[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [CLIC] PROFESORUL: Deci, să încheiem discuția noastră despre Teorema Hahn-Banach . Lasă-mă să-mi amintesc. Aceasta a fost teorema care a afirmat că, dacă v este spațiu normal, m este un vector-- sau este un subspațiu al lui v. Și u este o funcțională liniară mărginită pe m. Deci, este o hartă liniară care satisface, de asemenea, pentru toate t și m, u din t, iar valoarea absolută este -- sau modulul lui u lui t este mai mic sau egal cu o normă constantă a lui t. Apoi există o funcțională liniară mărginită pe întreg spațiul, care îl extinde. Astfel încât să existe un U majuscul, astfel încât atunci când U este limitat la m, acest lucru îmi oferă puțin u. Și se extinde continuu în sensul că satisface aceeași legătură pe care o face u micuțul. Acum, pentru toate t și v. u din t este mai mică sau egală cu o constantă înmulțită cu norma lui t. Deci, data trecută, am trecut prin demonstrarea acestui lucru folosind lema lui Zorn și lema cu care ne-am confruntat la sfârșitul orei. Care, când mi-am scris notițele pentru prelegere, am devenit puțin captivant spre final și am făcut o mică eroare. Ceea ce poate fi remediat dacă te uiți doar la notele de curs, pe care le am online. Sau dacă te uiți la notele de curs ale lui Richard doar pentru a ajunge la concluzia că Lema de care aveam nevoie. Deci minus epsilon, am demonstrat teorema Hahn-Banach. Puteți completa epsilonul doar uitându-vă la notițe. Dar demonstrarea teoremei Hahn-Banach nu este esențiala. Nu este punctul principal. Este important să-l cunoști, sau cel puțin să-l fi văzut, dar ceea ce este important este ca instrument. Și am menționat ultima dată, o aplicație este de a arăta că dualul lui mic l infinit nu este mic l1. O altă aplicație este următoarea, deci v va fi un spațiu normal. Apoi, pentru toate v și t, luați 0. Există o funcțională liniară mărginită și un element al spațiului dual astfel încât norma lui f este egală cu 1. Și f din v îmi dă norma lui v. Deci există o funcțională liniară mărginită. că, atunci când îl aplicați la v, obțineți norma lui v. Și o vom folosi doar într- o secundă pentru a spune ceva mai profund despre relația dintre dual și apoi luarea duală a acestuia. Dar să demonstrăm această teoremă simplă. Deci, mai întâi, definesc. Deci am un mic v care este non-0 în spațiu și definesc un liniar mărginit -- sau o hartă liniară de la intervalul de la v la c prin u de lambda v este egal cu lambda ori norma lui v. Acum, fiecare element acesta este un multiplu scalar al lui v poate fi scris unic astfel. Deci, această funcție este bine definită și este clar că este liniară, deoarece liniaritatea are loc în lambda. v este fix. Tine minte? Deci, în special, obțin că u din t este mai mic sau egal cu u-- la norma lui t pentru tot t din intervalul acestui vector fix v. Și aveți unul-- sau ar trebui să spun, u din v, care, amintiți-vă, este doar a-- Deci, aceasta este egală cu doar de 1 ori norma lui v. Îmi dă norma pentru v. Și, prin urmare, după teorema Hahn-Banach, există un element f al dublă extindere u. Astfel încât acum, pentru tot t și v, f din t și modul este mai mic sau egal cu norma lui t. Și în special. Deci, deoarece se extinde, u trebuie să aibă egal cu norma lui v. Și prin acea inegalitate de acolo, norma lui mic f trebuie să fie mai mică sau egală cu 1. Ei bine, mai întâi, permiteți-mi să termin cu ceea ce vă spune această inegalitate. Acest lucru vă spune că-- Deci, deoarece f din t este mai mică sau egală cu t pentru toate t și v, aceasta implică că norma lui f-- Care, rețineți, este supa lui f din t cu t unitate de lungime. Trebuie să fie mai mic sau egal cu 1. Dar am că 1 este egal cu f din b peste norma lui b, care trebuie să fie mai mică sau egală cu norma lui f. Și, prin urmare, norma lui f este egală cu 1. Deci f este această funcțională liniară continuă dorită pe v, încât, atunci când lovește v, v mic, scuipă norma lui v. Dublul dublu al unui spațiu este -- dacă poți lua dualul unui spațiu, poți lua dualul acelui spațiu. Dublu dublu al unui spațiu normativ v este, prin definiție, îl notăm prin v dublu prim. Acesta este dualul dualului lui v. Deci, amintiți-vă, primul este spațiul funcționalelor liniare mărginite pe v. Și astfel, atunci, v dublu prim este spațiul funcționalelor liniare mărginite pe spațiul funcționalelor liniare mărginite ale lui v. Acum, permiteți-mi să vă dau un exemplu de-- deci, un mic exemplu rapid de element pe care îl puteți asocia în v dublu prim. Fixați un element în V majusculă și definiți. Acum, să-i spunem ceva. Să-l numim t din v. Deci acesta va fi un element al spațiului dual al lui v prim în final. Dar sub v de... Deci chestia asta trebuie să mănânce un element din spațiul plictisitor și să scuipe un număr. Acum, gândiți-vă la cele două date pe care le am aici. Am un mic v fix și V capital și aș dori să le folosesc pentru a defini o funcțională liniară mărginită pe primul V capital. Acum, capitalul V prim mănâncă elemente de capital V. Deci pot defini o hartă de la V prim la C prin asta. Apoi susțin că T din V este un element al dublului dual. Deci spațiul dual al lui V prim. De ce, mă rog? Deci, în primul rând, trebuie să fie liniar în