[SCRÂTÂND] [FOȘTIT] [CLIC] BERTHOLD HORN: Am vorbit ceva despre câștigul de zgomot. Și în cazul 1D în care avem o necunoscută și o măsurătoare, a fost destul de simplu pentru că ne-am uitat doar la inversul pantei. Deci am avut o mică creștere aici și relația cu o mică creștere aici. Deci, x, în acest caz, este cantitatea necunoscută, iar y este măsurarea pe care o facem și încercăm să estimăm x. Și, evident, dacă această curbă are o pantă foarte mică, atunci o mică eroare aici poate fi amplificată într-o eroare mare acolo. Deci este foarte simplu în cazul 1D. Dar, desigur, ne vom uita la cazuri mai complicate în care încercăm să estimăm cantități tridimensionale. Așa că vreau să fac un mic ocol acum și să vorbesc despre cel puțin carcasa 2D, care apare în mouse-ul optic și despre câteva alte lucruri despre care vom vorbi destul de curând. Deci vom vorbi puțin despre vectori și valori proprii. Și dacă sunteți familiarizat cu ele, atunci doar dormiți pentru următoarele 10 minute, dar cred că este important să puneți toată lumea la curent cu asta. Deci ce sunt astea? Ei bine, dacă luăm matricea, m, și înmulțim un vector, vom obține un vector nou, care are o dimensiune diferită, de obicei, și care arată într-o direcție diferită. Și așadar, o întrebare interesantă este, avem vreodată o situație în care vectorul pe care îl obținem este îndreptat în aceeași direcție cu vectorul cu care înmulțim matricea? Și astfel acestea sunt considerate speciale. Și într-un anumit sens, ele sunt caracteristice acelei matrice, așa că uneori sunt numiți vectori caracteristici cu valori caracteristice. Și cred că „eigen” este cuvântul german pentru „proprie”. Sunt vectorii și valorile pe care le deține matricea. Prin urmare, ne uităm la o situație în care vectorul pe care îl obținem este paralel cu vectorul pe care îl pompăm în matrice și poate avea o dimensiune diferită. Deci asta este definiția. Și ne vom concentra mai ales pe matrici simetrice reale. Putem generaliza acest lucru. Dar pentru moment, asta este tot ce ne trebuie. Și, evident, acest lucru nu va fi adevărat pentru vectorii tipici. De asemenea, observați că scara nu contează pentru că dacă e este un vector propriu și îl înmulțesc cu k, ecuația este încă valabilă. Este încă un vector propriu. Deci, în multe scopuri, fie vom ignora magnitudinea, fie o vom face un vector unitar pentru simplitate. Deci dimensiunea nu contează. Și apropo, asta include înmulțirea cu minus 1. Deci, dacă V este un vector propriu, atunci minus V este și un vector propriu. BINE. Deci, întrebarea este, cum găsim aceste lucruri? Și câți sunt? Și lucruri de această natură. Ei bine, un lucru pe care îl putem face este să încercăm să rezolvăm această ecuație, aducând aceasta pe cealaltă parte. Deci I este doar matricea identității de dimensiunea corespunzătoare, m este m cu n, atunci voi fi n cu n. Și deci aceasta este exact aceeași ecuație, M ori e minus lambda ori e este 0. OK. Deci, există un set de ecuații liniare și ne-am lăudat cu cât de ușor sunt ecuațiile liniare. Și, evident, ceea ce putem spune este că. Pur și simplu inversăm acea matrice și o înmulțim cu... și ce obținem? 0, nu? Deci asta se numește soluție trivială. Și dacă putem face asta, atunci asta nu va fi de ajutor. Deci, ce căutăm? Căutăm cazul în care de fapt acest invers nu există. Deci, de obicei, suntem foarte dornici să ne asigurăm că există inverse. În acest caz, nu suntem. Deci, în primul rând, terminologia. Aici avem un set de ecuații care sunt omogene. Aceasta înseamnă că partea dreaptă este 0. Și, printre altele, înseamnă că, dacă aveți o soluție, atunci orice multiplu al acelei soluții este, de asemenea, o soluție, ceea ce nu este cazul în mod normal când rezolvăm ecuații liniare. Există o soluție unică și orice multiplu al acesteia nu este o soluție, deci orice multiplu care nu este unul. BINE. Deci, ceea ce căutăm este că avem o matrice singulară. Deci asta înseamnă că determinantul acelei matrice este 0. Și ce înseamnă asta? Din păcate, determinantul este acest lucru complicat, dezordonat. Dar dacă te gândești bine, putem spune ceva despre determinant. Dar dacă scriem acest lucru, 3 minus lambda, ceea ce am făcut este că am luat matricea, m, care este o matrice n cu n simetrică reală, și am scăzut lambda din diagonală. Și acum vorbim despre proprietățile acestei matrice și vrem de fapt ca aceasta să fie singulară, deoarece altfel acea ecuație nu are decât soluția evidentă. Deci, care este determinantul acestui lucru? Ei bine, nu știu. S- ar putea să vă amintiți că determinantul implică luarea acestuia și înmulțirea lui cu determinantul acelei matrice plus de această dată determinantul unei submatrici. Sau vă puteți aminti ca: luați unul din coloana A, unul din coloana B și unul din coloana C. Și, în funcție de faptul că numărul de comutatoare în direcția este par sau impar, adăugați un semn minus. Nu trebuie să ne amintim formula exactă, principalul lucru este că luăm ceva de aici, și ceva de acolo și așa mai departe. Nu se repetă niciodată coloane sau rânduri și există un număr mare de moduri de a face asta, motiv pentru care este de fapt costisitor din punct de vedere computațional. Dar lucrul cheie este că putem obține un termen la fel de mare ca acesta de-a lungul diagonalei în termeni de lambda. Deci, dacă ne uităm la produsul tuturor termenilor de pe diagonală, acesta va fi o parte a determinantului, una dintre multele părți. Și are lambda la n în el, nu? Luăm m11 minus lambda, m22 minus lambda și așa mai departe. Deci, care este determinantul? Ei bine, este un polinom în lambda și este un polinom de ordinul n în lambda. Și polinoamele de ordinul n-a au câte rădăcini? N, bine. Deci vom merge la n rădăcini. Și asta înseamnă că nu numai că există o soluție pentru asta, dar vor fi n soluții, iar acestea sunt lucrurile pe care le vom căuta. Deci, doar pentru a concretiza acest lucru, să ne uităm la un exemplu foarte simplu , și pentru că acesta este cel cu care avem de-a face acum , să zicem, mouse-ul optic. Așa că am menționat deja că -- doar a spune că soluția este instabilă și că câștigul de zgomot este mare nu este suficient atunci când avem de-a face cu probleme multidimensionale. E în regulă pentru... asta este. Câștigul de zgomot este scalar. Au fost efectuate. Dar în cazul mouse-ului optic, recuperăm u și v, deci este o problemă tridimensională și se poate foarte bine ca eroarea în anumite direcții să fie foarte diferită de eroarea în alte direcții. Așa că vrem să avem o imagine mai nuanțată. Putem avea un fel de afirmație grosolană care spune: OK, e rău dacă determinantul este mic. Acesta este un început bun, dar este o constrângere scalară și nu vă spune că, de fapt, dacă vă deplasați în această direcție, aveți cunoștințe foarte bune despre mișcare. Dar dacă te miști în altă direcție, nu o faci. BINE. Deci, să ne uităm la asta. Ei bine, urmând ceea ce am făcut acolo, aceasta este condiția pentru ca acel set de ecuații omogene să aibă o soluție netrivială. Deci ecuații omogene, nu întâlnim prea multe. Avem aproape întotdeauna ecuații neomogene, apoi au soluție, cu excepția cazului în care determinantul este 0. Și ecuațiile omogene aveau niște proprietăți foarte interesante și ne vom uita la ele puțin. BINE. Deci, care este determinantul acestui lucru? Ei bine, doar că ori câte ori câte ori câte ori asta. Și dacă înmulțesc