[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Bine, așa că astăzi, vom demonstra teorema pe care am menționat-o data trecută, teorema Hahn-Banach , care este o teoremă despre posibilitatea de a extinde o funcțională liniară mărginită. pe un subspațiu al unui spațiu-normă la tot spațiul-normă. Și aceasta va răspunde, așadar, la întrebarea pe care am pus-o la începutul acestui subiect, dacă dualul, care este spațiul tuturor funcțiilor liniare mărginite dintr-un spațiu de normă, este sau nu netrivial pentru fiecare spațiu de normă. Acum, unul dintre instrumentele de care vom avea nevoie este această axiomă sau lemă din teoria mulțimilor, care se datorează lui Zorn, care este după cum urmează - și va trebui să vă amintiți din ultima prelegere ce unele dintre acestea cuvintele înseamnă. Deci, Lema lui Zorn afirmă că dacă fiecare lanț dintr-o mulțime E nevidă, parțial ordonată, are o limită superioară, atunci E are un element maxim. Deci, o mulțime parțial ordonată E-- asta înseamnă mulțimea E cu o relație care este practic mai mică sau egală cu care satisface trei proprietăți, astfel încât este ca o extinsă mai mică sau egală cu. Și un lanț este un submult al lui E, astfel încât oricare două elemente din acel submult pot fi comparate. Unul este fie mai mare, fie egal cu celălalt. Unul este întotdeauna mai mare sau egal cu celălalt. Și astfel această teoremă spune că dacă fiecare lanț al unei mulțimi parțial ordonate are o limită superioară - care are o semnificație destul de clară - atunci E are un element maxim. Deci un element maxim al lui E-- înseamnă un element care nu este mai mic sau egal cu altceva decât însuși. Deci, orice mai mare sau egal cu acest element maxim trebuie să fie acel element. Un element maxim nu este neapărat o limită superioară. Un element maxim înseamnă doar că nu poate fi... nimic nu poate trece peste cap. Și, ca o încălzire, vom folosi Lema lui Zorn pentru a demonstra un fapt despre spațiile vectoriale. Deci, o bază Hamel - și cred că am trecut peste asta la sfârșitul orei ultima dată - a unui spațiu vectorial V, aceasta este o mulțime liniară independentă, H, astfel încât fiecare element al lui V este o combinație liniară finită a elemente din H. Deci, de exemplu, această mulțime constând din vectorul 1, 0 și vectorul 0, 1, aceasta este o bază Hamel pentru R2. Fiecare element din R2 poate fi scris ca o combinație liniară finită a acestor băieți. Și faptul că spațiile cu dimensiuni finite au baze este ceva despre care discutați în algebra liniară, dar acum suntem în analiză funcțională, care este algebră liniară în dimensiuni infinite. Nu este atât de clar că fiecare spațiu vectorial are o bază Hamel. Și așadar, ceea ce vom face este să aplicăm Lema lui Zorn pentru a demonstra că fiecare spațiu vectorial are o bază Hamel. Deci aceasta este următoarea teoremă, iar acest argument va fi un fel de încălzire pentru modul în care vom aplica Zorn pentru a demonstra teorema Hahn-Banach. Deci, dacă V este un spațiu vectorial, atunci V are o bază Hamel. Deci, pentru dovadă, voi aplica Zorn. Deci trebuie să am un set comandat. Și mulțimea mea ordonată va fi lăsată E mulțimea tuturor submulților liniar independente ale lui V. Și vom defini o ordine pe E. Deci E este mulțimea tuturor submulților lui V care sunt liniar independente. Și definim ordinea parțială pe E prin includere. Deci elementele lui E sunt submulțimi ale lui V. Deci vom spune că submulțimea este mai mică sau egală cu o altă submulțime dacă una este inclusă în cealaltă. Deci e și e prim în V, atunci vom spune că e este mai mic sau egal cu e prim dacă și numai dacă această submulțime a lui V e este o submulțime a lui e prim. Și din nou -- cred că am spus asta într-o prelegere anterioară -- sunt oarecum obișnuit să folosesc această notație pentru un subset, nu neapărat un subset strict, doar din predarea 18.100A semestrul trecut. Deci, asta nu înseamnă un subset strict, așa că poate pune-l acolo. Deci acesta este setul meu parțial ordonat pe care sper să aplic Lema lui Zorn. Și apoi ceea ce voi arăta este că elementul maxim al acestui set, odată ce arăt că există, trebuie să fie de fapt o bază Hamel pentru V. Așa că acum vom aplica Zorn pentru aplicarea Zorn. Fie C un lanț în E. Aceasta înseamnă că oricare două elemente ale lui C pot fi comparate. Definiți c mic ca fiind egal cu