argument. Deci mic v prim este în V prim capital. Trebuie să fie liniară în argumentul V prim. Și acest lucru este clar. Așa că nu uitați, micul v este fix. Deci, dacă iau o combinație liniară a două elemente de capital V prim, atunci această expresie este clar liniară în V prim. Deci T sub V este liniar clar. Acum trebuie doar să verificăm dacă este mărginit. Și dacă iau-- deci T sub v este liniar. Acesta este un control. Exact cum vorbim despre asta. Și T sub v este mărginit deoarece dacă luăm T sub v din v prim, dacă luăm modulul său, acesta este prin definiție egal cu v prim din v. Acum, v prim este o funcțională liniară mărginită pe v. Deci, aceasta este mai mică decât sau egal cu norma lui v înmulțit cu norma lui v. Și, de fapt, permiteți-mi să o scriu astfel. Norma lui v, v prim. Deci am arătat că acest operator liniar de la v prim la C în modul este mărginit de această constantă înmulțită cu norma lui v prim. Și prin urmare, concluzionăm că T din v-- sau T sub v este în dualul lui V prim, dublu dual. Și norma acestui operator care merge de la v prim la C, pe care tocmai am arătat-o, este mărginită de această constantă. Amintiți-vă, norma operatorului este cea mai bună constantă care apare aici. Și, prin urmare, aceasta este mai mică sau egală cu aceasta. Deci am arătat că fiecare element al lui v, putem asocia un element al dublului dual, spațiul dual al spațiului dual, prin această relație. Deci un element al lui v poate fi definit ca un element al lui v prim dublu lăsându-l să acționeze asupra v prim prin această formulă. Dar putem spune puțin mai mult. Și permiteți-mi doar să introduc puțină terminologie. Fie v în V majusculă. Sau, nu, nu sunt chiar acolo. Dacă V și W sunt spații normate, atunci spunem că un operator liniar mărginit de la V la W este izometric. Deci sensul izometric nu schimbă lungimea, nu schimbă distanțele. Dacă pentru toate v și capitalul V lungimea lui T lui V este egală cu lungimea lui V. Și acum, următoarea teoremă este că această hartă, această relație pe care am dat-o între elementele lui v și dublul dual este, de fapt izometrică. Deci, să fie v în V. Și ca mai înainte, definiți T sub v ca harta de la v prim la C prin T sub v trebuie să fie elemente ale dualului. Deci, puteți scuipa numere, astfel încât să fie definit în acest fel. Apoi harta T de la V la V dublu prim, unde această hartă T duce de la V la T mic v este izometrică. Deci este un operator liniar mărginit de la V la dublul său dublu. Și lungimea unui vector în v este aceeași cu lungimea imaginii sale în dublu dublu. Care este lungimea în dublu dual este definită în termenii normei operatorului. Deci am făcut practic toată munca când am discutat despre exemplu. Deci am arătat deja că harta v la T din v, acesta este un operator liniar mărginit de la v la v prim dublu. Așa că am arătat că este mărginită, și anume că imaginea este mărginită de-- sau norma imaginii este mărginită de norma v. Dar este, de asemenea, clar că aceasta este liniară în v. Așa că acum un minut, am arătat că este liniară în v prim. Dar este, de asemenea, liniar în v. Deoarece pentru fiecare v prim fix, acesta este liniar în v. Deci aceasta este o hartă mărginită de la v care vă duce la acest element din T din v, acesta este un operator liniar mărginit de la v la v prim dublu. Deci, ceea ce rămâne este să arătăm că este izometric. Deci am arătat asta și că norma imaginii în dublu dual este mai mică sau egală cu norma lui v. Acum, pentru a arăta că este izometrică, trebuie să arătăm că norma lui v este egală cu T din v. Deci, prin teorema pe care tocmai am demonstrat-o acum un minut, deci mai întâi, așadar, ca și în enunțul teoremei, permiteți-mi să notez această hartă prin aceasta este T. Deci am arătat că norma lui T este mai mică sau egală cu 1. Deoarece am arătat că norma imaginii este întotdeauna mai mică sau egală cu norma intrării. Și acum, pentru a arăta că este izometric, trebuie doar să arătăm norma lui T egal cu 1. Deci, să fie v în v diferit de zero. cu norma v egală cu 1. Ei bine, deci tocmai am spus ceva prostesc acum un minut. Lasă-mă să mă întorc la ceea ce am scris acolo cu un minut în urmă. Deci nu asta-- deci amintiți-vă, încercăm să nu arătăm că norma este una, ci că norma imaginii este egală cu norma intrării. M-am întors acolo pentru un minut, îmi pare rău. Și norma imaginii este mai mică sau egală cu norma de intrare. Deci acum vrem doar să arătăm inegalitatea inversă pentru tot mic v din V capitală. Acum arătăm toate v în V capital, T din v este egal cu lungimea lui v. Și pentru a face asta, folosim această teoremă pe care tocmai am demonstrat-o un minut în urmă. Deci, acest lucru este clar dacă v este 0. Deci, să presupunem că v este diferit de zero, atunci există un element al spațiului dual prin teorema anterioară astfel încât norma lui f este egală cu 1 și f din v este egală cu norma lui v. Atunci norma lui v este egală cu f din v. Și pot chiar să pun modulul pe asta. Și aceasta este mai mică sau egală totuși, gândindu-mă la asta ca a-- deci acum gândindu-mă la asta ca un operator din funcțional liniar mărginit , deci [INAUDIBIL], deci, ca element al dualului, acesta este mai mic sau egal cu norma lui T sub v ori