asta, obțin un polinom de ordinul doi în lambda pe care îl pot rezolva folosind formula obișnuită pentru pătratică. De fapt, am simplificat ceva aici. Deci, înainte de a simplifica , acesta a fost un plus c pătrat minus 4ac minus b pătrat. Deci este B pătrat, care este acum acest termen, minus de 4 ori acel termen. Și atunci când înmulțesc asta și rearanjez termenii, obțin asta. Deci acestea sunt valorile proprii. Deci vor exista doi vectori care au această proprietate că atunci când înmulțiți acea matrice cu vectorul, obțineți un vector în aceeași direcție. Iar lungimea se va schimba cu aceasta cantitate, atat vor fi marite sau demagrite. Și suntem foarte interesați de asta pentru că, de obicei, ceea ce se află în partea dreaptă este măsurarea, inclusiv eroarea, și astfel aceste valori proprii vor determina cât de mult va fi mărită eroarea. Așa că doar pentru reducerea scrisului, permiteți-mi să-i dau un nume, astfel încât să pot prescurta lucrurile. BINE. Deci, acestea sunt valorile proprii și voi fi interesat de cât de mari sunt. Acum, în cazul nostru cu mouse-ul optic, acestea au fost integrale ale ex pătrat și integrale ale ex, ey și chestii de genul ăsta, iar apoi le putem conecta la formulă pentru a afla care sunt acele valori proprii de fapt. Acum, în practică, dacă cineva găsește valori proprii și vectori proprii, merge doar la MATLAB sau orice altceva. Dar vreau să înțelegeți acest lucru la acest nivel trivial de 2 pe 2. Și apoi, dacă veți face o matrice de 13 pe 13, bineînțeles că nu o veți face manual, dar este util. să faci asta și să-ți faci o idee clară despre ce este vorba. BINE. Deci, acestea sunt valorile proprii, cum rămâne cu vectorii proprii? Așa că vor fi direcții speciale în care această proprietate se află. Și cum le rezolvăm? Ei bine, acum trebuie să rezolvăm ecuațiile omogene. Deci avem această matrice, un minus lambda b. Deci acesta va fi vectorul nostru propriu, cel care corespunde lambda. Avem două opțiuni pe care le alegem. Și așa că acum presupunem că vom introduce o anumită valoare a lambda, și anume una dintre acestea două. Deci, ce înseamnă asta? Ei bine, înseamnă că există o relație între acest vector și acel vector și între acest vector și acel vector, și anume sunt ortogonali. Deci de ce este asta? Ei bine, acest 0 de aici vine din înmulțirea acestui vector rând cu acest vector coloană. Deci este un minus lambda ori x plus de este 0. Aceasta este prima ecuație. Și apoi celălalt 0 provine din înmulțirea acestui vector rând cu acel vector. Deci primesc bx. Și deci pot să mă gândesc la asta ca la un produs punctual și atunci mă pot gândi la asta ca la vectori ortogonali unul față de celălalt. Deci, aceasta înseamnă că un minus lambda b este perpendicular pe xy. Și apropo, b minus c lambda, c minus lambda, este de asemenea perpendicular pe x și y. Deci, în rezolvarea acestor ecuații omogene, pot observa că practic spun că soluția este perpendiculară pe rânduri. Și astfel pot scrie răspunsul foarte ușor, în special în cazul 2 cu 2. Tot ce trebuie să fac este să găsesc ceva care să fie perpendicular pe minus lambda b, și ce zici de asta? Dacă înmulțesc asta cu un minus lambda b, obțin doar doi termeni cu părți opuse și se anulează. Deci există un vector propriu. Cât de mare este? După cum am spus, într-un fel nu contează, deoarece orice multiplu al unui vector propriu este, de asemenea, un vector propriu. BINE. Deci ăsta e unul dintre ei. De fapt, sunt două dintre ele, deoarece putem conecta cele două valori diferite ale lambda și obținem doi vectori diferiți. Dar de ce să te concentrezi pe primul rând? Acest lucru ar trebui să fie valabil și pentru celălalt rând. Deci hai să încercăm pe celălalt rând. Ei bine, pe celălalt rând... iată o perpendiculară pe celălalt rând. Dacă iau produsul scalar al acestuia cu al doilea rând, obțin doi termeni egali ca mărime și opuși ca semn. Așa că o anulează. Deci, acesta este și un vector propriu. Și acum asta devine puțin confuz pentru că acum pot conecta cele două valori diferite ale lambda, așa că obțin patru vectori proprii. Ei bine, se dovedește că acelea de fapt indică în aceeași direcție și sunt aceleași dacă lambda este dată de acea expresie acolo sus. Și nu te voi plictisi cu algebră, este destul de simplu să arăt asta. Deci, în total, putem scrie rezultatul -- dacă vrem unitatea, vectorul propriu, putem normaliza acest lucru. Deci, împărțim la rădăcina pătrată a sumei pătratelor acestor doi termeni și obținem ceva de genul acesta. Iar plusul minus se aplică celor două soluții diferite, semnul de sus corespunzând întotdeauna unui singur caz -- Ar trebui să menționez că totul este scris în acest mic pamflet de patru pagini care se află pe materiale. Așa că poți verifica acolo. Omit câteva detalii. BINE. S- ar putea să vă gândiți, ei bine, naiba, asta este pentru 2 pe 2. Acest lucru trebuie să fie destul de complicat dacă ajung la 10 pe 10, și este, și de aceea, de obicei, folosiți niște instrumente preambalate. Dar e bine să vezi cum funcționează asta. Deci, pentru o matrice m cu n, matrice simetrică reală, vom avea n dintre acestea, de obicei, și vor exista valori proprii și vectori proprii corespunzătoare. Și ne permit să vorbim despre amplificarea erorilor și să vedem cum funcționează, care este relația cu amplificarea erorilor. Așa că cred că am menționat acest lucru înainte, dar ne-am gândit la vectorii noștri ca la vectori de coloană și putem, în mod alternativ, sau echivalent, să ne gândim la ei ca pe matrici subțiri. Și astfel pot, pe de o parte, să scriu un produs punctat în acest fel, sau îl pot scrie așa. Și ce este asta? Ei bine, a1, a2. Și, evident, dacă înmulțesc aceste două matrice slabe, obțin un scalar, care este doar produsul dintre a1 și b1 plus produsul a2 și b2 și așa mai departe. Deci, acesta este doar produsul punctual. Și aceasta este o notație convenabilă și o extindem și la matrice. Deci, în contextul nostru de aici, ceea ce putem arăta este -- există o linie de algebră pe care o omet, care este în acest pamflet. Așa că poți verifica. Deci este surprinzător. Ceea ce spune acest lucru este, OK, pot să înmulțesc matricea cu asta, și apoi obțin ceva nou și iau produsul punctual cu celălalt vector propriu și este la fel ca să-l răsturn. Nu știu, m ar putea fi o rotație. Deci, este ca și cum aș roti e1 și apoi iau produsul punctual cu e2, și asta este același lucru cu rotirea e2 și iau produsul punctual cu e1. Ei bine, dacă acesta este cazul, atunci putem arăta că acestea trebuie să fie de fapt ortogonale. Deci acolo mergem. Vrem să arătăm că acești vectori proprii sunt de fapt ortogonali. Deci, să ne uităm mai întâi la asta. De unde știu asta? Ei bine, pentru că întregul punct al acestor vectori proprii, valorile proprii a fost că Me1 va fi în direcția e1, dar o lungime diferită înmulțită cu valoarea proprie. Și acesta de aici va fi-- Me2 este vectorul e2 doar înmulțit cu vectorul propriu. Deci partea care face câțiva pași demonstrează că acestea sunt de fapt egale, dar este în hârtie. BINE. Acum ce spune asta? Ei bine, pot aduna asta și asta îmi spune că e1 punctul e2 este 0. Deci asta înseamnă că sunt perpendiculare. Ei bine, mai e un lucru care se poate întâmpla. Dacă lambda 2 este același cu lambda 1, atunci asta nu urmează. Deci, când iau rădăcinile acestui polinom și rădăcinile sunt toate diferite, asta înseamnă că toți vectorii