uniunea peste tot e în C e majuscule. Deci fiecare dintre aceste mici e-uri este o submulțime a lui V constând din elemente liniar independente. Și acum ceea ce consider că micul c este unirea tuturor acestor submulțimi de elemente liniar independente . Și susțin că aceasta este o submulțime liniar independentă care, deoarece această submulțime a lui V conține fiecare element al lui c, înseamnă că c este mai mare sau egal cu tot E. Astfel, c este o limită superioară pentru C. Deci trebuie doar să arătați că micul c este acum submulțime independentă liniar și, prin urmare, toate aceste e din acest C capital sunt mărginite mai sus de c. Și, prin urmare, c este o limită superioară pentru capitalul C. Acum, pentru a arăta că este o submulțime liniar independentă, vom folosi faptul că capitalul C este un lanț - că puteți compara întotdeauna două lucruri. Deci, să arătăm că micul c este o submulțime liniar independentă. Este ceva foarte specific. Deci, fie v 1 până la v N în c mic. Atunci există e1, e2, e n în C majusculă. Deci mic c este uniunea tuturor e-urilor. Deci acestea trebuie să provină de undeva, astfel încât pentru tot j, v j este în e j. Acum, nu este dificil să arăt prin inducție că, din moment ce pot compara oricare două elemente în C, pot compara orice n elemente din C, ceea ce înseamnă că pot ordona de fapt orice elemente finite în C. Deci, a spune că acesta este un lanț înseamnă că pot comanda întotdeauna două elemente, dar prin inducție, nu este dificil să arăt că pot comanda întotdeauna n elemente ale lui C. Așa că voi trece la asta. Și vă las pe seama voastră, ceea ce înseamnă că pot găsi întotdeauna cel mai mare element din orice colecție finită a acestor tipi. Deci, deoarece C este un lanț, există capitalul J astfel încât pentru toate j sunt egale cu 1 până la N, e j este mai mică sau egală cu e capital J, ceea ce, din nou, amintiți-vă, aceasta înseamnă că e j este o submulțime a e capital J, doar prin modul în care am definit această ordine parțială. Și, prin urmare, deoarece toate aceste e j-uri pentru j de la 1 la N sunt conținute în acest e sub capital J, asta înseamnă că v1 până la v n sunt în E capital J. Așa că am avut atât de multe finite de la C. Pot întotdeauna compara oricare dintre ele. Și, prin urmare, aleg cel mai mare subset liniar independent din acest număr finit. Și toți acești vectori trebuie să provină apoi din acea submulțime liniar independentă. Și prin urmare, deoarece aceasta este o submulțime liniar independentă, înseamnă că acestea sunt liniar independente, deoarece e J este o submulțime liniar independentă. Și așa am arătat că fiecare colecție finită de vectori din C este liniar independentă. Deci am ajuns la concluzia că micul c este o colecție de vectori liniar independenți. Deci am arătat acum că ipotezele lui Zorn sunt verificate - că fiecare lanț are o limită superioară și, prin urmare, această mulțime E are un element maxim, pe care îl voi numi H. Așa că susțin că H se întinde acum pe vector spațiu V, adică fiecare element al lui V poate fi scris ca o combinație liniară finită de elemente ale lui H. Așa că susțin că H se întinde pe V. Deci, când spun că H se întinde pe V, acesta este doar un mod scurt de a spune că fiecare element al lui V poate să fie scrisă ca o combinație liniară finită de elemente ale lui H. Deci să presupunem că nu. Atunci există un element v în majusculă v astfel încât v nu poate fi scris ca o combinație liniară finită de elemente ale lui H. Acum, este ceva din algebra liniară. Sunt sigur că au trecut peste asta înainte, dar dacă am o submulțime liniar independentă și un element care nu poate fi scris ca o combinație liniară finită de elemente din acel submult, atunci doar adăugând acel element, acum obțin un nou submulțime liniar independentă. Și, prin urmare, concluzionez că mulțimea H uniunea v este liniar independentă, o submulțime liniar independentă a lui v. Dar atunci, H va fi mai mic decât, adică este mai mic sau egal cu, dar nu egal cu, ceea ce implică că H nu este maxim, ceea ce este o contradicție. Amintiți-vă, H trebuia să fie elementul maxim al lui E. Nimic nu se află deasupra lui H. Și dacă presupunem că H nu se întinde pe v, atunci putem lipi pe H ceva făcând un subset mai mare liniar independent de v. Și asta are ca rezultat o contradicţie. Așadar, asta trebuie să contrazică ipoteza