norma lui f. Și acum norma lui f este 1. Deci aceasta este egală cu norma lui T sub v. Și, prin urmare, v, norma lui v, este mai mică sau egală cu norma lui T sub v. Și din moment ce am avut deja Inegalitatea inversă, concluzionez că norma lui T sub v este egală cu norma lui v. Și astfel, această hartă care merge de la v la v, la dublul dual al lui v descris în acest fel este, de fapt, izometrică. Este un operator liniar mărginit care păstrează legăturile. Acum avem un nume special. Deci, mai întâi, ar trebui să fie clar că operatorii liniari izometrici mărginiți sunt unu la unu. Deci, pentru ca ceva să fie unul la unu pentru un operator liniar, înseamnă că singurul lucru care este trimis la 0 este 0. Și din această egalitate aici avem că, dacă acesta este egal cu 0, atunci vectorul trebuia să fie 0. Deci izometric mărginit operatorii liniari sunt întotdeauna unu la unu. Deci, ceea ce vă spune această teoremă este că această hartă definită în acest fel vă oferă o injecție izometrică de la v la v dublu prim, de la v la dublu dublu. Deci am această hartă care intră în dublu dual, care este izometric, adică nu schimbă distanțele. Este pe? Este dublu dublu întotdeauna egal cu spațiul original în sine? Deci avem un nume pentru spații care satisfac asta. Deci, un spațiu Banach V este reflexiv dacă se folosește-- dacă această hartă este pe. Dacă V este egal cu v dublu prim, în sensul că această hartă luând elementul V majuscul la un element al dublului dublu care, așa cum am definit mai devreme, este pe. Acum, de exemplu, și puteți verifica asta. Poate părea lucruri abstracte. Dar pentru spațiile mici lp , aceasta lăsând spațiul dual să mănânce un vector sau orice altceva, amintiți-vă, identificăm spațiul dual al micului lp cu puțin lq, unde 1 peste p plus 1 peste q este egal cu 1. Deci, puțin lp este reflexiv pentru p între 1 și infinit, deoarece dualul lui mic lp va fi mic lq, unde 1 peste p plus 1 peste q este egal cu 1. Și dualul lui 1 peste-- mic lq va fi puțin lp atâta timp cât q este între 1 și infinit. Există acel caz în care dualitatea nu este dată de ceea ce crezi că ar trebui să fie. Deci putin l1 nu este reflexiv. Deoarece dacă mă uit la dualul lui mic l1, deci acesta ar trebui să fie 1, acesta este egal cu l infinit. Și așa cum veți arăta în teme, dualul lui mic l infinit nu este egal cu mic l1. Așa că dualitatea dualului nu vă va da înapoi spațiul cu care ați început. Și nu știu dacă voi pune asta în sarcină sau, eventual, la jumătatea mandatului. Spațiul C0, care era spațiul tuturor secvențelor convergente la 0, nici acesta nu este reflexiv. Motivul este că poți, de fapt, să identifici dualul lui C0 cu puțin l1. Iar dualul lui mic l1 este mic L infinit. Care nu este egal cu C0. Deci, de asemenea, puteți vedea cum spațiul este un subspațiu al dublului dublu. Spațiul tuturor secvențelor care converg către 0, acesta este un subspațiu al spațiului tuturor secvențelor mărginite. Așa că vedeți asta, nu ar trebui să spun cu mâna, dar OK, cu mâna, că spațiul original -- uitați acest prim-- este un subspațiu al dublului dual care în acest caz este puțin infinit. Deci asta termină lucrurile generale despre spațiile Banach deocamdată. Și ne vom întoarce la măsurarea și integrarea Lebesgue. Pentru că așa am vorbit despre spații mici lp. Acestea sunt spații de secvențe. Și așa s-ar putea să credeți, ei bine, poate putem defini spații mari LP să fie, să spunem, funcții integrale Riemann a căror putere p-a este integrabilă sau ceva de genul ăsta. Cât de mult acestea sunt puterea a doua însumabilă. Deci trecem acum la măsurarea și integrarea Lebesgue. Lipsește o scrisoare acolo. Acum, de ce măsura și integrarea Lebesgue, de ce nu rămânem doar la integrarea Riemann? Există câteva motive. Una este că integrarea Lebesgue are teoreme de convergență mult mai bune. Deci, aveți într-adevăr o singură teoremă de convergență pentru integrarea Riemann, care este limita uniformă a funcțiilor integrabile Riemann este integrabilă Riemann. Iar integrala limitelor este limita integralelor. Dar există teoreme limită mult mai bune. Și în sensul că sunt mai utile, le poți folosi mai des și, prin urmare, dovedești lucruri mai bune. Și poate ești doar ca, OK, și ce? Dar există motive și mai mari pentru care considerați măsura și integrarea Lebesgue. Și asta pentru că, dacă te uiți la spațiul funcțiilor integrabile Riemann pe a, b, să zicem, 0, 1, să zicem, hai să o concretizăm, atunci permiteți-mi să scriu de fapt asta. L1-- și voi pune un R aici. Acesta este un set al tuturor f de la 0, 1 C, astfel încât f este Riemann integrabil pe 0, 1. Acum, în 18.100 și 100A, acestea sunt de obicei cu valoare reală. Dar când mă refer la integrabil Riemann și la complexul său evaluat, mă refer doar la partea reală și partea imaginară sunt integrabile Riemann. Deci nu trebuie să știi nimic fantezist. Și dacă definesc o normă pentru L1 capitală prin... deci am acest spațiu, am această normă. Acum, nu este chiar o normă. Pentru că puteți avea funcții integrabile Riemann care nu sunt 0 peste tot, a căror integrală este 0. Dacă aveți o funcție care este 0, cu excepția unui punct, și în acel punct este 5, ei bine, funcția este diferită de zero, dar integrala