proprii sunt ortogonali. Deci asta spune. Și dacă nu sunt toți diferiți, dacă există o multiplicitate, se pare că pot alege vectorii proprii să fie ortogonali. Deci exemplul ar fi: vectorii proprii sunt într- un plan și pot alege oricare doi vectori din acel plan. Toți vor funcționa, toți vectorii din acel plan, vectori proprii, dar pot alege doi dintre ei care sunt ortogonali. Deci, da, dacă două dintre rădăcini se întâmplă să fie aceleași, atunci acest lucru nu forțează vectorii proprii să fie ortogonali, dar pot să aleg și dintre toți cei posibili care sunt. Și ideea este de a construi un întreg sistem de coordonate. Deci am toți acești vectori ortogonali și, desigur, ei definesc o bază pentru spațiul vectorial. Deci, în cazul 2 câte 2 , ce se întâmplă? Ei bine, am un vector propriu aici, iar celălalt ar fi bine să fie perpendicular pe acesta. Și, desigur, le pot folosi pentru a vorbi despre punctele din plan, așa cum pot folosi axele mele x și y originale. Ele formează o bază. Și asta înseamnă că pot scrie orice vector ca sumă ponderată a acestor vectori proprii, deoarece ei formează o bază. Deci, ce sunt aceste I alfa? Cum le găsesc? Ei bine, e destul de ușor pentru că fac doar v punct e-- Nu știu, să-i spunem j. Nu vrem să intrăm în conflict cu I, care este o variabilă dummy în sumă. Și am spus că vectorii proprii sunt ortogonali unul față de celălalt. Deci, asta înseamnă că toate aceste produse punctiforme sunt 0, cu excepția unuia, care este ei dot ei. Și deci asta îmi va da alfa I, nu? Dacă aleg versiunea vector unitară. BINE. Deci aceasta este suma, dar nu-mi pasă de majoritatea termenilor pentru că sunt înmulțiți cu 0, acest punct perfect. Singurul care îmi pasă este unde acești doi sunt aceiași vectori. Și în acest caz, dacă aleg vectori unitari, cum ar fi 1, deci obțin doar alfa I. Deci este foarte ușor să re-exprimam orice vector în termeni de vectori proprii. BINE. Deci, să ne uităm la Mv este sigma alfa i, M-- Deci acum ajungem la partea suculentă, concluzia aici, care este că dacă luăm o măsurătoare vectorială arbitrară și înmulțim matricea cu acea măsură pentru a obține necunoscutul nostru variabile, ceea ce se întâmplă este că diferitele componente sunt mărite cu cantități diferite. Deci, acele direcții sunt speciale prin faptul că, de-a lungul acelor direcții, știm cât de mult este amplificată eroarea. Și astfel în acest caz, evident dacă avem o valoare proprie mare, componenta în acea direcție va fi mărită foarte mult. Dacă avem o valoare proprie mică, aceasta va fi minimizată, va fi diminuată și vom fi fericiți. BINE. Deci aceasta este legătura cu eroarea câștigată. Dar avem de-a face mai ales cu inverse. Deci, asta se întâmplă dacă înmulțim cu o matrice, m, dar rezolvăm de obicei probleme inverse în care avem de-a face cu matricea inversă. Și deci care sunt valorile proprii și vectorii proprii ai matricei inverse? Așa că pentru a vedea că vreau să introduc mai întâi ceva de care vom avea nevoie. Așa că arată ca ceea ce am făcut pentru produsul punct, dar nu chiar. Acum este celălalt care are o transpunere și vom folosi această notație destul de puțin. Și deci să scriem asta, a1, a2, an. Și acesta nu este un scalar, nu este un produs punctual, pentru că ceea ce vei face este să înmulți primul termen aici cu primul termen aici, a1, b1, și apoi primul termen aici cu primul termen de acolo, a1, b2 punct punct punct a1, bn. Și apoi coborâm la rândul următor aici, obținem a2-- așa că din nou, dacă tratăm acești vectori ca matrici subțiri, asta este ceea ce obținem. Deci, în total, produsul diadic al n vectori este o matrice n cu n, iar asta ne va fi util. Deci haideți să aplicăm această idee. Deci avem V, l-am extins. Chiar acolo, am spus că, deoarece acești vectori proprii formează o bază, putem exprima un vector arbitrar în termenii acestuia și apoi am găsit ponderile reale. Și când îl conectăm , obținem această formulă. Și așa putem acum rescrie asta în diferite moduri. Deci o modalitate de a rescrie aceasta este v transpune ori eI. Sau un alt mod de a-l scrie este eI, eI transpose, v. Deci, acesta este doar luarea produsului punctual și rescrierea lui. Și cum ajungem aici? În produsul punctual, este comutativ. Putem inversa v și eI. Și, prin urmare, putem obține această expresie pentru produsul punctual la fel de ușor ca și aceea. Și apoi luând un scalar înmulțit vectorul este același cu înmulțirea vectorului cu scalar, așa că obținem asta. Și de ce este asta interesant? Ei bine, pentru că atunci când facem aceste produse matrice, ele sunt asociative, așa că putem rescrie acest lucru ca eI, eI transpun, v. Și acolo sus, avem o sumă peste I și v nu este dependent de I. Deci, putem de fapt factor. asta afară așa. Deci toți acești termeni depind de I. Deci, în sumă, fiecare termen are unul diferit. Dar v-ul este același, așa că îl pot separa. Și stai puțin, spun că v este egal cu ceva ori v? Deci ce este asta? Aceasta este matricea identității. Deci, aceasta este o cale foarte lungă pentru a scrie matricea de identitate. Și motivul pentru care o facem este că, cu o ușoară schimbare, acum putem scrie matricea, m, folosind aceeași idee. Și astfel putem ajunge de fapt la această versiune a lui m. Și de ce este asta interesant? Pentru că acum putem vedea proprietățile valorilor proprii care ne interesează. Și apoi cum verificăm acest lucru? Ei bine, putem efectua operații cu m pe un vector și să vedem dacă produce același rezultat. Deci putem verifica acest lucru făcând, de exemplu, de m ori eI, verificând dacă acest lucru este adevărat. Să facem... Cred că avem eI aici, așa că vom face acest j. Este foarte ușor de verificat. Și dacă este adevărat, atunci este adevărat. Mai interesant este acesta. Deci, acesta este cel la care ajungem în sfârșit, care este cel mai interesant. Și cum verificăm asta? Ei bine, o modalitate ușoară este să luați această expresie pentru m, să o înmulțiți cu această expresie pentru m invers și să arătați că obțineți această expresie, matricea identității. BINE. Deci asta poate merge puțin repede. Dar amintiți-vă, totul este acolo și totul se încadrează pe patru pagini precum acele comentarii de pe Facebook care spun, o, și are doar trei pagini. BINE. Deci de ce ne interesează asta? Iată cheia. Această matrice pe care o folosim pentru a ne rezolva problema vederii, care ia o măsurătoare și o transformă într-o anumită cantitate de interes pentru noi, deplasare, viteză, oricare ar fi, înmulțește componentele semnalului cu 1 peste lambda I. Deci, este rău dacă lambda eu sunt mic. Deci acolo mergem cu asta. Adesea, modul în care putem înțelege performanța uneia dintre aceste metode este să ne uităm la care este câștigul de zgomot. Și când ne ridicăm dintr-o dimensiune, acesta este modul de a face asta , luăm acea matrice, îi găsim valorile proprii. Și dacă unele dintre ele sunt mici, știm că este o problemă prost pusă. Nu va avea o soluție stabilă. Dacă faceți o mică modificare în măsurare, veți obține o schimbare mare în rezultat. Așa că știu că spun asta din nou, și din nou, și din nou, și este pentru că cheia. Este important. Deci, de exemplu, în situația mouse-ului nostru optic în care avem doar cazul 2 cu 2, ajungem la o diagramă ca aceasta în care avem două direcții care sunt vectori proprii. Și dacă unul dintre ele are o valoare proprie mică, atunci ne va fi greu să calculăm cu