am văzut de fapt o versiune timpurie a unei probleme de programare liniară , dar funcția obiectiv nu a fost explicită. Aceasta ar fi problema alegerii consumatorilor într-un mediu competitiv, deci acolo unde există o constrângere bugetară. Deci aceste puncte discrete, punctele de marfă C, indică indicele S care variază în funcție de eroare. S, stările lumii era criteriul de utilitate așteptat, deci aceasta este funcția obiectivă. După alegerea loteriei, deci loteriile sunt nenegative și însumează 1. Pentru a se califica ca loterie, orice loterie trebuie să îndeplinească aceste două criterii. Obiectul de alegere, așa cum am spus -- pentru a-l detalia -- nu este c din s. Acestea sunt puncte fixe de mărfuri. Obiectul ales este pisul. Și vom vorbi despre o problemă de buget, care este că există prețuri p în funcție de s-- adică în funcție de pachetul discret subiacent, destul de natural. Și aveți un buget în dolari pe care îl puteți folosi pentru a cumpăra o loterie, dar dacă probabilitatea nu este banală, este un număr mai mic de 1 și mai mare de 0, atunci creșteți prețul de a primi pachetul respectiv înapoi cu pi. Cu alte cuvinte, plătiți cumva prețul așteptat. Dacă pi s ar fi unul, atunci cu siguranță cumpărați cs și prețul ar fi ps, iar asta ar părea ca prețul standard înmulțit cu cantitatea nu poate depăși bugetul. Dar aici, ceea ce cumperi este o loterie, iar loteria poate avea elemente nedegenerate. Trebuie să decideți cum ați plăti, ce ați plăti dacă ați cumpăra o loterie care nu ar fi degenerată. Și aici, plătiți conform valorii actuariale a plății. Ei bine, acesta este un alt program liniar. Funcția obiectiv este liniară în pis. Setul de constrângeri este în pis, inclusiv setul de buget, care este liniar în pis. Deci putem rezolva aceste lucruri conceptual și numeric, recunoscând că este doar o versiune a notației generale. Și iată al treilea. Să presupunem că avem o firmă... înapoi la producție. Firma poate produce n bunuri posibile. Al j-lea bun de aici are un preț, pj. Firma are o aprovizionare fixă ​​de intrări, ceea ce face problema specială. Nu le cumpără, ci le au deja în inventar. Și tehnologia ne spune cât de mult din input i este necesară pentru a produce bunul j. Acestea sunt aij-urile. Acum, aici, funcția obiectiv naturală ar fi venitul, prețul înmulțit cantitatea, însumând toate j bunurile. Și veți alege qjs, dar nu vă puteți suprautiliza intrările. Deci, dacă firma este înzestrată cu input i, atunci ați spune, cât de mult din input i este necesară pentru a produce bunul j ori cantitatea propusă de bun j, însumând toate bunurile j. Aceasta ar fi necesarul total de intrare pentru intrarea i, asociată cu producerea acestui vector de bunuri q, indexat cu j. Și deci aceasta este o constrângere liniară. Qs-urile nu sunt negative. Acesta este un alt program liniar. Și ultima este ceea ce se numește o problemă de transport, poate spune-o în cuvinte. Există m depozite, care sunt aprovizionate cu mărfuri, și n puncte de vânzare cu amănuntul unde se vând mărfuri. Deci aici avem geografie. Și în special, pentru a expedia produsul dintr-un depozit la un punct de vânzare, consumați resurse. Deci, acest cost, cij, este cantitatea de resurse pe care ați folosit-o, să zicem, în dolari, pentru a expedia bunul de la depozitul i la punctul de vânzare j. Și atunci problema de decizie este că vi se dau cereri la toate punctele de vânzare și vi se oferă suma, inițial, în depozite și apoi doriți să determinați transporturile din toate depozitele diferite către toate punctele de desfacere potențiale diferite. rezolvați problema, care minimizează costul total -- costul de la i la j, depozitele i până la punctele de desfacere j, iar acestea sunt constrângerile. Constrângerea spune că aveți atât de multe în stoc la depozitul i, așa că orice ați trimite din i către toate aceste puncte de vânzare j, nu poate depăși acel nivel de inventar, deși ar putea fi mai puțin. Și, de asemenea, trebuie să satisfaceți cererea la priza j-- Deci transportul care vine de la toate punctele de desfacere posibile i către acel anume j nu poate fi mai mic decât cererea. Deci aceasta este o altă problemă de programare geografică. Așa că am făcut producție obișnuită. Am ales în condiții de incertitudine. Am făcut o problemă geografică spațială. Toate sunt prototipuri bine cunoscute în literatură și toți folosesc acest instrument comun, care este programarea liniară. OK, asta e tot ce am pentru azi.