este 0. Deci aceasta este o semi-normă. Dar să ne imaginăm că este o normă. Deci problema este că, chiar dacă mă modific cu acele lucruri care îmi dau o semi-normă egală cu 0, astfel încât să obțin un spațiu de normă real, dar ignor asta pentru un minut. Să ne imaginăm că aceasta este o normă cinstită față de Dumnezeu. Apoi chestia asta ajunge să fie că acesta nu este un spațiu Banach. Deci, un motiv pentru a lua în considerare o integrare mai generală este că integrarea Riemann, sau cel puțin limitarea doar la acele funcții care sunt integrabile Riemann, nu vă oferă un spațiu Banach. Acesta nu este - acesta este un spațiu de normă modulo acest pic că există funcții care au norma 0 care nu sunt exact identic 0. Dar nu este un spațiu Banach. Nu este complet. Și în analiza funcțională, ne interesează spațiile care sunt complete. Și nu doar în analiza funcțională pentru dragostea abstractă pentru ea, ci în problemele în care, așa cum am spus la începutul acestui curs, în care aveți ecuații diferențiabile sau unele funcționale definite pe unele funcții spațiale, doriți să vă ocupați de spații complete. Și o mulțime de funcționalități sunt definite nu doar pe L1, ci să spunem LP, unde acum îl înlocuiesc cu o putere p-a. Așa că pentru a putea spune că anumite lucruri există sau a ajunge în miezul subiectului, am nevoie de aceste spații să fie complete. Și dacă mă limitez doar la funcțiile integrabile Riemann, nu este complet. Deci trebuie să facem integrarea Lebesgue. Acum, ceea ce vom afla este că - și așa se face în notele originale pentru această clasă, este că acesta nu este un spațiu Banach. Dar pot să-i iau finalizarea. Așa cum setul de numere raționale nu este complet, pot să iau că este ceea ce se numește completare și să obțin setul de numere reale. Aș putea să iau acest spațiu, să-i iau completarea și ceea ce obțin este un spațiu abstract, pe care îl pot identifica de fapt cu spațiul funcțiilor integrabile Lebesgue. Așa se face în note. Dar nu vreau să o fac așa. În schimb, doar vom construi măsura Lebesgue și integrarea de la zero. Și vom vedea la un moment dat că aceste funcții sunt de fapt dense în spațiul funcțiilor integrabile Lebesgue . Și, prin urmare, concluzionăm că completarea abstractă -- dacă nu ați acoperit completările, este în regulă -- a acestui spațiu este, de fapt, integrabilul -- spațiul funcțiilor integrabile Lebesgue. În concluzie, trebuie să facem măsura și integrarea Lebesgue pentru că aceste spații nu sunt complete. Și avem teoreme de convergență mai bune în aceste spații. Dar este nevoie doar de puțin efort pentru a învăța. Nu mult, dar vreau să spun, este destul de intuitiv odată ce începi să vezi argumentele și să le parcurgi. Deci vom defini o nouă noțiune de integrare care este mai generală decât integrarea Riemann. Și astfel, integrarea ar trebui să fie cumva teoria ariei de sub curbă. Deci, cel mai simplu tip de funcții pe care ar trebui să îl luați în considerare mai întâi este, dacă am un submult E, poate că este o nebunie sau poate că este simplu. Și am o funcție, care este doar 1 când sunt pe ea și 0 în caz contrar. Deci, voi nota această funcție cu 1 cu un E sub ea. Apoi, într-un anumit sens, vreau să pot integra această funcție. Deci 1E este funcția care este 1 dacă x este în E și 0 dacă x nu este în E. Deci, dacă E este doar intervalul a, b, atunci am doar funcția care 0 în afara lui a, b și 1 peste a, b. Deci întrebarea este cum integrăm astfel de funcții? Sau prima noastră sarcină este să definim integrala pentru aceste tipuri de funcții. Ei bine, din moment ce integrala ar trebui să fie o teorie a ariei de sub curbă, de exemplu, dacă E este egal, deci asta este doar o discuție acum, ar trebui să adaug. Deci aceasta este motivația. Într-un minut voi ajunge la definiții și teoreme. Dar aceasta este doar o discuție. Dacă E este egal cu a, b, astfel încât eu sunt doar -- am a, b, 1, 0 în exterior, atunci integrala acestui tip în orice sens ar fi această integrală, aceasta ar trebui să fie cel puțin aria de sub această curbă. Deci ar trebui să fie b minus a. Care este lungimea intervalului a, b. Deci, și prin urmare, dacă avem o mulțime generală E, ar trebui să ne așteptăm ca integrala noastră peste funcție, care este 1 pe E și 0 în afara ei, ar trebui cumva-- aceasta ar trebui să fie lungimea lui E. Dar lungimea nu este foarte cuvânt bun pentru că lungimea se aplică unui interval a, b pentru că există un început și există o oprire. Și totul între ele este în decor. Deci, mai degrabă decât să scriu lungimea lui E, voi scrie m din E. Și m din E fiind ceea ce voi spune că este o măsură a lui E. O măsură a cât de mult din E există. Și așa, prima noastră sarcină, dacă sperăm să dezvoltăm o noțiune de integrare mai generală decât Riemann, în care spațiile rezultate sunt un spațiu Banach, acesta este într-adevăr scopul, în final, ar trebui să începem prin a defini ce înseamnă asta? Ce este măsura unui set? Ce seturi măsurăm? Deci, sarcina noastră chiar acum este definită înainte de a ajunge chiar la integrare, ar trebui să fim capabili să integrăm cele mai simple tipuri de funcții. Și asta ne cere să fim capabili să definim măsura submulților lui R. Și aceasta este măsura