exactitate mișcarea mouse-ului. Și se dovedește că, în acest caz, unul dintre ele este direcția izofotului, iar celălalt este direcția gradientului. Deci, amintiți-vă că izofotele sunt doar linii de luminozitate constantă și sunt foarte utile pentru a desena lucruri pe tablă, deoarece nu pot desena niveluri de gri. Și au proprietatea că sunt perpendiculare pe gradient, unde gradientul este doar cei doi vectori de derivate în raport cu x și y. Și reiese că valoarea proprie care corespunde direcției izofotului este foarte mică, în cazul ideal, 0, iar cea din direcția gradientului nu este. Deci inversează asta, asta înseamnă că în direcția izofotelor, orice eroare mică va fi mărită enorm, în timp ce în cealaltă direcție, direcția gradientului, este OK. Și asta corespunde înțelegerii noastre că, dacă mutați această imagine în direcția gradientului, lucrurile se schimbă. Acest izofot este acum jos , iar luminozitatea aici s-a schimbat. În timp ce dacă îl deplasați în direcția izofotului -- prin definiție, izofot însemnând luminozitate constantă, luminozitatea tinde să nu se schimbe sau să nu se schimbe foarte mult și, prin urmare, aceasta este o mișcare care nu este ușor de detectat cu precizie. Deci aceasta este o mică poveste despre vectori proprii și valori proprii. Și vom vedea că vor juca un rol și nu este doar în analiza erorilor, ci aceasta este una dintre principalele lor utilizări. BINE. Revenind la lucruri puțin mai puțin abstracte, stereo fotometric, și am discutat despre asta oarecum ultima dată. Deci ideea este că o singură măsurare a luminozității nu ne oferă suficiente informații pentru a recupera orientarea suprafeței, deoarece orientarea suprafeței are două grade de libertate și, prin urmare, avem nevoie de mai multe constrângeri. Și o modalitate de a obține mai multă constrângere este să faci mai multe fotografii. Dar, desigur, dacă sunt în aceleași condiții, vor fi doar aceeași imagine, cu un pic de zgomot diferit. Dar diferența de zgomot nu vă va cumpăra prea mult decât poate le puteți media pentru a reduce zgomotul. Așa că am ajuns la un sistem în care am făcut trei fotografii pentru a simplifica lucrurile în trei condiții de iluminare diferite. BINE. Și am început cu un caz real simplu în care am spus că luminozitatea a fost proporțională cu cosinusul unghiului incident și că, desigur, este produsul punctual al normalei suprafeței și direcția către sursa de lumină. Și într-un minut, vom vorbi despre, ce se întâmplă dacă suprafața nu satisface această constrângere? Pentru că, evident, suprafețele reale nu. Ei pot aproxima acest lucru. Unele suprafețe aproximează acest lucru destul de bine, dar dorim să ne ocupăm de suprafețe arbitrare. BINE. Deci, am putea avea, de exemplu, o măsurătoare de luminozitate. Deci acum vorbim despre un anumit pixel, nu? Așa că ne vom concentra pe a face acest lucru la fiecare pixel și, deci, ne vom uita la un anumit pixel, iar acesta este luminozitatea, nivelul de gri pe care îl măsurăm acolo. Și am pus în acest rând, pe care îl voi numi albedo, ca o modalitate de a descrie câtă lumină reflectă suprafața. Deci, o suprafață albă, rândul ar fi 1, iar un rând de suprafață neagră ar fi 0, iar o suprafață reală ar fi undeva la mijloc. Și un motiv pentru care fac asta este pentru că pot și pentru că face problema cu adevărat mai ușoară - pentru că acum am trei necunoscute. Și dacă am trei constrângeri care sunt liniare, pot folosi marile mele metode de rezolvare a ecuațiilor liniare pentru a le rezolva. Într-un fel, două imagini ar fi suficiente pentru că dacă avem două ecuații și două necunoscute, de obicei există un număr finit de soluții. Problema este că numărul finit poate să nu fie 1. Și în acest caz, numărul finit este 2. Și așa am dezambiguat enorm. Înainte nu știam deloc care este orientarea, acum știu că este una dintre aceste două posibilități. Dar este mai ușor să ne ocupăm mai întâi de un caz în care îl putem dezambigua complet introducând o problemă cu trei necunoscute și trei măsurători. BINE. Deci, folosesc o sursă de lumină diferită și primesc o a doua măsurătoare. Și apoi folosesc o a treia sursă de lumină și primesc o a treia măsurătoare și am făcut asta ultima dată. Și aici folosim acea notație pentru un produs punct și o folosim pentru a vorbi despre-- să facem asta [INAUDIBIL]. Deci ce este asta? Aceasta este o matrice 3 pe 3. S1 transpunerea este vectorul la sursa de lumină, care tocmai a fost inversat de la a fi un vector coloană într-un vector rând. Deci primul rând al acestei matrice este S1 doar întors pe partea sa, iar acesta este S2 și așa mai departe. Și atunci când înmulțiți această matrice cu acel vector, primul lucru pe care îl obțineți este produsul scalar al lui S1 și n, și acesta, desigur, este E1. BINE. Și aici, folosesc notația scurtă. Deci absorb acel lambda în n. Și asta este convenabil pentru că acum, în loc să am de-a face cu un vector unitar, am un vector arbitrar cu 3. Și asta înseamnă că nu trebuie să mă ocup de o constrângere neliniară urâtă. Lucrul care duce la două soluții este un pătratic și de ce obținem un pătratic? Ei bine, pentru că avem această constrângere de ordinul doi pe n. Dar făcând acest lucru, evităm să fim nevoiți să facem asta. BINE. Așa că, pot scrie doar ca o matrice s ori vectorul n este vectorul E. Deci vectorul E este doar că stivuiesc cele trei măsurători ale mele. Deci, din nou, pentru a fi clar, deci fac o poză, mă uit la acest pixel, primesc E1. Apoi aprind o altă sursă de lumină, fac o poză. La același pixel, primesc E2. Și apoi pornesc a treia sursă de lumină, mă uit la acel pixel anume și primesc E3 și le stivuiesc împreună pentru a face acest vector, E1. Și astfel soluția este foarte simplă și extrem de ieftină de calculat. În special, pot precalcula această matrice presupunând că sursele de lumină sunt în poziții fixe. Deci, dacă știu unde sunt sursele de lumină, știu S1, S2 și S3, pot doar să construiesc această matrice și să o inversez din timp, iar atunci aceasta este doar o multiplicare a matricei 3 cu 3 cu un vector 3. Și am vorbit despre asta ultima dată și am mai spus că asta presupunând că această matrice nu ne dă probleme. Deci problema ar fi unde matricea este singulară, atunci nu o putem inversa. Sau dacă este aproape singular, nu o putem inversa. Deci când se întâmplă asta? Ei bine, se întâmplă atunci când rândurile nu sunt liniar independente. Așa că atunci asta explodează. Și, de exemplu, să încercăm asta, S3 este o combinație a lui S1, o combinație liniară a lui S2. Așa creăm probleme, nu? Dacă al treilea rând este doar o combinație a primelor două rânduri. Sau, în general, dacă există o combinație liniară a celor trei rânduri, asta ne dă 0. OK. Deci de ce este rău? Ei bine, pentru că asta înseamnă că E3 este alfa E1 plus beta E2. Trebuie doar să iau produsul scalar al acestei ecuații cu n și obțin acest rezultat și asta îmi spune că a treia măsurătoare este redundantă. Nu- mi spune nimic nou. Deci nu e de mirare că explodează, nu? Parcă ai înșela. De exemplu, dacă ați făcut al treilea rând la fel cu primul rând, este destul de clar că matricea este singulară și, de asemenea, este destul de clar că nu primiți informații noi. Deci totul are sens intuitiv. Așa că mă pot gândi la asta ca pe o imagine. Acesta este un caz în care S1 plus S2 plus S3 este 0 și este în mod clar un caz prost. Și pot fi mai