noastră inițială că H nu a cuprins v. Și, prin urmare, prin definiție, este o bază Hamel. Așa că am văzut acest tip de exercițiu, primul exercițiu, de utilizare a acestei arme foarte puternice , Lema lui Zorn, pentru a demonstra faptul că fiecare spațiu vectorial are o bază Hamel. Și acum o vom folosi pentru a demonstra teorema Hahn-Banach. Așa că permiteți-mi să vă expun teorema Hahn-Banach și apoi vom discuta strategia. De fapt, ceea ce voi face este să enunț teorema Hahn-Banach, o să enunț o lemă și apoi o să vă spun care este planul pentru a demonstra Hahn-Banach. teorema. Deci, teorema Hahn-Banach este dacă V este un spațiu normat, M este un subspațiu al lui V și u care merge de la M la C este liniar astfel încât-- deci este o funcțională liniară mărginită-- pentru tot t din M u din t -- deci acesta este acum un număr complex. Valoarea sa absolută este mai mică sau egală cu norma de timp constantă a lui t, atunci există o extensie continuă a lui u la întregul spațiu și o extensie continuă care are aceeași constantă aici. Așa că nu uitați, gândiți-vă la asta ca fiind norma pentru micul u. Și astfel îl putem extinde la o funcțională liniară mărginită cu aceeași normă, în esență. Apoi există un U capital care este o funcțională liniară mărginită de la V la C, deci este un element al spațiului dual astfel încât acum, pentru tot t din V, U din t este mai mic sau egal cu aceeași constantă t. Și ar fi trebuit să spun mai înainte, astfel încât capitalul U, când mă limitez la M, îmi dă puțin u, iar pentru tot T din V, capitalul U al lui t este mai mic sau egal cu o constantă ori norma lui t. Deci ar fi trebuit să pun asta aici la începutul teoremei, dar aceasta este teorema Hahn-Banach. Și aceasta este o teoremă foarte, foarte utilă. De fapt, în exerciții, puteți folosi această teoremă pentru a demonstra că dualul micului l infinit nu este mic l1. Așadar, amintiți-vă din a doua temă și din ceea ce am spus în prelegeri, duelul lui mic l p este mic l q, unde 1 peste p plus 1 peste q este egal cu 1, atâta timp cât p este mai mare sau egal cu 1 și mai mic decât infinit. Și nu funcționează pentru p egal cu infinitul. Deci, folosind teorema Hahn-Banach, puteți arăta de ce nu funcționează pentru micul l infinit. Și asta va fi în sarcină. Acum, deci nu trebuie să continui să scriu toate acestea din nou și din nou, mă voi referi la asta deoarece U este o extensie continuă a u micuțului, deși nu este destul de precis, deoarece extindem u micuțul la un continuu-- deci un operator liniar mărginit pe V, dar îl extindem și astfel încât capitalul U să satisfacă aceeași limită este u mic. Deci asta este puțin imprecis, dar cred că înțelegi sensul meu. Deci această ipoteză permiteți-mi să notez prin stea, și anume, că avem un subspațiu și avem o funcțională liniară mărginită pe subspațiu care satisface această limită. Deci nu voi demonstra încă teorema Hahn-Banach. Voi demonstra o lemă sau voi prezenta o lemă și apoi vă spun cum o vom folosi pentru a demonstra teorema Hahn-Banach. De fapt, o vom spune puțin diferit. Nu am de gând să folosesc asta. Deci, dacă V este un spațiu normat, M, o submulțime a lui V este un subspațiu, iar u de la M la C este liniar astfel încât puțin u din t este mai mic sau egal cu o constantă ori mai mare decât norma lui t, deci pentru toate t în M-- Cred că diferența dintre U majuscul și u mic este suficient de clară-- atunci o pot extinde cel puțin într-o direcție. Deci, cu alte cuvinte, atunci dacă M este -- și o ultimă presupunere -- și iau ceva care nu este în subspațiul liniar, atunci îl pot extinde la subspațiul lui V format din M și, de asemenea, direcția x. Deci, există u prim în dual-- așa că nu ar trebui să folosesc u prim. Să spunem v-- OK, bine, să folosim u prim-- u prim de la M prim la C, care este liniar. Și aici, M prim este definit ca fiind submulțimea sau subspațiul M plus - deci acest lucru nu înseamnă spațiu de coeficient. Folosim plusuri pentru spațiile de coeficient. Dar acesta este subspațiul lui V format din M plus elemente de forma a constantă ori x. Deci, acestea sunt elemente de forma t plus ax, unde t este în M, a este în C, astfel încât u prim atunci când este limitat la M îmi dă u pentru toate t prim în M prim, u prim de t prim, valoare absolută, este mai mică sau egală cu aceeași constantă ori cu norma lui t prim. Așa că poate