Lebesgue pe care o vom dezvolta. Deci, care sunt unele proprietăți pe care vrem să le aibă o măsură rezonabilă de mulțimi? Deci primul pe care ne-am dori este să putem măsura totul. Ceea ce este groaznic la integrarea Riemann este că nu putem integra cu adevărat nicio funcție. Dar nici măcar nu putem integra această funcție atunci când E este, să zicem, numerele raționale între 0 și 1. Când am funcția care este 1 pe raționale și 0 din aceasta, aceasta nu este integrabilă Riemann. Așa că aș dori să pot măsura orice subset de numere reale. Așa că aș dori să pot defini măsura oricărui subset de numere reale. Și a doua proprietate pe care mi-aș dori este un fel de verificare a sensului, că dacă I ​​este un interval, atunci măsura lui E ar trebui să fie lungimea lui I. Și prin I, vreau să spun jumătate deschis, jumătate închis. Bănuiesc că jumătate deschis este jumătate închis. Dar interval închis, deschis, măsura nu ar trebui să-i pese de ratarea celor două puncte finale. Și ar trebui doar să scot lungimea acelui interval b minus a. O a treia proprietate este o măsură a întregului ar trebui să fie suma măsurilor părților sale. Dacă am o mulțime care poate fi scrisă ca o uniune de bucăți disjunse, atunci măsura întregului set ar trebui să fie suma măsurii bucăților individuale. Deci, aceasta este afirmată ca și cum En ar fi o colecție de mulțimi disjunse. Deci, gândiți-vă la acestea ca formând un set mai mare. Și aceasta este, ar trebui să spun, o colecție numărabilă de mulțimi disjunse, atunci aș dori ca măsura unirii lor să fie suma măsurilor. Acesta este un lucru rezonabil de cerut. Măsura întregului este suma măsurii părților. Și în ultimul, care este oarecum specific modului în care vedem R este, dacă iau un set aici lângă locul în care stau și apoi iau acel set, nu-i fac nimic , doar merg pe jos. aici și ia-i măsura, acea măsură, măsura acestui set pe care am trecut acum aici ar trebui să fie aceeași cu măsura acelui set peste când stăteam aici. Deci am dori ca m să fie invariant de traducere. Adică dacă E este în R și x este un element al lui r, atunci măsura mulțimii x plus E, ceea ce înseamnă măsura mulțimii de elemente x plus y, unde y este în E. Deci, luați E și mutați-l prin x. Aceasta ar trebui să fie aceeași cu măsura mulțimii inițiale E. Deci, din păcate, este imposibil să existe o funcție care să fie definită pe fiecare submulțime de numere reale care să satisfacă aceste trei proprietăți. Deci este foarte regretabil. O astfel de funcție m care pleacă de la setul de puteri a lui R, adică mulțimea tuturor submulțimii lui R și, desigur, acest lucru ar trebui să fie nenegativ, deoarece este o măsură a cât de mult există, nu există. Insemnand ce? Dacă vă asumați toate aceste patru proprietăți, veți putea veni cu o mulțime care are măsură finită și apoi are, de asemenea, măsura infinită. Deci, este imposibil să existe o funcție care este definită pentru fiecare submulțime de numere reale care îndeplinesc condițiile doi, trei și patru. Pur și simplu nu este logic-- pur și simplu nu este posibil. Deci e regretabil. Dar ceea ce putem face este să renunțăm la ipoteza că măsura este definită pentru fiecare submulțime de numere reale și să ne concentrăm pe încercarea de a găsi o funcție set -- Adică, definită pe subseturi de numere reale. Deci, de aceea o numesc o funcție set-- m care satisface doi, trei și patru pe o colecție mare de seturi, care este definită pe o colecție mare de seturi. Și aceste seturi pentru care o astfel de măsură va fi definită pe satisfacerea a doi, trei și patru vor fi destul de mari în cele din urmă. Acesta este setul de seturi măsurabile Lebesgue. Iar m este măsura Lebesgue. Și astfel, scopul nostru este să construim măsura Lebesgue și seturile integrabile Lebesgue. Deci aceasta este sarcina noastră. Sau cred că am avut această sarcină înainte. Deci care este planul acum? Construiți un m definit pentru o clasă mare -- așa definit pentru multe mulțimi diferite, dar nu neapărat -- dar nu pentru fiecare mulțime. Și aceste seturi vor fi, vom numi seturi măsurabile Lebesgue, astfel încât să fie valabile condițiile de la doi la patru. Că, dacă am un interval, măsura acelui interval, așa că, în primul rând, această clasă de seturi ar trebui să conțină toate intervalele. Iar măsura acelui interval îmi dă lungimea intervalului. Și dacă am o colecție numărabilă de seturi pentru care pot măsura, atunci uniunea lor este măsurabilă. Iar măsura acelei uniuni disjunctive este egală cu suma măsurilor. Și apoi este, de asemenea, invariant de traducere. Deci acesta este planul. Deci nu va fi definit pentru fiecare set. Dar va fi definit pentru o clasă mare de seturi care conțin cele mai rezonabile seturi. Și cum vom face acest lucru se datorează [INAUDIBLE].. Și vom proceda așa. Vom mai întâi - deci cum vom construi asta, mai întâi vom construi o funcție m stea, care este definită pentru fiecare submulțime de numere reale. Aceasta o vom numi măsura exterioară, care satisface două, și anume că steaua m a unui interval este lungimea intervalului 3. Și nu ar trebui să spun 3, ci și aproape 3. Apoi restricționăm, ar trebui să spun, satisface doi, aproape trei și patru. Apoi restricționăm m steaua la