chic și pot pune multiplicatori pe acestea, pot pune alfa pe asta și beta pe asta și, dacă doriți, gamma pe asta. Deci, dacă un multiplu dintre acești trei vectori adună până la 0, acest lucru nu va funcționa. Și care este acea condiție? Cum pot spune geometric care este condiția ca acest lucru să meargă greșit? Deci, vectorii S1, S2 și S3 sunt - pentru ca această buclă să se închidă. Amintiți-vă, aceasta este acum în 3D. Deci avem un vector care merge într-un anumit sens, de o anumită lungime, apoi un alt vector. Începi de la vârful primului vector și pui acolo coada celui de-al doilea vector. Și atunci când ajungi la al treilea vector, se închide. Deci, care este condiția acestor trei vectori, din punct de vedere geometric, care face posibil acest lucru? PUBLIC: [INAUDIBIL]. BERTHOLD HORN: Sunt în același plan, nu? Dacă aș avea axele x, y și z, evident că nu poți face asta. Unul pleacă în direcția x, unul se stinge în direcția y, unul se stinge în direcția z, se vor închide. Deci problema este dacă sunt coplanare, deci e rău. Atunci această metodă eșuează. Și, evident, atunci când faci asta, ar trebui să le așezi astfel încât să fie cât mai departe de a fi coplanare. De exemplu, le puteți pune pe axele x, y, z. Deci ai putea avea un aranjament în care obiectul să fie aici jos. Și apoi puteți ridica un sistem de coordonate dreptunghiular, iar S1 merge acolo, iar S2 merge acolo și S3 merge acolo. Și acum nu sunt coplanari, așa că acest lucru nu se va întâmpla, nu se vor destrama. Și apoi există întrebări despre, ei bine, care este cel mai bun? Evident, dacă le fac aproape coplanare, voi obține rezultate instabile, unele valori proprii vor fi mici. Și dacă iau inversul, inversul valorii proprii va fi mare și astfel amplificarea zgomotului va fi mare. BINE. Deci, dacă faci asta într-un cadru industrial, deții controlul asupra locului în care merg sursele de lumină. Deci, asta e tot ce trebuie să știi, nu le face coplanare. Și probabil, cu cât te poți apropia mai mult de acest aranjament, cu atât este mai bine acolo unde sunt de fapt în unghi drept unul față de celălalt. Deci aici vreau să vorbesc pe scurt despre Pământ, lună și soare. Deci, să presupunem că luna este făcută din brânză verde, iar brânză verde are o proprietate de reflectare lambertiană. Și așa suntem pe Pământ și încercăm să obținem o hartă topografică a Lunii, care ar fi un lucru util de făcut înainte ca oamenii să aterizeze acolo. Bineînțeles că acum am făcut-o cu mult timp în urmă. Dar înainte ca oamenii să aterizeze acolo, a existat multă incertitudine. Oamenii nu știau, de exemplu, dacă vântul solar a lovit suprafața în așa măsură încât erau 10 metri de praf. Și dacă ați ateriza pe el, veți dispărea în praful acela. Oricum, așa că a existat mult interes în încercarea de a afla cât de înalte sunt aceste cratere. Putem vedea aceste cratere frumoase, dar care este panta? Nu vrem să aterizăm pe ceva care are o pantă foarte mare. Așa că ar fi foarte grozav dacă am putea folosi stereo fotometric, deoarece soarele luminează luna în moduri diferite, în diferite părți ale ciclului. Deci, aici, după cum știți, luna arată întotdeauna aceeași față Pământului, iar cealaltă parte, care se numește prostește partea întunecată a lunii, nu este vizibilă de pe Pământ. Și deci, dacă te gândești la... să luăm un anumit punct aici... în timp ce aici este în ciclu , soarele este acolo. Dar aici, soarele este în această direcție. Și aici, soarele este în această direcție. Deci am putea aranja cu ușurință trei, 10, oricâte de multe măsurători în diferite poziții de pe orbită și putem folosi această metodă. Ei bine, există câteva presupuneri. Una dintre ele este că are reflectanță Lambertion, ceea ce nu are, dar vom încerca să o reparăm mai târziu. Și, în mod enervant, nu funcționează, iar motivul este că acest avion de aici care conține orbita Lunii este aproape același plan cu avionul care conține orbita Pământului în jurul Soarelui. Deci, puteți vedea ce se va întâmpla că acești trei vectori, sau mai mulți, sunt coplanari sau aproape coplanari. Orbita Lunii este la câteva grade de orbita Pământului în jurul Soarelui. Deci primești o mică schimbare, dar nu este suficientă pentru a face o măsurătoare utilă. Și așa este uimitor. Tocmai am făcut ceva foarte simplu aici și am ajuns deja la o concluzie foarte profundă, și anume că nu puteți obține topografia Lunii din măsurătorile Pământului pe măsură ce trece prin orbita sa și diferite părți sunt iluminate diferit pe măsură ce aceasta face asta, ceea ce este un lucru destul de uimitor. BINE. Deci haideți să vorbim puțin despre ipoteza Lambertion. Deci Lambert era acest călugăr și a făcut aceste experimente. Acum de ce era călugăr? Ei bine, pentru că a existat o perioadă în istoria noastră în lumea occidentală în care singurii oameni care puteau învăța ceva erau în domeniul religios. Oamenii obișnuiți nu știau să citească sau să scrie și nu aveau voie să citească sau să scrie, iar călugării făceau toate aceste lucruri interesante, cum ar fi să-și dea seama cum să producă rom și altele. Și tipul ăsta, își învelise prânzul în hârtie și conținea niște pește gras. Și așa o bucată de hârtie a fost infuzată cu ulei. Și cred că ați văzut asta, o bucată de hârtie albă cu puțin ulei pe ea, zona uleioasă arată cam mai întunecată. Și apoi, dacă îl țineți sus și îl mutați, vedeți că are proprietăți diferite de reflectare și transmitere . Și astfel, ceea ce a descoperit a fost că poate face măsurători ale luminii folosind acest instrument. Astăzi, desigur, am folosi un computer de 100.000 de dolari și fotodiode PIN, dar el a folosit o bucată de hârtie. Și așa ideea este aceasta. Aici este bucata noastră de hârtie și aici este punctul gras, și ceea ce se întâmplă este că hârtia nu absoarbe nicio lumină. Este o hârtie albă. În mod ideal, ar putea absorbi puțin, dar să presupunem că nu a absorbit nimic. Deci are doar două opțiuni. Cea este lumina soarelui care sosește și este reflectată înapoi, iar puțin din ea trece pe cealaltă parte. Acum, în partea grasă, soare lumina soarelui și o mică parte din ea este reflectată înapoi, dar trec multe. BINE? Deci asta este diferența dintre cele două părți. Substanța grasă umple practic golurile de aer și astfel suprafața nu mai este la fel de reflectorizantă ca înainte, dar nu este un material absorbant, așa că ceea ce se întâmplă este lumina prin care trece. BINE. Deci de ce ar fi acest lucru de interes? Vă permite să comparați două intensități de iluminare și o faceți practic luminând această parte cu o sursă și această parte cu cealaltă sursă, apoi o echilibrați astfel încât să nu vedeți punctul gras. Când se poate întâmpla asta? Ei bine, am putea scrie ecuații, dar cred că puteți vedea ce se va întâmpla este că dacă aceeași cantitate de lumină intră din această parte ca și din acea parte, atunci acestea se vor echilibra. Acest lucru va părea la fel de strălucitor când este privit de aici . Deci este o idee foarte puternică. Și nu a făcut asta cu adevărat cu hârtiile astea de prânz, dar acolo a mers. Avea hârtie albă, care era destul de prețioasă la acea vreme. Poate vă amintiți că uneori oamenii scriau ceva - și apoi, pentru că hârtia era scumpă, scriau ceva la 45 de grade deasupra ei și poate mai mult. Deci, oricum, avea această foaie drăguță de hârtie. Și astfel, ar putea compara luminozitatea. Și unul dintre