am făcut o mizerie din asta, vorbind în timp ce scriam o lemă. Dar oricum, să presupunem că aveți o funcțională liniară mărginită pe un subspațiu al lui V și luați un element care nu este în M. Deci, modul în care voi desena imaginea este că există M și iată ceva x. Apoi, pot extinde această funcțională liniară mărginită care trăiește pe M până acum la subspațiul format din toate elementele lui M plus elemente plus multipli scalari ai lui x. Și pot face acest lucru într-un mod continuu, adică obțin o funcțională liniară mărginită pe M prim, care satisface aceeași limită ca și u. Deci, care este strategia de utilizare a acestui lucru pentru a demonstra teorema Hahn-Banach? Doar pentru a ne înțelege de ce ne- ar interesa așa ceva, așa că aplicăm Lema lui Zorn tuturor extensiilor continue ale u-ului mic. Deci acum, vorbesc despre cum demonstrăm teorema Hahn-Banach. Deci definim ca mulțimea noastră parțial ordonată ar fi mulțimea tuturor extensiilor continue ale lui u. Și apoi am pune o comandă parțială pentru asta, unde o extensie este mai mare sau egală cu o altă extensie dacă acea extensie extinde extensia mai mică. Și folosind argumentul pe care l-am făcut pentru a demonstra că spațiul vectorial are o bază Hamel, putem arăta apoi că se aplică Lema lui Zorn. Și apoi, vom avea un element maxim al acestui set de extensii continue ale lui u. Acum, ceea ce am dori să concluzionăm este că acest element maxim, această extensie continuă maximă , este definită pe tot V. Și deci cum am demonstra asta? Ei bine, am face-o cam așa cum am făcut-o pentru cazul de bază Hamel. Am presupune că nu, și atunci am arăta că dacă nu ar fi definit pe întreg spațiul normat, atunci putem extinde acel element maxim, folosind din nou această lemă și, prin urmare, contrazicând faptul că acea extensie era un element maxim. Așadar, pe scurt, aplicăm lema lui Zorn tuturor extensiilor continue ale lui u pentru a obține un element maxim, U majusculă. Doi, folosim lema pentru a arăta că U este această extensie, este definită pe întregul V majuscul. Deci aceste extensii vor veni cu două informații. Unul este subspațiul, care este mai mare decât M, și apoi, de asemenea, funcțional în sine. Și așa vom folosi lema pentru a arăta că subspațiul pe care este definit acest U majuscul este tot al lui V, arătând că, dacă nu este, atunci îl putem extinde la un subspațiu puțin mai mare folosind lema, ceea ce ar contrazice faptul că acesta este un element maximal. Deci acesta este planul. Deci, de fapt, din moment ce avem deja această lemă aici și din moment ce am spus-o de atâtea ori, să continuăm și să demonstrăm teorema Hahn-Banach presupunând că această lemă este valabilă. Nu avem nevoie de demonstrarea acestei leme pentru a demonstra de fapt teorema Hahn-Banach. Avem nevoie doar de această declarație. Deci asta vom face mai întâi, apoi ne vom întoarce și vom demonstra această lemă. Deci aceasta este dovada teoremei Hahn-Banach. Ne vom întoarce și vom demonstra lema într-o secundă. Deci, să E-- așa cum am spus, acesta va fi setul tuturor extensiilor continue ale micului u. Deci v, virgulă, să spunem N astfel încât N este un subspațiu al lui V, M este conținut în N-- nu strict, dar este o submulțime a lui N-- și v este o extensie continuă a lui u la N majuscul, adică satisface -- este o funcțională liniară mărginită pe capitalul N. Când o restrângeți la capitalul M, este egală cu U. Și satisface aceeași limită pe care o face u mica pe subspațiul mai mare N. Și rețineți că aceasta este nevid deoarece u și M sunt in acest. Nu spun că M trebuie să fie un subspațiu strict al capitalului N. Și așa vom defini o ordine parțială pe E prin următoarea definiție - vom spune v1, N1 este mai mic sau egal cu v2, N2 dacă N1 este conținut în N2 și v2, când este limitat la N1, îmi dă v1. Deci v2 este, dacă doriți, o extensie continuă a v1. Amintiți-vă, se presupune că toate aceste funcționale îndeplinesc aceeași limită ca și u, deci cu aceeași constantă. Deci nu este greu de verificat, la fel cum nu l-am verificat pentru includere. Dar nu este greu de verificat că aceasta este, de fapt, o comandă parțială. Deci acum, vrem să aplicăm Lema lui Zorn pentru a obține un element maxim al lui E, despre care vrem să arătăm că este, de fapt, acest u despre care spunem că există. Deci trebuie să arătăm că fiecare lanț din E are o limită