submulțimi bine comportate ale lui R. Acestea vor fi clasa marilor mulțimi Lebesgue. Și m va fi doar m steaua limitată la aceste subseturi. Deci acesta este planul acestui capitol, această parte a cursului. Din nou, aceasta este toată discuția. Deci primul nostru subiect va fi steaua m, care se numește măsura exterioară. Deci asta a fost toată discuția despre planul de joc. Dacă nu ai urmat tot ce am spus, e în regulă. Ai putea începe să asculți acum. Pentru că atunci voi începe să definesc lucrurile și să demonstrez teoreme despre ele. Dar ar trebui să știi poteca pe care suntem, ca să nu pierzi pădurea printre copaci sau așa ceva. Cred că merge cam așa. Oricum, deci măsura exterioară-- deci pentru un interval-- așa că permiteți-mi doar să notez o mică notație, așa cum am folosit-o acum un minut. Dacă I ​​este un interval, adică deschis închis, jumătate deschis, infinit, micul l din I denotă lungimea acestuia. Dacă este nelimitat, atunci acesta este doar un substitut pentru infinit. Și lungimea intervalului - deci lungimea lui a, b, ambele incluzând a, b sau nu, sau peste 1 și poate nu pe celălalt, este egală cu b minus a, indiferent dacă este un interval deschis, închis sau pe jumătate deschis . Deci, pentru un submult de numere reale, definim măsura sa exterioară - definim măsura exterioară a lui a. Aceasta este m steaua a. Aceasta este egală cu suma infimă de numere a lungimilor lui I sub n. Și care sunt subnumele I? Acest lucru este egal în cazul în care I sub n este o colecție numărabilă de intervale deschise, astfel încât a este conținut în uniunea lor. Deci, cum calculez măsura exterioară, astfel încât să pot acoperi orice set - orice subset de numere reale printr-o uniune de intervale deschise. Și astfel, măsura exterioară este apoi definită ca infimul sumei lungimilor acestor intervale deschise. Deci ai setul tău. Îl acoperiți cu intervale deschise. Însumați lungimea intervalelor deschise. Acest lucru vă oferă o aproximare aproximativă a mărimii lui a. Și acum, dacă faceți acele intervale mici, și mai mici, și mai mici, atunci ar trebui să culegeți informații mai detaliate. Și astfel, infimumul unora dintre lungimea acestor intervale care acoperă a, aceasta vă oferă măsura exterioară. Așa că permiteți-mi să vă dau cel mai stupid exemplu vreodată, care este măsura exterioară a unui punct. Deci, să spunem, nu știu, mulțimea care conține doar 1. Așa că susțin că-- sau mulțimea care conține 0. Măsura exterioară a acestuia este doar 0. Deci, mulțimea cu doar un punct ar trebui să-- nu nu umple nimic. Deci nu ar trebui să aibă nicio măsură, nu ar trebui să aibă o măsură pozitivă. Cel puțin dacă dorim ca măsura să fie legată de lungime. Acum, de ce este asta? Ei bine, epsilonul să fie pozitiv. Ceea ce voi arăta este că măsura exterioară a acestui set este mai mică decât epsilon. Și din moment ce acesta este întotdeauna un număr nenegativ, este infimul peste un subset de numere pozitive. Prin urmare, acel infimum este întotdeauna nenegativ. Așa că ar trebui să remarc că acesta este întotdeauna mai mare sau egal cu 0. Așa că voi arăta că măsura exterioară este mai mică decât epsilon. Apoi, mulțimea care conține doar 0 este conținută în intervalul deschis epsilon peste 2-- minus epsilon peste 2 până la epsilon peste 2. Și, prin urmare, măsura exterioară a lui 0, care este infimul sumei legăturilor peste toată colecția de intervale care acoperă a, aceasta ar trebui să fie mai mică sau egală cu dacă iau doar una dintre acestea. Deci lungimea, care este egală cu epsilon. Acum, măsura acesteia este întotdeauna mai mică sau egală cu epsilon pentru toți epsiloni pozitivi. Deci, pot lua-- trimite epsilon la 0. Și înțeleg că această măsură-- măsura exterioară este 0. Deci, din nou, măsura exterioară este infimul sumei lungimilor, a intervalelor, a intervalelor deschise, unde acestea se deschid intervalele acoperă a. Cel mai simplu este setul care conține un singur punct. Are măsura 0. Acum pariez că dacă stai și te gândești puțin, poți apoi dovedi că măsura exterioară a unui set care conține un număr finit de puncte, aceasta este tot 0. Și dacă muncești puțin mai mult, poți chiar să demonstreze că măsura unui set numărabil este, de asemenea, 0, doar pe baza a ceea ce am făcut aici, doar pe... știi ce? Hai să facem asta. Acesta este un exercițiu distractiv. Deci este numărabil, atunci măsura lui a este egală cu 0. Deci, de exemplu, numerele raționale sunt numărabile. Există o mulțime de numere raționale în R. Dar au măsura 0. Nu completează nimic într-un anumit sens. Nu te simți ca în F-E-E-L, umple, ca un F-I-L-L. Deci, care este dovada asta? Deci, dacă a este numărabil, atunci pot enumera elementele lui a. Adică, o ființă numărabilă înseamnă că există o bijecție de la a la numerele naturale. Și o voi face pe cea infinit infinit și voi lăsa cazul finit în seama dumneavoastră. Deci asta înseamnă că există o bijecție de la a la numerele naturale. Dar asta înseamnă doar că pot enumera elementele lui a, a1, a2, a3, a4 și așa mai departe. O poți scrie ca... OK. Acum, la fel cum am făcut acum un minut, voi arăta că măsura exterioară a acestui set este mai mică sau egală cu epsilon, unde epsilon este un număr pozitiv