lucrurile pe care le puteți face, atunci, este să obțineți legea inversului pătratului. Așa că ar putea pune patru lumânări pe această parte și una la o distanță de două ori mai mare decât o lumânare pe această parte, nu? Și așa ar trebui să se potrivească. Așa că a putut să facă toate aceste experimente uimitoare cu acest aparat foarte simplu și să obțină legea inversului pătratului. Și, desigur, oameni ca Newton ar spune, ei bine, este evident, nu trebuie să faci un experiment. Energia trece pe suprafața unei sfere, iar suprafața sferei este de 4 pi r pătrat rr pătrat. Deci, oricum, următorul lucru pe care l-a făcut a fost că s-a întrebat cum reflectă lumina suprafețele atunci când s-au iluminat din direcții diferite. Și folosind metode ca aceasta, a venit cu ceea ce se numește acum legea Lambert, și anume că este cosinusul unghiului incident - luminozitatea este proporțională cu cosinusul unghiului incident. Acum, desigur, o parte din asta nu este ceva despre care trebuie să faci un experiment. Am vorbit deja despre scurtare și știm că cantitatea de lumină care cade pe suprafață variază în funcție de cosinusul unghiului incident. Dar despre ce a vorbit a fost, cât de strălucitor arată? Cu alte cuvinte, câtă lumină reflectă și în ce direcție? BINE. Acum, pentru a vorbi despre asta mai detaliat, trebuie să avem o modalitate de a vorbi despre orientarea suprafeței, deoarece luminozitatea va depinde de orientarea suprafeței și poate face acest lucru într-un mod mai complicat decât Lambert. Am pus legea între ghilimele pentru că nu este o lege, este un model fenomenologic. Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că postulezi un anumit fel în care ceva se comportă și apoi îi dai un nume. Și nu este ca și cum ar fi o suprafață reală care să facă exact asta. Multe suprafețe reale precum hârtia sunt aproximări bune, dar nu fac exact asta. BINE. Am vorbit deja puțin despre orientarea suprafeței. Am spus că putem ridica o unitate normală. Așa că iată un mic petic de suprafață și am ridicat ceva care este perpendicular pe suprafață. Și acesta este un mod de a vorbi despre orientare și am menționat că are două grade de libertate pentru că este un vector de 3, dar există o constrângere că este un vector unitar. Deci 3 minus 1 este 2. Deci acesta este un mod de a vorbi despre asta. Și pentru o suprafață extinsă, vă puteți imagina că facem acest lucru pentru fațete mici de pe toată suprafața și toate vor fi îndreptate în moduri diferite. Dar dacă alegeți o zonă suficient de mică, atâta timp cât suprafața este rezonabil de netedă, atunci o putem reduce la acest caz. Trebuie să excludem lucrurile pe care matematicienii le vor construi ca o suprafață care 1 unde x este un număr rațional și 0 unde x este un număr irațional, nu putem face asta acolo. Dar pentru suprafețe reale, putem face față. Și pentru diferite fațete, putem face asta. Apoi am menționat și că, deoarece este un vector unitar, putem vorbi despre orientare în termeni de punct pe sfera unității, iar asta îl vom găsi destul de util mai târziu. De exemplu, dacă vrei să vorbim despre toate orientările posibile, aceasta este întreaga suprafață a sferei, sau există anumite operații pe care le vom face pe suprafața sferei. Deci acestea sunt reprezentări, dar avem nevoie de altceva. Deci, să ne uităm la asta. Deci, iată o expansiune a seriei Taylor în care punctele indică termeni de ordin superior, pe care îi putem ignora atâta timp cât facem infinitezimalul suficient de mic. BINE. Deci, diferența dintre aceste două, putem scrie ca delta z. Deci este aceeași ecuație. Așa că introduc p și q ca scurtături pentru aceste derivate. Și acest lucru este doar analog cu ceea ce am făcut înainte, unde am introdus u și v ca prescurtare pentru dx/dt și dy/dt, parțial pentru că este prea mult deranjat să scrii toate aceste lucruri și parțial pentru că face să pară prea intimidant când de fapt este foarte simplu. Deci p și q sunt pante. Și de fapt, p și q este gradientul de pe suprafață. Deci, amintiți-vă cum am spus că o modalitate de a gândi o imagine este că are înălțimea deasupra unui nivel al solului. Deci avem x și y în planul imaginii și apoi putem reprezenta luminozitatea ca înălțime deasupra acesteia. Și atunci când am vorbit despre gradientul de luminozitate, ex, ey, spuneam că este gradientul acelei suprafețe. Ei bine, iată un caz în care vorbim de fapt despre o suprafață în 3D și acesta este gradientul ei. Este dz/dx, dz/dy. BINE. O modalitate de a face o imagine despre asta este aceasta. BINE. Deci aceasta este suprafața noastră cu vector normal, iar această margine este delta x, iar această margine este delta y. Și această parte aici este q delta y, iar această parte este p delta x. Deci, aceasta este o diagramă care ilustrează practic această idee. Fac un pas mic în direcția x, delta x, iar suprafața crește cu dz/dx ori delta x. Apoi fac un pas mic în direcția y, iar suprafața crește cu dz/dy ori delta y pentru că s-ar putea să coboare. Doar în această imagine anume, crește. Deci, acesta este un alt mod de a înțelege ce spune această ecuație. Acum vom descoperi că locurile în care notația normală a unității funcționează pentru noi și există locuri în care notația cu gradient funcționează pentru noi, așa că trebuie să avem modalități de a comuta înainte și înapoi. Și acest lucru este foarte comun în problemele de calcul, unde unele probleme sunt ușor de rezolvat într-un domeniu, iar unele sunt ușor de făcut într-un alt domeniu. Deci ajunge să fie o problemă de conversie. La fel ca coordonatele carteziene și coordonatele polare, unele lucruri sunt ușor de făcut în coordonate polare, altele sunt ușor de făcut în coordonate carteziene, așa că doriți doar să puteți converti înainte și înapoi, și la fel și aici. Deci, cum sunt acestea legate? Cum este n legat de p și q? Ei bine, un lucru pe care îl putem face este să ne uităm la această suprafață, care are un n normal. Orice linie din suprafață trebuie să fie perpendiculară pe n, nu? Aceasta este ideea că n este perpendicular pe suprafață, adică este perpendicular pe orice linie de pe acea suprafață. Și dacă am vreo două linii pe suprafață care nu sunt la fel, atunci am terminat pentru că dacă n este perpendicular pe două linii, pot lua doar produsul încrucișat, nu? Deoarece produsul încrucișat al doi vectori este perpendicular pe ambii acești vectori. Deci trebuie să găsesc niște tangente la suprafață. Ei bine, iată una. Aceasta este o margine care se află pe acea suprafață și care este direcția ei? Ei bine, componenta x a acelui vector este delta x, nu are nicio componentă y, deci este 0, iar componenta z este p delta x. Deci, acesta este un vector în direcția roșie. Și pot scoate delta x afară pentru că are lungimea arbitrară și obțin acel vector. Deci asta este o tangentă. Pot să iau altul. O pot lua aici. Și acela, pe măsură ce mă mișc de-a lungul acelei margini, nu există nicio schimbare în x. Deci acesta este 0. Există o schimbare în y, nu? Mă mut aici, așa că delta y. Și există o schimbare a înălțimii, care este q delta y, și astfel pot lua delta y de... OK. Deci ce am eu? Am două direcții care se află la suprafață. Aș fi putut alege altă direcție, acestea se întâmplă să fie foarte convenabile de calculat. Și deci ceea ce trebuie să fac este să iau produsul încrucișat, iar acesta ar trebui să fie paralel cu n. Va avea