superioară. Deci, să fie C, pe care îl voi desemna ca v i N i pentru i într-un index, să fie un lanț în E. Deci acesta este un set de extensii și putem întotdeauna compara oricare două extensii acolo. Așa că permiteți-mi să repet sau să notez din nou ce înseamnă asta a fi un lanț. Aceasta înseamnă, atunci, pentru toate i1, i2 din acest index pe care le folosesc doar pentru a indexa aceste elemente ale lanțului, fie v i1 în i1 este mai mic sau egal cu v i2 în i2 sau invers. Nu-mi amintesc dacă un C merge acolo sau un S, așa că am de gând să pun un S. Unul este fie mai mare decât-- ori de câte ori am două elemente, le pot compara oricând. Fie N uniunea tuturor acestor subspații care provin din această colecție. Acum, din nou, nu este greu să arătăm că N este, de fapt, un subspațiu. Așa că susțin că N este un subspațiu și, din nou, vom folosi faptul că C este un lanț pentru a putea verifica acest lucru. Fie v1, v2 în N. Și să luăm doi scalari, a1, a2 în C. Vreau să arăt că a1 ori v1 plus a2 ori v2 rămâne în N. Atunci există i1 i2 indici astfel încât v1 este în N i1 și v2 to este în N i2. Acum, pot întotdeauna compara oricare două subspații care apar în acest set de perechi ordonate care formează acest lanț. Deci unul dintre aceste subspații este mai mare decât celălalt. Apoi, doar răsturnând 1 și 2, dacă am nevoie, și deoarece C este un lanț, N i1 este conținut în N i2 fără pierderea generalității. Deci, fie va fi N i1 va fi conținut în N i2, fie invers. Și dacă este invers, doar răsturnați numerele 1 și 2. Deci voi presupune că N i1 este conținut în N i2. Atunci asta înseamnă că ambele elemente sunt conținute în N i2. v1, v2 sunt ambele în cel mai mare și, deoarece acesta este un subspațiu, aceasta înseamnă că a1v1 plus a2v2 este în N i2, ceea ce amintiți-vă, este o submulțime a lui N. Și, prin urmare, N este un subspațiu. Deci acum am un subspațiu care conține toate aceste subspații care provin din lanț. Acum trebuie să definesc o funcțională liniară pe acest subspațiu N care extinde toate v i-urile într-un mod continuu. Și asta mi-ar oferi o limită superioară pentru acest lanț. Dar nu este greu de ghicit care va fi acea funcțională liniară. Definim v-- sau nu, nu cred că folosesc v. Da, da. Ei bine, să nu facem asta. Adică, nu ar fi trebuit să folosesc v1 și v2 când vorbesc despre afacerea subspațială. A fost o alegere proastă de notare. Deci, să facem acel x1, x2. Și lanțul, bla, bla, bla, x1, x2 și, prin urmare, x1, x2 este în-- OK. Deci, pur și simplu nu vreau să amestec elementele spațiului vectorial cu aceste funcționale, pe care le etichetez cu v. Deci acum, definim o funcție v de la N la C prin următoarele -- dacă t este un element al acestei uniuni, trebuie să fie un element al unuia dintre aceste N sub i. Apoi definesc v din t ca fiind pur și simplu v sub i, care este definit pe acest subspațiu liniar. Și deci consider că v din t este valoarea lui v sub i evaluată la t. Deci, acum, o întrebare este, este bine definit? Deoarece un element t din N sub i ar fi putut fi, de asemenea, un element al unui alt N sub i. Deci este bine definit? Deci trebuie să verificăm. Dacă este în două dintre acestea, aceasta implică semnul întrebării, v i1 din t este egal cu v i2 din t? Și din nou, vom folosi faptul că acesta este un lanț pentru a verifica acest lucru. Deci, să presupunem că t este N sub i1 intersectează N sub i2. Și din nou, pentru oricare două elemente ale acestui lanț, le putem compara. Deci, să presupunem că i2 corespunde indicelui mai mare. Deci v i1 N i1 este mai mic sau egal cu v i2, N i2. Acum, această ordine nu este definită numai în termeni de subspații, amintiți-vă, ci și în termeni de funcționale definite pe aceste subspații. Și este definit prin faptul că această funcționalitate este o extensie a acestei funcționalități. Și prin urmare, deoarece v i2 este cel mai mare, îl extinde pe cel mai mic. Aceasta implică v i2 din t este egal cu v i1 din t. Și, prin urmare, v este bine definit. Și nu numai asta, puteți, de asemenea, așa că am scris acest lucru cu atenție arătând că este bine definit, dar printr-un argument similar, puteți arăta apoi că v este, de fapt, liniar. Și să vedem, fac asta sau mă opresc acolo? Deci este bine definit pe N. Este, de asemenea, o extensie a fiecărei funcționalități definite pe fiecare N sub i. Deci ultimul lucru de