arbitrar. Prin urmare, măsura exterioară trebuie să fie 0. Fie epsilonul pozitiv. Vom arăta măsura exterioară a lui a, care este, din nou, un număr nenegativ este mai mic sau egal cu epsilon. Și apoi, orice număr care este mai mic sau egal cu un număr în mod arbitrar mic trebuie să fie 0. Pentru fiecare n număr natural, fie I n intervalul care ia forma epsilon peste 2n plus 1. Ar trebui să-l scriu așa - a sub n minus epsilon peste 2n plus 1, un sub n plus epsilon peste 2n plus 1. Deci I sub n este un interval deschis care conține un sub n pentru fiecare n. Și astfel, a este conținut în această uniune numărabilă sau această uniune numărabilă a intervalelor deschise. Și întrucât măsura exterioară este infimul sumei lungimilor intervalelor deschise care acoperă a, aceasta implică faptul că măsura, măsura exterioară a lui a, care din nou este infima, deci este mai mică decât suma lungimilor intervalelor deschise care acoperă a, aceasta este mai mică sau egală cu suma n este egală cu 1 până la infinitul lungimii lui I n, care este egală cu suma de la n este egală cu 1 până la infinit, acum lungimea fiecăruia dintre aceste intervale este epsilon peste 2 la n. Și suma de la n este egală cu 1 la infinit de epsilon peste 2 la n, acesta este doar epsilon. Și, prin urmare, măsura exterioară este mai mică decât epsilon. Deoarece epsilonul a fost arbitrar și măsura exterioară este nenegativă, ajungem la concluzia că măsura exterioară trebuie să fie 0. Adică, acest argument, putem generaliza puțin acest argument pentru a demonstra ceva ce scot puțin în evidență. de-- ceea ce sunt pe cale să fac este ușor deranjat. Dar putem generaliza argumentul pe care tocmai l-am dat. Și vreau să o fac acum, deoarece este acolo și tocmai am făcut-o, pentru a demonstra că măsura exterioară satisface ceva care este aproape ca trei. Deci, și este un fel de generalizare a acestui argument. Cu excepția acestui argument, am putut să dăm un I sub n explicit. Deci avem următoarea teoremă care, ei bine, mai întâi, permiteți-mi să afirm că o proprietate foarte ușoară a măsurii exterioare este că dacă am două submulțimi de numere reale și a este conținut în b, atunci măsura exterioară a lui a este mai mică decât sau egală cu măsura exterioară a lui b. Pentru că asta decurge doar din definiție. Orice acoperire a lui b prin intervale deschise este o acoperire a lui a prin intervale deschise. Și, prin urmare, infimumul trebuie să fie mai mic sau egal cu suma acelor lungimi. Sau ar trebui să spun, atunci măsura exterioară trebuie să fie mai mică sau egală cu suma acelor legături. Și astfel, infimul pe toate acele intervale care acoperă b, care este măsura exterioară, trebuie să fie mai mare sau egală cu măsura exterioară a lui a. Așa că gândește-te la asta un minut. Dar acest lucru ar trebui să fie destul de clar din definiție. Deci următoarea teoremă este că avem ceva care este ca trei. Fie a și A n o colecție - să fie o colecție numărabilă, ar trebui să spun. Deci aici n este un număr natural, o colecție de submulțimi ale lui R. Apoi măsura exterioară a uniunii lor - deci aceasta este doar submulțimi arbitrare. Adică, nu trebuie să fie disjunși în perechi, ca unul și trei. Dar așadar, doar o colecție arbitrară. Dacă iau măsura exterioară a unirii, aceasta este mai mică sau egală cu suma măsurilor exterioare. Deci, în special, dacă această colecție este o colecție de mulțimi disjunse în perechi, atunci măsura găurii este mai mică sau egală - mai mică sau egală cu suma măsurii părților, care este jumătate din cele trei pe care le-am vrei. Așa că ajungem acolo. Dar oricum, să demonstrăm asta. În primul rând, dacă există un n astfel încât să aibă o măsură exterioară infinită, ceea ce înseamnă doar că acea submulțime pe care o preiau infimul este nelimitată, sau-- nu, nu, nu. Nu asta vreau să spun. Dar dacă acel infimum este infinit, adică nu pot acoperi mulțimea printr- o colecție de intervale cu suma de legături ca număr finit, sau suma este infinită, adică nu este convergentă, atunci această inegalitate este adevărată. Adică, atunci spun doar că ceva este mai mic sau egal cu infinitul. Sau acum tratez infinitul ca pe un element al numerelor reale extinse. Deci, dacă una dintre măsuri este infinită sau dacă această serie diverge și obțin doar un număr infinit, atunci această inegalitate este valabilă. Deci, să luăm în considerare doar cazul când - deci trebuie doar să luăm în considerare cazul în care toate măsurile sunt finite și suma măsurilor este finită. Deci, să presupunem că în timp ce n este o măsură exterioară a și măsura exterioară - suma măsurilor exterioare converge. Deci este finit. Deci, acesta este un argument cu care trebuie să vă obișnuiți, că în loc să dovediți inegalitatea pe care doriți să o demonstrați, dovezi această inegalitate plus epsilon, unde epsilon este un lucru arbitrar - număr pozitiv arbitrar, doar pentru a-ți oferi puțin spațiu. . Și apoi, dacă puteți demonstra inegalitatea dorită, plus epsilon, unde epsilon este un număr pozitiv arbitrar, atunci inegalitatea este valabilă lăsând epsilon să meargă la 0. Deci, acesta este scopul este că vom demonstra că inegalitatea cu un epsilon în partea dreaptă. Deci plus un epsilon. Fie