o dimensiune, de care nu ne pasă. Suntem îngrijorați doar de direcția acelui vector unitar. Deci, ce este acel produs încrucișat? Cred că este minus p minus q1. Deci asta este legătura dintre cele două reprezentări, iar acum pot merge puțin mai departe. Pot spune că vectorul unitar este doar normalizează-l. Deci, dacă îmi dați p și q, pot calcula unitatea normală n și presupun că vrem și noi să putem merge în cealaltă direcție. Deci p este minus n punct x. Deci, dacă trebuie să merg vreodată în cealaltă direcție, pot face asta. Și pare intimidant, dar spune doar să ia prima componentă a lui n, și anume acest minus p, și să o împarți la ultima componentă a lui n, care este 1. Deci, de ce am făcut asta? Pentru că ce se întâmplă dacă n nu este vectorul unitar? Atunci acesta va avea grijă de asta. Dacă este un vector unitar, nu trebuie să fiu atât de chic. BINE. Deci pot merge înainte și înapoi între cele două notații care reprezintă suprafața și ce fac cu asta? Ei bine, lucrul grozav acum este că am un mod de a mapa, în plan, toate orientările posibile ale suprafeței. Am avut deja asta pentru că aveam sfera. Am spus că toate orientările posibile ale suprafeței corespund punctelor de pe sferă. Problema este că nu am hârtie sferică și nu am tablă sferică. Deci, aceasta este o proiecție a suprafeței acelei sfere în plan care este deosebit de ușor de înțeles, deoarece acesta este doar dz/dx și acesta este doar dz/dy. BINE. Așadar, ca și în cazul spațiului de viteză, aceasta este o construcție foarte utilă, dar este nevoie de puțin pentru a vă obișnui. Deci punctele din acest plan nu sunt puncte din unitate. Punctele din acest plan corespund diferitelor p și q, adică diferite orientări ale suprafeței. Deci, de exemplu, să luăm în considerare acest punct. Deci, acesta este punctul în care p este 0 și q este 0 și acesta este un plan. Acum să presupunem că defectul de aici are un sistem de coordonate xy și z iese din podea, ce tip de suprafață ar avea acest punct în această reprezentare? Da. Podeaua, de exemplu. Orice este la nivel. De ce? Ei bine, pentru că zdx este 0 și zdy este 0. Deci, dacă ar avea vreo înclinare , atunci zdx sau zdy ar fi diferit de zero. Deci podeaua are această proprietate. Dar, de fapt, orice suprafață de deasupra podelei care are aceeași orientare, așa că există o ambiguitate aici. Nu ne spune unde este chestia asta. Ne spune doar cum este orientat în spațiu și asta va fi o problemă secundară. Să presupunem că venim cu o metodă de viziune artificială, care pentru fiecare pixel, ne permite să recuperăm orientarea suprafeței fie în acest fel, fie în p și q. Încă trebuie să-l îmbinăm pentru a face o suprafață completă, dar asta se dovedește a fi ușor, deoarece este supradeterminat, spre deosebire de majoritatea problemelor cu care ne confruntăm, care sunt subdeterminate. BINE. Deci aceasta este suprafața. Acum, dacă trec aici la p este 1, să presupunem că x merge la dreapta și y merge înainte, care corespunde suprafeței unde panta care merge la dreapta este de 1, 45 de grade în sus. Ar fi destul de abrupt, aș aluneca de pe ea cu acești pantofi. Deci, dacă mă duc aici, ce este asta? Ei bine, aceasta este o suprafață în care panta în direcția y este 1. Deci este genul de lucru pe care îl găsești la EMS să-ți verifici cizmele de alpinism, să te asiguri că se potrivesc bine și să stai cu degetele sus ca acest. Și apoi aceasta, desigur, este o combinație în care avem o pantă la dreapta și o pantă spre înainte și așa mai departe. Și cu cât merg mai departe, cu atât devine mai abruptă. Deci asta este acest avion. Fiecare punct din acest plan corespunde unei anumite orientări ale suprafeței. Acum, în aplicarea vederii artificiale, constatăm că luminozitatea depinde de orientarea suprafeței. Deci, acesta este un instrument minunat pentru a reprezenta luminozitatea. În regulă? Așa că doar experimental, aș putea lua un petic din acest material, l-aș putea orienta plat, paralel cu solul. Măsurez cât de strălucitor apare și am pus acel număr aici, E1. Apoi l-am înclinat în sus cu 45 de grade și am pus acel număr aici. Și o înclin în sus... care este panta de 2? Tangenta inversă a lui 2 și am reprezentat-o ​​aici. Așa că pot reprezenta grafic valorile mele de luminozitate în funcție de orientarea suprafeței. Deci aceasta devine un fel de imagine pentru că în fiecare punct există o luminozitate, dar nu este deloc o transformare a unei imagini pe care o faci cu un sistem optic. Este confuz, dar nu este. Deci, totul aici corespunde orientării și apoi putem reprezenta orice dorim, cum ar fi luminozitatea. BINE. Deci unde se duce asta? Ei bine, o idee este că atunci putem inversa asta. Să presupunem că am făcut această hartă, apoi măsurați luminozitatea. Și apoi te întorci la el și spui, oh, asta înseamnă că orientarea suprafeței este așa și așa. Deci asta e ideea. Și probabil că spui, bine, într-adevăr? Pentru că poate luminozitatea aici jos este aceeași ca acolo și poate luminozitatea aici jos este aceeași ca acolo. Și, de fapt, poate există o linie întreagă de puncte care au aceeași luminozitate și o linie întreagă de puncte care au aceeași luminozitate, iar doar numărarea ecuațiilor și constrângerilor vă spune care este problema. Dacă facem o măsurătoare de luminozitate, nu putem recupera două necunoscute. Deci, la fel ca în cazul determinării vitezei, o singură măsurătoare nu va fi suficientă. Va fi o îmbunătățire dramatică a unei măsurători fără măsură. Deci, dacă nu luăm o măsurătoare, nu știm deloc unde suntem în acest plan. Am putea avea orice orientare pentru un element de suprafață. Dacă luăm o măsurătoare, vom fi constrânși la o curbă și atunci avem nevoie de mai multă constrângere pentru a o fixa într-o anumită orientare. Deci, să raportăm asta la ceea ce am făcut în exemplul nostru de stereo fotometric și, de asemenea, discuția noastră despre Lambert. Să presupunem că avem o suprafață Lambertion. Deci, există o confuzie comună, și anume că aceste lucruri se aplică numai suprafețelor Lambertion. De ce facem suprafețe Lambertion? Pentru că pentru suprafețele Lambertion, vă pot arăta diagrame frumoase, pot rezolva ecuații. În lumea reală, nimic nu este exact Lambertion. Deci, dacă doriți un rezultat precis, va trebui să măsurați, să calibrați și vom vedea cum să faceți asta. Dar pentru moment, să presupunem că, în mod magic, avem de- a face cu o suprafață Lambertion. Deci avem suprafața normală proporțională cu luminozitatea. Prin urmare, luminozitatea este proporțională cu cosinusul unghiului incident și acesta este produsul punctual dintre normala suprafeței și direcția incidentului. Și acum vrem să traducem asta în această notație, p și q. Dar un lucru important este că căutăm izofoți aici. Căutăm aceste curbe. Și așa ne vom uita la locurile în care aceasta este o constantă, dar să înlocuim doar - deci vectorul unitar, n, este minus p minus q1. Și putem lua produsul punctual al acesteia cu o anumită direcție a sursei de lumină și apoi putem reprezenta un grafic. Dar acolo, va fi util să introduceți o altă scurtătură mică, care este un mod diferit de a scrie direcția către sursa de lumină. Așa că ne-am gândit la ecuația de acolo ca la un fel de amestec. Am trecut la jumătatea drumului de la vectorii unitari la spațiul pq. Să mergem din plin. Și deci modul complet este să spunem, ei bine, pentru a efectua aceeași transformare