verificat este că este liniar și este o extensie continuă a tuturor acestor v i, adică satisface aceeași limită. Dar toate v i-urile satisfac această legătură. V este definit în termeni de v i, așa că putem citi de aici că v va satisface aceeași limită. Așa că vă las pe seama dumneavoastră că puteți verifica că v este un element al spațiului dual al acestui subspațiu N, deci este o funcțională liniară mărginită pe N și o extensie continuă a tuturor v i-urilor. Deci, pentru tot i, pentru mic i și capital I, concluzionăm v i, N i este mai mic sau egal cu V, N și, prin urmare, v, N este o limită superioară a lui C. Așa că am verificat ipotezele lui Zorn. Lema pe care tocmai am sters-o. Deci asta înseamnă că mulțimea E are un element maxim. Deci, după Zorn, mulțimea E are elementul maxim U, N. Așadar, susțin că N este egal cu V. Și, prin urmare, capitalul U face treaba. Pentru că nu uitați, deoarece capitalul U, capitalul N este un element al lui E, înseamnă că capitalul U este o extensie continuă a micului u. Și acum vrem doar să concluzionam că pentru acest element maxim, subspațiul pe care este definit este întregul spațiu V. Deci să presupunem că nu. Fie x un element care nu este în N. După lemă, există o extensie continuă a capitalului U la subspațiul N plus intervalul lui x. Și aceasta este o extensie continuă a U majuscul, care este o extensie continuă a u mic. Și, prin urmare, este o extensie continuă a micului u. deci extindere continuă, să numim asta ceva. Să-i spunem mic v-- v N plus. Deci, dacă subspațiul pe care este definit capitalul U nu este tot din v, atunci după lemă, putem extinde capitalul U continuu la N plus intervalul lui x. Și, prin urmare, acest element va fi o extensie continuă a micului u. Și, prin urmare, este un element al lui E. Dar atunci, U, N este mai mic decât v N plus intervalul lui x. Acesta este un subspațiu mai mare decât acesta, deoarece x nu este în N, ceea ce implică u, N nu este un element maxim. Și asta e o contradicție. Și ce am contrazis? Sau care a fost presupunerea care ne-a condus în rătăcire este faptul că am presupus că acest element maxim nu este definit pe tot spațiul normat. Astfel, U este definit pe întregul spațiu normat și este o continuă a micului u. Și asta este dovada lui Hahn-Banach. Așa că sper că dovada a fost clară. Dacă ați urmat argumentul de bază Hamel, ar trebui să vă așteptați și la acest lucru. Acest argument este aproape același cu argumentul bazei Hamel, cu excepția faptului că acum, în loc de baza Hamel, unde elementele mulțimii noastre parțial ordonate sunt doar submulțimi, avem și două date pentru setul nostru parțial ordonat aici, unul fiind subspațiul iar a doua este funcționala care este definită pe acel subspațiu, care extinde funcționarea liniară continuă inițială pe care am vrut să o extindem. Deci, să demonstrăm lema, iar asta va încheia demonstrarea teoremei Hahn-Banach. Deci, acum, vom demonstra o lemă. Deci acea lemă de acolo sus, dacă V este un spațiu normat și luați ceva care nu este în subspațiu, atunci puteți extinde U continuu la acest subspațiu mai mare. Deci, în primul rând, deși tot spun că acesta este un subspațiu, acesta este un fel de ceva care trebuie să fie... Adică nu este greu de verificat, dar totuși verifica. Dar, de asemenea, un lucru de care avem nevoie este că fiecare element dintr-un subspațiu plus această constantă ori x poate fi scris în mod unic. Deci mai întâi observăm dacă t prim este în M prim, care ne amintim că este M plus o constantă ori x, atunci există t și M unici și a în numere complexe astfel încât t prim este egal cu t plus a ori x. Deci de ce este asta? De ce un element al acestui spațiu nu poate avea două reprezentări diferite, să nu fie scris ca două elemente diferite ale lui M plus doi ori scalari diferiți x? Ei bine, dacă t plus ax este egal cu t tilde plus o tilde x, atunci aceasta implică că un minus o tilde ori x este egal cu t tilde minus t, care este în M. M este un subspațiu. Deci diferența dintre două elemente ale lui M este în M și, prin urmare, dacă a nu este egal cu o tildă, atunci asta înseamnă că x este egal cu un multiplu constant al ceva din M. Și, prin urmare, x este în M. Așa că concluzionăm că a trebuie să fie egal cu o tildă, ceea ce implică din presupunerea că sunt egale că t este egal cu t tilde. Deci fiecare element din acest