epsilonul să fie pozitiv. Pentru fiecare n fie o colecție I n sub k, kn număr natural, o colecție de intervale deschise care acoperă un sub n-- deci I sub n sub k. Așa că nu uitați, măsura exterioară este un infim. Deci, dacă trec puțin peste acest infimum, pot găsi întotdeauna o colecție de intervale deschise care acoperă setul a cărui sumă de legături este mai mică decât acel infimum plus numărul mic. Deci și suma lui k este egală cu 1 până la infinitul lui I n sub k este mai mică decât 2 față de n. Din nou, doar pentru că acest lucru este definit ca un infimum, și deci pot întotdeauna pentru orice pic, dacă trec deasupra lui-- sau un sub n, scuze-- dacă trec peste el, atunci ar trebui să pot găsi un colecție de intervale deschise, astfel încât suma legăturilor... oh, Doamne, ce este asta? Suma de link-uri... este sfârșitul zilei. Așa că încep să fac greșeli neglijente la bord. Și acum, fiecare dintre aceste colecții pentru fiecare n acoperă sub n-urile a. Și, prin urmare, unirea sub n-urilor a este conținută în unirea lui n în n, k în n a lui I în k. Deci aceasta este o colecție de intervale deschise care acoperă această uniune este o numărătoare, da. Pentru că este în corespondență unu la unu cu n cruce n. n cruce n este, din nou, o mulțime numărabilă. Deci aceasta este o colecție numărabilă de intervale deschise care acoperă uniunea unui sub n. Și, prin urmare, măsura unui sub n ar trebui să fie mai mică sau egală cu lungimea sumelor. Și aceasta este egală cu suma peste n suma peste k, I în k. Și aceasta este mai mică decât suma n-- dacă însumez în k, amintiți-vă că am că-- suma în k este mai mică decât m stea a unui sub n plus epsilon peste 2 la n. Și acum însumez în n. Deci n merge de la 1 la infinit și la fel și k. Și astfel, aceasta este egală cu suma lui n, m stea a unui sub n plus epsilon. Așa că am început cu... ah, continui să fac greșeli stupide. Îmi pare rău pentru asta. Așa că am început cu măsura unirii sub n-urilor a. Este mai mic sau egal cu suma lungimilor acestor intervale deschise care acoperă această unire. Pentru că măsura exterioară este infimul peste toate aceste sume. Deci este egal cu această sumă. Cum am ales aceste intervale deschise? Le-am ales astfel încât aceste lungimi, suma și k ale acestor lungimi să îmi dea aproximativ măsura exterioară a fiecărei un sub n plus o mică eroare. Și am ales această eroare astfel încât să fie însumabilă. Dacă aș fi pus epsilon aici, aș fi însumat ceva ce nu poate fi însumat. Și până la urmă, înțeleg asta. Deci, am arătat că pentru toate epsilonul pozitiv, măsura exterioară a uniunii este mai mică sau egală cu suma măsurilor exterioare plus epsilon. Presupun, mai puțin de. Și acum am lăsat epsilonul să meargă la 0. Și ajung la concluzia că-- limita pe care o vreau. Deci, aceasta oferă și o a doua dovadă, dacă doriți, a ceea ce am demonstrat acum un minut, că mulțimile numărabile au măsura 0. Și dacă tu... și ceea ce am făcut chiar acolo, care este un element. Am demonstrat că mulțimea care conține un element are măsura exterioară 0. Acum, o mulțime numărabilă este egală cu o unire a unor astfel de mulțimi. Am arătat că măsura exterioară a acestei uniuni, care ar fi această mulțime numărabilă, este mai mică sau egală cu suma măsurii exterioare a punctelor individuale din acea mulțime. Și am făcut, în acest exemplu, am făcut-o pentru 0. Dar nu contează că a fost 0, că măsura exterioară a unui singleton, o mulțime cu un singur punct, este 0. Și, prin urmare, suma ar fi 0. Și am concluziona că măsura exterioară a mulțimii numărabile este 0. Deci, aceasta este o a doua dovadă care arată că măsura exterioară a unui set numărabil este 0. Așa că am arătat că măsura exterioară este... deci acesta este ceva care este definit pentru fiecare submulțime de numere reale și că îndeplinește trei. Acum, o să plec -- de fapt va fi un exercițiu în sarcină, măsura aia exterioară satisface și patru. Măsura exterioară a unui set deplasat este egală cu măsura exterioară a setului inițial. De ce asta? O modalitate de a ne gândi la acest lucru este că, dacă ceva este valabil pentru intervale deschise, ar trebui să țină pentru măsura exterioară. Deoarece măsura exterioară este definită în termeni de sume de lungimi ale intervalelor deschise. Deci, dacă iau un interval deschis și îl schimb, atunci lungimea lui nu se schimbă. Lungimea lui ab este aceeași cu lungimea lui a plus x la b plus x. Deci va fi un exercițiu în sarcină, măsura exterioară, de fapt, satisface patru. Deci, ceea ce rămâne și ceea ce vom face data viitoare este să arătăm că, dacă I ​​este un interval, măsura exterioară este aceeași cu lungimea intervalului. Și oricât de intuitiv este, este nevoie de puțină muncă pentru a arăta - nu prea mult, ci doar puțin. Și asta va finaliza construcția noastră de măsură exterioară, care este această funcție de set care satisface unul până la patru, dar nu chiar trei. Îi satisface aproape trei. Și apoi, odată ce limităm acea măsură exterioară la o anumită clasă de submulțimi, anumite submulțimi bine comportate, atunci vom putea obține trei. Și această clasă de submulțimi bine comportate o vom numi mulțimi măsurabile Lebesgue. În regulă. Așa că cred că ne vom opri aici.