pe acel vector unitar pe care am făcut-o pe n, este doar aceeași ecuație. Tocmai de data aceasta vorbim despre vectorul la sursa de lumină, mai degrabă decât despre unitatea normală. Și astfel încât să fie mai clar, acel punct, ps, qs, este în acel plan. Și ce e? Ei bine, este orientarea în care razele de lumină incidente sunt paralele cu suprafața normală, nu? Deci acesta este punctul în care... și pentru suprafața Lambertiană, acesta va fi cel mai luminos punct, nu? Pentru că unghiul dintre acești doi vectori este 0. Deci cosinusul unghiului incident este 1 și este la fel de mare pe cât poate obține cosinusul. Așa că am ales acest punct special, ps, qs pentru că este în acel plan -- pentru că este cel care ne oferă cea mai strălucitoare suprafață. Deci are un sens real. În afară de aspect geometric, înseamnă doar că iluminăm suprafața chiar în normal. Un alt mod de a ne gândi la asta este prescurtarea, nu există prescurtare. Nu am înclinat suprafața în raport cu sursa de lumină. Deci nu avem aceeași putere răspândită pe o zonă mai mare. Aici este concentrat în cea mai mică zonă posibilă. Este cel mai eficient. Este ceea ce faci cu colectoarele tale solare. BINE. Deci asta înseamnă că putem rescrie n puncte în această formă. Deci asta începe să pară puțin dezordonat. Și ce facem? Vrem izofot. Deci vrem să știm, unde este această cantitate constantă? Care sunt curbele în acel spațiu pq, în spațiul de gradient unde acea cantitate este constantă? Ei bine, pot să îndrept asta și să mișc puțin lucrurile. Acum această cantitate de aici, aceasta este doar o constantă, nu? Pentru că țin sursa de lumină într-o poziție fixă. Și atunci întrebarea este, ce fel de curbă definește aceasta în spațiul pq? Dacă o înmulțiți, veți obține niște termeni constanți, unii termeni proporționali cu p, alții proporționali cu q. Termenii de ordinul cel mai înalt pe care îi veți obține sunt de ordinul doi. Deci, când înmulți totul, ceea ce este dezordonat, vei avea ceva de ordinul doi în p și q. Deci întrebarea este, ce fel de curbă definește asta? Și poate fi greu să ne gândim la asta în termeni de p și q. Nu vorbim doar despre geometrie în plan. Așa că imaginați-vă că aveți un x și y-- aveți o ecuație care are x pătrat, y pătrat, x ori y, x, y și o constantă din toate acestea adunate, ce curbă ar corespunde? Da. PUBLIC: [INAUDIBIL] parabolă. BERTHOLD HORN: Ar putea fi o parabolă, da. Altceva? PUBLIC: Elipse. BERTHOLD HORN: Elipse, da. Bine, minunat. Generalizează-l puțin mai mult. PUBLIC: Secțiune conică. BERTHOLD HORN: Îmi pare rău? PUBLIC: Secțiune conică. BERTHOLD HORN: Este o secțiune conică. BINE. Da, acestea sunt exemple grozave. În general, sunt secțiuni conice. Și deci da, putem avea o parabolă. Putem avea o elipsă. Putem avea chiar și un cerc. Putem avea o linie, un caz special degenerat. Putem avea un punct, un caz degenerat și mai special și putem avea chiar și o hiperbolă. BINE. Așa că vreau să complotez chestia asta și aceasta este ca o previzualizare a cum va arăta. Deci, dacă c este 0 - să ne uităm la acel caz special. Dacă c este 0, atunci acesta este 0. Și asta înseamnă că 1 plus psp plus qsq este 0. Și ce fel de ecuație în p și q este aceasta? Asta e o linie. Este o ecuație liniară, deci este doar o linie dreaptă. Deci acesta este un caz special. Deci va fi un fel de linie aici și acolo luminozitatea este 0. OK. Și apoi un alt caz special este în care p este egal cu ps și q este egal cu qs. Și acesta este un caz special în care... am vorbit aici, unde normalul este îndreptat direct către sursa de lumină și obținem luminozitatea maximă. Deci, există un punct aici unde E este 1 dacă îl normalizăm în mod corespunzător. BINE. Și apoi, restul, puteți să complotați folosind un fel de program, dacă doriți. BINE. Deci, aceasta este o diagramă foarte utilă pentru grafică, deoarece dacă am o suprafață pe care o trasez, pot determina cu ușurință unitatea normală din ea, pot obține p și q sau pot obține direct p și q. Și apoi aș merge la această diagramă și am citit orice luminozitate este aici și o folosesc ca nivel de gri, sau culoare, în imaginea pe care o trasez. Ceea ce facem e cam invers. Ceea ce vrem să facem este să spunem, OK, am măsurat E ca punctul doi, care este orientarea? În acest caz, aceasta este curba. Deci nu primesc un răspuns unic, dar este puternic constrâns. Trebuie să fie pe acea curbă. BINE. Acum, dacă aș avea mai multe constrângeri, pot îmbunătăți acest lucru. De exemplu, să presupunem că acum mut sursa de lumină, apoi toată diagrama se schimbă, nu? Pentru că amintiți-vă că acest punct, aici este unul care depinde practic de poziția sursei de lumină. Este ps, qs din ecuația asta, este legat de direcția către sursa de lumină. BINE. Nu vreau să încurc această diagramă, dar imaginează-ți că o imaginez în oglindă mutând sursa de lumină aici. Deci voi avea un al doilea set de izofote care acum se intersectează cu acestea. Și dacă fac o măsurătoare în acele alte condiții de lumină, atunci răspunsul trebuie să fie pe ambele curbe și apoi obțin soluția din asta. Deci, doar pentru distracție, să presupunem că cealaltă curbă a fost așa. Sunt curbe, nu sunt linii. Deci este foarte posibil ca ei să se intersecteze în două locuri. Deci am un număr finit de soluții în general, nu una. Și de aceea ne concentrăm mai mult pe cazul în care folosim trei surse de lumină în loc de două. Deci, doar o notă despre, de ce sunt secțiuni conice? Ei bine, acesta are, de fapt, un răspuns ușor, adică să presupunem că iau o măsurătoare de luminozitate a unei suprafețe Lambertian-- deci iată sursa mea de lumină , iată o suprafață. Și din luminozitate, pot calcula acest unghi. Dar, desigur, pot învârti acest vector în jurul acestei linii către sursa de lumină. Pot să-l învârt și ce primesc? Primesc un con. Dacă măsoară o luminozitate diferită, va fi un unghi diferit, voi obține un alt con și așa mai departe. Deci, din nou, imaginează-ți un al treilea element de suprafață, măsoară încă un unghi și obțin, să zicem, acest con. Deci există aceste conuri imbricate și acum imaginați-vă că ați tăiat asta cu un avion. Deci acesta este planul nostru pq, și ta-da, secțiunile conice. Și da, nu veți obține doar elipse, puteți obține o hiperbolă. Atâta timp cât această margine inferioară a conului este de fapt sub acest plan, nu veți obține o curbă închisă, așa că sunt posibile parabole. Da. BINE. Permiteți-mi să mă adresez mai întâi la aceea , cealaltă parte a liniei. Așa că am spus că este cosinus theta, cu excepția cazului în care este negativ. Aici cosinusul theta I devine negativ. Și nu am desenat intenționat această parte a diagramei pentru că, în practică, luminozitatea nu devine negativă. Este o măsură a puterii, deci nu poate fi negativă. Deci, dacă ar fi să complot doar cosinus theta, ar continua. Dar avem max de 0 și cosinus theta, așa că avem această parte. Cealaltă parte a întrebării este, unde se transformă de la curba închisă la cea deschisă? Voi lăsa asta ca un puzzle pentru o viitoare problemă de teme. De ce? Pentru că nu știu răspunsul. Așa că te las să-ți dai seama. BINE. Asta e pentru azi. Așa că bănuiesc că știți cu toții că există o problemă cu temele care va fi cauzată. Și vă rugăm să vă asigurați că sunteți înscris pe Piazza, deoarece există o mulțime de anunțuri despre orele de lucru, problemele legate de teme și chestii de genul acesta.