subspațiu mai mare poate fi scris unic ca element al lui M plus un multiplu scalar al lui x. Acum, de ce avem nevoie de acest fapt? Avem nevoie de acest fapt pentru a putea spune că această funcțională liniară pe care o vom defini, despre care sperăm să spunem că extinde u continuu, este de fapt bine definită. Deci, la alegerea unui număr lambda în numerele complexe, harta u prim a lui t plus ax dată de u de t plus o lambda este bine definită pe M prim, deoarece am arătat că fiecare element al lui M prim poate fi scris unic în Pe aici. Este bine definit pe M prim și u prim care trece de la M prim la C este liniar. Deci, dacă funcția inițială mică u-- dacă acea constantă C este egală cu 0, atunci micul u este doar identic 0. Și știm cum să extindem funcționalitatea zero. Deci, să presupunem că capitalul C este diferit de zero. Și dacă împart puțin u la C majuscul, pot extinde apoi acea funcțională cu capitalul C este egal cu 1 și pot obține o extensie care satisface limita pe care o doresc. Și deci, ceea ce spun cam prost este că... Vă las o secundă să vă gândiți la asta. Nu este greu de înțeles de ce, fără pierderea generalității, putem presupune că C este egal cu 1. Deci, dacă facem cazul C egal cu 1 , atunci pentru cazul C nu este egal cu 1, extindem u peste capitalul C folosind C e egal cu 1. caz. Și apoi urmează rezultatul. Deci, vom face doar cazul C majuscule este egal cu 1. Deci, acum, singurul nostru parametru liber este lambda. Și aceasta este pentru-- și vrem să putem alege lambda astfel încât-- deci aceasta este deja o extensie a micului u dacă iau un egal cu 0. Așa că iau doar elemente în M. Acesta este primul dintre t este egal cu u din t Deci este deja o extensie a micului u la acest subspațiu mai mare. Și acum vrem să putem alege lambda astfel încât să o extindă într-un mod continuu, cu aceeași constantă fiind 1 și acea inegalitate de acolo sus. Așa că tot arăt acolo sus. Nu cred că camera se uită acolo sus, așa că trebuie să sperăm că trebuie să-mi interpretați corect sensul. Deci dorim să alegem lambda, număr complex, astfel încât să fie valabile următoarele -- pentru tot t în M, a în C, u prim de t plus ax, care este doar u din t plus o lambda în valoare absolută este mai mică decât sau egală cu norma t plus o lambda. Dacă suntem capabili să facem asta, atunci u prime este extensia noastră continuă pe care o căutăm. Deci, tot ceea ce trebuie să facem acum este să găsim o lambda, astfel încât asta să țină. Și odată ce am făcut asta, am terminat dovada. Acum, acel lucru pe care l-am introdus acum un minut, îl vom reduce la o formă simplă. Acum, ceea ce este în cutie se menține indiferent de ce este lambda atunci când a este egal cu 0. Și acum ceea ce voi face este practic să elimin faptul că a se poate schimba. Deci estimarea u a t plus o lambda mai mică sau egală cu t plus o lambda este valabilă atunci când a este egal cu 0, indiferent de modul în care am ales lambda. Deci trebuie doar să putem alege lambda, astfel încât aceasta să fie valabilă pentru o valoare diferită de zero. Luați în considerare încercarea de a alege lambda, astfel încât aceasta să fie valabilă pentru toți diferit de zero. Acum, permiteți-mi să iau această inegalitate aici și să o împart la valoarea absolută a lui a. Atunci acea inegalitate pentru a nu este egală cu 0, aceasta este echivalentă cu dacă împart la norma lui a și aduc acest lucru în interiorul normei, u din t minus un minus lambda este mai mic sau egal cu... Ar trebui să spun că acesta este un valoare absolută și aceasta este valoarea absolută - mai mică sau egală cu t peste minus un minus lambda pentru tot t în M. Acum, dacă t este în M, t peste minus a este, de asemenea, în M. Deci această limită aici este echivalentă cu arătând că putem alege lambda astfel încât u din t minus lambda să fie mai mic sau egal cu norma lui t minus lambda pentru tot t din M. Deci, deoarece t este un subspațiu care demonstrează această limită, sau alegând lambda astfel încât această limită să fie valabilă, este echivalent cu alegerea lambda, astfel încât această limită să fie valabilă. Deci, în rezumat sau în rezumat, ar trebui să spun în rezumat. Mă gândesc în termeni de notație. Deci, în rezumat, lucrul pe care am vrut să arătăm inițial, că putem alege lambda, astfel încât pentru tot t din M un număr complex, acea inegalitate este valabilă, este echivalent cu a arăta că putem alege lambda astfel încât această inegalitate să fie valabilă. Acesta este ideea. Și acum, ceea ce vom face este să alegem părțile reale și imaginare ale lambda. Și vom alege mai întâi partea reală a lambda. Deci mai întâi dovedim... bucata de cretă este ciudată. Trebuie să-mi iau unul diferit. Deci mai întâi dovedim că există un alfa în R astfel încât w din t minus alfa în valoare absolută este mai mic sau egal cu t minus alfa pentru tot t din M. Și ce este w din t? Aceasta este egală cu partea reală a lui u din t. Ceea ce permiteți-mi să vă reamintesc, acesta este doar egal cu u din t plus u din t complex conjugat peste 2. Acum, partea reală a oricărui număr complex este întotdeauna mai mică sau egală cu valoarea absolută a acelui număr complex. Deci nu am ales încă ce este alfa. Îți voi arăta cum să alegi alpha în doar un minut. Rețineți că pentru tot t din M w din t, o valoare absolută, care amintim este definită ca fiind partea reală a lui u din t - aceasta este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui u din t. Ar trebui să spun modulul lui u al lui t. Modulul unui număr complex este rădăcina pătrată a sumei pătratului părții reale și pătratului părții imaginare. Deci, acesta este întotdeauna mai mic sau egal cu atât. Și prin presupunere, aceasta este mai mică sau egală cu norma lui t. Acum, vom folosi faptul că w este o valoare reală. Atunci w din t1 minus w din t2-- deci permiteți-mi să spun pentru tot t1, t2 din M-- dacă mă uit la w din t1 minus w din t2, acesta este egal cu -- și deoarece u este liniar și luând valoarea reală partea este liniară, aceasta este egală cu w din t1 minus w din t2. Aceasta este mai mică sau egală cu valoarea sa absolută. Aici folosesc faptul că este o valoare reală. Și cum tocmai am arătat că aceasta este întotdeauna mai mică sau egală cu valoarea absolută, avem asta. Și acum, voi mai face un lucru și voi adăuga și scădea x. Deci, până la urmă, vrem... Acesta ar fi trebuit să fie x. Ar fi trebuit să fie x. Scuze scuze scuze. Sper că ați transmis rapid până în acest punct și ați văzut că ar fi trebuit să fie x și x. Deci, în cele din urmă, vrem să conectăm cumva acest lucru la-- și am făcut-o din nou aici-- x, la norma t minus x. Deci, ceea ce voi face este să adun și să scad x și să folosesc inegalitatea triunghiului. Și aceasta este mai mică sau egală cu t1 minus x plus t2 minus x. Și, prin urmare, w din t1 minus norma lui t1 minus x este mai mică sau egală cu w din t2 plus norma t minus t2 minus x pentru toate t1 și t2 din M. Deci, aceasta este valabilă pentru toate t1 și t2. Așa că aș putea să repar t2 și să iau sup peste toate t1, ceea ce implică faptul că sup de-- deci să nu facem asta un t1, aș putea spune doar t-- este întotdeauna mai mic sau egal cu w din t2 plus t2 minus x. Și acest lucru este valabil pentru tot t2 din M. Deci, faptul că acest lucru este valabil pentru tot t1 vă spune că acest lucru este o limită superioară a acestuia pentru tot t din M. Și, prin urmare, supremul său este mai mic sau egal cu acest lucru pentru tot t2 în M. Și, prin urmare, această cantitate din stânga este o limită inferioară pentru acest lucru din dreapta pentru tot t2 din M. Și, prin urmare, putem concluziona că sup de t în M de w de t minus norma de t minus x este mai mic sau egal cu inf peste tot t în M w de t plus t minus x. Cum aleg alfa? Deci am aceste două numere aici care sunt legate în acest fel. Aleg alfa între aceste două numere... între acest număr și acest număr. Deci există un semn mai mic sau egal, așa că pot alege un număr între ele. Poate că aceste două lucruri sunt egale și, prin urmare, alfa este egală cu ambele. Sau aș putea alege doar alpha pentru a fi acesta. Nu contează. Și dovada este aproape finalizată. Acum, voi arăta că acest alfa funcționează. Deci, pentru tot t în M capital, am w de t minus norma de t minus x este mai mică sau egală cu alfa este mai mică sau egală cu w de t plus norma de t minus x. Și, prin urmare, este mai mic sau egal cu alfa minus w din t este mai mic sau egal cu norma t minus x, care este același cu alfa minus w din t, ar trebui să spun. Bine, așa că am arătat cum să o facem pentru... am putut alege un alfa, astfel încât, în esență, această inegalitate să fie valabilă pentru partea reală. Putem face asta și pentru partea imaginară.